用五点法作函数的图像
五点作图法课件
C 将 新疆 王新敞
y＝－sin2x
图象上的横坐标变为原来的
1
倍,纵坐标变为原来的相反数,
奎屯
2
即得到 y＝sinx 的图象
D 将 新疆 王新敞
y＝－3sin2x
图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的
1
倍，
奎屯
3
且变为相反数，即得到 y＝sinx 的图象
•五点作图法
•7
三、练习
2 将函数 新疆 王新敞
•3
二、知识点
2、五点法的应用，根据图象求函数解析式；
由函数 y=Asin(ωx+ )+b 的图象求其解析式，一般来说，如对所求 函数式中的 A、ω、 不加限制(如 A、ω的正负，角 的范围等)，那么
所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所
致)，因此这类问题多以 A>0, ω>0, | |< 形式出现，我们解这类题
y＝f(x)的图象沿
x
轴向右平移
，再保持图象上的纵坐标不变，
奎屯
3
而横坐标变为原来的 2 倍，得到的曲线与 y＝sinx 的图象相同，则 y＝f(x)是(C )
A
新疆 王新敞
y＝
sin(
2x＋
)
奎屯
3
B
新疆 王新敞
y＝
sin(
2x－
)
奎屯
3
2 C
新疆 王新敞
y＝
sin(
2x＋
)
奎屯
3
2 D
新疆 王新敞
T
ωx ＋ ：称为相位 新疆 王新敞
x＝0 时的相位 称为初相
奎屯
•五点作图法
第4讲 正余弦函数图像及其性质(知识点串讲)解析版
第4讲 正余弦函数图像及其性质 （沪教版2020必修二）【知识网格】知识梳理一1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π)0,(π )1,23(-π )0,2(π2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。
由正弦函数图像可知：（1）定义域：R（2）值域：[]1,1- ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin |≤x ， 即1sin 1≤≤-x ，也就是说，正弦函数的值域是1,1[-亦可由正弦图像直接得出。
（3）奇偶性：奇函数由x x sin )sin(-=-可知：x y sin =为奇函数，正弦曲线关于原点O 对称 （4）单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ； （5）单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ； （6）对称中心：（0,πk ）； （7）对称轴：2ππ+=k x（8）最值：当且仅当,22ππ+=k x y 取最大值1max =y ；当且仅当,232ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
（9）最小正周期：π2=T一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππ 都是这两个函数的周期对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2 注意：1.周期函数定义域M x ∈，则必有M T x ∈+, 且若0>T ，则定义域无上界；0<T 则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则)(x f 就不为周期函数;3.T 往往是多值的（如x y sin =中 ,4,2,2,4,ππππ--都是周期）周期T 中最小的正数叫做)(x f 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） 5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：（1）定义域：R （2）值域：[]1,1- （3）奇偶性：偶函数（4）单调递增区间：[]πππk k 2,2-，Z k ∈ （5）单调递减区间：[]Z k k k ∈+,2,2πππ （6）对称中心：（0,2ππ+k ）（7）对称轴：πk x =（8）最值：当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ； 当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
三角函数的图像和性质知识点及例题讲解
三角函数的图像和性质一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (,0) (23π,-1) (2,0)余弦函数y=cosx x [0,2]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (,-1) (23π,0) (2,1)二、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函 数 性 质例作以下函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求知足以下条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数概念：关于函数()y f x =，若是存在一个非零常数T ，使适当x 取概念域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做那个函数的周期。
