2015-2016学年安徽省淮南市示范高中五校联考高二(上)数学期中试卷带解析答案

2015-2016学年安徽省淮南市示范高中五校联考高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（12小题每小题5分，共60分）1．（5分）命题“∃x≤0，x2﹣x＞0”的否定是（）A．∀x＞0，x2﹣x≤0 B．∀x≤0，x2﹣x≤0 C．∃x＞0，x2﹣x≤0 D．∃x ≤0，x2﹣x≤02．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设m、n为空间的两条不同的直线，α、β为空间的两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n．上述命题中，所有真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④4．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．18+8C．28 D．20+85．（5分）正方体的棱长和外接球的半径之比为（）A．：1 B．：2 C．2：D．：36．（5分）已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q）C．p∧（￢q）D．p∧q7．（5分）过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x+1）2+（y+1）2=4 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=48．（5分）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A．120°B．150°C．180° D．240°9．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和A1D所成角的余弦为（）A．B．C．D．010．（5分）直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定11．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的公切线条数是（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条12．（5分）已知点A（﹣3，0），B（0，3），若点P在圆x2+y2﹣2x=0上运动，则△PAB面积的最小值为（）A．6 B．6 C．6+D．6﹣二、填空题（4小题每小题5分，共20分）13．（5分）如果p：x2＞4，q：x＞2，那么p是q的．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）14．（5分）一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为45°，腰和上底均为1（如图），则平面图形的实际面积为．15．（5分）若一个球的表面积为100π，现用两个平行平面去截这个球面，两个截面圆的半径为r1=4，r2=3．则两截面间的距离为．16．（5分）给出以下四个命题：①已知命题p：∃x∈R，tanx=2；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，则命题p且q 是真命题；②命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；③命题“x≥1，则x2≥1”的逆命题；④命题“面积相等的三角形全等”的否命题．其中正确命题的序号为．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（6大题共70分）17．（10分）已知p：x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，q：方程4x2+（4m ﹣2）x+1=0无实数根．（1）若q为真，求实数m的取值范围；（2）若p为真q为假，求实数m的取值范围．18．（10分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求CB1与平面CAA1C1所成角的大小．19．（12分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为3的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为3的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．20．（12分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．21．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）求点C到平面ABD的距离．22．（14分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：平面PBD⊥平面DEF．试判断四面体F﹣DBE是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为60°，求的值．2015-2016学年安徽省淮南市示范高中五校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（12小题每小题5分，共60分）1．（5分）命题“∃x≤0，x2﹣x＞0”的否定是（）A．∀x＞0，x2﹣x≤0 B．∀x≤0，x2﹣x≤0 C．∃x＞0，x2﹣x≤0 D．∃x ≤0，x2﹣x≤0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x≤0，x2﹣x＞0”的否定是：∀x≤0，x2﹣x≤0．故选：B．2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选：A．3．（5分）设m、n为空间的两条不同的直线，α、β为空间的两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n．上述命题中，所有真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【解答】解：①若m∥α，m∥β，根据平行于同一条直线的两个平面不一定平行，也有可能相交，所以①错误．②若m⊥α，m⊥β，则根据垂直于同一条直线的两个平面是平行的知α∥β正确，所以②为真命题．