【全国百强校】重庆市南开中学2019届高三上学期第一次月考数学(理)试题

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重庆市南开中学2019届高三3月月考试卷(数学理)

重庆南开中学高2019级高三3月考试卷数学（理科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在机读卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上．3．考试结束，监考人员将机读卡和答题卷一并收回．一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必须答在机读卡上． 1．233lim9x x x →-+=-（）A ．13B ．0C ．16D ．16-2．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若142,20,a S ==则6S =（） A ．16 B ．24 C ．36 D ．424．过抛弧线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于A B 、两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（）A ．10B ．8C ．6D ．45．若函数812 (,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，则使01()4f x >的0x 的取值范围为（）A ．(,1)(3,)-∞+∞B ．(,2)(3,)-∞+∞C ．(,2](4,)-∞+∞ D ．(,3)(4,)-∞+∞6．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2),(1)()0f x f x x f x '=--<，设(0)a f =，1()2b f = ，(3)c f =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<7．已知D 是不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为（）A.4πB.2π3C. 4π 3D. 2π8．已知*1log (2)()n n a n n N +=+∈我们把使乘积123n a a a a 为整数的数n 叫做“成功数”，则在区间(1,2011)内的所有成功数的和为（）A ．1024B ．2003C ．2026D ．20489．若x y R +∈、≤a 的最小值是（）A. 1 D. 12+10．如图所示，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，,,AD BC AD AB PA ⊥=∥32,,2AD BC ==60,ADC O ∠=为四棱锥P ABCD -内一点，1,AO =若DO 与平面PCD 成角最小角为α，则α=（）A. 15B. 30C. 45D.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上（只填结果，不要过程）．11．已知(0,1),(1,1)a b ==，且()a nb a +⊥，则n = ；12．在等比数列}{n a 中，12341,2,a a a a +=+=，则5678a a a a +++= ；13．ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若,2a A B ==，则cos B = ；14．在体积的球的表面上有,,A B C 三点，1,,AB BC A C ==两点的球面距离为，则球心到平面ABC 的距离为； 15．已知过点(,0)(2)A t t >且倾斜角为60的直线与双曲线22:145x y C -=交于,M N 两点，交双曲线C 的右准线于点P ，满足3PA AN =，则t = ．三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16．已知函数2()sin(2)cos .6f x x x π=-+（1）若()1,f θ=求sin cos θθ的值；（2）求函数()f x 的单调区间．17．己知21(1,),(1,)a x m b m x=-+=+，当0m >时，求使不等式0a b >成立的x 的取值范围．18．如图所示， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60,2,ABC PA AB N ∠===为PC 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ．（2）求二面角B AN C --的正切值．19．（本小题12分）已知1x =为函数2()(1)xf x x ax e =-+的一个极值点．（1）求a 及函数)(x f 的单调区间；（2）若对于任意2[2,2],[1,2],()22x t f x t mt ∈-∈≥-+恒成立，求m 取值范围．20．（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点，P 为椭圆C 上的动点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 与,A B 均不重合，设直线PA PB 与的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值；（3）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若(1)3OP OMλλ=≤<，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．（本小题12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*1(1)4,2(2,)2n n n n a S na n n N -==+-≥∈．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 满足：2*114,(1)2()n n n b b b n b n N +==---∈且，求证：*(2,)n n b a n n N >≥∈；（3）求证：*23344511111(1)(1)(1)(1)2,).n n n n N b b b b b b b b +++++<≥∈重庆南开中学高2019级高三月考（3月）数学参考答案（理科）一、选择题：DCDBA BBCCA二、填空题： 11．－1 12．12 13．4514．3215．3 三、解答题：16．解：(1)1cos 2()sin 2coscos 2sin662xf x x x ππ+=-+122x =+ ………………………………………………5分由,1)(=θf 可得sin 2θ=所以1sin cos sin 22θθθ==. …………9分(2)当222,,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈即[,],44x k k k Z ππππ∈-++∈时，)(x f 单调递增．所以，函数)(x f 的单调增区间是[,],.44k k k Z ππππ-++∈ (13)分17．解：22(1)(1)()(1)0x m x m x m x x m a b m x x x+-++--=-++==> ………………4分∴当0<m <l 时，(0,)(1,)x m ∈+∞；…………………………7分当m =l 时，(0,1)(1,)x ∈+∞； ………………………………10分当m >l 时，(0,1)(,)x m ∈+∞⋅ ………………………………13分18．解：(1) ABCD BD AC PA ABCD BD PA BD PAC BD ABCD PA AC A ⇒⊥⎫⎪⊥⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎪=⎭是菱形平面平面平面 ………5分(2)由(l)可知，BO ⊥平面P AC ，故在平面P AC 内，作OM ⊥A ，连结BM （如图），则∠BMO 为二面角B AN C --的平面角．在Rt BMO ∆中，易知22,3==OM AOtan BMO ∴∠=即二面角B AN C --………………13分19．解：(1)2()[(2)(1)](1)(1),xxf x x a x a e x x a e '=+-+-=++- ……………………2分由(1)0f '=得：,2=a (3)分()(,1),(1,)f x ∴-∞-+∞在上单调递增，)(x f 在(－1,1)上单调递减 (6)分(2))2,2(-∈x 时，)(x f 最小值为0 ………………………………8分2220t mt ∴-+≤对]2,1[∈t 恒成立，分离参数得：tt m 12+≥易知：]2,1[∈t 时,2312≤+t t 23≥∴m ………………………12分 20．解：(1)由题意可得圆的方程为 ,222b y x =+直线02=+-y x 与圆相切，,22b d ==∴即,2=b又,3c e a==即222,,a a b c ==+得,1,3==c a 所以椭圆方程为.12322=+y x ……………………………………4分(2)设),0)(,(000=/y y x P ),0,3(),0,3(B A -则,1232020=+y x 即,3222020x y -=则1k =2k =即22200012222000222(3)233.3333x x y k k x x x --====---- 12k k ∴的值为2.3- ………………………………………………8分(3)设(,)M x y ，其中[x ∈由已知222||||λ=OM OP 及点P 在椭圆C 上可得,)(3632222222222λ=++=+-+y x x yx x x 整理得,63)13(2222=+-y x λλ其中[x ∈ ………………10分①当33=λ时，化简得,62=y 所以点M 的轨迹方程为),33(6≤≤-±=x y轨迹是两条平行于x 轴的线段；…………………………………………11分 ②当133<<λ时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足33≤≤-x的部分．…………………………………………………………12分21．解：(1)当3≥n 时，(1)2,2n n n n S na -=+-11(1)(2)(1)2,2n n n n S n a ----=-+- 可得：11(1)2,2n n n n a na n a --=---⨯*11(3,)n n a a n n N -∴-=≥∈⋅.3,1222221=∴-+=+a a a a 可得，*4,(1)1(2,)n n a n n n N =⎧=⎨+⋅≥∈⎩……………4分 (2)1当n =2时，,31422212a b b =>=-=不等式成立．2假设当*(2,)n k k k N =≥∈时，不等式成立，即.1+>k b k 那么，当1+=k n 时，21(1)2(1)2222(1)222,k k k k k k b b k b b b k b k k k +=---=-+->->+-=≥+所以当n =k +l 时，不等式也成立．根据(1),(2)可知，当*2,n n N ≥∈时，.n n b a >………………8分 (3)设1()ln(1),()10,11x f x x x f x x x-'=+-=-=<++ )(x f ∴在),0(+∞上单调递减，.)1ln(),0()(x x f x f <+∴<∴ 当*2,n n N ≥∈时，,1111+=<n a b n n ,2111)2)(1(11)11ln(11+-+=++<<+∴++n n n n b b b b n n n n 23341111ln(1)ln(1)ln(1)n n b b b b b b +∴++++++31213121114131<+-=+-+++-<n n n .)11()11)(11(314332e b b b b b b n n <+++∴+ ……………………………12分。

重庆市南开中学高2019届高三数学(理)测试题(2019.03.10)(解析版)

