您的位置：360文档中心› 【6份】2016届高考人教A版数学(文科)大一轮专项强化训练

【6份】2016届高考人教A版数学(文科)大一轮专项强化训练

合集下载

【31份合集】2016届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业(第1-5章)

【31份合集】2016届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业(第1-5章)

【31份】2016届高考数学（文科人教A版）大一轮课时作业（第1-5章）目录课时提升作业(一)集合(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·黄山模拟)已知集合A={-1,0,1},B={x|x≤0},则A∩B=( )A.{-1}B.{0}C.{-1,0}D.{0,1}【详细分析】选C.由交集的定义得A∩B={-1,0}.2.(2015·泰安模拟)设集合A={x|2x-1≤3},集合B={x|y=lg(x-1)},则A∩B等于( )A.(1,2)B.[1,2]C.(1,2]D.[1,2)【详细分析】选C.A={x|2x-1≤3}={x|x≤2},B={x|y=lg(x-1)}={x|x>1},所以A∩B=(1,2],故选C.3.已知集合A={1,16,4x},B={1,x2},若B⊆A,则x=( )A. 0B. -4C. 0或-4D. 0或±4【详细分析】选C.由B⊆A知.x2=16或x2=4x,解得x=±4或0.经检验.x=0或-4符合题意,故选C.【误区警示】解答本题时易误选D,出错的原因是忽视了集合中元素的互异性.4.已知集合A={1,2},集合B满足A∪B={1,2,3},则集合B有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【详细分析】选D.因为A∪B={1,2,3},A={1,2},所以集合B中应含有元素3,故集合B可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},故选D.5.(2015·福州模拟)设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(R S)∪T=( )A.(- 2,1]B.(-∞,-4]C.(-∞,1]D.[1,+∞)【详细分析】选C.因为S={x|x>-2},所以R S={x|x≤-2},又因为T={x|x2+3x-4≤0}={x|-4≤x≤1},所以(R S)∪T={x|x≤1}.6.(2014·山东高考)设集合A={x|x2-2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=( )A.(0,2]B.(1,2)C.[1,2)D.(1,4)【详细分析】选C.A=(0,2),B=,数轴上表示出来得到A∩B=[1,2).故答案为C.【加固训练】已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是( )A.N⊆MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2}【详细分析】选D.由M={1,2,3,4},N={-2,2},可知-2∈N,但是-2∉M,则N⊈M,故A错误.因为M∪N={1,2,3,4,-2}≠M,故B错误.M∩N={2}≠N,故C错误,D正确,故选D.7.(2015·衡水模拟)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩U B=( )A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅【详细分析】选A.由U={1,2,3,4},U(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以A中一定有元素3,没有元素4,所以A∩U B={3}.【一题多解】本题还可用Venn图求解如下:如图,由图及已知易得A∩U B={3}.【加固训练】已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则 (R A)∩B=( )A.{-2,-1}B.{-2}C.{-2,0,1}D.{0,1}【详细分析】选A.由x+1>0⇒x>-1,所以R A={x|x≤-1},故得(R A)∩B={-2,-1}.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2014·重庆高考)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(U A)∩B= .【详细分析】由题意知U A={4,6,7,9,10},B={1,3,5,7,9},故(U A)∩B={7,9}.答案:{7,9}9.设集合U={-1,1,2,3},M={x|x2-5x+p=0},若U M={-1,1},则实数p的值为.【解题提示】先求集合M,再利用根与系数之间的关系求p.【详细分析】由U M={-1,1}知M={2,3}.则方程x2-5x+p=0的两根为x=2和x=3,从而p=2×3=6.答案:610.已知集合A={1,3,m},B={1,m},A∪B=A,则m= .【详细分析】由A∪B=A知B⊆A,则m=3或m=m,即m=3或m=0或m=1,又当m=1时不合题意,因此m=0或3.答案:0,3(20分钟40分)1.(5分)(2015·龙岩模拟)集合P={x||x|≤3,x∈Z},集合Q={x|x2+2x-3>0},ðQ=( )则P∩RA.[-3,0)B.{-3,-2,-1}C.{-3,-2,-1,0}D.{-3,-2,-1,0,1}【详细分析】选 D.因为P={x|-3≤x≤3,x∈Z},RðQ={x|x2+2x-3≤0}={x|-3≤x≤1},所以P∩RðQ={-3,-2,-1,0,1}.2.(5分)已知a∈R,b∈R,若{a,ba,1}={a2,a+b,0},则b2 015-a2 015= .【详细分析】由a≠0知ba=0,从而b=0,则有{0,1,a}={0,a,a2},从而有a2=1且a≠1,所以a=-1,故b2 015-a2 015=1.答案:13.(5分)某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程,他们在A,B,C三个模块中进行选择,且至少需要选择1个模块,具体模块选择的情况如下表:模块模块选择的学生人数模块模块选择的学生人数A 28 A与B 11B 26 A与C 12C 26 B与C 13则三个模块都选择的学生人数是.【解题提示】设三个模块都选择的学生人数是x,用Venn图表示三个两两相交的集合,把每一部分的学生数用x表示,再根据总数为50列方程求解.【详细分析】设三个模块都选择的学生人数为x,则各部分的人数如图所示,则有(1+x)+(5+x)+(2+x)+(12-x)+(13-x)+(11-x)+x=50,解得x=6.答案:64.(12分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若A⊆R B,求实数m的取值范围.【详细分析】由已知得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.(1)因为A∩B=[0,3],所以m20,m23-=⎧⎨+≥⎩.所以m=2.(2) R B={x|x<m-2或x>m+2},因为A⊆R B,所以m-2>3或m+2<-1,即m>5或m<-3.因此实数m的取值范围是{m|m>5或m<-3}.【加固训练】已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={x|x2+2x-8>0}, C={x|x2-4ax+3a2<0},若U(A∪B)⊆C,求实数a的取值范围.【详细分析】A={x|-2<x<3},B={x|x<-4,或x>2},A∪B={x|x<-4,或x>-2}, U(A∪B)={x|-4≤x≤-2},而C={x|(x-a)(x-3a)<0}.(1)当a>0时,C={x|a<x<3a},显然不成立,(2)当a=0时,C=∅,不成立.(3)当a<0时,C={x|3a<x<a}, 要使U(A∪B)⊆C,只需3a4, a2,<-⎧⎨>-⎩即-2<a<4 3 -.5.(13分)(能力挑战题)已知集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, a∈R,x∈R}.若A∪B=A,试求实数a的取值范围.【详细分析】因为A∪B=A,所以B⊆A,易知A={0,-4}.(1)当A=B={0,-4}时,0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,所以22168(a1)a10,a10,⎧-++-=⎪⎨-=⎪⎩所以a=1.(2)当B A时,有B≠∅和B=∅两种情况.①当B≠∅时,B={0}或B={-4},所以方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,有相等的实数根0或-4, 所以Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,所以a=-1,所以B={0}满足条件.②当B=∅时,Δ<0,a<-1.综上知实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}.课时提升作业(二)命题及其关系、充分条件与必要条件(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是( )A.若a≠b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0B.若a=b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0【详细分析】选D.“a2+b2=0”的否定为“a2+b2≠0”,“a=b=0”的否定为“a≠0或b≠0”,故选D. 2.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( )A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题【详细分析】选A.逆否命题为:若a,b都小于1,则a+b<2是真命题,所以原命题是真命题.逆命题为:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2.例如,a=3,b=-3满足条件a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故逆命题是假命题.3.(2015·青岛模拟)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】选C.显然a>0且b>0⇒a+b>0且ab>0,反之,若ab>0,则a与b同号,又a+b>0,所以a与b同正,即a+b>0且ab>0⇒a>0且b>0.4.(2013·福建高考)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】选A.若a=3,则A={1,3},从而A⊆B.若A⊆B,则a=2或a=3,从而“a=3”是“A⊆B”的充分而不必要条件.【加固训练】(2014·上海模拟)设集合M={x|x≥2},P={x|x>1},那么“x∈M∪P”是“x∈M ∩P”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】选B.因为M∪P={x|x>1},M∩P={x|x≥2},所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件.