第4章数字信号处理

合集下载

数字信号处理课件第4章快速傅里叶变换FF

雷达信号压缩
通过FFT对雷达信号进行频谱分析，实现雷达数据的压缩，减小存储空间和传输带宽。
谢谢聆听
05 FFT的局限性与挑战
浮点运算的开销问题
浮点运算开销
快速傅里叶变换（FFT）算法在实现过程中需要进行大量的浮点运算，这可能导致计算成本较高，尤其是在处理大规模数据时。
硬件资源需求
由于FFT的浮点运算密集特性，对计算设备的硬件资源（如CPU、 GPU等）要求较高，需要具备高性能的计算能力。
FFT的软件实现
C/C实现
01
使用C或C等通用编程语言实现FFT算法，具有较好的通用性和
可移植性。
优化编译器
02
利用现代编译器的优化功能，如向量化、内联等，可以提高软
件实现的计算速度。
并行计算框架
03
利用OpenMP、CUDA等并行计算框架，可以实现多核或多
GPU上的并行计算。
FFT的优化方法
算法改进
FFT的历史与发展
历史
FFT的诞生可以追溯到1960年代，其发展经历了多个阶段，包括库利-图基算法、威尔金森算法、桑德斯算法等。
发展
随着计算机技术的不断进步，FFT算法在实现方式、精度、并行化等方面不断得到优化和改进，以满足不同应用场景的需求。
02 FFT的基本算法
递归算法
递归算法是一种基于数学归纳法的算法，通过将问题分解为更小的子问题来解决问题。在FFT中，递归算法将一个长度为N的DFT问题分解为两个长度为N/2的 DFT问题，直到最后分解为基本的DFT问题。
特别是在信号处理领域，FFT的应用非常广泛。
FFT与Z变换的关系
定义
Z变换是离散时间信号到复平面上的扩展，而 FFT是频域的一种快速计算方法。

《数字信号处理—理论与实践》课件第4章

由此得到 x(n) n 3n u(n 1)
4. 围线积分法(留数法) 留数法是求Z反变换的一种有用的方法。根据复变函数理论，若
X (z) x(n)z n ， Rx | z | Rx n
第 4 章Ｚ变换
则
式中， c是X(z)的收敛域中的一条逆时针方向环绕原点的闭合积分围线。
直接计算围线积分比较麻烦，一般采用留数定理求解。按照留数定理，若函数F(z)=X(z)zn－1在围线c上连续，在c内有K个极点zk，而在围线外部有M个极点zm（M和K都取有限值），则有
第 4 章Ｚ变换
2. 一般X(z)是z的有理分式，可以表示为X(z)=B(z)/A(z)， B(z)、 A(z) 都是z的实系数多项式，并且没有公因式。记住了常用序列的Z变换，就可以将X(z)表示成简单项之和的形式，而后求取其中的每一项Z反变换（可以查表），然后把求得的每一项部分分式相加，就得到所求的x(n)，即若
第 4 章Ｚ变换
（1） X(z)的收敛域为|z|>Rx－， x(n)必为因果序列，此时应将X(z)展开为z的负幂级数，为此X(z)的分子、分母应按照 z的降幂排列（或z－1升幂）；
（2） X(z)的收敛域为|z|<Rx+， x(n)必为左边序列，此时应将X(z)展开为z的正幂级数，为此X(z)的分子、分母应按照 z的升幂排列（或z－1降幂）。
1. 只在有限长度n1≤n≤n2内序列x(n)才具有非零值，而在此区间外x(n)=0，即
第 4 章Ｚ变换
x(n), n1≤n≤n2 x(n)= 0, 其他
这类序列称为有限长序列。有限长序列的Z变换为
n2
X (z) x(n) zn nn1

