(江苏版)2019年高考数学一轮复习专题10.2 统计与统计案例(练).doc

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2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十章计数原理10-3 含答案精品

§10.3 二项式定理考情考向分析以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式、通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以解答题的形式进行考查，难度为中档．1．二项式定理2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n＋C m n . (2)C m n ＝C n－mn.(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .知识拓展二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C r n an －r b r是二项展开式的第r 项．( × ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( √ )(4)(a －b )n 的展开式第r ＋1项的系数为C r n an －r b r .( × ) (5)(x －1)n 的展开式二项式系数和为－2n .( × ) 题组二教材改编2．[P32练习T3](1＋2x )5的展开式中，x 2的系数为________．答案 40解析 T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝C r 52r x r ，当r ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40. 3．[P36习题T10]若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．答案 20解析二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T r ＋1＝C r 6·x 6－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 6x 6－2r，当6－2r ＝0，即当r ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.4．[P36习题T13]若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为________．答案 8解析令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8. 题组三易错自纠5．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是________．答案 (－1)m －1C m －1n解析 (x －y )n 二项展开式第m 项的通项公式为T m ＝C m －1n(－y )m －1x n －m ＋1，所以系数为C m －1n(－1)m －1. 6．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．答案 6解析由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，11)．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.7．(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为________．答案 6解析二项展开式的通项是T r ＋1＝C r 4(xy )4－r·(－y x )r＝(－1)r C r 442rx-22r y+，令4－r 2＝2＋r2＝3，解得r ＝2，故展开式中x 3y 3的系数为(－1)2C 24＝6.题型一二项展开式命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数典例 (1)(2017·全国Ⅰ改编)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2项的系数为________．答案 30解析因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4.因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2项的系数为30. (2)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为________．答案 30解析方法一利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2项的系数为C 25C 13＝30.方法二利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数典例 (1)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a ＝________. 答案 2解析由题意，得⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10x 10－2r ，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)，x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，解得a ＝2.(2)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5项的展开式中x 5项的系数为－80，则实数a ＝________. 答案－2 解析∵T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r⎝⎛⎭⎫1x r ＝a 5－r C r 55102r x -，∴10－52r ＝5，解得r ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2. 思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅲ改编)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________．答案 40解析因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40， x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80. 所以x 3y 3的系数为80－40＝40.(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7项的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 答案 12解析设通项为T r ＋1＝C r 10x10－r a r，令10－r ＝7， ∴r ＝3，∴x 7项的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.题型二二项式系数的和与各项的系数和问题典例 (1)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________. 答案 3解析设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. (2)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．答案 1或－3解析令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.(3)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．答案 255解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r n(x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝C r n (－1)r x2n－3r，当r ＝5时，2n －3r ＝1，∴n ＝8. 对(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝28＝256. 又当x ＝0时，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练 (1)已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为________．答案 2解析由条件知，2n＝32，即n ＝5，在通项公式T r ＋1＝C r 5(x )5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝C r 5a r 1556rx -中，令15－5r ＝0，得r ＝3，∴C 35a 3＝80，解得a ＝2.(2)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝________. 答案 1 024解析令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.题型三二项式定理的应用典例 (1)设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝________. 答案 12解析 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ，∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a 能被13整除， ∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12. (2)设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017＝________. 答案－1＋i解析 x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017 ＝(1＋x )2 017－1＝i 2 017－1＝i －1. 思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．(2)利用二项式定理解决整除问题的思路 ①观察除式与被除式间的关系； ②将被除式拆成二项式； ③结合二项式定理得出结论．跟踪训练 (1)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是________．答案 1解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.(2)若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝________.答案－1解析当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018，即a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1.二项展开式的系数与二项式系数典例 (1)若⎝⎛⎭⎫x －3x n 展开式的各项系数绝对值之和为 1 024，则展开式中含x 项的系数为________．(2)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4项的系数是－35，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.现场纠错解析 (1)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎫x －3x n 展开式的各项系数绝对值之和为4n ＝22n ＝1 024＝210，∴n ＝5. 故⎝⎛⎭⎫x －3x 5展开式的通项为T r ＋1＝(－3)r ·C r 5·532rx -，令5－3r 2＝1，得r ＝1，故展开式中含x 项的系数为－15. (2)∵(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令x ＝0，∴a 0＝(－m )7.又∵展开式中x 4项的系数是－35， ∴C 37·(－m )3＝－35， ∴m ＝1，∴a 0＝(－m )7＝－1.在(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7中，令x ＝1，得0＝－1＋a 1＋a 2＋…＋a 7，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1. 答案 (1)－15 (2)1纠错心得和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和．1.⎝⎛⎭⎫x y －yx 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答) 答案 70 解析T r ＋1＝C r 8·⎝⎛⎭⎫x y 8－r ·⎝⎛⎭⎫－y x r ＝(－1)r ·C r 8·1632r x -·382r y -，令⎩⎨⎧16－3r2＝2，3r －82＝2，得r ＝4.所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4·C 48＝70.2．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为________．答案 15解析因为(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，所以x 2(1＋x )6的展开式中含x 4的项为C 26x 4＝15x 4，所以系数为15.3．使⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 3n (n ∈N *)展开式中含有常数项的n 的最小值是________．答案 5解析 T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ⎝⎛⎭⎫12x 3r＝12r C r n x 2n －5r ，令2n －5r ＝0，得n ＝52r ，又n ∈N *，所以n 的最小值是5.4．(1＋3x )n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则x 4的二项式系数为________．答案 35解析 ∵T r ＋1＝C r n (3x )r ＝3r C r n x r ，由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ＝7，因此，x 4的二项式系数为C 47＝35.5．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________．答案 15解析设展开式中的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )6－r ·(－2－x )r ＝C r 6·(－1)r ·212x －2rx·2－rx＝C r 6·(－1)r ·212x －3rx，∵12x －3rx ＝0恒成立，∴r ＝4， ∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 6．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4项的系数为15，则a 的值为________．答案 4解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4项的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.7．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝________. 答案 32(3n －1)解析在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n －1)． 8.⎝⎛⎭⎫xy －1x 6展开式中不含x 的项的系数为________．(用数字作答) 答案－20解析 ⎝⎛⎭⎫xy －1x 6展开式中不含x 的项为C 36(xy )3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－20y 3，故不含x 的项的系数为－20. 9．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.(用数字作答) 答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r·(－1)r ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.10．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则log 2a ＋log 2b ＝________. 答案 0解析 ⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，则r ＝3，∴⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为C 36a 3b 3＝20，∴ab ＝1，∴log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )＝log 21＝0.11.设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎫1＋xa n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.答案 3解析根据题意，知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，结合二项式定理，得⎩⎨⎧C 1n ·1a＝3，C 2n·1a 2＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3a ，n (n －1)2a 2＝4，解得a ＝3或a ＝0(舍)． 12．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.(用数字作答) 答案 364解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.13．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为________．答案 40解析令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r. 令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3·22·C 35＝80－40＝40. 14.⎝⎛⎭⎫2x ＋3y －49的展开式中，不含x 的各项系数之和为________．答案－1解析 ⎝⎛⎭⎫2x ＋3y －49的展开式中不含x 的项为 C 99(2x )0⎝⎛⎭⎫3y －49＝⎝⎛⎭⎫3y －49，令y ＝1，得各项系数之和为(3－4)9＝－1.15．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.答案 120解析因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.16．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项．解易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n . 由题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n ，可得n ＝8. (1)设展开式中的有理项为T r ＋1，由T r ＋1＝C r 8(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r 81634r x -， ∴r 为4的倍数，又0≤r ≤8，∴r ＝0,4,8. 故有理项为T 1＝⎝⎛⎭⎫120C 0816304x-⨯＝x 4， T 5＝⎝⎛⎭⎫124C 4816344x-⨯＝358x ， T 9＝⎝⎛⎭⎫128C 8816384x -⨯＝1256x 2. (2)设展开式中T r ＋1项的系数最大，则⎝⎛⎭⎫12r C r 8≥⎝⎛⎭⎫12r ＋1C r ＋18且⎝⎛⎭⎫12r C r 8≥⎝⎛⎭⎫12r －1C r －18，可得r ＝2或r ＝3. 故展开式中系数最大的项为T 3＝⎝⎛⎭⎫122C 2816324x -⨯＝752x ，1 23C3816334x-⨯＝774x.T4＝⎝⎛⎭⎫。

