三角形全等的条件(1) - 海安家长学校

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三角形全等的判定定理

三角形全等的判定定理
有两条边相等的三角形是等腰三角形;三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三
角形;有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。

其中，构成直角的两边叫做直角边，
直角边所对的边叫做斜边。

全等的条件：
1、两个三角形对应的'三条边成正比，两个三角形全系列等，缩写“边边边”或“sss"。

2、两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“sas”。

3、两个三角形对应的两角及其夹边成正比，两个三角形全系列等，缩写“角边角”
或“asa”。

4、两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”
或“aas”。

5、两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边成正比，两个直角三角形全系列等，缩写“直角边、斜边”或“hl”。

注意，证明三角形全等没有“ssa”或“边边角”的方法，即两边与其中一边的对角
相等无法证明这两个三角形全等，但从意义上来说，直角三角形的“hl”证明等同“ssa”。

三角形全等的判定

具体步骤如下
1. 定义两个三角形ABC和A'B'C'，其中AB=A'B'， BC=B'C'，AC=A'C'。
2. 连接AA'、CC'，并分别过点B、B'作AD⊥AC、 A'D'⊥A'C'于点D、D'。
边角边定理的证明方法
1
3. 根据勾股定理，可以证明RtΔABD≌RtΔA'B'D' 和RtΔCBD≌RtΔC'B'。
01
02
03
04
边边边（SSS）
三边长度相等的两个三角形全等。
边角边（SAS）
两边长度相等，且这两边所夹的角也相等的两个三角形全等
。
角边角（ASA）
两角相等，且这两个角所夹的边也相等的两个三角形全等。
角角边（AAS）
两个角相等，且这两个角所夹的边也相等的两个三角形全等
。
三角形全等的证明方法
角角边定理的应用
证明步骤
1. 在Rt△ABC中，因为AB=BC，所以∠ACB=∠ABC=45°。
2. 因为D是AC的中点，所以BD是AC的垂直平分线，因此 ∠CBD=∠ABD=45°。
角角边定理的应用
3. 因为DE⊥AC，DF⊥BC，所以四边形DECF是矩形。
4. 根据角角边定理，可以得出 Rt△ABD≌Rt△CBD，因此 DE=DF。
边边边定理的证明方法
方法一
利用全等三角形的定义和已知条件进行证明。
方法二
利用反证法，假设两个三角形不全等，然后通过推理得出矛盾，从而证明假设不成立，达到证明的目的。
边边边定理的应用

三角形的全等条件

三角形的全等条件一、前言三角形作为初中和高中数学中的重要内容，其全等条件一直是一个重点和难点。

全等条件是三角形的相似、互异、重叠等问题的基础，因此在初中和高中阶段学生的数学学习里有着重要的地位。

这篇文章将为大家介绍三角形的全等条件，从基本定义开始，详细讲解五种常用的全等条件，希望能够帮助读者更好地掌握全等条件。

二、三角形的基本属性和定义在介绍全等条件之前，我们先来了解一下三角形的基本属性和定义。

三角形是由三条线段组成的，其中任意两边之和大于第三边。

三角形有三个内角和三个外角（外角之和为360度）。

在三角形中，我们通常通过边长和角度来描述它。

三、全等定义什么是全等？全等是指两个东西相等，没有任何差异。

在三角形中，如果两个三角形的三边和三角度分别相等，那么就称它们为全等三角形。

四、全等条件在学习中，我们通常通过几何的方法来判断两个三角形是否全等，也就是找到它们的全等条件。

下面是五种常用的全等条件：1. SSS准则（边-边-边相等法则）：如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们是全等的。

