2018届一轮复习北师大版 第六章不等式推理与证明第五节 合情推理与演绎推理 教案

第五节合情推理与演绎推理

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

1．合情推理

(1)归纳推理

①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。

(2)类比推理

①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。

②特点：是由特殊到特殊的推理。

2．演绎推理

(1)演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式

①大前提——已知的一般原理。

②小前提——所研究的特殊情况。

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。

微点提醒

1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明。

2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误。

3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的。若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。

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一、走进教材

1．(选修2－2P77练习T1改编)已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是( )

A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3

C．a n＝n2D．a n＝3n－1

【解析】a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2。故选C。

【答案】 C

2．(选修2－2P84A组T5改编)在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立。类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________。

【解析】根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)。

【答案】b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)

二、双基查验

1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )

A．28 B．32

C．33 D．27

【解析】由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9。

则x－20＝12，因此x＝32。故选B。

【答案】 B

2．给出下列三个类比结论：

①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2。

其中结论正确的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个

D ．3个

【解析】 只有③正确。 【答案】 B

3．观察(x 2

)′＝2x ，(x 4

)′＝4x 3

，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )

A ．f (x )

B ．－f (x )

C ．g (x )

D ．－g (x )

【解析】 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )。故选D 。

【答案】 D 4．观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74 ……

按此规律，第五个不等式为__________。

【解析】 观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n

(n ∈N *

，n ≥2)，

所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<11

6。

【答案】 1＋122＋132＋142＋152＋162<11

6

5．(2016·辽阳模拟)在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为

AC

BC

＝AE BE

。把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图)，DEC 平分二面角A －CD －B 且与

AB 相交于点E ，则得到类比的结论是________。

【解析】 由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACD

S △BCD

。

【答案】

AE EB ＝S △ACD

S △BCD

【典例1⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，

⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________。 【解析】 通过观察所给的四个等式右边的式子特点，可以发现其规律，最前面的数字是4

3

，接下来是和行数有关的两项的乘积，即n (n ＋1)， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43n (n ＋1)。 【答案】 4

3

n (n ＋1)

反思归纳 归纳推理一般分为以下三种类型：

1．与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律。