故选B.5.(2015·兰州模拟)已知命题p:x2+2x-3>0,命题q:x>a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]【详细分析】选B.由题意知p⇒q,且q p,则有q⇒p,且p q.从而p是q的必要不充分条件.所以{x|x>a}{x|x2+2x-3>0},即{x|x>a}{x|x>1或x<-3},从而a≥1.【误区警示】解答本题易忽略端点的取值而造成错解.6.(2015·龙岩模拟)命题“对任意x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A.a≥4B.a>4C.a≥1D.a>1【详细分析】选B.由题意知a≥x2对x∈[1,2)恒成立,当x∈[1,2)时,1≤x2<4,则a≥4.从而a>4是命题为真的一个充分不必要条件.【加固训练】下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A.a>b+1,B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b3【详细分析】选A.a>b+1⇒a>b;反之,例如a=2,b=1满足a>b,但a=b+1即a>b推不出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分而不必要的条件.故选A.7.(2015·重庆模拟)若p是q的必要条件,s是q的充分条件,那么下列推理一定正确的是( )A.p⇔sB.p⇔sC.p⇒sD.s⇒p【解题提示】用推出式表示p与q,s与q的关系,找出s与p的关系,然后写出其逆否命题. 【详细分析】选C.由已知得q⇒p,s⇒q,则s⇒p.s⇒p等价于p⇒s.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·合肥模拟)命题:“若a-b<0,则ac2-bc2<0”的否命题是.【详细分析】由命题与其否命题的关系知,已知命题的否命题是:若a-b≥0,则ac2-bc2≥0.答案:若a-b≥0,则ac2-bc2≥09.(2015·铜陵模拟)已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=∅的充要条件是.【详细分析】A∩B=∅⇔a24,a22,+≤⎧⎨-≥-⎩⇔0≤a≤2.答案:0≤a≤210.(2015·银川模拟)已知“命题p:(x-m)2>3(x-m)”是“命题q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.【详细分析】p:x>m+3或x<m,q:-4<x<1,因为p是q成立的必要不充分条件.则{x|-4<x<1}{x|x>m+3,或x<m},所以m+3≤-4或m≥1,即m≤-7或m≥1,故m的取值范围为(-∞,-7]∪[1,+∞).答案:(-∞,-7]∪[1,+∞)(20分钟40分)1.(5分)(2015·宜昌模拟)下列关于命题的说法正确的是( )A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠1”B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“a,b都是有理数”的否定是“a,b都不是有理数”D.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题【详细分析】选D.对于A,命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2≠1,则x≠1”,所以A错误;对于B,x=-1时,x2-5x-6=0;x2-5x-6=0时,x=-1或x=6,所以应是充分不必要条件;所以B错误;对于C,命题“a,b都是有理数”的否定是“a,b不都是有理数”,所以C错误;对于D,命题“若x=y,则sin x=sin y”是真命题,所以它的逆否命题也是真命题,所以D正确.故选D.2.(5分)(2015·临沂模拟)已知p:-4<k<0,q:函数y=kx2-kx-1的值恒为负,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】选A.由函数y=kx2-kx-1的值恒为负得①k=0时,y=-1<0恒成立;②k<0时,Δ=(-k)2+4k<0,即-4<k<0,所以q成立的充要条件是-4<k≤0,即p⇒q,反之,q p,故选A.3.(5分)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .【详细分析】由Δ=16-4n≥0,得n≤4,又n∈N*,则n=1,2,3,4.方程x2-4x+n=0的根为x=4164n2±-.当n=1,2时,方程没有整数根,当n=3时,方程有整数根1,3,当n=4时,方程有整数根2,综上知n=3或4.答案:3或44.(12分)已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.(1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论.(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.【详细分析】(1)否命题:已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).该命题是真命题,证明如下:因为a+b<0,所以a<-b,b<-a.又因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.所以f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),因此f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),所以否命题为真命题.(2)逆否命题:已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0.真命题,可证明原命题为真来证明它.因为a+b≥0,所以a≥-b,b≥-a,因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),故原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.5.(13分)(能力挑战题)已知集合A={y|y=x2-32x+1,x∈[34,2]},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.【详细分析】y=x2-32x+1= (x-34)2+716,因为x∈[34,2],所以716≤y≤2,所以A={y|716≤y≤2}.由x+m2≥1,得x≥1-m2,所以B={x|x≥1-m2}. 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B,所以1-m2≤716,解得m≥34或m≤-34,故实数m的取值范围是(-∞,-34]∪[34,+∞).课时提升作业(三)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2014·湖北高考)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是( )A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=xC.∃x0∉R,x02≠x0D.∃x0∈R,x02=x0【详细分析】选 D.全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是“∃x0∈R,x02=x0”.2.(2015·开封模拟)已知命题p,q,“p为真”是“p∧q为假”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】选A.由“p为真”知p为假,则“p∧q为假”;反之,若“p∧q为假”,则命题p,q至少有一个为假,从而“p为假”不一定成立,即“p为真”不一定成立,因此,“p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.【加固训练】(2015·成都模拟)已知命题p:∃x0∈R,2-x0>0x e,命题q:∀a∈R+且a≠1,log a(a2+1)>0,则( )A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∨q是假命题D.命题p∧q是真命题【详细分析】选B.对于命题p:∃x0∈R,2-x0>0x e,当x0=0时,此命题成立,故是真命题;命题q:∀a∈R+且a≠1,log a(a2+1)>0,当0<a<1时,对数式的值是负数,故命题q是假命题.由此知命题p∨q是真命题,命题p∧q是真命题,命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题,故选B.3.(2015·滁州模拟)“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )A.∃x0∈R,使得f(x0)>0成立B.∃x0∈R,使得f(x0)≤0成立C.∀x∈R,f(x)>0成立D.∀x∈R,f(x)≤0成立【详细分析】选A.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”的意思就是∃x0∈R,使得f(x0)>0成立,故选A.4.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,使x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p ∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( )A.{a|a≤-2或a=1}B.{a|a≥1}C.{a|a≤-2或1≤a≤2}D.{a|-2≤a≤1}【详细分析】选A.由题意知,p:a≤1,q:a≤-2或a≥1,因为“p∧q”为真命题,所以p,q均为真命题,所以a≤-2或a=1.5.已知命题p:函数y=a x(a>0且a≠1)在R上是增函数,命题q:log a2+log2a≥2(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是( )A.p∨qB.p∧qC.(p)∧qD.p∨(q)【详细分析】选 D.当0<a<1时,y=a x在R上是减函数,因此p假,p真,当a=12时,log a2+log2a=-2<2,因此q假,q真.从而命题p∨(q)为真命题.6.(2015·龙岩模拟)下列命题中,假命题是( )A.∀x∈R,3x-2>0B.∃x0∈R,tanx0=2C.∃x 0∈R,log 2x 0<2D.∀x ∈N *,(x-2)2>0【详细分析】选D.因为函数y=3x 的值域是(0,+∞),所以A 正确;因为函数y=tanx 的值域是R,所以B 正确;当x 0=时,log 2x 0=-1<2成立,所以C 正确;当x=2时,(x-2)2=0,所以D 不正确.【加固训练】已知命题p:∃x 0∈R,使tan x 0=33,命题q:x 2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2},下列结论:①命题“p ∧q ”是真命题; ②命题“p ∧(q)”是假命题; ③命题“(p)∨q ”是真命题; ④命题“(p)∨(q)”是假命题. 其中正确的是( ) A.②③ B.①②④ C.①③④D.①②③④【详细分析】选D.命题p 是真命题,命题q 也是真命题.所以p,q 是假命题,从而得①②③④都正确.7.