注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一样称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。
广义五点作图法及其应用
6
广义五点作图法及其应用
一、五点作图法
湖南省沅江一中 王习波
1、定义：对于函数 y=Asin(ωx+φ)，我们把通过作出其在一个 周期内的五个关键点从而作出其简图的方法叫五点作图法，这五个点 包括三个平衡位置的点和一个高峰点、一个低谷点。
注意：不是作出函数 y=Asin(ωx+φ)在任意一个周期内的图象， 更不是任意的五个点。
3
4 4 12
我们可以作出其图象如下（有两个）：
x
−π
2π
5π
2π = 8π
11π
12
12
12
3 12
12
y
0
−A
0
A
0
1
y
0
A
0
−A
0
2
函数 f(x)=Asin(ωx+φ)图象 01
函数 f(x)=Asin(ωx+φ)图象 02
3
比照上面两个图知： A、f(x)的图象过点（0， 1 ）
2
――A 若不确定，得不出此结论。 B、f(x)在区间[ 5π ， 2π ]上是减函数
12
12
②利用函数 f(x)= Asinx 原点，得 (ωx+φ＝0，f(0)＝0)，即 ωx+φ
＝0，即 2 • −π +φ＝0 或 2 • 5π +φ＝0，得 φ＝ π 或 φ＝ −5π
12
12
6
6
③利用已知条件： − π ＜φ＜ π ，知：φ＝ π ∈[ − π ， π ]
2
2
6
22
故：函数 f(x)=Asin(2x+ π )
的一个关键点 P（a,b）（平衡点、高峰点、低谷点）和周期 T，我们 就可以通过向左右各平移 T 、 T 和 3T 来作出其余四个关键点，从而
正弦函数的图像(五点法)
1
0
x -1
0
x
1
-1
二、新知
在研究三角函数的图象和性质时，我们常用弧度制来度量角， 记为χ，表示自变量，用y表示函数值，于是正弦函数表示为
y=sinχ, χ∈Ｒ
y
1
0
p
2
π
3p
2π
x
2
-1
y=sinχ,x ∈[ 0, 2π ]
五点法作图 (0,0) (p,0) (2p,0)
y
( p ,1) 2
6
3
因此，换种思考路径，即采用平移线段的方法。
回忆三角函数线：
A'(-1,0)
B(0,1) y
P(cos,sin) N1
x
O M A(1,0)
B'(0,-1)
把单位圆12等分，可以得到对应于
2p 5p π 7p 4 p 3p 5 p
36
6323
y
0
11 p
6y
p pp
6 32 2π 的正弦线
小结：
作正弦函数图象的简图的 方法是：
“五点法”
正弦函数y=sinx的图象 （五点法）
正弦函数：我们常用弧度制来度量角，记为χ， 表示自变量，用y表示函数值，于是正弦函数 表示为y=sinχ, χ∈Ｒ
如何来作 正弦函数 的图象呢？
平移正弦线
思考：
时（都，Ⅱ有作）唯出做一相函的对数y值应图和的象它y的值对方，应法，s是i因n1此、p我列们表=1想2、/到2描,当点x而取3、si连n0线p。=任p60意..8给66p ,1) 2
1
x
0p
π
3p
2π
2
2
-1
三角函数的图像和性质
(ω>0)的最小正周期为π，则函数 ( π B．关于直线x＝ 对称 8 π D．关于点8 ，0对称 )
π 2π 解析：∵f(x)＝sin ωx＋4 的最小正周期为π，∴ ω ＝π，ω＝2， π π π 3π ∴f(x)＝sin 2x＋4 ．当x＝ 时，2x＋ ＝ ，∴A、C错误；当x 4 4 4
[即时应用] 求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤ 4的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， ． 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ ． 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
2．求三角函数单调区间的 2 种方法 (1)代换法： 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代 数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性 列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象 求它的单调区间．
[演练冲关] π 1．最小正周期为π且图象关于直线x＝ 对称的函数是( 3
π π B，因为sin2×3－6 ＝sin
π ＝1，所以选B． 2
答案：B
2．函数
π y＝cos4－2x的单调减区间为____________． π π y＝cos4－2x＝cos2x－4 得
解析：由
π 2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π(k∈Z)， 4 π 5π 解得 kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)． 8 8
π π π π 3 在 3，2 上单调递减知， ＝ ，∴ω＝ ． 2ω 3 2
五点法画正弦函数的图像
(1)y=-sinx; (2)y=1+sinx.
探究点一：用五点法画出函数y=sin(x+ )在区间[0,2 ]上的简图.
探究点二:教材第29页习题1—5，A组中第1题，B组中第1题.
※
当
堂
检
测
·
作
业
※
1.画出函数y=|sinx|在区间[-2 ,2 ]上的简图.