重庆市南开中学高2019届高三数学（理）测试题（2019.03.10）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：图中阴影部分表示的集合，由，则，则．故选：C．阴影部分用集合表示为，只要求出M、N进行集合的运算即可．正确理解集合M、N所表达的含义，以及真确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键．2.设，则“”是“”的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：，，，，推不出，是充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件．故选：B．先找出的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，；．故选：A．容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，以及增函数的定义．4.函数的零点所在的区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，，，的所在区间为．故选：B．据函数零点的判定定理，判断，，，的符号，即可求得结论．考查函数的零点的判定定理，以及学生的计算能力解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，此题是基础题．5.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的一个对称中心是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数，，，把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，令，解得：，当时，函数的对称中心为故选：A．直接利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的对称中心．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，例如如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的n等于A. 22B. 23C. 20D. 21【答案】A【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余1，被5除余2，最小两位数，故输出的n为22，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．7.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为，则A. 23B. 32C. 35D. 38【答案】C【解析】解：由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为，则，解得，故选：C．由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为，则，解得即可．本题考查了等差数列的应用，属于基础题．8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：根据三视图知，该几何体是在圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为．故选：D．根据三视图知该几何体是在圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是中档题．9.若平面向量满足，，，，则的最大值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意，可得：，．．．．则的最大值为．故选：D．本题可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，这样就能方便于计算，切记不要直接计算．本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点本题属中档题．10.某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如下图，利用隔板法，得到共计有种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有1种，“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数，甲领取的钱数不少于其他任何人的概率．故选：B．利用隔板法求出共计有种领法，由此能求出“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数，由此能求出甲领取的钱数不少于其他任何人的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.设，分别是椭圆：的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设，分别是椭圆：的左、右焦点，，．直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，可得，则，解得可得：即：，．解得．故选：A．利用已知条件求出C与A的坐标，把A点的坐标代入椭圆方程即可求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.若对于任意的实数t，函数在R上都是增函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：在R上都是增函数，在R上恒成立，，，令，则，上，，上，，时，，的最小值为，，故选：A．利用在R上都是增函数，可得在R上恒成立，分离参数，再求出右边的最小值，即可得出结论．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，正确分离参数求最值是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z满足是虚数单位，则复数z的共轭复数______．【答案】【解析】解：，．故答案为：．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.已知的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则______．【答案】2【解析】解：由二项式系数和为，得，又令，得各项系数和为，，．故答案为：2．先根据二项式系数的和为，列出方程求出n的值；在对二项式中的x赋值1列出关于a的方程求出a的值．本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查通过给变量赋值求二项展开式的各项系数和，这是解题的关键．15.已知定点，点的坐标满足，当为坐标原点的最小值是2时，实数a的值是______．【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分定点，点，，设，要使当为坐标原点的最小值是2时，即时，点P落在直线上，此时．作出不等式对应的平面区域，利用数量积将进行化简，然后根据图象平移确定a的值．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，BC上的点，，将绕直线BE、绕直线CD各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB与直线DF所成角的最大值为______．【答案】【解析】解：AB不动，由于，故无论直线DF运动到那里，其与CD的夹角不变，与AB的夹角也不变为．若DF不动，AB转动，两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当AB转动到BF的另一侧且与原始位置共面时，若DF不动，可计算出两者的夹角是，若DF转动同一平面的另一边，此时两线的夹角为，取到最大值．故答案为：两者同时动，则线线关系不易确定，可以先固定一个探究规律，再作出判断本题考查两异面直线所成的角，由于本题中两条线不固定，在同时变动的情况下，两线的位置关系变化不好确定，故本题采取了先固定一个，进行研究得出规律．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知中，，，．Ⅰ若，求CD的长；Ⅱ若，，求的值．【答案】本题满分为12分解：Ⅰ由，可得：，在中，由余弦定理可得：，解得：分由，可得：，在中，由正弦定理可知：，可得：，在中，由正弦定理可知：，可得：，故分【解析】Ⅰ由已知利用三角形面积公式可解得BD的值，根据余弦定理即可解得CD的值．由已知可得，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，即可计算得解的值．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.某地区某农产品近几年的产量统计如表：根据表中数据，建立y关于t的线性回归方；根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，参考数据：，计算结果保留小数点后两位【答案】解由题意可知：，，，，又所以y关于t的线性回归方程为由可得，当年份为2019年时，年份代码，此时，所以可预测2019年该地区该农产品的年产量约为万吨．【解析】先计算出和，再代入公式可求得和，进而可得线性回归方程；将2019年的年份代码代入线性回归方程可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．19.如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．证明：直线平面PAB；点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．【答案】证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以，，，，是平行四边形，可得，平面PAB，平面PAB，直线平面PAB；解：四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设，则，，，直线BM与底面ABCD所成角为，可得：，，，可得：，，，作于Q，连接MQ，，所以就是二面角的平面角，，二面角的余弦值为：．【解析】取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角的余弦值即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A、B，过F与直线垂直的直线与椭圆交于C、D，与直线：交于P．求四边形ABCD面积的最小值；求证：直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．【答案】解：Ⅰ椭圆C：的离心率为，，，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．，，椭圆的方程为；Ⅱ斜率不存在时，方程为，代入椭圆方程可得，，，四边形ABCD面积为；斜率不为0时，方程为，代入椭圆方程可得设，，则，，，同理，，，，，四边形ABCD面积的最小值为；的斜率存在时，则直线的方程为．令，则，．的斜率不存在时，由对称性知，．直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．【解析】Ⅰ椭圆C：的离心率为，可得，利用椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，求出b，即可求椭圆C的方程；Ⅱ分类讨论，设出方程代入椭圆方程，利用基本不等式，即可求四边形ABCD面积的最小值；分类讨论，设出方程，证明，即可证明直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于难题．21.设函数，．当时，函数有两个极值点，求a的取值范围；若在点处的切线与x轴平行，且函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，．．令，．时，，在单调递增，不符合题意．时，令，，在上单调递增．令，，在上单调递减．令，．又，，且．时，有两个极值点．综上所述，在点处的切线与x轴平行，且，，且，，在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角即当时，恒成立，令，，设，，，，，在上单调递增，即在上单调递增，，当时，且时，，在上单调递增，成立，当，在单调递增，，，存在有，当时，，单调递减，，不恒成立；实数a的取值范围为【解析】先求导，再分类讨论，利用导数判断函数的单调性，即可求出判断函数的极值点的情况，即可求出a的范围；先根据导数的几何意义求出，再根据函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，可得恒成立，构造函数，利用导数，即可求出a的范围本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，训练了利用分离变量求参数的取值范围，考查了学生的运算能力，在分类讨论时，此题对细节的分类要求较高，属难度较大的题目．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数是曲线上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转得到线段ON，设点N的轨迹为曲线以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线，的极坐标方程；在的条件下，若射线与曲线，分别交于A，B两点除极点外，且有定点，求的面积．【答案】解：曲线的参数方程为为参数．由题设，得的直角坐标方程为，即，分故C的极坐标方程为，即分M是曲线上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转得到线段ON，点N的轨迹为曲线．设点，则由已知得，代入的极坐标方程得，的极坐标方程为分射线与曲线，分别交于A，B两点除极点外，将代入，的极坐标方程得，分又，，分，分分【解析】由曲线的参数方程能求出的直角坐标方程，由此能求出的极坐标方程；设点，由已知得，代入的极坐标方程，能求出的极坐标方程．将代入，的极坐标方程得，由，能求出的面积．本题考查曲线的极坐标的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知a，b均为正实数，且．求的最大值；求的最大值．【答案】解：，当且仅当，即时，取等号，故原式的最大值为12．原式，因为，当且仅当，即时，取等号，以，故原式的最大值为．【解析】利用平方以及柯西不等式转化求解即可．利用基本不等式，转化求解函数的最值．本题考查不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。

重庆市南开中学2019届高三三月测试题数学(理)试题(含参考答案)