数字信号处理DSP第4章

G[3] 1
k 0,1, , N 1
2
13
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
将系数统一为 WNk 2 WN2k ,则可得
x[0]
N 4点
x[4]
DFT
G[0]
X [0]
G[1]
X [1]
x[2]
N 4点
WN0
x[6]
DFT
WN2
G[2]
1 G[3]
1
X [2] X [3]
x[1]
N 4点
X m1[i] WNr X m1[ j] , X m1[i] WNr X m1[ j]
m 1, 2 ,
每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。
17
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
N点的DIT-FFT计算量为
复数乘法：
1
N 2
log2
N
N 2
复数加法：
2
N 2
log2
N
N
例：如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来计算N=1024点DFT，则需要
12
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
同理
( N 4)1
( N 4)1
G[k] DFT[g[r]]
g[2l]WN2lk2
g[2l 1]WN(22l1)k
l 0
l 0
( N 4)1
( N 4)1
g[2l]WNlk 4 WNk 2
g[2l 1]WNlk 4 ,
l 0
l 0
k 0,1,
(3) WN0 WN4 WN8 WN12 WN16 WN20 WN24 WN28
或 WN4i i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (dm 1)

数字信号处理课后答案+第4章(高西全丁美玉第三版)

6*．按照下面的IDFT算法编写MATLAB语言 IFFT程序，其中的FFT部分不用写出清单，可调用fft函数。并分别对单位脉冲序列、矩形序列、三角序列和正弦序列进行 FFT和IFFT变换，验证所编程序。
解：为了使用灵活方便，将本题所给算法公式作为函数编写ifft46.m如下： %函数ifft46.m %按照所给算法公式计算IFET function xn=ifft46(Xk， N) Xk=conj(Xk)； %对Xk取复共轭 xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算IFFT 分别对单位脉冲序列、长度为8的矩形序列和三角序列进行FFT，并调用函数ifft46计算IFFT变换，验证函数 ifft46的程序ex406.m如下：
快速卷积时，需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)= DFT［h(n)］已计算好存入内存）、 N次频域复数乘法和一次N点IFFT。所以，计算1024点快速卷积的计算时间Tc 约为
Fs <
1024 = 15 625 次 /秒 65536 × 10−6
Fs 15625 = = 7.8125 kHz 2 2
1 x ( n) = IDFT[ X ( k )] = [DFT[ X * ( k )]]* N
%程序ex406.m %调用fft函数计算IDFT x1n=1； %输入单位脉冲序列x1n x2n=［1 1 1 1 1 1 1 1］； %输入矩形序列向量x2n x3n=［1 2 3 4 4 3 2 1］； %输入三角序列序列向量x3n N=8； X1k=fft(x1n， N)； X2k=fft(x2n， N)； X3k=fft(x3n， N)； %计算x1n的N点DFT %计算x2n的N点DFT %计算x3n的N点DFT

数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第4章模拟信号数字处理学习要点及习题答案

·78· 第4章模拟信号数字处理4.1 引言模拟信号数字处理是采用数字信号处理的方法完成模拟信号要处理的问题，这样可以充分利用数字信号处理的优点，本章也是数字信号处理的重要内容。

4.2 本章学习要点(1) 模拟信号数字处理原理框图包括预滤波、模数转换、数字信号处理、数模转换以及平滑滤波；预滤波是为了防止频率混叠，模数转换和数模转换起信号类型匹配转换作用，数字信号处理则完成对信号的处理，平滑滤波完成对数模转换后的模拟信号的进一步平滑作用。

(2) 时域采样定理是模拟信号转换成数字信号的重要定理，它确定了对模拟信号进行采样的最低采样频率应是信号最高频率的两倍，否则会产生频谱混叠现象。

由采样得到的采样信号的频谱和原模拟信号频谱之间的关系式是模拟信号数字处理重要的公式。

对带通模拟信号进行采样，在一定条件下可以按照带宽两倍以上的频率进行采样。

(3) 数字信号转换成模拟信号有两种方法，一种是用理想滤波器进行的理想恢复，虽不能实现，但没有失真，可作为实际恢复的逼近方向。

另一种是用D/A 变换器，一般用的是零阶保持器，虽有误差，但简单实用。

(4) 如果一个时域离散信号是由模拟信号采样得来的，且采样满足采样定理，该时域离散信号的数字频率和模拟信号的模拟频率之间的关系为T ωΩ=，或者s /F ωΩ=。

