最新2019学年高二上学期入学考试数学试题

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四川省巴中市平昌中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

四川省平昌中学高2023级第三学期入学考试试题数学考试时间：120分钟总分：150分注意事项：1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息．2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3、回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．设集合则（）{}{}211,20A x x B x x x =-≤=--≥()R A B = A ．B ．C ．D ．()1,2-[]0,2(]0,2[)0,22．复数，若为实数，为纯虚数，则（）122i,4i,R z a z b a b =+=-+∈、12z z +12z z -a b +=A ．6B ．C ．2D ．6-2-3．命题“”的否定是（）R,ln 1xx e x ∃∈>+A ．B ．R,ln 1xx e x ∀∈≤+R,ln 1xx e x ∃∈≤+C ．D ．R,ln 1x x e x ∀∉>+R,ln 1xx e x ∃∉>+4．已知平面α，β，直线，直线m 不在平面α内，下列说法正确的是（）l α⊂A ．若，则B ．若，则,m l αβ∥∥m β∥,l m βα⊥⊥m β∥C ．若，则．D ．若，则,l m αβ⊥⊥m α⊥,m αββ⊥∥m l⊥5．已知一个样本容量为7的样本的平均数为6，方差为2，现在样本中插入三个新的数据5，6，7，若新样本的平均数为，方差为，则（）x 2s A ．B ．C ．D ．26,2x s =<26,2x s ==26,2x s <=26,2x s >>6．函数的部分图像大致是（）()πcos 2x f x x⎫⎛+ ⎪⎝⎭=A ．B ．C ．D ．7．已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足，点D 为AC ABC △()sin sin sin a A c a C b B ⋅+-⋅=⋅的中点，交AB 于E ，且的面积为（）DE AC ⊥4,BC DE ==ABC △A ．B ．C ．D ．4+3+6+12+8．在棱长为1的正方体中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则下列说法中不正确的是（ 1111ABCD A B C D -）A ．当三棱锥的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为1B BEF -3π2B ．异面直线与1DD 1B FC ．点P 为正方形内一点，当平面时，DP 1111A B CD DP ∥1B EFD ．过点，E ，F 的平面截正方体所截得的截面周长为1D 1111ABCD A B C D -+二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B ．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C ．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖D ．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是1310．的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c 则下列说法正确的是（）ABC △A ．，则是锐角三角形0AC CB ⋅>ABC △B ．若，则是直角三角形222cos cos cos 1A B C +-=ABC △C ．若，则π2A B +<sin sin A B +<D ．若，则tan tan 1A B >tan tan tan 1A B C >11．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，，且点P 在以AD 中点O 为圆心，OA 为半23AD AC =径的圆上，，则下列说法正确的是（）BP xBA yBC =+A ．B ．113x ≤≤1233BD BA BC=+ C ．D ．992BP BC ≤⋅≤x y +1+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡上．12．已知与平行，则实数___________．)()(,0,1,,2a b c k a b ===- ck =13．函数满足对任意实数都有成立，则实数a 的取(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎫⎛-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩12x x ≠()()12120f x f x x x ->-值范围为___________．14．已知为方程的两个实数根，且，则的最大值为12,x x ()22tan tan 03x x βαβ-⎡-+⎤+=⎣⎦123x x =tan α___________．四、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．15．（13分）为了落实习主席提出的“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，平昌县政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成如图所示的频率分[)[)[]0,1,1,2,,8,9⋯布直方图．（1）直方图中a 的值；（2）由频率分布直方图估计平昌县居民月用水量的平均数是多少；（3）若平昌县政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），求x 的估计值．16．（15分）如图所示，在三棱锥中，．P ABC -,90,AC BC ACB AP BP AB =∠=︒==（1）求证：；PC AB ⊥（2）若点D 为AP 的中点，且，求二面角的大小．PC AC ⊥P BC D --17．（15分）如图所示，在中，，点D ，E 分别在AB ，AC 上且满足ABC △5,3,60AB AC BAC ==∠=︒，P 为线段DE 上一动点．4,2AD DB AE EC ==（1）若，求的值；AP x AB y AC =+56x y +（2）求的最小值．PB PC ⋅18．（17分）在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC △，且．()()sin ,sin sin ,,m A B C n a b b c =-=-+m n ⊥ （1）求角C 的值；（2）若为锐角三角形，且的取值范围．ABC △1c =b -19．（17分）已知函数；()2log 2ax f x x -=+（1）判断函数奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；()f x ()1fx -（3）若函数的定义域为，值域为，并且在上为减函数．求[],αβ[]log (1),log (1)a a a a βα--()f x [],αβa 的取值范围；四川省平昌中学高2023级第三学期入学考试答案（数学）一、单选题1．【答案】D【解析】由题意得：，所以{}{}02,12R A x x B x x =≤≤=-<< (){}02R A B x x =≤< 2．【答案】B【解析】因为为实数，所以；()1242i z z a b +=-++2b =-又因为为虚数，所以，所以，故选B ．()1242i z z a b -=++-4a =-6a b +=-3．【答案】A【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，则命题“”的否定为“”，故选A ．,e ln 1xx x ∃∈>+R ,e ln 1xx x ∀∈≤+R 4．【答案】D【解析】因为，l α⊂对于A ，若，则有可能在内，故A 错误；,m l αβ∥∥m β对于B ，若，则有可能在内，故B 错误．,l m βα⊥⊥m β对于C ，若，则的情形比较多，不一定垂直，故C 错误；l m αβ⊥⊥，m α对于D ，若，则，又，则，故D 正确；,m αββ⊥∥m α⊥l α⊂l m ⊥5．【答案】A【解析】设原样本的7个数据分别为，127,,,x x x ⋯插入的三个新数据分别为．89105,6,7x x x ===由题意得，，()77211142,627i ii i x x ===-=∑∑所以，()121011(42567)61010x x x x =+++=+++= ()()()22221210166610s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 222114(56)(66)(76) 1.6210⎡⎤=+-+-+-=<⎣⎦6．【答案】D【解析】因为，()()πcos sin 20x x f x x x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-≠，所以是奇函数，图象关于原点对称，由此排除AC 选项．()()sin xf x f x x-==-()f x 当时，，排除B 选项，所以D 选项正确．0πx <<()sin 0xf x x=-<7．【答案】C【解析】因为，()sin sin sin a A c a C b B ⋅+-⋅=⋅所以由正弦定理得：，所以，()22a c a cb +-=222ac b ac +-=由余弦定理得：，又因为，所以．2221cos 22a cb B ac +-==()0,πB ∈π3B =又因为点为的中点且，所以，D AC DE AC ⊥,AE CE ECD A =∠=∠在中，由正弦定理得：，得DCE △πsin sin 2CE DE A =CE =在中，由正弦定理得：，化简得：，BCE △sin 60sin22sin cos CE BC BC A A A ==︒cos A =所以，所以，所以，所以45A =︒290BEC A ∠==︒2CE AE BE ===6ABC S =+△8．【答案】D【解析】对于A ：三棱锥的外接球为以为邻边的长方体的外接球．1B BEF -1BB BE BF 、、因为，111,2BBBE BF ===可得外接球的半径，R ===所以外接球的表面积，故A 正确；23π4π2S R ==对于B ：因为，则异面直线与所成角为，且，可得11DD BB ∥1DD 1B F 1BB F ∠111,2BB BF ==，1B F===111cosBBBB FB F∠==所以异面直线与B正确；1DD1B F对于C：取的中点，连接，111111A B A D C D、、M Q N、、AM MN QN DN、、、由题意可得：，则四边形为平行四边形，所以．11,AE B M AE B M=∥1AEB M1B E AM∥因为四边形为正方形，分别为的中点，则，1111A B C D M N、1111A B C D、1111,A M D N A M D N=∥所以四边形为平行四边形，所以．11A D NM1111,MN A D MN A D=∥又因为，可得，1111,AD A D AD A D=∥,MN AD MN AD=∥则四边形为平行四边形，所以，可得．AMND AM DN∥1B E DN∥因为平面平面，则平面．1B E⊂1,B EF DN⊄1B EF DN∥1B EF因为，则四边形为平行四边形，则．1111,AA CC AA CC=∥11AAC C11AC A C∥因为分别为的中点，则，E F、AB BC、EF AC∥同理可得，则，可得．11QN A C∥11EF A C∥QN EF∥因为平面平面，则平面．EF⊂1,B EF QN⊄1B EF QN∥1B EF因为平面，所以平面平面，,DN QN N DN QN=⊂、DNQ DNQ∥1BEF则点在线段上，可得．PQN1112QN AC DQ DN======故当点为线段的中点时，取到最小值，P QN,DP QN DP⊥，故C 正确；=对于D ：连接．11AC AC 、因为为的中点，则，E F 、AB BC 、EF AC ∥又因为，则四边形为平行四边形，1111,AA CC AA CC =∥11AAC C 可得，则．11AC A C ∥11EF A C ∥过作，设，则．1D 11KL A C ∥1111,KL A B K KL B C L == KL EF ∥可得．111111,KA A B LC B C ==连接，设，连接．KE LF 、11,KE AA G LF CC H == 11D G D H 、可得过点的平面截正方体所得的截面为五边形，1D E F 、、1111ABCD A B C D -1EFHD G 因为，则，112,2KA AE LC CF ==11222,233GA AG HC CH ====可得，11D G D H GE HF EF =====所以截面周长为D 错误；22++=+二、多选题9．【答案】BD【分析】根据事件发生的随机性可以判断A ，C 选项，根据频率与概率的关系可以判断B 选项，应用古典概型判断D 选项．【详解】随机事件的不确定性可以确定A ，C 选项错误，事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，B 选项正确；任意投掷两枚质地均匀的骰子基本事件有36种情况，点数和是3的倍数的情况有个基本事件，概率是()()()()()()()()()()()()1,2,1,5,2,1,2,4,3,3,3,6,4,2,4,5,5,1,5,4,6,3,6,6,12，故D 选项正确．121363=10．【答案】BCD【解析】选项A ：因为，所以为钝角，故A 错误；0AC CB ⋅>C 选项B ：因为，所以，化简得：222cos cos cos 1A B C +-=2221sin 1sin 1sin 1A B C -+--+=，222sin sin sin A B C +=由正弦定理得：，所以为直角三角形，故B 正确；222a b c +=ABC △选项C ：因为，所以，可得：，π2A B +<ππ022B A <<-<π02A <<又因为在上单增，所以，sin y x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭πsin sin cos 2B A A ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭所以，故C 正确；πsin sin sin cos 4A B A A A ⎛⎫+<+=+≤ ⎪⎝⎭选项D ：因为，所以为锐角，tan tan 1A B >,A B 又因为，所以为锐角，()tan tan tan tan 0tan tan 1A BC A B A B +=-+=>-C 所以，可得，所以π2A B +>π2A B >-πsin sin cos 02A B B ⎛⎫>-=> ⎪⎝⎭同理可得：．sin cos 0,sin cos 0B C C A >>>>所以，所以，故D 正确．sin sin sin cos cos cos 0A B C A B C >>tan tan tan 1A B C >11．【答案】B C D【解析】对A ：过作直线的平行线交于点，则，P BC BA E BE xBA = 所以当与重合时，取得最小值，最小值为；P D x 13当与半圆相切时，取得最大值，此时，所以A 错误；PE x 1x >对B ：因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，23AD AC = P AD O OA 所以，13OA OD DC AC ===则，故B 正确；()11123333BD BC CD BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+ 对C ：过作交于，则，P PF BC ⊥F 3BP BC BF BC BF ⋅=⋅= 则当与重合时，取得最小值，最小值为；P A BF 32当与半圆相切时，取得最大值，最大值为3，PF BF 所以，C 正确；992BP BC ≤⋅≤ 对D ：用等和线知识可得，当位于与平行且与半圆相切的直线上时，最大．P AC x y +设此线与交于点，则BC G CG =所以的最大值为，即D 正确．xy+1BG BC ==+或者建系：对C ，D ：如图，以点为原点建立平面直角坐标系，O 则．()()11,0,,2,02A B C ⎛- ⎝因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，P AD O OA 所以由三角函数的定义，可设，()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈则，133cos ,sin ,,,,222BP BC BA αα⎛⎛⎛=--==- ⎝⎝⎝ 所以．3327πcos 3cos 62443BP BC ααα⎛⎫⋅=--+=++ ⎪⎝⎭因为，所以，所以，故C 正确；[]π,2πα∈π4π7π,333α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦992BP BC ≤⋅≤因为，所以，BP xBA yBC =+ 133cos ,sin ,,222x y αα⎛⎛⎛--=-+ ⎝⎝⎝即，())13cos ,sin ,22xy x y αα⎛⎛⎫--=--+ ⎪⎝⎝⎭所以，所以．)sin x y α-=+1x y α+=+因为，所以当时，，故D 正确．[]π,2πα∈3π2α=x y +1+三、填空题12．【答案】6【解析】因为，则，)(),0,1a b ==)()()220,1a b -=-= 又因与平行，于是得，解得．(,2c k a b =- c 0k -=6k =13．【答案】[)4,8【解析】由题意，函数在和上分别单调递增，且在上的最高点不高于其()f x (],1-∞()1,+∞()f x (],1-∞在上的最低点，即解得()1,+∞1,40,242,2a a a a ⎧>⎪⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩48a ≤<14．【答案】【解析】因为为方程的两个实数根，且，12,x x ()22tan tan 03x x βαβ--++=⎡⎤⎣⎦123x x =所以，解得．1212233x x x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩12x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩记，所以，()12tan tan m x x βαβ-+==+tan tan tan 1tan tan m αββαβ+-=-即，2tan tan tan tan tan 0m m αβαβα⋅-⋅++=而此方程有解需满足．()()2222Δtan 4tan tan 4tan 4tan 0m mm m ααααα=-+=--≥因为，所以，当时取到等号．故答案为．2449m -=-tan α≤12x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩四、解答题15．【解析】（1）由，解得：．0.040.080.200.260.060.040.021a a ++++++++=0.15a =（2）长寿区居民月用水量的平均数()()0.57.50.04 1.50.08 2.5 5.50.15 3.50.20 4.50.26 6.50.068.50.02x =+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（吨）．4.07=（3）因的频率为的频率[)0,50.040.080.150.200.260.730.85[0,6++++=<，），0.730.150.880.85+=>由题意得，得吨．所以有的居民每()()0.1550.040.080.150.200.2610.85x -+++++⨯= 5.8x =85%月的用水量不超过标准5.8（吨）．16．【解析】（1）取的中点，连接．AB E ,PE CE 因为为中点，所以．,AP BP E =AB PE AB ⊥又因为为中点，所以．,AC BC E =AB CE AB ⊥又因为，所以面．PE CE E = AB ⊥PCE 又因为面，所以．PC ⊂PCE PC AB ⊥（2）由（1）知：，PC AB ⊥又因为且，所以面．PC AC ⊥AB AC A = PC ⊥ABC 又因为面，所以面面．PC ⊂PCB PCB ⊥ABC又因为且，所以面，所以．,BC AC BC PC ⊥⊥AC PC A = BC ⊥ACP BC CD ⊥所以二面角的平面角为．D BC P --DCP ∠又因为且，所以，所以为等腰直角三角形．AP BP AB ==AC BC =PC AC =PCA △又因为点为的中点，所以，D AP 45DCP ∠=︒所以二面角的大小为．P BC D --45︒17．【解析】（1）因为，且，4,2AD DB AE EC == AP x AB y AC =+ 所以．5342x y AP AD AE =+ 又因为三点共线，所以，所以．,,D P E 53142x y +=564x y +=（2）由（1）知：，得到，564x y +=456x y -=因为，()1PB PA AB x AB y AC AB x AB y AC =+=--+=-- ，()1PC PA AC x AB y AC AC x AB y AC =+=--+=-+- 所以()][()11PB PC x AB y AC x AB y AC ⎡⎤⋅=--⋅-+-⎣⎦．()()()2222||||12x x AB y y AC x y xy AB AC =-+-+--+⋅ 又因为，所以，5,3,60AB AC BAC ==∠= 2215|25,|9,2AB AC AB AC ==⋅= 所以．()()()2215259122PB PC x x y y x y xy ⋅=-+-+--+ 又因为，所以，456x y -=275751442PB PC x x ⋅=-+ 又因为，所以当时，．405x ≤≤12x =min 67()16PB PC ⋅=- 18．【解析】（1）因为，且，()()sin ,sin sin ,,m A B C n a b b c =-=-+ m n ⊥所以()()()sin sin sin 0a b A b c B C -++-=利用正弦定理化简得：即，()()()0a a b b c b c -+-+=222a b c ab +-=由余弦定理可得，2221cos 22a b c C ab +-==又因为，所以．()0,πC ∈π3C =（2）由（1）得，即，2π3A B +=2π3B A =-又因为为锐角三角形，所以，解得：，ABC △2ππ03202A A π⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩ππ62A <<因为，由正弦定理得：，1c=1πsin sinsin sin 3a b c A B C ====a A=b B =bA B -=-，ππsin cos 34A A A A A ⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，ππ62A <<ππππ6444A -<-<的取值范围为．π14A ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭b -⎫⎪⎭19．解析：（1）定义域为关于原点对称，又，()(),22,x ∈-∞-⋃+∞()()0f x f x +-=所以为奇函数()f x （2）()()()()12101x x a f x x a -+=≠-（3）按题意，得()max 2log ()log 12a a f x a ααα-==-+即20,210.ααα-⎧>⎪∴+⎨⎪->⎩2α>又()()min 2log log 12a a f x a βββ-==-+关于的方程．∴x ()2log log 12a a x a x x -=-+在内有二不等实根关于的二次方程在内有二()2,+∞.x αβ=⇔、x ()()21210ax a x a +-+-=()2,+∞异根αβ、．故()()()201Δ(1)810101292421210a a a a a a a a a a a >≠⎧⎪=-+->⎪⎪⇔⇔<<-⎨->⎪⎪+-+->⎪⎩且109a <<。