重庆市南开中学高2019届高三数学考试理科数学试题2019.03.10一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的． 1．已知全集U R =，1218x N x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，(){}ln 1M x y x ==--，则图中阴影部分表示的集合是A ．(3,1)--B ．()3,0-C ．[)1,0-D ．(),3-∞-2．设01a <<，则“log 1a b >”是“b a <”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知21log 3a =，35b -=，122c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<4．函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,55．将函数()2cos cos f x x x x =+的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个对称中心是（） A ．1,42π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,42π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1,122π⎛⎫⎪⎝⎭D ．51,122π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 6．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod4=，如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的n 等于（）A ．20B ．21C ．22D ．237．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则1a =（） A ．23B ．32C ．35D ．388．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．38πB ．4πC ．524πD ．724π 9．若平面向量,,a b c 满足2a =，4b =，4a b ⋅=，3c a b -+=，则c b -的最大值为（）ABC ．D ．10．某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（） A ．13B ．821C ．37D ．51811．设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足1132FC AF =且1230CF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（） A．3B．6C ．13D ．1611．若对任意的实数t ，函数()()()333t f x x t x e ax =-+--在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C．,2⎛-∞ ⎝⎦D．,2⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数z 满足2i1iz =-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =________． 14、已知()1nax +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a =________．15．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430352500x y x y x a -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，当OP OA OA ⋅（O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是________．16．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，20ABE ∠=︒，30CDF ∠=︒．将ABE 绕直线BE 、CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为________．三、解答题17．已知ABC 中，2BC =，45B =︒，AD AB λ=（01λ<<）．（1）若1BCDS=，求CD 的长；（2）若30A =︒，13λ=，求sin sin ACDDCB∠∠的值．18．某地区某农产品近几年的产量统计如表：（I ）根据表中数据，建立关于t 的线性回归方程y bt a =+；（Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,t y ，()22,t y ，…， (),n n t y ，其回归直线y bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆˆˆ,nii i ni i tty y bay bt tt==--==--∑∑．（参考数据：()()612.8ii i tty y =--=∑，计算结果保留小数点后两位）19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M AB D --的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线1l 与椭圆交于C 、D ，过F 与1l 垂直的直线2l 与椭圆交于C ，D ，与3:4l x =交于P ，求证：直线PA ，PF ，PB 的斜率PA k ，PF k ，PB k 成等差数列． 21．设函数()()2ln 1f x x x ax b x =-+-，()xg x e ex =-．（1）当0b =时，函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在()1,x ∈+∞时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()5cos 55sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线()03πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（除极点外），且有定点()4,0T ，求TAB △的面积． 23．选修4-5：不等式选讲已知a ，b 均为正实数，且1a b +=．（1）求2的最大值；（2）求1aba+的最大值．重庆南开中学高2019级高三数学（理）测试（3．10）一、选择题CBABA CCDDB AA 二、填空题13．1i -- 14．2 15．2 16．70︒三、解答题 17．（1）由1··sin45122BCDSBC BD BD BD =︒==⇒= 在BCD △中，由余弦定理可得：2222cos454242CD BC BD BC BD CD =+-⋅⋅︒=+-=⇒=（2）由123AD AB BD AD =⇒=，在ADC △中，由正弦定理可知sin sin sin sin 2CD AD A AD ADACD A ACD CD CD ⋅=⇒∠==∠，在BDC △中，由正弦定理可知sin sin sin sin CD BD B BD BCD B BCD CD ⋅=⇒∠==∠，故sin sin 2ADACD BCD CD∠====∠18．（1）由题意可知：123456 3.56t +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()622222221( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5l i t t =-=-+-+-+++=∑，∴()()()12112.8ˆ0.1617.5niii ni t t y y bt t ==--===-∑∑，又70.16 3.5 6.44b a y t =-=-⨯=，∴y 关于t 的线性回归方程为0.16 6.44y t =+．（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码8t =，此时0.168 6.447.72y =⨯+= 所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7．72万吨．19．（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 的中点，所以EF AD ，12EF AD =，由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC AD ，又12BC AD =，所以EF BC ，四边形BCEF 为平行四边形，CEBF ．又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE平面PAB ．（2）已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向， AB 为单位长，建如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C，(P ．(1,0,(1,0,0)PC AB ==，则(1,,),(,1,BM x y z PM x y z =-=- ．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45︒，而()0,0,1n =是底面ABCD 的法向量，所以cos ,sin 45,2BM n =︒=，即222(1)0x y z -+-=．又M 在棱PC上，设PM PC λ=，则,1,x y z λ===，由①，②112x y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩（舍去），112x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩122M ⎛-⎝⎭，从而122AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．设()000,,m x y z =是平面ABM 的法向量，则00m AM m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0000(2200x y x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(0,6,2)m =-．于是10cos ,||||m n m n m n ⋅==．因此二面角M AB D --20．（1）由题意知12c e a ==，所以22214a b a -=，即2243a b =，又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆222x y b +=，与直线0x y -+=相切，所以b ==，所以24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由题意知直线1l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的方程为()1y k x =-．由()221,143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=．①设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,A x y -，利用根与系数的关系得2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由题意知直线2l AE 的斜率为1k -，则直线2l 的方程为()11y x k =-- 令4x =，得P 点的坐标34,P k ⎛⎫-⎪⎝⎭()()12121212123311311444444PA PBy y k x k x k k k k x x x x k x x ++--⎛⎫+=+=+++ ⎪------⎝⎭()()()1212121212121225883416416x x x x x x k x x x x k x x x x ++++-=⨯+⨯-++-++ 2222222222222241288258834343434128412841641643434343k k k k k k k k k k k k k k k k --⨯+-+++=⨯+⨯---⨯+-⨯+++++ ()()22203242422361361PF k k k k k k k --=⨯+⨯=-=++即2PA PB PF k k k +=，所以,,PA PF PB k k k 成等差数列；21．（1））当b =0时，2()ln ,()ln 2f x x x ax x f x x ax '=--=-，所以2()ln f x x x ax x =--有两个极值点就是方程ln 20x ax -=有两个解，即2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有两个． ∵21ln ()xm x x-'=，当()0,x e ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增；当,()x e ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减，()m x 有极大值1e ．又因为(]0,1x ∈时，()0m x ≤；当()1,x ∈+∞时，()102m x e<<．当1,2a e ∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有0个；当(],0a ∈-∞或12a e =时2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有1个；当10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln xm x x =的图象的交点有2个；综上10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（2）函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，所以()10f '=且()10f ≠，因为()ln 2 f x x ax b '=-+，所以2b a =且1a ≠；()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-在()1,x ∈+∞时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当1x >时，()()()0h x f x g x '''=+>恒成立，即ln 220,xx e ax a e +-+->令()ln 22xt x x e ax a e =+-+-，∴()12xt x e a x'=+- 设211()2,()x x x e a x e x x ϕϕ'=+-=-，因为1x >，所以21,1x e e x><，∴()0x ϕ'>， ∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，即()t x '在(1,)+∞单调递增， ∴()()112t t e a x ''>=+-，当12ea +≤且1a ≠时，()0t x '≥．所以()ln 22xt x x e ax a e =+-+-在(1,)+∞单调递增，∴()()10t x t >=成立．当12ea +>，因为()t x '在(1)+∞单调递增，所以()1120t e a '=+-<， ()1ln 2220ln 2t a a a a'=+->，所以存在()01,ln2x a ∈有()00t x '=；当()01,x x ∈时，()0t x '<，()h x 单调递减，所以有()()010t x t <=，()0t x >不恒成立；所以实数a 的取值范围为1(,1)1,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦． 22．（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为()22525x y +-=，即22100x y y +-=，故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．设点(),N ρθ(0)ρ≠，则由已知得,2M a πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin 2πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭即()10sin 0ρθρ=≠．（2）将3πθ=代12,C C的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()4,0T，所以11||||sin 15,||||sin 2323TOA TOB S OA OT S OB OT ππ∆∆=⋅==⋅=所以15TAB TOA TOB S S S ∆∆∆=-=- 23．（1）(2211=()2211(4141)a b ≤+⋅+++()2422(412)12a b =++=⨯+=⎡⎤⎣⎦，当且仅当=12a b ==时，取等号，故原式的最大值为12．（2）原式=112122ab b a b a ab a b===+++，因为121222()123b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33≥+=+2b a a b =，即12a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩3≤=-故原式的最大值为3-．。

