2018中考数学复习第4章图形的初步认识与三角形、四边形第2节三角形的基本概念及全等三角形试题

第二节三角形的基本概念及全等三角形,青海五年中考命题规律)全等三角形式出,青海五年中考真题)三角形的边角关系1．(2015青海中考)已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( C)A．5 B．6 C．12 D．162．(2016西宁中考)下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆动成三角形的是( D)A．3 cm、4 cm、8 cm B．8 cm、7 cm、15 cmC．5 cm、5 cm、11 cm D．13 cm、12 cm、20 cm3．(2014西宁中考)下列线段能构成三角形的是( B)A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，64．(2017青海中考)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝__115°__.(第4题图)(第5题图)5．(2016青海中考)如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线，若∠B＝71°，则∠BAC＝__38°__．三角形的四条重要线段6．(2013西宁中考)如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为( A)A．2 B．4 C．6 D．87．(2016西宁中考)如图，已知直角梯形ABCD的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个以BC为底的等腰三角形．若梯形上底为5，则连接△DBC的两腰中点的线段的长为__5__．全等三角形8．(2013西宁中考)使两个直角三角形全等的条件是( D)A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等9.(2015青海中考)如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是__AB＝DE或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或AC∥FD__．(只需写一个，不添加辅助线)(第9题图)(第10题图)10．(2014青海中考)如图，已知∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一组相等的线段__BC＝AD或AC＝BD或OA＝OB或OC＝OD__．11．(2013青海中考)如图，BC＝EC，∠1＝∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是__答案不唯一，如∠A＝∠D__．(不添加任何辅助线)12．(2014青海中考)如图，▱ABCD中，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且AE＝BF.求证：∠ADE＝∠BCF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC且AD∥BC，∴∠DAE ＝∠CBF. 又∵AE＝BF ，∴△DAE ≌△CBF(SAS )， ∴∠ADE ＝∠BCF.13．(2014西宁中考)课间，小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示． (1)求证：△ADC≌△CEB；(2)从三角板的刻度可知AC ＝25 cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小．(每块砖的厚度相等)解：(1)由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE＝90°，∠ACD ＋∠DAC＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD.在△ADC 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC＝∠CEB，∠DAC＝∠ECB，AC ＝CB ，∴△ADC ≌△CEB(AAS )； (2)由题意得：AD ＝4a ，BE ＝3a ， 由(1)得△ADC≌△CEB，∴DC ＝BE ＝3a. 在Rt △ADC 中，AD 2＋DC 2＝AC 2， ∴(4a)2＋(3a)2＝252，即a 2＝25. ∵a ＞0，∴a ＝5.答：砌墙砖块的厚度a 为5 cm .,中考考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类 (1)按角分类(2)按边分类2．三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a ＋b__>c ，|a －b|<__c__.3.判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角和定理及内外角关系4．内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段线全等三角形及其性质6．定义能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．性质(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__；(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，周长__相等__，面积__相等__．全等三角形的判定8．三角形全等的判定∠B1【方法技巧】证明三角形全等的思路判定三角形全等⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS找另一边→SSS已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS 已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA 找任一边→AAS,中考重难点突破)三角形三边关系【例1】一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为( )A ．10B ．12 C．14 D ．16【解析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再根据第三边为偶数，求出第三边的长度，从而可求出三角形周长．【答案】C1．(2017舟山中考)长度分别为2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是( C )A ．4B ．5C ．6D ．92．(玉林中考)在等腰△ABC 中，A B ＝AC ，其周长为20 m ，则AB 边的取值范围是( B )A ．1 cm ＜AB ＜4 cm B ．5 cm ＜AB ＜10 cmC ．4 cm ＜AB ＜8 cmD ．4 cm ＜AB ＜10 cm三角形的内角与外角关系【例2】(2018中考预测)如图，CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，AB∥CD ，∠A ＝50°，则∠B 的大小是( )A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°【解析】∵AB∥CD，∴∠A ＝∠ACD＝50°，又∵CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCE＝50°，∴∠ACE ＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B＋∠A＝∠ACE，∴∠B ＝∠ACE －∠A ＝100°－50°＝50°.【答案】A3．