2019学年高二数学上学期开学考试试题(含解析)

2019高二开学检测数学（文）试题一、选择题1. 在△ABC中，若a=2b sin A,则B为A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】，，则或，选C.2. 在△ABC中，，则S△ABC= （）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】,选C3. 边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的（）A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°【答案】B解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选B．考点：余弦定理．4. 等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B...............5. 已知△ABC的周长为9，且，则cosC的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，不妨设，,则，选A.6. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）A. 米B. 米C. 200米D. 200米【答案】A【解析】如图,易知,在中，，在中，，由正弦定理，得，即；故选A.7. 已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于( )A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 60°或120°【答案】D【解析】试题分析：，；，，或，选D.考点：正弦定理、解三角形8. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )A. 9B. 18C. 9D. 18【答案】C【解析】试题分析：∠A＝30°，∠B＝120°所以∠C＝30°考点：解三角形9. 某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为（）A. B. 2 C. 2或 D. 3【答案】C【解析】试题分析：依题意，由余弦定理得，解得或.考点：余弦定理的应用10. 在中,则=（）A. 或B.C. D. 以上都不对【答案】C【解析】试题分析：由得考点：正弦定理11. 在三角形ABC中,已知A,b=1,其面积为,则为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，三角形的面积，所以，又，所以，又由余弦定理，可得，所以，则，故选B．考点：解三角形．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到是解答的关键，属于中档试题．12. 在△ABC中，若，则等于（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】，则，，，，，，选C.13. 在△ABC中，若，则A等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】 ,，则或，选D.14. 在△ABC中，若，则其面积等于（）A. 12B.C. 28D.【答案】D【解析】，，，选D.15. 在△ABC中，若，则∠A=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】即：则，，，选C.16. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰或直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形【答案】B【解析】由正弦定理，得，所以，，又因为，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、二倍角的正弦公式及三角形内角和定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.17. 在△ABC中，若则A=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】, , ,,则，选B .18. 在△ABC中，若，则最大角的余弦是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，最大角为，，选C.19. 在△ABC中，若，则与的大小关系为（）A. B. C. ≥ D. 、的大小关系不能确定【答案】A【解析】解：因为在中，，利用正弦定理，则可知a>b，那么再利用大边对大角，因此选A20. 在△ABC中，，则等于A. 1B. 2C.D. 3【答案】B【解析】根据正弦定理，，，，则，则，，选B 。

湖南省湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试卷

湖南省湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试卷一、单选题1．已知全集为U ，集合M ，N 满足M N U ，则下列运算结果为U 的是（）． A ．M N ⋃ B ．()() U UN M ⋃痧C ．() U M N ⋃ðD ．() U N M ⋃ð2．已知α为锐角，且1cos sin 5αα-=，则下列选项正确的有（）A ．ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．4tan 3α=C ．12sin225α=D ．sin co 7s 5αα+=3．下列命题正确的是（）A ．若直线//a b ，//a 平面α，则//b 平面αB ．若直线a 与b 异面，则过空间任意一点与a 和b 都平行的平面有且仅有一个C ．三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域D ．已知直线a 与b 异面，不同的两点,P a Q a ∈∈，不同的两点,M b N b ∈∈，则直线PM 与QN 可能相交4．“函数()()12log 3f x ax =-在区间[]1,2上单调递增”的充分必要条件是（）A ．()0,a ∈+∞B ．()0,1a ∈C ．30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．30,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦5．2023年11月16日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验——空间辐射生物学暴露实验装置的首批样品已经返回地面.这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的影响.已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为31.2mg /cm ，每经过1小时，该物质的含量都会减少20%，若该物质的含量不超过30.1mg /cm ，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要（）小时？（结果取整数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈） A ．12B ．8C ．10D ．116．已知M 是ABC V 所在平面内一点，满足3145AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，则ABM V 与BCM V 的面积之比为（） A ．3B ．4C ．58D ．1257．已知495ln ,log 3log 17,72425b b c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（） A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>8．已知函数()21log 2,1,(0(1)4,1a x x f x a x a x ⎧+-≤=>⎨-+>⎩且)1a ≠在R 上为单调函数，若函数()2y f x x =--有两个不同的零点，则实数a 的取值不可能是（）A ．116B ．14C ．12D ．1316二、多选题9．下列命题为假命题的是（）A ．在复数集C 中，方程210x x ++=有两个根，分别为12-，12-B ．若三个事件,,A BC 两两独立，则()()()()P ABC P A P B P C =C ．若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则1x y z ++=是,,,P A B C 四点共面的充要条件D ．复平面内满足条件i 2z +≤的复数z 所对应的点Z 的集合是以点()0,1为圆心，2为半径的圆10．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线y =f x 的两个交点，若π6AB =，则（）A ．()0f =B ．函数()f x 的最小正周期为7π12C ．若1291π12x x +=，则()()12f x f x =D ．若12π24x x -=，则()()12f x f x -的最大值大于111．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11111,,,2AC BC B C BC AC B C BC CB AC ⊥⊥⊥===，下列结论中正确的有（）A ．平面11BCCB ⊥平面11ACC AB ．直线1AA 与1BC 所成的角的正切值是13C ．三棱锥111C A B C -的外接球的表面积是12πD ．该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍三、填空题12．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，角β满足()cos 0αβ+=，则sin2cos21ββ+的值为.13．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层随机抽样的方法抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本均值为170cm ，方差为217cm ，女生身高样本均值为160cm ，方差为230cm .则每个女生被抽入到样本的概率均为，所有样本的方差为2cm .14．如图，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上一点，且12CP PC =u u u r u u u u r，M 为平面1BDC 内一动点，则MC +MP 的最小值为.四、解答题15．从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为h 米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为2πrad 3．(1)求圆锥筒的容积；(2)在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为x 的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时x 的取值．16．已为,,a b c 分别为ABC V 三内角,,A B C 的对边，且cos sin a C C b c =- (1)求A ；(2)若2c =，角B 的平分线BD =ABC V 的面积S ．17．某高校的特殊类型招生面试中有4道题目，获得面试资格的甲同学对一~四题回答正确的概率依次是34，12，23，13．规定按照题号依次作答，并且答对一，二，三，四题分别得1，2，3，6分，答错1题减2分，当累计积分小于2-分面试失败，不少于4分通过面试，假设甲同学回答正确与否相互之间没有影响． (1)求甲同学回答完前3题即通过面试的概率； (2)求甲同学最终通过面试的概率．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，DCP V 是等边三角形，π4DCB PCB ∠∠==，点M ，N 分别为DP 和AB 的中点.(1)求证：//MN 平面PBC ； (2)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ； (3)求CM 与平面PAD 所成角的正弦值.19．已知()22,f x ax bx x =++∈R .定义点集A 与()y f x =的图象的公共点为A 在()f x 上的截点.(1)若(){}1,,3,,b L x y y x L =-==∈R ∣在()f x 上的截点个数为0.求实数a 的取值范围； (2)若()(){}1,,2,0,2,a S x y y x S ===∈∣在()21f x x +-上的截点为()1,2x 与()2,2x . （i ）求实数b 的取值范围；（ii ）证明：121124x x <+<.。

2019-2019学年高二数学上学期开学考试试题(新版)新人教版

2019学年度第一学高二开学考试数学试题本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，考试时间120分钟，满分150分第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则U A C =（）A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A ．x xy e e -=+ B ．()ln 1y x =+ C ．sin x y x =D ．1y x x=- 3．若3412a ⎛⎫=⎪⎝⎭，1234b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a4．已知α为第二象限的角，且3tan 4α=-，则sin α+cos α=（） A ．75- B ．34- C ．15- D ．155．已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为（） A ．23AD AB AC =-+ B ．3144AD AB AC =+ C ．1344AD AB AC =+ D ．2133AD AB AC =+ 6．一个几何体的三视图如图，其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A ．(43π+ B ．(86π+ C ．(83π+D ．(4π+7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知a 1=S 3=3，则S 4的值为（） A ．﹣3 B ．0 C ．3 D ．6 8．设锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 a =1，B =2A ，则b 的取值范围为（）A ．B ．(C ．)2 D ．()0,29．已知变量x ，y 满足约束条件206010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2x ﹣y 的最小值是（）A ．2B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣1 10．若直线220mx ny --=（m ＞0，n ＞0）过点（1，﹣2），则12m n+最小值（） A ．2 B ．6C ．12D ．3+211．已知函数()11x x f x e e +-=+，则满足()221f x e -<+的x 的取值范围是（）A ．x ＜3B ．0＜x ＜3C ．1＜x ＜eD ．1＜x ＜312．设等差数列{}n a 满足22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-，若当且仅当n =11时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（）A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量()1,0a =，()1,b m =-．若()a mab ⊥-，则m = ． 14．已知1cos 123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是． 15．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R 上的部分图象如图所示，则f （2018）的值为．16．已知直线l：30mx y m ++=与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若AB =，则|CD |= ．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ADB =90°，CB =CD ，点E 为棱PB 的中点．（Ⅰ）若PB =PD ，求证：PC ⊥BD ；（Ⅱ）求证：CE ∥平面PAD ．18．（12分）已知{}n a 的前n 项和24n S n n =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列72n na -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．19．在平行四边形ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、K ，设AB a =，BC b =，试用a 、b 表示GK 、AH ．20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a =2，c =3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值．21．已知方程x 2+y 2﹣2x ﹣4y +m =0．（Ⅰ）若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x +2y ﹣4=0相交于M ，N 两点，且坐标原点O 在以MN 为直径的圆的外部，求实数m 的取值范围．22．已知函数()•,xxf x e a e x R -=+∈.（Ⅰ）当1a =时，证明： ()f x 为偶函数；（Ⅱ）若()f x 在[)0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若1a =，求实数m 的取值范围，使()()221m f x f x ⎡⎤+≥+⎣⎦在R 上恒成立.参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）8．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜，∵a=1，B=2A，∴由正弦定理可得：=b==2cosA，∴＜2cosA＜，则b的取值范围为（，）．故选：A．11．【解答】解：∵f（x）=e1+x+e1﹣x =，令t=e x，可得y=e（t+），内函数t=e x为增函数，而外函数y=e（t+）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，∴函数f（x）=e1+x+e1﹣x 的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞）．又f（x）=e1+x+e1﹣x为偶函数，∴由f（x﹣2）＜e2+1，得f（|x﹣2|）＜f（1），得|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．故选：D．12．【解答】解：∵等差数列{a n}满足=1，∴精品===sin（a2﹣a7）=sin（﹣5d）=1，∴sin（5d）=﹣1，∵d∈（﹣1，0），∴5d∈（﹣5，0），∴5d=﹣，d=﹣．由S n=na1+d=na1﹣=﹣π+（a1+）n．对称轴方程为n=（a1+），由题意当且仅当n=11时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴＜（a1+）＜，解得：π＜a1＜．∴首项a1的取值范围是（π，）．故选：D．二．填空题（共4小题）13．﹣1． 14. 1315. 2 16. 415．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，=11﹣2=9，解得T=12，ω==；又f（0）=Asinφ=1，∴sinφ=；f（2）=Asin（×2+φ）=A，∴φ=，∴=sin=，∴A=2，∴f（2018）=f（168×12+2）=f（2）=A=2．故答案为：2．16．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．三．解答题（共6小题，满分22分）17．【解答】证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD=CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO．因为PB=PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO．又PO∩CO=O，所以BD⊥平面PCO．因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD．解：（2）由E为PB中点，连EO，则EO∥PD，又EO⊄平面PAD，所以EO∥平面PAD．由∠ADB=90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，又CO⊄平面PAD，所以CO∥平面PAD．又CO∩EO=O，所以平面CEO∥平面PAD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD．18．【解答】（Ⅰ）解：已知{a n}的前n项和，则：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣n2﹣4（n﹣1）+（n﹣1）2=5﹣2n．当n=1时，a1=S1=3，适合上式∴a n=5﹣2n．（Ⅱ）解：令=，+…+①，所以：+…+②，①﹣②得：﹣，=，=．整理得：．19．【解答】解：如图所示，因为AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，所以=+=+（﹣）=﹣+（﹣+）=．因为A、H、G三点共线，所以存在实数m，使=m=m（+）=m+m；又D、H、F三点共线，所以存在实数n，使=n=n（﹣）=n﹣n．因为+=，所以+n=m+因为a、b不共线，∴解得m=，即=（+）=+．20．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．21．【解答】解：（1）∵程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，∴△=（﹣2）2+（﹣4）2﹣4m＞0，解得m＜5，∴实数m的取值范围是（﹣∞，5）．（2）直线x+2y﹣4=0代入圆的方程，消去x可得：5y2﹣16y+8+m=0∵△＞0，∴m＜，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∴x1x2=（4﹣2y1）（4﹣2y2）=16﹣8（y1+y2）+4y1y2=，∵坐标原点O在以MN为径的圆的外部，精品∴＞0，∴x 1x 2+y 1y 2＞0， ∴+＞0解得m ＞． 22．【解答】：（1）当1a =时， ()xxf x e e -=+，定义域(),-∞+∞关于原点对称，而()()xx f x ee f x --=+=，说明()f x 为偶函数；（2）在[)0,+∞上任取1x 、2x ，且12x x <，则()()()()()121211221212x x x x x x x x x x e e eaf x f x e aee aee +--+---=+-+=，因为12x x <，函数x y e =为增函数，得12x x e e <， 120x xe e -<，而()f x 在[)0,+∞上单调递增，得()()12f x f x <， ()()120f x f x -<，于是必须120x x e a +->恒成立，即12x x a e +<对任意的120x x ≤<恒成立，1a ∴≤；（3）由（1）、（2）知函数()f x 在(],0-∞上递减，在[)0,+∞上递增，其最小值()02f =，且()()22222x x x xf x e e e e --=+=+-，设x xt e e -=+，则[)2,t ∈+∞， 110,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是不等式()()221m f x f x ⎡⎤⋅+≥+⎣⎦恒成立，等价于21m t t ⋅≥+，即21t m t +≥恒成立，而22211111124t t t t t +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，仅当112t =，即2t =时取最大值34，精品- 11 - 故34m。

湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期入学考试(暑假作业检测)数学试题

湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期入学考试（暑假作业检测）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．有一组互不相等的数组成的样本数据1x 、2x 、L 、9x ，其平均数为a （i a x ¹，1i =、2、L 、9），若插入一个数a ，得到一组新的数据，则（）A ．两组样本数据的平均数相同B ．两组样本数据的中位数相同C ．两组样本数据的方差相同D ．两组样本数据的极差相同10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱111,,A D AA CD 的中点，则（）6,A12．AD【分析】根据函数的对称性，周期性判断A ，根据()g x 与()f x 的关系及周期性判断B ，根据中心对称的性质及周期性可判断CD.【详解】对于A ，因为()()20f x f x -+=，所以()f x 的对称中心为()1,0，因为()()33f x g x +-=，所以()()33f x g x ++=，又()()13f x g x -+=，所以()()31f x f x +=-，所以()()31f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，所以()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=éùëû，即()f x 的周期为4，又()()31g x f x =--，所以()g x 的周期也为4，故A 正确；对于B ，因为()()31f x f x +=-，所以()()4f x f x +=-，又由A 知()f x 周期为4，即()()4f x f x +=，所以()()=f x f x -，()f x 为偶函数，故B 错误；对于C ，由()f x 对称中心为()1,0，得()10f =，又因为直线2x =为()f x 对称轴，所以()30f =，所以()f x 关于点()3,0对称，所以()()22f ,和()()4,4f 关于点()3,0对称，所以()()240f f +=，所以()()()()12340f f f f +++=，所以()()()1220240f f f ++×××+=，故C 错误；对于D ，由C 得()()()()01230f f f f +++=，因为()()31g x f x =--，所以()()130g f =-，()()()23131g f f =--=-，()()332g f =-，()()433g f =-，所以()()()()()()()()123430313233g g g g f f f f +++=-+-+-+-。

辽宁省大连市第八中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

试卷第 3页，共 3页
C．3 条
D．4 条
8．已知点 M
x ,y 00
在圆 x2 y2 2 外，则直线 x0x y0 y 2 与圆的位置关系是（
）
A．相切
B．相交
C．相离
试卷第 1页，共 3页
D．不确定
9．数学巨星欧拉（LeonhardEuler，1707~1783）在 1765 年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若已知 ABC 的顶点 B(1, 0) ， C(0, 2) ，且 AB AC ，则 ABC 的欧拉线方程为（）
21．圆 C : (x 1)2 ( y 2)2 25 ，直线 l : 2m 1 x m 1 y 7m 4 0(m R) .
(1)证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆 C 相交； (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度，并求此时 m 的值. 22．在平面直角坐标系中，已知两个定点 A(0, 4), B(0,1) ，动点 P 满足| PA | 2 | PB | ，设动点 P 的轨迹为曲线 E . (1)求曲线 E 的方程； (2)若直线 l : y kx 4 与曲线 E 交于不同的两点 C, D ，且 OCD 30（ O 为坐标原点），求直线 l 的斜率； (3)若点 Q 是直线 l : x y 4 0 上的动点，过 Q 作曲线 E 的两条切线 QM ,QN ，切点为 M , N ，探究：直线 MN 是否过定点.
于 A, B 两点，若线段 AB 被 P 点平分，则直线 l 的方程是
.
15．已知 P(x, y) 是曲线 x

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题 - 副本

湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合=>A x x log 02}{，==≤B y y x x2,0}{，则=AB ( )A.∅B.>x x 0}{ C.<≤x x 01}{D.>x x 1}{2.已知复数=+z a i (>a 0，i 是虚数单位)，若=z z1的虚部是( ) A.101 B.-101 C.10i 1D.-10i 13.下列命题错误的是( )A.“=x 1”是“-+=x x 3202”的充分不必要条件B.“=πx k 4，Z ∈k ”是“=x tan 1”的必要不充分条件 C.对于命题R ∃∈p x :，使得++<x x 102，则⌝p 是：R ∀∈x ，均有++≥x x 102 D.命题“R ∃∈x ，+≥x x 21”的否定形式是“R ∀∈x ，+>xx 21” 4.已知扇形的周长为10cm ，面积为4cm 2，则该扇形圆心角的弧度数为( )A.1或4B.21或8C.1D.21 5.在空间中，l ，m 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是( )A.若⊥αl ，l m //，αβ//，则⊥βmB.若l m //，⊂βm ，则βl //C.若⊥αβ，=αβm ，⊥l m ，则⊥βlD.若⊂αl ，⊂βm ，αβ//，则l m //6.函数()1sin ln1x f x x x -=⋅+的大致图象为( ) A. B.C. D.7.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，064，191，925，271，932，812，458，569，683， 431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为( )A.0.6B.0.7C.0.75D.0.88.下列命题不正确的是( )A.若非零向量a ，b ，c 满足//a b ，//b c ，则//a cB.向量a ，b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得λ=b a 成立C.在ABC △中，16b =，20c =，60B =︒，则该三角形不存在D.若()3,1AB =，()1,AC m m =-，BAC ∠为锐角，则实数m 的取值范围是34m >二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列各式中值为的是( )A.tan12tan 331tan12tan 33︒︒-︒+︒B.sincos1212ππC.sin 72cos18cos72sin18-︒︒︒︒22cos sin 88ππ⎫-⎪⎭10.下列命题正确的有( )A.若0a b <<，则22a ab b <<B.若a b >，c d >，则a d b c ->-C.若0b a <<，0c <，则c c a b < D.若0a >，0b c >>，则b b ac c a+<+11.2020年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，脱贫攻坚战取得了全面胜利.下图是20132019年我国农村减贫人数(按现行农村贫困标准统计)统计图，2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在2020年标准下全部脱贫.以下说法正确的是( )A.2013~2020年我国农村贫困人口逐年减少B.20132019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上C.2017年末我国农村贫困人口有3046万人D.2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上任意两点，且EF 的长为1，则下列四个值中为定值的是( )A.点P 到平面QEF 的距离B.二面角P EF Q --的大小C.直线PQ 与平面PEF 所成的角D.三棱锥P QEF -的体积三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.事件A 、B 是相互独立事件，若()0.3P A =，()P B n =，()0.9P A B +=，则实数n 的值等于________. 14.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[)13,14，[)14,15，[)15,16，[)16,17，[]17,18，已知各组频数之比为1:3:7:5:4，那么成绩的第70百分位数约为________秒.15.设点P 在ABC △内部且为ABC △的外心，6BAC π∠=，如图.若PBC △，PCA △，PAB △的面积分别为12，x ，y ，则x y +的最大值是________. 16.“求方程34155xx⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解”有如下解题思路：构造函数()y f x =，其表达式为()35xf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭45x⎛⎫⎪⎝⎭，易知函数()y f x =在R 上单调递减，且()21f =，故原方程有唯一解2x =.类比上述解题思路，不等式()3622323x x x x -->+-的解集为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)设ABC △的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A B =.(1)求a 的值； (2)求cos 3A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18.(本小题满分12分)用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知3A B ''=，1B C ''=，3A D ''=，且//A D B C ''''.(1)求原平面图形ABCD 的面积；(2)将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.某学校高一年级在期末考试成绩中随机抽取100名学生的数学成绩、按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.(1)请先求出频率分布表中①，②位置相应数据，并估计这次考试中所有同学的平均成绩；(2)为了解学生的学习状态，年级决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生作为第一批座谈对象，第3，4，5组每组各有多少名学生是座谈对象？如果年级决定在这6名学生中随机抽取2名学生单独交流，求第4组有且只有一名学生被选中的概率.20.(本小题满分12分)已知向量sin2x ω⎫=-⎪⎭a ，sin ,2sin2x x ωω⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，函数()1f x =⋅+a b (其中01ω<<)，函数()f x 的图象的一条对称轴是直线2x π=.(1)求ω的值； (2)若03πα<<且3423f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求3328f πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △是边长为2的正三角形，BC CD ⊥，BC CD =，PD AB ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD .(1)求证：PD ⊥平面ABCD ；(2)若1PD =，求二面角C PB D --的平面角的余弦值.22.(本小题满分12分)已知函数()22xxf x -=-，()2log g x x =.(1)若对任意的()0,1x ∈，()()f g x kx <恒成立，求实数k 的取值范围； (2)设函数()()sin 4xh x g x π=+，()h x 在区间()0,+∞上连续不断，证明：函数()h x 有且只有一个零点0x ，且05sin 46x f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.。

2024湖南省天一名校联盟高二入学考试数学试卷答案

C))＝P (
B ) １－
(
所以 P (
B )＝
３
１
＝ , ６分
４
８
)
１
, ７分
２
所以乙、丙各自解出该题的概率为
１３
, ．８分
２４
(
２)设“甲、乙、丙３人中至少有１人解出该题”为事件 D ,
【高二数学试题参考答案第
３页(共５页)】
＝A
B
C
, ９分
则D
因为 P (
A )＝
)＝
所以 P (
A
２
１
３
,
P(
B )＝ ,
５－x)]
＋ [(
２－x)－ (
２x－１)]
＝１４x２－３２x＋１９
＝１４ x－
(
当 x＝
８
７
)
２
＋
５
, １１分
７
８
３５
时,AB 有最小值
．１３分
７
７
a＋i (
b２ ≥ ＋２,
a b
b
a b
a
２
a ３
b ２a ３
b
２
a ３
b
＝２６(当且仅当２a＝３b 时取等号),
∴a２＋b２ ≥３＋＋ ,又＋ ≥２
b a
b a
b a
１２１
３２２
∴a２＋b２ ≥３＋２６,故 C 正确;∵a≥ ＋＞ ,∴a＞１,∵b≥ ＋＞ ,∴b＞２,故 D 正确,故选 CD．
１２
１２
１２１２２２
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四川省遂宁市遂宁中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(含解析)

四川省遂宁市遂宁中学2024-2025高二上开学考数学试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设z ＝2+i1+i 2+i 5，则z ＝( )A ．1－2iB ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i 2．sin 70°sin 40°－sin 50°cos 110°＝( )A ．12B ．－12C ．32D ．－323．函数y ＝x ―1·ln (2－x )的定义域为( )A ．(1，2)B ．[1，2)C ．(1，2]D ．[1，2]4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是( )A ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥αB ．若m ∥α，β⊥α，则m ∥βC ．若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥nD ．若m ∥α，m ⊥β，则α∥β5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为a ，众数为b ，平均值为c ，则( )A ．a ＝b ＝cB ．a ＝b ＜cC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(2，2)，则cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝( )A ．117B ．1717C ．55D ．2557．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，G 为EF 的中点，则DG ＝( )A ．12AD －12AB B ．12AB －12ADC ．34AD －12AB D ．34AB －12AD8．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(7≈2.65)( )A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3 C．1.4×109 m3D．1.6×109 m3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A．y＝x B．y＝|x|＋1 C．y＝x23D．y＝－1x10．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}，叫做集合A和B的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}，下列解析正确的是( )A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8} B．如果A－B＝∅，那么A⊆BC．已知全集、集合A、集合B关系如图中所示，则B－A＝A∩(∁U B)D．已知A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|－2≤x<4}，则A－B＝{x|x<－2或x≥4} 11．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，AB＝2，AA1 2，E，F分别为AB，BC的中点．则( )A．A1E⊥DF B．点A1，E，F，C1四点共面C．直线C1D与平面BB1C1C所成角的正切值为2D．三棱锥E-C1DF的体积为22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 13．如果用半径R＝23的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．14.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60 m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）(1)计算：(278)―13＋log23·log34＋lg 2＋lg 50；(2)已知tan α＝2，求cos (3π2+α)·cos (π－α)的值．16．（15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第80百分位数和平均数；(2)已知落在[50，60)的平均成绩是56，方差是7，落在[60，70)的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差s2.17．（15分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D为棱BC的中点．(1)证明：A1C∥平面AB1D；(2)求点A1到平面AB1D的距离．18.（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(1+cos A，sin B )，n＝(3a，b)且m∥n.(1)求角A的大小；(2)若D是BC的中点，AD＝1，求△ABC面积的最大值．19.（17分）某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位：分钟)满足5≤t≤20，t∈N．经测算，该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足：p(t)＝{60―(t―10)2，5≤t<10，60，10≤t≤20，其中t∈N．(1)求p(5)，并说明p(5)的实际意义；(2)若该路公交车每分钟的净收益y＝6p(t)+24t－10(元)，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．遂宁中学介福校区高2026届（高二上）入学考试数学试卷答案1．B　[由题意可得z＝2+i1+i2+i5＝2+i1―1+i＝i(2+i)i2＝2i―1―1＝1－2i，则z＝1＋2i.故选B.]2．C [sin 50°＝sin (90°－40°)＝cos 40°；cos 110°＝cos (180°－70°)＝－cos 70°；∴原式＝sin 70°sin 40°＋cos 40°cos 70°＝cos (70°－40°)＝cos 30°＝32．故选C ．]3．B [要使函数有意义，则{x ―1≥0，2―x >0，解得1≤x <2，所以所求函数的定义域为[1，2)．4．C [若m ∥α，不妨设m 在α内的投影为m ′，则m ∥m ′，对于选项A ：若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥m ′，结合线面垂直判定定理可知，n 不一定垂直α，故A 错误；对于选项B ：若m ∥α，β⊥α，此时m 与β可能相交、平行或m 在β上，故B 错误；对于选项C ：若m ∥α，n ⊥α，则n ⊥m ′，从而m ⊥n ，故C 正确；对于选项D ：若m ∥α，m ⊥β，则m ′⊥β，结合面面垂直判定定理可知，α⊥β，故D 错误．故选C.]5．D [由统计图知众数b ＝5.将30名学生得分从小到大排列，第15个数是5，第16个数是6，所以中位数a ＝5+62＝ 5.5.又平均值c ＝6+12+50+36+21+16+18+2030≈5.97.所以b ＜a ＜c .]6．B [因为a ＝(3，1)，b ＝(2，2)，所以a ＋b ＝(5，3)，a －b ＝(1，－1)，则|a ＋b |＝52+32＝34，|a －b |＝1+1＝2，(a ＋b )·(a －b )＝5×1＋3×(－1)＝2，所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(a +b )·(a ―b )|a +b ||a ―b |＝234×2＝1717.故选B ．]7．B [DG ＝12DE ＋12DF ＝12(DA +AE )＋12·34DC ＝12(－AD ＋14AB )＋38AB ＝12AB －12AD .故选B.8．C [依题意可知棱台的高为MN ＝157.5－148.5＝9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V .棱台下底面积S ＝140.0 km 2＝140×106m 2，上底面积S ′＝180.0 km 2＝180×106m 2，∴V ＝13h (S ＋S ′＋SS ′)＝13×9×(140×106＋180×106＋140×180×1012)＝3×(320＋607)×106≈(96＋18×2.65)×107＝ 1.437×109≈1.4×109(m 3)．故选C.]9．BC [对于A ，y ＝x 是奇函数，故不符合题意；对于B ，y ＝|x |＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C ，y ＝x 23是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于D ，y ＝－1x 是奇函数，不符合题意．]10．BD [对于A ，由B －A ＝{x |x ∈B 且x ∉A }，故B －A ＝{3，8}，错误；对于B ，由A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，则A －B ＝∅，故A ⊆B ，正确；对于C ，由Venn 图知：B －A 如图阴影部分，所以B －A ＝B ∩(∁U A )，错误；对于D ，∁R B ＝{x |x <－2或x ≥4}，则A －B ＝A ∩(∁R B )＝{x |x <－2或x ≥4}，正确．故选BD.]11．BCD [对于A ，假设A 1E ⊥DF ，由题意知BC ⊥平面AA 1B 1B ，A 1E ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1E ⊥BC ，又BC ∩DF ＝F ，∴A 1E ⊥平面ABCD ，由长方体性质知A 1E 与平面ABCD 不垂直，故假设不成立，故A 错误；对于B ，连接EF ，AC ，A 1C 1，由于E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF ∥AC ，又因为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，知A 1C 1∥AC ，∴EF ∥A 1C 1，所以点A 1，E ，F ，C 1四点共面，故B 正确；对于C ，由题意可知DC ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠DC 1C 为直线C 1D 与平面BB 1C 1C 所成角，在Rt △DCC 1中，CC 1＝2，CD ＝2，则tan ∠DC 1C ＝DC C 1C ＝22＝2，故C 正确；对于D ，连接DE ，C 1E ，∵AB ＝AD ＝2，则S △DEF ＝S □ABCD －S △ADE －S △BEF －S △CDF ＝2×2－12×2×1－12×1×1－12×1×2＝32，利用等体积法知：V E―C 1DF ＝V C 1―DEF ＝13·S △DEF ·CC 1＝13×32×222，故D 正确．故选BCD.]12.充分不必要　[由于A ＝{x |0＜x ＜1}，所以A B ，所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．]13．3　[设圆锥筒的底面半径为r ，则2πr ＝πR ＝23π，则r ＝3，所以圆锥筒的高h ＝R 2―r 2＝(23)2―(3)2＝3.]14．30　[如图所示，设水柱CD 的高度为h ，在Rt △ACD 中，∵∠DAC ＝45°，∴AC ＝h ，∵∠BAE ＝30°，∴∠CAB ＝60°，又∵B ，A ，C 在同一水平面上，∴△BCD 是以C 为直角顶点的直角三角形，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，∴BC 3h ，在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos 60°，∴(3ℎ)2＝h 2＋602－2×60×h ×12，即h 2＋30h －1800＝0，解得h ＝30.∴水柱的高度是30 m ．15．[解]　(1)(278)―13＋log 23·log 34＋lg 2＋lg 50＝[(32)3]―13＋log 23×2log 32＋lg 100＝23＋2＋2＝143． (2)cos (3π2+α)·cos (π－α)＝sin α·(－cos α)＝―sin αcos αsin 2α+cos 2α＝―tan αtan 2α+1＝－25．16.[解]　(1)∵每组小矩形的面积之和为1，∴(0.005＋0.010＋0.020＋a ＋0.025＋0.010)×10＝1，解得a ＝0.030.成绩落在[40，80)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65.落在[40，90)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.9.设第80百分位数为m ，由0.65＋(m －80)×0.025＝0.80，得m ＝86，故第80百分位数为86.设平均数为x ，由图中数据可知：x ＝10×(45×0.005＋55×0.010＋65×0.020＋75×0.030＋85×0.025＋95×0.010)＝74.(2)由图可知，成绩在[50，60)的市民人数为100×0.1＝10，成绩在[60，70)的市民人数为100×0.2＝20.故z ＝10×56+65×2010+20＝62，s 2＝110+20[10×(56－62)2＋10×7＋20×(65－62)2＋20×4]＝23.所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23.17[解]　(1)证明：连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD ，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，易得O 为AB 1中点，又D 为BC 的中点，所以OD ∥A 1C .因为A 1C ⊄平面AB 1D ，OD ⊂平面AB 1D ，所以A 1C ∥平面AB 1D .(2)因为A 1C ∥平面AB 1D ，所以C 与A 1到平面AB 1D 的距离相等，由题意得AB 1＝22，DB 1＝5，AD ＝3，因为AD 2+DB 21 ＝ AB 21 ，所以AD ⊥DB 1，所以S △ADB 1＝12×3×5＝152，S △ADC ＝12×1×3＝32，设C 到平面ADB 1的距离为h ，则V C―ADB 1＝VB 1-ACD ，所以13×152h ＝13×32×2，所以h ＝255，即点A 1到平面AB 1D 的距离为255.18．[解]　(1)由m ＝(1+cos A ，sin B )，n ＝(3a ，b )且m ∥n ，得(1+cos A )b ＝3a sin B ，由正弦定理得(1+cos A )sin B ＝3sin A sin B ，∵B ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴1＋cos A ＝3sin A ，∴2sin (A ―π6)＝1，又∵A ∈(0，π)，A －π6∈(―π6，5π6)，∴A －π6＝π6，即A ＝π3.(2)由AD ＝12(AB +AC )，得到AD 2＝14(AB 2+AC 2+2AB ·AC )，则4＝b 2＋c 2＋2bc cos ∠BAC ，化简得b 2＋c 2＝4－bc ≥2bc ，∴bc ≤43，当且仅当b ＝c 时，等号成立，∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×43×32＝33，即△ABC 面积的最大值为33.19[解]　(1)p (5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．(2)∵y ＝6p (t )+24t －10，∴当5≤t <10时，y ＝360―6(t ―10)2+24t－10＝110－(6t +216t)，任取5≤t 1<t 2≤6，则y 1－y 2＝[110―(6t 1+216t 1)]―[110―(6t 2+216t 2)]＝6(t 2－t 1)＋216t 2―216t 1＝6(t 2－t 1)＋216(t 1―t 2)t 1t 2＝6(t 2―t 1)(t 1t 2―36)t 1t 2，∵5≤t 1<t 2≤6，∴t 2－t 1>0，25<t 1t 2<36，∴y 1－y 2<0，∴函数y ＝110－(6t +216t )在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间(6，10)上单调递减，∴当t ＝6时，y 取得最大值38；当10≤t ≤20时，y ＝6×60+24t －10＝384t －10，该函数在区间[10，20]上单调递减，则当t ＝10时，y 取得最大值28.4．综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．。