高考数学一轮复习《统计》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《统计》练习题（含答案）一、单选题1．已知条件p ：11x -<<，q ：x >m ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞B ．(),1-∞-C ．()1,0-D ．(],1-∞-2．下表为随机数表的一部分：08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 77402 43236 00210 45521 64237已知甲班有60位同学，编号为00~59号，规定：利用上面的随机数表，从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，则抽到的第8位同学的编号是（） A ．11B ．15C ．25D ．373．一组数据的方差为()20S S ≥，将该组数据都乘以2，所得到的一组新数据的标准差为（）A ．22S B ．SC ．2SD ．2S4．甲、乙两所学校的男女生比例如图所示，已知甲校学生总数为1500，乙校学生总数为1000，下列结论错误的是（）A ．甲校女生比乙校女生多B ．乙校男生比甲校男生少C ．乙校女生比甲校男生少D ．甲校女生比乙校男生少5．某校共有学生3000人，为了解学生的身高情况，用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为100的样本，其中高一抽取40人，高二抽取30人，则该校高三学生人数为（） A ．600B ．800C ．900D ．12006．设某高中的男生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据()(12)i i x y i n =,，，，，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8580.71y x =-，则下列结论中不正确的是（） A ．y 与x 有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(),x yC ．若该高中某男生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该高中某男生身高为170cm ，则可断定其体重必为63.79kg 7．x 是12100,,,x x x 的平均值，5为4120,,,x x x 的平均值，10为4142100,,,x x x 的平均值，则x =（） A ．8B ．9C ．15D ．1528．某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（）． A ．0.45B ．0.62C ．0.7D ．0.769．某样本点)()(,1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的经验回归方程为ˆ0.50.7yx =+，当8x =时，y 的实际值为4.5，则当8x =时，预测值与实际值的差值为（）． A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.410．若数据9，m ，6，n ，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，21m -，17，21n -的平均数和方差分别为（） A ．13，4B ．14，4C ．13，8D ．14，811．2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A ．甲的化学成绩领先年级平均分最多.B ．甲有2个科目的成绩低于年级平均分.C ．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.D ．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）（1）中位数为3，众数为2 （2）均值小于1，中位数为1（3）均值为3，众数为4 （4）均值为2 A ．（1）（3）B ．（3）（4）C ．（2）（3）D ．（2）（4）二、填空题13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为20，则抽取的样本容量为______.14．已知具有线性相关的变量x 、y ，设其样本点为()(1,2,,,8)i i i A x y i =，回归直线方程为1ˆ2yx b =+，若128(6,2)OA OA OA +++=(O 为原点），则b =_______.15．已知一组数据按顺序排列为：12，16，20，n ，46，51，58，60.若这组数据的第30百分位数的两倍与这组数据的第50百分位数相等，则n 的值为___________.16．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中的数据得线性回归方程为y bx a =+，其中20b =-，预测当产品价格定为9.5(元)时，销量约为__________件．三、解答题17．某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：h ）的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在(]12,16内的人数为92．(1)求n 的值；(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）．(3)如果计划对参与主题教育活动时间在(]16,24内的党员干部给予奖励，且在(]16,20，(]20,24内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率．18．由于疫情影响，今年我们学校开展线上教学，高一年级某班班主任为了了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据（取整数）整理后，绘制出如图所示频率分布直方图，已知从左到右各个小组的频率分别是0.15，0.25，0.35，0.20，0.05，则根据直方图所提供的信息：（1）这一天上网学习时间在100~119分钟之间的学生有多少人？（2）估计这40位同学的线上平均学习时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）以及中位数分别是多少？（精确到0.1）（3）如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天的上网学习时间，这样推断是否合理？为什么？19．省政府坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，落实全国、全省教育大会部署，坚持社会主义办学方向，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进育人方式变革，引导全社会树立科学的教育质量观和人才培养观，切实减轻有损中小学生身心健康的过重学业负担，遵循教育教学规律，促进中小学生健康成长，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．从某市抽取1000名一年级小学生进行调查，统计他们每周做作业的时长（单位：小时），根据结果绘制的频率分布直方图如下：（1）根据频率分布直方图，求所有被抽查小学生每周做作业的平均时长和中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）①为了进一步了解，现采用分层抽样的方法从[8,10]和[10,12]组中抽取50名学生，则两组各抽取多少人？②再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会．现从参加座谈会的5名学生中随机抽取两人发言，求[8,10]小组中恰有2人发言的概率？20．为了调查某地区高中女生的日均消费情况，研究人员随机抽取了该地区5000名高中女生作出调查，所得数据统计如下图所示．(1)求a 的值以及这5000名高中女生的日均消费的平均数（同一组数据用该组区间的中间值代替）；(2)在样本中，现按照分层抽样的方法从该地区消费在[)15,20与[)20,25的高中女生中随机抽取9人，若再从9人中随机抽取3人，记这3人中消费在[)15,20的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望．21．道德与法律的联系：法律､道德都是行为规范，都是为规范人们的行为而规定的行动准则.1.法律需要道德的奠基和撑持；2.道德的实施需要法律的强制保障.某校进行了一次道德与法律的相关测试（满分：100分），并随机抽取了50个统计其分数，得到的结果如下表所示：成绩/分 [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[)80,100人数/个 44102210(1)若同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这次测试的平均分和中位数（所得结果四舍五入保留整数）；(2)假设处于[)20,40的4个人的成绩分别为20，26，35，38，求表中成绩的10%分位数； (3)以频率估计概率，若在这个学校中，随机挑选3人，记3人的成绩在[)80,100间的数量为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X .22．某校从高三年级学生中随机抽取100名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中x 的值；(2)估计这组数据的平均数；(3)若成绩在[)50,60内的学生中男生占40%.现从成绩在[)50,60内的学生中随机抽取2人进行分析，求2人中恰有1名女生的概率.23．某校从高三学生中选取了50名学生参加数学质量检测，成绩（单位：分）分组及各组的频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．(1)列出频率分布表；(2)画出频率直方图及频率折线图．24．某农业科学研究所为检验某农作物种子的培育有效率，进行了如下试验：一是对该农作物的10000粒种子进行培育，发现有20粒种子未发芽；二是将未进行培育的该农作物的2500粒种子种植在5块试验田中，各试验田种植的种子数及未发芽数如下表：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）在上述试验下，若以1nN-表示该农作物种子的培育有效率，其中n 为进行培育的10000粒种子的未发芽数，N 为依据上述回归方程估算的未进行培育的10000粒种子的未发芽数，请估计该农作物种子的培育有效率（结果保留3位有效数字）．参考公式；在回归方程ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-参考答案1．D2．A3．D4．D5．C6．D7．A8．D9．B10．C11．A12．D 13．7014．18-##-0.12515．34 16．6017．（1）由已知可得，0.25(0.02500.04750.05000.0125)0.1150a =-+++=．则0.1150492n ⨯⨯=，得922000.11504n ==⨯．（2）设中位数为x ，则0.050040.01254(16)0.11500.5x ⨯+⨯+-⨯=，得13.83x ≈．（3）按照分层抽样的方法从(16，20]内选取的人数为0.050540.05000.0125⨯=+，从(20，24]内选取的人数为0.0125510.05000.0125⨯=+．记二等奖的4人分别为a ，b ，c ，d ，一等奖的1人为A ，事件E 为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”．从这5人中随机抽取2人的基本事件为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a A ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b A ，(,)c d ，(,)c A ，(,)d A ，共10种，其中2人均是二等奖的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d ，共6种，由古典概型的概率计算公式得()63105P E ==． 18．（1）因为频数=样本容量⨯频率，一天上网学习时间在100119分钟之间的学生所占频率为0.35，所以一天上网学习时间在100~119分钟之间的学生人数为400.3514⨯=（人）（2）40位同学的线上学习时间估计值为：0.1569.90.2589.90.35109.90.20129.90.05149.9104.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分钟在中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的，设在99.9~119.9靠近左侧长度为x ,则0.15+0.25+0.350.5x =解得0.27x ≈；所以中位数估计值是99.9+0.27=100.17100.2≈（3）因为该样本的选取只在高一某班，不具有代表性，所以这样推断不合理. 19．（1）设抽查学生做作业的平均时长为x ，中位数为y ，0.0510.130.2550.370.1590.1110.0513 6.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 0.050.10.250.15(6)0.5y y =+++⨯-=，解得203y =即抽查学生做作业的平均时长为6.8，中位数为203．（2）①[8,10]组的人数为10000.15150⨯=人，设抽取的人数为a ，[]10,12组的人数为10000.1100⨯=人，设抽取的人数为b ，则50150100250a b ==，解得30a =，20b = 所以在[8,10]和[]10,12两组中分别抽取30人和20人，②再抽取5人，其中[8,10]和[]10,12两组中分别抽取3人和2人，将[8,10]组中被抽取的工作人员标记为1A ，2A ，3A ，将[]10,12中的标记为1B ，2B ．设事件C 表示从[8,10]小组中恰好抽取2人，则抽取的情况如下：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B 共10种情况；其中在[8,10]中恰好抽取2人有3种，则3()10P C =． 20．（1）由题意得，()20.040.080.0651a +++⨯=，解得0.01a =，故所求平均数为17.50.427.50.332.50.0537.50.0524.25⨯0.2+22.5⨯+⨯+⨯++=（元）；（2）由题意得，消费在[)15,20，[)20,25的高中女生分别有3人和6人，故X 的可能取值为0，1，2，3，∴()6033395021C C P X C ===，()21633915128C C P X C ===，()1263393214C C P X C ===，()0363391384C C P X C ===，故X 的分布列为：∴()515310123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；故答案为：1. 21．(1)估计这次测试的平均分为1043045010702290106250x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）；设这次测试的中位数为0x ，显然()060,80x ∈，则060441022200.550x -+++⋅=，解得066x ≈（分）. 即估计这次测试的中位数为66.(2)由于5010%5⨯=，所以表中成绩的10%分位数为2026232+=. (3)X 所有可能取值为0，1，2，3.由表中数据可知，任意挑选一人，成绩在[)80,100间的概率为101505=. 所以()346405125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21341481C 55125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()122341122C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31135125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故X 的分布列为故X 的数学期望()6448121301231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22．(1)由频率分布直方图得()0.0050.0350.0300.010101x ++++⨯=，解得0.020x =，所以图中x 的值是0.020.(2)由频率分布直方图得这组数据的平均数： (550.005650.020750.03585x =⨯+⨯+⨯+⨯)0.030950.0101077+⨯⨯=，所以这组数据的平均数为77.(3)数学成绩在[)50,60内的人数为0. 005101005⨯⨯=(人)，其中男生人数为540%2⨯=(人)，则女生人数为3人，记2名男生分别为1A ，2A ，3名女生分别为1B ，2B ，3B ，从数学成绩在[)50,60内的5人中随机抽取2人进行分析的基本事件为：121112132122A A A B A B A B A B A B ,,,,,,23121323A B B B B B B B ,,,，共10个不同结果，它们等可能，其中2人中恰有1名女生的基本事件为111213212223,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共6种结果，所以2人中恰有1名女生的概率为为63105=. 23．（1）解：频率分布表如下：（2）频率直方图及频率折线图如图所示．24． (1)依题意，3004005006007005005x ++++==，2466755y ++++==， 513002400450066006700713700ii i x y ==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=∑， 52222221(34567)100001350000i i x==++++⋅=∑，于是得512252113700550051200ˆ0.01213500005500100000i ii i i x y nx y b x nx==-⋅-⋅⋅====-⋅-∑∑，ˆˆ50.0125001ay bx =-=-⨯=-，所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.0121yx =-； (2)由(1)知，估计未进行培育的10000粒种子的未发芽数N 约为：ˆ0.012100001119y =⨯-=，而已培育的10000粒种子有20粒种子未发芽，即20n =，所以该农作物种子的培育有效率为209910832119119-=≈。