2. SAS准则（边-角-边相等法则）：如果两个三角形的两条边和它们夹夹的角度相等，那么它们是全等的。

3. ASA准则（角-边-角相等法则）：如果两个三角形的两个角和它们夹的边长相等，那么它们是全等的。

4. RHS准则（直角边-斜边-直角边相等法则）：如果两个三角形的一条直角边和斜边分别相等，那么它们是全等的。

5. SAA准则（边-角-角相等法则）：如果两个三角形的两个角和一条边的对应角度相等，那么它们是全等的。

五、应用实例接下来，我们通过实例来解释上述五种全等条件的应用。

1. SSS准则例题：已知三角形ABC的三条边分别为AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm；三角形DEF的三条边分别为DE=3cm，DF=4cm，EF=5cm。

证明三角形ABC和三角形DEF全等。

解：我们已知三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等，因此根据SSS准则，它们是全等的。

三角形全等的几个条件

三角形全等的几个条件
1. 全等条件一，SSS（边-边-边）条件。

当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形是全等的。

2. 全等条件二，SAS（边-角-边）条件。

当两个三角形的一对对应边相等，夹角相等，另一对对应边相等时，这两个三角形是全等的。

3. 全等条件三，ASA（角-边-角）条件。

当两个三角形的一对对应角相等，夹边相等，另一对对应角相等时，这两个三角形是全等的。

4. 全等条件四，AAS（角-角-边）条件。

当两个三角形的两对对应角相等，另一对对应边相等时，这两个三角形是全等的。

这些条件是用来判断两个三角形是否全等的基本依据。

在几何学中，通过这些条件可以快速判断两个三角形是否全等，从而推导出它们的性质和关系。

这些条件在解决各种相关问题时都具有重要的作用。

直角三角形全等的条件

直角三角形全等的条件直角三角形是指一个角为90度的三角形。

当两个直角三角形的对应边长相等时，我们称这两个直角三角形是全等的。

在几何学中，全等意味着两个形状完全相同，只有位置和方向可以不同。

如果我们能够确定两个直角三角形的某些条件，那么我们就可以判断它们是否全等。

全等的定义两个三角形是否全等，可以根据以下的几何条件来判断：1.三边对应相等（SSS）：如果两个三角形的各边长度相等，那么这两个三角形全等。

2.两边及夹角对应相等（SAS）：如果两个三角形的一个夹角和两边的长度相等，那么这两个三角形全等。

3.两角及夹边对应相等（ASA）：如果两个三角形的两个角和夹边的长度相等，那么这两个三角形全等。

4.直角及两边对应相等（RHS）：如果两个直角三角形的一条直角边和另一条边的长度相等，同时这两个直角三角形的斜边也相等，那么这两个直角三角形全等。

直角三角形全等的条件对于直角三角形，可以通过以下条件判断两个直角三角形是否全等：1.斜边和一条直角边相等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边的长度相等，那么这两个直角三角形全等。

这是根据全等条件RHS推导出来的。

当两个直角三角形的斜边和一条直角边相等时，由于直角三角形的其他两条边也会相等，所以这两个直角三角形全等。

2.两条直角边分别相等：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。

这是根据全等条件SSS推导出来的。

因为直角三角形的斜边是确定的，当两条直角边相等时，剩余的两个直角三角形的边也会相等，所以这两个直角三角形全等。

3.一个锐角和两条边相等：如果两个直角三角形的一个锐角和两条边的长度分别相等，那么这两个直角三角形全等。

这是根据全等条件SAS推导出来的。

因为直角三角形的一个锐角和两边的长度是确定的，当一个锐角和两边相等时，剩余的两个直角三角形的边也会相等，所以这两个直角三角形全等。

应用直角三角形全等的条件判断直角三角形全等的条件在几何学中具有重要的应用。

三角形全等的条件[精选文档]