2019-高二开学考试数学试题含答案

江苏省海头高级中学 2014-2015 学年度第一学期开学考试高二数学试题一．填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分．1．△ ABC 中，B45 ，C60 ， c 1，则 b 等于．2．在△ ABC 中，若 sin A ∶ sin B ∶ sin C 7 ∶ 8 ∶ 13，则 C．3. 在 ABC 中， AB 3,AC 2, BC 10,则BA AC ．4. 已知锐角 ABC 的面积为 3 3, BC4,CA 3, 则角 C．5．1 2 sin( 2) cos(2) 等于．6. 已知 cos() 1，则 sin() 的值为．3367．一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 ，行驶 2 小时后，船抵达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15 ，这时船与灯塔的距离为_________km ．8. 在 ABC 中，角 A , B ,C 所对的边分别为 a,b ,c ，若a2 ,b 2 ，cosB 2,sin B则角 A．9. 在ABC 中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b ,c . 若 a cos A b sin B ,则sin A cos A cos 2 B．10. 在ABC 中， sin 2Acb（ a,b , c 为相应角的对边），则 ABC 形状为．22c, 则a b的取值范围为11. 已知 ABC 的外接圆半径为R , C60 0 ．R12. 在 ABC 中，角 A ,B ,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 b2, B450 ，且此三角形只有一个解，则实数 a 的取值范围是．13. △ ABC 中 , 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ， sin A sin Bsin B sin C cos 2B 1 .C=2,则 a= 3．b14. 在 ABC 中，BC 2, AC 1 , 以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD （ B 为直角极点，C ,D 两点在直线 AB 的双侧）。

四川省高二上学期入学考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则（） [)2,4A =[]3,5B =()R A B = ðA ． B ． C ． D ．(]4,5[]4,5()[),23,-∞⋃+∞(][),23,-∞⋃+∞【答案】B【分析】先求出集合的补集，再由交集运算可得答案. A 【详解】集合，，则 [)2,4A =[]3,5B =()()[),24,R A =-∞⋃+∞ð所以， ()[]4,5R A B ⋂=ð故选：B.2．已知集合，则集合（） |sin ||cos ||tan |sin cos tan x x x A yy x x x ⎧⎫==++⎨⎬⎩⎭∣A =A ． B ． C ． D ．{1,1}-{1,3}-{}113-,,{1,3,3}-【答案】B【分析】由题知，x 终边不会落在坐标轴上，由此分类讨论即可求解. 【详解】依题意，根据函数的解析式可得，x 终边不会落在坐标轴上，当x 在第一象限时，可得， 3y =落在第二、三、四象限时，， 1y =-可得． {}1,3A =-故选：B.3．已知正项等比数列中，公比，前项和为，若，，则{}n a 1q >n n S 2664a a ⋅=3520a a +=8S =（） A ．127 B ．128 C ．255 D ．256【答案】C【分析】由已知和等比数列的性质建立方程可求得，再由数列的通项公式求得数列35416a a ==，的首项和公式，由等比数列的求和可求得答案.【详解】解：∵，，且，所以， 263564a a a a ⋅=⋅=3520a a +=1q >35416a a ==，∴，，， 11a =2q =881225512S -==-故选：C.4．设，则（）2364log 3log 6log log 16m =m =A ．2B ．4C ．8D ．-2或4【答案】B【分析】根据换底公式及对数运算性质可得结果. 【详解】由， 2364log 3log 6log log 16m =可得， ln 3ln 6ln 2ln 2ln 3ln 6m⋅⋅=即， ln 2ln 2m =∴， 4m =故选：B5．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值为(　). 1y ax =+[1,2]a A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0【答案】C【详解】解：①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；②当a ＞0时，y=ax+1在[1，2]上递增，则（2a+1）﹣（a+1）=2，解得a=2； ③当a ＜0时，y=ax+1在[1，2]上递减，则（a+1）﹣（2a+1）=2，解得a=﹣2．综上，得a=±2，故选C ．6．函数的零点所在的区间为（）()2xf x x =+A ． B ． C ． D ．()2,1--()1,0-()0,1()1,2【答案】B【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理即可判断零点所在的区间，即可得正确选项.()f x 【详解】因为为单调递增函数，()2xf x x =+当时，， 2x =-()2722204f --=-=-<当时，， =1x -()1112102f --=-=-<当时，，0x =()002010f =+=>由于，且的图象在上连续， ()()010f f ⋅-<()f x ()1,0-根据零点存在性定理，在上必有零点， ()f x ()1,0-故选：B.7．定义运算，若，则等于 a b ad bc c d =-sin sin 1cos ,cos cos 72αβπαβααβ==<<<βA ．B ．C ．D ．12π6π4π3π【答案】D【详解】试题分析：由定义运算知，即，又02πβα<<<，又，，1cos ,072παα=<<．【解析】同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用8．已知，则的最小值为（） 0,0,21x y x y >>+=21y x y+A ．6 B ．5C ．D ．3+2+【答案】D【分析】将所求代数式化简为，再利用基本不等式()21111111121y x x y x y x y x y x y ⎛⎫-+=+=+-=++- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】因为，所以， 21x y +=21y x =-所以()21111111121y x x y x y x y x y x y ⎛⎫-+=+=+-=++- ⎪⎝⎭， 2222y x x y =++≥+=+当且仅当即221y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以的最小值为， 21y x y+2+故选：D.9．对于实数a ，b ，c 下列说法中错误的是（）A ．若，则B ．若，则 0a b c a b c >>++=，ab ac >1a >11-<-aC ．若，则D ．若，，则 0a b <<11a b>a b >11a b>0ab <【答案】B【分析】由不等式的性质，逐个分析选项的结论.【详解】当时，有，由得，A 选项说法正确； 0a b c a b c >>++=，0a >b c >ab ac >当时，，则有，故B 选项说法错误；1a >101a<<11a ->-当，有，则，即，C 选项说法正确；0a b <<0ab >a b ab ab<11b a <当，时，有，由则，D 选项说法正确； a b >11a b >110b a a b ab--=>0b a -<0ab <故选：B.10．已知，，则（）1sin 3θ=-3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 2θ=A ．B C D ． 79【答案】B【分析】根据三角函数的基本关系式求得. cos θ=【详解】由，且，可得1sin 3θ=-3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos θ==所以 1sin 22sin cos 23θθθ⎛⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭⎝故选：B.11．设向量，，则下列结论中正确的是（） ()1,0a =11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭r bA ．B ．C ．与垂直D ．a b = a b ⋅= a b - b//a b 【答案】C【分析】根据向量坐标，求两个向量的模可判断A ；求出数量积即可判断B ；判断是否等()b a b -⋅ 于0可判断C ；根据向量共线的坐标表示可判断D.【详解】因为，，，故A 错误；()1,0a = 11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭r b =a b ≠ ，故B 错误；11110222a b ⋅=⨯+⨯=，则，所以与垂直，故C 正确；11,22a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()111102222b b a ⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎭⋅⎝- a b - b因为，所以不共线，故D 错误.1110022⨯-⨯≠,a b故选：C.12．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（）．a b()2,0a = 1b = 2a b +A B ．C ．4D ．12【答案】B【分析】利用转化即可22a a = 【详解】解析：因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，，()2,0a = ||2a = a b||1=b所以，所以1cos 602112a b a b ⋅=︒=⨯⨯= 2a b +=== 故选：B二、填空题13．已知，，则________．1cos()2αβ+=-1cos()3αβ-=2cos cos 3sin sin αβαβ+=【答案】1312【分析】直接利用两角和与差的余弦公式展开即可求解. 【详解】依题意，因为，，1cos()2αβ+=-1cos()3αβ-=所以，， 1cos cos sin sin 2αβαβ-=-1cos cos sin sin 3αβαβ+=两式相加减可得，，1cos cos 12αβ=-5sin sin 12αβ=所以． 15132cos cos 3sin sin 23121212αβαβ⎛⎫+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：. 131214．已知扇形的圆心角为120°cm ，则此扇形的面积为________ cm 2.【答案】π【分析】由扇形的面积公式求解即可【详解】设扇形的弧长为l ，因为120°＝120×rad ＝(rad)， 180π23π所以． 23l R πα==所以S ＝lR ＝(cm 2)． 1212π故答案为：.π15．已知向量a =（2,6）,b =,若a ∥b ,则 ____________. (1,)λ-λ=【答案】-3【详解】由可得a b ∥162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．a b ∥(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量． (3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于与共线.16．下面有四个结论:①若数列的前项和为 (为常数),则为等差数列;{}n a n 2n S an bn c =++,,a b c {}n a ②若数列是常数列,数列是等比数列,则数列是等比数列; {}n a {}n b {}n n a b ⋅③在等差数列中,若公差,则此数列是递减数列; {}n a 0d <④在等比数列中,各项与公比都不能为. 0其中正确的结论为__________(只填序号即可). 【答案】③④【分析】根据等差数列通项公式得数列单调性确定于公差正负，根据等差数列和项特点确定①真假，根据等比数列各项不为零的要求可判断②④真假.【详解】因为公差不为零的等差数列单调性类似于直线，所以公差,则此数列是递减数列; ③0d <正确；因为等差数列和项中常数项为零，即中所以①不对，因为等比数列各2n S an bn c =++0c =，项不为零，所以②中若数列是为零的常数列,则不是等比数列; ②不对，④正确，即正{}n a {}n n a b ⋅确的结论为③④.【点睛】等差数列特征：为的一次函数；；等比数列特征：各项以及公比都不为n a n 2n S An Bn =+零，为的类指数函数，.n a n (1)nn S A Aq q =-≠三、解答题17．已知，求的值．3tan 4α=π2sin(π)sin 2πcos()4cos 2αααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭【答案】54-【分析】根据三角函数的基本关系式和诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.2tan 114tan αα+=-【详解】由三角函数的基本关系式和诱导公式，可得π2sin(π)sin 2sin cos 2πcos 4sin cos()4cos 2αααααααα⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． 3212tan 154314tan 4144αα⨯++===---⨯18．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知. ABC A cos cos 2cos a C c A b B +=（1）求B ；（2）若的面积为的周长. b =ABC AABC A 【答案】（1）；（2）3B π=6+【解析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出； 1cos 2B =B （2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到，即可求出()2312a b ab +-=8ab =，进而求出的周长.6a b +=ABC A 【详解】解：（1）， cos cos 2cos a C c A b B += 由正弦定理得：， sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=整理得：， ()sin 2sin cos sin A C B B B +==∵在中，， ABC A 0B π<<∴， sin 0B ≠即， 2cos 1B =∴， 1cos 2B =即；3B π=（2）由余弦定理得：，(222122a c ac =+-⋅∴， ()2312a c ac +-=∵，1sin 2S ac B ===∴，8ac =∴， ()22412a c +-=∴，6a c +=∴的周长为.ABC A 6+19．记Sn 为等差数列的前n 项和，已知a 9=－4，a 10+a 12=0. {}n a （1）求的通项公式； {}n a （2）求Sn ，并求Sn 的最小值.【答案】（1）；（2），最小值为． 222n a n =-221441(24n S n =--110-【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公120a =-2d ={}n a 式．（2）由，．求出．从而当或时，的最小值为120a =-2d =221441(24n S n =--10n =11n =n S 110-．【详解】（1）∵为等差数列的前n 项和，，．n S {}n a 94a =-10120a a +=∴， 111849110a d a d a d +=-⎧⎨+++=⎩解得，．120a =-2d =∴的通项公式为． {}n a ()2012222n a n n =-+-⨯=-（2）∵，．120a =-2d =∴． ()2212144120221(224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--为开口向上的二次函数，对称轴为，又212n =*n ∈N ∴当或时，的最小值为．10n =11n =n S 110-20．已知二次函数的图象开口向上，且在区间上的最小值为0和最大值2()2g x ax ax b =++[2,2]-为9.（1）求的值；,a b （2）若，且，函数在上有最大值9，求k 的值. 0k >1k ≠()x g k [1,1]-【答案】（1）；（2）或. 1a b ==2k =12k =【分析】（1）根据二次函数解析式确定其对称轴，再由其开口方向，得到其在给定区间的单调性，推出，，列出方程求解，即可得出的值；min ()g x b a =-max ()8g x b a =+,a b （2）根据（1）得到函数解析式，令，分别讨论和两种情况，根据二次函数与x t k =1k >01k <<指数函数单调性，结合函数最值列出方程求解，即可得出结果.【详解】（1）因为二次函数的对称轴为；且其图象开口向上，则； 2()2g x ax ax b =++=1x -0a >所以在上单调递减，在上单调递增，2()2g x ax ax b =++[2,1]--(]1,2-则，又，，所以， min ()(1)g x g b a =-=-(2)g b -=(2)8g b a b =+>max ()(2)8g x g b a ==+因为在区间上的最小值为0和最大值为9，2()2g x ax ax b =++[2,2]-所以，解得；089b a b a -=⎧⎨+=⎩1a b ==（2）由（1）知，是开口向上，且对称轴为的二次函数； 2()21g x x x =++=1x -令，x t k =当时，单调递增，由可得，则在上单调递增，1k >x t k =[]1,1x ∈-1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()g t 1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，解得或（舍），则；2max ()()(1)9g t g k k ==+=2k =4k =-2k =当时，单调递减，由可得，则在上单调递增，01k <<x t k =[]1,1x ∈-1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()g t 1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，解得或（舍），则； 2max11()19g t g k k ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12k =14k =-12k =综上，或. 2k =12k =【点睛】思路点睛：求解含指数的二次函数的最值问题时，一般需要利用二次函数与指数函数的单调性，判定所给函数在给定区间的单调性，由函数单调性即可求出最值. 21．已知数列是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列．{}2nn a -{}21nan -+(1)求数列的通项公式； {}n a (2)记，且为数列的前n 项和，求证：． ()()111232n n n b n a ++=+-n T {}n b 16n T <【答案】(1)221nn a n =+-(2)证明见解析【分析】（1）首先由等差数列与等比数列的通项公式建立方程组，求出，从而可求得； 1a n a （2）首先由（1）求出，然后利用裂项相消法证明即可．n b 【详解】（1）由题意知，即 ()()()11122212112n n n na a n a n a -⎧-=-+-⎪⎨-+=-⋅⎪⎩()11112224,,1221n n n n a n a a a n --⎧=⋅++-⎪⎨=-⋅+-⎪⎩比较系数得所以，1121,41,a a =-⎧⎨-=-⎩13a =所以．221nn a n =+-（2）由（1）得，()()1111232122123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以 1111111111112355721232323646n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1046n >+16n T ∴<22．已知函数．()21cos cos 22cos 2f x x x x x =+-(1)求函数的最小正周期；()f x (2)当时，求函数的值域．ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π2(2) []2,1-【分析】（1）根据二倍角正弦公式，余弦公式，辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据最()f x 小值正周期公式，即可得答案. （2）根据x 的范围，可得的范围，根据正弦型函数的性质，即可得答案. π46x -【详解】（1）解：()21cos cos 22cos 2f x x x x x =+-， 2π12cos 22cos 24cos 42sin 46x x x x x x ⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期为． ()f x 2ππ42T ==（2）由，知， ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ4,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当时，的最小值为-1， π462x π-=-πsin 46x ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，的最大值为， π466x π-=πsin 46x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12所以，则， π1sin 41,62x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]π2sin 42,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故函数的值域是． ()f x []2,1-。