已知f(x)=3sin x-πx,命题p:∀x ∈(0,2π),f(x)<0,则( ) A.p 是假命题,p:∀x ∈(0,2π),f(x)≥0 B.p 是假命题,p:∃x 0∈(0,2π),f(x 0)≥0C.p 是真命题,p:∀x ∈(0,2π),f(x)>0D.p 是真命题,p:∃x 0∈(0,2π),f(x 0)≥0【详细分析】选D.由三角函数线的性质可知, 当x ∈ (0,2π)时,sin x<x, 所以3sin x<3x<πx,所以f(x)=3sin x-πx<0. 即命题p:∀x ∈(0,2π),f(x)<0为真命题. 根据全称命题的否定为特称命题可知:p:∃x0∈(0,2),f(x 0)≥0. 二、填空题(每小题5分,共15分)8.命题:“对任意k>0,方程x 2+x-k=0有实根”的否定是 .【详细分析】“任意k>0”的否定为“存在k>0”,“方程x 2+x-k=0有实根”的否定为“方程x 2+x-k=0无实根”.从而命题的否定为“存在k 0>0,方程x 2+x-k 0=0无实根”. 答案:存在k 0>0,方程x 2+x-k 0=0无实根9.已知命题p:∃x 0∈R,mx 02+2≤0,命题q:∀x ∈R,x 2-2mx+1>0,若“p ∨q ”为假命题,则实数m 的取值范围为 .【详细分析】因为命题“p ∨q ”是假命题,所以命题p,q 都是假命题,所以命题p:∃x 0∈R,mx 02+2≤0是假命题,则m ≥0,命题q:∀x ∈R,x 2-2mx+1>0是假命题,所以Δ=(-2m)2-4≥0,所以m 2≥1,得m ≤-1或m ≥1,所以实数m 的取值范围是[1,+∞). 答案:[1,+∞)10.(2015·枣庄模拟)命题“ax 2-2ax+3>0不成立”是真命题,则实数a 的取值范围是 . 【详细分析】若对∀x ∈R,ax 2-2ax+3>0成立,则a=0或解得0≤a<3.即对∀x ∈R,ax 2-2ax+3>0成立,则0≤a<3.所以“ax 2-2ax+3>0不成立”是真命题,则a<0或a ≥3. 答案:(-∞,0)∪[3,+∞)(20分钟 40分)1.(5分)(2014·江西高考)下列叙述中正确的是( ) A.若a,b,c ∈R,则“ax 2+bx+c ≥0”的充分条件是“b 2-4ac ≤0” B.若a,b,c ∈R,则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a>c ”C.命题“对任意x ∈R,有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R,有x 02≥0” D.l 是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l ⊥α,l ⊥β,则α∥β【详细分析】选D.对于选项A,a<0时不成立;对于选项B,b=0时不成立;对于选项C,应为x2<0;对于选项D,垂直于同一直线的两平面平行.所以只有D正确.【加固训练】(2014·马鞍山模拟)下列命题中,错误的是( )A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”B.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题C.命题p:∃x 0∈R,使得x02+x0+1<0,则p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件【详细分析】选B.根据逆否命题的定义,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,故A正确;若p∧q为假命题,则p,q至少存在一个假命题,但p,q不一定均为假命题,故B错误;命题p:∃x0∈R,使得x02+x0+1<0的否定为:任意x∈R,都有x2+x+1≥0,故C正确;因为x>2⇒x2-3x+2>0,x2-3x+2>0⇒x<1或x>2,故“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,故D 正确.故选B.2.(5分)(2014·辽宁高考)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )A.p∨qB.p∧qC.(p)∧(q)D.p∨(q)【详细分析】选A.当非零向量a,c方向相同且都和非零向量b垂直时,结论a·b=0,b·c=0成立,但是a·c=0不成立,可知命题p是假命题,命题p是真命题;易知命题q为真命题,命题q是假命题.结合复合命题p∨q,p∧q,p的真假判断方法知,选项A正确.3.(5分)(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组x y1,x2y4+≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p 3:∀(x,y)∈D,x+2y ≤3,p 4:∃(x,y)∈D,x+2y ≤-1. 其中真命题是( ) A.p 2,p 3 B.p 1,p 2 C.p 1,p 4D.p 1,p 3【解题提示】画出可行域,求出x+2y 的最优解,根据最优解判断命题的真假. 【详细分析】选B.画出可行域如图所示,设x+2y=z,则1z y x ,22=-+ 当直线经过点(2,-1)时z 取得最小值, z min =2+2×(-1)=0,即z ≥0, 所以命题p 1,p 2是真命题.4.(12分)已知命题p:方程2x 2+ax-a 2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实数x 满足不等式x 2+2ax+2a ≤0,若命题“p ∨q ”是假命题,求a 的取值范围. 【详细分析】由2x 2+ax-a 2=0,得(2x-a)(x+a)=0,所以x=a2或x=-a,所以当命题p 为真命题时,|a2|≤1或|-a|≤1,所以|a|≤2. 又“只有一个实数x 满足不等式x 2+2ax+2a ≤0”.即抛物线y=x 2+2ax+2a 与x 轴只有一个公共点,所以Δ=4a 2-8a=0,所以a=0或a=2. 所以当命题q 为真命题时,a=0或a=2. 因为命题“p ∨q ”为假命题,所以a>2或a<-2;即a 的取值范围为a>2或a<-2.5.(13分)(能力挑战题)设a 为实数,给出命题p:关于x 的不等式x 11()2-≥a 的解集为∅,命题q:函数f(x)=lg[ax 2+(a-2)x+98]的定义域为R,若命题“p ∨q ”为真,“p ∧q ”为假,求a 的取值范围.【详细分析】若p 正确,则由0<x 11()2-≤1,得a>1.若q 正确,则ax 2+(a-2)x+98>0解集为R. 当a=0时,-2x+98>0不合题意,舍去; 当a ≠0时,则2a 0,9(a 2)4a 0,8>⎧⎪⎨--⨯<⎪⎩解得12<a<8. 由题意知,p 和q 中有且仅有一个正确,所以a 1,1a a 82>⎧⎪⎨≤≥⎪⎩或或a 1,1a 8,2≤⎧⎪⎨<<⎪⎩ 所以a ≥8或12<a ≤1. 【方法技巧】根据命题真假确定参数取值范围的方法 (1)把所给命题当真求出参数的取值范围.(2)根据含逻辑联结词命题的真值表递推所给命题的真假. (3)由(2)的结果列关于参数的不等式(组),并解之即可.课时提升作业(四) 函数及其表示(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·青岛模拟)若函数f(x)=|x|的定义域为M={-1,0,1},值域为N,则M ∩N=( ) A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{0}D.{1}【详细分析】选B.由题意N={0,1},所以M ∩N={0,1}. 2.(2015·淮南模拟)函数y=+的定义域是( )A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C.[-1,1)∪(1,+∞)D.(-1,1)∪(1,+∞)【详细分析】选C.由得x ≥-1且x ≠1.3.下列四组函数中,表示同一函数的是( )A.f(x)=|x|,g(x)=2xB.f(x)=lg x 2,g(x)=2lg xC.f(x) =2x 1x 1--,g(x)=x+1D.f(x)=x 1+·x 1-,g(x)=2x 1-【详细分析】选A.A 中,g(x)=2x =|x|,两个函数的定义域和对应法则相同,是同一函数;B 中的两个函数的定义域不同,故不表示同一函数;C 中,f(x)=2x 1x 1--=x+1(x ≠1),与g(x)=x+1两个函数的定义域不同,故不表示同一函数;D 中,f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),所以不是同一函数.4.已知函数f(x)=x 2,x 0,x 1,x 0.⎧>⎨+≤⎩若f(a)+f(1)=0,则实数a 的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3【详细分析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a +2=0,可见不存在实数a 满足条件,当a ≤0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件,故选A. 【一题多解】本题还可以采用如下解法:选A.方法一:由指数函数的性质可知:2x >0,又因为f(1)=2,所以a ≤0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得:a=-3.故选A.方法二:验证法,把a=-3代入得f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.【加固训练】若函数f(x)=则f(f(10))= ( )A.lg101B.2C.1D.0【详细分析】选B.f(10)=lg10=1,故f(f(10))=f(1)=12+1=2.【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.(2015·临沂模拟)设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式是( )A.2x+1B.2x-1C.2x-3D.2x+7【详细分析】选B.g(x+2)=f(x)=2x+3=2(x+2)-1,令t=x+2,则g(t)=2t-1,故g(x)=2x-1.6.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【详细分析】选C.从球的形状可知,液体的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.7.(2015·太原模拟)根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为c,x A,xf(x)c,x A A⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩(A,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( ) A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【详细分析】选D.因为组装第A 件产品用时15分钟, 所以cA=15,① 所以必有4<A,且c c24==30.② 联立①②解得c=60,A=16. 二、填空题(每小题5分,共15分) 8.函数y=x 1x++ln(2-x)的定义域为 . 【详细分析】由已知得x 10,x 0,2x 0,+≥⎧⎪≠⎨⎪->⎩解得-1≤x<2且x ≠0,所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,2).答案:[-1,0)∪(0,2)9.