③若m∥α，n∥α，则根据平行于同一个平面的两条直线不一定平行，也有可能是相交或异面，所以③错误．④若m⊥α，n⊥α，则根据垂直于同一个平面的两条直线一定平行，可知④为真命题．所以正确的命题是②④．故选：D．4．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．18+8C．28 D．20+8【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，斜边长为=2，∴几何体的表面积S=2××2×2+（2+2+2）×4=4+16+8=20+8．故选：D．5．（5分）正方体的棱长和外接球的半径之比为（）A．：1 B．：2 C．2：D．：3【解答】解：设正方体的棱长为1，外接球的直径为正方体的对角线长，故外接球的直径为，半径为：，所以，正方体的棱长和外接球的半径之比为1：=2：．故选：C．6．（5分）已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q）C．p∧（￢q）D．p∧q【解答】解：对于命题p：∃x∈R，使得，当x＜0时，命题p成立，命题p为真命题，显然，命题q为真∴根据复合命题的真假判定，p∧q为真，（￢p）∧q为假，p∧（￢q）为假，（￢p）∧（￢q）为假7．（5分）过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x+1）2+（y+1）2=4 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B 选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选：D．8．（5分）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A．120°B．150°C．180° D．240°【解答】解：∵圆锥的侧面积为：πrl，圆锥的底面面积为：πr2，∴若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥的母线l是底面半径r的2倍，即l=2r，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为α，则2πl=2πr，即α=180°，故选：C．9．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和A1D所成角的余弦为（）A．B．C．D．0【解答】解：如图，连接A1C1，C1D，则AC∥A1C1；∴∠DA1C1或其补角为异面直线AC和A1D所成角；显然△A 1DC1为等边三角形；∴∠DA1C1=60°；∴异面直线AC和A1D所成角的余弦值为．故选：A．10．（5分）直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【解答】解：由于圆心C（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为=2，正好等于半径，故直线和圆相切，故选：B．11．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的公切线条数是（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：圆x2+y2=9表示以（0，0）为圆心，半径等于3的圆．圆x2+y2﹣8x+6y+9=0即（x﹣4）2+（y+3）2=16，表示以（4，﹣3）为圆心，半径等于4的圆．两圆的圆心距等于=5，小于半径之和，大于半径差，故两圆相交，故两圆的公切线的条数为2，故选：B．12．（5分）已知点A（﹣3，0），B（0，3），若点P在圆x2+y2﹣2x=0上运动，则△PAB面积的最小值为（）A．6 B．6 C．6+D．6﹣【解答】解：由圆的方程x2+y2﹣2x=0，得：（x﹣1）2+y2=1，∴圆的圆心G（1，0），且圆的半径r=1，由A（﹣3，0）、B（0，3），得，∴AB的方程为：y=x+3，即：x﹣y+3=0，∴点G（1，0）到AB的距离d==2＞1，∴AB与给定的圆相离，圆上到AB的距离的最小值t=d﹣r=2﹣1，又|AB|==3，∴（S）min==6﹣．△ABP故选：D．二、填空题（4小题每小题5分，共20分）13．（5分）如果p：x2＞4，q：x＞2，那么p是q的必要不充分条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）【解答】解：由x2＞4，解得x＞2或x＜﹣2．∴q⇒p，而反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．14．（5分）一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为45°，腰和上底均为1（如图），则平面图形的实际面积为2+．【解答】解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故答案为：2+15．（5分）若一个球的表面积为100π，现用两个平行平面去截这个球面，两个截面圆的半径为r1=4，r2=3．则两截面间的距离为1或7．【解答】解：表面积为100π的球，它的半径为：R=5．设球心到截面的距离分别为d1，d2．球的半径为R．如图①所示．当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差．即d2﹣d1=﹣=4﹣3=1．如图②所示．当球的球心在两个平行平面的之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．即d2+d1=+=4+3=7．这两个平面间的距离为：1或7．故答案为：1或7．16．（5分）给出以下四个命题：①已知命题p：∃x∈R，tanx=2；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，则命题p且q是真命题；②命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；③命题“x≥1，则x2≥1”的逆命题；④命题“面积相等的三角形全等”的否命题．其中正确命题的序号为①②④．