例题讲解

n
y' y
1 (32. 6 15
32 .3)
25.62,
lxx ' xi'2 nx ' 2 xi 2 (1.22 1.52 ) nx ' 2 lxx nx 2 (1.22 1.52 ) nx ' 2 19.254,
i 1 i 1
（习题 7.2 T8）
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解 : 设该校长所在学校的初中生看电视的时间 X ~ N ( , 2 ) , 则需检验的假 设为
H 0 : 8 vs H 1 : 8
因 2 未知, 且
n( X ) ~ t (n 1) , s
故选取检验统计量为
n ( X 8) . s
ˆ ˆ x 26.0496 . ˆ0 y 0 1 0
ˆ Se / fe 0.4001, t1 (n 2) t0.975 (13) 2.1604 , 又因

2
ˆ 1
1 n
( x0 x )2 t1 (n 2) 0.8943 2 lxx
例题讲解
X1 X 2 1、 设 X 1,X 2 是来自总体 N (0, )的样本， 试求Y （习题 5.4 X X 的分布。 2 1
2
2
T9）
解: 由已知可得, X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 从而
i 1 i 1 n n
要使 L( ) 达到最大 , 必须令 I{x
(1) }

1 , 即 x(1) .
同时 exp{ xi n } 应尽
i 1
n
可能大, 它是关于 的严增函数, 故当 x(1) 时, L( ) 达到最大, 从而 的最
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（3） 若 x0 1.1 , 给出对应响应变量的 0.95 预测区间. （注： F0.95(1, 13) 4.67 ） （习题 8.4 T9） 解：(1)因有一组数据记录错误, 故将 x , y , lxx , l yy , lxy 修正为
x' x 1 (1.2 1.5) 0.83, 15
pn ( x) n ( F ( x)) n1 p( x) ,其中 F ( x), p( x) 分别为总体的分布函数和密度函数）
（习题 6.3 T8） 解： （1）设 x1 , xn 为一组样本观测值, 则 的似然函数为
L( ) e ( xi ) I{ xi } exp{ xi n }I{ x(1) }.
X1 X 2 X1 X 2 2 2 ~ (1), ~ (1) 2 2
2 2
又因 Cov( X1 X 2 , X1 X 2 ) Var ( X1 ) Cov( X1 , X 2 ) Cov( X 2 , X1 ) Var ( X 2 ) 0 , 且
因此, 响应变量的 0.95 预测区间为
ˆ0 [25.1553, 26.9439] . y
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故 ˆ 1 是 的相合估计. (2) 由于 E ( X ) xe( x ) dx 1, 故 E( X ) 1 , 从而 的矩估计为
ˆ X 1 . 2

又因 E ( X 2 ) x2e( x ) dx 2 2 2, 故 Var ( X ) E( X 2 ) ( E( X ))2 1, 从而有
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假设 X ~ N (1 , 12 ) , Y ~ N (2 , 22 ) , 12 , 2 2 已知. X 1, ,X n 为来自 N (1 , 12 ) 的样本 , 设为
H 0 : 1 22 vs H 1 : 1 22
Y1, ,Y m 为来自 N (2 , 2 2 ) 的样本 , 且两样本独立 , 需检验的假
22
m
), 且相互独立, 故有 4 2 2 X 2Y ( 1 22 ) ), 即有 ~ N (0,1) . m 12 4 2 2 n m
X 2Y ~ N ( 1 22 ,
12
n
因此, 选取检验统计量为
U X 2Y
12
n