(2015·龙岩模拟)已知f(x)=则f(f(3))的值为 .【详细分析】f(3)=log 3(9-6)=1,所以f(f(3))=f(1)=3e 0=3. 答案:310.(2015·杭州模拟)若f(x)=x221+ +sin x,则f(-2)+f(-1)+f(0)+f (1)+ f(2)= . 【详细分析】因为f(x)=x 221++sin x, 所以f(-x)=x 221-+-sin x=x x 2221⨯+-sin x,故f(x)+f(-x)=2,则有f(2)+f(-2)=2,f(1)+f(-1)=2,而f(0)=0221++ sin 0=1, 所以f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=5. 答案:5(20分钟 40分)1.(5分)(2015·中山模拟)若一系列函数的解+析+式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解+析+式为y=x 2+1,值域为{1,3}的同族函数有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个【详细分析】选C.由x 2+1=1得x=0,由x 2+1=3得x=±2,所以函数的定义域可以是{0,2},{0,-2},{0,2,-2},故值域为{1,3}的同族函数共有3个. 【加固训练】具有性质:f(1x)=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数: ①f(x)=x-1x ;②f(x)=x+1x; ③f(x)=x,0x 1,0,x 1,1,x 1x⎧⎪<<⎪=⎨⎪⎪->⎩满足“倒负”交换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①【详细分析】选B.①f(1x )=1x-x=-f(x),满足. ②f(1x )=1x+x=f(x),不满足. ③0<x<1时,f(1x )=-x=-f(x),x=1时,f(1x )=0=-f(x),x>1时,f(1x )=1x=-f(x),满足.2.(5分)设函数f(x)满足f(x)=1+f log 2x,则f(2)= .【详细分析】由已知得f=1-f·log 22,则f=,则f(x)=1+·log 2x,故f(2)=1+·log 22=. 答案:3.(5分)设函数f(x)=2(x 1),x 1,4x 1,x 1,⎧+<⎪⎨--≥⎪⎩则使得f(x)≥1的自变量x 的取值范围是 .【详细分析】f(x)≥1等价于2x 1,(x 1)1<⎧⎨+≥⎩或x 1,4x 11,≥⎧⎪⎨--≥⎪⎩由2x 1,(x 1)1<⎧⎨+≥⎩得x ≤-2或0≤x<1. 由x 1,4x 11≥⎧⎪⎨--≥⎪⎩得1≤x ≤10. 综上所述,x 的取值范围是x ≤-2或0≤x ≤10. 答案:x ≤-2或0≤x ≤104.(12分)(2015·珠海模拟)设函数f(x)=x ax b,x 0,2,x 0,+<⎧⎨≥⎩且f(-2)=3,f(-1)=f(1).(1)求f(x)的解+析+式. (2)画出f(x)的图象.【详细分析】(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得2a b 3,a b 2,-+=⎧⎨-+=⎩解得a=-1,b=1,所以f(x)=x x 1,x 0,2,x 0.-+<⎧⎨≥⎩(2)f(x)的图象如图:5.(13分)(能力挑战题)若函数f(x)=.(1)求的值.(2)求f(3)+f(4)+…+f(2015)+f+f+…+f的值.【详细分析】(1)因为f(x)==1-,所以==-1.(2)由f(x)=1-得,f=1-=1-,所以,两式两边分别相加,得f(x)+f=0,所以,f(3)+f(4)+…+f(2015)+f+f+…+f=0×2013=0.课时提升作业(五)函数的单调性与最值(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列函数中,在区间(1,+∞)上是增函数的是( )A.y=-x+1B.y=1 1x -C.y=-(x-1)2D.y=31-x【详细分析】选B.函数y=-x+1在(1,+∞)上为减函数;y=11x-在(1,+∞)上为增函数;y=-(x-1)2在(1,+∞)上为减函数;y=31-x在(1,+∞)上为减函数,故选B.2.(2015·济南模拟)“m=1”是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【详细分析】选B.若m=1,则f(x)=x2-6x+6=(x-3)2-3,由二次函数的图象及其性质知,f(x)在区间(-∞,3]上为单调减函数,即“m=1”是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的充分条件;反过来,若函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数,则3≤3m,即m≥1,不能推出m=1,即“m=1”不是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的必要条件.综上所述,“m=1”是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的充分不必要条件.3.(2015·烟台模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足:对∀x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则( )A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)【详细分析】选 B.因为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,所以函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f(3)>f(2)>f(1).因为f(-2)=f(2),所以f(3)>f(-2)>f(1).【加固训练】(2015·江南十校模拟)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(e)>f(d)【详细分析】选C.依题意得,当x∈(-∞,c)时,f′(x)>0;当x∈(c,e)时,f′(x)<0;当x∈(e,+∞)时,f′(x)>0.因此,函数f(x)在(-∞,c)上是增函数,在(c,e)上是减函数,在(e,+∞)上是增函数,又a<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a).4.(2015·厦门模拟)“a ≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】选C.当a=0时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0时,结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax 2-x|的图象知函数在(0,+∞)上单调递增,如图(1)所示;当a>0时,结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax 2-x|的图象知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不符合条件,如图(2)所示.所以,要使函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充分必要条件.【加固训练】已知函数f(x)=22x ax 1,x 1,ax x 1,x 1,⎧++≥⎪⎨++<⎪⎩则“-2≤a ≤0”是“函数f(x)在R 上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】选B.f(x)在R 上单调递增的充分必要条件是a=0或22a1,2a 0,11,2a1a 11a 111,⎧-≤⎪⎪<⎪⎨⎪-≥⎪⎪+⨯+≥⨯++⎩解得a=0或-12≤a<0,即-12≤a ≤0, 由此可知“-2≤a ≤0”是“函数f(x)在R 上单调递增”的必要而不充分条件,故选B.5.(2015·阜阳模拟)函数y=x+,x∈的值域是( )A.[5,8]B.C.[ 4,8]D.【详细分析】选D.y=x+≥2=4,当x=2∈时“=”成立,所以y min=4, y max=+8=. 6.已知f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,若对任意的x,y ∈R,不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立,则当x>3时,x2+y2的取值范围是( )A.(3,7)B.(9,25)C.(13,49]D.(9,49)【详细分析】选C.因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数y=f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),又因为f(x)是定义在R上的增函数且f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立,所以f(x2-6x+21)<-f(y2-8y)=f(8y-y2)恒成立,所以x2-6x+21<8y-y2,所以(x-3)2+(y-4)2<4恒成立,设M(x,y),则当x>3时,M表示以(3,4)为圆心2为半径的右半圆内的任意一点,则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方,结合圆的知识可知13<x2+y2≤49.7.设x∈R,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数x,都有f(f(x)-e x)=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln 2)的值等于( )A.1B.e+1C.3D.e+3【解题提示】利用换元法,将函数转化为f(t)=e+1,根据函数的对应关系求出t的值,即可求出函数f(x)的表达式,即可得到结论.【详细分析】选C.设t=f(x)-e x,则f(x)=e x+t,则条件等价为f(t)=e+1,令x=t,则f(t)=e t+t=e+1,因为函数f(x)为单调递增函数,所以函数为一对一函数,解得t=1, 所以f(x)=e x+1,即f(ln 2)=e ln 2+1=2+1=3.故选C. 二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·郑州模拟)定义运算a bc d　=ad-bc,若函数f(x)=x12x x3--+　在(-∞,m)上单调递减,则实数m的取值范围是.【详细分析】由已知得f(x)=(x-1)(x+3)+2x=(x+2)2-7,在(-∞,-2]上单调递减,要使函数f(x)在(-∞,m)上单调递减,所以m≤-2.答案:(-∞,-2]【加固训练】设函数f(x)=ax1x2a++在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a的取值范围是.【详细分析】因为f(x)=222ax2a2a12a1a, x2a x2a+-+-=-++函数f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数,所以22a10, 2a2,⎧->⎨-≤-⎩解得a≥1.答案:[1,+∞)9.(2014·天津高考)函数f(x)=lgx2的单调递减区间是.