C1
A
B
A1
B1
三角形全等的条件
• 探究的结果反映了什么规律？你能得出什么结论？ • 结论：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
全等，可以简写成“角边角”或“ASA”
三角形全等的条件动手做一做
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，
△ABC和△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你
∴∠BAD=∠B1A1C1
在在⊿BAD和⊿B1A1D1中
B
∠B=∠B1
AB=A1B1
∠BAD=∠B1A1C1
∴ ⊿BAD≌⊿B1A1D1（ASA）
∴ AD= A1D1
B1
A
DC A1
D1 C1
三角形全等的条件
归纳小结
• 本节课你学习了什么？发现了什么？有什么收获？本节课还存在什么没有解决的问题？
D
E
∴ AE=AD
∴AB-AD=AC-AE 即BD=CE
B
C
三角形全等的条件
应用练习
1、如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，求证：
AB=AD
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC（已知）
A
∴ ∠B=∠D=900
12
在⊿ABC和⊿ADC中
B
D
∠1=∠2
∠B=∠D
C
AC=AC（公共边）
∴⊿ABC≌⊿ADC（AAS）
的结论吗？
证明： ∵在△ABC中 ∠C=180°- ∠A- ∠B
D A
在△DEF中∠F=180°- ∠D- ∠E
又∵ ∠A=∠D，∠B=∠E
∴ ∠C= ∠F
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠E
BC=EF

三角形全等的条件(1)

1.全等三角形的定义？
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形
2、全等三角形的性质？
A
D AB=DE,AC=DF,BC=EF
∠ A= ∠ D,
∠B= ∠E,
B
CE
F ∠C= ∠F.
全等三角形对应边相等，对应角相等.
3.寻找对应元素有哪些规律？
（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）两个全等三角形最大的边是对应边，
D
C
在△ABD与△ACD中
AB=AC（已知）
BD=CD（已证）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
思维花絮
B
D′ B′
O
A
C
O′
A′
C′
A
D
B
H
C
D
C
A
B
如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，且DE=BF.
求证：①△ADE≌△CBF; ②∠A=∠C.
D
F
C
A
E
B
80 ° 30 ° 70 °
30 °
80 ° 70 °
结论:三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
A B
A＇
C
B＇
C＇
M
在△ABC与△ A′B′C′中 AB= A′B′ AC= A′C′ BC= B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
1.学校有两块三角形装饰板如下图，小明想知道这两块板是否全等，这两块板很重又固定在墙上，小明只有刻度尺，你能帮小明想个办法吗？
A
D
B
E

三角形全等的判定

《三角形全等的判定》xx年xx月xx日contents •三角形全等的定义•三角形全等的判定定理•三角形全等的证明方法•三角形全等的实际应用•总结与回顾目录01三角形全等的定义什么是三角形全等•三角形全等是指两个三角形完全相同，即它们的对应边和对应角都相等。

全等是三角形的基本性质之一，也是几何学中常用的重要概念。

•在几何学中，三角形全等可以用符号“≌”来表示。

如果两个三角形全等，我们可以用符号表示为“△ABC≌△DEF”。

三角形全等的符号表示三角形全等具有以下性质对应边相等：全等三角形的对应边相等，即如果△ABC≌△DEF，那么AB=DE，BC=EF，CA=FD。

对应角相等：全等三角形的对应角相等，即如果△ABC≌△DEF，那么∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

旋转和反射不变：全等三角形经过旋转或者反射后仍然全等。

大边对应大角：在全等三角形中，如果两条较长的边对应相等，那么它们所夹的角也相等。

角平分线相等的三角形全等：如果一个三角形的角平分线相等，那么这个三角形一定是全等的。

三角形全等的性质02三角形全等的判定定理SAS定理是“边角边”定理，指的是如果两个三角形的两边和夹角对应相等，则这两个三角形全等。

总结词SAS定理是三角形全等判定中比较常用的方法之一。

其具体表述为：如果两个三角形的两边和夹角对应相等，则这两个三角形全等。

这个定理的关键在于“夹角”，夹角不同，即使边长相等，两个三角形也不会全等。

详细描述SAS定理总结词AAS定理是“角角边”定理，指的是如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等，则这两个三角形全等。

详细描述AAS定理是三角形全等判定中比较常用的方法之一。

其具体表述为：如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等，则这两个三角形全等。

这个定理的关键在于“两个角”，只要两个角相等，就可以证明两个三角形全等。

AAS定理SSS定理是“边边边”定理，指的是如果两个三角形的三条边对应相等，则这两个三角形全等。

三角形全等条件(1)

