高考数学(文)之纠错笔记专题03 导数及其应用
高考数学(文科)总复习考点解析及试题第二章函数导数及其应用
高考数学（文科）总复习考点解析及试题（解析版）第二章 函数、导数及其应用本章是高考复习中十分重要的一章，共有13个考点如下：考点1 函数及其表示 考点2 函数的定义域和值域考点3 函数的单调性考点4 函数的奇偶性与周期性考点5 二次函数与幂函数 考点6 指数与指数函数 考点7 对数与对数函数 考点8 函数的图象 考点9 函数与方程 考点10 函数模型及其应用考点11 变化率与导数、导数的计算考点12 导数的应用(一) 考点13 导数的应用(二)考点测试1 函数及其表示高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值5分，中高等难度 考纲研读1．了解构成函数的要素，了解映射的概念2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3．了解简单的分段函数，并能简单应用一、基础小题1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π 答案 B解析 因为g (π)＝0，所以f [g (π)]＝f (0)＝0，故选B ． 2．下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )图象的是( )答案 A解析 函数图象上一个x 值只能对应一个y 值．选项A 中的图象上存在一个x 值对应两个y 值，所以其不可能为函数图象，故选A ．3．下列各组函数中是同一个函数的是( ) ①f (x )＝x 与g (x )＝(x )2； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 2与g (x )＝x 4；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1． A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④ 答案 C解析 ①中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)，故f (x )，g (x )不是同一个函数；②中g (x )＝x 2＝|x |，故f (x )，g (x )不是同一个函数．故选C ．4．若点A (0，1)，B (2，3)在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，则一次函数的解析式为( ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝2x ＋1 C ．y ＝x ＋1 D ．y ＝2x －1 答案 C解析 将点A ，B 代入一次函数y ＝ax ＋b 得b ＝1，2a ＋b ＝3，则a ＝1．故一次函数的解析式为y ＝x ＋1．故选C ．5．已知反比例函数y ＝f (x )．若f (1)＝2，则f (3)＝( ) A ．1 B ．23 C ．13 D ．－1答案 B解析 设f (x )＝k x (k ≠0)，由题意有2＝k ，所以f (x )＝2x ，故f (3)＝23．故选B ．6．已知f (x ＋1)＝x 2＋2x ＋3，则f (x )＝( ) A ．x 2＋4x ＋6 B ．x 2－2x ＋2 C ．x 2＋2 D ．x 2＋1 答案 C解析 解法一：由f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋2得f (x )＝x 2＋2．故选C ．解法二：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＋3＝t 2＋2，故f (x )＝x 2＋2．故选C ．7．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点个数可能是( ) A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 答案 C解析 函数的图象与直线有可能没有交点．如果有交点，那么对于x ＝1，f (x )仅有一个函数值与之对应．故选C ．8．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s 1，s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t 为时间)，则下图与故事情节相吻合的是( )答案 B解析 兔子的速率大于乌龟，且到达终点的时间比乌龟长，观察图象可知，选B ． 9．下列从集合A 到集合B 的对应中是映射的是( ) A ．A ＝B ＝N *，对应关系f ：x →y ＝|x －3|B ．A ＝R ，B ＝{0，1}，对应关系f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≥0)，0(x <0)C ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应关系f ：x →y ＝1xD ．A ＝{0，1，2，9}，B ＝{0，1，4，9，16}，对应关系f ：a →b ＝(a －1)2答案 B解析 A 项中，对于集合A 中的元素3，在f 的作用下得0，但0∉B ，即集合A 中的元素3在集合B 中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B 项中，对于集合A 中任意一个非负数在集合B 中都有唯一元素1与之对应，对于集合A 中任意一个负数在集合B 中都有唯一元素0与之对应，所以这个对应是映射；C 项中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与之对应，故这个对应不是映射；D 项中，在f 的作用下，集合A 中的元素9应该对应64，而64∉B ，故这个对应不是映射．故选B ．10．若函数f (x )如下表所示：则f [f (1)]＝________． 答案 1解析 由表格可知，f (1)＝2，所以f [f (1)]＝f (2)＝1．11．已知函数g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝2x 2－x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．答案831解析 令1－2x ＝12，得x ＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×142－116＝123116＝831．12．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0解析 当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴y ＝x ＋1．当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1(a ≠0)， ∵图象过点(4，0)，∴0＝a (4－2)2－1，解得a ＝14．综上，函数f (x )在[－1，＋∞)上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 C解析 ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3； ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6． ∴f (－2)＋f (log 212)＝9．14．存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin2x )＝sin x B ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 答案 D解析 对于A ，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝1，这与函数的定义不符，故A 错误．在B 中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π2，与函数的定义不符，故B 错误．在C 中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 错误．在D 中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|，令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1，从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域[－1，＋∞)上是成立的，故选D ．15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0，1]C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 答案 C解析 解法一：①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4，2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1，2f (a )＝23a －1，故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a>1，f [f (a )]＝22a，2f (a )＝22a ，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥23．故选C ．解法二：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，而f [f (a )]＝2f (a )，∴f (a )≥1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2a≥1，解得23≤a <1或a ≥1，∴a ≥23，即a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，故选C ． 16．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________． 答案22解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )的周期为4， ∴f (15)＝f (－1)＝12，f 12＝cos π4＝22，∴f [f (15)]＝f 12＝22．17．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0，0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0．当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x ＞－14．18．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应关系如下：映射f 的对应关系映射g 的对应关系则f [g (1)]的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 根据映射g 的对应关系，可得g (1)＝4，再根据映射f 的对应关系，可得f (4)＝1，故选A ．19．下列函数为同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－2x 和y ＝t 2－2t B ．y ＝x 0和y ＝1C ．y ＝(x ＋1)2和y ＝x ＋1 D ．y ＝lg x 2和y ＝2lg x 答案 A解析 对于A ：y ＝x 2－2x 和y ＝t 2－2t 的定义域都是R ，对应关系也相同，∴是同一函数；对于B ：y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}，而y ＝1的定义域是R ，两函数的定义域不同，∴不是同一函数；对于C ：y ＝ (x ＋1)2＝|x ＋1|和y ＝x ＋1的定义域都是R ，但对应关系不相同，∴不是同一函数；对于D ：y ＝lg x 2的定义域是{x |x ≠0}，而y ＝2lg x 的定义域是{x |x >0}，两函数的定义域不同，∴不是同一函数．故选A ．20．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(x ≥2)，log 2x (0<x <2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A ．－2B ．8C ．1D ．2 答案 D解析 当m ≥2时，由m 2－1＝3，得m 2＝4，解得m ＝2；当0<m <2时，由log 2m ＝3，解得m ＝23＝8(舍去)．综上所述，m ＝2，故选D ．21． 某工厂八年来某种产品总产量y 与时间t (年)的函数关系如图，下列四种说法：①前三年中，产量的增长速度越来越快； ②前三年中，产量的增长速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变．其中说法正确的是( ) A ．②③ B ．②④ C ．①③ D ．①④ 答案 A解析 由函数图象可知，在区间[0，3]上，图象凸起上升，表明年产量增长速度越来越慢；在区间(3，8]上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，所以②③正确．故选A ．22．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1(λ∈R )，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a )成立，则λ的取值范围是( )A ．(0，2]B ．[0，2]C ．[2，＋∞) D．(－∞，2) 答案 C解析 当a ≥1时，2a ≥2，∴f [f (a )]＝f (2a )＝22a ＝2f (a )，∴λ∈R ；当a <1时，f [f (a )]＝f (λ－a )＝2λ－a，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1，由题意知λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2．综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．故选C ．23．已知函数f (x )＝ax －b (a >0)，f [f (x )]＝4x －3，则f (2)＝________． 答案 3解析 由题意，得f [f (x )]＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ＝4x －3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，－ab －b ＝－3，因为a >0，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以f (x )＝2x －1，则f (2)＝3．24．已知函数f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝________．答案 5解析 ∵f (x )＋f (－x )＝22x ＋1＋sin x ＋22－x ＋1－sin x ＝22x ＋1＋2x ＋11＋2x ＝2，且f (0)＝1，∴f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝5．25．已知f (1－cos x )＝sin 2x ，则f (x 2)的解析式为________． 答案 f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2，2]解析 f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ，令1－cos x ＝t ，t ∈[0，2]，则cos x ＝1－t ，所以f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0，2]，则f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2，2]．二、高考大题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1，0<x <c ，2－xc 2＋1，c ≤x <1，且f (c 2)＝98．(1)求常数c ； (2)解方程f (x )＝98．解 (1)∵0<c <1，∴c 2<c ， ∴f (c 2)＝c 3＋1＝98，即c ＝12．(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，0<x <12，2－4x ＋1，12≤x <1.由f (x )＝98得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，12x ＋1＝98或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <1，2－4x＋1＝98，解得x ＝14或x ＝34．2．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1． (1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的取值范围．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋1． 因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1．(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立， 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立．设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ， 其图象的对称轴为直线x ＝32，所以g (x )在[－1，1]上单调递减．故只需g (1)>0，即12－3×1＋1－m >0，解得m <－1． 故实数m 的取值范围是(－∞，－1)．3．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0，1)上有表达式f (x )＝x 2．(1)求f (－1)，f (1．5)；(2)写出f (x )在区间[－2，2]上的表达式．解 (1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1．5)＝f (1＋0．5)＝－12f (0．5)＝－12×14＝－18．(2)当x ∈[0，1)时，f (x )＝x 2； 当x ∈[1，2)时，x －1∈[0，1)，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2， f (2)＝－12f (1)＝14f (0)＝0；当x ∈[－1，0)时，x ＋1∈[0，1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1，0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝2，－12(x －1)2，x ∈[1，2)，x 2，x ∈[0，1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1).4．某公司研发出一款产品，批量生产前先在某城市销售30天进行市场调查．调查结果发现：日销量f (t )与天数t 的对应关系服从图①所示的函数关系：每件产品的销售利润h (t )与天数t 的对应关系服从图②所示的函数关系．图①由抛物线的一部分(A 为抛物线顶点)和线段AB 组成．(1)设该产品的日销售利润Q (t )(0≤t ≤30，t ∈N )，分别求出f (t )，h (t )，Q (t )的解析式；(2)若在30天的销售中，日销售利润至少有一天超过8500元，则可以投入批量生产，该产品是否可以投入批量生产，请说明理由．解 (1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－110t 2＋4t ，0≤t ≤20，－t ＋60，20<t ≤30，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧20t ，0≤t ≤10，200，10<t ≤30.由题可知，Q (t )＝f (t )h (t )， ∴当0≤t ≤10时，Q (t )＝－110t 2＋4t 20t ＝－2t 3＋80t 2；当10<t ≤20时，Q (t )＝－110t 2＋4t ×200＝－20t 2＋800t ；当20<t ≤30时，Q (t )＝(－t ＋60)×200＝－200t ＋12000．∴Q (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t 3＋80t 2，0≤t ≤10，－20t 2＋800t ，10<t ≤20，－200t ＋12000，20<t ≤30(t ∈N )．(2)该产品不可以投入批量生产，理由如下： 当0≤t ≤10时，Q (t )max ＝Q (10)＝6000， 当10<t ≤20时，Q (t )max ＝Q (20)＝8000， 当20<t ≤30时，Q (t )<Q (20)＝8000， ∴Q (t )的最大值为Q (20)＝8000<8500．∴在一个月的销售中，没有一天的日销售利润超过8500元，不可以投入批量生产．考点测试2 函数的定义域和值域高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读会求一些简单函数的定义域和值域一、基础小题1．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( )A ．(0，4)B ．(4，＋∞)C ．(0，4)∪(4，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 C解析 由条件可得log 2x －2≠0且x >0，解得x ∈(0，4)∪(4，＋∞)．故选C ． 2．函数y ＝x (3－x )＋x －1的定义域为( ) A ．[0，3] B ．[1，3] C ．[1，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (3－x )≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3．故选B ．3．函数f (x )＝－2x 2＋3x (0<x ≤2)的值域是( ) A ．－2，98 B ．－∞，98C ．0，98D ．98，＋∞答案 A解析 f (x )＝－2x －342＋98(x ∈(0，2])，所以f (x )的最小值是f (2)＝－2，f (x )的最大值是f 34＝98．故选A ．4．已知函数f (x )＝2＋log 3x ，x ∈181，9，则f (x )的最小值为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．0 答案 A解析 由函数f (x )在其定义域内是增函数可知，当x ＝181时，函数f (x )取得最小值f 181＝2＋log 3 181＝2－4＝－2，故选A ．5．已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f x2＋f (x －1)的定义域为( ) A ．(－2，0) B ．(－2，2) C ．(0，2) D ．－12，0答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f x2＋f (x－1)的定义域为(0，2)，故选C ．6．函数y ＝x ＋2－x 的值域为( ) A ．94，＋∞ B．94，＋∞ C ．－∞，94 D ．－∞，94答案 D解析 令t ＝2－x ≥0，则t 2＝2－x ，x ＝2－t 2，∴y ＝2－t 2＋t ＝－t －122＋94(t ≥0)，∴y ≤94，故选D ．7．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是( ) A ．{x |x ≠－1} B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2} 答案 C 解析 f [f (x )]＝1f (x )＋1＝11x ＋1＋1，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，11＋x＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2．故选C ．8．若函数y ＝f (x )的值域是[1，3]，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－8，－3] B ．[－5，－1] C ．[－2，0] D ．[1，3]答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为[－2，0]．故选C ．9．函数y ＝16－4x的值域是( )A ．[0，＋∞) B．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4) 答案 C解析 由已知得0≤16－4x<16，0≤ 16－4x<16＝4，即函数y ＝16－4x的值域是[0，4)．故选C ．10．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪(2，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 A解析 当x <1时，x －1<0，此时y ＝2x －1<0；当2≤x <5时，1≤x －1<4，此时14<1x －1≤1，12<2x －1≤2，即12<y ≤2，综上，函数的值域为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2．故选A ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，－2≤x ≤0，1x，0<x ≤3，则函数f (x )的值域是________．答案 －14，＋∞解析 当－2≤x ≤0时，x 2＋x ＝x ＋122－14，其值域为－14，2；当0<x ≤3时，1x 的值域为13，＋∞，故函数f (x )的值域是－14，＋∞． 12．函数f (x )＝x －1x ＋1的值域为________． 答案 [－1，1) 解析 由题意得f (x )＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1，∵x ≥0，∴0<2x ＋1≤2，∴－2≤－2x ＋1<0，∴－1≤1－2x ＋1<1，故所求函数的值域为[－1，1)．13．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案 D 解析 函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ．故选D ．14．函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 由题意可得log 2x －1≥0，即log 2x ≥1，∴x ≥2．∴函数的定义域为[2，＋∞)． 15．函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3，1]解析 若函数有意义，则需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f [f (－3)]＝0．又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3．17．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________． 答案 －32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1，0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1，0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32．18．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．答案 (1，2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0，1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2．19．函数f (x )＝12－x＋ln (x ＋1)的定义域为( )A ．(2，＋∞) B．(－1，2)∪(2，＋∞) C ．(－1，2) D ．(－1，2] 答案 C解析 函数的定义域应满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，1＋x >0，∴－1<x <2．故选C ．20．已知函数f (x )＝x ＋2x－a (a >0)的最小值为2，则实数 a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 B解析 由2x－a ≥0得x ≥log 2a ，故函数的定义域为[log 2a ，＋∞)，易知函数f (x )在[log 2a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (log 2a )＝log 2a ＝2，解得a ＝4．故选B ．21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ≤1)，ln x (x >1)，那么函数f (x )的值域为( )A ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，＋∞) C ．[－1，0) D ．R 答案 B解析 函数y ＝x －2(x ≤1)的值域为(－∞，－1]，函数y ＝ln x (x >1)的值域为(0，＋∞)，故函数f (x )的值域为(－∞，－1]∪(0，＋∞)．故选B ．22．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个 答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是[0，1]，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴[a ，b ]⊆[－2，2]．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(－1，2)，(0，2)共5个．故选C ．23．函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1，2]，则函数的值域为________．答案 [0，8]解析 当x ＝0时，y min ＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝32－1＝8，故值域为[0，8]． 24．若函数f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，则函数f (log 12x )的定义域为________．答案 14，1解析 ∵f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，∴f (x )的定义域是[0，2]，则f (log 12x )的定义域为0≤log 12x ≤2，∴14≤x ≤1．二、高考大题1．已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )． 解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0， 当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2，2a ]． (2)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2． ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2，34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.2．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域． 解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为[1，9]，要使[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1，3]． 又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3． ∵x ∈[1，3]，∴log 3x ∈[0，1]，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6． ∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为[6，13]．3．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0，1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0，1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0，1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1．∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数， 又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取得最大值1． 4．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3．(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3＝x ＋322－214，又x ∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f －32＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，所以所求函数的值域为－214，15．(2)对称轴为x ＝－2a －12．①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12≥3，即a ≤－52时，f (x )max ＝f (1)＝2a －3，所以2a －3＝1，即a ＝2，不满足题意； ③当1<－2a －12<3，即－52<a <－12时，此时，f (x )max 在端点处取得，令f (1)＝1＋2a －1－3＝1，得a ＝2(舍去)， 令f (3)＝9＋3(2a －1)－3＝1，得a ＝－13(舍去)．综上，可知a ＝－13．考点测试3 函数的单调性高考预览：本考点是高考的常考知识点，常与函数的奇偶性、周期性相结合综合考查。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