2.教材第29页习题1—5，A组中第2题.
3.教材第29页习题1—5，A组中第3题
★课题★5.1用五点法画正弦函数的图像编写人孙小平时间2014/11/2数y=sinx,x∈[0，2π]的图像，并能利用图像解决一些常见问题，
培养学生数形结合能力.
※
预
习
·
探
究
※
阅读教材（必修4）第23页至第26页，请解答下列问题：
1.教材上是用哪两种方法画出函数y=sinx,x [0,2 ]的图像的？并简述这两种方法的操作过程.
三角函数图像与性质知识点总结
函数图像与性质知识点总结一、三角函数图象的性质1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1 (π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π，－1 (2π，0)(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，0，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域 R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－2x .6、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.二、三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−→ 得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． .。
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将
角 与 终xx点的轴A余的作弦 正x轴线 半的“ 轴垂竖 成线立4，”角它[的把与直坐前线标面，轴所又向作过下的余平直弦移线线，交O过于1OAA1的′作，
那么 O1 A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就 把余弦线 O1 A“竖立”起来成为AA′，用同样的方 法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们 平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是 余弦函数图象上的点．]
解：按五个关键点列表
利用正弦函数的特征描点画图：
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【变形训练】
1、作出 y cos x, x 0, 2 的简图
解：按五个关键点列表
x
0
2
π
3
2π
2
cosx 1
0
-1
0
1
-cosx -1
0
1曲线连接起来.
y=cosx的图象. 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象 分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
-6 -5 -6 -5
-4 -3 -4 -3
-2 -
-2
-
y y=sinx
1
o
-1
y y=cosx
1
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把
角置诱x=x，导si的n则公x余的式O弦1图cM线o象s1与Ox向1OM左1sM按i平n长(逆移x度时 2相2针)单等方,还位，向可即方旋以得向转把余相2正弦同到弦函.O）函数1M根数1据位
用“五点法”确定三角函数图象的解析式
ｃ。ｓ（一｛）＝５ －．
轴上相邻两个交点之间的距离为号，可知号一 Ｔ，即
Ｔ一７【，故 ∞一 一２．下面我们用传统法和“五点法 ’’ 骤是：Ｔ一∞一 —Ａ一，（ｏ）．由（ ，０）ｘＣＦｉＮ， ￣，
来求 的 值 ．（并 把 传 统 方法 与“五点 法 ”比较 ）
弦函数图象上的点（ ，ｏ）同样可得．
Ｒ（其中Ａ＞０， ＞０，０＜ ＜詈）的图象与ｚ轴的
交点中，相邻两个交点之间的距离为要，且图象上一 擎，得 一一詈．再由＿，‘（号）一一号，得Ａ一 ．从
个最 低 点 为 Ｍ（ ，一 ２）．求 －厂（ｚ）的解 析 式 ．
而得，（ｚ）一 ｃ。ｓ ３ｘ－手），因此，（０）一
解 由最 低 点 是 Ｍ（ ，一 ２），可 得 Ａ 一２．由 ｚ
· ３４ ·
中学数 学月 刊
２０１０年第 １２期
用 “五 点 法 ＂确 定 三 角 函数 图 象 的解 析 式
陶 冶 （江 苏 省 常 熟 中 学 ２１５５００） 陈 新 （江 苏省常 熟市 中学 ２１５５００）
在 三 角 函数 图 象 的 教 学 中 ，有 一 类 由 图象 确 定 解 析式 的问 题经 常 困扰着 学 生 ．其 实 借 助 三角 函数 的 “五点 法 ”作 图 中 的五 个点 ，可 以解 决 这 类 问题 ． １ 例 说 “五 点 法 ”的 妙 用
的横￣ Ａ － ＇ ／ｒ一，这 个 最 高 点 应 该 对 应 Ｙ— ｓｉｎ ３２某 周
期 上 的 最 高 点 ．
（Ａ ｃ）－ 专
由“五点法”可知， 一詈对应着号＋２ｋｎ，走∈
一 告 （Ｄ）专 一寺ｒ…一 ＼
ｚ，故２叫×詈＋号一号＋２ｋ ，所以 一 １＋６尼．由 解 由图 中 轴 上 的
三角函数的图象与性质要点梳理五点法作图原理省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
k , k Z，f (x) 2sin(2x k π) 2sin 2x,
3
在
4
,0上为减函数,
f
(
x)
2 sin
2x,
k取奇数,
当k 1时, 2 .