【详细分析】设t=x2,根据复合函数的单调性可知,当t=x2单调递减时,函数f(x)=lgx2单调递减,而函数t=x2的单调递减区间为(-∞,0),故函数f(x)=lgx2的单调递减区间是(-∞,0).答案:(-∞,0)10.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为 .【详细分析】由f(x)=min{2x ,x+2,10-x}(x ≥0)画出图象,最大值在A 处取到,联立y x 2,y 10x,=+⎧⎨=-⎩得y=6.答案:6(20分钟 40分)1.(5分)定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)在[a,b]上有( ) A.最小值f(a) B.最大值f(b) C.最小值f(b)D.最大值a bf()2+ 【解题提示】先探究f(x)在[a,b]上的单调性,再判断最值情况. 【详细分析】选C.设x 1<x 2, 由已知得f(x 1)=f((x 1-x 2)+x 2) =f(x 1-x 2)+f(x 2).又x 1-x 2<0,所以f(x 1-x 2)>0,所以f(x 1)>f(x 2),即f(x)在R 上为减函数, 所以f(x)在[a,b]上亦为减函数, 所以f(x)min =f(b),f(x)max =f(a),故选C. 2.(5分)(2015·太原模拟)使函数y=2x kx 2+-与y=log 3(x-2)在(3,+∞)上具有相同的单调性,则实数k 的取值范围是 .【详细分析】由y=log3(x-2)的定义域为(2,+∞),且为增函数,故在(3,+∞)上是增函数.又函数2x k2(x2)4k4k y2, x2x2x2+-+++ ===+---使其在(3,+∞)上是增函数,故4+k<0,得k<-4.答案:(-∞,-4)3.(5分)函数f(x)=x+2的最大值为.【详细分析】方法一:设=t(t≥0),所以x=1-t2. 所以y=x+2=1-t2+2t=-t2+2t+1=-(t-1)2+2.所以当t=1,即x=0时,y max=2.方法二:f(x)的定义域为{x|x≤1},f′(x)=1-.由f′(x)=0,得x=0.当0<x≤1时,f′(x)<0,f(x)为减函数.当x<0时,f′(x)>0,f(x)为增函数.所以当x=0时,f(x)max=f(0)=2.答案: 24.(12分)(2015·宁波模拟)已知函数f(x)=lg(x+ax-2),其中a是大于0的常数.(1)求函数f(x)的定义域.(2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值.(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.【详细分析】(1)由x+ax-2>0,得2x2x a0,x-+>当a>1时,x 2-2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞), 当a=1时,定义域为{x|x>0且x ≠1},当0<a<1时,定义域为{x|0<x<1-1a -或x>1+1a -}. (2)设g(x)=x+ax-2,当a ∈(1,4),x ∈[2,+∞)时, g ′(x)=222a x a1x x --=>0恒成立,所以g(x)=x+ax -2在[2,+∞)上是增函数. 所以f(x)=lg(x+ax -2)在[2,+∞)上是增函数.所以f(x)=lg(x+ax -2)在[2,+∞)上的最小值为f(2)=lg a2.(3)对任意x ∈[2,+∞)恒有f(x)>0, 即x+ax-2>1对x ∈[2,+∞)恒成立. 所以a>3x-x 2, 令h(x)=3x-x 2, 而h(x)=3x-x 2=-(x-32)2+94在x ∈[2,+∞)上是减函数, 所以h(x)max =h(2)=2.所以a>2.5.(13分)(能力挑战题)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f =f(x 1)-f(x 2),且当x>1时,f(x)<0. (1)求f(1)的值.(2)证明:f(x)为单调递减函数.(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值. 【详细分析】(1)令x 1=x 2>0, 代入得f(1)=f(x 1)-f(x 1)=0,故f(1)=0.(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0,所以f<0,即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),所以函数f(x)为单调递减函数.(3)因为f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数,所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9).由f=f(x1)-f(x2)得,f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.所以f(x)在[2,9]上的最小值为-2.课时提升作业(六)函数的奇偶性与周期性(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·蚌埠模拟)已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数,则f(1)的值( )A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负【详细分析】选A.因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)是R上的单调递增函数,所以f(1)>f(0)=0.2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A.y=1xB.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg |x|【详细分析】选C.A中,y=1x为奇函数,故排除A;B中,y=e-x为非奇非偶函数,故排除B;C中,y=-x2+1的图象关于y轴对称,故为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减;D中,y=lg |x|为偶函数,在x∈(0,+∞)时单调递增,排除D.3.(2015·泉州模拟)设f(x)是周期为4的奇函数,当0≤x≤2时,f(x)=x(2-x),则f(2015)等于( )A.1B.-1C.3D.-3【详细分析】选B.f(2015)=f(4×503+3)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-f(1)=-1×(2-1)=-1.【方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合,解题时注意以下两点:(1)周期的确定:特别是给出递推关系要明确周期如何确定.(2)周期性与奇偶性在解题时,一般情况下周期性起到自变量值转换作用,奇偶性起到调节转化正负号的作用.【加固训练】(2015·皖北八校模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-2,0)时,f (x)=2x+12,则f(2 013)=( )A.-1B.0C.1D.±1【详细分析】选A.因为f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.因为f(x-2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x),即函数的周期为4.所以f(2 013)=f(4×503+1)=f(1).因为f(-1)=2-1+12=1,f(-1)=-f(1)=1,即f(1)=-1,所以f(2013)=f(1)=-1,故选A.4.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为( )A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数【详细分析】选 D.当n为整数时,必有[n+x]=n+[x]成立.设k∈Z,且k≠0,则f(x+k)=(x+k)-[x+k]=(x+k)-([x]+k)=x-[x]=f(x),所以f(x)必为周期函数,故选D.【一题多解】本题还可以采用如下方法:。

高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 D单元 数列(文科2016年) Word版含答

高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 D单元 数列(文科2016年) Word版含答

数学D 单元 数列D1 数列的概念与简单表示法D2 等差数列及等差数列前n 项和 8．D2[2016·浙江卷] 如图1-2，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *.(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列8．A[解析]由题意得，A n 是线段A n －1A n ＋1(n ≥2)的中点，B n 是线段B n －1B n ＋1(n ≥2)的中点，且线段A n A n ＋1的长度都相等，线段B n B n ＋1的长度都相等．过点A n 作高线h n ，由A 1作高线h 2的垂线A 1C 1，由A 2作高线h 3的垂线A 2C 2，则h 2－h 1＝|A 1A 2|sin ∠A 2A 1C 1，h 3－h 2＝|A 2A 3|sin ∠A 3A 2C 2.而|A 1A 2|＝|A 2A 3|，∠A 2A 1C 1＝∠A 3A 2C 2，故h 1，h 2，h 3成等差数列，故△A n B n B n ＋1的面积构成的数列{S n }8．D2[2016·江苏卷] 已知{a n n a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．8．20[解析]因为S 5＝5a 3＝10，所以a 3＝2，设其公差为d ，则a 1＋a 22＝2－2d ＋(2－d )2＝d 2－6d ＋6＝－3，解得d ＝3，所以a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20.15．D2，D3，D4[2016·北京卷] 已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．15．解：(1)等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27.设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 所以1＋13d ＝27，即d ＝2，所以a n ＝2n －1(n ＝1，2，3，…)．(2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1，从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1 ＝n （1＋2n －1）2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n －12.17．D2，D3[2016·全国卷Ⅰ] 已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．17．解：(1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，其通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－(13)n1－13＝32－12×3n －1.19．