四川省内江市第六中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

四川省内江市第六中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若π1,3a A ==，则B =（） A ．π3B ．π2C ．π6D ．π42．已知复数13i24iz -=+（i 是虚数单位），则z 对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7下列结论不正确的是（） A ．这组数据的平均数为7 B ．这组数据的众数为7 C ．这组数据的中位数为7D ．这组数据的方差为74．设m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题为真命题的是（） A ．若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥ B ．若m αβ⋂=，//n α，//n β，则//m n C ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则α//β D ．若αβ⊥，//m α，//n β，则m n ⊥5．某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（）A ．快递行业从业人员中，“90后”占一半以上B ．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%C ．快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多D ．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多6．如图，E ，F 分别为平行四边形ABCD 边AD 的两个三等分点，分别连接BE ，CF ，并延长交于点O ，连接OA ，OD ，则OD =u u u r（）A ．2133OA OB -+u u ur u u u rB ．2OA OB -+u u u r u u u rC ．2OA OB -+u u u r u u u rD ．2OA OB -u u u r u u u r7．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D ，E ，F ，经测量知:::3:1SD DA SE EB CF FS ===，设该容器的体积为1V，该容器最多能盛的水的体积为2V ，则21V V =（）A ．2933B ．5564 C ．2732 D ．31358．已知非零不共线向量,a b r r 满足2,a b =r r 2a b -=r r ，则a b rr g 的取值范围为（）A ．3,84⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2,83⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,8-D ．8,89⎛⎫- ⎪⎝⎭二、多选题9．关于函数()22cos 1f x x x =-+有下述四个结论，其中结论正确的是（） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 的图象关于直线5π6x =对称 C ．()f x 的图象关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增10．下列命题中正确的是（）A ．若z 1=，则||4z =B ．若i 1z =+，则2z z ⋅=-C ．已知m ，n ∈R ，i 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，则1m n +=D ．若复数z 满足|1|2z -=，则|i |z +的最大值为211．在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2c o s c b b A =+，则下列结论正确的有（）A ．2AB =B ．B 的取值范围为ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭C ．ab的取值范围为D ．112sin tan tan A B A -+的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭三、填空题12．已知圆锥的底面周长为8π为．13．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率34，乙中靶的概率为m ，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为720，则m =.14．已知正四面体A BCD -A BCD -能在底面半径为2的圆锥S 内任意转动，则该圆锥体积的最小值为．四、解答题15．某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[)50,60，[)60,70，[)70,80三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人.求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率.16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()2s i n c o s c o s 2A a A b C c B =+．(1)求A ；(2)若∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，且1AD =，求ABC V 面积的最小值．17．如图（1），在梯形PBCD 中，BC PD ∥，2PD BC =，A 是PD 中点，现将ABP V 沿AB 折起得图（2），点M 是PD 的中点，点N 是BC 的中点．(1)求证：//MN 平面P AB ；(2)在线段PC 上是否存在一点E ，使得平面EMN ∥平面P AB ？若存在，请指出点E 的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由．18．如图，已知ABC V 中，4AC =，90BCA ∠=︒，60BAC ∠=︒，M ，N 为线段AB 上两点，且30MCN ∠=︒．(1)若CM AB ⊥，求CM CB ⋅u u u u r u u u r的值；(2)设ACM θ∠=，试将MCN △的面积S 表示为θ的函数，并求其最大值． (3)若BN AM =，求cos ACM ∠的值． 19．材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：代数基本定理：任何一元()*n n ∈N 次复系数多项式方程()0f x =至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元()*n n ∈N 次复系数多项式()f x 在复数集中可以分解为n 个一次因式的乘积.进而，一元n 次多项式方程有n 个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.设实系数一元二次方程()2210200a x a x a a ++=≠在复数集C 内的根为12x x ､，容易得到11220122a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 设实系数一元三次方程()323210300a x a x a x a a +++=≠① 在复数集C 内的根为123x x x ､､，可以得到，方程①可变形为()()()31230a x x x x x x ---=展开得：()()3233123312132331230a x a x x x x a x x x x x x x a x x x -+++++-=②比较①②可以得到根与系数之间的关系：21233112132331233a x x x a ax x x x x x a a x x x a ⎧++=-⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩，阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：(1)对于方程323250x x x +-+=在复数集C 内的根为123x x x ､､，求222123x x x ++的值；(2)如果实系数一元四次方程()43243210400a x a x a x a x a a ++++=≠在复数集C 内的根为1234x x x x ､､､，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因；(3)已知函数()32g x x bx =++，对于方程()g x k =在复数集C 内的根为123x x x ､､，当[]0,1k ∈时，求333123x x x ++的最大值.。

湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二上学期入学考试数学试卷含答案

长沙市第一中学2022-2023学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．若集合{}4M =<，{}31N x x =≥，则MN =（）A ．{}02x x ≤<B ．123xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2．已知复数12i z =-（i 为虚数单位），且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（） A ．1a =，2b =-B ．1a =-，2b =C ．1a =，2b =D ．1a =-，2b =-3．如下图，直线l 的方程是（）A 0y -=B ．10x --=C 310y --=D 20y --=4．有2人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人在不同层离开电梯的概率是（） A ．16B ．15C ．45D ．565．在△ABC 中，已知AB =2，AC =3，∠BAC =60°，AM ，BN 分别是BC ，AC 边上的中线，则AM BN ⋅=（） A ．12B ．12-C ．52D ．52-6．已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()0,1D ．()(),01,-∞+∞7．在等腰△ABC 中，∠ABC =120°，点O 为底边AC 的中点，将△ABO 沿BO 折起到△DBO 的位置，使二面角D−BO−C 的大小为120°，则异面直线DO 与BC 所成角的余弦值为（）A B C D 8．若不等式()sin 04a x b x π⎛⎫--⋅+≤ ⎪⎝⎭，对[]0,2x π∈恒成立，则()sin a b +和()sin a b -分别等于（）A ．2；2B ．2；2- C ．2-；2- D ．2-；2二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．若110a b<<，则下列结论一定正确的是 A ．2ab b < B ．22a b <C ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．a b a b ->+10．今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G 基站，4月份增加5G 用户700多万人，5G 通信将成为社会发展的关键动力，下图是某机构对我国未来十年5G 用户规模的发展预测图，阅读下图关于下列说法，其中正确的是（） A ．2022年我国5G 用户规模年增长率最高 B ．2025年我国5G 用户数规模最大C ．从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D ．这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差 11．在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC−A 1B 1C 1展开得到平面图如图所示，∠ABC =90°，AA 1=AB ，P 为AB 1的中点，Q 为A 1C 的中点，则在原直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，下列说法正确的是（）A ．P ，Q ，C ，B 四点共面 B ．A 1C ⊥AB 1C ．几何体A−PQCB 和直三棱柱ABC−A 1B 1C 1的体积之比为38D ．当BC AB 时，A 1C 与平面ABB 1所成的角为45°12．已知动圆C ：()()22cos sin 1x y αα-+-=，[)0,2απ∈，则（）A ．圆C 与圆224x y +=相切B ．圆C 与直线sin cos 10x y αα+-=相切C ．圆C 上一点M 满足CM =（0，1），则M 的轨迹的长度为4πD ．当圆C 与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为1选择题答题卡三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a ，b 的夹角为45°，=a 2⋅=a b ，若()λ+⊥a b b ，则λ=________．14．军事飞行人员是国家的特殊人才和宝贵资源，招收和培养飞行员历来受到国家的高度重视，某地区招收海军飞行员，从符合条件的高三学生中随机抽取8人，他们的身高（单位：cm ）分别为168，171，172，173，175，175，179，180，则这8名高三学生身高的第75百分位数为________． 15．写出与圆221x y +=和()()223416x y -+-=都相切的一条直线的方程________．16．神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆．若由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，A 处的返回舱垂直返回地面．空中分队和地面分队分别在B 处和C 处，如图为其示意图，若A ，B ，C 在同一水平面上的投影分别为A 1，B 1，C ，且在C 点测得B 的仰角为26.6°，在C 点测得A 的仰角为45°，在B 点测得A 的仰角为26.6°，BB 1=7km ，∠B 1A 1C =120°．则CA 1的长为________km．（参考数据：1 tan26.62︒≈）四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在某公司一次入职面试中，共设有3轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目的即可通过面试，累计答错两道题目的即被淘汰．已知李明能正确回答每一道题目的概率均为23，且各轮题目能否正确回答互不影响．（1）求李明不需要进入第三轮测试的概率；（2）求李明通过面试的概率．18．（本小题满分12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（1）求证：BM ∥平面ADEF ；（2）求证：BC ⊥平面BDE ． 19．（本小题满分12分）已知直线1l 的方程为280x y -+=，直线2l 的方程为4310x y +-=．（1）设直线1l 与2l 的交点为P ，求过点P 且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程；（2）设直线3l 的方程为10ax y ++=，若直线3l 与1l ，2l 不能构成三角形，求实数a 的取值的集合． 20．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB =AD M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD ⊥BM ；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E−AM−D 21．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅．（1）若cos cos A Bb a=，判断△ABC 的形状并说明理由；（2）若△ABC 是锐角三角形，求sin C 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知圆M ：()2221x y +-=，点P 是直线l ：20x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线PA时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求线段AB长度的最小值．长沙市第一中学2022-2023学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