A
EC
BE
C
EA
D
B F D（C）
F（A）D B
F
三角形的这种性质叫做：三角形的稳定性
●
四边形和其它多边形都
也具有稳定性吗？
四边形和其它多边形都不具有稳定性
●
●
你有办法让不稳定的四
边形也具有稳定性吗？
1、如图，AB=DC，AC=DB，△ABC与 △DCB全等吗？为什么？△ABO与△DCO全等吗？
A
D
O
△ABC≌ △DCB
因为AB=DC，AC=DB，BC=CB，
≌
ACD
AC AC
根据“全等三角形的对应角相等”，
可以得到∠BDA= ∠CDA
因为∠BDA+∠CDA=180O
所以∠BDA= ∠CDA=180O÷2=900
3、如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，请你在图中再画一个
顶点都在格点上的△ABC，且使△ABC≌ △DEF。
§ 三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”
AD\来自≡\≡
〃
〃
B
CE
F
在△ABC和△DEF中，
AB DE
BC
EF
△ABC
≌△DEF
AC DF
因为AB=DE， BC=EF，AC=DF，根据“SSS”可以得到
△ABC≌ △DEF
上面的结论告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。如图是用3根木条钉成的框架，它的形状和大小完全确定。
根据“SSS”，可以得到
B
C △ABC≌ △DCB
AOB DOC

三角形全等的条件

3. 培养独立思考和解决问题的能力，提高自己的推理能力和思维水平；
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三角形全等的证明方法总结
• 证明方法总结：三角形全等的证明方法包括直接证明法、间接证明法、反证法等。其中，直接证明法是最基本的方法，它通过直接利用三角形全等的条件来证明两个三角形全等；间接证明法则是通过证明两个三角形符合三角形全等的条件来证明它们全等；反证法则是在假设两个三角形不全等的情况下，通过推理得出矛盾，从而证明两个三角形全等。在实际应用中，可以根据问题的具体情况选择合适的证明方法。
03
在证明两个三角形全等时，要注意对应顶点、对应边、对应角的顺序。
02
三角形全等的判定定理
SAS定理
总结词
边角边定理，适用于两个三角形全等
详细描述
如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等
AAS定理
总结词
角角边定理，适用于两个三角形全等
详细描述
如果两个三角形的两角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等
2023
《三角形全等的条件》
目录
• 三角形全等的定义 • 三角形全等的判定定理 • 三角形全等的证明方法 • 三角形全等的应用 • 总结与展望
01
三角形全等的定义
三角形全等的定义
两个三角形全等是指它们能够完全重合，即三个内角相等且三条边分别相等。用符号“≌”表示两个三角形全等。
三角形全等的重要性
在三角函数中的应用
01
在三角函数中，三角形全等可以用来证明一些恒等式或者不等式。
02
利用三角形全等，可以将一些复杂的恒等式或者不等式进行化

