2016-2017年浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高二上学期期中数学试卷及答案

2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8题，每题5分，共40分）（请把选择题答案涂在答题卡上）1．（5分）圆心在曲线y=x2（x＜0）上，并且与直线y=﹣1及y轴都相切的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=4 D．（x+2）2+（y﹣1）2=42．（5分）圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是（）A．外切B．内切C．外离D．内含3．（5分）一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为（）A．27πB．18πC．9πD．54π4．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．5．（5分）在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱的长都为1，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．6．（5分）设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（）A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若a⊥α，a∥β，则α⊥βD．若a∥α，b∥β，则a∥b7．（5分）若F1，F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1，F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．①当时，S为四边形②截面在底面上投影面积恒为定值③不存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直④当时，S与C1D1的交点满足C1R1=其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分（请把填空题答案写在答题卷上）9．（6分）若抛物线y2=6x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是．10．（6分）已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体S﹣ABC，则它的表面积S=，体积V=．11．（6分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=2，BC和A1C1所成的角=度AA1和BC1所成的角=度．12．（6分）椭圆E的方程为+=1，则它的离心率=，直线y=﹣x交椭圆于A，B两点，AB=．13．（4分）设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是．14．（4分）双曲线的左右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，若F1A垂直F2A，且，则双曲线的离心率=．15．（4分）如果二面角α﹣L﹣β的大小是60°，线段AB在α内，AB与L所成的角为60°，则AB与平面β所成角的正切值是．三、解答题（共5题，共74分）16．（15分）一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积S和体积V．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）AD与平面PCD所成的角的大小．18．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分别是棱AD，PC的中点（1）求证：EF⊥平面PBC（2）若直线PC与平面ABCD所成角为，点P在AB上的射影O在靠近点B的一侧，求二面角P﹣EF﹣A的余弦值．19．（15分）如图，已知圆G：x2﹣x+y2=0，经过抛物线y2=2px的焦点，过点（m，0）（m＜0）倾斜角为的直线l交抛物线于C，D两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．20．（14分）已知椭圆+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，直线l过椭圆的右焦点F2与椭圆交于A，B 两点，（Ⅰ）当直线l的斜率为1，点P为椭圆上的动点，满足使得△ABP的面积为的点P有几个？并说明理由．（Ⅱ）△ABF1的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l的方程，若不存在，请说明理由．2016-2017学年浙江省绍兴市诸暨市牌头中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8题，每题5分，共40分）（请把选择题答案涂在答题卡上）1．（5分）圆心在曲线y=x2（x＜0）上，并且与直线y=﹣1及y轴都相切的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=4 D．（x+2）2+（y﹣1）2=4【解答】解：设圆心坐标为（a，a2）（a＜0），则∵圆与直线y=﹣1及y轴都相切∴|a|=|a2+1|∴﹣a=a2+1∴a=﹣2∴圆心坐标为（﹣2，1），半径为2∴圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=4故选：D．2．（5分）圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是（）A．外切B．内切C．外离D．内含【解答】解：圆x2+y2﹣6y+5=0 的标准方程为：x2+（y﹣3）2=4，所以其表示以（0，3）为圆心，以2为半径的圆，所以两圆的圆心距为3，正好等于两圆的半径之和，所以两圆相外切，故选：A．3．（5分）一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为（）A．27πB．18πC．9πD．54π【解答】解：设正方体的边长为a，则正方体的表面积S=6a2=54，∴a=3，又正方体的体对角线长等于其外接球的直径，∴外接球的半径R=，∴其外接球的表面积为4π×=27π．故选：A．4．