（把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：①命题p：∃x∈R，tanx=2；知p为证明题；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1=（x﹣）2+≥0，也为真命题，则命题p且q是真命题，故正确；②命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”中△=4﹣4m≥0，有实根，是真命题，故其逆否命题也是真命题，故正确；③命题“x≥1，则x2≥1”的否命题为：x＜1，则x2＜1为假命题，故逆命题也为假命题，故错误；④命题“面积相等的三角形全等”的逆命题为若三角形全等，则面积相等为真命题，故否命题也为真命题，故正确．故答案为①②④．三、解答题（6大题共70分）17．（10分）已知p：x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，q：方程4x2+（4m ﹣2）x+1=0无实数根．（1）若q为真，求实数m的取值范围；（2）若p为真q为假，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）方程4x2+（4m﹣2）x+1=0无实数根，为真命题，∴△=（4m﹣2）2﹣16＜0，解得﹣＜m＜；（2）p：x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，为真命题，∴，解得m＞2，由（1）得￢p，m≤﹣，或m≥，∵p为真q为假，∴m＞2．18．（10分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求CB1与平面CAA1C1所成角的大小．【解答】证明：（1）连结BD，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点，∴EF∥BD，B1D1∥BD，∴EF∥B1D1，∵EF⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴EF∥平面CB1D1．解：（2）设A1C1∩B1D1=O，连结CO，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1，AA1⊥B1D1，∵A1C1∩AA1=A1，∴B1O⊥平面CAA1C1，∴∠B1CO是CB1与平面CAA1C1所成角，∵OB1=，∴sin∠B1CO==，∴∠B1CO=30°，∴CB1与平面CAA1C1所成角的大小为30°．19．（12分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为3的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为3的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．【解答】解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示．（1）几何体的体积为V=•S矩形•h=×6×8×3=48；（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：h1==．左、右侧面的底边上的高为：h2==5．故几何体的侧面面积为：S=2×（×8×+×6×5）=30+24．20．（12分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r=2，则圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|=2，解得a=1或a=﹣3，又a＞0，所以a=1；（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r=2由（3，5）到圆心的距离为=＞r=2，得到（3，5）在圆外，∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5=k（x﹣3）由圆心到切线的距离d==r=2，化简得：12k=5，可解得，∴切线方程为5x﹣12y+45=0；②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x=3与圆相切．由①②可知切线方程为5x﹣12y+45=0或x=3．21．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）求点C到平面ABD的距离．【解答】（1）证明：在图1中，∵在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，取AC的中点O，连结DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，DO⊂面ACD，从而OD⊥平面ABC，∵BC⊂面ABC，∴OD⊥BC，又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD．（2）解：由（Ⅰ）可知BC为三棱锥B﹣ACD的高，BC=2，S△ACD=2，=V B﹣ACD===，∴V A﹣BCD∵==2，AB=4，AD=2，∴AB2=BD2+AD2，∴AD⊥BD，===2，∴S△ABD设点C到平面ABD的距离为h，==V A﹣BCD=V B﹣ACD=，则V C﹣ABD解得h==．∴点C到平面ABD的距离为．22．（14分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：平面PBD⊥平面DEF．试判断四面体F﹣DBE是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为60°，求的值．【解答】（1）证明：∵侧棱PD⊥底面ABCD，BC⊥DC，∴BC⊥平面PCD，DE⊂平面PCD．∴BC⊥DE．∵PD=CD，E为棱PC的中点，∴DE⊥PC．又PC∩DC=C，∴DE⊥平面PBC．∴DE⊥PB，又PB⊥EF，DE∩EF=E，∴PB⊥平面DEF，又PB⊂平面PBD．∴平面PBD⊥平面DEF．∴四面体F﹣DBE是鳖臑，∠DEF=90°，∠DEB=90°，∠BFD=90°，∠BFE=90°．（2）解：在平面PBC内，延长BC与FE交与点G，则DG是平面DEF与平面ABCD 的交线．由（1）知PB⊥平面DEF，∴PB⊥DG，又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DG；而PD∩PB=P，∴DG⊥平面PBD，故∠BDF是平面DEF与平面ABCD所成二面角的平面角．设PD=DC=AB=1 DA=BC=x，则BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPF=∠BDF=60°，则tan60°=tan∠DPF===，解得x=，∴=x=．。