第一章 点、直线、平面的投影

第一章 投影法和点、直线、平面的投影

本章内容是在研究投影方法的基础上，研 究点、直线、平面（几何元素）的投影作 图问题
第一章 投影法和点、直线、平面的投影
§1 投影法 §2 点的投影 §3 直线的投影 §4 平面的投影
§5 直线与平面以及两平面之间的相对位置
§1 投影法
实例：
物体在光线的照射下， 就会在地面或墙面上 产生投影。
一、直线的投影
C A B a b c(d) H
D
直线的投影一般情况下仍为直线，特殊情况 下为一点。
一、直线的投影
a a A a b b a b
z
a b
γ b B
b βα
x
a
o
yW
yH
直线上两点同面投影的连线可确定直线的投影 但不能确定直线对投影面的倾角 OK
二、直线对投影面的各种相对位置 （一）投影面平行线 水平线//水平面 正平线//正平面 侧平线//侧平面 （二） 投影面垂直线 铅垂线水平面 正垂线正平面 侧垂线侧平面 特 殊 位 置 直 线
d’
c’
V
a’
b’ c’
B A
d’ D C O a’
x
b
a c b d
o
X
b a
c
平行两直线投影特性： 1.平行两直线的同面投影仍然平行。 2.平行两直线在投影后，长度比保持不变。
判 别：
Z
d’ a’ b’ c’ c a” c” O b” YW d”
若两直线的 各同面投影均互 相平行 ,则它们 空间平行。
OZ
（二）投影面垂直线——侧垂线
W
H
投影特性： 1. a’’b’’ 积聚 成一点 2. ab OY ; a’b’ OZ 3. ab = a’b’ =AB
投影面垂直线的投影特性
W
H
1. 在与其垂直的投影面上的投影积聚成一点; 2. 另两投影显实长,且分别垂直于相应的投影轴。
（三）一般位置直线的投影特性
YW
[例题5] 已知点B距离点A为15，点C与点A是对V面投 影的重影点，点D在点A的正下方20，补全诸点的三 面投影，并表明可见性。
YW
§3 直线的投影
一、直线的投影 二、直线对投影面的各种相对位置
三、一般位置直线的实长及其 对投影面的倾角 四、直线上的点的投影 五、两直线的相对位置 六、垂直相交两直线的投影
点在三投影面体系中的投影Ⅰ
Z
正面投影
a
ax
az a"
X
水平投影
ay
Y
立体图
侧面投影
点在三投影面体系中的投影Ⅱ
Z a ax ayW az
Z a"
a a"
X
YW X
YW
ayH
YH
投影面展开后
YH
投影图
V
Z a' ax A O H az
(A) 点在三投影面体系中的投影规律
a" W
X
a
ay
Y
V
a'
a ax ax a a
X
X
X
立体图
投影面展开后
投影图
（1）点的投影连线垂直于投影轴，即a’a⊥OX; （2）点的投影与投影轴的距离，等于该点与相邻 投影面的距离，即a’ax=Aa, aax=Aa’。
三、点在三投影面体系中的投影
三投影面体系构成
正立投影面 （V 面）
侧立投影面 （W 面）
Ⅰ
水平投影面 （H 面）
投影
一、投影法的基本概念
S 投射中心
投射线 A B C 投影面
c
投影
a
P
b
二、投影法的分类
中心投影法
投影法 平行投影法 正投影法 斜投影法
中心投影法：投射线汇交于一点的投影法
透视投影、透视图 或透视
投射中心
S
投射线
通常用于绘制建筑 物或产品的富有逼 真感的立体图
C A B a
投影（投影图）
c b P
〔例题3〕根据投影图判断点在空间的位置
b'
V
B
X
a'
b
c' c
O C
a A
OK
四、两点的相对位置
Z a' 上 下 Z -
a'
b' X O b"
a"
b' X 左-右 b a B O
A b"
a"
YW 后-前
b Y a YH 后 前 -
两点中X值大的点 ——在左 两点中Y值大的点 ——在前 两点中Z值大的点 ——在上
1
1’d’
1’c’
判断两直线重影点的可见性。
a
1’
3’( 4’ )
d b