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第10章概率、统计和统计案例第1讲(含答案解析)

[学生用书P273(单独成册)]一、选择题1．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件解析：选B ．因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件．故选B ．2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0．95B ．0．97C ．0．92D ．0．08解析：选C ．记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0．92．3．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A ．110B ．310C ．710D ．35解析：选C ．“取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P (A )＝310．因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710．4．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1．49元，1．31元，2．19 元，3．40元，0．61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )A ．12B ．25C ．34D ．56解析：选B ．设事件A 为“甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元”，甲、乙两人抢到红包的所有结果为{1．49，1．31}，{1．49，2．19}，{1．49，3．40}，{1．49，0．61}，{1．31，2．19}，{1．31，3．40}，{1．31，0．61}，{2．19，3．40}，{2．19，0．61}，{3．40，0．61}，共10种情况．其中事件A 的结果一共有4种情况，根据古典概型概率计算公式，得P (A )＝410＝25，即甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是25．故选B ．5．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( ) A ．15B ．25C ．16D ．18解析：选B ．如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25．6．已知集合M ＝{1，2，3，4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．18解析：选C ．易知过点(0，0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14．二、填空题7．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35．答案：358．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，若红球有21个，则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为1－0．42－0．28＝0．3．设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n ，故n ＝15．答案：159．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率为________．解析：将2名男生记为A 1，A 2，2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1，A 2A 1共12种情况，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2这4种情况，则其发生的概率为412＝13．答案：1310．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N －表示“A 1和B 1全被选中”，由于N －＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N －)＝212＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N －)＝1－16＝56．答案：56三、解答题11．如图，从A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(1)试估计(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0．44． (2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为(3)设A 1，A 2121，B 2L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0．1＋0．2＋0．3＝0．6，P (A 2)＝0．1＋0．4＝0．5，因为P (A 1)＞P (A 2)，所以甲应选择L 1 ．同理，P (B 1)＝0．1＋0．2＋0．3＋0．2＝0．8， P (B 2)＝0．1＋0．4＋0．4＝0．9，因为P (B 1)＜P (B 2)，所以乙应选择L 2．12．根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于等于150时，可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市2017年10月上旬的空气质量指数情况：(1)(2)一外地游客在10月上旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率．解：(1)该试验的基本事件空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，基本事件总数n ＝10．设事件A 为“市民不适合进行户外活动”，则A ＝{3，4，9，10}，包含基本事件数m ＝4．所以P (A )＝410＝25，即10月上旬市民不适合进行户外活动的概率为25．(2)该试验的基本事件空间Ω＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)}，基本事件总数n ＝9，设事件B 为“适合连续旅游两天的日期”，则B ＝{(1，2)，(5，6)，(6，7)，(7，8)}，包含基本事件数m ＝4，所以P (B )＝49，所以适合连续旅游两天的概率为49．1．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“”表示未购买．(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0．2．(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0．3．(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0．2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0．6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0．1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．2．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10个青蒿人工种植地，得到如下结果：(2)从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取2个，求这2个人工种植地的综合指标ω均为4的概率．解：(1)计算10个青蒿人工种植地的综合指标，可得下表：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指标1446245353由上表可知，长势等级为三级的种植地只有A1一个，其频率为110，用样本的频率估计总体的频率，可估计这些种植地中长势等级为三级的个数约为180×110＝18．(2)由(1)可知，长势等级是一级的青蒿人工种植地有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个，从中随机抽取2个，所有的可能结果为(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A6)，(A2，A7)，(A2，A9)，(A3，A4)，(A3，A6)，(A3，A7)，(A3，A9)，(A4，A6)，(A4，A7)，(A4，A9)，(A6，A7)，(A6，A9)，(A7，A9)，共计15个，综合指标ω＝4的有A2，A3，A6，共3个，则符合题意的可能结果为(A2，A3)，(A2，A6)，(A3，A6)，共3个，故所求概率P＝315＝1 5．。