(5) 用数字网络从外部对连续系统进行模拟，数字网络的系统函数和连续系统传输函数之间的关系为j a /(e )(j )T H H ωΩωΩ==，≤ωπ。

数字系统的单位脉冲响应和模拟系统的单位冲激响应关系应为 a a ()()()t nTh n h t h nT === (6) 用DFT （FFT ）对模拟信号进行频谱分析（包括周期信号），应根据时域采样定理选择采样频率，按照要求的分辨率选择观测时间和采样点数。

要注意一般模拟信号（非周期）的频谱是连续谱，周期信号是离散谱。

用DFT （FFT ）对模拟信号进行频谱分析是一种近似频谱分析，但在允许的误差范围内，仍是很重要也是常用的一种分析方法。

程佩青_数字信号处理_经典版(第四版)_第4章_4.3按频率抽选(DIF)的基-2算法

x(7) -1
WN3
X(7)
x(0)
2点
X(0)
x(1)
DFT
X(4)
x(2)
WN0
-1
2点
X(2)
x(3)
WN2 DFT
-1
X(6)
x(4) -1
WN0
x(5) -1
WN1
2点
X(1)
DFT
X(5)
x(6) -1 x(7) -1
WN2 WN3
WN0
-1
2点
X(3)
WN2 DFT
-1
X(7)
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) -1 x(5) -1 x(6) -1 x(7) -1
例：已知x(n)={1,2,3,4}利用频域抽样流图，计算
X (k) DFT{x(k)}; DFT{X (k)}
1 x[0] 2 x[1] 3 x[2] 4 x[3]
4
6
1 W40 1
1
2
W41 j
1
2j 1
X[0] 10 X[2] 2 X[1] 2+2j X[3] 22j
DFT{x[k]}= {10, 2+2j, 2, 22j}
x(n)
x(n
N
/
2)
WNn
W nr N /2
注意括号
(4.3.3)
n0
k = 2r+1
频率抽取FFT
W n(2r1) N
WNnWN2nr
WNnWNnr2
存储单元
输入序列x(n) : N个存储单元
系数WNr：N / 2个存储单元
频率抽取FFT
N / 21
X (2r) [x(k) x(n N / 2)]WNnr/2 n0

DSP课件第4章-数字信号处理教程(第2版)-姚天任-清华大学出版社

b是归一化传输函数系数行矢量 phase和firoption指定相位特性。’max’表最大相位，’min’表最小相位。约定FIR。 num是FIR滤波器的传输函数系数。
例4-2 求格型参数，已知 Hz 2 6z1 4z2
1．初始化
H z b0 A2 z 2 1 3z1 2z2 D2 z z2 A2 z1 z2 3z1 2
调用MATLAB函数验证 b=[1 3 -2]; k=tf2latc(b); 结果：k=[-3 -2] b=latc2tf(k); 结果: b=[1 3 -2]
4.3 线性相位FIR滤波器
4.3.1 FIR滤波器的相位响应 4.3.2 线性相位FIR滤波器的冲激响应 4.3.3 线性相位FIR滤波器的结构 4.3.4 线性相位FIR滤波器的振幅响应 4.3.5 线性相位FIR滤波器的零点分布
2. 滤波器无相位失真的条件
相延时是频率的函数。若输入信号不同频率分量通过滤波器的相延时不
FIR滤波器的级联结构信号流图
4.2 FIR滤波器的格型结构
uvii
n n
ui1n iui1n
ivi1 n vi1n
1 1
u0
n
v0 n b0 yn uN n
xn
1i N
FIR滤波器格型结构的推导
i
前向预测 xˆn ak xn k
k 1
前向预测误差
i
ui n xn xˆn ak xn i
2
lim
z
D2
z
lim
z
z 2
3z 1
2
2
2．迭代 i 2, 1
A1z
1
1
2 2
A2
z
2 B2