高考纠错笔记3 导数及其应用 (解析版)
专题03 导数及其应用易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系A ，B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图所示，则一定有A ．两机关单位节能效果一样好B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好C ．A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C.因为在(0，t 0)上，()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭，所以在(0，t 0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比B 机关单位大．【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在0[0]t ,上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好．故选B. 【参考答案】B1．平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，2()y f x ∆=-1()f x ，则平均变化率可表示为y x∆∆. 2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近的常数.1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？【答案】见解析.【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝10015005-=-，山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝1510170504-=-，∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多．易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P (2,8)作曲线3y x =的切线，则切线方程为A ．12160x y --=B ．320x y -+=C ．12160x y -+=或320x y --=D ．12160x y --=或320x y -+=【错解】设()3f x x =，由定义得f ′(2)=12，∴所求切线方程为()8122y x -=-，即12160x y --=.【错因分析】曲线过点P 的切线与在点P 处的切线不同．求曲线过点P 的切线时，应注意检验点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，应分P 为切点和P 不是切点讨论．【试题解析】①易知P 点在曲线3y x =上，当P 点为切点时，由上面解法知切线方程为12160x y --=.②当P 点不是切点时，设切点为A (x 0，y 0)，由定义可求得切线的斜率为203k x =.∵A 在曲线上，∴300y x=，∴32000832x x x -=-，∴3200340x x -+=， ∴()()200120x x +-=，解得01x =-或x 0=2(舍去)，∴01y =-，k =3，此时切线方程为y +1=3(x +1)，即320x y -+=.故经过点P 的曲线的切线有两条，方程为12160x y --=或320x y -+=. 【参考答案】D1．导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k . 2．曲线的切线的求法若已知曲线过点00(),P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解： （1）当点00(),P x y 是切点时，切线方程为()000()y y f x x x '-=-； （2）当点00(),P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过()11()P x f x '，的切线方程为()()()111 y f x f x x x -='-； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程()()()111 y f x f x x x -='-，可得过点00(),P x y 的切线方程．2．已知函数0()(2018ln ),()2019f x x x f 'x =+=，则0x = A ．2e B ．1C ．ln 2018D ．e【答案】B 【解析】()(2018ln ),f x x x =+()2018ln 12019ln f 'x x x ∴=++=+，又因为0()2019f 'x =， 所以02019ln 2019x +=， 解得01x =，故选B.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.在求曲线()y f x =的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线()f x 上）的切线方程，前者的切线方程为()()()000y f x f x x x -='-，其中切点()()00,x f x ，后者一般先设出切点坐标，再求解.易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数：（1）22()2f x a ax x =+-； （2）sin ()ln x xf x x=.。
高考数学导数及应用知识点
高考数学导数及应用知识点导数是高中数学中重要的概念之一，也是高考数学必考的知识点。
掌握导数的概念和应用是理解数学中许多问题的关键。
本文将以“step by step thinking”为主线，逐步讲解导数的基本概念、性质以及常见的应用。
一、导数的概念导数可以理解为函数在某一点上的变化率。
对于给定的函数f(x)，在某一点x上的导数表示为f’(x)，它的定义如下：f’(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。
导数的定义可以理解为当自变量x的增量h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化量与自变量增量的比值。
二、导数的性质 1. 常数函数的导数为0：对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，其导数为f’(x) = 0。
因为常数函数在任意一点的函数值都相同，所以其变化率为0。
2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，其导数为f’(x) = n *x^(n-1)。
幂函数的导数是指数函数。
3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = ln(a) * a^x。
指数函数的导数是指数函数本身与常数ln(a)的乘积。
4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = 1 / (x * ln(a))。
对数函数的导数是关于自变量的倒数。
5. 三角函数的导数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。
它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)和sec^2(x)。
三、导数的应用导数在数学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.切线和法线：导数可以用来求曲线上一点处的切线和法线。
切线是曲线在该点处的斜率，即导数；法线则是与切线垂直的直线，其斜率为导数的负倒数。
导数及其应用考点梳理讲解总结,导数及其应用的高考题型解析及答案
考点43导数及几何意义、导数的运算【命题解读】导数及几何意义、导数的运算是高考中经常出现的知识点，在高考中常以选择或者填空的形式出现，整体难度以中档为主，偶尔在解答题中出现导数的几何意义，求解切线，重点还是考查计算能力。
【命题预测】预计2021年的高考导数的几何意义还是必考知识点，复习中要注重知识点的相互联系，在导数的运算方面要加强计算能力。
【复习建议】1.掌握导数的概念及几何意义；2.会计算函数的导数以及运用导数求切线方程。
考向一导数的概念及几何意义1.导数的概念(1)在点x0处的导数lim Δx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记为f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx(2) 区间(a,b)上的导数当x∈(a,b)时,f'(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx叫作函数在区间(a,b)内的导数2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x=x0处的导数f'(x0)就是函数图像在该点处切线的斜率.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).1.【2020全国高三课时练习（理）】函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.2. 【2020山东高三其他】已知函数()ln ln xxf x e x e a x =-+的图象在点()()1,1T f 处的切线经过坐标原点，则a=（ ） A ．e - B ．eC ．1e e ---D ．1e -【答案】A 【解析】()ln ln x x f x e x e a x =-+，()1f e ∴=-，切点为()1,T e -，()ln x xx e af x e x e x x'=+-+，()1f a '=，所以，函数()y f x =的图象在点T 处的切线方程为()1y e a x +=-，由于该直线过原点， 则a e -=，解得a e =-，故选A.考向二 导数的运算1.常用导数公式 （1） C'=0(C 为常数) （2）(x n )'= nx n -1 (n ∈Z)（3） (sin x )'= cos x (cos x )'= -sin x （4）(a x )'= a x ln a (a>0,且a ≠1) （5） (log a x )'= 1xlna (a>0,且a ≠1)（6） (e x )'=e x（7） (ln x )'=1x ,(ln |x|)'=1x 2.导数的运算法则[f (x )±g (x )]'= f'(x )±g'(x ) [f (x )·g (x )]'= f'(x )·g (x )+f (x )·g'(x )[f (x )g (x )]'=f '(x )g (x )-g '(x )f (x )[g (x )]2复合函数y=f [g (x )]的导数与函数y=f (u ),u=g (x )的导数之间具有关系y'x = y'u ·u'x 这个关系用语言表达就是“y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积”1. 【2020全国高三课时练习（理）】已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()ln f x xf e x '=+，则()f e '等于（）A ．1B ．1e-C ．1-D ．e -【答案】B【解析】()()1'2'f x f e x =+，所以()()1'2'f e f e e =+，得()1'f e e=-，故选B. 2. 【2020河南高三其他（理）】已知函数()2e (0)sin x f x f x '=-，则(0)f '=______. 【答案】1【解析】由()2e (0)sin x f x f x '=-，得()2e (0)cos x f x f x ''=-，则(0)2(0)f f ''=-，解得(0)1f '=. 故答案为：1.题组一（真题在线）1. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+2. 【2020年高考全国III 卷理数】若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为 A ．y =2x +1 B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +123. 【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________．4. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-5. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为___________．6. 【2020年高考北京】已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅰ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．题组二1. 【2020陕西西安高三二模（理）】已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-2. 【2020全国高三课时练习（理）】若曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则a b +=（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．13. 【2020邢台市第二中学高二期末】已知函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y +-=，则(1)(1)f f '+=（ ）A ．32B ．1C ．12D ．04. 【2020陕西西安高三三模】函数()cos xf x e x =的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 5. 【2020山东师范大学附中高二月考】已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e 等于（ ）A ．e -B ．1-C ．1e-D ．16. 【2020全国高三课时练习（理）】函数()sin x f x e x =⋅在点(0，f (0))处的切线方程是___________.7. 【2020福建高三其他（理）】设曲线1x y e x -=+在1x =处的切线与直线2y ax =+平行，则实数a 的值为_______.8. 【2020山东莱阳一中高三月考】已知()2123f x x xf ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，则1()3f '-=_____．9. 【2020河南开封高三二模（理）】已知函数()()2ln f x x x =-．则函数()f x 在1x =处的切线方程为___________．10. 【2019山东聊城】如图，()y f x =是可导函数,直线l 是曲线()y f x =在2x =处的切线，令()()f x g x x=，则)'(2g =___________.题组一1.B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B ． 2.D【解析】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +==， 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D ． 3. ①②③ 【解析】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③ 4. D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．5. 30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 6. 见解析【解析】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅰ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t +=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==. 题组二1.D【解析】ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 2.D【解析】由曲线()cos f x a x =，得()sin f x a x =-'，则(0)sin 00f a '=-=， 由曲线2()1g x x bx =++，得()2g x x b =+'，则(0)g b '=，因为曲线()cos f x a x =与曲线2()1g x x bx =++在交点(0,)m 出有公切线， 所以(0)(0)f g ''=，解得0b =， 又由(0)1g =，即交点为(0,1)，将(0,1)代入曲线()cos f x a x =，得cos 01a a ==，所以1a b +=，故选D ． 3.D【解析】切点(1,(1))f 在切线220x y +-=上，∴12(1)20f +-=，得1(1)2f =， 又切线斜率1(1)2k f '==-，∴(1)(1)0f f '+=. 故选：D 4.B【解析】()cos sin xx e x x e x f =-'，则()01k f '==，则倾斜角为4π． 故选：B ． 5.B 【解析】()()2ln f x xf e x '=+,∴1()2()f x f e x''=+, 令x e =，则(e)2(1ee)f f ''=+， 解得1()f e e'=-，2()ln f x x x e ∴=-+，2()ln 1f e e e e∴=-⨯+=-，故选：B 6. y x =【解析】∵()sin x f x e x =⋅， ∴'()(sin cos )x f x e x x =+, f (0)＝0, ∴'(0)1f =∴函数f (x )的图像在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x . 故答案为：y x = 7. C【解析】 2(2i)34i z =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C ． 8. 2【解析】因为1x y e x -=+ 所以11x y e -'=+ 所以111|12x y e-='=+=又因为曲线1x y e x -=+在1x =处的切线与直线2y ax =+平行， 所以2a = 故答案为：2 9. 10x y +-= 【解析】()()2ln f x x x =-2()x f x lnx x-'∴=+， ()11f '∴=-，()10f =故切线方程为：(1)y x =--，即10x y +-=． 故答案为：10x y +-=．10. 12-【解析】由图像可知，(2)3f =，切线过(2,3)、(0,2)，'321(2)==202f k -=-切 ()()f xg x x =，求导'''22()()1()()()f x x f x f x x f x g x x x ⋅-⋅⋅-== 2'(2)2(2)1(2)22f fg ⋅-∴==- 故答案为：12-考点44导数与函数的单调性【命题解读】利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，在高考中经常出现的是含参数的函数的导数求解问题，难度以中高难度为主，主要出现在解答题中，命题形式灵活多变，主要考查分析能力和解答计算能力，对数学思维要求高。
高三导数的综合应用知识点
高三导数的综合应用知识点导数作为微积分的重要概念，具有广泛的应用价值。
在高三阶段，导数的综合应用是学习微积分的关键内容之一。
本文将介绍高三导数的几个重要应用知识点，并分析它们在实际问题中的具体应用。
知识点一：函数的极值点与最值在函数的导数概念中，导数为0的点被称为极值点。
通过求解导数为零的方程，我们可以找到函数的极值点。
对于一个一元函数而言，当导数由正变负时，函数达到极大值；当导数由负变正时，函数达到极小值。
这种知识点在优化问题中非常常见，例如在生产中求解最大利润、最小成本等问题时，可以通过导数来确定关键点。
知识点二：函数的导数与变化率函数的导数还可以表示函数在某一点的变化率。
例如，对于位移函数，其导数表示着时间上的速度变化率。
当导数大于零时，表示速度增加；当导数小于零时，表示速度减小。
这一知识点在物理学中的应用较多，例如运动学中的加速度、速度与位移之间的关系。
知识点三：函数的导数与曲线的凸凹性函数的二阶导数可以描述函数曲线的凸凹性。
当二阶导数大于零时，表示函数曲线为凸函数；当二阶导数小于零时，表示函数曲线为凹函数。
凸凹性对于确定函数的极值点具有重要的指导意义。
这一知识点在经济学、生物学等领域的曲线分析中经常被应用。
知识点四：函数的导数与图像的切线与法线函数导数的另一个重要应用是描述函数图像上某一点的切线与法线。
切线的斜率即为函数在该点处的导数值，而法线的斜率为切线的相反数。
通过求解导数值，我们可以确定函数图像上任意一点的切线和法线方程。
这一知识点在几何学中经常被应用，例如求解曲线的切线和法线方程。
知识点五：函数的导数与函数图像的几何性质函数的导数还可以反映函数图像的一些几何性质。
例如，当函数的导数恒大于零时，表示函数图像单调递增；当导数恒小于零时，表示函数图像单调递减。
这一知识点在函数图像的性质分析中非常有用，例如考察函数在特定区间上的单调性、拐点等。
通过以上几个知识点的介绍，我们可以看到高三导数的综合应用是非常广泛的。
高考数学复习笔记第三章 函数、导数及其应用
第三章⎪⎪⎪函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数与映射的概念2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]1．(2018·台州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝x 2B ．f (x )＝(x )2x ，g (x )＝x(x )2C ．f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0D ．f (x )＝x 2－9x ＋3，g (x )＝x －3解析：选B 选项A 中，f (x )＝x 2与g (x )＝x 2的定义域相同，但对应关系不同；选项B 中，二者的定义域都为{x |x ＞0}，对应关系也相同；选项C 中，f (x )＝1的定义域为R ，g (x )＝(x －1)0的定义域为{x |x ≠1}；选项D 中，f (x )＝x 2－9x ＋3的定义域为{x |x ≠－3}，g (x )＝x －3的定义域为R .2．若函数y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤8，x ≠5}，值域为{y |－1≤y ≤2，y ≠0}，则y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选B 根据函数的概念，任意一个x 只能有唯一的y 值和它对应，故排除C 项；由定义域为{x |－3≤x ≤8，x ≠5}排除A 、D 两项，故选B.3．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x ＞1，则f (f (2))＝________. 解析：由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1， 所以f (f (2))＝1. 答案：15．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则f (2)＝________. 解析：∵函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝－a ＋2，∴a ＝－2，即f (x )＝－2x 3－2x ，∴f (2)＝－2×23－2×2＝－20. 答案：－201．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1．(2018·嘉兴模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，x 2＋x ，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________，方程f (x )＝2的解为________．解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫log 212＝f (－1)＝0. 当x ＞0时，log 2x ＝2，得x ＝4；当x ≤0时，x 2＋x ＝2，得x ＝－2或x ＝1(舍去)． 所以f (x )＝2的解为－2或4. 答案：0 －2或42．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________. 解析：令t ＝1x ，∴x ＝1t .∴f (t )＝1t 2＋5t.∴f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x 2(x ≠0)考点一 函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( )A ．(－2,0)∪(1,2)B ．(－2,0]∪(1,2)C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2] 解析：选C要使函数有意义，则⎩⎨⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2＞0，解得x ∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]3．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为________． 解析：若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2， 即实数a 的取值范围为[－2,2]． 答案：[－2,2][谨记通法]函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 考点二 求函数的解析式(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )； (4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式． 解：(1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.(2)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x ＞0，所以t ＞1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1，x ＞1.(3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R .(4)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x ，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得，3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.所以f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3.[由题悟法]求函数解析式的4种方法[即时应用]1．已知函数f (x －1)＝xx ＋1，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x ＋1x ＋2B ．f (x )＝x x ＋1 C ．f (x )＝x －1xD ．f (x )＝1x ＋2解析：选A 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝t ＋1t ＋2，即f (x )＝x ＋1x ＋2.2．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )＝________. 解析：设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .答案：3x 2－2x3．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x .②联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x (x ≠0)． 答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小． 常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数与方程、不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的函数求值问题1．(2018·浙江五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，x ≥0，3x ，x ＜0，则f (－2)＋f (4)＝( )A.109 B.19 C ．87D.7309解析：选B 由题意可得，f (－2)＋f (4)＝3－2＋4－4＝19.角度二：分段函数与方程、不等式问题2．(2018·浙江考前冲刺卷)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ＜1，3x －7，x ≥1，则不等式f (x )＜2的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－2,3)C ．(2,3)D ．(－3，－2)解析：选A 当x ＜1时，f (x )＜2可化为log 2(1－x )＜2，即0＜1－x ＜4，解得－3＜x ＜1；当x ≥1时，f (x )＜2可化为3x －7＜2，即3x ＜9，得1≤x ＜2.综上，不等式f (x )＜2的解集为(－3,2)．3．(2019·嘉兴高三基础测试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝________，若f (f (a ))＝1，则实数a 的值为________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫23＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝f (1)＝2.对f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3f (a )－1，f (a )＜1，2f (a )，f (a )≥1，当a ＜23时，f (a )＝3a －1＜1；当23≤a ＜1时，f (a )＝3a －1≥1；当a ≥1时，f (a )＝2a ≥2＞1，∴f (f (a ))＝⎩⎨⎧3(3a －1)－1，a ＜23，23a －1，23≤a ＜1，22a，a ≥1，由f (f (a ))＝1，得3(3a －1)－1＝1，∴a ＝59＜23，符合题意；23a －1＝1，a ＝13＜23，舍去；22a ＝1不成立，舍去．故所求实数a 的值为59.答案：259[通法在握]1．分段函数的求值问题的解题思路求分段函数的函数值先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＋2x －2，x ≥0，f (x ＋3)，x ＜0，则f (－2 019)＝________.解析：因为当x ＜0时，f (x )＝f (x ＋3)，所以f (－2 019)＝f (－3×673)＝f (0)＝10＋1＋20－2＝0.答案：02．(2018·浙江十校联盟适考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a的值为________．解析：当a ＞0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3.答案：－33．(2018·杭州七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (|a |)，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，－(x －1)2＋1，x ＜0，作出函数f (x )的大致图象如图所示，由图象可知，函数f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)＞f (|a |)，得2－a 2＞|a |.