江苏省2019届高三数学一轮复习备考试题：统计(含答案解析)

江苏省2019年高考一轮复习备考试题统计一、填空题 1、（2019年江苏高考）在底部周长]130,80[ 的树木进行研究，频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.2、（2019，结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为。

3、（2019年江苏高考）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．4、（2019届江苏南京高三9月调研）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 ▲ 名学生．5、（2019届江苏南通市直中学高三9月调研）某大学共有学生5600人，其中专科生1300人，本科生3000人，研究生1300人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为280的样本，则抽取的本科生人数为 ▲ ．6、（南京市2019届高三第三次模拟）某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 ▲7、（苏锡常镇四市2019届高三5月调研（二））样本容量为100的频率分布直方图如右图所示，由此估计样本数据落在[6，10]内的频数为 ▲8、（南京、盐城市2019届高三第二次模拟（淮安三模））某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有▲．9、（2018江苏百校联考一）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人．10、（2018南通二模）从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为▲．11、（苏锡常镇四市2019届高三3月调研（一））一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别10,20，2；如下：(](]60,70，2．则样本在(]50,60，4；(]10,50上的频率是▲．20,30，3；(]40,50，5；(]30,40，4；(]12、（南京、盐城市2019届高三第一次模拟）若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差2s =13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,a a ，则12,a a 的大小关系是_____________(填12a a >，21a a >，12a a =)．14、甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_____________，气温波动较大的城市是____________.15、某单位为了了解用电量y 度与气温C x 0之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并由表中数据得线性回归方程a bx yˆ+=中2b -=，预测当气温为4C - 时，用电量的度数约为____▲____.二、解答题1(1)从(2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为113y x =+与1122y x =+，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好.2．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?3.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[)60,50，[)70,60…[]100,90后画出如下部分．．频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出物理成绩低于50分的学生人数； (2)估计这次考试物理及格率（60分及以上为及格）(3) 从物理成绩不及格的学生中任选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．参考答案一、填空题1、242、25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S3、154、325、1506、307、328、3009、25 10、76． 11、710 12、26513、21a a > 14、乙，乙 15、68二、解答题1、【解】（1）从x,y 各取一个数组成数对(x ,y)，共有25对，……………………………2分其中满足10≥+y x 的有)5,8(),4,8(),3,8(),2,8(),5,7(),4,7(),3,7(),5,6(),4,6(，共9对…5分故所求概率为259=P ，所以使10≥+y x 的概率为259．…………………………… 7分（2）用131+=x y 作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为 37)5311()4310()33()22()134(222221=-+-+-+-+-=S ．………………………10分用2121+=x y 作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为 21)529()44()327()22()11(222222=-+-+-+-+-=S ．………………………12分12S S < ，故用直线2121+=x y 拟合程度更好．……………………………14分2、解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， ………………2分所以 43()1105P A =-=．………………………………………………4分答：略． ………………………………………………………………5分（2）由数据，求得12,27x y ==．……………………………………………7分由公式，求得52b =，3a y bx =-=-． ………………………………9分所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32y x =-． …………………………10分（3）当x=10时，5ˆ103222y =⨯-=，|22－23|＜2；………………………12分同样，当x=8时，5ˆ83172y =⨯-=，|17－16|＜2．……………………14分所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……………………15分3、解：（1）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为： 1.010)005.0025.003.02015.0(11=⨯+++⨯-=f所以低于50分的人数为61.060=⨯（人）………………………………………….5分（2）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++*=所以，抽样学生成绩的合格率是75%.于是，可以估计这次考试物理及格率约为75%……………………………………9分. （3）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9。

高三数学一轮精品复习学案：第十章统计、统计案例

高三数学一轮精品复习学案：第十章统计、统计案例【知识特点】1.统计中所学的内容是数理统计中最基本的问题，通过这些内容主要来介绍相关的统计思想和方法，了解一些有关统计学的基本知识，并能够应用几个基本概念、基本公式来处理实际生活中的一些基本问题。

2.统计案例为新课标中新增内容，主要是通过案例体会运用统计方法解决实际问题的思想和方法。

增加了统计和统计案例后，使得高中数学的整个体系更加完善了，有利于开阔数学视野，丰富数学思想和方法。

【重点关注】1.从对新课标高考试题的分析可以发现,主要考查抽样方法、各种统计图表、样本数字特征等。

对这部分的考查主要以选择题和填空题的形式出现。

2.统计案例中的独立性检验和回归分析也会逐步在高考题中出现,难度不会太大,多数情况下是考查两种统计分析方法的简单知识,以选择题和填空题为主。

【地位与作用】《全国新课程标准高考数学考试大纲》中对考生能力要求明确界定为空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识等六个方面，其中数据处理能力是首次提出的一个能力要求，这定义为：会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断。

数据处理能力主要依据统计（高考考试大纲对知识点要求如下表所示）或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题，对统计的要求已提升到能力的高度。