数字信号处理-原理、实现及应用(第4版) 第四章模拟信号的数字处理

（3）当未知时，由 x(n) 无法恢复原正弦信号。
结论：
正弦信号采样（2）
三点结论：（1）对正弦信号，若 Fs 2 f0 时，不能保证从采样信号恢
复原正弦信号；（2）正弦信号在恢复时有三个未知参数，分别是振幅A、
频率f和初相位，所以，只要保证在一个周期内均匀采样三点，即可由采样信号准确恢复原正弦信号。所以，只要采样频率 Fs 3 f0 ，就不会丢失信息。（3）对采样后的正弦序列做截断处理时，截断长度必须是此正弦序列周期的整数倍，才不会产生频谱泄漏。（见第四章4.5.3节进行详细分析）。
D/A
D/A为理想恢复，相当于理想的低通滤波器，ya (t) 的傅里叶变换为：
Ya ( j) Y (e jT )G( j) H (e jT ) X (e jT )G( j)
保真系统中的应用。
在 |Ω|>π/T ，引入了原模拟信号没有的高频分量，时域上表现
为台阶。
ideal filter
•
-fs
-fs/2 o
• fs/2 fs
f •
2fs
•
•
-fs
-fs/2 o
fs/2
•
fs
•
f
2fs
措施
D/A之前，增加数字滤波器，幅度特性为 Sa(x) 的倒数。
在零阶保持器后，增加一个低通滤波器，滤除高频分量，对信号进行平滑，也称平滑滤波器。
c
如何恢复原信号的频谱？
P (j)
加低通滤波器，传输函数为
G(
j)
T
0
s 2 s 2
s
0
s
X a ( j)
s 2
s c c
s
理想采样的恢复

精品课件-数字信号处理(第四版)(高西全)-第4章

点DFT和(4.2.10)式或(4.2.11)式所示的N/4个蝶形运算，
如图4.2.3所示。依次类推，经过M次分解，最后将N点DFT
分解成N个1点DFT和M级蝶形运算，而1点DFT就是时域序列
本身。一个完整的8点DIT－FFT运算流图如图4.2.4所示。
图中用到关系式
。W图N中k / m输入W序Nmk列不是顺序排
In Time FFT，简称DIT－FFT )；频域抽取法FFT (Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT)。本节介绍DIT－FFT
设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。按n 的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1(r) x(2r)， x2 (r) x(2r 1)，
x1
(2l
1)WNk
( /
2l 2
1)
l 0
l 0
N / 41
N / 41
x3 (l)WNkl/ 4 WNk / 2
x4
(l
)WNk
l /
4
l 0
l 0
X 3 (k ) WNk/ 2 X 4 (k )
k 0， 1，， N 1 2
(4.2.9)
第4章快速傅里叶变换(FFT)
式中
N / 41
r0
2
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，
kN
WN 2
WNk
且
，因此X(k)又可表示为
第4章快速傅里叶变换(FFT)
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)，
X
(k
N 2
)
X1(k)
WNk
X