4 2 2 m
在 H 0 成立的条件下, U ~ N (0,1) . 给定 , 检验的拒绝域为 W {u u1 } . 思考: 若是 12 22 且未知, 该怎么求? 注: 做假设检验问题的时候, 一定要阐述清楚, 检验的假设、检验统计量、拒绝 域以及最后的判断都不能少.
大似然估计为 ˆ1 X (1) . 又因 X (1) 的密度函数为 f ( x) nen( x ) , x ，故
ˆ ) xne n ( x ) dx t ne nt dt 1 . E ( 1 0 n
故 ˆ 1 不是 的无偏估计. 由于 E(ˆ1 ) , (n ) 且
记 X
1 n 1 m 1 n 1 m 2 2 X i , Y Yi , s X ( X i X )2 , sY (Yi Y )2 , 则 n i 1 m i 1 n 1 i 1 m 1 i 1
X ~ N ( 1 ,
12
n
), Y ~ N ( 2 ,
此处 1,2 分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔 的总体的均值。设两总体均为正态分布且方差分别为已知值 12 , 2 2 。 现分别 在两总体中取一样本 X 1, ,X n 和Y1, ,Y m ， 设两个样本独立。 试给出上述假设检 验问题的检验统计量及拒绝域。 （习题 7.2 T15） 解： 设 X , Y 分别为服用原止痛片和新止痛片后至起作用的时间间隔 , 由题意,
5、设回归模型为
y i 0 1x i i
2 i 服从分布N (0, ) x 0.85, y 25.60, lxx 19.56, lxy 32.54, lyy 46.74,
，现收集了 15 组数据，经计算有
后经核对，发现有一组数据记录错误，正确数据为（ 1.2，32.6） ，记录为（1.5, 32.3） 。 （1） 求 0 ,1 修正后的 LSE； （2） 取显著性水平 0.05 ，对回归方程作显著性检验
ˆ 2 ) x 2 ne n ( x ) dx t 2 2 t 2 ne nt dt 2 2 2 E ( 1 0 n2 n ˆ ) 2 2 2 ( 1 ) 2 1 0 (n ) Var ( 1 n2 n n n2
3、 一位小学校长在报纸上看到这样的报道:”这一城市的初中学生平均每周看 8h 电视 .”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字 . 为此她在该校 随机调查了 100 个学生, 得知平均每周看电视的时间 x 6.5h , 样本标准差为
s 2h . 问是否可以认为这位校长的看法是对的 ? (取 0.05 )(注: u0.05 1.65 )
T
当 H 0 成立时, 有 T ~ t (n 1) . 又因 n 100 , 样本量很大, 故可认为 T 近似服从 标准正态分布. 给定 0.05 , 该检验问题的拒绝域为
W {t u } {t u0.05} {t 1.65} .
由已知, n 100, x 6.5, s 2 , 可得检验统计量的值为
t 100(6.5 8) 7.5 1.65 2
因此拒绝 H 0 , 认为该校长的看法是对的.
4、一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时 间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验的假设
H 0 : 1 22 vs H 1 : 1 22
n
l yy ' yi'2 ny ' 2 l yy ny 2 (32.62 32.32 ) ny ' 2 50.844,
i 1 n ' ' lx y x' i y ' n x' y i i 1
n
x y
l
n( x 1y . 2 3 2 . 6 1 . 5
利用修正后的数据可得三个平方和为
ST l yy ' 50.844, fT n 1 14;
(lxy ' )2 2 ' ˆ S R 1 lxx 48.7624, f R 1; lxx '
Se ST SR 2.0816, fe n 2 13 .
2 ' 3 2 . 3 'n )x y .
30.641
根据修正后的数据可计算得到 0 ,1 的 LSE 为
ˆ lxy 1.5914 , 1 lxx '
'
ˆ y' ˆ x ' 24.2991. 0 1
(2)需要检验的假设为
H 0 : 1 0 vs H 1 : 1 0
X1 X 2 与 X1 X 2 都服从二元正态分布, 故 X1 X 2 与 X1 X 2 相互独立.
X X2 Y 1 ~ F (1,1). X1 X 2
2
故有
思考： ( X1 X 2 )2 ( X1 X 2 )2
期望？方差？
2、设 X 1, ,X n 是来自密度函数为 p( x; ) e( x ) , x 的样本， （1）求 的最大似然估计 ˆ 1 ，它是否是相合估计？是否是无偏估计？ （2）求 的矩估计 ˆ 2 ，它是否是 的无偏估计？是相合估计吗？ （ 注 ： X (1) 的 密 度 函 数 为 p1 ( x) n (1 F ( x)) n1 p( x) ， X (n ) 的 密 度 函 数 为