当a ≥0时，有2－a 2＞a ，即(a ＋2)(a －1)＜0，解得－2＜a ＜1，所以0≤a ＜1；当a ＜0时，有2－a 2＞－a ，即(a －2)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜2，所以－1＜a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是(－1,1)．答案：(－1,1)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2019·杭州调研)函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(2，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是(2,3)∪(3，＋∞)．2．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B ．74C ．43D ．－43解析：选B 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74. 3．(2018·萧山质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C ∵f (1)＝12＋2＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4. 4．已知f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫3x －1＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫－710＝________. 解析：令3x －1＝－710，得x ＝10，∴f ⎝⎛⎭⎫－710＝lg 10＝1. 答案：15．(2018·绍兴模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________，方程f (f (x ))＝1的解集为____________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＜0， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12. ∵x ＜0时，0＜e x ＜1，x ＝0时，e x ＝1， ∴当f (x )≤0时，由方程f (f (x ))＝1，可得f (x )＝0， 即ln x ＝0，解得x ＝1.当f (x )＞0时，由方程f (f (x ))＝1， 可得ln f (x )＝1，f (x )＝e ， 即ln x ＝e ，解得x ＝e e . 答案：12{1，e e }二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2，故选B.2．(2019·台州模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.3．(2018·金华模拟)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]解析：选C要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x ＞2且x ≠3，∴3＜x ≤4或2＜x ＜3， 即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．4．(2018·金华联考)若函数f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 018]B ．[0,1)∪(1,2 018]C ．(1,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B 由题知，1≤x ＋1≤2 019，解得0≤x ≤2 018，又x ≠1，所以函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是[0,1)∪(1，2 018]．5．(2019·义乌质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a ＞0，且a ≥－1，解得－1≤a ＜12，故选C. 6．(2018·湖州月考)定义在R 上的函数g (x )满足：g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2e x －9，则g (x )＝________.解析：∵g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2e x －9， ①∴g (－x )＋2g (x )＝e －x ＋2e －x－9，即g (－x )＋2g (x )＝2e x ＋1e x －9，②由①②联立解得g (x )＝e x －3. 答案：e x －37．(2018·嘉兴高三测试)已知a 为实数，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x ＜2，log 2(x －2)，x ≥2，则f (2a ＋2)的值为________．解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x ＜2，log 2(x －2)，x ≥2，而2a ＋2＞2，∴f (2a ＋2)＝log 2(2a ＋2－2)＝a .答案：a8．(2018·稽阳联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x －a ，x ＞0，若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝12，则a ＝________；若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x －a ，x ＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋1＝12， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋412－a ＝12＋8－a ＝12，得a ＝8. 由y ＝x ＋1，x ≤0，得y ≤1； 由y ＝x ＋4x －a ，x ＞0，得y ≥4－a ， ∵f (x )的值域为R ，∴4－a ≤1，解得a ≥3. 答案：8 [3，＋∞)9．记[x ]为不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2[x ]－1，x ≥1，x 2＋1，x ＜1，则f (f (－1.2))＝________，f (x )≤3的解集为________． 解析：根据[x ]的定义，得f (f (－1.2))＝f (2.44)＝2[2.44]－1＝3. 当x ≥1时，由f (x )＝2[x ]－1≤3， 得[x ]≤2，所以x ∈[1,3)； 当x ＜1时，由f (x )＝x 2＋1≤3，得－2≤x ＜1.故原不等式的解集为[－2，3)． 答案：3 [－2，3)10．如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为B (1,4)在反比例函数y ＝mx 上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 上的点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以y ＝4x，y ＝2x ＋2.(2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)，所以△AOC 的面积为：S ＝12×2×2＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－34解析：选B 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x ＜0，－ln x ，x ＞0，若f (m )＞f (－m )，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x ＜0，－ln x ，x ＞0，当m ＞0时，f (m )＞f (－m )，即－ln m ＞ln m ，即lnm ＜0，解得0＜m ＜1；当m ＜0时，f (m )＞f (－m )，即ln(－m )＞－ln(－m )， 即ln(－m )＞0，解得m ＜－1. 综上可得，m ＜－1或0＜m ＜1. 答案：(－∞，－1)∪(0,1)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，∴y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值[小题体验]1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，∴y ＝log 12(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，∴y ＝2x ＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．(2019·绍兴调研)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 解析：由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：33．(2018·丽水模拟)已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x ＞1，－x 2－2x ＋3，x ≤1，则f (f (3))＝________，f (x )的单调递减区间是________．解析：∵f (3)＝log 133＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－1＋2＋3＝4.当x ≤1时，f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 对称轴x ＝－1，f (x )在[－1,1]上单调递减，且f (1)＝0， 当x ＞1时，f (x )单调递减，且f (x )＜f (1)＝0， ∴f (x )在[－1，＋∞)上单调递减． 答案：4 [－1，＋∞)1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x .3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [小题纠偏]1．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7] 2．函数f (x )＝2x －1在[－6，－2]上的最大值是________，最小值是________． 解析：因为f (x )＝2x －1在[－6，－2]上是减函数，所以当x ＝－6时，f (x )取得最大值－27.当x ＝－2时，f (x )取得最小值－23.答案：－27 －23考点一 函数单调性的判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 2．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解：法一：(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0，故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二：(导数法)f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a ＞0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a ＜0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1,1)上递增． 3．判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．解：法一：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1＞－1，x 2＞－1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0， 又x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，即y 1－y 2＞0. ∴y 1＞y 2，∴函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减．法二：y ＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1.∵y ＝x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数， ∴y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数，∴y ＝1＋1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．即函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减．[谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤 (1)定义法，其基本步骤： 取值作差(商)变形确定符号(与1的大小)得出结论(2)导数法，其基本步骤： 求导函数确定符号得出结论考点二 求函数的单调区间(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]1．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12 B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选D 令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为g (t )＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递减区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤12，1，即原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤12，1. 2．(2018·温州十校联考)函数f (x )＝lg(9－x 2)的定义域为________；其单调递增区间为________．解析：对于函数f (x )＝lg(9－x 2)，令t ＝9－x 2＞0，解得－3＜x ＜3，可得函数的定义域为(－3,3)．令g (x )＝9－x 2，则函数f (x )＝lg(g (x ))，又函数g (x )在定义域内的增区间为(－3,0]． 所以函数f (x )＝lg(9－x 2)在定义域内的单调递增区间为(－3,0]． 答案：(－3,3) (－3,0]考点三 函数单调性的应用(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值1．(2018·台州三区适应性考试)已知函数f (x )＝2x ＋ax 3＋b sin x (a ＞0，b ＞0)，若x ∈[0,1]时，f (x )的最大值为3，则x ∈[－1,0)时，f (x )的最小值是________．解析：因为函数f (x )＝2x ＋ax 3＋b sin x 在区间[－1,1]上为单调递增函数．所以当x ∈[0,1]时，f (x )的最大值为f (1)＝2＋a ·13＋b sin 1＝3，a ＋b sin 1＝1，当x ∈[－1,0)时，f (x )的最小值为f (－1)＝2－1＋a ·(－1)3＋b sin(－1)＝12－(a ＋b sin 1)＝－12.答案：－12角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：选D 因f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52. 由x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∵1＜2＜52＜e ，∴f (2)＞f ⎝⎛⎭⎫52＞f (e)，∴b ＞a ＞c . 角度三：解函数不等式3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |＜1，x ≠0.∴－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫18，13 B.⎣⎡⎦⎤0，13 C.⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤－∞，13 解析：选A 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，(3a －1)×1＋4a ≥－a ，a ＞0，解得⎩⎨⎧a ＜13，a ≥18，a ＞0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13，故选A.[通法在握]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)求函数最值(2)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[演练冲关]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：选D 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：选D ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.3．(2017·浙江名校高考联盟联考)若函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________，实数b 的取值范围是________．解析：当a ＞0时，函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(－∞，－b ]上是减函数，在(－b ，＋∞)上是增函数，不满足函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数；当a ＝0时，f (x )＝－1，不满足函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数；当a ＜0时，函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(－∞，－b ]上是增函数，在(－b ，＋∞)上是减函数，因为函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数，所以a ＜0且－b ≤1，即a ＜0且b ≥－1.答案：(－∞，0) [－1，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·珠海摸底)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2 xD ．y ＝－1x解析：选B 由题知，只有y ＝2－x 与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数． 2．(2018·绍兴模拟)已知函数f (x )的图象关于(1,0)对称，当x ＞1时，f (x )＝log a (x －1)，且f (3)＝－1，若x 1＋x 2＜2，(x 1－1)(x 2－1)＜0，则( )A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0C ．f (x 1)＋f (x 2)可能为0D ．f (x 1)＋f (x 2)可正可负解析：选B ∵当x ＞1时，f (x )＝log a (x －1)， f (3)＝log a 2＝－1，∴a ＝12，故函数f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 若x 1＋x 2＜2，(x 1－1)(x 2－1)＜0， 不妨令x 1＜1，x 2＞1，则x 2＜2－x 1， f (x 2)＞f (2－x 1)，又∵函数f (x )的图象关于(1,0)对称， ∴f (x 1)＝－f (2－x 1)，此时f (x 1)＋f (x 2)＝－f (2－x 1)＋f (x 2)＞0，故选B.3．已知函数f (x )＝log 4(4－|x |)，则f (x )的单调递增区间是________；f (0)＋4f (2)＝________. 解析：令y ＝log 4u ，其中u ＝4－|x |，且u ＝4－|x |＞0，由于函数y ＝log 4u 是单调递增函数，故要求f (x )的单调递增区间，只需求u ＝4－|x |的单调递增区间，得⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |＞0，x ≤0，解得－4＜x ≤0，所以f (x )的单调递增区间是(－4,0]；易得f (0)＋4f (2)＝log 44＋4log 42＝1＋2＝3.答案：(－4,0] 34．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.答案：145．(2018·杭州十二校联考)设min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x ＜y ，若定义域为R 的函数f (x )，g (x )满足f (x )＋g (x )＝2xx 2＋8，则min{f (x )，g (x )}的最大值为____________．解析：设min{f (x )，g (x )}＝m ，∴⎩⎨⎧m ≤f (x )，m ≤g (x )⇒2m ≤f (x )＋g (x )⇒m ≤xx 2＋8，显然当m 取到最大值时，x ＞0，∴x x 2＋8＝1x ＋8x ≤12x ·8x ＝28，∴m ≤28，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝g (x )，x ＝8x ，x ＞0时等号成立，即m 的最大值是28. 答案：28二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．2．(2018·浙江名校协作体联考)函数y ＝x ＋x 2－2x ＋3的值域为( ) A ．[1＋2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(1，＋∞) 解析：选D 因为函数y ＝x ＋x 2－2x ＋3＝x ＋(x －1)2＋2，所以当x ≥1时，函数为增函数，所以y ≥2＋1；当x ＜1时，设x －1＝t ，则t ＜0，函数y ＝t ＋t 2＋2＋1＝2t 2＋2－t＋1，所以函数在(－∞，0)上为增函数，当t →0时，y →2＋1，当t →－∞时，y →1，所以1＜y ＜2＋1.综上所述，函数y ＝x ＋x 2－2x ＋3的值域为(1，＋∞)．3．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x ＞1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a ＞0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，则二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，0＜a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.5．(2018·湖州模拟)若f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，则下列不等式正确的是( ) A ．f (sin x )＞f (cos x ) B ．f ⎝⎛⎭⎫x 2＋12＞f (x ) C ．f ⎝⎛⎭⎫13x ＋1≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋1D ．f ⎝⎛⎭⎫13x ＋3－x ≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋2－x解析：选D A ．x ∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，sin x ＞cos x ， ∵f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴f (sin x )＜f (cos x )，∴该选项错误； B ．x ∈(－1,1)，∴x 2＋12－x ＝12(x －1)2＞0，∴x 2＋12＞x ，且f (x )在(－1,1)上单调递减， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＜f (x )，∴该选项错误； C.13x ＋1－12x ＋1＝2x－3x(3x ＋1)(2x ＋1)＝3x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x －1(3x ＋1)(2x ＋1)， ∵x ∈(－1,1)，∴x ∈(－1,0)时，⎝⎛⎭⎫23x＞1，∴13x ＋1＞12x ＋1，且f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，∴该选项错误； D.13x ＋3－x －12x ＋2－x ＝3x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x －1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫16x (3x ＋3－x )(2x ＋2－x )， ∴①x ∈(－1,0]时，⎝⎛⎭⎫23x －1≥0,1－⎝⎛⎭⎫16x ≤0，∴13x ＋3－x ≤12x ＋2－x. ②x ∈(0,1)时，⎝⎛⎭⎫23x －1＜0,1－⎝⎛⎭⎫16x ＞0， ∴13x ＋3－x ＜12x ＋2－x， ∴综上得，13x ＋3－x ≤12x ＋2－x ，∵f (x )为(－1,1)上的减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋3－x ≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2－x ，∴该选项正确． 6．(2019·金华四校联考)若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x ＜2.又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎨⎧－a2≤2，a2≤0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]． 答案：[－4,0]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化． 而f (x )的值域是(－1，＋∞)， f (g (x ))的值域是[0，＋∞)， 因为g (x )是二次函数， 所以g (x )的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)8．若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m ＞0，即m ＜14.若a ＞1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m ＜14矛盾；当0＜a＜1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14. 答案：149．(2018·杭州五校联考)函数y ＝f (x )的定义域为R ，若存在常数M ＞0，使得|f (x )|≥M |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“圆锥托底型”函数．(1)判断函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． (2)若f (x )＝x 2＋1是“圆锥托底型”函数，求出M 的最大值．解：(1)函数f (x )＝2x .∵|2x |＝2|x |≥2|x |，即对于一切实数x 使得|f (x )|≥2|x |成立， ∴函数f (x )＝2x 是“圆锥托底型”函数． 对于g (x )＝x 3，如果存在M ＞0满足|x 3|≥M |x |， 而当x ＝M2时，由⎪⎪⎪⎪ M 23≥M ⎪⎪⎪⎪M 2， ∴M2≥M ，得M ≤0，矛盾，∴g (x )＝x 3不是“圆锥托底型”函数．(2)∵f (x )＝x 2＋1是“圆锥托底型”函数，故存在M ＞0，使得|f (x )|＝|x 2＋1|≥M |x |对于任意实数恒成立．∴x ≠0时，M ≤⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |，此时当x ＝±1时，|x |＋1|x |取得最小值2， ∴M ≤2.而当x ＝0时，也成立． ∴M 的最大值等于2. 10．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫a －1x 2－⎝⎛⎭⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1＜x 2， h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2.因为1＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，所以2－1x 1x 2＞0，所以h (x 1)＜h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知减函数f (x )的定义域是实数集R ，m ，n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立，那么下列不等式成立的是( )A ．m －n ＜0B ．m －n ＞0C ．m ＋n ＜0D ．m ＋n ＞0解析：选A 设F (x )＝f (x )－f (－x )， 由于f (x )是R 上的减函数，∴f (－x )是R 上的增函数，－f (－x )是R 上的减函数， ∴F (x )是R 上的减函数， ∴当m ＜n 时，有F (m )＞F (n )， 即f (m )－f (－m )＞f (n )－f (－n )成立．因此，当f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立时，不等式m －n ＜0一定成立，故选A. 2．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0，试确定a 的取值范围． 解：(1)由x ＋ax －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)； 当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}； 当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2＞0恒成立，所以g (x )＝x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0， 即x ＋ax －2＞1对任意x ∈[2，＋∞)恒成立．所以a ＞3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a ＞2.即a 的取值范围为(2，＋∞)．第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题体验]1．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x 2－1x ，则f (1)的值是( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A 因为函数f (x )为奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×(－1)2－1(－1)＝－3，故选A.2．(2018·台州月考)偶函数y ＝f (x )在区间[0,4]上单调递减，则有( ) A ．f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (－π) B ．f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (－1)＞f (－π) C ．f (－π)＞f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．f (－1)＞f (－π)＞f ⎝⎛⎭⎫π3解析：选A 由题意得，0＜1＜π3＜π＜4⇒f (－1)＝f (1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (π)＝f (－π)，故选A. 3．(2018·金华模拟)已知函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3，则f (6)＝____________，f (f (0))＝________________.解析：∵当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3， ∴f (6)＝log 2(6＋2)－3＝3－3＝0， f (0)＝1－3＝－2，∵函数y ＝f (x )为R 上的偶函数， ∴f (f (0))＝f (－2)＝f (2)＝2－3＝－1. 答案：0 －11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．(2018·宁波模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，a ，x ＝0，g (2x )，x ＜0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由题意a ＝f (0)＝0，g (2x )＝f (x )， 所以g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4， 所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25. 答案：0 －25考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x 2x 2；(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法)当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数． 法二：(图象法)作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以定义域关于原点对称．又f (－x )＝4－(－x )2(－x )2＝4－x 2x 2， 所以f (－x )＝f (x )．故函数f (x )为偶函数． (4)函数的定义域为R ， 因为f (－x )＋f (x ) ＝log a [－x ＋(－x )2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1)＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x )＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )]＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法。