(丽水中考)如图，在△ABC 中，∠A ＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若∠AEN＝133°，则∠B 的度数为__70°__．(第3题图)(第4题图)4．(2017郴州中考)小明把一副45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，则∠α＋∠β等于( B )A ．180°B ．210°C ．360°D ．270°三角形中重要线段的应用【例3】在△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，CE ＝13AC ，BE ，CD 交于点O ，BE ＝5 cm ，则OE ＝________cm .(例3题图)(例3题解图)【解析】如解图，过D 作DF∥BE，那么DF 就是三角形ABE 的中位线，∴DF ＝12BE ，AF ＝EF ，又∵CE＝13AC ，∴CE ＝EF ，∴OE 就是三角形CDF 的中位线，∵OE ＝12DF ＝14BE ＝1.25 cm .【答案】1.255．(2017遵义中考)如图，△ABC 的面积是12，点D ，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BE ，CE 的中点，则△AFG 的面积是( A )A ．4.5B ．5C ．5.5D ．6(第5题图)(第7题图)6．(内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( B )A .32 B .332 C .32D ．不能确定 7．(永州中考)如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB ＝AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( D )A ．∠B ＝∠C B ．AD ＝AE C ．BD ＝CE D ．BE ＝CD全等三角形的证明及性质【例4】如图，已知点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA.若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，试探究线段ME 与BD 的数量关系，并说明理由．【解析】连接MC ，先证△BDC≌△ADC，再证△ADC≌△EMC.【答案】解：如图，连接MC.在等腰Rt △ABC 中，∵∠CAD ＝∠CBD＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD ＝AD.又AC ＝B C ，∴△BDC ≌△ADC(SSS )，∴∠DCA ＝∠DCB＝45°，∠EDC ＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°.∵DC ＝DM ，∴△MDC 是等边三角形，即CM ＝CD.又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC ＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC ＝∠ADC.又∵CE＝CA ，∴∠DAC ＝∠CEM＝15°，∴△ADC ≌△EMC(AAS )，∴ME ＝AD ＝DB ，∴ME ＝BD.8．(2017孝感中考)如图，已知AB ＝CD ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，BF ＝DE ，求证：AB ∥CD.解：∵AE⊥BD，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD＝90°.∵DE ＝BF ，∴DE ＋EF ＝BF ＋EF ，即BE ＝DF.在Rt △AEB 和Rt△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，BE ＝DF ，∴Rt △AEB ≌Rt △CFD(HL )，∴∠B ＝∠D，∴AB ∥CD.9．(2017怀化中考)如图，四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形． (1)求证：△ABE≌△DCE； (2)求∠AED 的度数．解：(1)∵四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等边三角形，∴AB ＝BE ＝CE ＝CD ，∴∠ABE ＝∠DCE＝30°.由⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠ABE ＝∠DCE，EB ＝EC ，可知△ABE≌△DCE(SAS )； (2)由(1)知AE ＝DE ，即△AED 为等腰三角形．又∵AB＝BC ＝BE ，∴∠BAE ＝180°－∠ABE2＝75°，则∠DAE＝90°－∠BAE＝15°，∴∠AED ＝180°－2∠DAE ＝150°.10．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D. (1)求证：△BEC≌△CDA；(2)试判断BE ，DE ，AD 三条线段之间的关系．证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠BCE ＋∠ACD＝90°.∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠CD A ＝90°.又∵∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE.又AC ＝BC ，∴△BEC ≌△CDA(AAS )；(2)由(1)知CE ＝AD.∵CD＋DE ＝CE ，∴CD ＋DE ＝AD.又∵BE＝CD ，∴BE ＋DE ＝AD.11．(2017连云港中考)如图，已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD ＝AE ，连接BE ，CD ，交于点F.(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点A ，F 的直线垂直平分线段BC.11解：(1)∠ABE＝∠ACD，∵AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠ACD；(2)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC ＝∠FCB，∴FB ＝FC.又∵AB＝AC ，∴点A ，F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC.12．(2017齐齐哈尔中考)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BD ＝AD ，DG ＝DC ，点E ，F 分别是BG ，AC 的中点．(1)求证：DE ＝DF ，DE ⊥DF ；(2)连接EF ，若AC ＝10，求EF 的长．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.在△BDG 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC，DG ＝DC ，∴△BDG ≌△ADC ，∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB ＝∠ADC＝90°，E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD＝∠C，∠FDA ＝∠FAD，∴∠EDG ＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF ；(2)∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2.。