重庆市南开中学2018-2019学年高三上学期1月月考数学试卷(理科)Word版含解析

2018-2019学年重庆市南开中学高三（上）月考数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项最温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

发奋的拼搏写就出孜孜不倦，辛勤的汗水洒落处点点花开，寂静的无人处蕴含着丝丝心声，完美的画卷中展现出似锦前程，胜利的号角在耳边回响，六月的骄阳似火绽放着无悔激情！新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

是符合题目要求的.1．设复数z的共轭复数为，若=（）A．i B．﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．已知等差数列{a n}满足：a5+a8﹣a10=2，则{a n}的前5项和S5=（）A．10 B．9 C．8 D．73．“p或q为假”是“p且q为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线事的一条渐近线与直线y=2x+5平行，则双曲线的离心率等于（）A．2 B．5 C．D．5．下列四个函数中，图象既关于直线对称的是（）A． B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，则输出的数的个数是（）A．7 B．6 C．5 D．47．已知函数，若f （x ）﹣mx ≥﹣1恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．2 B ．C ．6D ．48．在的展开式中，常数项为（）A ．36B ．48C ．63D ．729．已知圆O ：x 2+y 2=4，直线，则圆O 上任意一点A 到直线l 的距离小于的概率为（）A ．B ．C ．D ．10．已知实数x ，y 满足可行域，曲线C ：|x|+|y|﹣a=0恰好平分可行域D 的面积，则a 的值为（）A ．2B ．C ．D ．11．如图，F 1F 2为椭圆C ：=1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上一点，延长PF 1、，PF 2分别交椭圆C 于A ，B ．若=2，=，则λ=（）A ．1B ．C ．D ．12．设函数f ′（x ）是函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （0）=1，且3f （x ）=f ′（x ）﹣3，则4f（x ）＞f ′（x ）的解集为（）A ．（，+∞）B ．（，+∞）C ．（，+∞）D ．（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．13．已知随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2）（μ＞0），且p （ξ＜2μ）=0.8，则p （μ＜ξ＜2μ）=．14．若向量与满足||=，||=2，（﹣）⊥则向量与的夹角的余弦值为．15．用4种不同的颜色对图中A，B，C，D，E，F六个点进行染色，要求同一线段的两点（如：AC，BD，…）颜色不相同，而且相邻的两点（如：AB，BC，…）颜色也不相同，则不同的染色方案种数为（用数学作答）．16．用max{x，y}表示x，y两个数中的最大数，若△ABC的三个内角满足：A≤B≤C，则的取值范围为．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，2S n=3a n﹣3（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n=log3a n+a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC=（2b﹣c）cosA．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若a=3，求△ABC面积S的取值范围．19．某小组为了研究中学生的视觉和空间能力是否与性别有关，从学校各年级中按分层抽样的方法抽取50名同学（男生30人，女生20人）．给每位同学难度一致的几何题和代数题各一道，让他们自由选择一道题进行解答．50名同学选题情况如下表：几何体代数题总计男同学22 8 30女同学8 12 20总计30 20 50（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．参考公式和数据：0.10 0.050 0.025 0.010 0.001P（k2≥k）k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 20．已知椭圆的离心率为，右顶点A是抛物线y2=8x的焦点．过D（1，0）直线l与椭圆C相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若，且点M关于直线l的对称点N在y轴上，求直线l的方程．21．已知函数．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x轴上方，求m的取值范围；（Ⅱ）若对任意的正整数n都有成立，求a的最大值．请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

重庆南开中学2019年高三数学理测试题含解析

重庆南开中学2019年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，则下列结论正确的是（）A．在区间内单调递增B．在区间内单调递减C.是偶函数D．是奇函数，且在区间内单调递增参考答案：D2. 已知,则等于A 2mBC D参考答案：C3. 已知集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：C4. 已知等比数列，分别表示其前项积，且，则（）A． B． C． D．参考答案：C略5. 已知函数，若方程有且仅有两个不等的实根，则实数的取值范围是A． B．C． D．参考答案：C【知识点】函数与方程B9解析：令得，原方程有两个相异的实根等价于两函数与的图象有两个不同的交点.当时，易知临界位置为过点和，分别求出这两个位置的斜率和，由图可知此时当时，设过点向函数的图象作切线的切点为，则由函数的导数为得解得，得切线的斜率为，而过点的斜率为，由图知此时，【思路点拨】令得，原方程有两个相异的实根等价于两函数与的图象有两个不同的交点.然后对m分类讨论.6. （理）已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A、B、C，其中，存在实数λ，μ满足，则实数λ，μ的关系为( )A．λ2+μ2=1 B．C．λμ=1D．λ+μ=1参考答案：A考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得||=||=||=1，且，再把=﹣λ﹣μ，平方可得结论．解答：解：由题意可得||=||=||=1，且．∵，即=﹣λ﹣μ，平方可得1=λ2+μ2，故选：A．点评：本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算，还考查了向量与实数的转化．在向量的加，减，数乘和数量积运算中，数量积的结果是实数，所以考查应用较多，属于基础题．7. 已知集合, 则=( )A. B. C. D. (－1,1]参考答案：B8. 设是方程的两个实根，则的最小值是A、B、C、D、不存在参考答案：C略9. 是集合A到集合B的一个函数，其中，则为单调递增函数的概率是（）A B C D参考答案：D略10. 已知数列满足：a1＝1，，(n∈N*)，若，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( ) ( )A．λ>2 B．λ>3 C．λ<2 D．λ<3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量不共线，，，如果，则k=______．参考答案：【分析】由向量，所以，得到且，即可求解，得到答案。