D2，D4，H6[2016·四川卷] 已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2n .19．解：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列，从而a n ＝q n －1.由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，所以a 3＝2a 2，故q ＝2，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，a n ＝q n －1，所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2（n －1）. 由e 2＝1＋q 2＝2，解得q ＝3，所以e 21＋e 22＋…＋e 2n ＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q 2(n －1)]＝n ＋[1＋q 2＋…＋q 2(n －1)]＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12(3n －1)．17．D2[2016·全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.17．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得a 1＝1，d ＝25. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝[2n ＋35].当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 19．D2、D4[2016·山东卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n，求数列{c n }的前n 项和T n .19．解：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式． 所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d . 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 由T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]， 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×[4＋4×（1－2n ）1－2－(n ＋1)×2n ＋2]＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.18．D2、D3[2016·天津卷] 已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．18．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12，即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n ) ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n （b 1＋b 2n ）2＝2n 2. 17．D2、D3[2016·浙江卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．17．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，所以b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3.当n ≥3时，T n ＝3＋9（1－3n －2）1－3－（n ＋7）（n －2）2＝3n －n 2－5n ＋112，n ＝2也适合此式，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *. D3 等比数列及等比数列前n 项和7．D3[2016·四川卷] 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) A ．2018年B ．2019年 C ．2020年D ．2021年7．B[解析]设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元．由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x ＝log 1.12200130＝lg2－lg1.3lg1.12≈3.80.又资金需超过200万元，所以x 的值取4，即该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．18．D2、D3[2016·天津卷] 已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．18．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12，即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n ) ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n （b 1＋b 2n ）2＝2n 2. 17．D2、D3[2016·浙江卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．17．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3. 又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，所以b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3.当n ≥3时，T n ＝3＋9（1－3n －2）1－3－（n ＋7）（n －2）2＝3n －n 2－5n ＋112，n ＝2也适合此式，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *. 20．A1、D3、D5[2016·江苏卷] 记U ＝{1，2，…，100}．对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1，2，…，k }，求证：S T <a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D .20．解：(1)由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *.于是当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，所以30a 1＝30，即a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)证明：因为T ⊆{1，2，…，k }，a n ＝3n －1>0，n ∈N *，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k .因此，S T <a k ＋1.(3)证明：下面分三种情况证明．①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集．令E ＝C ∩(∁U D )，F ＝D ∩(∁U C )，则E ≠∅，F ≠∅，E ∩F ＝∅. 于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D ，得S E ≥S F . 设k 是E 中最大的数，l 为F 中最大的数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l .由(2)知，S E <a k ＋1，于是3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k ，所以l －1<k ，即l ≤k . 又k ≠l ，故l ≤k －1，从而S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1， 即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1.综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D .15．D2，D3，D4[2016·北京卷] 已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．15．解：(1)等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27.设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 所以1＋13d ＝27，即d ＝2，所以a n ＝2n －1(n ＝1，2，3，…)．(2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1， 从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1 ＝n （1＋2n －1）2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n －12.17．D2，D3[2016·全国卷Ⅰ] 已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．17．解：(1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，其通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－(13)n1－13＝32－12×3n －1.17．D3、D4[2016·全国卷Ⅲ] 已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n－2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．17．解：(1)由题意得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为数列{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12，故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.D4 数列求和 14．D4[2016·上海卷] 无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和．若对任意的n ∈N *，S n ∈{2，3}，则k 的最大值为________．14．4[解析]由S n ∈{2，3}，得a 1＝S 1∈{2，3}．