知识03 导数及其应用(含真题)-【新高考】2021年高考数学考前必备知识速记
专题三 导数及其应用知识必备一、导数的概念及运算1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′0|x x =即f ′(x 0)＝0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆. 称函数f ′(x )＝000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆为f (x )的导函数．2．导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)2()'()()()'()'()[()]f x f x g x g x g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(g (x )≠0)． 5.常用结论1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.1()f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦′＝－2'()[()]f x f x . 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.2.常用结论汇总——规律多一点(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．三、利用导数解决函数的极值最值1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3常用结论1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.四、利用导数研究生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路是什么？ 答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．4.对于优化问题，建立模型之后需要对模型进行最大值最小值的求解，从而转化为导数求极值最值问题.真题再现1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .【答案】2y x =【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设函数e ()xf x x a=+．若e (1)4f '=，则a =_________．【答案】1【解析】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aeea =+， 整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.3．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.4．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()e (2)xf x a x =-+.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【解析】（1）当a =1时，f （x ）=e x –x –2，则f x '（）=e x –1．当x <0时，f x '（）<0；当x >0时，f x '（）>0． 所以f （x ）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）f x '（）=e x –a ． 当a ≤0时，f x '（）>0，所以f （x ）在（–∞，+∞）单调递增， 故f （x ）至多存在1个零点，不合题意．当a >0时，由f x '（）=0可得x =ln a ． 当x ∈（–∞，ln a ）时，f x '（）<0； 当x ∈（ln a ，+∞）时，f x '（）>0．所以f （x ）在（–∞，ln a ）单调递减，在（ln a ，+∞）单调递增，故当x =ln a 时，f （x ）取得最小值，最小值为f （ln a ）=–a （1+ln a ）．（i ）若0≤a ≤1e ，则f （ln a ）≥0，f （x ）在（–∞，+∞）至多存在1个零点，不合题意．（ii ）若a >1e，则f （ln a ）<0．由于f （–2）=e –2>0，所以f （x ）在（–∞，ln a ）存在唯一零点． 由（1）知，当x >2时，e x –x –2>0，所以当x >4且x >2ln （2a ）时，ln(2)22()e e (2)e (2)(2)202x x a xf x a x a x a =⋅-+>⋅+-+=>．故f （x ）在（ln a ，+∞）存在唯一零点，从而f （x ）在（–∞，+∞）有两个零点．综上，a 的取值范围是（1e，+∞）．【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线xy e =和直线(2)y a x =+有两个交点，利用过点(2,0)-的曲线xy e =的切线斜率，结合图形求得结果.5．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．【解析】设h (x )=f (x )−2x −c ，则h (x )=2ln x −2x +1−c ， 其定义域为(0，+∞)，2()2h x x'=-. （1）当0<x <1时，h '(x )>0；当x >1时，h '(x )<0.所以h (x )在区间(0，1)单调递增，在区间(1，+∞)单调递减.从而当x =1时，h (x )取得最大值，最大值为h (1)=−1−c . 故当且仅当−1−c ≤0，即c ≥−1时，f (x )≤2x +c . 所以c 的取值范围为[−1，+∞). （2）()()2(ln ln )()f x f a x a g x x a x a--==--，x ∈(0，a )∪(a ，+∞).222(ln ln )2(1ln )()()()x a a aa x x x x g x x a x a -+--+'==-- 取c =−1得h (x )=2ln x −2x +2，h (1)=0，则由（1）知，当x ≠1时，h (x )<0，即 1−x +ln x <0.故当x ∈(0，a )∪(a ，+∞)时，1ln 0a ax x-+<，从而()0g x '<. 所以()g x 在区间(0，a )，(a ，+∞)单调递减.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围． 【解析】（1）2()3f x x k '=-．当k =0时，3()f x x =，故()f x 在()-∞+∞，单调递增； 当k <0时，2()30f x x k '=->，故()f x 在()-∞+∞，单调递增． 当k >0时，令()0f x '=，得x =．当(,x ∈-∞时，()0f x '>；当(x ∈时，()0f x '<；当)x ∈+∞时，()0f x '>．故()f x在(,-∞，)+∞单调递增，在(单调递减． （2）由（1）知，当0k ≤时，()f x 在()-∞+∞，单调递增，()f x 不可能有三个零点． 当k>0时，=x ()f x的极大值点，x 为()f x 的极小值点．此时，11k k --<<<+且(1)0f k --<，(1)0f k +>，(0f >． 根据()f x的单调性，当且仅当0f <，即20k -<时，()f x 有三个零点，解得427k <．因此k的取值范围为(0)427，．【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.7．【2020年高考天津】已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【解析】（Ⅰ）（i ）当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-．（ii ）依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x-+'=．令()0g x '=，解得1x =． 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭． ①令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故23336ln 10t t t t-++->． ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-． 8．【2020年高考北京】已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【解析】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t +=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-= 222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t -+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.9．【2020年高考浙江】已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点； （Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：0x ≤； （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．【解析】（Ⅰ）因为(0)10f a =-<，22(2)e 2e 40f a =--≥->，所以()y f x =在(0,)+∞上存在零点． 因为()e 1x f x '=-，所以当0x >时，()0f x '>，故函数()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以函数以()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点．（Ⅱ）（ⅰ）令21()e 1(0)2xg x x x x =---≥，()e 1()1x g'x x f x a =--=+-，由（Ⅰ）知函数()g'x 在[0,)+∞上单调递增，故当0x >时，()(0)0g'x g'>=， 所以函数()g x 在[0,)+∞单调递增，故()(0)0g x g ≥=．由0g ≥得00()f a f x =-≥=，因为()f x 在[0,)+∞0x ． 令2()e 1(01)x h x x x x =---≤≤，()e 21x h'x x =--，令1()e 21(01)x h x x x =--≤≤，1()e 2xh'x =-，所以故当01x <<时，1()0h x <，即()0h'x <，所以()h x 在[0,1]单调递减， 因此当01x ≤≤时，()(0)0h x h ≤=．由0h ≤得00()f a f x =-≤=，因为()f x 在[0,)+∞0x ≤．0x ≤（ⅱ）令()e (e 1)1x u x x =---，()e (e 1)x u'x =--，所以当1x >时，()0u'x >， 故函数()u x 在区间[1,)+∞上单调递增，因此()(1)0u x u ≥=．由00e x x a =+可得022000000(e )()(e 1)(e 2)(e 1)x a a x f x f x a x a x ax =+=-+-≥-，由0x ≥00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．10．【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米． （1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．.桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0)，问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？【解析】（1）设1111,,,AA BB CD EF 都与MN 垂直，1111,,,A B D F 是相应垂足. 由条件知，当40O'B =时， 31140640160,800BB =-⨯+⨯= 则1160AA =. 由21160,40O'A =得80.O'A = 所以8040120AB O'A O'B =+=+=（米）.（2）以O 为原点，OO'为y 轴建立平面直角坐标系xOy （如图所示）.设2(,),(0,40),F x y x ∈则3216,800y x x =-+ 3211601606800EF y x x =-=+-. 因为80,CE =所以80O'C x =-.设1(80,),D x y -则211(80),40y x =- 所以22111160160(80)4.4040CD y x x x =-=--=-+ 记桥墩CD 和EF 的总造价为()f x ， 则3232131()=(1606)(4)80024013(160)(040).80080f x k x x k x x k x x x +-+-+=-+<< 2333()=(160)(20)80040800k f x k x x x x '-+=-， 令()=0f x '， 得20.x =所以当20x =时，()f x 取得最小值.答：（1）桥AB 的长度为120米；（2）当O'E 为20米时，桥墩CD 和EF 的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.11．【2020年高考江苏】已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()422342() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤【解析】（1）由条件()()()f x h x g x ≥≥，得222 2x x kx b x x +≥+≥-+，取0x =，得00b ≥≥，所以0b =．由22x x kx +≥，得2 2 ()0x k x +-≥，此式对一切(,)x ∈-∞+∞恒成立，所以22 0()k -≤，则2k =，此时222x x x ≥-+恒成立，所以()2h x x =．（2） 1 ln ,()()()()0,h g x k x x x x -=--∈+∞.令() 1ln u x x x =--，则1()1,u'x x =-令()=0u'x ，得1x =.所以min () 0(1)u x u ==.则1ln x x -≥恒成立，所以当且仅当0k ≥时，()()f x g x ≥恒成立．另一方面，()()f x h x ≥恒成立，即21x x kx k -+≥-恒成立，也即2()1 1 +0x k x k -++≥恒成立．因为0k ≥，对称轴为102kx +=>，所以2141)0(()k k +-+≤，解得13k -≤≤．因此，k 的取值范围是0 3.k ≤≤（3）①当1t ≤≤由()()g x h x ≤，得2342484()32x t t x t t -≤--+，整理得4223328()0.()4t t x t t x ----+≤*令3242=()(328),t t t t ∆---- 则642=538t t t ∆-++．记64253()18(t t t t t ϕ-++=≤则53222062(31)(3())06t t t t t t 't ϕ-+=--<=恒成立，所以()t ϕ在[1,上是减函数，则()(1)t ϕϕϕ≤≤，即2()7t ϕ≤≤．所以不等式()*有解，设解为12x x x ≤≤，因此21n m x x -≤-=②当01t <<时，432()()11 34241f h t t t t ---=+---．设432 = 342(41)t t t t v t +---，322 ()=1212444(1)(31),v't t t t t t +--=+-令()0v t '=，得t =．当(0t ∈时，()0v t '<，()v t 是减函数；当1)t ∈时，()0v t '>，()v t 是增函数． (0)1v =-，(1)0v =，则当01t <<时，()0v t <．（或证：2()(1)(31)(1)0v t t t t =++-<．）则(1)(1)0f h ---<，因此1()m n -∉，．因为m n ⊆［］［，，所以1n m -<③当0t <时，因为()f x ，()g x 均为偶函数，因此n m -综上所述，n m -【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当e a =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，11()e x f x a x-'=-． （1）当e a =时，()e ln 1x f x x =-+，(1)e 1f '=-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x -+=--，即(e 1)2y x =-+．直线(e 1)2y x =-+在x 轴，y 轴上的截距分别为2e 1--，2． 因此所求三角形的面积为2e 1-． （2）当01a <<时，(1)ln 1f a a =+<．当1a =时，1()e ln x f x x -=-，11()e x f x x-'=-． 当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>．所以当1x =时，()f x 取得最小值，最小值为(1)1f =，从而()1f x ≥．当1a >时，11()e ln ln e ln 1x x f x a x a x --=-+≥-≥．综上，a 的取值范围是[1,)+∞．【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.。
届高考数学(文)第三部分 考前一个月第二篇 易错点分析——考前提醒 考点3 导数及其应用 Word版含答案
考点3 导数及其应用【重点·提醒】导数及其应用【重点·提醒】1.注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”的差异.2.利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当f'(x)≥0或f'(x)≤0时带上等号.3.求函数单调区间时，易错误的在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”，单调区间不能用集合或不等式表示.4.x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是f'(x0)=0，f'(x0)=0是x0为极值点的既不充分也不必要条件；给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f'(x0)=0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件不完整，这一点一定要切记!【经典·剖析】【经典·剖析】例1已知曲线y=13x3上一点P823⎛⎫⎪⎝⎭，，求过点P的切线方程.【解答】因为y'=x2，设切点为30013x x⎛⎫⎪⎝⎭，，则切线方程为y-313x=20x(x-x0).因为切线过点823⎛⎫⎪⎝⎭，，所以x0=2或x0=-1，故所求切线方程为3x-3y+2=0或12x-3y-16=0.例2若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10，则a+b=.【解析】由题意知，2(1)110'(1)230f a a bf a b⎧=+++=⎨=++=⎩，，解得4-11ab=⎧⎨=⎩，或-33.ab=⎧⎨=⎩，经验证，当a=4，b=-11时，满足题意；当a=-3，b=-3时，不满足题意，舍去.所以a+b=-7.例3已知函数f(x)=13x3+x2-3x+a+1.(1)若对任意的x∈[1，+∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对任意的x∈[1，+∞)，f(x)的值域是[0，+∞)，求实数a的值.【解答】(1)f'(x)=x2+2x-3，由f'(x)=0，求得x1=-3，x2=1.当f'(x)>0时，x<-3或x>1；当f'(x)<0时，-3<x<1，所以函数在[1，+∞)上单调递增.f(x)的最小值为f(1)=a-23，依题意得a-23≥0，a≥23，故实数a的取值范围是23∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，.(2)f'(x)=x2+2x-3，由f'(x)=0，求得x1=-3，x2=1.当x<-3或x>1时，f'(x)>0；当-3<x<1时，f'(x)<0，所以f(x)在[1，+∞)上单调递增，f(x)的最小值为f(1)=a-23=0，所以a=23，即a=23时，f(x)的值域是[0，+∞).例4已知函数f(x)=-x3+ax+2(a∈R).(1)若函数f (x )在区间(-1，1)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )的增区间是(-1，1)，求实数a 的取值范围.【解答】 (1)f'(x )=-3x 2+a ，当a ≤0时，f'(x )≤0，函数f (x )在(-∞，+∞)上是单调减函数；当a>0时，由f'(x )=0得x=±3a ，当-3a <x<3a时，f'(x )>0，f (x )的单调增区间为-33a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，.由于f (x )在(-1，1)上是增函数，所以-3a ≤-1且3a ≥1，所以a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，+∞).(2)由问题(1)可知f (x )的单调增区间是-33a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，由于f (x )的增区间恰是(-1，1)，所以3a=1，a=3，即a=3时，f (x )的增区间是(-1，1).。
高考数学知识点梳理导数与微分的应用
高考数学知识点梳理导数与微分的应用高考数学知识点梳理：导数与微分的应用在高考数学中，导数与微分是极为重要的知识点，它们在解决各种数学问题中有着广泛而深刻的应用。
掌握好导数与微分的应用，不仅有助于我们在考试中取得好成绩，更能培养我们的数学思维和解决实际问题的能力。
一、导数的定义与几何意义导数的定义是函数在某一点的瞬时变化率。
如果函数 y ＝ f(x) 在点x₀处可导，那么函数在该点的导数记作 f'（x₀) ，其定义式为 f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx 。
从几何意义上看，导数 f'（x₀) 表示函数 y ＝ f(x) 在点（x₀, f(x₀)）处切线的斜率。
通过导数，我们可以求出函数图像在某一点处切线的方程。
例如，已知函数 f(x) 在点 x₀处的导数为 k ，且该点坐标为（x₀, y₀) ，那么切线方程为 y y₀＝ k(x x₀) 。
二、导数在函数单调性中的应用函数的单调性是高考中的重要考点，而导数为判断函数单调性提供了有力的工具。
如果在某个区间内，函数的导数 f'（x) ＞ 0 ，则函数在该区间上单调递增；如果 f'（x) ＜ 0 ，则函数在该区间上单调递减。
例如，对于函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 2 ，求导得 f'（x) ＝ 3x² 6x 。
令 f'（x) ＞ 0 ，即 3x² 6x ＞ 0 ，解得 x ＜ 0 或 x ＞ 2 ，所以函数 f(x) 在区间（∞， 0) 和（2, ＋∞）上单调递增；令 f'（x) ＜ 0 ，即 3x² 6x ＜ 0 ，解得 0 ＜ x ＜ 2 ，所以函数 f(x) 在区间（0, 2) 上单调递减。
三、导数在函数极值与最值中的应用函数的极值和最值问题也是高考的常见题型。
函数在某点处取得极值的必要条件是该点处的导数为 0 ，但导数为0 的点不一定是极值点。
高考数学导数及其应用考点
高考数学导数及其应用考点高考数学中，导数及其应用是一个重要的考点，它不仅在函数的研究中发挥着关键作用，还与实际问题的解决紧密相关。
一、导数的定义导数的定义是函数在某一点处的瞬时变化率。
如果函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄与自变量的增量＄＼Delta x$ 之比当＄＼Delta x ＼to 0$ 时的极限存在，那么这个极限值就称为函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处的导数，记作＄f'（x_0)＄。
通俗来讲，导数就像是函数图象在某一点处的“斜率”，它反映了函数在这一点处的变化快慢程度。
二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率。
函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处的导数＄f'（x_0)＄，就是曲线＄y ＝ f(x)＄在点＄（x_0, f(x_0)）＄处的切线斜率。
通过导数，我们可以求出函数图象在某一点处的切线方程。
假设切点为＄（x_0, y_0)＄，导数为＄f'（x_0)＄，那么切线方程为＄yy_0 ＝ f'（x_0)（x x_0)＄。
三、基本初等函数的导数公式1、常数函数的导数：＄（C)＇＝ 0$ ，其中＄C$ 为常数。
2、幂函数的导数：＄（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＄。
3、正弦函数的导数：＄（＼sin x)＇＝＼cos x$ 。
4、余弦函数的导数：＄（＼cos x)＇＝＼sin x$ 。
5、指数函数的导数：＄（a^x)＇＝ a^x ＼ln a$ （＄a ＞ 0$ 且＄a ＼neq 1$ ）；特别地，＄（e^x)＇＝ e^x$ 。
6、对数函数的导数：＄（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＄；＄（｛＼log}＿a x)＇＝＼frac{1}｛x ＼ln a}＄（＄a ＞ 0$ 且＄a ＼neq 1$ ）。
熟练掌握这些基本初等函数的导数公式，是解决导数问题的基础。
2019年高考数学 纠错笔记系列 专题03 导数及其应用 文.doc
备战2019年高考数学 纠错笔记系列 专题03 导数及其应用 文A ，B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图所示，则一定有A ．两机关单位节能效果一样好B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好C ．A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C.因为在(0，t 0)上，()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭，所以在(0，t 0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比B 机关单位大．【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．【参考答案】B1．平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，2()y f x ∆=-1()f x ，则平均变化率可表示为y x∆∆. 2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近的常数.1．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段011223,,,[][][,]t t t t t t ，上的平均速度分别为1v ，23,v v ，则三者的大小关系为A ．231v v v =<B ．123v v v <=C ．123v v v <<D ．231v v v <<【答案】C【解析】∵123,,OA AB BC v k v k v k ===，由图象易知OA AB BC k k k <<，∴123v v v <<，故选C.易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P (2,8)作曲线3y x =的切线，则切线方程为A ．12160x y --=B ．320x y -+=C ．12160x y -+=或320x y --=D ．12160x y --=或320x y -+=【错解】设()3f x x =，由定义得f ′(2)=12，∴所求切线方程为()8122y x -=-，即12160x y --=.【错因分析】曲线过点P 的切线与在点P 处的切线不同．求曲线过点P 的切线时，应注意检验点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，应分P 为切点和P 不是切点讨论．故经过点P 的曲线的切线有两条，方程为12160x y --=或320x y -+=. 【参考答案】D1．导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k .2．曲线的切线的求法若已知曲线过点00(),P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解：（1）当点00(),P x y 是切点时，切线方程为()000()y y f x x x '-=-； （2）当点00(),P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过()11()P x f x '，的切线方程为()()()111 y f x f x x x -='-； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程()()()111 y f x f x x x -='-，可得过点00(),P x y 的切线方程．2．已知曲线3()23f x x x =-，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，则切线的方程为【答案】2132y x =+故切线方程为2132y x =+.在求曲线()y f x =的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线()f x 上）的切线方程，前者的切线方程为()()()000y f x f x x x -='-，其中切点()()0,x f x ，后者一般先设出切点坐标，再求解.易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数：（1）22()2f x a ax x =+-； （2）sin ()ln x xf x x=. 【错解】（1）22()(2)22f x a ax x a x ''=+-=+； （2）2sin (sin )sin cos ()()sin cos 1ln (ln )x x x x x x xf x x x x x x x x'+''====+'.【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x ，a 是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.【参考答案】（1）()22f x a x '=-；（2）2sin ln cos ln sin ()ln x x x x x xf x x+-'=.1．导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．导数计算的方法①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；3．函数2xy =在1x =处的切线方程为 A ．10x y -+=B ．2ln 22ln 220x y --+=C ．2ln 22ln 220x y -+-=D．10x y -+=或2ln 22ln 220x y --+=【答案】B【解析】∵()22ln 2x xy '='=，∴12|ln 2x y ='=，又x =1时，y =2，∴切线方程为()22ln 21y x -=-，即2ln 22ln 220x y --+=.