2023-2024学年成都市成飞中学高二数学上学期入学考试卷及答案解析

2023-2024学年成都市成飞中学高二数学上学期入学考试卷（考试时间：120分钟总分：150分）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数()2i z m m m =-+为纯虚数，则实数m 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．0或12．已知向量()3,5a =- ，()6,b x = ，且a b∥，则x 等于（）A ．185B ．185-C ．10D ．10-3．cos50cos70cos 40cos160︒︒︒+︒=（）A ．32-B ．32C ．12-D ．124．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -面对角线11A C 上的动点，下列直线中，始终与直线BP 异面的是（）A ．直线1DDB ．直线1BC C ．直线1AD D ．直线AC5．已知一个正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，体积为13，则该正四棱台的高为（）A ．1B ．13C ．15D ．176．已知,a b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若//,//a b b α，则//a αB ．若//,,//a b a b αβ⊥，则αβ⊥C ．若//,//,//a b αβαβ，则//a bD ．若//,//,a b αβαβ⊥，则a b⊥7．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时1039海里，在A 处看灯塔S 在船的北偏东3sin 4θθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的方向上.1小时后，船航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东3θ的方向上，则船航行到B 处时与灯塔S 之间的距离为（）A ．103海里B ．203海里C ．1013海里D ．2013海里8．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，4,3,45AB PC PD PCA ===∠=︒，则PBC 的面积为（）A ．22B ．32C ．42D ．52二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数3i1iz +=+，则下列说法正确的是（）A ．5z =B ．z 的虚部为-1C ．z 在复平面内对应的点在第一象限D ．z 的共轭复数为2i+10．若向量,a b 满足||||3,||2a b a b a +=-==，则（）A ．a b⊥ B ．1= b C ．()()a b a b+⊥- D ．()1b a b ⋅-=-11．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45°，则（）．A ．该圆锥的体积为πB ．该圆锥的侧面积为43πC ．22AC =D ．PAC △的面积为312．设函数()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点．下列结论中正确的是（）A ．()f x 在()0,2π有且仅有3个最高点B ．()f x 在()0,2π有且仅有2个最低点C ．()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．求值1sin15cos154︒︒=．14．已知262i z z +=-，则i z +=.15．已知点()3,4A -与点()1,2B -，点P 在直线AB 上，且2AP PB = ，则点P 的坐标为.16．已知三棱锥-P ABC ，其中PA ⊥平面,120,2ABC BAC PA AB AC ∠=︒===，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在ABC 中，13AD AB =，点E 是CD 的中点，设,AB a AC b == ，(1)用,a b表示,CD AE ；(2)如果3a b =r r，,CD AE 有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.18．已知函数2π()23sin sin()2cos 12f x x x x =⋅++-.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)若ππ[]46x ∈-，，求()f x 的值域.19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos cos b c a A B=+.(1)求角B 的大小；(2)若4,32b a c =+=，求ABC 的面积.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且22PA PD a ==，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：//EF 平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PDC ；(3)求直线EF 与平面ABCD 所成角的大小．21．已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．(1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．22．已知函数π()4sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，矩形OABC 的面积为9π2．(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间．(2)先将()f x 的图象向右平移5π24个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩小为原来的12，最后得到函数()g x 的图象．若关于x 的方程2[()](1)()0g x m g x m +--=在区间[0,]π上仅有3个实根，求实数m 的取值范围．=1．C【分析】根据题意和纯虚数的概念可得200m m m ⎧-=⎨≠⎩，解之即可.【详解】因为()2i z m m m =-+为纯虚数，所以200m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得1m =.故选：C.2．D【分析】根据平面向量共线的坐标公式直接运算即可.【详解】由()3,5a =- ，()6,b x = 及a b∥，得(3)56x -⨯=⨯，所以10x =-，故选：D 3．C【分析】利用诱导公式和余弦两角和公式求解即可.【详解】cos50cos70cos 40cos160︒︒+︒︒()()cos50cos70cos 9050cos 9070=︒︒+︒-︒︒+︒cos50cos70sin 50sin 70=︒︒-︒︒()1cos 5070cos1202=︒+︒=︒=-.故选：C.4．D【分析】根据异面直线得定义逐一分析判断即可.【详解】对于A ，连接11,BD B D ，设1111A C B D Q ⋂=，由11BB DD ∥，当P 点位于点Q 时，BP 与1DD 共面；对于B ，当点P 与1C 重合时，直线BP 与直线1B C 相交；对于C ，因为11AB C D ∥且11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11AD BC ∥，当点P 与1C 重合时，BP 与1AD 共面；对于D ，连接AC ，因为P ∉平面ABCD ，B ∈平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，B AC ∉，所以直线BP 与直线AC 是异面直线.故选：D.5．D【分析】根据题意，结合棱台的体积公式，列出方程，即可求解.【详解】由正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，体积为13，设正四棱台的高为h ，根据棱台的体积公式12121()3V S S S S h =++⋅，可得222211(1212)33h ⋅++⨯⋅=，解得17h =.故选：D.6．B【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．【详解】对于A ，若//,//a b b α，则//a α或a α⊂，故A 错误；对于B ，若//,//a b b β，则a β⊂或//a β，若a β⊂，因为a α⊥，则αβ⊥，若//a β，如图所示，则在平面β一定存在一条直线//m a ，因为a α⊥，所以m α⊥，又m β⊂，所以αβ⊥，综上若//,,//a b a b αβ⊥，则αβ⊥，故B 正确；对于C ，若//,//,//a b αβαβ，则直线,a b 相交或平行或异面，故C 错误；对于D ，若//,//,a b αβαβ⊥，则直线,a b 相交或平行或异面，故D 错误.故选：B.7．B【分析】确定2S θ∠=，13cos 4θ=，根据正弦定理得到1039sin 2sin cos BS θθθ=，解得答案.【详解】32S θθθ∠=-=，1039AB =，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，213cos 1sin 4θθ=-=，则sin sin 2BS AB θθ=，即1039sin 2sin cos BS θθθ=，539203cos BS θ==，故选：B 8．C【分析】先在PAC △中利用余弦定理求得17PA =，17cos 17APC ∠=-，从而求得3PA PC ⋅=- ，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于,PB BPD ∠的方程组，从而求得17PB =，由此在PBC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以42AC BD ==，在PAC △中，3,45PC PCA =∠=︒，则由余弦定理可得22222cos 3292423172PA AC PC AC PC PCA =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，故17PA =，所以2221793217cos 2172173PA PC AC APC PA PC +-+-∠===-⋅⨯⨯，则17cos 173317PA PC PA PC APC ⎛⎫⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，不妨记,PB m BPD θ=∠=，因为()()1122PO PA PC PB PD =+=+ ，所以()()22PA PCPB PD +=+，即222222PA PC PA PC PB PD PB PD ++⋅=++⋅ ，则()217923923cos m m θ++⨯-=++⨯⨯，整理得26cos 110m m θ+-=①，又在PBD △中，2222cos BD PB PD PB PD BPD =+-⋅∠，即23296cos m m θ=+-，则26cos 230m m θ--=②，两式相加得22340m -=，故17PB m ==，故在PBC 中，7,43,1P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +-+-∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以222sin 1cos 3PCB PCB ∠=-∠=，所以PBC 的面积为1122sin 3442223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯=.故选：C.9．BD【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数虚部的定义、共轭复数、复数在复平面对应点的特征、复数模的运算公式逐一判断即可.【详解】因为()()()()3i 1i 3i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-+-====-++-，所以z 的虚部为1,z -的共轭复数为()222i,215,z z +=+-=在复平面内对应的点在第四象限.故选：BD 10．ABD【分析】利用向量数量积的运算性质求解判断即可.【详解】由题意得222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，得0a b ⋅= ，所以a b ⊥ ，故A 正确；由222a b a b ++⋅3=，得||1b = ，故B 正确；因为22()()10a b a b a b +⋅-=-=≠ ，所以a b + 不垂直于a b - ，故C 错误；()b a b ⋅- 21a b b =⋅-=- ，故D 正确．故选：ABD.11．AC【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A 、B 选项的正确性，利用二面角的知识判断C 、D 选项的正确性.【详解】依题意，120APB ∠=︒，2PA =，所以1,3OP OA OB ===，A 选项，圆锥的体积为()21π31π3⨯⨯⨯=，A 选项正确；B 选项，圆锥的侧面积为π3223π⨯⨯=，B 选项错误；C 选项，设D 是AC 的中点，连接,OD PD ，则,AC OD AC PD ⊥⊥，所以PDO ∠是二面角P AC O --的平面角，则45PDO ∠=︒，所以1OP OD ==，故312AD CD ==-=，则22AC =，C 选项正确；D 选项，22112PD =+=，所以122222PAC S =⨯⨯= ，D 选项错误.故选：AC.12．ACD【分析】求出在()0,∞+上由小到大的第5、6个零点，根据题意列不等式组可解得ω的范围，可判断D ；求出最大值点和最小值点，根据ω的范围即可判断AB ；根据正弦函数的单调性求出()f x 的单调增区间，结合ω的范围即可判断C.【详解】由ππ5x k ω+=得ππ,5k x k ωω=-+∈Z ，所以在()0,∞+上由小到大的第5个零点为π5π24π55ωωω-+=，第6个零点为π6π29π55ωωω-+=，由题知，24π2π529π2π5ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1229510ω≤<，D 正确；令ππ2π52x k ω+=+，解得()()203π3π2π1010k k x k ωωω+=+=∈Z ，当()0,2πx ∈时，0k ≥，因为1229510ω≤<，所以()()()203π203π2924k k x k ++<≤∈Z ，当且仅当0,1,2k =时，()0,2πx ∈，故()f x 在()0,2π有且仅有3个最高点，A 正确；令ππ2π52x k ω+=-+，解得()()207π7π2π1010k k x k ωωω-=-+=∈Z ，同上可知，()()()207π207π2924k k x k --<≤∈Z ，当1,2k =时，()0,2πx ∈；当3k =时，令53π2π10ω<，解得5320ω>，所以当53292010ω<<时，()f x 在()0,2π有3个最低点，B 错误；由πππ252x ω-≤+≤得7π3π1010x ωω-≤≤，所以()f x 在区间3π0,10ω⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又因为1229510ω≤<，所以3π3ππ29108ω≤<，又3ππ2910>，所以()f x 在区间π0,10⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确.故选：ACD 13．116【分析】直接利用正弦的倍角公式进行求值即可得解.【详解】111sin15cos15sin304816︒︒=︒=.故答案为：11614．5【分析】设i z a b =+，则i z a b =-，由复数相等可求出2a b ==，求出i z +，再由复数的模长公式求解即可.【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，所以()2i 2i 3i 62i z z a b a b a b +=++-=-=-，所以362a b =⎧⎨=⎩，则2a b ==，i i 22i i 2z +=+-=-+，所以()22i 125z +=-+=.故答案为：515．1,03⎛⎫⎪⎝⎭或()5,8-【分析】由题设条件知A ，P ，B 三点共线，且有2AP PB = 或2AP PB =-，设出点P 的坐标，分两类利用向量相等的条件建立方程求出点P 的坐标即可【详解】设(),P x y ，则由2AP PB = ，得2AP PB = 或2AP PB =-.若2AP PB =，则()()3,421,2x y x y -+=---.所以322,442.x x y y -=--⎧⎨+=-⎩解得1,30,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩故1,03P ⎛⎫⎪⎝⎭.若2AP PB =-，同理可解得5,8,x y =-⎧⎨=⎩故()5,8P -.综上，点P 的坐标为1,03⎛⎫⎪⎝⎭或()5,8-.故答案为1,03⎛⎫⎪⎝⎭或()5,8-.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件，解题的关键是由题设条件得出两向量的数乘关系，属于中档题.16．20π【分析】根据题意设底面ABC 的外心为G ，O 为球心，所以OG ⊥平面ABC ，112OG PA ==，根据正弦定理求得ABC 外接圆的半径，结合球的性质、球的表面积公式进行求解即可．【详解】根据题意设底面ABC 的外心为G ，O 为球心，所以OG ⊥平面ABC ，因为PA ⊥平面ABC ，所以OG PA ∥，设D 是PA 中点，因为OP OA =，所以DO PA ⊥，因为PA ⊥平面,ABC AG ⊂平面ABC ，所以AG PA ⊥，因此OD AG ∥，因此四边形ODAG 是平行四边形，故112OG AD PA ===，∵120,2BAC AB AC ∠=︒==，∴30ACB ∠=︒，又ABC 外接圆的半径r AG =，由正弦定理得22242sin 30r AG AG ===⇒=︒，所以该外接球的半径R 满足2225R OG AG =+=，所以外接球的表面积为24π20πS R ==.故答案为：20π．17．(1)13=- CD a b ，11.62AE a b =+ (2)CD AE ⊥，证明见解析【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简，即可求解；（2）因为3a b = ，化简2211(3||)||0182CD AE b b ⋅=-= ，即可得到结论.【详解】（1）解：因为13AD AB =，所以1133CD AD AC AB AC a b =-=-=- ，因为E 是CD 的中点，可得()1111111.2236262AE AD AC AB AC AB AC a b ⎛⎫=+=+=+=+ ⎪⎝⎭ （2）解：CD AE ⊥.因为3a b = ，则111362CD AE a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222211111118662182a a b a b b a b =+⋅-⋅-=- 22221111||||(3||)||0182182a b b b =-=-= 以CD AE ⊥ ，所以CD AE ⊥.18．(1)ππ[ππ]36k k -++，，Zk ∈(2)[32]-，【分析】（1）根据二倍角以及辅助角公式化简π()3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x =+=+,即可由整体法求解单调区间，（2）根据ππ46x -≤≤得πππ2362x -+≤≤，即可结合正弦函数的单调性求解.【详解】（1）π()3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x =+=+令πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，Z k ∈所以ππππ36k x k -+≤≤+，所以()f x 的单调递增区间为ππ[ππ]36k k -++，，Zk ∈（2）因为ππ46x -≤≤，所以πππ2362x -+≤≤3πsin(2)123x -+≤≤，所以3()2f x -≤≤所以()f x 在ππ[]46x ∈-，上的值域为[32]-，.19．(1)π3B =(2)36【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可；（2）根据余弦定理结合三角形面积公式求解即可.【详解】（1）因为2cos cos bc a A B =+，由正弦定理有：sin 2sin sin cos cos BC A A B =+，所以()sin sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos cos cos cos B A B A B A B CC A A B B B B ++=+⨯===，所以2sin cos sin C B C =，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，所以1cos 2B =.又()0,πB ∈，所以π3B =；（2）4,32b a c =+= ，又由（1）知π3B =由余弦定理得()2222222cos 3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-，即16183ac =-，则23ac =11233sin 22326ABC S ac B ∴==⨯⨯= 所以ABC 的面积为36.20．(1)详见解析；(2)详见解析；(3)π4【分析】（1）利用线面平行判断判定定理即可证得//EF 平面PAD ；（2）先利用线面垂直判定定理证得PA ⊥面PCD ，进而证得平面PAB ⊥平面PDC ；（3）先求得直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值，进而求得该角的大小.【详解】（1）取PD 中点S ，AD 中点T ，连接,,ES ST TF ,又E ，F 分别为PC ，BD 的中点，则11//,=,//,=22ES CD ES CD TF AB TF AB ,又//,AB CD AB CD =，则//,=ES TF TF ES ，则四边形ESTF 为平行四边形，则//EF TS ，又EF ⊄平面PAD ，TS ⊂平面PAD ，则//EF 平面PAD .（2）在△PAD 中，22PA PD a ==，AD a =，由222+PA PD AD =，可得PA PD ⊥，由面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ⋂面=ABCD AD ，AD CD ⊥，CD ⊂面ABCD ，可得CD ⊥面PAD ，又PA ⊂面PAD ，则CD PA ⊥，又PA PD ⊥，CD PD D = ，,CD PD ⊂面PCD ，则PA ⊥面PCD ，又PA ⊂面PAB ，则平面PAB ⊥平面PDC ；（3）连接PT ，△PAD 中，PA PD AT DT ==，，则PT AD ⊥，又面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ⋂面=ABCD AD ，PT ⊂面PAD ，则PT ⊥面ABCD ，则PT 为点P 到面ABCD 的距离，又E 为PC 的中点，则点E 到面ABCD 的距离为12PT ，又△PAD 中，22PA PD a ==，AD a =，AT DT =，则12PT a =，1124PT a =，则点E 到面ABCD 的距离为14a ，又1224EF ST PA a ===，设直线EF 与平面ABCD 所成角为θ，则124sin 224aa θ==，又π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π4θ=则直线EF 与平面ABCD 所成角的大小为π421．(1)31010(2)6【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sin B ,再由正弦定理求出b ，根据等面积法求解即可.【详解】（1）3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，3310sin 1010A ∴==.（2）由（1）知，110cos 1010A ==，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin ()210105A C A C =+=+=，由正弦定理，sin sin c b C B =，可得255521022b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 210610h b A ∴=⋅=⨯=.22．(1)πT =，3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．(2)[1,2)．【分析】（1）根据矩形的面积公式，结合正弦型最小正周期公式和正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据正弦型函数图象的变换性质，结合因式分解法、正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）由()f x 的解析式可知||4OC =，矩形OABC 的面积为9π||||2OC OA ⋅=，所以9π||8OA =．根据点B 在()f x 的图象上的位置知9ππ5π842ω⨯+=，得2ω=．所以π()4sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x 的最小正周期为2π2ππ2T ω===．令πππ2π22π242k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得3ππππ88k x k -≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）将()f x 的图象向右平移5π24个单位长度，所得曲线对应的函数为5ππ()4sin 2246y f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩小为原来的12，所得曲线对应的函数为π2sin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()g x =π2sin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由2[()](1)()0g x m g x m +--=得[()1][()]0g x g x m +-=，即()1g x =-或()g x m =．作出()g x 在[0,]π上的大致图象如图所示：易知方程()1g x =-在[0,]π上仅有一个实根．要使原方程在[0,]π上仅有3个实根，则须方程()g x m =在[0,]π上有2个实根，即直线y m =与曲线()y g x =在[0,]π上有2个公共点，结合图象可知须12m ≤<．即m 的取值范围是[1,2)．。