3
题型四 三角函数旳值域及最值
(12分)已知函数f(x)=2asin(2x ) b
3
旳定义域为
0,
2
,函数旳最大值为1,最小值为
求下列函数旳定义域： （1）y=lgsin(cos x);(2)y= sin x cos x.
本题求函数旳定义域:(1)需注意对数 旳真数不小于零，然后利用弦函数旳图象求解； (2)需注意偶次根式旳被开方数不小于或等于零， 然后利用函数旳图象或三角函数线求解. 解 (1)要使函数有意义,必须使sin(cos x)>0. ∵-1≤cos x≤1,∴0<cos x≤1.
3
(2)求y 3 tan( x )的周期及单调区间.
64
（1）化为y sin(2x再求 )单, 调区间;
3
(2)先化为 y 3 tan(,x再求 )单调区间.
46
解 (1)由已知函数y sin(2x ), 欲求函数的单调
3
递减区间,只需求y sin(2x )的单调递增区间.
3
知能迁移1 求下列函数旳定义域：
(1) y lg(2sin x 1) 1 2 cos x;
lg(2sin x 1) tan x 1
(2) y
cos( x π )
.
28
解
(1)要使函数有意义,必须有
2sin x 1 1 2cos x
0 ,
0
即sin cos
x x
三角函数图像
D．纵坐标变为原来的 倍，横坐标变为原来的2倍
5．已知函数 的最小正周期为π，将 的图象向左平移| |个单位长度，所得图象关于y轴对称，则 的一个值是（）
A． B． C． D．
6．为得到函数 的图象，只需将函数y=sin x的图象（）
A．向左平移 个单位长度B．向右平移 个单位长度
D.y=2sin(2x- )
3．把函数 的图象向右平移 个单位得到的函数解析式为（）
A．y=sin x B．y=cos x C． D．
4．函数y=2sin2x的图象可看成是由y=sin x的图象按下列哪种变换得到的？（）
A．横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍
B．纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的 倍
C．向左平移 个单位长度D．向右平移 个单位长度
7.函数f(x)＝2sin ，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为()
A．{x|x＝4kπ－ π，k∈Z}B．{x|x＝4kπ＋ π，k∈Z}
C．{x|x＝4kπ－ ，k∈Z}D．{x|x＝4kπ＋ ，k∈Z}
8．函数 的图象为C，
①图象C关于直线 对称；②函数 在区间 内是增函数；③由y=3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C．
例3．已知函数 （ ， ， ），在同一周期内的最高点是 ，最低点为 ，求f(x)的解析式．
【变式1】已知函数 （A＞0，ω＞0， ）的图象的一个最高点为 ，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点（6，0），试求函数的解析式．
【变式2】如下图为正弦函数 的一个周期的图象，写出函数的解析式．
类型三：函数 的性质的综合运用
要点诠释：一般地，函数 的图象可以看作是用下面的方法得到的：
必修四三角型复合函数的图像与性质题型归纳学生版
三角型复合函数的图像与性质重难点题型归纳【知识点1 用五点法作函数()sin y A x ωϕ=+的图象】用“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取30,,,,222ππππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 【知识点2 由sin y x =得图象通过变换得到()sin y A x ωϕ=+的图象】 1.振幅变换：sin y A x x R =∈，(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的(横坐标不变)，它的值域[-A ，A]，最大值是A ，最小值是-A.若A<0可先作sin y A x =-的图象，再以x 轴为对称轴翻折.A 称为振幅.2.周期变换：函数()sin 01y x x R ωωω=∈>≠，且的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1ω倍(纵坐标不变).若0ω<则可用诱导公式将符号“提出”再作图.ω决定了函数的周期. 3.相位变换：函数()sin y x x R ϕ=+∈，(其中0ϕ≠)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时)平行移动ϕ个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).一般地，函数()sin()0,0y A x A x R ωϕω=+>>∈，的图象可以看作是用下面的方法得到的：(1) 先把sin y x =的图象上所有的点向左(ϕ>0)或右(ϕ<0)平行移动ϕ个单位； (2) 再把所得各点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1ω倍(纵坐标不变)； (3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍(横坐标不变). 【知识点3 正弦型函数和余弦型函数的性质】函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R ；（2）值域：[],A A -；（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出．三、题型分析(一) 五点法作图例1．（2019·石嘴山市第三中学高一月考）已知函数323y sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在766ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图象．（请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为)12π（2）请描述上述函数图象可以由函数sin y x =怎样变换而来？【变式训练1】．（2019·全国高三月考（理））把函数()2sin f x x =的图象向左平移π(0)2ϕϕ<<个单位，得到函数()y g x =的图象，函数()y g x =的图象关于直线π6x =对称，记函数()()()h x f x g x =⋅. （1）求函数()y h x =的最小正周期和单调增区间；（2）画出函数()y h x =在区间ππ[,]22-上的大致图象.