（1）要准确记忆导数公式表和导数的运算法则，不要将幂函数与指数函数的导数公式，sin y x =与cos y x =的导数，ln y x =与lg y x =的导数及积与商的导数公式记混弄错．（2）本题中2x y =是指数函数，而不是幂函数，常将幂函数()y x αα=∈Q 与指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的导数公式记混而导致错误．易错点4 审题不细致误设函数()2ln af x ax x x=--. （1）若()20f '=，求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围． 【错解】（1）∵()22a f x a x x '=+-，∴()2104a f a '=+-=，∴45a =. ∴()()2224422252555f x x x x x x'=+-=-+， 令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得122x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为122()()-∞+∞，，，单调递减区间为1()22，．【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R 上取值的恒成立问题加以区分．（2）若()f x 在定义域上是增函数，则()0f x '≥对x >0恒成立，∵()22222a ax x af x a x x x-+'=+-=， ∴需x >0时220ax x a -+≥恒成立，即221xa x ≥+对x >0恒成立． ∵222111x x x x=≤++，当且仅当x =1时取等号， ∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.【参考答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1()22，；（2）[1,)+∞.用导数求函数()f x 的单调区间的“三个方法”： 1．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)可解时， ①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数()y f x '='；③解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2．当方程()0f x '=可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；②求导数()y f x '='，令()0f x '=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；④确定()f x '在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 3．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)及方程()0f x '=均不可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；②求导数并化简，根据()f x '的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定()f x '的符号；③得单调区间．4．若函数()33f x ax x =-在(1,1)-上为单调减函数，则a 的取值范围是________．【答案】(,1]-∞若()f x 的单调减区间为[],m n ，则在()x m x n ==的两侧函数值异号，且()()0()0f m f n '='=；若()f x 在区间[],m n 上单调递减，则()0f x '≤在[],m n 上恒成立．易错点5 极值的概念理解不透彻已知()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b +=________.【错解】7-或0由题得，2()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，所以a b ＋等于7-或0. 【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“()101f x '=≠>=是f (x )的极值点”的情况．综上可知，411a b =⎧⎨=-⎩，所以7a b +=-.【参考答案】7-对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑()00f x '＝，又要考虑在0x x =两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根．1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． 2．求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值，如果()f x '在这个根的左右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值． 3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.5．已知()3223f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，则常数a 、b 的值分别为A ．1,3B ．1,9C ．2,9D ．1,3或2,9【答案】C当13a b =⎧⎨=⎩时，()()22363310f x x x x '=++=+≥， 所以()f x 在R 上为增函数，无极值，故舍去；因此常数a 、b 的值分别为2,9.（1）()f x 在0x x =处有极值时，一定有()00f x '=，()0f x 可能为极大值，也可能为极小值，应检验()f x 在0x x =两侧的符号后才可下结论；（2）若()00f x '=，则()f x 未必在0x x =处取得极值，只有确认102x x x <<时，()()120f x f x ⋅<，才可确定()f x 在0x x =处取得极值．一、导数的概念及计算 1．导数的定义：00()()()limlim x x y f x+x f x f x x x∆→∆→∆∆-'==∆∆.2．导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.求曲线()y f x =的切线方程的类型及方法（1）已知切点()00,P x y ，求()y f x =过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k ，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，通过方程()0k f x ='解得x 0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，利用导数求得切线斜率()0f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由()0k f x ='求出切点坐标()00,x y ，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上． 3．基本初等函数的导数公式4．导数的运算法则（1）()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝.（2）()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋.（3）2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠. 二、导数的应用1．函数的单调性与导数的关系 一般地，在某个区间(a ,b )内：①如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; ②如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; ③如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数3()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥.（3）函数()f x 在(a ,b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ,b )内恒成立，且()f x '在(a ,b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数()f x 在区间内的单调性.2．函数的极值与导数的关系 一般地，对于函数()y f x =，①若在点x = a 处有f ′(a )= 0，且在点x = a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x= a 为f (x )的极小值点；()f a 叫做函数f (x )的极小值.②若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x= b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值．③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 3．函数的最值与极值的关系①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言； ②在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；③函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； ④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.求函数()y f x =在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数()y f x =在(a ,b )内的极值；②将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．[2017浙江卷] 函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．2．[2016山东卷文] 若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 A ．y =sin xB ．y =ln xC ．y =exD ．y =x3【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos 0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =的图象上存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A.3．[2016新课标全国Ⅰ卷文]若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是 A ．[1,1]-B ．1[1,]3- C ．11[,]33-D ．1[1,]3--【答案】C【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性. 4．[2016四川卷文]已知a 为函数()3–12f x x x =的极小值点，则a =A ．–4B ．–2C ．4D ．2 【答案】D【解析】()()()2312322f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D.5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足()() 21ln f x xf x +='，则f ′(1)= A ．−e B ．−1 C ．1 D ．e【答案】B【解析】∵()() 21ln f x xf x +='，∴()()()()21ln 21f x xf x f '=''⎡⎤=⎦+⎣''+1x， ∴()()1 211f f '='+，即()11f '=-.选B.【名师点睛】利用导数公式和导数的运算法则求函数的导数是高考考查的基础内容，直接考查的较少，常体现在导数应用中，也是学好导数，会做导数相关问题的前提.本题注意对f ′(1)的正确理解，在求导时作为常数，才能得出正确结果.6．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0]π4，，则点P 横坐标的取值范围为 A ．[11]2--, B ．[]1,0-C ．[0,1]D ．1[]21，【答案】A7．设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，()()()()0f x g x f x g x '+'>，且()30g -=，则不等式()()0f x g x <的解集是A ．()(3,03)-+∞，B ．()()3,00,3- C ．3()()3-∞-+∞，，D ．()3()0,3-∞-，【答案】D【解析】设F (x )= f (x )g (x )，当x <0时，()()()()()0F x f x g x f x g x '='+'>，∴F (x )在x <0时为增函数．∵()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=-⋅=-，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，+ ∞)上亦为增函数．已知()30g -=，必有()()330F F -==. 构造如图的F (x )的图象，可知F (x )<0的解集为x ∈()3()0,3-∞-，．故选D.8．设a ∈R ，若函数e xy ax =+，x ∈R 有大于零的极值点，则 A ．1ea <-B ．1a >-C ．1a <-D ．1ea >-【答案】C9．若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是 A ．[]2,2- B ．[0,2] C ．[]2,0-D ．2()()2-∞-+∞，，【答案】A【解析】由题意得，方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则33m x x -=-，x ∈[0,2]，令33y x x =-，x ∈[0,2]，则233y x '=-，令0y '>，解得x >1，因此函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，又x =1时，2y =-；x =2时，y =2；x = 0，y = 0，∴函数33y x x =-，x ∈[0,2]的值域是[]2,2-，故[]2,2m -∈-，∴[]2,2m ∈-，故选A. 10．设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln 01,ln ,1x x x x -<<⎧⎨>⎩，图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+ ∞)【答案】A11．[2017新课标全国Ⅰ卷文]曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x '=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．12．[2017天津卷文]已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为___________． 【答案】1【解析】由题可得(1)f a =，则切点为(1,)a ，因为1()f x a x'=-，所以切线l 的斜率为(1)1f a '=-，切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--，令0x =可得1y =，故l 在y 轴上的截距为1．【名师点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题型，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率，切线方程为000()()y y f x x x '-=-．解题时应注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同，没切点应设出切点坐标，建立方程组进行求解．13．[2017新课标全国Ⅰ卷文]已知函数()2e e ()x xf x a a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）34[2e ,1]-．（2）①若0a =，则2()e xf x =，所以()0f x ≥．②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(l n )l n f a a a=-．从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥． ③若0a <，则由（1）得，当ln()2ax =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[24a f a -=-ln()]2a -．从而当且仅当23[ln()]042aa --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥．综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f x '，由()f x '的正负，得出函数()f x 的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．14．设函数()()23e xx ax f x a +=∈R . （1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围.【答案】（1）0a =，3e 0x y -=；（2）9[,)2-+∞.（2）由（1）得，()236()ex x a x a f x -+-+'=, 令2()3(6)g x x a x+a =-+-，由()0g x =，解得12x x =. 当1x x <时，()g x <0,()0f x '<,故()f x 为减函数；当12x x x <<时，()g x >0, ()0f x '>,故()f x 为增函数；9-，2 15（（（._______________________________________________________________________________。
2020年高考数学(文)之纠错笔记专题03 导数及其应用(含解析)
专题03 导数及其应用易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系A ，B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图所示，则一定有A ．两机关单位节能效果一样好B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好C ．A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C.因为在(0，t 0)上，()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭，所以在(0，t 0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比B 机关单位大．【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在0[0]t ,上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好．故选B. 【参考答案】B1．平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，2()y f x ∆=-1()f x ，则平均变化率可表示为y x∆∆.2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近的常数.1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？【答案】见解析.【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝10015005-=-，山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝1510170504-=-， ∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多．易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P (2,8)作曲线3y x =的切线，则切线方程为A ．12160x y --=B ．320x y -+=C ．12160x y -+=或320x y --=D ．12160x y --=或320x y -+=【错解】设()3f x x =，由定义得f ′(2)=12，∴所求切线方程为()8122y x -=-，即12160x y --=.【错因分析】曲线过点P 的切线与在点P 处的切线不同．求曲线过点P 的切线时，应注意检验点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，应分P 为切点和P 不是切点讨论．【试题解析】①易知P 点在曲线3y x =上，当P 点为切点时，由上面解法知切线方程为12160x y --=.②当P 点不是切点时，设切点为A (x 0，y 0)，由定义可求得切线的斜率为203k x =.∵A 在曲线上，∴300y x =，∴32000832x x x -=-，∴3200340x x -+=， ∴()()200120x x +-=，解得01x =-或x 0=2(舍去)，∴01y =-，k =3，此时切线方程为y +1=3(x +1)，即320x y -+=.故经过点P 的曲线的切线有两条，方程为12160x y --=或320x y -+=. 【参考答案】D1．导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k . 2．曲线的切线的求法若已知曲线过点00(),P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解： （1）当点00(),P x y 是切点时，切线方程为()000()y y f x x x '-=-； （2）当点00(),P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过()11()P x f x '，的切线方程为()()()111 y f x f x x x -='-； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程()()()111 y f x f x x x -='-，可得过点00(),P x y 的切线方程．2．已知函数0()(2018ln ),()2019f x x x f 'x =+=，则0x = A ．2e B ．1C ．ln 2018D ．e【答案】B【解析】()(2018ln ),f x x x =+Q()2018ln 12019ln f 'x x x ∴=++=+，又因为0()2019f 'x =， 所以02019ln 2019x +=， 解得01x =，故选B.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.在求曲线()y f x =的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线()f x 上）的切线方程，前者的切线方程为()()()000y f x f x x x -='-，其中切点()()00,x f x ，后者一般先设出切点坐标，再求解.易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数：（1）22()2f x a ax x =+-； （2）sin ()ln x xf x x=. 【错解】（1）22()(2)22f x a ax x a x ''=+-=+； （2）2sin (sin )sin cos ()()sin cos 1ln (ln )x x x x x x xf x x x x x x x x'+''====+'.【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x ，a 是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.【试题解析】（1）22()(2)22f x a ax x a x ''=+-=-； （2）22sin (sin )ln sin (ln )sin ln cos ln sin ()()ln (ln )ln x x x x x x x x x x x x x xf x x x x''⋅-⋅+-''===. 【参考答案】（1）()22f x a x '=-；（2）2sin ln cos ln sin ()ln x x x x x xf x x+-'=.1．导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．导数计算的方法①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；3．已知()f x =，则1()2f '= A ．2ln2--B ．2ln2-+C ．2ln2-D ．2ln2+【答案】D【解析】依题意有()()121122ln 22x x x f x x-⋅⋅⋅'=，故12ln22ln221f +⎛⎫=⎪⎭'=+ ⎝，所以选D. 【名师点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数计算，考查函数除法的导数计算，属于中档题.易错点4 区分复合函数的构成特征求下列函数的导数：（1）()221y x =+； （2）22cos y x =. 【错解】（1）()221y x '=+； （2）2sin2xy =-.【错因分析】这是复合函数的导数，若()(),y f u u h x ==，则x u x y y u '='⋅'.如（1）中，22,1y u u x ==+，()()222221241x y u x x x x x '=⋅=+⋅=+，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求导公式求导．【试题解析】解法一：（1）∵()2242121y x x x =+=++，∴344y x x '=+.（2）∵221cos cos 2x y x +==，∴1sin 2y x '=-. 解法二：（1）()()()22221141y x x x x '=+⋅+'=+．（2）12coscos 2cos sin sin 2222()()(22)x x x x x y x '=⋅'=⋅-⋅'=-. 【参考答案】（1）()241y x x '=+；（2）1sin 2y x '=-.1．求复合函数的导数的关键环节： ①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. 2．求复合函数的导数的方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.4⎛ ⎝⎭处的切线方程是__________．【答案】20x y -+=【解析】πcos 3y x '⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以斜率为π1cos 032⎛⎫+= ⎪⎝⎭，切线方程为1,20.2y x x y =-+= 易错点5 审题不细致误设函数()2ln af x ax x x=--. （1）若()20f '=，求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围． 【错解】（1）∵()22a f x a x x '=+-，∴()2104a f a '=+-=，∴45a =. ∴()()2224422252555f x x x x x x'=+-=-+， 令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得122x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为122()()-∞+∞U ，，，单调递减区间为1()22，．（2）∵()f x 在定义域上为增函数，∴()0f x '≥恒成立，∵()22222a ax x a f x a x x x-+'=+-=，∴220ax x a -+≥恒成立， ∴20440a a >⎧⎨∆=-≤⎩，∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R 上取值的恒成立问题加以区分．【试题解析】（1）由已知得x >0，故函数()f x 的定义域为(0，+∞)．∵()22a f x a x x '=+-， ∴()2104af a '=+-=，∴45a =.∴()()2224422252555f x x x x x x'=+-=-+，令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得122x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1()22，．（2）若()f x 在定义域上是增函数，则()0f x '≥对x >0恒成立，∵()22222a ax x af x a x x x-+'=+-=，∴需x >0时220ax x a -+≥恒成立，即221xa x ≥+对x >0恒成立． ∵222111x x x x=≤++，当且仅当x =1时取等号， ∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.【参考答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1()22，；（2）[1,)+∞.用导数求函数()f x 的单调区间的“三个方法”： 1．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)可解时， ①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数()y f x '='；③解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2．当方程()0f x '=可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；②求导数()y f x '='，令()0f x '=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；④确定()f x '在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 3．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)及方程()0f x '=均不可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；②求导数并化简，根据()f x '的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定()f x '的符号； ③得单调区间．5．已知函数()322f x x ax b x =+-，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线30y -=平行，求a 与b 满足的关系； （2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0,1a b ==时，对任意的()0,x ∈+∞，总有()()e xf x x k <+成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2320a b +-=；（2）①当0a =时，()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增；在2,03a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减；（3）[)2,-+∞. 【解析】（1）由题意，得22()32f 'x x ax b =+-.由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得(1)0f '=. 即2320a b +-=.（2）当0b =时，2()32f 'x x ax =+， 由()0f 'x =知240a ∆=≥.① 当0a =时，0∆=，()0f 'x ≥在R 恒成立， ∴函数()f x 在R 上单调递增.②当0a >时，由()0f 'x >，解得0x >或23x a <-； 由()0f 'x <，解得203a x -<<. 函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，()0f 'x >，解得23x a >-或0x <； 由()0f 'x <，解得203x a <<-. 函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.（3）当0,1a b ==时，3()f x x x =-，由()()e xf x x k <+，得()3e xx x x k -<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立.0x Q >，21e x x k ∴-<+，21e x k x ∴>--在()0,x ∈+∞恒成立.