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，∵O′C′=1，O′A′=，∴OC=O′C′=1，OA=2O′A′=2；由此得出原来的图形是A．故选：A．5．（5分）在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱的长都为1，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知可得AD⊥DC又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B 的平面角∵EF=（三角形ACD的中位线），BE=（正三角形BCD的高），BF=（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）∴cos∠BEF===故选：C．6．（5分）设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（）A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若a⊥α，a∥β，则α⊥βD．若a∥α，b∥β，则a∥b【解答】解：当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，故A不正确，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，故B不正确，当一条直线与一个平面垂直，与另一个平面平行，则这两个平面之间的关系是垂直，故C正确，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，故D不正确，故选：C．7．（5分）若F1，F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1，F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，A（a，0），由已知条件知圆的方程为：x2+y2=c2；∴由得：M（a，b），N（﹣a，﹣b）；∴；又∠MAN=120°；∴=；∴4a2=3b2；∴4a2=3（c2﹣a2）；∴7a2=3c2；∴；即双曲线的离心率为．故选：D．8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．①当时，S为四边形②截面在底面上投影面积恒为定值③不存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直④当时，S与C1D1的交点满足C1R1=其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT=2PQ⇒DT=2CQ．对于①，当0＜CQ＜时，则0＜DT＜1，所以截面S为四边形，且S为梯形，故①正确；对于②，当CQ＞时，投影面积不为，故②不正确；对于③，存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直，故③正确；对于④，当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故④正确；故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分（请把填空题答案写在答题卷上）9．（6分）若抛物线y2=6x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是．【解答】解：由题意可知：抛物线y2=6x焦点F（，0），准线方程：y=﹣，设M（x，y），过M做MD垂直准线l，交点准线于D，由抛物线的定义可知：丨MF丨=丨MD丨=10，则x+=10，解得：x=，M到y轴的距离，故答案为：．10．（6分）已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体S﹣ABC，则它的表面积S=，体积V=．【解答】解：如图，四面体S﹣ABC的各棱长为1，则其四个面均为边长为1的等边三角形，过S作底面垂线，垂足为O，则O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC 于D．则BD=，BO=．∴SO=．∴正四面体的表面积S=4×；体积V=．故答案为：，．11．（6分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=2，BC和A1C1所成的角=45度AA1和BC1所成的角=60度．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴AC∥A1C1，∴∠ACB是BC和A1C1所成的角，∵AB=2，AD=2，∴∠ACB=45°，∴BC和A1C1所成的角为45度；∵BC1∥AD1，∴∠A1AD1是AA1和BC1所成的角，∵AB=2，AD=2，AA1=2，∴tan∠A1AD1==，∴∠A1AD1=60°．∴AA1和BC1所成的角为60度．故答案为：45，60．12．（6分）椭圆E的方程为+=1，则它的离心率=，直线y=﹣x交椭圆于A，B两点，AB=．【解答】解：椭圆E的方程为+=1，焦点在x轴上，a=2，b=，c=，由椭圆的离心率e==，由，解得：x=±，由弦长公式可知：丨AB丨=•丨x1﹣x2丨=•丨﹣﹣丨=，∴丨AB丨=，故答案为：，13．（4分）设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是0．【解答】解：若a⊥b，b⊥c，则a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故①错误；若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故②错误；若a和b相交，b和c相交，则a和c可能平行，可能相交，也可能异面，故③错误；若a和b共面，b和c共面，则a和c可能共面，也可能异面．故答案为：014．（4分）双曲线的左右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，若F1A垂直F2A，且，则双曲线的离心率=．【解答】解：设过F2的直线为y=k（x﹣c），双曲线的渐近线方程为y=±x，由可得A（，），由可得B（，﹣），又F2（c，0），由且，可得3（c﹣）=）﹣c，化简可得ka=﹣2b，①又F1A⊥F2A，则=﹣，即为kb2=b﹣2ka，②由①②消去k，可得5a2=4b2，由a2﹣b2=c2，可得9a2=4c2，则离心率e==．故答案为：15．