黑龙江省龙东十校2024-2025学年高二上学期开学联考试题数学含答案

2023级高二上学年入学考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册第六章至第九章，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()()1,3,5,2,,a b x y =-=，且a∥b ，则x y +=（）A.10B.6C.4D.4-2.若32i i z=+，则z =（）A.12i- B.12i -+C .12i-- D.12i+3.若向量()()1,2,1,2a b m =-=+，且()a b a +⊥ ，则m =（）A.−8B.8C.−2D.24.某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在[]70,100内.现将所有学生的体能测试成绩按[)[)[]70,80,80,90,90,100分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在[)70,80内的被抽取的学生人数为（）A.4B.6C.8D.105.已知,αβ是两个不同的平面，l ，m 是α内两条不同的直线，则“//l β，且//m β”是“//αβ”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则该圆台的体积V =（）A.29πB.31πC.87πD.93π7.图，在九面体ABCDEFGH 中，平面AGF ⊥平面ABCDEF ，平面AGF ∥平面,HCD AG GF CH HD AB ====，底面ABCDEF 为正六边形，下列结论错误的是（）A.GH ∥平面ABCDEFB.GH ⊥平面AFGC.平面HCD ⊥平面ABCDEFD.平面ABG ⊥平面ABCDEF8.如图，在棱长为12的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱11,C D BC 的中点，平面1A EF 与直线1CC 交于点N ，则NF =（）A.10B.15C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知甲组数据为4,3,2，乙组数据为6,7,8，将甲､乙两组数据混合后得到丙组数据，则（）A.丙组数据的中位数为5B.甲组数据的70%分位数是2C.甲组数据的方差等于乙组数据的方差D.甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数10.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 5sin ,1a B c A A bc b c +==++，ABC V 的面积为，则ABC V 的周长可能为（）A.8B.5+C.9D.5+11.已知边长为ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，P 为球O 表面上一动点，且P 不在平面ABC 上，当三棱锥P ABC -的体积最大时，直线PA 与平面ABC 所成角的正切值为2，则下列结论正确的是（）A.球O 的表面积为64πB.PA 的最大值为10C.三棱锥P ABC -体积的最大值为D.当三棱锥P ABC -的体积最大时，若点Q 与点P 关于点O 对称，则三棱锥Q ABC -的体积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知空间向量()()()1,0,0,0,1,0,1,1,a b c m === ，若,,a b c共面，则m =__________.13.已知数据1,1,3,,4,7m 的极差为6，且80%分位数为220m -，则m =__________.14.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为12,,,AB AD AA 两两所成夹角均为60o ，点,E F 分别在棱11BB ,DD 上，且112,2BE B E D F DF ==，则EF =__________；直线1AC 与EF 所成角的余弦值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作､共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家､地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在[]90,100内，并将部分数据整理如下表：分数[)90,92[)92,94[)94,96[]98,100频数10102020（1）估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）；（2）估计这100家企业评分的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.16.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知222,a b c a =++=.（1）求B ；（2）若a =BC 边上存在一点D ，使得DA AC ⊥，求AD 的长.17.如图，在三棱锥P ABC -中，O 为AC 的中点，平面POB ⊥平面,ABC ABC △是等腰直角三角形，,AB BC AC PA PB ⊥===.（1）证明：PA PC =；（2）求二面角C PA B --的正弦值.18.如图，甲船在点M 处通过雷达发现在其南偏东60o 方向相距20海里的N 处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从N 处向南偏西60o 的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距P 处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在H 处会合．（1）求PN 的长；（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？19.将菱形ABCD 绕直线AD 旋转到AEFD 的位置，使得二面角E AD B --的大小为π3，连接,BE CF ，得到几何体ABE FDC -.已知π4,,,3AB DAB M N ∠==分别为,AF BD 上的动点且(01)AM BNAF BDλλ==<<.（1）证明：MN ∥平面CDF ；（2）求BE 的长；（3）当MN 的长度最小时，求直线MN 到平面CDF 的距离.2023级高二上学年入学考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册第六章至第九章，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()()1,3,5,2,,a b x y =-=，且a∥b ，则x y +=（）A.10B.6C.4D.4-【答案】C 【解析】【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算.【详解】因为a∥b ，所以352xy-==1,即6,10x y =-=，则4x y +=.故选：C.2.若32i iz=+，则z =（）A.12i- B.12i -+C.12i -- D.12i+【答案】A 【解析】【分析】运用复数乘除，结合乘方计算即可.【详解】由题意得()i 2i 12i z =-+=-.故选：A.3.若向量()()1,2,1,2a b m =-=+，且()a b a +⊥ ，则m =（）A.−8B.8C.−2D.2【答案】B 【解析】【分析】运用向量的坐标运算，结合垂直的坐标结论计算即可.【详解】由题意得(),4a b m +=.因为()a b a +⊥ ，所以()80a b a m +⋅=-+=，即8m =.故选：B.4.某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在[]70,100内.现将所有学生的体能测试成绩按[)[)[]70,80,80,90,90,100分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在[)70,80内的被抽取的学生人数为（）A.4B.6C.8D.10【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合给定的频率分布直方图中的数据，即可求解.【详解】根据题意得，体能测试成绩在[)70,80内的被抽取的学生人数为0.22040.30.20.5⨯=++.故选：A.5.已知,αβ是两个不同的平面，l ，m 是α内两条不同的直线，则“//l β，且//m β”是“//αβ”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由面面平行的判定与性质即可判断．【详解】若//l m ，//m β，则,αβ不一定平行（缺少条件l m ,相交）；若//αβ，,l m α⊂，则//l β，且//m β，故“//l m ，且//m β”是“//αβ”的必要不充分条件，故选：C ．6.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则该圆台的体积V =（）A.29πB.31πC.87πD.93π【答案】B 【解析】【分析】设出母线，根据侧面积列出方程，求出母线，进而得到圆台的高，得到圆台的体积.【详解】设该圆台的母线长为l ，根据题意可得()π1530πl +=，解得5l =，由题意得5AD =，22514DF DO O F =-=-=，所以该圆台的高为3AF ==，则()22π3115531π3V =⨯⨯+⨯+=．故选：B7.图，在九面体ABCDEFGH 中，平面AGF ⊥平面ABCDEF ，平面AGF ∥平面,HCD AG GF CH HD AB ====，底面ABCDEF 为正六边形，下列结论错误的是（）A.GH ∥平面ABCDEFB.GH ⊥平面AFGC.平面HCD ⊥平面ABCDEFD.平面ABG ⊥平面ABCDEF 【答案】D 【解析】【分析】运用面面垂直，结合面面平行得到面面垂直，判定C ；证明GM ⊥平面ABCDEF .同理可得⊥HN 平面ABCDEF ，则//HN GM ，运用线面平行判定判断A ；证明MN ⊥平面AFG ，结合//MN GH ，得到GH ⊥平面AFG ，判断B ；利用反证法，得到AE ⊥平面AGF ，不成立，判断D.【详解】取AF 的中点,M CD 的中点N ，连接,,GM HN MN .因为平面AGF ⊥平面ABCDEF ，平面//AGF 平面HCD ，所以平面HCD ⊥平面ABCDEF ，C 正确.因为AG GF AB AF ===，所以GM AF ⊥，GM ⊂面AFG ，平面AGF ⊥平面ABCDEF ，又平面AGF 平面ABCDEF AF =，所以GM ⊥平面ABCDEF .同理可得⊥HN 平面ABCDEF ，则//HN GM ，因为HN GM =所以四边形HNMG 为平行四边形，所以//GH MN .因为GH ⊄平面,ABCDEF MN ⊂平面ABCDEF ，所以//GH 平面,A ABCDEF 正确.连接,AN FN ，易得AN FN =，则,MN AF GM ⊥⊥平面ABCDEF ，MN ⊂面ABCDEF ，则GM MN ⊥.因为GM AF M ⋂=且都在面AFG 内，所以MN ⊥平面AFG .因为//MN GH ，所以GH ⊥平面AFG ，B 正确.连接AE ，则AE AB ⊥，若平面ABG ⊥平面ABCDEF 成立，根据面面垂直的性质易得AE ⊥平面ABG ，再由线面垂直的性质有AE AG ⊥.因为GM AE ⊥，根据线面垂直的判定得AE ⊥平面AGF ，这显然不成立，所以平面ABG ⊥平面ABCDEF 不成立，D 错误.故选：D.8.如图，在棱长为12的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱11,C D BC 的中点，平面1A EF 与直线1CC 交于点N ，则NF =（）A.10B.15C.D.【答案】A 【解析】【分析】分别在棱1,,C AD C B C 上取点,,M N G ，使得1,3,2AM C MD C N N G C B G ===，易证1////ME AG A F ，1//NF A M ，则平面1A EF 截该正方体所得的截面图形是五边形1A MENF .再计算即可．【详解】分别在棱1,,C AD C B C 上取点,,M N G ，使得1,3,2AM C MD C N N G C B G ===，连接1,,,,A M ME EN NF AG ，根据正方体特征及平行公理，易证1////ME AG A F ，1//NF A M ，则平面1A EF 截该正方体所得的截面图形是五边形1A MENF .由题中数据，知道16C F =，18C N =，可得10NF ==.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知甲组数据为4,3,2，乙组数据为6,7,8，将甲､乙两组数据混合后得到丙组数据，则（）A.丙组数据的中位数为5B.甲组数据的70%分位数是2C.甲组数据的方差等于乙组数据的方差D.甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知条件，结合中位数，百分位数，方差，平均数的公式求解即可.【详解】将丙组数据从小到大排列为2,3,4,6,7,8，可得丙组数据的中位数为4652+=，A 正确．将甲组数据从小到大排列为2,3,4，因为370% 2.1⨯=，所以甲组数据的70%分位数是4,B 错误．易得甲组数据的方差为23，乙组数据的方差为23，C 正确．甲组数据的平均数为43233++=，乙组数据的平均数为6787,373++=<，D 正确．故选：ACD 10.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 5sin ,1a B c A A bc b c +==++，ABC V 的面积为，则ABC V 的周长可能为（）A.8B.5+C.9D.5+【答案】AB【解析】【分析】由正弦定理得5b c +=，由三角形面积公式得sin 3A =，进而得出1cos 3A =±，再根据余弦定理求得3a =，即可求解．【详解】由正弦定理得5ab ac a +=，得5b c +=，则16bc b c =++=，由1sin 2ABC S bc A == ，得sin 3A =，所以1cos 3A ==±，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22()22cos 9a b c bc bc A =+--=或17，所以3a =，所以ABC V 的周长为8或5+故选：AB ．11.已知边长为ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，P 为球O 表面上一动点，且P 不在平面ABC 上，当三棱锥P ABC -的体积最大时，直线PA 与平面ABC 所成角的正切值为2，则下列结论正确的是（）A.球O 的表面积为64πB.PA 的最大值为10C.三棱锥P ABC -体积的最大值为D.当三棱锥P ABC -的体积最大时，若点Q 与点P 关于点O 对称，则三棱锥Q ABC -的体积为【答案】BCD【解析】【分析】画出草图，设正三角形ABC 的外心为O '，当三棱锥P ABC -的体积最大时，,,P O O '三点共线.找出直线PA 与平面ABC 所成的角，求出3,5,OO R =='⎧⎨⎩.进而分别运用球的表面积公式计算表面积，PA 的最大值为210R =，运用棱锥体积公式计算三棱锥P ABC -，Q ABC -的体积即可.【详解】如图，设正三角形ABC 的外心为O '，当三棱锥P ABC -的体积最大时，,,P O O '三点共线.设球O 的半径为R ，易得2432AO AB ='⨯=.直线PA 与平面ABC 所成的角为,tan 2PO PAO PAO AO ∠∠'''=='，得28PO AO =''=.由22222168R AO AO OO OO PO PO OO R OO ⎧==+=+⎨=+=+=''''''⎩，得3,5,OO R =='⎧⎨⎩球O 的表面积为24π100πR =，A 错误，PA 的最大值为210R =，B 正确.三棱锥P ABC -体积的最大值为13ABC S PO ⋅=' ，C 正确.三棱锥Q ABC -的体积为()13ABC S R OO -'⋅= D 正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知空间向量()()()1,0,0,0,1,0,1,1,a b c m === ，若,,a b c 共面，则m =__________.【答案】0【解析】【分析】由已知可得c xa yb =+，代入坐标计算可求m 的值.【详解】因为,,a b c 共面，所以c xa yb =+ ，即()()()()1,1,1,0,00,1,0,,0m x y x y =+=，则110x y m =⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为：0.13.已知数据1,1,3,,4,7m 的极差为6，且80%分位数为220m -，则m =__________.【答案】5【解析】【分析】运用数据极差和百分位数概念和计算方法分类讨论即可.【详解】因为716-=，所以17m ≤≤.当14m ≤≤时，数据1,1,3,,4,7m 的80%分位数为4，由2204m -=，得m =±，不符合题意，舍去.当47m <≤时，数据1,1,3,4,,7m 的80%分位数为m ，由220m m -=，得5m =（负根舍去），符合题意.故5m =.故答案为：5.14.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为12,,,AB AD AA 两两所成夹角均为60o ，点,E F 分别在棱11BB ,DD 上，且112,2BE B E D F DF ==，则EF = __________；直线1AC 与EF 所成角的余弦值为__________.【答案】①.3②.15【解析】【分析】表达出113EF AB AD AA =-+- ，平方后求出2409EF = ，求出2103EF = ；求出1A C = ，利用向量夹角余弦公式求出异面直线距离的余弦值.【详解】连接,AF AE，111121,333EF AF AE AD DD AB BB AB AD AA =-=+--=-+- 22221111222933EF AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++-⋅+⋅-⋅ 4π2π2π4044222cos 22cos 22cos 9333339=++-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=，故3EF = ；11A C AB AD AA =++ ，故21121122222A A C AB A AD D D A A A =+++⋅+⋅+⋅ 11144422222222224222=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，故1A C = 则()111113AB AD AA AB AD AA AC EF AC EF ⎛⎫++⋅-+- ⎪⋅=1221121428333315AB AD AA AB AA AD AA -+--⋅+⋅-=- ，故直线1AC 与EF所成角的余弦值为15.故答案为：3；15四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作､共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家､地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在[]90,100内，并将部分数据整理如下表：分数[)90,92[)92,94[)94,96[]98,100频数10102020（1）估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）；（2）估计这100家企业评分的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.【答案】（1）96.5（2）96，5.8【解析】【分析】（1）由中位数的佑计值的定义求解即可；（2）由平均数的估计值与方差的计算公式计算即可.【小问1详解】由题意得这100家企业评分在[96,98)内的频数为1001010202040.----=设这100家企业评分的中位数的估计值为x ，因为评分在[)90,96内的频数之和为1010204050++=<，评分在[)90,98内的频数之和为40408050+=>，所以[)96,98x ∈，由504096409896x --=-，得96.5x =.【小问2详解】这100家企业评分的平均数的估计值为()19110931095209740992096,100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=这100家企业评分的方差的估计值为：2222221(9196)10(9396)10(9596)20(9796)40(9996)20 5.8100s ⎡⎤=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦.16.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知222,a b c a =++=.（1）求B ；（2）若a =BC 边上存在一点D ，使得DA AC ⊥，求AD 的长.【答案】（1）π6（2）8-【解析】【分析】（1）运用正弦定理进行边角互化，再用余弦定理可解;（2）运用正弦定理，结合勾股定理可解.【小问1详解】由余弦定理得222cos 222b c a A bc bc +-===-，因为()0,πA ∈，所以3π4A =.因为a =，所以sin A B =，解得1sin 2B =，因为a b =>，所以π6B =.【小问2详解】因为a a ==，所以4AC b ==.设AD x =，在ABD △中，由正弦定理得π3ππsin sin 642x BD=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则BD =，CD =-，由2216),x +=解得8x =-或8+，故AD的长为8-.17.如图，在三棱锥P ABC -中，O 为AC 的中点，平面POB ⊥平面,ABC ABC △是等腰直角三角形，,AB BC AC PA PB ⊥===.（1）证明：PA PC =；（2）求二面角C PA B --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得AC OB ⊥，结合面面垂直的性质可得AC ⊥平面POB ，然后根据等腰三角形的性质结合条件可得.（2）作PD BO ⊥，垂足为D ，连接,DA DC ，由面面垂直的性质可得PD ⊥平面ABCD ，再由三角形全等，得出DA DC ⊥，从而建立空间坐标系利用空间向量解决问题.【小问1详解】证明：因为ABC V 是等腰直角三角形，,AB BC O ⊥为AC 的中点，所以AC OB ⊥，AC ⊂平面ABC ，又因为平面POB ⊥平面ABC ，平面POB 平面ABC OB =，所以AC ⊥平面.POB 因为PO ⊂平面POB ，所以AC PO ⊥，又O 为AC 的中点，所以PAC 是等腰三角形，故PA PC =.【小问2详解】在平面POB 上，作PD BO ⊥，垂足为D ，连接,DA DC .平面POB ⊥平面ABC ，平面POB 平面ABC OB =，又PD ⊂平面POB ，所以PD ⊥平面ABCD .由（1）PA PC =，又2AC PA ==，则PAC 为等边三角形.所以2OP==，22ACOB==，所以222cos23OP OB BPBOPOP OB∠+-==-⋅，所以cos3DOP∠=，2cos2DO PO DOP∠=⋅=1DP==，所以1AD DC===,在等腰直角三角形ABCV中，1AB BC==，所以ABCV与PAC全等，故90ADC ABC∠=∠=︒，即DA DC⊥，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,0P A B C.()()()1,0,1,0,1,0,1,1,0PA AB AC=-==-.设平面PAB的法向量为()111,,n x y z= ，则0,0,n PAn AB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1110,0,x zy-=⎧⎨=⎩取11x=，可得()1,0,1n= .设平面PAC的法向量为()222,,m x y z= ，则0,0,m PAm AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22220,0,x zx y-=⎧⎨-+=⎩取21y=，可得()1,1,1m= .设二面角C PA B--的大小为θ，则cos cos,,sin33n mn mn mθθ⋅====⋅.故二面角C PA B--的正弦值为3.18.如图，甲船在点M 处通过雷达发现在其南偏东60o 方向相距20海里的N 处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从N 处向南偏西60o 的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距P 处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在H 处会合．（1）求PN 的长；（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？【答案】（1）70海里（2）2小时【解析】【分析】（1）由题可得5π6PMN ∠=，利用余弦定理即可求解；（2）由余弦定理可得cos MPN ∠，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出cos PNH ∠，再在PNH △中，利用余弦定理即可求出时间.【小问1详解】根据题意可得ππ5π236PMN ∠=+=．因为PM =海里，20MN =海里，所以根据余弦定理可得70PN =海里．【小问2详解】由余弦定理可得cos7MPN ∠==，则1sin 7MPN ∠=，所以ππππcos cos cos cos sin sin 2366PNH MPN MPN MPN ⎛⎫∠=∠+-=∠-∠ ⎪⎝⎭4331111727214=⨯-⨯=．设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为t 小时，则15HN t =海里，25PH t =海里．在PNH △中，22490022562511cos 2701514t t PNH t ∠+-==⨯⨯解得2t =或498-（舍去），故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时．19.将菱形ABCD 绕直线AD 旋转到AEFD 的位置，使得二面角E AD B --的大小为π3，连接,BE CF ，得到几何体ABE FDC -.已知π4,,,3AB DAB M N ∠==分别为,AF BD 上的动点且(01)AM BN AF BD λλ==<<.（1）证明：MN ∥平面CDF ；（2）求BE 的长；（3）当MN 的长度最小时，求直线MN 到平面CDF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3）13【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而线面平行，求出平面HMN ∥平面CDF ，得到线面平行；（2）作出辅助线，得到EOB ∠为二面角E AD B --的平面角，并求出各边长，得到答案；（3）作出辅助线，证明线面垂直，进而建立空间直角坐标系，写出点的坐标，并求出()()6,3,2,,0AM BN λλλ=-=-- ，表达出221||5232MN λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，求出12λ=，()N -，求出平面CDF 的法向量，利用点到平面距离公式求出答案.【小问1详解】证明：在AD 上取点H ，使得(01)AH AM BN AD AF BD λλ===<<，连接,HM HN ，如图1.因为AH AM AD AF=，所以HM ∥DF .因为DF ⊂平面,CDF HM ⊄平面CDF ，所以HM ∥平面CDF .因为AH BN AD BD=，所以HN ∥AB ，又CD ∥AB ，所以HN ∥CD .因为CD ⊂平面,CDF HN ⊄平面CDF ，所以HN ∥平面CDF .因为HM HN H = 且都在面HMN 内，所以平面HMN ∥平面CDF .因为MN ⊂平面HMN ，所以MN ∥平面CDF .【小问2详解】取AD 的中点O ，连接,,OE OB ED ，如图2.由题意可得,EAD BAD 是边长为4的正三角形，则EO BO ===，且,EO AD BO AD ⊥⊥，所以EOB ∠为二面角E AD B --的平面角，即π3EOB ∠=，则EOB 为正三角形，所以BE =.【小问3详解】取OB 的中点G ，连接EG ，则EG OB ⊥，且3EG ==.由（2）得,EO AD BO AD ⊥⊥，EO OB O = ，,EO OB ⊂平面OBE ，所以AD ⊥平面OBE ，因为EG ⊂平面OBE ，所以EG AD ⊥.又因为EG OB ⊥，AD OB O ⋂=，,AD OB ⊂平面ABCD ，所以EG ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，,OA OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,0,,4,,2,0,0,4,2A B F D C ---，()()()(),2,,2,,0,AF BD CD CF =-=--=-=- .又()()6,3,2,,0AM AF BN BD λλλλλ==-==-- ，所以()2,,0N λ-.连接AN ，则()22,,0AN λ=-- ，()42,,3MN AN AM λλ=-=-- ，所以222221||(42))(3)5232MN λλλ⎛⎫=-+-+-=-+ ⎪⎝⎭ .当12λ=时，2||MN 取得最小值，且最小值为3，则MN的最小值为此时()N -，则()1,ND =- .设平面CDF 的法向量为 =s s ，则0,0,n CD n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,30,x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩取y =()n = .因为MN ∥平面CDF ，所以直线MN 到平面CDF 的距离就是点N 到平面CDF 的距离，则点N 到平面CDF的距离13ND n d n ⋅== .故直线MN 到平面CDF的距离为13.。