将数列写出至最多项，其中有相同项的情况舍去，共有如下几种情况：①a 1＝2，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝－1； ②a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1； ③a 1＝2，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝0； ④a 1＝3，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝1； ⑤a 1＝3，a 2＝－1，a 3＝0，a 4＝1； ⑥a 1＝3，a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝0. 最多项均只能写到第4项，即k max ＝4. 15．D2，D3，D4[2016·北京卷] 已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．15．解：(1)等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27.设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 所以1＋13d ＝27，即d ＝2，所以a n ＝2n －1(n ＝1，2，3，…)．(2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1， 从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n （1＋2n －1）2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n －12.17．D3、D4[2016·全国卷Ⅲ] 已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n－2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．17．解：(1)由题意得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为数列{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12，故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.19．D2，D4，H6[2016·四川卷] 已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2n .19．解：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列，从而a n ＝q n －1.由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，所以a 3＝2a 2，故q ＝2，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，a n ＝q n －1，所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2（n －1）. 由e 2＝1＋q 2＝2，解得q ＝3，所以e 21＋e 22＋…＋e 2n ＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q 2(n －1)]＝n ＋[1＋q 2＋…＋q 2(n －1)]＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12(3n －1)． 19．D2、D4[2016·山东卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n，求数列{c n }的前n 项和T n .19．解：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式． 所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d . 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 由T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]， 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×[4＋4×（1－2n ）1－2－(n ＋1)×2n ＋2]＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2. D5 单元综合20．A1、D3、D5[2016·江苏卷] 记U ＝{1，2，…，100}．对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1，2，…，k }，求证：S T <a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D .20．解：(1)由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *.于是当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，所以30a 1＝30，即a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)证明：因为T ⊆{1，2，…，k }，a n ＝3n －1>0，n ∈N *，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k .因此，S T <a k ＋1.(3)证明：下面分三种情况证明．①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集．令E ＝C ∩(∁U D )，F ＝D ∩(∁U C )，则E ≠∅，F ≠∅，E ∩F ＝∅. 于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D ，得S E ≥S F . 设k 是E 中最大的数，l 为F 中最大的数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l .由(2)知，S E <a k ＋1，于是3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k ，所以l －1<k ，即l ≤k . 又k ≠l ，故l ≤k －1，从而S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1， 即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1.综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D . 22．D5[2016·上海卷] 对于无穷数列{a n }与{b n }，记A ＝{x |x ＝a n ，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝b n ，n ∈N *}，若同时满足条件：①{a n }，{b n }均单调递增；②A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *，则称{a n }与{b n }是无穷互补数列．(1)若a n ＝2n －1，b n ＝4n －2，判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列，并说明理由； (2)若a n ＝2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列，求数列{b n }的前16项的和； (3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列，{a n }为等差数列且a 16＝36，求{a n }与{b n }的通项公式．22．解：(1)因为4∉A ，且4∉B ，所以4∉A ∪B ， 从而{a n }与{b n }不是无穷互补数列． (2)因为a 4＝16，所以b 16＝16＋4＝20.数列{b n }的前16项的和为(1＋2＋…＋20)－(2＋22＋23＋24) ＝1＋202×20－(25－2)＝180. (3)设{a n }的公差为d ，d ∈N *，则a 16＝a 1＋15d ＝36. 由a 1＝36－15d ≥1，得d ＝1或2.若d ＝1，则a 1＝21，a n ＝n ＋20，与“{a n }与{b n }是无穷互补数列”矛盾；若d ＝2，则a 1＝6，a n ＝2n ＋4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ≤5，2n －5，n >5.综上，a n ＝2n ＋4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ≤5，2n －5，n >5.1．[2016·河北衡水中学期末]已知数列2，6，10，14，32，…，那么72是这个数列的第( )A ．23项B ．25项C ．19项D ．24项1．B[解析]从数列2，6，10，14，32，…知此数列的通项公式为a n ＝4n －2，令4n －2＝72，解得n ＝25.1．[2016·温州十校联考]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝( ) A.8B ．10 C ．12D ．141．C[解析]设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S 3＝3×2＋3×22d ＝12，解得d ＝2，则a 6＝a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.14．[2016·福州高三期末]已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋2为等比数列，且a 2＝16，a 4＝96，则a n ＝________.14．2n (n ＋2)或(－2)n (n ＋2) [解析]设b n ＝a nn ＋2，{b n }的公比为q ，则b 2＝4，b 4＝16，∴q ＝－2或2.当q ＝2时，b n ＝a n n ＋2＝2n ，∴a n ＝2n (n ＋2)；当q ＝－2时，b n ＝a nn ＋2＝(－2)n ，∴a n ＝(－2)n (n ＋2)．。

【三维设计】2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义：第五章 数列 Word版含答案

【三维设计】2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义：第五章 数列 Word版含答案