数字信号处理(第三版)教程及答案第4章

第 4 章时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
4.4 例
［例4.4.1］例
题
设FIR滤波器的系统函数为
1 H ( z ) = (1 + 0.9 z −1 + 2.1z − 2 + 0.9 z −3 + z − 4 ) 10
求出其单位脉冲响应，判断是否具有线性相位，画出直接型结构和线性相位结构（如果存在）。
第 4 章时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
4.1 教材第章学习要点教材第5章学习要点
数字信号处理系统设计完毕后，得到的是该系统的系统函数或者差分方程，要实现还需要按照系统函数设计一种具体的算法。不同的算法会影响系统的成本、运算的复杂程度、运算时间以及运算误差等。教材第5章的学习要点如下： (1) 由系统流图写出系统的系统函数或者差分方程。
: 解：上式的分子分母是因式分解形式，再写成下式:
− 8 + 20 z −1 − 6 z −2 H ( z ) = 16 + (1 − 0.5 z −1 )(1 − z −1 + 0.5 z −2 )
上式的第二项已是真分式，可以进行因式分解。
第 4 章时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现41教材第5章学习要点42按照系统流图求系统函数或者差分方程43按照系统函数或者差分方程画系统流图44例题45教材第章学习要点46教材第章习题与上机题解答时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现41教材第5章学习要点数字信号处理系统设计完毕后得到的是该系统的系统函数或者差分方程要实现还需要按照系统函数设计一种具体的算法
− 8 + 20 z −1 − 6 z −2 H1 ( z) = (1 − 0.5 z −1 )(1 − z −1 + 0.5 z − 2 )

数字信号处理讲义--第4章z变换

数字信号处理讲义--第4章z变换第4章 z 变换[教学⽬的]1．了解Z 变换的概念，能求常⽤函数的Z 变换，能确定Z 变换的收敛域。

2．掌握各种求解Z 逆变换的⽅法，特别是利⽤围线积分求Z 反变换。

[教学重点与难点] 重点：1．Z 变换的概念，常⽤函数的Z 变换求解，Z 变换的收敛域； 2．各种求解Z 逆变换的⽅法，特别是利⽤围线积分求Z 反变换；难点：本章主要内容基本在信号与系统中学过，基本⽆难点，但如学⽣基础较差，还是要从以上三个重点内容去复习。

8．了解离散时间随机信号的概念。

[教学重点与难点] 重点：1．掌握线性时不变系统的概念与性质； 2．离散时间信号与系统的频域表⽰；难点：离散信号系统的性质如线性性，时不变性，因果性，稳定性的判定是本章的⼀个难点。

4.1 Z 变换（1） Z 变换的定义⼀个离散序列x (n )的Z 变换定义为式中，z 是⼀个复变量，它所在的复平⾯称为Z 平⾯。

我们常⽤Z ［x (n )］表⽰对序列x (n )进⾏Z 变换，也即这种变换也称为双边Z 变换，与此相应的单边Z 变换的定义如下：∑∞-∞=-=n nz n x z X )()()()]([z X n x Z =∑∞=-=0)()(n nz n x z X这种单边Z 变换的求和限是从零到⽆穷，因此对于因果序列，⽤两种Z 变换定义计算出的结果是⼀样的。

单边Z 变换只有在少数⼏种情况下与双边Z 变换有所区别。

⽐如，需要考虑序列的起始条件，其他特性则都和双边Z 变换相同。

本书中如不另外说明，均⽤双边Ｚ变换对信号进⾏分析和变换。

（2）Z 变换与傅⽴叶变换的关系:单位圆上的Z 变换是和模拟信号的频谱相联系的，因⽽常称单位圆上序列的Z 变换为序列的傅⾥叶变换，也称为数字序列的频谱。

数字频谱是其被采样的连续信号频谱周期延拓后再对采样频率的归⼀化。

单位圆上序列的Z 变换为序列的傅⾥叶变换，根据式（1-54）Z 变换的定义，⽤ej ω代替z ，从⽽就可以得到序列傅⾥叶变换的定义为可得其反变换:（3）Z 变换存在的条件: 正变换与反变换:存在的⼀个充分条件是:∑∞-∞==Ω=??-=Ω==k a Taj e z T k j X T j X e X z X j πωωωω21)(?)()(/nj n j en x e X n x F ωω-∞-∞=∑==)()()]([ωππωππωωd e eX dz z z X j e X F n x n j j n z j ??--=-===)(21)(21)]([)(11||1∑∞-∞=-==n nj j en x e X n x F ωω)()()]([ωπωωππωd e e X n x e X F n j j j )(21)()]([1?--==即:绝对可加性是傅⾥叶变换表⽰存在的⼀个充分条件。