重庆市南开中学2019届高三上学期第一次月考数学(理)试题

2018-2019学年上学期高三第一次月考试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·安阳35中]已知集合{}2430 A x x x =-+<，{}124,x B x x =<≤∈N ，则A B =（）A ．B ．(]12，C ．{}2D ．{}12，2．[2018·成都七中]已知命题：x ∃∈R ，20x ->，命题：x ∀∈Rx ，则下列说法正确的是（） A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题 C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题3．[2018·黑龙江模拟]已知函数()5log 020x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，,，则125f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．4B ．14C ．4-D ．14-4．[2018·肥东中学]函数()22xf x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．[2018·辛集中学]()e 2x f x x =--在下列那个区间必有零点（） A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,36．[2018·河南一模]已知函数()351og f x x =-，(]327x ∈，，则()f x 的值域是（） A ．(]24，B ．[)24，C ．[)44-，D ．(]69，7．[2018·沂水一中]已知函数()()ln 1cos f x x x ax =+⋅-在()()00f ,处的切线倾斜角为45︒，则a =（） A ．2-B ．1-C ．0D ．38．[2018·六安一中]已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()13，上不单调的一个充分不必要条件．．．．．．．是（） A ．16a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，B ．12a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， C ．12a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭， D ．1126a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，9．[2018·黑龙江模拟]如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A ．21-πB ．2πC ．22π D ．221-π 10．[2018·双流中学]已知函数()y f x =为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，函数()()5g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12945g a g a g a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．45B ．15C ．10D ．011．[2018·唐山一中]设()'f x 是函数()f x 的导函数，且()()()'f x f x x >∈R ，()1e f =（为自然对数的底数），则不等式()ln f x x <的解集为（）A ．()0,eB ．(0C ．1e e 2⎛⎫⎪⎝⎭，D ．)12．[2018·双流中学]对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若所有的，β，都有1αβ-≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”．()1e 2x f x x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（）A ．[]24，B ．723⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．733⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．[]23，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·黄埔二模]已知集合{}123A =，，，{}1,B m =，若3m A -∈，则非零实数的数值是_________． 14．[2018·北京卷]能说明“若()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，则()f x 在[]0,2上是增函数”为假命题的一个函数是__________．15．[2018·上高二中]设函数()224f x x x =-+在区间[],m n 上的值域是[]6,2-，则m n +的取值的范围是_________．16．[2018·盐城中学]若函数()()22cos f x mx x m m =++∈R 在0x =处取得极小值，则实数的取值范围是___________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）[2018·上海模拟]已知集合211,1x A xx x ⎧-⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭R ，集合{}1,B x x a x =-≤∈R ．（1）求集合；（2）若R B A B =ð，求实数的取值范围．18．（12分）[2018·肥东中学]已知命题：x ∀∈R ，240mx x m ++≤．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若有命题：[]28x ∃∈，，2log 0m x ≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，求实数的取值范围．19．（12分）[2018·巨鹿二中]设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-．（1）求常数，的值；（2）求曲线()y f x =与轴所围成的图形的面积．20．（12分）[2018·鸡西期末]已知函数()31443f x x x =-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 的极值；（3）求函数()f x 在区间[]03，上的最大值与最小值．21．（12分）[2018·虎林期末]已知函数()2ln f x x x ax =+-．（1）当3a =时，求()f x 的单调增区间；（2）若()f x 在()01，上是增函数，求的取值范围．22．（12分）[2018·仲元中学]已知函数()222ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a >．（1）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（2）证明：存在()01a ∈，，使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间()1+∞，内有唯一解．理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】{}{}2430 13A x x x x x =-+<=<<，{}{}124,1,2x B x x =<≤∈=N ，则{}2AB =，故选C ．2．【答案】C【解析】命题为真命题．对命题，当14x =1124x >=，故为假命题，q ⌝为真命题．故选C ． 3．【答案】B【解析】511log 22525f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()112542f f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭，故选B ．4．【答案】B【解析】∵函数()22xf x x =-，∴()39810f ∴=-=>，故排除C ，D ，∵()01f =-，12112025124f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．，故排除A ，故选B ． 5．【答案】C【解析】()1110ef -=-<，()010f =-<，()1e 30f =-<，()22e 50f =->，故选C ． 6．【答案】B【解析】因为327x <≤，所以311og 3x <≤．()24f x ≤<．即()f x 的值域是[)24，．本题选择B 选项． 7．【答案】C【解析】求出导函数()()cos 'ln 1sin 1xf x x x a x =-+⋅-+，又函数()()ln 1cos f x x x ax =+⋅-在()()00f ,处的切线倾斜角为45︒， ∴11a -=，即0a =，故选C ． 8．【答案】C【解析】()2124124ax ax f x ax a x x-='-=--，若()f x 在()13，上不单调，令()2241g x ax ax =--，则函数()2241g x ax ax =--与轴在()13，有交点，设其解为1x ，2x ，则122x x +=，因此方程的两解不可能都大于1，∴其在()13，中只有一解，其充要条件是()()241181210a a a a ----<，解得12a <-或16a >，因此选项C 是满足要求的一个充分必要条件．故选C ．9．【答案】A【解析】S π1π=⨯=矩形，又()00sin dx cos cos cos02xππ=-=-π-=⎰，∴S 2=π-阴影，∴豆子落在图中阴影部分的概率为π221ππ-=-．故选A ． 10．【答案】A【解析】函数()y f x =为定义域上的奇函数，则()()f x f x -=-，关于点()00，中心对称，那么()5y f x =-关于点()0-5，中心对称，由等差中项的性质和对称性可知：1955552a a a -+-=-，故()()19550f a f a -+-=，由此()()()()()()()2837465555555250f a f a f a f a f a f a f a -+-=-+-=-+-=-=，由题意：()()5g x f x x =-+，若()()()()()()12912912955545g a g a g a f a f a f a a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=，则12945a a a ++⋅⋅⋅+=．故选A 11．【答案】A 【解析】构造()()e xf x F x =，则()()()()()()2e e e e x xxxf x f x f x f x F x '-==''-，∵()()f x f x '>，∴()0F x '>，在定义域内单调递增，()()1e11eef F ===，则不等式()ln f x x <，()0x ∈+∞，，由()ln 1f x x<，即()ln ln 1exf x <，∴()()ln 1F x F <，ln 1x <，e x <，综上，不等式的解集为()0,e ．故选A ． 12．【答案】D【解析】()1e 2x f x x -=+-，()f x 为单调递增的函数，且1x =是函数唯一的零点，由()f x ，()g x 互为“零点相邻函数”，则()g x 的零点在[]02，之间．（1）当()g x 有唯一的零点时，0∆=，解得2a =，解得1x =满足题意；（2）当()g x 在[]02，之间有唯一零点时，()()020g g ≤，解得733a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，；（3）当()g x 在[]02，之间有两个点时，0∆>，()()020g g ≥，解得(]23a ∈，；综上所述，解得[]23a ∈，．故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】2【解析】由题，若32m -=，则1m =，此时B 集合不符合元素互异性，故1m ≠；若31m -=，则2m =，符合题意；若33m -=则0m =不符合题意．故答案为2．14．【答案】sin y x =（答案不唯一）【解析】令()(]0,04,02x f x x x =⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，，则()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，但()f x 在[]0,2上不是增函数．又如，令()sin f x x =，则()00f =，()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，但()f x 在[]0,2上不是增函数． 15．【答案】[]0,4【解析】令()6f x =-解得1x =-或3x =，令()2f x =得1x =．又()f x 在[]1,1-上单调递增，在[]1,3上单调递减， ∴当1m =-，1n =时，m n +取得最小值0，当1m =，3n =时，m n +取得最大值4．故答案为[]0,4．16．【答案】[)1+∞，【解析】∵()22cos f x mx x m =++，∴()()22sin g x f x mx x =-'=， ∴()()22cos 2cos g x m x m x =-=-'．①当1m ≥时，()0g x '≥恒成立，即()f x '在上递增，若0x >时，则()()00f x f ''>=．若0x <时，则()()00f x f ''<=．故函数()f x 在()0+∞，递增，在()0-∞，递减，故()f x 在0x =处取得极小值，符合题意；②当1m ≤-时，()0g x '≤恒成立，即()f x '在上递减，若0x >时，则()()00f x f ''<=．若0x <时，则()()00f x f ''>=．故函数()f x 在()0+∞，递减，在()0-∞，递增，故()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意；③当11m -<<时，()00,x ∃∈π使得0cos x m =，即()00g x '=，但当()00x x ∈,时，cos x m >即()0g x '<，()f x '在()00,x 递减，故()()00f x f ''<=，即在()00,x 递减，不符合题意．综上所述：的范围是[)1+∞，．故答案为[)1+∞，．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）(]12A =-，；（2）(]()23-∞-+∞，，．【解析】（1）由2111x x -≤+，得201x x -≤+ 所以(]12A =-，（2）(]()12R A =-∞-+∞，，ð，[]1,1B a a =-+，由R BA B =ð，得R B A ⊆ð所以11a +≤-或12a ->，所以的范围为(]()23-∞-+∞，，18．【答案】（1）14m ≤-；（2）1m <-或14m >-．【解析】（1）∵x ∀∈R ，240mx x m ++≤，∴0m <且21160m ∆=-≤，解得01144m m m <⎧⎪⎨≤-≥⎪⎩或，∴为真命题时，14m ≤-．（2）[]28x ∃∈，，[]2log 1028m x x +≥⇒∃∈，，21log m x≥-．又[]28x ∈，时，2111log 3x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，， ∴1m ≥-．∵p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时， ∴真假或假真，当假真，有114m m ≥-⎧⎪⎨>-⎪⎩，解得14m >-；当真假，有114m m <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得1m <-；∴当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，1m <-或14m >-．19．【答案】（1）0a =，3b =-；（2）92．【解析】（1）由题意知()2'32f x x ax b =++，()12f =-且()'10f =，即12320a b a b ++=-⎧⎨++=⎩，解得0a =，3b =-．（2）如图，由1问知()33f x x x =-．作出曲线33y x x =-的草图，所求面积为阴影部分的面积．由330x x -=得曲线33y x x =-与轴的交点坐标是()，()00，和，而33y x x =-是上的奇函数，函数图象关于原点中心对称．所以轴右侧阴影面积与轴左侧阴影面积相等．所以所求图形的面积为()3420139203dx 2422S x x x x ⎛⎤=--=-- ⎣⎦⎝． 20．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4，43-．【解析】（1）∵()31443f x x x =-+，∴()()()2'422f x x x x =-=+-，由()'0f x >得2x <-或2x >；由()'0f x <得22x -<<，∴函数()f x 的单调增区间为()2-∞-，，()2+∞，；单调减区间为()22-，．（2）由（1）可得，函数()f x 在()2-∞-，，()2+∞，上单调递增，在()22-，上单调递减． ∴当2x =-时，()f x 有极大值，且极大值为()2823f -=；当2x =时，()f x 有极小值，且极小值为()423f =-．（3）由（1）知，函数()f x 在[]02，上单调递减，在[]23，区间上单调递增， ∴函数()f x 的最小值为()423f =-；又()04f =，()31f =，∴函数()f x 在[]03，上的最小值为43-，最大值为4． 21．【答案】（1）102⎛⎫⎪⎝⎭，，()1+∞，；（2）(-∞．【解析】（1）当3a =时，()2ln 3f x x x x =+-， ∴()1'23f x x x=+-，由()'0f x >解得102x <<或1x >，∴函数()f x 的单调增区间为102⎛⎫⎪⎝⎭，，()1+∞，．（2）由题意得()1'2f x x a x=+-， ∵()f x 在()01，上是增函数， ∴()1'20f x x a x=+-≥在()01，上恒成立，即12a x x≤+在()01，上恒成立，∵12x x +≥12x x=，即x =时，等号成立．∴12x x+的最小值为所以a ≤故实数的取值范围为(-∞．22．【答案】（1）增()1+∞，，减()0,1；（2）见解析．【解析】（1）解：由已知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()21ln g x f x x x a =--'=-，所以()()2122x g x x x='-=-，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增（2）证明：由()()21ln 0f x x x a =---='，解得1ln a x x =--，令()()()()22221ln 2ln 1ln 1ln 2ln x x x x x x x x x x x x ϕ--+--=+-=-+-，则()110ϕ=>，()()e 22e 0ϕ=-<，于是，存在()01,e x ∈，使得()00x ϕ=，令()00001ln a x x u x =--=，由（1）知：()()()0001e e 21u a u x u =<=<=-<，即()00,1a ∈，当0a a =时，有()00f x '=，()()000f x x ϕ==，由（1）知，()f x '在区间()1,+∞上单调递增故：当()01,x x ∈时，()0f x '<，()()00f x f x >=，当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()()00f x f x >=，又当(]0,1x ∈时，()()202ln 0f x x a x x =-->．所以，当()0,x ∈+∞时，()0f x ≥．综上述，存在()01a ∈，，使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间()1+∞，内有唯一解．。