(二) 函数图像变换例2．（2018·浙江高一期末）将函数f （x ）=sin （ωx +4π）（ω＞0）的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则函数f （x ）的最小正周期不可能是（ ） A ．9πB ．5π C ．πD ．2π例3．（2019·宁夏高一期末）要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度 【变式训练1】．（2019·浙江高二期末）将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图形向左平移ϕ个单位后得到的图象关于y 轴对称，则正数ϕ的最小正值是（ ） A ．3π B ．12πC ．56π D ．512π 【变式训练2】．（2019·安徽高二期末（理））已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C(三) 已知函数图像求()sin y A x ωϕ=+例4．（2019·广东高考模拟（理））把函数()y f x =的图象向左平移23π个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，并且()g x 的图象如图所示，则()f x 的表达式可以为（ ）A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭例5．（2017·浙江高二期中）函数（，）的部分图象如图所示，则_______，________.【变式训练1】．（2016·浙江高考模拟（理））函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后得到，得到的函数图象对称轴为 ，函数解析式为 ．(四) 函数()sin y A x ωϕ=+综合应用例6．（2019·湖北高二月考）已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其相邻两条对称轴之间的距离为2π，将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，所得函数的图象关于y 轴对称，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于直线7x =π对称C ．()f x 在区间,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增例7．（2018·浙江诸暨中学高一月考）已知函数()sin()(0,0,)2f x A wx A w πϕϕ=+>><在一个周期内的简图如图所示，则函数的解析式为__________，方程()f x m =（其中12m <<）在[0,3]π内所有解的和为__________．【变式训练1】．（2019·甘肃兰州一中高一月考）已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,0||)2A πωϕ>><<)的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π, 且图象上一个最低点为5(,2)6M π-.(1) 求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2) 将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域.四、迁移应用1．（2019·山西高二期中（文））若0ω>，函数cos()3y x πω=+的图象向右平移3π个单位长度后关于原点对称，则ω的最小值为（ ） A ．112B ．52C ．12D ．322．（2019·宁夏高一期末）若函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象上所有的点向右平移6π个单位长度后得到的函数图象关于,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ϕ的值为（ ） A ．πB ．34π C ．56π D ．23π 3．（2019·安徽高二期末）函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=4．（2019·安徽高二期末（理））已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C5．（2019·辽宁高一期中）已知函数()2cos 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数()2cos 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)m m >个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数()g x 的图象关于y 轴对称，求m 的最小值.6（2018秋•海淀区期末）已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求T 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数(),66f x x ππ⎛⎫⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的简图，并直接写出函数()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．8.（2018秋•温州期末）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是2π，若将f （x ）的图象先向右平移6π个单位，所得函数()g x 为奇函数，函数()g x 的最大值为2．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间；（3）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域．。
三角函数的图象与性质要点梳理五点法作图原理
5.（2009·四川文，4）已知函数f(x)=sin( x )
2
(x∈R)，下面结论错误的是（D ）
A.函数f(x)的最小正周期为2
B.函数f(x)在区间
0
,
2
上是增函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
解析 ysix n ()co x, sT2 ,A正确;
4
4
所以定义域为 { x|2 k x5 2 k ,k Z }.