数字信号处理课件第4章

N 2
N −1
2 ( = ∑ x(2r )WN rk + ∑ x(2r + 1)WN2 r +1) k r =0
N 2
−1
N 2
−1
r =0
2 k 2 = ∑ x1 (r )(WN ) rk + WN ∑ x2 (r )(WN ) rk r =0 r =0
−1
N 2
−1
根据可约性，W = e
2 N
N 2
X1(k + N ) = X3 (k) −WNk X4 (k), k = 0,1,L, N −1 4 4
2
(二) N/4点DFT
同样对n为奇数时，点分为两个N/4点的同样对为奇数时， N/2点分为两个为奇数时点分为两个点的序列: 序列 x5 (l) = x2 (2l), l = 0,1,L, N −1 4
3
k 则有：X ( k ) = X 1 (k ) + WN X 2 (k ) k X (k + 4) = X 1 (k ) − WN X 2 (k ), k = 0,1,2,3
(一) N/2点DFT 一点
整个过程如下图所示: 整个过程如下图所示
x1(0)=x(0) )= ( x1(1)= (2) )=x( x1(2)= (4) )=x( x1(3)= (6) )=x( x2(0)= (1) )=x( x2(1)= (3) )=x( x2(2)= (5) )=x( x2(3)= (7) )=x( X1(0) N/2点 N/2点 X1(1) X1(2) DFT X1(3) X2(0) X2(1) X2(2) X2(3)
2
N 2 N2 ( ) = 2 4 N N ( − 1) 2 2

第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)

s
s 2 0
－ 0 .5 0
s 2
0 .5

1
s

2π
－ 1
π
－ 0 .5
0 0
π
0 .5
2π
1

图 4.2.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系
第四章 DFT与其快速算法
例 4.2.1设xa(t)=cos(2πf0t)， f0=50 Hz以采样频率
fs=200 Hz对xa(t)进行采样，得到采相信号 x a ( t ) 域离散信号x(n)，求xa(t)和 x a ( t ) x(n)的FT。解：
是一个以N为周期的周期序列，称为
的离散
傅里叶级数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。
第四章 DFT与其快速算法
(4.1.6)
(4.1.7)
(4.1.6)式和(4.1.7)式称为一对DFS。周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为 ωk=(2π/N)k, k=0, 1, 2 … N-1，幅度为分量的频率是2π/N，幅度是
第四章 DFT与其快速算法
4.1 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换
4.1.1周期序列的离散傅里叶级数
~
设 x(n )
~
是以N为周期的周期序列，由于是周期
2 N
性的，可以展成傅里叶级数
x(n )
k