重庆市南开中学2019届高三三月测试题数学(理)试题

重庆市南开中学高2019届高三数学考试理科数学试题注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。

3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答案写在本试题卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的． 1．已知全集U R =，1218x N x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，(){}ln 1M x y x ==--，则图中阴影部分表示的集合是A ．(3,1)--B ．()3,0-C ．[)1,0-D ．(),3-∞-2．设01a <<，则“log 1a b >”是“b a <”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知21log 3a =，35b -=，122c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<4．函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,55．将函数()2cos cos f x x x x =+的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个对称中心是（） A ．1,42π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,42π⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,122π⎛⎫⎪⎝⎭D ．51,122π⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod4=，如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的n 等于（）A ．20B ．21C ．22D ．237．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则1a =（） A ．23B ．32C ．35D ．388．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．38πB ．4πC ．524πD ．724π 9．若平面向量,,a b c 满足2a =，4b =，4a b ⋅=，3c a b -+=，则c b -的最大值为（）ABC ．D ．10．某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（） A ．13B ．821C ．37D ．51811．设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足1132F C AF =且1230CF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（） A．3B．6C ．13D ．1611．若对任意的实数t ，函数()()()333t f x x t x e ax =-+--在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C．⎛-∞ ⎝⎦D．⎛-∞ ⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数z 满足2i1iz =-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =________． 14、已知()1nax +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a =________．15．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430352500x y x y x a -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，当OP OA OA ⋅（O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是________．16．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，20ABE ∠=︒，30CDF ∠=︒．将ABE 绕直线BE 、CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为________．三、解答题17．已知ABC 中，2BC =，45B =︒，AD AB λ=（01λ<<）．（1）若1BCDS=，求CD 的长；（2）若30A =︒，13λ=，求sin sin ACD DCB∠∠的值．18．某地区某农产品近几年的产量统计如表：（I ）根据表中数据，建立关于t 的线性回归方程y bt a =+；（Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,t y ，()22,t y ，…， (),n n t y ，其回归直线y bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆˆˆ,nii i ni i tty y bay bt t t ==--==--∑∑．（参考数据：()()612.8iii tt y y =--=∑，计算结果保留小数点后两位）19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M AB D --的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线1l 与椭圆交于C 、D ，过F 与1l 垂直的直线2l 与椭圆交于C ，D ，与3:4l x =交于P ，求证：直线PA ，PF ，PB 的斜率PA k ，PF k ，PB k 成等差数列． 21．设函数()()2ln 1f x x x ax b x =-+-，()xg x e ex =-．（1）当0b =时，函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在()1,x ∈+∞时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()5cos 55sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线()03πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（除极点外），且有定点()4,0T ，求TAB △的面积． 23．选修4-5：不等式选讲已知a ，b 均为正实数，且1a b +=．（1）求2的最大值；（2）求1aba+的最大值．重庆南开中学高2019级高三数学（理）测试（3．10）一、选择题CBABA CCDDB AA 二、填空题13．1i -- 14．2 15．2 16．70︒ 三、解答题 17．（1）由1··sin45122BCDSBC BD BD BD =︒==⇒= 在BCD △中，由余弦定理可得：2222cos454242CD BC BD BC BD CD =+-⋅⋅︒=+-=⇒=（2）由123AD AB BD AD =⇒=，在ADC △中，由正弦定理可知sin sin sin sin 2CD AD A AD ADACD A ACD CD CD ⋅=⇒∠==∠，在BDC △中，由正弦定理可知sin sin sin sin CD BD B BD BCD B BCD CD ⋅=⇒∠==∠，故sin sin ADACD BCD ∠====∠ 18．（1）由题意可知：123456 3.56t +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()622222221( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5li tt=-=-+-+-+++=∑，∴()()()12112.8ˆ0.1617.5niii ni t t y y bt t ==--===-∑∑，又70.16 3.5 6.44b a y t =-=-⨯=，∴y 关于t 的线性回归方程为0.16 6.44y t =+．（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码8t =，此时0.168 6.447.72y =⨯+= 所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7．72万吨．19．（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 的中点，所以EF AD ，12EF AD =，由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC AD ，又12BC AD =，所以EF BC ，四边形BCEF 为平行四边形，CEBF ．又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE平面PAB ．（2）已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向， AB 为单位长，建如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C，(P ．(1,0,(1,0,0)PC AB ==，则(1,,),(,1,BM x y z PM x y z =-=- ．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45︒，而()0,0,1n =是底面ABCD 的法向量，所以cos ,sin 45,BM n =︒=，即222(1)0x y z -+-=．又M 在棱PC上，设PM PC λ=，则,1,x y z λ===，由①，②121x y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（舍去），121x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩1M ⎛-⎝⎭，从而1AM ⎛=⎝⎭．设()000,,m x y z =是平面ABM 的法向量，则00m AM m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0000(2200x y x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(0,6,2)m =-．于是10cos ,||||5m n m n m n ⋅==．因此二面角M AB D --． 20．（1）由题意知12c e a ==，所以22214a b a -=，即2243a b =，又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆222x y b +=，与直线0x y -=相切，所以b ==24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由题意知直线1l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的方程为()1y k x =-．由()221,143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=．①设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,A x y -，利用根与系数的关系得2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由题意知直线2l AE 的斜率为1k -，则直线2l 的方程为()11y x k=-- 令4x =，得P 点的坐标34,P k ⎛⎫-⎪⎝⎭()()12121212123311311444444PA PBy y k x k x k k k k x x x x k x x ++--⎛⎫+=+=+++ ⎪------⎝⎭ ()()()1212121212121225883416416x x x x x x k x x x x k x x x x ++++-=⨯+⨯-++-++2222222222222241288258834343434128412841641643434343k k k k k k k k k k k k k k k k --⨯+-+++=⨯+⨯---⨯+-⨯+++++ ()()22203242422361361PF k k k k k k k --=⨯+⨯=-=++ 即2PA PB PF k k k +=，所以,,PA PF PB k k k 成等差数列；21．（1））当b =0时，2()ln ,()ln 2f x x x ax x f x x ax '=--=-，所以2()ln f x x x ax x =--有两个极值点就是方程ln 20x ax -=有两个解，即2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有两个． ∵21ln ()xm x x-'=，当()0,x e ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增；当,()x e ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减，()m x 有极大值1e ．又因为(]0,1x ∈时，()0m x ≤；当()1,x ∈+∞时，()102m x e<<．当1,2a e ∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有0个；当(],0a ∈-∞或12a e =时2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有1个；当10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln x m x x =的图象的交点有2个；综上10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（2）函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，所以()10f '=且()10f ≠，因为()ln 2 f x x ax b '=-+，所以2b a =且1a ≠；()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-在()1,x ∈+∞时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当1x >时，()()()0h x f x g x '''=+>恒成立，即ln 220,xx e ax a e +-+->令()ln 22xt x x e ax a e =+-+-，∴()12xt x e a x'=+-设211()2,()x x x e a x e x x ϕϕ'=+-=-，因为1x >，所以21,1x e e x><，∴()0x ϕ'>， ∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，即()t x '在(1,)+∞单调递增， ∴()()112t t e a x ''>=+-，当12ea +≤且1a ≠时，()0t x '≥．所以()ln 22x t x x e ax a e =+-+-在(1,)+∞单调递增，∴()()10t x t >=成立．当12ea +>，因为()t x '在(1)+∞单调递增，所以()1120t e a '=+-<， ()1ln 2220ln 2t a a a a'=+->，所以存在()01,ln2x a ∈有()00t x '=；当()01,x x ∈时，()0t x '<，()h x 单调递减，所以有()()010t x t <=，()0t x >不恒成立；所以实数a 的取值范围为1(,1)1,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦． 22．（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为()22525x y +-=，即22100x y y +-=，故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．设点(),N ρθ(0)ρ≠，则由已知得,2M a πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin 2πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭即()10sin 0ρθρ=≠．（2）将3πθ=代12,C C的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()4,0T，所以11||||sin 15,||||sin 2323TOA TOB S OA OT S OB OT ππ∆∆=⋅==⋅=所以15TAB TOA TOB S S S ∆∆∆=-=- 23．（1）(2211=()2211(4141)a b ≤+⋅+++()2422(412)12a b =++=⨯+=⎡⎤⎣⎦，当且仅当=12a b ==时，取等号，故原式的最大值为12．（2）原式=112122ab b a b a ab a b===+++，因为121222()123b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33≥+=+当且仅当2b aa b=，即12ab⎧=⎪⎨=⎪⎩取等号所以原式3≤=-故原式的最大值为3-。