设()()21e ,0xg x x x =-->，则()2e xg'x x =-，令()2e xh x x =-，则()2e xh'x =-，由()0h'x =，解得ln2x =. 由()0h'x >，解得0ln2x <<； 由()0h'x <，解得ln2x >.∴导函数()g'x 在区间()0,ln2上单调递增；在区间()ln2,+∞上单调递减，()()ln22ln220g'x g'∴≤=-<，∴()g x 在()0,+∞上单调递减， ()()02g x g ∴<=-，2k ∴≥-.故所求实数k 的取值范围[)2,-+∞.本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.易错点6 极值的概念理解不透彻已知()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b +=________.【错解】7-或0由题得，2()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，所以a b＋等于7-或0.【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“()101f x '=≠>=是f (x )的极值点”的情况．【试题解析】由题得，2()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，所以a b ＋等于7-或0. 当4,11a b ==-时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-在x =1两侧的符号相反，符合题意.当3,3a b =-=时，2()3(1)f x x '=-在x =1两侧的符号相同，所以3,3a b =-=不合题意，舍去. 综上可知，4,11a b ==-，所以7a b +=-. 【参考答案】7-对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑()00f x '＝，又要考虑在0x x =两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根．1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． 2．求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值，如果()f x '在这个根的左右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.6．若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．−2B ．3C ．−2或3D ．−3或2【答案】B 【解析】()()()()23222()2(131)133f 'x f x x a x a a x a x x a a =++-+-⇒+-+=-+，由题意可知(1)0f '=，()2(1)12(1)303f 'a a a a ⇒+-+=-⇒+==或2a =-，当3a =时，()222389(9)(1)()2(1)f 'x x a x a a x x x x +-=++-=+-=+-，当1,9x x ><-时，()0f 'x >，函数单调递增；当91x -<<时，()0f 'x <，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()2222()232(111))(0a a f 'x x a x x x x +-=-++=-=+≥-，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选B.【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.（1）()f x 在0x x =处有极值时，一定有()00f x '=，()0f x 可能为极大值，也可能为极小值，应检验()f x 在0x x =两侧的符号后才可下结论；（2）若()00f x '=，则()f x 未必在0x x =处取得极值，只有确认102x x x <<时，()()120f x f x ⋅<，才可确定()f x 在0x x =处取得极值．（3）在本题中，不要遗漏掉3a =-这种特殊情况.一、导数的概念及计算 1．导数的定义：00()()()limlimx x y f x+x f x f x x x∆→∆→∆∆-'==∆∆. 2．导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.求曲线()y f x =的切线方程的类型及方法（1）已知切点()00,P x y ，求()y f x =过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k ，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，通过方程()0k f x ='解得x 0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，利用导数求得切线斜率()0f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由()0k f x ='求出切点坐标()00,x y ，最后写出切线方程．（5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是 否在已知曲线上． 3．基本初等函数的导数公式4．导数的运算法则（1）()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝.（2）()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋. （3）2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠. 5．复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()()y f u u g x ==,的导数间的关系为x u x y y u '='⋅'，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 二、导数的应用1．函数的单调性与导数的关系 一般地，在某个区间(a ,b )内：①如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; ②如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; ③如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数3()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥.（3）函数()f x 在(a ,b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ,b )内恒成立，且()f x '在(a ,b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数()f x 在区间内 的单调性.2．函数的极值与导数的关系 一般地，对于函数()y f x =，①若在点x = a 处有f ′(a )= 0，且在点x = a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x= a 为f (x )的极小值点；()f a 叫做函数f (x )的极小值.②若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x= b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值．③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 3．函数的最值与极值的关系①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；②在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；③函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； ④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.求函数()y f x =在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数()y f x =在(a ,b )内的极值；②将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a −1=0，解得a =1，所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1， 所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x . 故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线y =f(x)在某个点(x 0,f(x 0))处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f′(x)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.4．(),x y 处的切线斜率为()g x ，则函数()2y x g x =的部分图象可以为A ．B ．C ．D ．【答案】DB 、C 错误；又当πx =时，0y =，当0y <，选项A 错误； 本题选择D 选项.【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．5．函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e- B ．1e C ．12e-D ．12e【答案】C【解析】由题得(0,)x ∈+∞，()2ln (2ln 1)f x x x x x x '=+=+， 令2ln 10x +=，解得12ex -=，则当12(0,e )x -∈时，()f x 为减函数，当12(e ,)x -∈+∞时，()f x 为增函数， 所以12e x -=处的函数值为最小值，且121(e )2ef -=-. 故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.6．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()21x f x '>，()522f =，则关于x 的不等式()1e 3ex x f <-的解集为 A ．()20,e B ．(),ln2-∞ C ．()0,ln2D ．()2e ,+∞【答案】B【解析】令()()1,0g x f x x x=+>，则()()()22211x f x g x f x x x -=-='''， ∵()21x f x '>，∴()()2210x f x g x x -='>'，∴函数()()1g x f x x=+在()0,+∞上单调递增． 又()522f =，∴()()12232g f =+=． 结合题意，不等式()1e 3e x x f <-可转化为()()11e 2e 2x x f f +<+，即()()e 2x g g <，∴0<e 2x <，解得ln2x <，原不等式的解集为(),ln2-∞． 故选B ．【名师点睛】对于含有导函数的不等式的问题，在求解过程中一般要根据不等式的形式构造出相应的函数，然后根据所给的不等式得到导函数的符号，进而得到构造的函数的单调性，再根据所构造的函数的单调性进行解题，其中根据题意构造符合题意的函数是解题的关键．由()21x f x '>构造函数()()1g x f x x=+，则有()()2210x f x g x x -='>'，从而得到函数()()1g x f x x =+在()0,+∞上单调递增．又()()12232g f =+=，所以不等式()1e 3e x x f <-可化为()()11e 2e 2xx f f +<+，根据函数()g x 的单调性可得0<e 2x <，于是可得所求结果．7．已知定义在()0,+∞上的函数()()2,6ln 4f x x m h x x x =-=-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公共点处的切线相同，则m 值等于 A ．−3 B ．1 C ．3D ．5【答案】D【解析】设函数()()2,6ln 4f x x m h x x x =-=-在公共点（a ,b ）（a ＞0）处的切线相同，由题得()()62,4,f x x h x x =-'=所以26ln 4624b a m b a a a a ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，解之得a =1,b =−4,m =5.故答案为D.【名师点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是根据已知得到方程组26ln 4624b a m b a a a a ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=-⎩.8．若函数()51ln 12f x x ax ax=+--在()1,2上为增函数，则a 的取值范围为 A ．()1,0,24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦UB ．()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦U C ．[)11,00,4⎛⎤- ⎥⎝⎦UD ．[)11,0,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦U【答案】B【解析】依题意可得()25102f x a x ax =-'-≥对x ()1,2∈恒成立， 即25102ax x a-+≤对x ()1,2∈恒成立.设g (x )= a 2512x x a-+，x ()1,2∈.当a >0时，()()5110212450g a ag a a ⎧=-+≤⎪⎪⎨⎪=-+≤⎪⎩，解得112a ≤≤.当a <0时，g (0)=10a <，−522a -=504a<，()()01,2g x x ∴<∈对恒成立.综上，a 的取值范围为()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦U . 故选B.【名师点睛】本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，是一道中档题，其基本解题思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知函数单调性求参数的范围问题往往转化为求相应函数的最值问题，体现了转化的数学思想，很好地考查了学生的计算能力． 9．若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是 A ．[]2,2- B ．[0,2]C ．[]2,0-D ．2()()2-∞-+∞U ，， 【答案】A【解析】由题意得，方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则33m x x -=-，x ∈[0,2]，令33y x x =-，x ∈[0,2]，则233y x '=-，令0y '>，解得x >1，因此函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，又x =1时，2y =-；x =2时，y =2；x = 0，y = 0，∴函数33y x x =-，x ∈[0,2]的值域是[]2,2-，故[]2,2m -∈-，∴[]2,2m ∈-，故选A. 10．函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得2x <-或02x <<，此时函数单调递增，由()0f x '<得22(21)0x x ->，得2x >或02x -<<，此时函数单调递减，排除C. 故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键. 11．已知函数()()()32211132132f x x a x a a x =+-+-+，若在区间()0,3内存在极值点，则实数a 的取值范围是 A ．()0,3B ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()()0,11,3UD ．()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭U 【答案】C【解析】()()()()2213221,f x x a x a a x a x a ⎡⎤=+-+-=---⎣⎦' 令()0f x '=,则x =a 或x =2a −1.若1a =,则()21,0a a f x '=-≥R 在上恒成立,函数()f x 在R 上单调递增，所以()f x 没有极值点; 若1a >,则21a a <-, 由于f (x )在区间()0,3内存在极值点,所以3,13a a <∴<<； 若1a <,则21a a >-,由于f (x )在区间()0,3内存在极值点,所以0,01a a >∴<<. 综上所述,0113a a <<<<或, 故选C.【名师点睛】本题考查导数在求函数极值中的应用，比较21a a -与的大小，11a a ><分和进行讨论. 12．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxxy x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．【答案】y =2x –2【解析】由y =f(x)=2lnx ，得f ′(x)=2x .则曲线y =2lnx 在点(1,0)处的切线的斜率为k =f ′(1)=2， 则所求切线方程为y −0=2(x −1)，即y =2x −2.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.14．已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】−3√32【解析】f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)， 所以当cosx <12时函数单调递减，当cosx >12时函数单调递增， 从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数f (x )取得最小值， 此时sinx =−√32,sin2x =−√32， 所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32. 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.15．已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212e x x ==，(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=令()ln g t t =，则4()4g t t'=， ∴当18t <<时，()0g t '>，()g t 在()1,8上单调递增；当8t >时，()0g t '<，()g t 在()8,+∞上单调递减，∴当8t =时，()g t 取得最大值，为(8)ln823ln22g =-=-.故答案为3ln 22-.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；（4）判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.16．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],0a ∈-∞.【解析】（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减. 又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈„时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.17．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）()f x 的定义域为（0，+∞）.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<，1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=. 又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因此，()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知()0(1)2f x f <=-，又()22e e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=. 由01x α>>得011x α<<.又1111()1ln 10f f αααααα⎛⎫⎛⎫=---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根.综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.18．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()22f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围． 【答案】（1）见详解；（2）8[,2)27. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =． 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减． （2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫⎪⎝⎭．当23a ≤<时，327a 单调递增，所以M m -的取值范围是8[,1)27．综上，M m -的取值范围是8[,2)27． 【名师点睛】这是一道常规的导数题目，难度比往年降低了不少.考查函数的单调性，最大值、最小值的计算.19．已知函数()3213f x x bx cx c =+++. （1）当1x =时，()f x 有极小值196-，求实数,b c ；（2）设()()g x f x cx =-，当()0,1x ∈时，在()g x 图象上任意一点P 处的切线的斜率为k ，若1k <，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）12b =，2c =-；（2）(],0-∞. 【解析】（1）()22f x x bx c '=++Q ，∴由()()101916f f '⎧=⎪⎨=-⎪⎩， 即2107202b c b c ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，。
高考数学核按钮 新高考 第三章 导数及其应用 3
必备知识
基础自测
核心考点
2022高考数学核按钮 · 专点突破
第三章 导数及其应用
(2)导函数
当 x 变化时，f′(x)便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函
数有时也记作 y′，即
f′(x)＝y′＝
lim
x0
f（x＋ΔxΔ）x－f（x）．
(3)用定义求函数 y＝f(x)在点 x0 处导数的方法
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）．如果当 Δx→0 时，ΔΔyx有极限，我们就说函数 y＝f(x)在点 x0 处
_______________，并把这个极限叫做 f(x)在点 x0 处的导数，记作或 y′| x＝x0 ，即 f′(x0)＝
lim
x0
ΔΔyx＝
lim
x0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）．
第三章 导数及其应用
解：由 y＝f′(x)的图象知 y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明 函数 y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除 A， C．又由图象知 y＝f′(x)与 y＝g′(x)的图象在 x＝x0 处相交，说明 y ＝f(x)与 y＝g(x)的图象在 x＝x0 处的切线的斜率相同，故可排除 B．故选 D．
k·2k·(－3k)＝－6k3＝6，解得 k＝－1．故选 B．
必备知识
基础自测
核心考点
2022高考数学核按钮 · 专点突破
第三章 导数及其应用
(3)(2019届江西南昌市高三模拟)设函数 f(x)的导数为 f′(x)，且 f(x)＝f′π2sinx ＋cosx，则 f′π4＝________．
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高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题 导数及应用（教师版）
导数及应用一、高考预测从近几年考查的趋势看，本专题考查的重点是导数在研究函数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用，考查的形式是解答题考查导数在研究函数问题中的综合运用，但常围绕一些交叉点设计一些新颖的试题，大部分函数和导数的基础试题难度也不大，但少数函数的基础试题难度较大，解答题中的函数导数试题也具有一定的难度．由于该专题的绝大多数内容(除定积分)都是传统的高中数学内容，在考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)，预计基本上还是这个考查趋势，具体为：以选择题或者填空题的方式考查导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点．二、知识导学要点1：利用导数研究曲线的切线1．导数的几何意义：函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()y f x =在点0x x =的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；（2）在已知切点坐标00(,())P x f x 和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
【精品整理】2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：第三章 导数及其应用
第三章 导数及其应用第一节 导数的概念及运算、定积分1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ❶为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．❷曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li mΔx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．5．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．6．定积分的性质(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)；(2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ；(3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.7．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．8．定积分的几何意义定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S .①S ＝∫b a f (x )d x ；②S ＝－∫b a f (x )d x ；③S ＝∫c a f (x )d x －∫bc f (x )d x ； ④S ＝∫b a f (x )d x －∫b a g (x )d x ＝∫b a [f (x )－g (x )]d x .(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.二、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2；(2)(ln|x |)′＝1x ； (3)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 3．常见被积函数的原函数(1)∫b a c d x ＝cx |b a ；(2)∫b a x n d x ＝x n ＋1n ＋1|ba(n ≠－1)； (3)∫b a sin x d x ＝－cos x |b a ；(4)∫b a cos x d x ＝sin x |ba ；(5)∫b a 1x d x ＝ln|x ||b a ；(6)∫b a e x d x ＝e x |b a . 考点一 导数的运算1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·宜昌联考)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2 B.21－2ln 2 C.41－2ln 2D ．－2解析：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 答案：－24．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x；(3)y ＝cos x ex ；(4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x.(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .考点二 导数的几何意义及其应用考法(一) 求切线方程[例1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 法二：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .[答案] D考法(二) 求切点坐标[例2] 已知函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0)考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－23，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，23 (2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________. [解析] (1)由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1， ∵e x ＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.(2)∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ， ∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. [答案] (1)D (2)－3考法(四) 两曲线的公切线问题[例4] 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a .∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x， ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e 34＝－e －34.[答案] －e －34[题组训练]1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A.18B.14C.12D ．1 解析：选B 因为y ′＝2(x ＋1)2，所以y ′x ＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝2x ，即y ＝2x －1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×|－1|×12＝14.2．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值为________．解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.答案：13．若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay (a >0)相切于同一点P ，则a 的值为________． 解析：设切点P (x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 2＝ay 0，解得a ＝2e.答案：2e考点三 定积分的运算及应用[题组训练]1. ⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________.解析：⎠⎛0π (sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2. 答案：2 2. ⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________.