c
X
2’
O
d
a
c
1 (2 )
4
3
b
OK
六、垂直相交两直线的投影(直角投影定理)
空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某 投影面 ，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。
A C c a
a
b o b
B
x b
c
a
c
若两直线的某面投影互相垂直，且其中一条平行于 该投影面，则两直线空间互相垂直。
Z
az
W a"
ay
三面投影特性： （1）点的投影连线垂直 于投影轴 （2）点的投影到投影轴 的距离，等于该点与对应 的相邻投影面的距离
X
ax
O
ay
YW
1. aa X轴，aaz = aay = XA
2. aaZ轴， aax =aay = ZA
H
a
YH
3. aax = aaz =YA
[例题1] 已知点A的正面投影a’和水平投影a，求其侧面 投影a”。 Z
a'
a"
X
O
YW
a
YH
1. a’aOX ; 2. a’a” OZ ; 3. aax=a”az
[例题2] 求点A的水平投影
Z
a
a"
X
YW
YH
(B) 点的投影和坐标
V (xA,zA) a' Z
az
(yA,zA)
W
1.点的坐标 2.点的投影 V a'
y
a"
Z
az
X
ax
O
ay
YW
X
ax A
x z
a" O W
（三）一般位置直线 与三个投影面均倾斜的直线
（一）投影面平行线——水平线
a b
z
Z b a B O b
a
b
V a A
x
a b
o
yW
X a
βγ
W
βγ b
yH
投影特性： 1. a'b'//OX ，a"b"//OY 2. ab=AB 3. 反映、 角的真实大小
Y
（一）投影面平行线——正平线
投影特性： 1. ab//OX ，a"b"//OZ 2. a'b'=AB 3. 反映、角的真实大小
两点间的相对位置 可用它们同方向的 坐标差值来判断
[例题4] 已知点A、B的两面投影，求作第三面投影， 并判断这两点的相对位置。
Z a b X YW a"
XA XB，点A在 点B的 方 YA YB，点A在 点 B的 方 ZA ZB，点A在 点B的 方 结论：点A在点B 的 、 、 方
b
YH
[例题4] 题解
b
c
AC:CB = ac:cb = a’c’:c’b’
O b
a X
= 2:1
c
a
例3
已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
bc
c’
ca
OK
五、两直线的相对位置 （一） 平行两直线 （二）相交两直线 （三） 交叉两直线 两直线相对位置 的投影规律
共面 直线 异面直线
两直线相对位置 的判别方法
（一）平行两直线 b’
若为一般 位置直线，由 两面投影互相 平行即可判断 两直线空间平 行。
X
a b
d
YH
（二）相交两直线
d V
k'
d
b
B K D
k'
b
a
X O
a
c C
A
c c
k
O
b
X
c a
k
b d
a
相交两直线的同面投影必相交，且交点 的投影符合点的投影规律。
d
判 别： 若两直线的各同面投影均相交 , 且交点的投 影符合点的投影规律，则两直线空间相交。
Z
a
b X
a" b"
YW
XA < XB，点A在 点B的 右 方 YA < YB，点A在 点 B的 后 方 ZA > ZB，点A在 点 B的 上 方
b YH
结论：点A在点B的 右 、后 、上 方
重影点及可见性
当空间两点在某一投影面上的投影重合成一点时称 为对该投影面的重影点。
Z
Z a(b') b" X a" X b Y
水平投影面 （H 面） 投影轴 （OX）
OK
二、点在两投影面体系中的投影
a a x aa x ox
a a x Aa aa x Aa
点A的水平投影 —— a
正面投影
点A的正面投影 —— a a ax a