精品解析：【全国百强校】重庆市南开中学2019届高三三月测试题数学(理)试题(解析版)

重庆市南开中学高2019届高三数学考试理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的．1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】阴影部分用集合表示为，只要求出M、N进行集合的运算即可．【详解】解：图中阴影部分表示的集合，由，则，则．故选：C．【点睛】正确理解集合M、N所表达的含义，以及正确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键．2.设，则“”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先找出的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】解：，，，，推不出，是充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．属于基础题.3.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．【详解】，，；．故选：A．【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域,关键是找到a,b,c的范围.4.函数的零点一定位于区间（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数在其定义域上连续，同时可判断f（2）＜0，f（3）＞0；从而判断．【详解】函数f（x）＝在其定义域上连续，f（2）＝2+2•2﹣6＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3+2•3﹣6＝ln3＞0；故函数的零点在区间（2，3）上，故选：B．【点睛】本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题．5.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的对称中心．【详解】函数，，，把函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）cos2x的图象，令，解得：x（k∈Z），当k＝0时，函数的对称中心为（）．故选：A．【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，三角函数平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，注意最后结果对称中心的纵坐标易错写为0．6.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如，如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的等于（）A. 20B. 21C. 22D. 23【答案】C【解析】试题分析：由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：①被3除余1，②被5除余2，最小为两位数，所输出的，故选C.考点：程序框图.【名师点睛】本题考查程序框图，属中档题；识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点.解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答.对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景.7.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则( )A. 23B. 32C. 35D. 38【答案】C【解析】【分析】由题意可得儿子的岁数成等差数列，其中公差，，根据等差数列的前项和公式即可得结果. 【详解】由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为，其中公差，，即，解得，故选C.【点睛】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先确定该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球，根据尺寸计算即可.【详解】观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球，故几何体的体积为：，故选D.【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，然后根据其尺寸计算体积，属于中档题.9.若平面向量满足，，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】设向量的夹角为θ，则，∴，．于是可设，令，则，由题意得，表示点在以为圆心，半径为的圆上．又，∴，表示圆上的点与点间的距离，∴的最大值为．故选D．【点睛】由于向量具有数形两方面的性质，所以在解答向量的有关问题时可借助坐标，将向量的问题转化为数的运算的问题，如本题中最值的计算问题，通过建立适当的平面直角坐标系，将向量模的问题转化为距离问题求解，考查数形结合和转化的运用，同时也考查计算能力．10.某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用隔板法得到共计有n21种领法，利用列举法求得甲领到的钱数不少于其他任何人的情况总数m ＝8，由此能求出结果．【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有n21种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即乙领3元，丙领2元或丙领3元，乙领2元，记为（乙2，丙3）或（丙2，乙3）；甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，即（乙1，丙3）或（丙1，乙3）或（乙2，丙2）甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即（乙1，丙2）或（丙1，乙2）；甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况只有1种，即（乙1，丙1）“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数m＝2+3+2+1＝6，∴甲领取的钱数不少于其他任何人的概率p．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.设，分别是椭圆的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点，交轴于点，若满足且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据椭圆中线段关系，表示出，，。

重庆市南开中学2019届高三三月测试题数学(理)试题(含参考答案)