j
kn
ake
(4.1.1)
式中ak是傅里叶级数的系数。为求系数ak ，将上式两边乘以 e

c os( 2 f 0 n T ) ( t n T )
x a ( t ) 的傅里叶变换用(1.5.5)式确定，即以Ωs=2πfs

数字信号处理第4章信号与系统的复频域分析

有的零点和极点以及比例因子bm，就可以确定系统函数。因此，系统函数的零点和
极点的分布反映了系统的各种特征。
系统函数往往用零点和极点在S平面上的分布图来表示，以”○”表示零点，以”×” 表示极点，以“⊙”表示重零点，以”*” 表示重极点。
jω
×
1
○
*
-2
-1
○
01
○
2
σ
×
-1
H
(s)
s(s (s2 2s
求上式的拉氏反变换，就可以得到系统的
冲激响应为：
n
h(t) bm kie pit i 1
每一极点对应一分量 epit ,(有r重极点时对应 t e r1 pit ），极点位置就决定了该分量的时域性质。
在H(s)的系数都为实数时，如果有一极点
为复数，必有另一极点是该极点的共轭复数，同时系数k也将为共轭复数，一对共轭极点组成的响应分量仍然为实数。
系统稳定性：对于任何一个有界的激励，稳定系统产生的响应在任何时候都是有界的。也就是要求系统的冲激响应有界（随着t→∞，|h(t)|将逐渐衰减到零）。系统的冲激响应的时域性质可由系统函数的极点位置确定，因此，系统的稳定性可由系统函数的极点位置来判断。
1、系统函数的极点全部位于左半S平面时，随着t→∞将逐渐衰减到零，系统稳定。因
1
F (s)estds F (s)estds
2 j C0 Ci
Ci
0
k
Re
s(sk
)
1
2
j
Ci
F
(s)e st ds
F (s)estds 0 t 0
C1
F (s)estds 0 t 0
C2

数字信号处理-答案第四章

m 0
y
l 1
m
( n) ，然后对它求一次 N 点
DFT , 即可计算 X ( z )在单位圆上的 N点抽样 (b)若：N M，可将x ( n)补零到N点, 即 x ( n) x0 ( n ) 0 则：X (e
j 2 k N
0 n M 1 M n N 1
令 X 1 (k0 , n1 , n0 )
n2 0
x(n , n , n )W
2 1 0 1 ' 1
2
n2 k 0 3
,
k0 0,1,2
X 1' (k0 , n1 , n0 ) X 1 (k0 , n1 , n0 )W6n1k 0 X 2 (k0 , k1 , n0 )
n1 0
2 . 已知X (k ),Y (k )是两个N点实序列x(n), y(n)的DFT值, 今需要从 X (k ),Y (k )求x(n), y (n)值, 为了提高运算效率, 试用一个N点IFFT 运算一次完成。
解 : 依据题意 : x ( n ) X ( k ); y ( n ) Y ( k ) 取序列 Z ( k ) X ( k ) jY ( k ) 对Z ( k )作N点IFFT可得序列 z ( n ). 又根据DFT性质： IDFT [ X（k） jY（k） ] IDFT（ [ X（ k ） ] jIDFT [Y（k） ] x （ n） jy（n）由原题可知： x（n），y（n）都是实序列，再根据 z（n） x （ n） jy（n）可得：x（n） Re[ z（n） ] y（n） Im[z（n） ] 综上所述，构造序列 Z（k） X（k） jY（k）可用一次 N点IFFT完成计算x（n），y（n）值的过程。

数字信号处理第4章部分习题详解

其中 ni 、 k i 都是二进制数。
)( 2 k1 k0 ) n1k0 ( 2 n 2 n3 级间旋转因子 W16 。 W16
4
22 n1 2n2 n3 23 n0
0000 1000 0100 1100 0010 1010 0110 1110 0001 1001 0101 1101 0011 1011 0111 1111 x(0) x(8) x(4) -j x(12) x(2) x(10) x(6) -j x(14) x(1) x(9) x(5) -j x(13) x(3) x(11) x(7) x(15) -j -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
nk X (k ) x(n)WN n 0 N 1

1
1
n3 0 n2 0 1
x(n n n n )W
n1 0 1 n0 0 1 0 1 2 3 0 1 2 3
1
1
1
( 23 n0 2 2 n1 2 n2 n3 )( 23 k3 2 2 k 2 2 k1 k0 ) 16
3
n1 0

3
3 n1 ( 4 k1 k 0 ) x(n0 n1 )W4n0 k 0 W16 n 0 0
n1k0 X 1 (n1k0 ) W16 W4n1k1 X 2 (k1k0 ) n1 0
n1 k 0 其中 W16 是级间旋转因子。

n3 0 n 2 0 1 1

n1 0
1 n3 ( 2 2 k 2 2 k1 k 0 ) x(n0n1n2n3 )W2n0 k 0 W4n1k 0 W2n1k1 W8n2 ( 2 k1 k 0 ) W2n2 k 2 W16 W2n3 k3 n 0 0