雅礼中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题

时量：120雅礼中学2023年下学期入学检测试题高二数学分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数=-++λz i i 11)()(是纯虚数，则实数=λ( )A.-2B.-1C.0D.12.已知集合==A x y x y ,}{)(，==-B x y y x ,8}{)(，则=A B ( ) A.4}{ B.4,4}{)(C.1,4}{D.1,1,4,4}{)()( 3.已知∈x R ，则≥x 1且≥y 4是+≥x y 5且≥xy 4成立的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是( )A.至多有1次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有1次中靶5.已知样本数据x 1，x 2，…，x 2022的平均数和方差分别为3和56，若=+=y x i i i 231,2,,2022)(，则y 1，y 2，…y 2022的平均数和方差分别是( )A.12，115B.12，224C.9，115D.9，2246.某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间75,80)[内的学生有( )A.15名B.20名C.25名D.40名7.已知函数f x )(的定义域为R ，且++-=f x y f x y f x f y )()()()(，=f 11)(，则∑==f k k 122)(( ) A.-3B.-2C.0D.18.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为1V ，()212V V V <，则12:V V =( )A.13B.35C.2547D.79 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知236a b ==，则a ，b 满足( )A.a b >B.111a b +<C.4ab >D.4a b +>10.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A.10b =，45A =︒，60C =︒B.b =4c =，60B =︒C.a =2b =，45A =︒D.8a =，4b =，80A =︒ 11.下列四个命题中，假命题有( )A.对立事件一定是互斥事件B.若A ，B 为两个事件，则()()()P A B P A P B =+C.若事件A ，B ，C 彼此互斥，则()()()1P A P B P C ++=D.若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A ，B 是对立事件12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则( )A.直线1D D 与直线AF 垂直B.直线1A G 与平面AEF 平行C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D.点C 与点G 到平面AEF 的距离相等三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取________人. 14.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则1AC =________.15.已知()32,,x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是________.16.如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点.若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB 、PD 于点E 、F (可与端点重合)，则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围是________.四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间和最值.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，DC 的中点.(1)求证：11D E AB ⊥；(2)若点M ，N 分别在1C D ，AF 上，且1MN C D ⊥，MN AF ⊥.求证：1//MN D E ；(3)棱1CC 上是否存在点P ，使平面1CD E ⊥平面AFP ？若存在，确定点P 的位置，若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为12，乙队每位球员罚进点球的概率均为23.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；(2)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以2:0领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率.如图、四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，梯形ABCD 满足//AB CD ，90BCD ∠=︒，且2PD AD DC ===，3AB =，E 为PC 中点，13PF PB =，2PG GA =. (1)求证：D ，E ，F ，G 四点共面；(2)求二面角F DE P --的正弦值.21.(本小题满分12分) 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP 方向释放机器人甲，同时在A 处按AQ 方向释放机器人乙，设机器人乙在M 处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动.若点M 在矩形区域ABCD 内(包含边界)，则挑战成功，否则挑战失败.已知6AB =米，E 为AB 中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记EP 与EB 的夹角为()0θθπ<<，AQ 与AB 的夹角为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭. (1)若两机器人运动方向的夹角为3π，AD 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； (2)已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍.(i)若3πθ=，AD 足够长，机器人乙挑战成功，求sin α.(ii)如何设计矩形区域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度α使机器人乙挑战成功？定义：()()()222102001sin sin sin n n μθθθθθθ⎡⎤=-+-++-⎣⎦为实数1θ，2θ，…，n θ对0θ的“正弦方差”.(1)若13πθ=，223πθ=，3θπ=，证明：实数1θ，2θ，3θ对0θ的“正弦方差”μ的值是与0θ无关的定值；(2)若14πθ=，2θα=，3θβ=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2βππ∈，若实数1θ，2θ，3θ对0θ的“正弦方差”μ的值是与0θ无关的定值，求α，β值.。

2020-2021学年湖南省长沙市第一中学高二上学期入学考试数学试题

长沙市第一中学2020—2021学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分得分______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在空间直角坐标系中，点(2,1,9)-关于x 轴的对称点的坐标是（） A ．(2,1,9)- B ．(2,1,9)--- C ．(2,1,9)- D ．(2,1,9)-2．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（） A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与至少有一个白球 C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D ．至少有一个黑球与都是白球 3．已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：则((3))f g =（）A ．0B ．1C ．2D ．34．如图是某校举行的诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）7 8 994 4 6 4 7 3A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,1.6D ．85,0.45．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，11A B 的中点是P ，过点1A 作与截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为（）A ．．．．46．在ABC 中，若tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos C 的值是（）A ．．12 D ．12-7．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =PC 与平面ABCD 所成角的大小为（） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．75︒8．已知圆22(1)4x y ++=的圆心为C ，点P 是直线:540l mx y m --+=上的点，若该圆上存在点Q 使得30CPQ ∠=︒，则实数m 的取值范围为（）A ．[1,1]-B ．[2,2]-C ．⎣⎦D ．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9．已知ABC 中，角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、且6,4sin 5sin a B C ==以下四个命题中正确的有（）A ．ABC 的面积的最大值为40B ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形C ．当2A C =时，ABC 的周长为15D ．当2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 10．下列叙述正确的是（）A ．频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小B ．做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率mn就是事件的概率 C ．百分率是频率，但不是概率D ．频率是不能脱离具体的n 次试验的试验值，而概率是确定性的不依赖于实验次数的理论值 11．已知,a b ∈R ，则（）A ．任意,a b 有2221()2a b a b +≥+B ．存在,a b 使得2221()2a b a b +<+ C ．任意,a b 有2212(1)a b a b ++≥+-D ．存在,a b 使得2212(1)a b a b ++<+- 12．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知12130,0S S ><，正确的选项有（） A ．10,0a d >< B ．5S 与6S 均为n S 的最大值 C ．670a a +> D ．70a <三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式(1)(1)n n a n =-⋅+，则99S =________． 14．已知3123,cos(),sin()24135πβαπαβαβ<<<-=+=-，则sin 2α=______．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴、y 轴上一点，且||1AB =，若点P 的坐标为(1，则||AP BP OP ++的取值范围是________． 16．已知函数11()f x x x x x=+--，关于x 的方程2()|()|0(,)f x a f x b a b ++=∈R 恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知函数2()2cos 21f x x x =-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）求满足()1f x =且[,]x ππ∈-的x 的集合． 18．（12分）已知四棱锥P ABCD -如图所示，//,,2,1,AB CD BC CD AB BC CD PD PAB ⊥====为等边三角形．（1）证明：PD ⊥平面PAB ；（2）求二面角P CB A --的余弦值． 19．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（1）求回归直线方程ˆˆy bxa =+，其中ˆˆ20,b a y bx =-=-；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本） 20．（12分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足24cos cos 24cos cos2C C C C +=⋅．（1）求角C 的大小；（2）若122CA CB -=，求ABC 面积的最大值． 21．（12分）设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知131,12a S ==．（1）求24a 与7S 的值；（2）对任意的正整数n ，不等式210n n S a λ-+≥恒成立，试求实数λ的取值范围． 22．（12分）已知函数3(1)log (1)f x a x +=+，且(2)1f =．（1）求()f x 的解析式；（2）已知()f x 的定义域为[2,)+∞．（i ）求()41xf +的定义域；（ⅱ）若方程()()412x xf f k k x +-⋅+=有唯一实根，求实数k 的取值范围．长沙市第一中学2020—2021学年度高二第一学期入学考试数学参考答案一、二、选择题三、填空题13．51- 14．5665-15．[5,7]16．(4,2)--【解析】由题意，易知函数()f x 定义域为{0}x x ≠，关于原点对称，又因为11()()f x x x f x x x-=-+---=--，所以函数()f x 为偶函数，只需研究(0,)+∞上根的情况，当1x >时，2()f x x=；当01x <≤时，()2f x x =，作出函数()f x 大致图象如下：结合图象可知，要使方程2()|()|0(,)f x a f x b a b ++=∈R 恰有6个不同实数解，令()(02)f x t t =<≤，则只需使方程20(,)t at b a b ++=∈R 恰有2个不同实数解，其中一根为2，另一根在区间(0,2)内，所以42,022b a a =--<--<，即a 的取值范围是(4,2)--．四、解答题17．【解析】（1）2()2cos 21cos 222sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭，令222,262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，得,36k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，则函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ； 5分（2）因为[,]x ππ∈-，所以11132,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦．因为()1f x =，所以1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由11132,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，可知：1175132,,,,666666x ππππππ+=--．所以2,,0,,33x ππππ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭． 10分 18．【解析】（1）证明：取AB 的中点E ，连接,PE DE ．2,1,AB BC CD PD PAB ====为等边三角形，,,//PE AB PE BE CD EB CD ∴⊥==，∴四边形BCDE 是平行四边形，2,//,DE CB DE CB AB ED ∴==∴⊥，,,PE ED E PE ED ⋂=⊂平面,PED AB ∴⊥平面PED ，PD ⊂平面,PED AB PD ∴⊥，222,DE PD PE PD PE =+∴⊥，,,AB PE E AB PE ⋂=⊂平面,PAB PD ∴⊥平面PAB ； 5分（2）由（1）知AB ⊥平面PED ，又AB ⊂平面,ABCD ∴平面PED ⊥平面ABCD ，过P 作PO ED ⊥于O ，平面PED ⊥平面ABCD ，平面PED 平面,ABCD ED PO =⊂平面PED ，则PO ⊥平面ABCD ，过O作OH CB ⊥于H ，连接PH ，PO ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，则PO BC ⊥，,,PO OH O PO OH =⊂平面POH ，故BC ⊥平面POH ，又PH ⊂平面POH ，故BC PH ⊥，则PHO ∠为二面角P CB A --的平面角．在Rt PED 中，PO ED PE PD ⋅=⋅，可得2PO =，在Rt PHO 中，1,2OH PH ===，故cos OH PHO PH ∠==，∴二面角P CB A --． 12分19．【解析】（1）由于11(88.28.48.68.89)8.5,(908483807568)8066x y =+++++==+++++=．所以ˆˆ80208.5250ay bx =-=+⨯=，从而回归直线方程为20250y x =-+． 5分（2）设工厂获得的利润为L 元，依题意得(20250)4(20250)L x x x =-+--+ 2203301000x x =-+- 220(8.25)361.25x =--+当且仅当8.25x =时，L 取得最大值．故当单价定位8.25元时，工厂可获得最大利润． 12分20．【解析】（1）由24cos cos 24cos cos2CC C C +=⋅；得24cos 2cos 12cos (1cos )C C C C +-=+；解得1cos 2C =，由0C π<<，所以3C π=． 5分（2）取BC 中点D ，则12||2CA CB DA -==．在ADC 中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅，即2242222a ab ab ab b ⎛⎫=+-≥=⎪⎝⎭，所以8ab ≤，当且仅当4,2a b ==时取等号，此时1sin 24ABCSab C ab ==，故ABC面积的最大值为 12分21．【解析】（1）因数列{}n a 是等差数列，所以32312S a ==，所以24a =，又11a =，所以公差3d =，所以21313(1)32,(132)22n n n na n n S n n -=+-=-=+-=，所以224737770,702a S ⋅-===． 5分（2）根据题意，对任意的正整数n ，不等式210n n S a λ-+≥恒成立，当1n =时，11210S a λ-+≥，得0λ≥，而0λ=时，得21,4n a a ≤=，显然不是恒成立，故0λ≠，所以0λ>，当2n ≥时，321n a n =->，所以1330n a n -=->，所以当2n ≥，不等式210n n S a λ-+≥恒成立等价于当263322,3(1)5111n n S n n n n a n n λ-≥≤==-++---恒成立，记2()3(1),21f n n n n =-+≥-，且*n ∈N ，则当2n ≥时，222332(1)()33(1)01(1)n n f n f n n n n n n n --⎛⎫⎡⎤+-=+--+=> ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦，即(1)()f n f n +>，所以2()3(1),21f n n n n =-+≥-且*n ∈N ，单调递增，min ()(2)5f n f ==，所以310λ≤，得310λ≥，所以所求的实数λ的取值范围为3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 12分 22．【解析】（1）令1(0)t x t =+>，则3()log f t a t =，所以3()log f x a x =，因为3(2)log 21f a ==，所以231log 3log 2a ==，所以3232()log log 3log log f x a x x x ==⨯=． 4分（2）（i ）因为()f x 的定义域为[2,)+∞，所以412x+≥，解得0x ≥，所以()41xf +的定义域为[0,)+∞． 6分（ii ）因为0,22,xx k k ≥⎧⎨⋅+≥⎩所以221x k ≥+在[0,)+∞恒成立，因为221x y =+在[0,)+∞单调递减，所以221x y =+的最大值为1，所以1k ≥．又因为()()412x xf f k k x +-⋅+=，所以()()22log 41log 2x xk k x +-⋅+=，化简得()2(1)2210x x k k -⋅+⋅-=，令2(1)x t t =≥，则2(1)10k t k t -⋅+⋅-=在[1,)+∞有唯一实数根，令2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，当1k =时，令()0g t =，则1t =，所以21x=，得0x =符合题意，所以1k =；当1k >时，2440k k =+->，所以只需(1)220g k =-≤，解得1k ≤，因为1k >，所以此时无解；综上，1k =． 12分。