44
探究提高 (1)对于含有三角函数式的(复合)函数 的定义域，仍然是使解析式有意义即可. (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等 式(或等式). (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单 位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也 利用数轴.
质
y=cos x
定义域
R
R
y=tan x
{x| xk,
2
(k∈Z)
图象
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
对称性
对称轴: xk 对称轴:xk 对称中心:
(k Z)
2
；
对称中心:
(kZ) ；对称中
心:
(k ,0) 2
( k ,0) 2
(k Z)
(k,0)k(Z)
4 的不等式确定
2k x 2k 3 (k Z),
24
2
即 2k 3 x 2k 7 (k Z),
4
4
2k x 2k (k Z),
2
4
2
即 2k x 2k 3 (k Z).
正弦函数的图像(五点法)
6
3
因此，换种思考路径，即采用平移线段的方法。
回忆三角函数线：
A'(-1,0)
B(0,1) y
P(cos,sin) N1
x
O M A(1,0)
B'(0,-1)
把单位圆12等分，可以得到对应于
2p 5p π 7p 4 p 3p 5 p
36
6323
y
0
11 p
6y
p pp
6 32 2π 的正弦线
如下图所示. y
1
0 p π 3p 2π
x
2
2
-1
例1 用五点法作函数y=sinx+1, x ∈ (0,2p) 上的图象
x
0
p
2
p
3p 2p
2
Sinx 0 1 0 －1 0
Sinx+1 1 2 1 0 1
y
2
1
x
0
p
p
3p
2p
2
2
－1
例题分析
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。
正弦函数y=sinx的图象 （五点法）
正弦函数：我们常用弧度制来度量角，记为χ， 表示自变量，用y表示函数值，于是正弦函数 表示为y=sinχ, χ∈Ｒ
如何来作 正弦函数 的图象呢？
平移正弦线
思考：
时（都，Ⅱ有作）唯出做一相函的对数y值应图和的象它y的值对方，应法，s是i因n1此、p我列们表=1想2、/到2描,当点x而取3、si连n0线p。=任p60意..8给66p3出不一p易个2描x的点值，，
( 3p ,1) 2
1
x
0p
π
3p
正弦函数五点作图法的五个点
正弦函数五点作图法的五个点
利用正弦函数五点作图法可以更加直观地描述出正弦函数的变化特征，比较适用于新手学习正弦函数的概念。
大家都知道正弦函数的定义如下：它在极坐标系中是一条往着极点周围转动的准半圆形曲线，它具有从正向负转折、从正负回到正值的振荡特性，与普通函数不同。
那么如何通过正弦函数五点作图法来描述正弦函数的这些特性呢？
正弦函数五点作图法主要是根据正弦函数的公式：$y=\sin x$，取其中的点，比如$(0,0)、(\frac{\pi}{2},1)、(\pi,0)、(\frac{3\pi}{2},-1)、(2\pi,0)$，然后用图形的方式绘制五点，连接起来，这便得到了正弦函数的图形。
如果按照抛物线的形态，用圆把五点连接起来，它就是一条到极点周围转动的准半圆形曲线，完全符合正弦函数的定义。
有时候，为了更加清晰地描述出正弦函数，将五点沿坐标系中心轴放大，以便把视觉上的振荡性体现出来，从而更明显地看出其从正负向转折和从正负又回到正值的特性。
另外，在五点作图法的基础上，我们岂不可以更进一步继续取点，用曲线的方式将函数的变化特征进一步描绘出来？当然，即便如此，正弦函数五点作图法依然是新手学习正弦函数理解的最佳途径。
综上，正弦函数五点作图法无疑是我们理解正弦函数的一种有效的方式。
此方法简单易操作，清晰地把正弦函数的变化特征表现出来，是教学中应用最为广泛的方法之一，有助于初学者熟练掌握正弦函数的定义与公式，有助于明确了解它的变化规律，让学习变得简单而有效。