数字信号处理第4章相关与谱分析

17
由DTFT的性质，时域上两个序列相乘，在频域上是两个序列的离散时间傅里叶变换的卷积，即加窗后序列x1(n)的频谱函数为：
18
图4.1.2矩形窗频谱函数的幅度频谱
19
图4.1.3用矩形窗函数截断余弦序列后的频谱
20
前后序列的频谱存在差异。这种差异对频谱分 ①频谱泄漏。无限长序列加矩形窗截断后，在矩形窗频谱函数的作用下，使得X(ejω)出现了较大的频谱扩展和向两边的波动，通常称之为频谱泄漏
1
对信号作频谱分析，实际上就是计算信号的傅里叶变换，获得信号的频谱函数或频谱图。对于非周期连续信号，其傅里叶变换是连续非周期函数；对于周期的连续时间信号，其傅里叶分析是无穷级数；离散时间序列的傅里叶变换是w的连续周期函数。无论哪一种变换，都不便于用计算机计算。
2
一、用DFT对连续时间信号进行谱分析的原理和公式推导设xa(t) 为连续时间信号，对xa(t)以时间间隔T 进行采样，得到离散时间信号即序列x(n)。分别用 Xa(jΩ)和X(ejω)表示xa(t)和x(n)经过傅里叶变换后的频谱函数，有：
3
由连续时间信号的傅里叶逆变换得：因为x(n)是xa(t)
4
令ω=ΩT－2πk，则有
又由IDTFT的定义知：
5
对比上两式可得离散时间信号x(n)与连续时间信号xa(t)的频谱函数关系为：
6
如果连续时间信号的频谱是有限带宽且最高角频率为Ωc，同时抽样过程满足取样定理，即Ωs≥2Ω c，那么当时，
7
另一方面，设x(n)是有限长序列，长度为L，其N点的DFT记为X(k)。 X(k)是X(ejω)在［0，2π）区间上的N个等间隔采样点，即：
8
由频域取样定理知，当N≥L时，X(ejω)完全可由X(k)确定，此时有：

《数字信号处理》第4章

造成倒位序的原因：将其按标号的偶奇的不断分组，每次分解总是将偶序列放在上面，把奇序列放在下面。首先最低位按0、1分为偶、奇两组，接着次低位也按0、1分组，依此类推
右图为描述倒位序的树状图(N=8)
5 倒位序的实现
对照表
变址功能
产生倒序数的十进制运算规律 N=2M，用M位二进制数表示，则从左至右的十进制权值为：
N 1 4
x1(2l)WNk22l
N 1 4
x1(2l
1)WNk22l1
r0
l0
l0
N1
N1
4
4
x3(l)WN kl4WN k2 x4(l)WN kl4
l0
l0
X 3(k) W N k2X 4(k),k0 ,1 ,
,N 1 2
式中
N1 4
N1 4
X3(k)DFTx3(l) x3(l)WN kl4 X4(k)DFTx4(l) x4(l)WN kl4
47线性调频变换chirp变换算法471算法原理已知序列xn0nn1是有限长序列其z变换为为适应z可沿z平面更一般的路径取值就沿z平面上的一段螺线作等分角的采样z的这些采样点zk为因此有其中a决定起始采样点z0的位置a0表示z0的矢量半径长度通常取a010表示z0的相角0表示两相邻采样点之间的角度差w0一般为正值表示螺线的伸展率图471线性调频变换在平面的螺线采样当mn即时各采样点zk就均匀等间隔地分布在单位圆上这就是求序列的dft
N
W N k(N n)W N (N k)nW N kn,
W
2 N
1
N
k
WN 2
WNk
利用这些特性，使DFT运算中有些项可以合并，并且可以将长序列的DFT分解为几个短序列的DFT，以减少DFT的运算次数。