解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π×22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋13．由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为____________．解析：法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤ x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫ x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136.法二：如图所求阴影的面积就是三角形OAB 的面积减去由y 轴，y ＝x ，y ＝2－x 围成的曲边三角形的面积，即S ＝12×2×3－⎠⎛01 (2－x －x )d x ＝3－⎝⎛⎭⎫2x －12x 2－23x 32⎪⎪⎪1＝3－⎝⎛⎭⎫2－12－23＝136. 答案：1364．一物体在力F (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)． 答案：361．正确选用求定积分的4个常用方法 定理法 性质法 几何法 奇偶性法 2．定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[课时跟踪检测]A 级1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.4.(2019·四川名校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选C 设f ′(3)，f (3)－f (2)，f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，数形结合知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.5.(2019·玉林模拟)由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13 B.310 C.14D.15解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01 (x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪10＝13. 6．(2018·安庆模拟)设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.7．(2018·延边期中)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线的斜率k ≥－3，所以切线的倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 8．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以1×⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：29．(2019·重庆质检)若曲线y ＝ln(x ＋a )的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋eb ＋2的取值范围为________． 解析：由y ＝ln(x ＋a )，得y ′＝1x ＋a.设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b ＝a e －2.∵b >0，∴a >2e，∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：[2，＋∞)10．(2018·烟台期中)设函数F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞B 级1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x ⎪⎪⎪10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 2．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]， x 2－1，x ∈(1，2]，则⎠⎛-12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 解析：选A ⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-111－x 2d x ＋⎠⎛12 (x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 3．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C 因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列， 所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8， 所以f ′(0)＝84＝212.4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 019(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x .6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ．2 5 B ．2 C ．2 3D. 3解析：选A 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M 处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，点M 到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．∵y ′＝22x －1，∴22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5. 7．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0. 答案：y －3＝08．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)是定值，理由如下：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.9．已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，问：在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x 也相切？若存在，满足条件的 x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1(x ＞0且x ≠1)，∴f ′(x )＝1x ＋2a(x －1)2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1，∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x (x －1)2. ∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间． (2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. ∵g (x )＝ln x ，∴g ′(x )＝1x，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.①设直线l 与曲线h (x )＝e x 相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x ，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0.②由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝ x 0＋1x 0－1.下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增，又∵f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，∴结合零点存在性定理，知方程f (x )＝0在区间(e ，e 2)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的x 0.第二节 导数的简单应用一、基础知识1．函数的单调性与导数的关系在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在❶(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；❷，f(a)而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点❸叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)开区间上的单调连续函数无最值．,(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.f′(x 0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.二、常用结论(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．(2)若函数f (x )在开区间(a ，b )内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． (3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．第一课时 导数与函数的单调性 考点一 求函数的单调区间1．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增 B ．在(0，＋∞)上单调递减 C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减 解析：选D 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)， 当f ′(x )＞0时，解得x ＞1e，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞； 当f ′(x )＜0时，解得0＜x ＜1e，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，故选D. 2．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________． 解析：设幂函数f (x )＝x a ，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22a ，a ＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2， 则g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )， 令g ′(x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)． 答案：(－2,0)3．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是___________________________________________________________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x ＞0(x ∈(－π，π))， 解得－π＜x ＜－π2或0＜x ＜π2，即函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 考点二 判断含参函数的单调性(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①当a ≤2时，则f ′(x )≤0， 当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a ＞2时，令f ′(x )＝0， 得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[题组训练]已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴． (1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性． 解：(1)g ′(x )＝1x＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴， 得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a －1. (2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1， 即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0，得12a ＜x ＜1， 即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减； 若12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0，得x ＞12a 或0＜x ＜1， 由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a，即函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0， 即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减．考点三 根据函数的单调性求参数[典例精析](1)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________．(2)若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为________．[解析] (1)函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.(2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 答案：(1)⎣⎡⎦⎤－13，13 (2)⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)[变式发散]1．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上单调递增”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，即a ≤1x 2－2x 恒成立，又因为当 x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]2．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 所以h ′(x )＜0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a ＞1x 2－2x有解，而当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ＞－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(0，＋∞)3．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上不单调”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上不单调，所以h ′(x )＝0在(1,4)上有解，即a ＝1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1在(1,4)上有解， 令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1,4)，则－1＜m (x )＜－716.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－716. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－716 [题组训练]1．(2019·渭南质检)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则m 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4，①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由题意可得f ′(1)·⎝⎛⎭⎫－19＝－1，即3a ＋2b ＝9.② 联立①②两式解得a ＝1，b ＝3， ∴f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x .令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2. ∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增， ∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0或m ＋1≤－2，即m ≥0或m ≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)2．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立． 令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增， 所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a ＞0， 所以0＜a ≤25或a ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) [课时跟踪检测]A 级1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＞33或x ＜－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，结合选项知选A.3．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，4] C ．(－∞，8]D ．[－2,4]解析：选B f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x ，∵函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，∴x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.4．(2019·咸宁联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]解析：选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，由x －9x ≤0，得0＜x ≤3，∴f (x )在(0,3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.5．(2019·南昌联考)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A ∵函数f (x ＋1)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)．又∵当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，∴当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝cos x －1≤0，即f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数，∴b ＜a ＜c .6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________________．解析：由f (x )图象特征可得，在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0, 在 ⎝⎛⎭⎫12，2上f ′(x )＜0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，f ′(x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′(x )≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 7．(2019·岳阳模拟)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解． 设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ， 令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)8．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)， 由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0； 当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．9．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性． 解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1， ∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a . 易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．B 级1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，又∵f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －1x ＜0，得0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)3．(2019·郴州模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3)4.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此排除A 、B 、D ，故选C.5．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号， 所以f (x )在其定义域内单调递增．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 6．已知f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程； (2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性． 解：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)， 所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1. (2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x －ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x＝a ＋⎝⎛⎭⎫1x －122－14. ①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx 2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a ＞0，且x 2＞x 1，故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，1＋1－4a 2a 上单调递减；④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a＜0，F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，＋∞上单调递减．7．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e ax ＋2x ，其中a ∈R. (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值；(2)若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上具有相同的单调性，求实数a的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝2－1x，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝12处取得极小值，且f ⎝⎛⎭⎫12＝1＋ln 2，无极大值． (2)由题意知，f ′(x )＝a －1x，g ′(x )＝a e ax ＋2，①当a ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，而f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，故必存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上单调递增；②当a ＝0时，f ′(x )＝－1x ＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；③当a ＜0时，f ′(x )＝a －1x ＜0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞上单调递增，若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上有相同的单调性，则有1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ＞0，解得a ＜－2. 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．第二课时 导数与函数的极值、最值 考点一 利用导数研究函数的极值考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值[例1] 已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值．[解] 由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex .①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0， 得e x ＝a ，即x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．[例2] 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R.讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x ＞－1)．令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝1，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当 a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． 当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． 当a ＞89时，Δ＞0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1＜－14，x 2＞－14.由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；。