（4分）如果二面角α﹣L﹣β的大小是60°，线段AB在α内，AB与L所成的角为60°，则AB与平面β所成角的正切值是．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥L，因此，∠ADC为二面角α﹣L﹣β的平面角，∠ADC=60°又∵AB与L所成角为60°，∴∠ABD=60°，连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD=2x，则Rt△ACD中，AC=ADsin60°=x，Rt△ABD中，AB==x∴Rt△ABC中，sin∠ABC==34，∴tan∠ABC=故答案为：．三、解答题（共5题，共74分）16．（15分）一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积S和体积V．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是圆柱的一半．由题中数据可得几何体的表面积为2×π×12+2π+4=3π+4．V==π．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）AD与平面PCD所成的角的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，∴FG CD，…2分∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE CD，…3分∴FG AE，∴四边形AEGF是平行四边形，…4分∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；…6分（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面ADP …7分又AF⊂平面ADP，∴CD⊥AF …8分在直角三角形PAD中，PA=AD且F是PD的中点，∴AF⊥PD，…9分又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD．…10分∴∠ADP就是AD与平面PCD所成的角．…12分在直角三角形PAD中，PA=AD，∴∠PDA=45°…13分∴AD与平面PCD所成的角是45°．…18．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分别是棱AD，PC的中点（1）求证：EF⊥平面PBC（2）若直线PC与平面ABCD所成角为，点P在AB上的射影O在靠近点B的一侧，求二面角P﹣EF﹣A的余弦值．【解答】（1）证明：取PB的中点G，连接AQ，FG，∵PA=AB，∴AG⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AG，∵PB∩BC=B，∴AG⊥平面PBC∵E、F分别是棱AD，PC的中点，∴FG∥AE，FG=AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴EF∥AG，∴EF⊥平面PBC．（2）解：作PO⊥AB=0，则PO⊥平面ABCD，连接OC，则∠PCO=，∴PO=OC，设AO=x，则=，解得x=2，以O为原点，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），A（﹣2，0，0），C（1，2，0），D（﹣2，2，0），E（﹣2，1，0），F（），，，设平面PEF的法向量，则，取x=1，得=（1，﹣3，﹣），设平面AEF的法向量，∵，，∴，取a=1，得，设二面角P﹣EF﹣A的平面角为α，则cosα=|coss＜＞|=||=．∴二面角P﹣EF﹣A的余弦值为．19．（15分）如图，已知圆G：x2﹣x+y2=0，经过抛物线y2=2px的焦点，过点（m，0）（m＜0）倾斜角为的直线l交抛物线于C，D两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵圆G：x2﹣x+y2=0与x轴交于（0，0），（1，0），圆G：x2﹣x+y2=0，经过抛物线y2=2px的焦点，∴抛物线y2=2px的焦点F（1，0），∴抛物线的方程为：y2=4x．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），∵，则（x 1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＞0，设l的方程为：，于是即由，得x2﹣（2m+12）x+m2=0，∴，于是，故，又△=（2m+12）2﹣4m2＞0，得到m＞﹣3．∴或m＞2．20．（14分）已知椭圆+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，直线l过椭圆的右焦点F2与椭圆交于A，B 两点，（Ⅰ）当直线l的斜率为1，点P为椭圆上的动点，满足使得△ABP的面积为的点P有几个？并说明理由．（Ⅱ）△ABF1的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆+y2=1焦点在x轴上，右焦点F2（1，0），设直线l的方程为：y=x﹣1，则，整理得：3x2﹣4x=0，解得：x1=0，x2=，则丨AB丨=•丨x1﹣x2丨=，=•丨AB丨•d=××d=，设点P到直线l的距离为d，则S△ABP解得：d=，设P（x0，y0），则P到直线l的距离d=，令t=x0﹣y0﹣1，由，代入整理得：x02+2（x0﹣1﹣t）2=2，化简整理得：3x02﹣4（1+t）x0+2t2+4t=0，由△≥0，解得：﹣﹣1≤t≤﹣+1，当﹣﹣1≤t＜0，椭圆上方的点到直线l的距离的最大值为＞，=，则椭圆上存在两个这样的点P，使得△ABP的面积S△ABP当0≤t≤﹣+1，椭圆下方的点到直线l的距离的最大值为＜，=，则椭圆下方不存在这样的P点，使得△ABP的面积S△ABP综上可知：椭圆上存在这样的P点有二个；（Ⅱ）△ABF 1的内切圆的半径为r，=（丨AF1丨+丨BF1丨+丨AB丨）×r=4a×r，∴要使内切圆的面积最大，即使得△ABF1最大，…9分设直线l：x=my+1，∴，整理得：（m2+2）y2+2my﹣1=0…10分由△=8（1+m2）＞0，丨y1﹣y2丨==，…11分设点F到直线l的距离为h则：=丨AB丨×h==，…13分令t=，t≥0，则==≤=，当且仅当t=，即m=0时，取得最大值，∴△ABF1面积最大值为，则r max=，∴△ABF1的内切圆的面积最大值为，此时直线l的方程为x=1．…15分赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。