统计的思想方法广泛应用于自然科学和社会科学的研究中，统计的语言不仅是数学的语言，也是各学科经常引用的大众语言，统计知识是作为一个新时期公民所比备的知识。

统计学就是应用科学的方法收集、整理、分析、描述所要研究的数据资料，然后根据所得到的结果，进行推断或决策的一门实用性很强的科学。

统计这部分内容，在高中数学新课程中，主要分布在必修3第二章（约16课时）与选修2—3第三章（约9课时）。

相对于高中学生的认知水平和生活经历还相对不是很高，所以它只能属于非重点内容，所出的相关题目一般来说都相对比较简单。

江苏2019届高三数学一轮复习典型题专题训练统计与概率

江苏省2019届高三数学一轮复习典型题专题训练统计与概率一、填空题1、（2018江苏高考）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲．2、（2017江苏高考）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．3、（2016江苏高考）已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.4、（南京市2018高三9月学情调研）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为▲ ．5、（南京市2018高三第三次（5月）模拟）某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________．6、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n ．7、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为．8、（苏锡常镇2018高三5月调研（二模））一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为．9、（苏州市2018高三上期初调研）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1 : 2 : 3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是．x的平均数为90，则该组10、（徐州市2018高三上期中考试）已知一组数据：87,,90,89,93数据的方差为▲．11、（徐州市2018高三上期中考试）从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是▲．12、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2018高三第三次调研）已知一组数据，，，，，则这组数据的方差为▲．829189889013、（扬州市2017届高三上学期期末）某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是▲．14、（2018江苏高考）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为▲．15、（2016江苏高考）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲.16、（南京市2018高三9月学情调研）记函数f(x)＝4－3x－x2的定义域为D．若在区间[－5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为▲ ．17、（南京市2018高三第三次（5月）模拟）已知A，B，C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为▲________．18、（苏锡常镇2018高三5月调研（二模））欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．19、（苏州市2018高三上期初调研）有五条线段，其长度分别为2，3，4，5，7.现任取三条，则这三条线段可以构成三角形的的概率是20、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2018高三第三次调研）袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同．现从中随机摸出1只球，若摸出的球不是红球的概率为0.8，不是黄球的概率为0.5，则摸出的球为蓝球的概率为 ▲ ．二、解答题1、（2017江苏高考）已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（m ，n ∈N *，n ≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m +n 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉（k =1，2，3，…，m +n ）．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，)(X E 是X 的数学期望，证明)(X E ＜)1)((-+n n m n．2、（南京市2018高三9月学情调研）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望． 3、（苏锡常镇2018高三5月调研（二模））甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为13，乙、丙做对该题的概率分别为m ，n （m > n ），且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m ，n 的值；（2）求X 的数学期望.4、（徐州市2018高三上期中考试）某同学在上学路上要经过A 、B 、C 三个带有红绿灯的路口.已知他在A 、B 、C 三个路口遇到红灯的概率依次是13、14、34，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间. 5、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2018高三第三次调研）将4本不同的书随机放入如图所示的编号为1234，，，的四个抽屉中．（1）求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；（2）随机变量X表示放在2号抽屉中书的本数，求X的分布列和数学期望()E X．6、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立，规定：有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科全获A等级加5分，记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值。

苏教版版高考数学一轮复习第九章统计与统计案例用样本估计总体教学案

１．常用统计图表（１）作频率分布直方图的步骤：１求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）．２决定组距与组数．３将数据分组．４列频率分布表．５画频率分布直方图．（２）频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图（如图）横轴表示样本数据，纵轴表示错误!，每个小矩形的面积表示样本数据落在该组内的频率．各小矩形的面积和为１.（３）频率分布折线图和总体密度曲线１频率分布折线图：将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图．２总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．２．样本的数字特征（１）众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．（２）中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．（３）平均数：把错误!＝错误!称为x１，x２，…，x n这n个数的平均数．（４）标准差与方差：设一组数据x１，x２，x３，…，x n的平均数为错误!，则这组数据的标准差和方差分别是s＝错误!；s２＝错误![（x１—错误!）２＋（x２—错误!）２＋…＋（x n—错误!）２]．错误!１．频率分布直方图中的常见结论（１）众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．（２）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．（３）中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．２．平均数、方差的公式推广（１）若数据x１，x２，…，x n的平均数为错误!，那么mx１＋a，mx２＋a，mx３＋a，…，mx n＋a 的平均数是m错误!＋a.（２）数据x１，x２，…，x n的方差为s２.１数据x１＋a，x２＋a，…，x n＋a的方差也为s２；２数据ax１，ax２，…，ax n的方差为a２s２.一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．（）（２）一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. （）（３）频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．（）（４）已知样本数据x１，x２，…，x n的均值错误!＝５，则样本数据２x１＋１,２x２＋１，…，２x n ＋１的均值为１0．（）[答案]（１）√（２）×（３）√（４）×二、教材改编１．一个容量为３２的样本，已知某组样本的频率为0．２５，则该组样本的频数为（）Ａ．４Ｂ．8 Ｃ．１２Ｄ．１6B[设频数为n，则错误!＝0．２５，∴n＝３２×错误!＝8．]２．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为87,89,90,9１,9２,9３,9４,96，则这组数据的中位数和平均数分别是（）Ａ．9１．５和9１．５Ｂ．9１．５和9２Ｃ．9１和9１．５Ｄ．9２和9２A[∵这组数据为87,89,90,9１,9２,9３,9４,96，∴中位数是错误!＝9１．５，平均数错误!＝错误!＝9１．５．]３．（２0１9·盐城模拟）已知一组数据x１，x２，x３，x４，x５的方差是２，则数据２x１,２x２,２x３,２x４,２x５的标准差为．２错误![由s２＝错误!（x i—错误!）２＝２，则数据２x１,２x２,２x３,２x４,２x５的方差是8，标准差为２错误!.]４．如图是１00位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[２,２．５）范围内的居民有人．２５[0．５×0．５×１00＝２５．]考点１样本的数字特征的计算与应用利用样本的数字特征解决决策问题的依据（１）平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．（２）用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．１．（２0１9·全国卷Ⅱ）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉１个最高分、１个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）Ａ．中位数Ｂ．平均数Ｃ．方差Ｄ．极差A[设9位评委评分按从小到大排列为x１<x２<x３<x４...<x8<x9，则原始中位数为x５，去掉最低分x１，最高分x9后剩余x２<x３<x４ (x8)中位数仍为x５，∴A正确．]２．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶５次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）甲乙Ａ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数Ｂ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数Ｃ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差Ｄ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差C[根据条形统计图可知甲的中靶情况为４环、５环、6环、7环、8环；乙的中靶情况为５环、５环、５环、6环、9环.错误!甲＝错误!（４＋５＋6＋7＋8）＝6，错误!乙＝错误!（５×３＋6＋9）＝6，甲的成绩的方差为错误!＝２，乙的成绩的方差为错误!＝２．４；甲的成绩的极差为４环，乙的成绩的极差为４环；甲的成绩的中位数为6环，乙的成绩的中位数为５环，综上可知C正确，故选Ｃ．]３．某人５次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y,１0,１１,9．已知这组数据的平均数为１0，方差为２，则|x—y|的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４D[由题意可知错误!∴错误!∴（x＋y）２＝x２＋y２＋２xy，即２08＋２xy＝４00，∴xy＝96．∴（x—y）２＝x２＋y２—２xy＝１6，∴|x—y|＝４，故选Ｄ．]４．（２0１9·全国卷Ⅱ）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了１00个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．y的分[—0．２0，0）[0，0．２0）[0．２0，0．４0）[0．４0，0．60）[0．60，0．80）组企业数２２４５３１４7（２）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0．0１）附：错误!≈8．60２．[解]（１）根据产值增长率频数分布表得，所调查的１00个企业中产值增长率不低于４0%的企业频率为错误!＝0．２１．产值负增长的企业频率为错误!＝0．0２．用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于４0%的企业比例为２１%，产值负增长的企业比例为２%.（２）错误!＝错误!（—0．１0×２＋0．１0×２４＋0．３0×５３＋0．５0×１４＋0．70×7）＝0．３0，s２＝＝错误![（—0．４0）２×２＋（—0．２0）２×２４＋0２×５３＋0．２0２×１４＋0．４0２×7]＝0．0２9 6，s＝错误!＝0．0２×错误!≈0．１7，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为３0%,１7%.方差的简化计算公式：s２＝错误![（x错误!＋x错误!＋…＋x错误!）—n错误!２]，或写成s ２＝错误!（x错误!＋x错误!＋…＋x错误!）—错误!２，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．考点２频率分布直方图频率、频数、样本容量的计算方法（１）错误!×组距＝频率．（２）错误!＝频率，错误!＝样本容量，样本容量×频率＝频数．（１）（２0１9·益阳模拟）为了了解某校九年级１600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试１分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（）Ａ．该校九年级学生１分钟仰卧起坐的次数的中位数为２6．２５Ｂ．该校九年级学生１分钟仰卧起坐的次数的众数为２7．５Ｃ．该校九年级学生１分钟仰卧起坐的次数超过３0的人数约为３２0Ｄ．该校九年级学生１分钟仰卧起坐的次数少于２0的人数约为３２（２）（２0１9·全国卷Ⅲ）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将２00只小鼠随机分成A，B两组，每组１00只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于５．５”，根据直方图得到P（C）的估计值为0．70．１求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；２分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（１）D[由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是２6．２５；众数是最高矩形的中间值２7．５；１分钟仰卧起坐的次数超过３0的频率为0．２，所以估计１分钟仰卧起坐的次数超过３0的人数为３２0；１分钟仰卧起坐的次数少于２0的频率为0．１，所以估计１分钟仰卧起坐的次数少于２0的人数为１60．故D错误．]（２）[解] １由已知得0．70＝a＋0．２0＋0．１５，故a＝0．３５．b＝１—0．0５—0．１５—0．70＝0．１0．２甲离子残留百分比的平均值的估计值为２×0．１５＋３×0．２0＋４×0．３0＋５×0．２0＋6×0．１0＋7×0．0５＝４．0５．乙离子残留百分比的平均值的估计值为３×0．0５＋４×0．１0＋５×0．１５＋6×0．３５＋7×0．２0＋8×0．１５＝6．00．频率分布直方图的纵坐标是错误!，而不是频率，切莫与条形图混淆．[教师备选例题]（２0１8·全国卷Ⅰ）某家庭记录了未使用节水龙头５0天的日用水量数据（单位：m３）和使用了节水龙头５0天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头５0天的日用水量频数分布表使用了节水龙头５0天的日用水量频数分布表（１）在下图中作出使用了节水龙头５0天的日用水量数据的频率分布直方图：（２）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．３５m３的概率；（３）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按３6５天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）[解]（１）如图所示：（２）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后５0天日用水量小于0．３５m３的频率为0．２×0．１＋１×0．１＋２．6×0．１＋２×0．0５＝0．４8，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0．３５m３的概率的估计值为0．４8．（３）该家庭未使用节水龙头５0天日用水量的平均数为错误!１＝错误!（0．0５×１＋0．１５×３＋0．２５×２＋0．３５×４＋0．４５×9＋0．５５×２6＋0．6５×５）＝0．４8．该家庭使用了节水龙头后５0天日用水量的平均数为错误!２＝错误!（0．0５×１＋0．１５×５＋0．２５×１３＋0．３５×１0＋0．４５×１6＋0．５５×５）＝0．３５．估计使用节水龙头后，一年可节省水（0．４8—0．３５）×３6５＝４7．４５（m３）．１．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校１00名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后５组频数和为6２，设视力在４．6到４．8之间的学生数为a，最大频率为0．３２，则a的值为（）Ａ．6４Ｂ．５４Ｃ．４8 Ｄ．２7B[前两组中的频数为１00×（0．0５＋0．１１）＝１6．因为后五组频数和为6２，所以前三组为３8．所以第三组频数为２２．又最大频率为0．３２，对应的最大频数为0．３２×１00＝３２．所以a＝２２＋３２＝５４．]２．某城市１00户居民的月平均用电量（单位：千瓦时），以[１60,１80），[１80,２00），[２00,２２0），[２２0,２４0），[２４0,２60），[２60,２80），[２80,３00]分组的频率分布直方图如图．（１）求直方图中x的值；（２）求月平均用电量的众数和中位数；（３）在月平均用电量为[２２0,２４0），[２４0,２60），[２60,２80），[２80,３00]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取１１户居民，则月平均用电量在[２２0,２４0）的用户中应抽取多少户？[解]（１）（0．00２＋0．009 ５＋0．0１１＋0．0１２５＋x＋0．00５＋0．00２５）×２0＝１，解得x＝0．007 ５．即直方图中x的值为0．007 ５．（２）月平均用电量的众数是错误!＝２３0．∵（0．00２＋0．009 ５＋0．0１１）×２0＝0．４５＜0．５，（0．00２＋0．009 ５＋0．0１１＋0．0１２５）×２0＝0．7＞0．５，∴月平均用电量的中位数在[２２0,２４0）内．设中位数为a，则0．４５＋0．0１２５×（a—２２0）＝0．５，解得a＝２２４，即中位数为２２４．（３）月平均用电量在[２２0,２４0）的用户有0．0１２５×２0×１00＝２５（户）．同理可得月平均用电量在[２４0,２60）的用户有１５户，月平均用电量在[２60,２80）的用户有１0户，月平均用电量在[２80,３00]的用户有５户，故抽取比例为错误!＝错误!.∴月平均用电量在[２２0,２４0）的用户中应抽取２５×错误!＝５（户）．。