三角形全等条件(PPT)4-4

上面的结论告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。如图是用3根木条钉成的框架，它的形状和大小完全确定。
三角形的这种性质叫做：三角形的稳定性
●
四边形和其它多边形都
也具有稳定性吗？
四边形和其它多边形都不具有稳定性
●●你有办法Fra bibliotek不稳定的四边形也具有稳定性吗？
三角形全等的条件（1） ——边边边
昂昂】’形形容精神振奋，很有气魄：～然｜气势～｜雄赳赳，气～。【昂藏】〈书〉形形容人的仪表雄伟：气宇～。【昂奋】形（精神）振奋；（情绪）高涨。【昂贵】形价格很高：物价～｜～的代价。【昂然】形仰头挺胸无所畏惧的样子：～屹立｜气概～。【昂首】动仰着头：～望天｜战马～长鸣。【昂首阔步】仰起头，迈着；炒股入门/ ；大步向前。形容精神振奋，意气昂扬。【昂扬】形①（情绪）高涨：斗志～。②（声音）高昂：歌声激越～。【枊】〈书〉拴马桩。【盎】古代一种腹大口小的器皿。【盎】洋溢；盛（）：～然。【盎格鲁撒克逊人】－公元世纪时，迁居英国不列颠的以盎格鲁和撒克逊为主的日耳曼人。这两个部落最早住在北欧日德兰半岛南部。［盎格鲁撒克逊，英Ag－a］【盎然】形形容气氛、趣味等洋溢的样子：春意～｜趣味～。【盎司】ī量英美制重量单位，盎司等于／磅，合。克。旧称英两或唡。［英］【凹】形低于周围（跟“凸”相对）：～地｜～凸不平｜地板～下去一块。【凹版】名版面印刷的部分凹入空白部分的印刷版，如铜版、钢版、照相凹版等。凹版印刷品，纸面上油墨稍微鼓起，如钞票、邮票等。【凹面镜】名球面镜的一种，反射面为凹面，焦点在镜前，当光源在焦点上，所发出的光反射后形成平行光束。简称凹镜。【凹透镜】名透镜的一种，中央比四周薄，平行光线透过后向四外散射。近视眼镜的镜片就属于这个类型。动向内或向下陷进去：两颊～｜地形～。【熬】动烹调方法，把蔬菜等放在水里煮：～白菜｜～豆腐。【熬心】ī〈方〉形心里不舒畅；烦闷。【爊】（??）〈书〉①放在微火上煨熟。②同“熬”（）。【敖】①同“遨”。②（） “隞”。③（）名姓。【敖包】名蒙古族人做路标和界标的堆子，用石头、土、草等堆成。旧时曾把敖包当神灵的住地来祭祀。也译作鄂博。【隞】商朝的都城，在今河南郑州西北。也作敖或嚣。【嶅】①（）嶅山，山名，在广东。②嶅阴（ī），地名，在山东。【遨】〈书〉游玩：～游。【遨游】动漫游；游历：～世界｜～太空。【嗷】见下。【嗷嗷】’拟声形容哀号或喊叫声：～叫｜～待哺。【嗷嗷待哺】’形容饥饿时急于求食的样子。【廒】（厫）〈书〉贮藏粮食等的仓库。【璈】古代的一种乐器。【獒】名狗的一种，身体大，尾巴长，四肢较短，毛黄褐色。凶猛善斗，可做猎狗。【熬】①动把粮食等放在水里，煮成糊状：～粥。②动为了提取有效成分或去掉所含水分、杂质，把东西放在容器里久煮：～盐｜～。③动忍受（

三角形全等的条件及其性质

全等吗？我们可以分情况讨论，有哪几种情况？三条边三个角两角一边两边一角
先任意画一个 ABC ，再画 DEF ，使AB=DE， BC=EF，CA=FD，你能画出满足上述条件的 DEF 吗？画法： 1、画线段EF= BC。 2、分别以E、F为圆心，线段AB， AC为半径画弧，两弧交于点D 3、连结DE，DF。 △ DEF就是所求的三角形
BF=CD 或 BD=CF
A
E
B
D
F
C
例1. 如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，
AD是连接A与BC中点D的支架。求证：△ ABD≌ △ ACD 分析：要证明△ ABD≌ △ ACD，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。
结论：从这题的证明中可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。
13.2 三角形全等的条件(一)
临海中学初二数学备课组
1、如果 ABC与 DEF满足三条边对应相等，三个角对应相等，即：
A D
B
C
E
F
①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F
这六个条件就能保证两个三角形全等吗？
探究一：
（一组对应边相等或一组对应角相等）。 1.只给一个条件
A
B
∴ ABD ≌ CDB （SSS） ∴ ∠A= ∠C ( 全等三角形的对应角相等）
小结
1.知道三角形三条边的长度怎样画三角形。
2. 三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS）；
3、体验分类讨论的数学思想
4、初步学会理解证明的思路
作业
A.作业本1-4题及画一个三角形,是它的三边分别为3cm,4cm,3cm和习题精选P88 6题 B.作业本1-4题及画一个三角形,是它的三边分别为3cm,4cm,3cm和习题精选P88 8题