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专题03 导数及其应用易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系A ，B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图所示，则一定有A ．两机关单位节能效果一样好B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好C ．A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C.因为在(0，t 0)上，()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭，所以在(0，t 0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比B 机关单位大．【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在0[0]t ,上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好．故选B. 【参考答案】B1．平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，2()y f x ∆=-1()f x ，则平均变化率可表示为y x∆∆. 2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近的常数.1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？【答案】见解析.【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝10015005-=-，山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝1510170504-=-，∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多．易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P (2,8)作曲线3y x =的切线，则切线方程为A ．12160x y --=B ．320x y -+=C ．12160x y -+=或320x y --=D ．12160x y --=或320x y -+=【错解】设()3f x x =，由定义得f ′(2)=12，∴所求切线方程为()8122y x -=-，即12160x y --=.【错因分析】曲线过点P 的切线与在点P 处的切线不同．求曲线过点P 的切线时，应注意检验点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，应分P 为切点和P 不是切点讨论．【试题解析】①易知P 点在曲线3y x =上，当P 点为切点时，由上面解法知切线方程为12160x y --=.②当P 点不是切点时，设切点为A (x 0，y 0)，由定义可求得切线的斜率为203k x =.∵A 在曲线上，∴300y x=，∴32000832x x x -=-，∴3200340x x -+=， ∴()()200120x x +-=，解得01x =-或x 0=2(舍去)，∴01y =-，k =3，此时切线方程为y +1=3(x +1)，即320x y -+=.故经过点P 的曲线的切线有两条，方程为12160x y --=或320x y -+=. 【参考答案】D1．导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k . 2．曲线的切线的求法若已知曲线过点00(),P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解： （1）当点00(),P x y 是切点时，切线方程为()000()y y f x x x '-=-； （2）当点00(),P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过()11()P x f x '，的切线方程为()()()111 y f x f x x x -='-； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程()()()111 y f x f x x x -='-，可得过点00(),P x y 的切线方程．2．已知函数0()(2018ln ),()2019f x x x f 'x =+=，则0x = A ．2e B ．1C ．ln 2018D ．e【答案】B【解析】()(2018ln ),f x x x =+Q()2018ln 12019ln f 'x x x ∴=++=+，又因为0()2019f 'x =， 所以02019ln 2019x +=， 解得01x =，故选B.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.在求曲线()y f x =的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线()f x 上）的切线方程，前者的切线方程为()()()000y f x f x x x -='-，其中切点()()00,x f x ，后者一般先设出切点坐标，再求解.易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数：（1）22()2f x a ax x =+-； （2）sin ()ln x xf x x=.【错解】（1）22()(2)22f x a ax x a x ''=+-=+； （2）2sin (sin )sin cos ()()sin cos 1ln (ln )x x x x x x xf x x x x x x x x'+''====+'.【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x ，a 是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了. 【试题解析】（1）22()(2)22f x a ax x a x ''=+-=-； （2）22sin (sin )ln sin (ln )sin ln cos ln sin ()()ln (ln )ln x x x x x x x x x x x x x xf x x x x''⋅-⋅+-''===. 【参考答案】（1）()22f x a x '=-；（2）2sin ln cos ln sin ()ln x x x x x xf x x+-'=.1．导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．导数计算的方法①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；3．已知()f x =1()2f '=A ．2ln2--B ．2ln2-+C ．2ln2-D ．2ln2+【答案】D【解析】依题意有()()121122ln 22x x x f x x-⋅⋅⋅'=，故12ln22ln221f +⎛⎫=⎪⎭'=+ ⎝，所以选D. 【名师点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数计算，考查函数除法的导数计算，属于中档题.易错点4 区分复合函数的构成特征求下列函数的导数：（1）()221y x =+； （2）22cos y x =. 【错解】（1）()221y x '=+； （2）2sin2xy =-. 【错因分析】这是复合函数的导数，若()(),y f u u h x ==，则x u x y y u '='⋅'.如（1）中，22,1y u u x ==+，()()222221241x y u x x x x x '=⋅=+⋅=+，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求导公式求导．【试题解析】解法一：（1）∵()2242121y x x x =+=++，∴344y x x '=+.（2）∵221cos cos 2x y x +==，∴1sin 2y x '=-. 解法二：（1）()()()22221141y x x x x '=+⋅+'=+．（2）12coscos 2cos sin sin 2222()()(22)x x x x x y x '=⋅'=⋅-⋅'=-. 【参考答案】（1）()241y x x '=+；（2）1sin 2y x '=-.1．求复合函数的导数的关键环节： ①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. 2．求复合函数的导数的方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.4⎛ ⎝⎭处的切线方程是__________．【答案】20x y -=【解析】πcos 3y x '⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以斜率为π1cos 032⎛⎫+= ⎪⎝⎭，切线方程为1,20.2y x x y =-+= 易错点5 审题不细致误设函数()2ln af x ax x x=--. （1）若()20f '=，求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围． 【错解】（1）∵()22a f x a x x '=+-，∴()2104a f a '=+-=，∴45a =. ∴()()2224422252555f x x x x x x'=+-=-+， 令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得122x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为122()()-∞+∞U ，，，单调递减区间为1()22，．（2）∵()f x 在定义域上为增函数，∴()0f x '≥恒成立，∵()22222a ax x af x a x x x-+'=+-=，∴220ax x a -+≥恒成立， ∴2440a a >⎧⎨∆=-≤⎩，∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞. 【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R 上取值的恒成立问题加以区分． 【试题解析】（1）由已知得x >0，故函数()f x 的定义域为(0，+∞)．∵()22a f x a x x '=+-， ∴()2104af a '=+-=，∴45a =.∴()()2224422252555f x x x x x x'=+-=-+，令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得122x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1()22，．（2）若()f x 在定义域上是增函数，则()0f x '≥对x >0恒成立，∵()22222a ax x af x a x x x -+'=+-=，∴需x >0时220ax x a -+≥恒成立，即221xa x ≥+对x >0恒成立． ∵222111x x x x=≤++，当且仅当x =1时取等号， ∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.【参考答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1()22，；（2）[1,)+∞.用导数求函数()f x 的单调区间的“三个方法”：1．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)可解时， ①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数()y f x '='；③解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2．当方程()0f x '=可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；②求导数()y f x '='，令()0f x '=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；④确定()f x '在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 3．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)及方程()0f x '=均不可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；②求导数并化简，根据()f x '的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定()f x '的符号； ③得单调区间．5．已知函数()322f x x ax b x =+-，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线30y -=平行，求a 与b 满足的关系； （2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0,1a b ==时，对任意的()0,x ∈+∞，总有()()e xf x x k <+成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2320a b +-=；（2）①当0a =时，()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，()f x 在2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；（3）[)2,-+∞. 【解析】（1）由题意，得22()32f 'x x ax b =+-.由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得(1)0f '=. 即2320a b +-=.（2）当0b =时，2()32f 'x x ax =+，由()0f 'x =知240a ∆=≥.①当0a =时，0∆=，()0f 'x ≥在R 恒成立，∴函数()f x 在R 上单调递增.②当0a >时，由()0f 'x >，解得0x >或23x a <-； 由()0f 'x <，解得203a x -<<. 函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，()0f 'x >，解得23x a >-或0x <； 由()0f 'x <，解得203x a <<-. 函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减. （3）当0,1a b ==时，3()f x x x =-，由()()e xf x x k <+，得()3e xx x x k -<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立.0x Q >，21e x x k ∴-<+，21e x k x ∴>--在()0,x ∈+∞恒成立.设()()21e ,0xg x x x =-->，则()2e xg'x x =-，令()2e xh x x =-，则()2e xh'x =-，由()0h'x =，解得ln2x =. 由()0h'x >，解得0ln2x <<； 由()0h'x <，解得ln2x >.∴导函数()g'x 在区间()0,ln2上单调递增；在区间()ln2,+∞上单调递减，()()ln22ln220g'x g'∴≤=-<，∴()g x 在()0,+∞上单调递减， ()()02g x g ∴<=-，2k ∴≥-.故所求实数k 的取值范围[)2,-+∞.本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.易错点6 极值的概念理解不透彻已知()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b +=________.【错解】7-或0由题得，2()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，所以a b ＋等于7-或0.【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“()101f x '=≠>=是f (x )的极值点”的情况．【试题解析】由题得，2()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，所以a b ＋等于7-或0.当4,11a b ==-时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-在x =1两侧的符号相反，符合题意. 当3,3a b =-=时，2()3(1)f x x '=-在x =1两侧的符号相同，所以3,3a b =-=不合题意，舍去. 综上可知，4,11a b ==-，所以7a b +=-. 【参考答案】7-对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑()00f x '＝，又要考虑在0x x =两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根．1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． 2．求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值，如果()f x '在这个根的左右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.6．若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．−2 B ．3C ．−2或3D ．−3或2【答案】B 【解析】()()()()23222()2(131)133f 'x f x x a x a a x a x x a a =++-+-⇒+-+=-+，由题意可知(1)0f '=，()2(1)12(1)303f 'a a a a ⇒+-+=-⇒+==或2a =-，当3a =时，()222389(9)(1)()2(1)f 'x x a x a a x x x x +-=++-=+-=+-，当1,9x x ><-时，()0f 'x >，函数单调递增；当91x -<<时，()0f 'x <，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()2222()232(111))(0a a f 'x x a x x x x +-=-++=-=+≥-，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选B.【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.（1）()f x 在0x x =处有极值时，一定有()00f x '=，()0f x 可能为极大值，也可能为极小值，应检验()f x 在0x x =两侧的符号后才可下结论；（2）若()00f x '=，则()f x 未必在0x x =处取得极值，只有确认102x x x <<时，()()120f x f x ⋅<，才可确定()f x 在0x x =处取得极值．（3）在本题中，不要遗漏掉3a =-这种特殊情况.一、导数的概念及计算 1．导数的定义：00()()()limlimx x y f x+x f x f x x x∆→∆→∆∆-'==∆∆. 2．导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.求曲线()y f x =的切线方程的类型及方法（1）已知切点()00,P x y ，求()y f x =过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k ，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，通过方程()0k f x ='解得x 0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，利用导数求得切线斜率()0f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由()0k f x ='求出切点坐标()00,x y ，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是 否在已知曲线上． 3．基本初等函数的导数公式4．导数的运算法则（1）()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝.（2）()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋.（3）2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠. 5．复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()()y f u u g x ==,的导数间的关系为x u x y y u '='⋅'，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 二、导数的应用1．函数的单调性与导数的关系 一般地，在某个区间(a ,b )内：①如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; ②如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; ③如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数3()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥.（3）函数()f x 在(a ,b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ,b )内恒成立，且()f x '在(a ,b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数()f x 在区间内 的单调性.2．函数的极值与导数的关系 一般地，对于函数()y f x =，①若在点x = a 处有f ′(a )= 0，且在点x = a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x= a 为f (x )的极小值点；()f a 叫做函数f (x )的极小值.②若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x= b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值．③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 3．函数的最值与极值的关系①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；②在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；③函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； ④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.求函数()y f x =在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数()y f x =在(a ,b )内的极值；②将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a −1=0，解得a =1，所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1， 所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x . 故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线y =f(x)在某个点(x 0,f(x 0))处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f′(x)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.4(),x y 处的切线斜率为()g x ，则函数()2y x g x =的部分图象可以为A ．B ．C ．D ．【答案】DB 、C 错误；又当πx =时，0y =，当0y <，选项A 错误； 本题选择D 选项.【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 5．函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e- B ．1e C ．12e-D ．12e【答案】C【解析】由题得(0,)x ∈+∞，()2ln (2ln 1)f x x x x x x '=+=+， 令2ln 10x +=，解得12ex -=，则当12(0,e )x -∈时，()f x 为减函数，当12(e ,)x -∈+∞时，()f x 为增函数， 所以12e x -=处的函数值为最小值，且121(e )2ef -=-. 故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.6．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()21x f x '>，()522f =，则关于x 的不等式()1e 3ex x f <-的解集为A ．()20,e B ．(),ln2-∞ C ．()0,ln2D ．()2e ,+∞【答案】B【解析】令()()1,0g x f x x x=+>，则()()()22211x f x g x f x x x -=-='''， ∵()21x f x '>，∴()()2210x f x g x x -='>'，∴函数()()1g x f x x=+在()0,+∞上单调递增． 又()522f =，∴()()12232g f =+=． 结合题意，不等式()1e 3e x x f <-可转化为()()11e 2e 2x x f f +<+，即()()e 2x g g <，∴0<e 2x <，解得ln2x <，原不等式的解集为(),ln2-∞． 故选B ．【名师点睛】对于含有导函数的不等式的问题，在求解过程中一般要根据不等式的形式构造出相应的函数，然后根据所给的不等式得到导函数的符号，进而得到构造的函数的单调性，再根据所构造的函数的单调性进行解题，其中根据题意构造符合题意的函数是解题的关键．由()21x f x '>构造函数()()1g x f x x =+，则有()()2210x f x g x x -='>'，从而得到函数()()1g x f x x=+在()0,+∞上单调递增．又()()12232g f =+=，所以不等式()1e 3e x x f <-可化为()()11e 2e 2x x f f +<+，根据函数()g x 的单调性可得0<e 2x <，于是可得所求结果．7．已知定义在()0,+∞上的函数()()2,6ln 4f x x m h x x x =-=-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公共点处的切线相同，则m 值等于 A ．−3 B ．1 C ．3D ．5【答案】D【解析】设函数()()2,6ln 4f x x m h x x x =-=-在公共点（a ,b ）（a ＞0）处的切线相同，由题得()()62,4,f x x h x x =-'=所以26ln 4624b a m b a a a a ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，解之得a =1,b =−4,m =5.故答案为D.【名师点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是根据已知得到方程组26ln 4624b a m b a a a a ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=-⎩.8．若函数()51ln 12f x x ax ax=+--在()1,2上为增函数，则a 的取值范围为 A ．()1,0,24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦UB ．()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦U C ．[)11,00,4⎛⎤- ⎥⎝⎦UD ．[)11,0,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦U【答案】B【解析】依题意可得()25102f x a x ax =-'-≥对x ()1,2∈恒成立， 即25102ax x a-+≤对x ()1,2∈恒成立.设g (x )= a 2512x x a-+，x ()1,2∈.当a >0时，()()5110212450g a ag a a ⎧=-+≤⎪⎪⎨⎪=-+≤⎪⎩，解得112a ≤≤.当a <0时，g (0)=10a <，−522a -=504a<，()()01,2g x x ∴<∈对恒成立.综上，a 的取值范围为()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦U . 故选B.【名师点睛】本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，是一道中档题，其基本解题思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知函数单调性求参数的范围问题往往转化为求相应函数的最值问题，体现了转化的数学思想，很好地考查了学生的计算能力． 9．若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是 A ．[]2,2- B ．[0,2]C ．[]2,0-D ．2()()2-∞-+∞U ，， 【答案】A【解析】由题意得，方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则33m x x -=-，x ∈[0,2]，令33y x x =-，x∈[0,2]，则233y x '=-，令0y '>，解得x >1，因此函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，又x =1时，2y =-；x =2时，y =2；x = 0，y = 0，∴函数33y x x =-，x ∈[0,2]的值域是[]2,2-，故[]2,2m -∈-，∴[]2,2m ∈-，故选A. 10．函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得2x <-或02x <<，此时函数单调递增，由()0f x '<得22(21)0x x ->，得2x >或02x -<<，此时函数单调递减，排除C. 故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键. 11．已知函数()()()32211132132f x x a x a a x =+-+-+，若在区间()0,3内存在极值点，则实数a 的取值范围是 A ．()0,3B ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()()0,11,3UD ．()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭U 【答案】C【解析】()()()()2213221,f x x a x a a x a x a ⎡⎤=+-+-=---⎣⎦' 令()0f x '=,则x =a 或x =2a −1.若1a =,则()21,0a a f x '=-≥R 在上恒成立,函数()f x 在R 上单调递增，所以()f x 没有极值点; 若1a >,则21a a <-, 由于f (x )在区间()0,3内存在极值点,所以3,13a a <∴<<； 若1a <,则21a a >-,由于f (x )在区间()0,3内存在极值点,所以0,01a a >∴<<. 综上所述,0113a a <<<<或, 故选C.【名师点睛】本题考查导数在求函数极值中的应用，比较21a a -与的大小，11a a ><分和进行讨论. 12．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxxy x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．【答案】y =2x –2【解析】由y =f(x)=2lnx ，得f ′(x)=2x .则曲线y =2lnx 在点(1,0)处的切线的斜率为k =f ′(1)=2， 则所求切线方程为y −0=2(x −1)，即y =2x −2.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.14．已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】−3√32【解析】f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)，所以当cosx <12时函数单调递减，当cosx >12时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数f (x )取得最小值， 此时sinx =−√32,sin2x =−√32， 所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32. 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.15．已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212e x x ==(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=令()ln g t t =-，则4()4g t t-'= ∴当18t <<时，()0g t '>，()g t 在()1,8上单调递增；当8t >时，()0g t '<，()g t 在()8,+∞上单调递减，∴当8t =时，()g t 取得最大值，为(8)ln823ln22g =-=-.故答案为3ln 22-.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；（4）判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.16．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],0a ∈-∞.【解析】（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈„时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.17．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）()f x 的定义域为（0，+∞）.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<，1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=. 又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因此，()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知()0(1)2f x f <=-，又()22e e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=.由01x α>>得011x α<<.又1111()1ln 10f f αααααα⎛⎫⎛⎫=---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根.综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.18．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()22f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围． 【答案】（1）见详解；（2）8[,2)27. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3ax =． 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．（2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫⎪⎝⎭．当23a ≤<时，327a 单调递增，所以M m -的取值范围是8[,1)27．综上，M m -的取值范围是8[,2)27． 【名师点睛】这是一道常规的导数题目，难度比往年降低了不少.考查函数的单调性，最大值、最小值的计算.19．已知函数()3213f x x bx cx c =+++. （1）当1x =时，()f x 有极小值196-，求实数,b c ；（2）设()()g x f x cx =-，当()0,1x ∈时，在()g x 图象上任意一点P 处的切线的斜率为k ，若1k <，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）12b =，2c =-；（2）(],0-∞. 【解析】（1）()22f x x bx c '=++Q ，∴由()()101916f f '⎧=⎪⎨=-⎪⎩， 即2107202b c b c ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩， 122b c ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩，此时()()()2221f x x x x x '=+-=+-， 当()2,1x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x ∴在1x =处取得极小值，符合题意，。