(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第十一章统计与概率第二节随机事件及其概率课件文

[小题纠偏]
1．某地气象局预报说，明天本地降雨概率为 80% ，则下列解释正确的是 ________(填序号)． ①明天本地有 80%的区域降雨， 20%的区域不降雨； ②明天本地有 80%的时间降雨， 20%的时间不降雨； ③明天本地降雨的可能性是 80%； ④以上说法均不正确．
解析：①②显然不正确．因为 80%的概率是说降雨的概率，而不是说 80%的区域降雨，更不是说有 80%的时间降雨，是指降雨的可能性是 80%.
解析：①④中的两事件互斥，②③中的两事件不互斥．
答案：①④
2．已知非空集合 A，B，且集合 A 是集合 B 的真子集，有下面 4 个命题： ①“若 x∈ A，则 x∈ B”是必然事件； ②“若 x∉ A，则 x∈B”是不可能事件； ③“若 x∈ B，则 x∈ A”是随机事件； ④“若 x∉ B，则 x∉ A”是必然事件．其中正确的命题有________(填序号 )．
解析：由真子集的定义可知①③④是正确的命题．
答案：①③④
3．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A＝{两次都击中飞机 }， B＝{两次都没击中飞机 }， C＝{恰有一次击中飞机}， D＝{至少有一次击中飞机 }，其中彼此互斥的事件是 ________，互为对立事件的是 ________．
解析：设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为 A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故 A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D 为互斥事件．而 B∩D ＝∅，B∪D＝I，故 B 与 D 互为对立事件．
答案：A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D B 与 D
[谨记通法]
判断互斥、对立事件的 2 种方法 (1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． (2)集合法 ①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集．

高考数学一轮复习第十章统计与统计案例102用样本估计总体课件苏教版

(1)众数、中位数、平均数
数字特征
概念
优点与缺点
众数
一组数据中重复出现次数 _最__多__的数
众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数.但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征
中位数
把一组数据按_从__小__到__大__的__ 中位数等分样本数据所占频率,它不受顺序排列,处在_中__间__位置的少数几个极端值的影响,这在某些情况
复习课件
高考数学一轮复习第十章统计与统计案例10.2用样本估计总体课件苏教版
2021/4/17
高考数学一轮复习第十章统计与统计案例102用样本估计总体课
1
件苏教版
第二节用样本估计总体
内容索引
必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评
必备知识·自主学习
【教材·知识梳理】 1.作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中_最__大__值__与_最__小__值__的差);
【解析】因为[15,20]对应的小矩形的面积为1-0.04×5-0.1×5=0.3,所以样本落在[15,20]内的频数为0.3×100=30. 答案:30
必备知识·自主学习
4.(必修3P79练习T1)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是
________.
【解析】5个数的平均数 x
必备知识·自主学习
提示:(1)√.平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势. (2)×.方差越大,这组数据越离散. (3)√.小矩形的面积=组距× 频率 =频率.
组距
(4)×.茎相同的数据,叶可不用按从小到大的顺序写,相同的数据叶要重复记录.
必备知识·自主学习