重庆市南开中学高2019届高三数学考试理科数学试题2019.03.10一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的． 1．已知全集U R =，1218x N x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，(){}ln 1M x y x ==--，则图中阴影部分表示的集合是A ．(3,1)--B ．()3,0-C ．[)1,0-D ．(),3-∞-2．设01a <<，则“log 1a b >”是“b a <”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知21log 3a =，35b -=，122c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<4．函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,55．将函数()23sin cos cos f x x x x +的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个对称中心是（）A ．1,42π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,42π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1,122π⎛⎫⎪⎝⎭D ．51,122π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 6．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod4=，如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的n 等于（）A ．20B ．21C ．22D ．237．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则1a =（）A ．23B ．32C ．35D ．388．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．38πB ．4πC ．524πD ．724π 9．若平面向量,,a b c 满足2a =，4b =，4a b ⋅=，3c a b -+=，则c b -的最大值为（） A 733B 733C ．133D ．213310．某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（）A ．13B ．821C ．37D ．51811．设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B两点，交y 轴于C 点，若满足1132FC AF =且1230CF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（） A 3B 3C ．13D ．1611．若对任意的实数t ，函数()()()333t f x x t x e ax =-+--在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,2⎛-∞ ⎝⎦D ．2,2⎛-∞ ⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数z 满足2i1iz =-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =________． 14、已知()1nax +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a =________．15．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430352500x y x y x a -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，当OP OA OA ⋅（O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是________．16．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，20ABE ∠=︒，30CDF ∠=︒．将ABE 绕直线BE 、CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为________．三、解答题17．已知ABC 中，2BC =，45B =︒，AD AB λ=（01λ<<）．（1）若1BCDS=，求CD 的长；（2）若30A =︒，13λ=，求sin sin ACD DCB∠∠的值．18．某地区某农产品近几年的产量统计如表：（I ）根据表中数据，建立关于t 的线性回归方程y bt a =+；（Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,t y ，()22,t y ，…， (),n n t y ，其回归直线y bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆˆˆ,nii i ni i tty y bay bt t t ==--==--∑∑．（参考数据：()()612.8ii i tty y =--=∑，计算结果保留小数点后两位）19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M AB D --的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线1l 与椭圆交于C 、D ，过F 与1l 垂直的直线2l 与椭圆交于C ，D ，与3:4l x =交于P ，求证：直线PA ，PF ，PB 的斜率PA k ，PF k ，PB k 成等差数列． 21．设函数()()2ln 1f x x x ax b x =-+-，()xg x e ex =-．（1）当0b =时，函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在()1,x ∈+∞时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()5cos 55sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线()03πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（除极点外），且有定点()4,0T ，求TAB △的面积． 23．选修4-5：不等式选讲已知a ，b 均为正实数，且1a b +=．（1）求2的最大值；（2）求1aba+的最大值．重庆南开中学高2019级高三数学（理）测试（3．10）一、选择题CBABA CCDDB AA 二、填空题13．1i -- 14．2 15．2 16．70︒ 三、解答题 17．（1）由12··sin45122BCDSBC BD BD BD =︒==⇒= 在BCD △中，由余弦定理可得：2222cos4542422CD BC BD BC BD CD =+-⋅⋅︒=+-=⇒=（2）由123AD AB BD AD =⇒=，在ADC △中，由正弦定理可知sin sin sin sin 2CD AD A AD ADACD A ACD CD CD ⋅=⇒∠==∠，在BDC △中，由正弦定理可知sin 2sin sin sin CD BD B BD BDBCD B BCD CD ⋅=⇒∠==∠，故sin 22sin 22222ADACD CD BCD BD BD CD∠====∠18．（1）由题意可知：123456 3.56t +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()622222221( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5l i t t =-=-+-+-+++=∑，∴()()()12112.8ˆ0.1617.5ni ii ni t t y y bt t ==--===-∑∑，又70.16 3.5 6.44b a y t =-=-⨯=，∴y 关于t 的线性回归方程为0.16 6.44y t =+．（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码8t =，此时0.168 6.447.72y =⨯+=所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7．72万吨．19．（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 的中点，所以EF AD ，12EF AD =，由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC AD ，又12BC AD =，所以EF BC ，四边形BCEF 为平行四边形，CEBF ．又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE平面PAB ．（2）已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向， AB 为单位长，建如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，(3P ．(1,0,3),(1,0,0)PC AB =-=，则(1,,),(,1,3)BM x y z PM x y z =-=-- ．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45︒，而()0,0,1n =是底面ABCD 的法向量，所以2222cos ,sin 45,2(1)BM n x y z =︒=-++，即222(1)0x y z -+-=．又M 在棱PC 上，设PM PC λ=，则,1,33x y z λλ===，由①，②2116x y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（舍去），2116x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2612M ⎛- ⎝⎭，从而2612AM ⎛=- ⎝⎭．设()000,,m x y z =是平面ABM 的法向量，则00m AM m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0000(22)2600x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(0,6,2)m =-．于是10cos ,||||5m n m n m n ⋅==．因此二面角M AB D --的余弦值为5． 20．（1）由题意知12c e a ==，所以22214a b a -=，即2243a b =，又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆222x y b +=，与直线60x y -=相切，所以632b ==，所以24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由题意知直线1l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的方程为()1y k x =-．由()221,143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=．①设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,A x y -，利用根与系数的关系得2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由题意知直线2l AE 的斜率为1k -，则直线2l 的方程为()11y x k =-- 令4x =，得P 点的坐标34,P k ⎛⎫-⎪⎝⎭()()12121212123311311444444PA PBy y k x k x k k k k x x x x k x x ++--⎛⎫+=+=+++ ⎪------⎝⎭ ()()()1212121212121225883416416x x x x x x k x x x x k x x x x ++++-=⨯+⨯-++-++ 2222222222222241288258834343434128412841641643434343k k k k k k k k k k k k k k k k --⨯+-+++=⨯+⨯---⨯+-⨯+++++ ()()22203242422361361PF k k k k k k k --=⨯+⨯=-=++即2PA PB PF k k k +=，所以,,PA PF PB k k k 成等差数列；21．（1））当b =0时，2()ln ,()ln 2f x x x ax x f x x ax '=--=-，所以2()ln f x x x ax x =--有两个极值点就是方程ln 20x ax -=有两个解，即2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有两个． ∵21ln ()xm x x-'=，当()0,x e ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增；当,()x e ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减，()m x 有极大值1e ．又因为(]0,1x ∈时，()0m x ≤；当()1,x ∈+∞时，()102m x e<<．当1,2a e ∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有0个；当(],0a ∈-∞或12a e =时2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有1个；当10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln xm x x =的图象的交点有2个；综上10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（2）函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，所以()10f '=且()10f ≠，因为()ln 2 f x x ax b '=-+，所以2b a =且1a ≠；()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-在()1,x ∈+∞时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当1x >时，()()()0h x f x g x '''=+>恒成立，即ln 220,xx e ax a e +-+->令()ln 22xt x x e ax a e =+-+-，∴()12xt x e a x'=+- 设211()2,()x x x e a x e x x ϕϕ'=+-=-，因为1x >，所以21,1x e e x><，∴()0x ϕ'>， ∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，即()t x '在(1,)+∞单调递增， ∴()()112t t e a x ''>=+-，当12ea +≤且1a ≠时，()0t x '≥．所以()ln 22xt x x e ax a e =+-+-在(1,)+∞单调递增，∴()()10t x t >=成立．当12ea +>，因为()t x '在(1)+∞单调递增，所以()1120t e a '=+-<， ()1ln 2220ln 2t a a a a'=+->，所以存在()01,ln2x a ∈有()00t x '=；当()01,x x ∈时，()0t x '<，()h x 单调递减，所以有()()010t x t <=，()0t x >不恒成立；所以实数a 的取值范围为1(,1)1,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦． 22．（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为()22525x y +-=，即22100x y y +-=，故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．设点(),N ρθ(0)ρ≠，则由已知得,2M a πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin 2πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭即()10sin 0ρθρ=≠．（2）将3πθ=代12,C C 的极坐标方程得3,,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()4,0T，所以11||||sin 15,||||sin 2323TOA TOB S OA OT S OB OT ππ∆∆=⋅==⋅= 所以1553TAB TOA TOB S S S ∆∆∆=-=- 23．（1）(224141141141a b a b ++=++()2211(4141)a b ≤+⋅+++()2422(412)12a b =++=⨯+=⎡⎤⎣⎦，当且仅当44141a b +=+12a b ==时，取等号，故原式的最大值为12．（2）原式=112122ab b a b a ab a b===+++，因为121222()123b a b aa b a b a b a b a b⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23322b a a b ≥+⋅=+，当且仅当2b a a b =，即2122a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时，取等号所以原式322≤=故原式的最大值为3-．。

【全国百强校】重庆市南开中学2019届高三三月测试题数学(理)试题(原卷版)

重庆市南开中学高2019届高三数学考试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的．1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是A. B. C. D.2.设，则“”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.4.函数的零点一定位于区间（）A. B. C. D.5.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的一个对称中心是（）A. B. C. D.6.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如，如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的等于（）A. 20B. 21C. 22D. 237.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则( )A. 23B. 32C. 35D. 388.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.9.若平面向量满足，，，，则的最大值为（）A. B. C. D.10.某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（）A. B. C. D.11.设，分别是椭圆的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点，交轴于点，若满足且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知复数满足（是虚数单位），则复数的共轭复数________．14.已知的展开式中，二项式系数和为，各项系数和为，则________．15.已知定点，点的坐标满足，当（为坐标原点）的最小值是2时，实数的值是________．16.如图，在正方形中，，分别为线段，上的点，，．将绕直线、绕直线各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线与直线所成角的最大值为________．三、解答题17.已知中，，，（）．（1）若，求的长；（2）若，，求的值．18.某地区某农产品近几年的产量统计如表：年份代码（万吨）（I）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；（Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．（参考数据：，计算结果保留小数点后两位）19.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底，是的中点。