苏教版2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第10章概率、统计和统计案例第5讲(含答案解析)

[学生用书P281(单独成册)]一、选择题1．某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝－5x ＋150，则下列结论正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－5C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量为100件左右解析：选D ．由回归直线方程知，y 与x 具有负的线性相关关系，A 错，若r 表示y 与x 之间的线性相关系数，则|r |≤1，B 错．当销售价格为10元时，y ^＝－5×10＋150＝100，即销售量为100件左右，C 错，故选D ．2．(2018·湖南湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >3．841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )A C ．99．5%D ．95%解析：选D ．由图表中数据可得，当k >3．841时，有95%的把握认为“X 和Y 有关系”，故选D ． 3．(2018·湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：由上表可得回归方程为y ^＝10．2x ＋a ，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为( ) A ．101．2万元 B ．108．8万元 C ．111．2万元D ．118．2万元解析：选C ．根据统计数据表，可得x －＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y －＝15×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10．2x ＋a ^经过样本点的中心(4，50)，所以50＝10．2×4＋a ^，解得a ^＝9．2，所以回归方程为y ^＝10．2x ＋9．2，所以当x ＝10时，y ＝10．2×10＋9．2＝111．2，故选C ．4．某考察团对10个城市的职工人均工资x (千元)与居民人均消费y (千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ^＝0．6x ＋1．2．若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )A ．66%B ．67%C ．79%D ．84%解析：选D ．因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^＝0．6x ＋1．2，该城市居民人均工资为x ＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y ^＝0．6×5＋1．2＝4．2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25＝84%．二、填空题5．经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得到y 关于x 的回归直线方程：y ^＝0．245x ＋0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：x 变为x ＋1，y ^＝0．245(x ＋1)＋0．321＝0．245x ＋0．321＋0．245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0．245万元．答案：0．2456．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－3．2x ＋40，且m ＋n ＝20，则n ＝________．解析：x －＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m 5，y －＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n 5，回归直线一定经过样本中心(x －，y －)，即6＋n 5＝－3．2⎝⎛⎭⎫8＋m 5＋40，即3．2m ＋n ＝42．又因为m ＋n ＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝10，故n ＝10．答案：10 三、解答题7．某公司的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有下列对应数据：(1)(2)根据表中提供的数据，求出y 与x 的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．解：(1)散点图如图．由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．(2)x －＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y －＝15×(30＋40＋60＋50＋70)＝50，∑5i ＝1x i y i ＝2×30＋4×40＋5×60＋6×50＋8×70＝1 380，∑5i ＝1x 2i ＝22＋42＋52＋62＋82＝145， b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6．5， a ^＝y －－b ^x －＝50－6．5×5＝17．5．所以线性回归方程为y ^＝6．5x ＋17．5． (3)由题得y ＝115时，6．5x ＋17．5＝115，得x ＝15．故预测销售额为115万元时，大约需要15万元的广告费．8．(2018·郑州第一次质量预测)近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年(365天)内100天的空气中PM2．5指数的检测数据，统计结果如下：企业没有造成经济损失；当x 在区间(100，300]内时对企业造成的经济损失成直线模型(当PM2．5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2．5指数为200时，造成的经济损失为700元)；当PM2．5指数大于300时造成的经济损失为2 000元．(1)试写出S (x )的表达式；(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元的概率；(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．解：(1)依题意，可得S (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈[0，100]4x －100，x ∈（100，300].2 000，x ∈（300，＋∞）(2)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元”为事件A ，由500<S ≤900，得150<x ≤250，频数为39，P (A )＝39100．(3)根据题中数据得到如下2×2列联表：K 2的观测值k ＝100×（63×8－22×7）85×15×30×70≈4．575>3．841，所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．1．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：退休年龄政策”的支持度有差异；(2)若以458人参加某项活动．现从这8人中随机抽取2人，求至少有1人是45岁以上的概率．参考数据：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)因为K 2＝100×（35×5－45×15）50×50×80×20＝6．25>3．841，所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异． (2)从不支持“延迟退休”的人中，45岁以下应抽6人，45岁以上应抽2人．记45岁以下的为1，2，3，4，5，6；45岁以上的为A ，B ，则有1→2，3，4，5，6，A ，B ， 2→3，4，5，6，A ，B ， 3→4，5，6，A ，B ， 4→5，6，A ，B ， 5→6，A ，B ， 6→A ，B ， A →B ，故所求概率为1328．2．(2018·广东汕头模拟)二手车经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y (单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：下面是z 关于x(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)求y 关于x 的回归方程，并预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少；(b ^、a ^小数点后保留两位有效数字)(3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7 118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年．参考公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －，r ＝∑ni ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2∑ni ＝1（y i －y －）2参考数据：∑6i ＝1x i y i ＝187．4，∑6i ＝1x i z i ＝47．64，∑6i ＝1x 2i ＝139， ∑6i ＝1 （x i －x －）2≈4．18， ∑6i ＝1（y i －y －）2≈13．96， ∑6i ＝1（z i －z －）2≈1．53，ln 1．46≈0．38，ln 0．711 8≈－0．34．解：(1)由题意，知x －＝16×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4．5，z －＝16×(3＋2．48＋2．08＋1．86＋1．48＋1．10)＝2，又∑6i ＝1x i z i ＝47．64， ∑6i ＝1 （x i －x －）2≈4．18， ∑6i ＝1（z i －z －）2≈1．53，所以r ＝47.64－6×4.5×24.18×1.53＝－ 6.366.395 4≈－0．99，所以z 与x 的相关系数大约为－0．99，说明z 与x 的线性相关程度很高． (2)b ^＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52＝－6.3617.5≈－0．36，所以a ^＝z －－b ^x －＝2＋0．36×4．5＝3．62，所以z 与x 的线性回归方程是z ^＝－0．36x ＋3．62，又z ＝ln y ，所以y 关于x 的回归方程是y ^＝e －0．36x ＋3．62．令x ＝9，得y ^＝e －0．36×9＋3．62＝e 0．38，因为ln 1．46≈0．38，所以y ^＝1．46，即预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为1．46万元． (3)当y ^≥0．711 8，即e－0．36x ＋3．62≥0．711 8＝e ln 0．711 8＝e－0．34时，则有－0．36x ＋3．62≥－0．34，解得x ≤11，因此，预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年．。

2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十章计数原理10.2

§10.2排列与组合考情考向分析以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析，解决问题的能力，题型以解答题为主，难度为中档．1．排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(√)(5)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．(×).(√)(6)k C k n＝n C k－1n－1题组二教材改编2．[P29习题T5]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________．答案24解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3．[P16例7]用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________．答案48解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．答案 216解析第一类：甲在左端，有A 55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A 44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．所以共有120＋96＝216(种)排法．5．为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为________．答案 540解析依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有C 46C 12C 11A 22·A 33＝90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C 36C 23C 11A 33＝360(种)；③每个国家各派2名，有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540.6．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A ，B ，C ，D ，E 五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种．(用数字作答) 答案 45解析设5名同学也用A ，B ，C ，D ，E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC ，BDAC ，BCDA ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA ，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45(种)．题型一排列问题1．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答) 答案 1 560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560(条)留言．2．用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为________．答案432解析根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组，共C23A22种排法；第二步，将2,4,6排成一排，共A33种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A24种排法．综上，共有C23A22A33A24＝3×2×6×12＝432(种)排法．3．在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列种数为________．答案864解析先把数字1,3,5,7作全排列，有A44＝24种排法，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除去3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，又数字2,4不与6相邻，故在剩下的4个空隙中排上2,4，有A24种排法，故共有A44×3×A24＝864(种)排法．思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题典例某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种取法．∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100种取法．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．(5)方法一(间接法)选取3种的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．方法二(直接法)选取3种真货有C320种，选取2种真货有C220C115种，选取1种真货有C120C215种，因此共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练(1)在某校2017年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为________．答案30解析因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有C24C24种．其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有C24种，所以甲、乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有C24C24－C24＝30(种)．(2)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种．答案66解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66(种)．题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻、相间及特殊元素(位置)问题典例(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．答案60解析2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A33×A24＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A22×A23＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60. (2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A ，B ，C ，D 四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种．答案 24解析根据题意，分两种情况讨论：①A 家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C 23×C 12×C 12＝12(种)乘坐方式；②A 家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C 13×C 12×C 12＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式．命题点2 分组与分配问题典例 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．答案 90解析先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33＝15(种)方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)分派方法． (2)有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种．答案 36解析先把4名学生分为2,1,1共3组，有C 24C 12C 11A 22＝6种分法，再将3组对应3个学校，有A 33＝6种情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案．思维升华 (1)解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素(位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)． (2)分组、分配问题的求解策略 ①对不同元素的分配问题a ．对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数．b ．对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．c ．对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．②对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅱ改编)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种．答案 36解析由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)． (2)(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法．(用数字作答) 答案 660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步计数原理知，共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步计数原理知，共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法．方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．(3)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法．于是符合题意的摆法共有A22A44－A22A33＝36(种)．1．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________．答案18解析由于lg a－lg b＝lg ab(a>0，b>0)，∴lg ab有多少个不同的值，只需看ab不同值的个数．从1,3,5,7,9中任取两个作为ab，有A25种取法，又13与39相同，31与93相同，∴lg a－lg b的不同值的个数为A25－2＝18.2．有5本不同的书，其中语文书3本，数学书2本，若将它们随机并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的摆放方法数为________．答案12解析A33A22＝12.3．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为________．答案24解析将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A33＝6种排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．4．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条．答案62解析a，b均不为0，且b取互为相反数的两数时抛物线相同，故分a取1与a不取1两类：①a取1时，b2取值为4,9两类，当b2＝4和b2＝9时，c都有5种情况，此时有2×5＝10(种)；②a不取1时有C14种，不妨设a取2，则b2取值有1,4,9三类，当b2＝1时，c有4种，当b2＝4时，c有4种，当b2＝9时，c有5种，此时有C14(4＋4＋5)＝52(条)不同的抛物线．故共有10＋52＝62(种)不同的抛物线．5．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为________．答案18解析由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.6．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________．答案72解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C13种选法，再将剩下的4个数字排列有A44种排法，则满足条件的五位数有C13·A44＝72(个)．7．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．(用数字作答)答案11解析把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A24－1＝12－1＝11(种)．8．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)答案60解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A34种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C23A24种分法．总获奖情况共有A34＋C23A24＝60(种)．9．某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有______种．答案36解析2名内科医生的分法为A22，3名外科医生与3名护士的分法为C23C13＋C13C23，共有A22(C23 C13＋C13C23)＝36(种)不同的分法．10．用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个．答案240解析由题意，知本题是一个分步计数问题，从1,2,3,4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A35＝60个，根据分步计数原理知，有60×4＝240(个)．11．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．答案120解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法．由分类计数原理知，共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．12．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)答案114解析5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C35·A33＝60种，A，B住同一房间有C13·A33＝18种，故有60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，有C25·C23A22·A33＝90种，A，B住同一房间有C23·A33＝18种，故有90－18＝72(种)，根据分类计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．13．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为________．答案360解析前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C14C13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A25种方法；若相邻，有C15A22种，故共有C14C13(A25＋C15A22)＝360(种)．14．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法．答案 150解析标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成(3,1,1)和(2,2,1)两组，共有C 35＋C 25·C 23A 22＝25(种)分法，再分配到三个不同的盒子中，共有25·A 33＝150(种)放法．15．在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a ，b ，c 三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有________种．答案 150解析这三家酒店入住的参会国数目有以下两种可能：第一种，“2,2,1”，其安排方法有C 25C 23C 11A 33A 22＝90(种)；第二种，“3,1,1”，其安排方法有C 35C 12C 11A 33A 22＝60(种)，满足题意的安排方法共有90＋60＝150(种)．16．设三位数n ＝abc ，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有多少个？解 a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a ，b ，c ∈{1,2,3，…，9}．①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n 1，由于三位数中三个数字都相同，所以n 1＝C 19＝9；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n 2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a ，b ，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a ，b )共有2C 29组，但当大数为底时，设a >b ，必须满足b <a <2b ，此时，不能构成三角形的数字是共20种情况．同时，每个数组(a ，b )中的两个数字填上三个数位，有C 23种情况，故n 2＝C 23(2C 29－20)＝156.综上，n＝n1＋n2＝165.。

江苏版高考数学一轮复习专题10.2统计与统计案例练

专题10.2 统计与统计案例1.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有________辆．【答案】1700【解析】2000(0.0350.030.02)101700⨯++⨯=2.为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如下表：根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是▲．【答案】1700【解析】由题意得：25350001700 100+⨯=3.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为▲________．【解析】950)002.0004.0(30=⨯+⨯4.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000)范围内的应抽出 ▲ 人.【答案】25【解析】由题意得：0.000550010025⨯⨯=5.甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是 ▲ ．【答案】0.02【解析】甲、乙两位选手5轮比赛的成绩的平均数皆为10，方差分别为222221[0.20.10.100.2]0.025S =++++=甲，2222321[0.60.30.80.30.2]0.025S =++++>乙，因此甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手为甲，其方差是0.026.某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有教师中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n 的值为．【答案】196 【解析】由题意知,80,196.200120010001000n n ==++7.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 .【解析】∵630＝15，∴在高二年级学生中应抽取的人数为40×15＝8．8.已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差s 2＝14(x 12＋x 22＋x 32＋x 42－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为 . 【答案】49.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为 . 【答案】100x +，2s 【解析】由题得：12101010x x x x x +++=⨯=；222221210()()()1010x x x x x x s s -+-++-=⨯=若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为：均值1210(100)(100)(100)10x x x y ++++⋅⋅⋅++=12101210(100)(100)(100)()101001010100100101010x x x x x x x x ++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⨯+⨯====+方差2221210[(100)(100)][(100)(100)][(100)(100)]10x x x x x x +-+++-++⋅⋅⋅++-+=222221210()()()101010x x x x x x s s -+-++-=== 10.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为 . 【答案】100【解析】()70350015*********n =+⨯=. 11.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是 .【答案】06【解析】因为按系统抽样方法选取的编号依次构成一个等差数列，且公差为10，所以由41363a a d ==+得：16,a =因此确定的号码是06.12.设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为 .【答案】1+,4a2221210(1)(1)(1)4041010x x x -+-++-===13.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 . 【答案】25,17,814.下图1是某县参加2011年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1，A2，…，A n(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图．现要统计身高在160 cm～180 cm(含160 cm，不含180 cm)内的学生人数，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是________．图2【答案】i≤7。