第五章 数 列第一节数列的概念与简单表示法对应学生用书P71基础盘查一 数列的有关概念 (一)循纲忆知了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前n 项和) (二)小题查验 1．判断正误(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列( ) (2)同一个数在数列中可以重复出现( ) (3)a n 与{a n }是不同的概念( )(4)所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(人教A 版教材例题改编)写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，－12，13，－14；(2)2,0,2,0.答案：(1)a n ＝(－1)n ＋1n(2)a n ＝(－1)n ＋1＋1基础盘查二 数列的表示方法 (一)循纲忆知1．了解数列三种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法)； 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． (二)小题查验 1．判断正误(1)数列是一种特殊的函数( )(2)毎一个数列都可用三种表示法表示( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋3，则a 5等于________．答案：1161基础盘查三 数列的分类 (一)循纲忆知了解数列的分类(按项数分、按项间的大小等)． (二)小题查验1．(人教B 版教材例题改编)已知函数f (x )＝x －1x ，设a n ＝f (n )(n ∈N *)，则{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)答案：递增2．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的________条件． 答案：充分不必要对应学生用书P71考点一 由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[提醒] 不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一．[题组练透]1．已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1＋(－1)n 2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①③④解析：选A 检验知①②③都是所给数列的通项公式． 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)，n ∈N *.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n (n ＋1)，n ∈N *.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1，n ∈N *.[类题通法]用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)[必备知识]数列的前n 项和通常用S n 表示，记作S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则通项a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[提醒] 若当n ≥2时求出的a n 也适合n ＝1时的情形，则用一个式子表示a n ，否则分段表示．[典题例析]已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b . 解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.[类题通法]已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[演练冲关]已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合于此式， 所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.考点三 由递推关系式求数列的通项公式(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．[多角探明]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接.n ＋1n n 1．在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .求数列{a n }的通项公式．解：由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n (n ＋1)2.又∵a 1＝1，∴a n ＝n (n ＋1)2.角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n2．(1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，求数列{a n }的通项公式．(2)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，求数列{a n }的通项公式． 解：(1)由题意，得a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n . (2)由题意知a n ＋1－a n ＝2n ，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n 1－2＝2n－1.角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.角度四：形如a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．[类题通法]由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三、四)转化为特殊数列求通项．对应A 本课时跟踪检测(二十九)一、选择题1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A.n 2n ＋1B.n 2n －1C.n 2n －3D.n 2n ＋3解析：选B 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n －1.2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1 B ．n 2 C.(n ＋1)2n 2D.n 2(n －1)2解析：选D 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2.3．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72.故选B. 4．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024 解析：选C 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.∴a 9＝a 6·a 3＝64×8，a 9＝512.故选C.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝kn 2，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)解析：选A 由S n ＝kn 2得a n ＝k (2n －1)．因为a n ＋1＞a n ，所以数列{a n }是递增的，因此k ＞0，故选A.6．(2015·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0， ∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. 二、填空题7．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第____________项．解析：令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．答案：108．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3－3×2n ，n ∈N *，则a n ＝________. 解析：分情况讨论：①当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－3×21＝－3；②当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3－3×2n )－(3－3×2n －1)＝－3×2n －1.综合①②，得a n ＝－3×2n －1.答案：－3×2n －19．(2015·大连双基测试)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n .答案：3n10．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：28 三、解答题11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2； 同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 12．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4， a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a的取值范围为(－10，－8)．第二节等差数列及其前n项和对应学生用书P73基础盘查一等差数列的有关概念(一)循纲忆知理解等差数列的概念(定义、公差、等差中项)．(二)小题查验1．判断正误(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列的公差是相邻两项的差()(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2()答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教A版教材例题改编)判断下面数列是否为等差数列．(只写结果)(1)a n＝2n－1；(2)a n＝pn＋q(p、q为常数)．答案：(1)是(2)是基础盘查二等差数列的有关公式(一)循纲忆知1．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；2．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；3．了解等差数列与一次函数的关系．(二)小题查验1．判断正误(1)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的()(2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(3)已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列()答案：(1)√(2)√(3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________.答案：114(75n －5n 2)基础盘查三 等差数列的性质 (一)循纲忆知掌握等差数列的性质及其应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)在等差数列{a n }中，若a m ＋a n ＝a p ＋a q ，则一定有m ＋n ＝p ＋q ( ) (2)数列{a n }，{b n }都是等差数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等差数列( )(3)等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，一定还是等差数列( )(4)数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋5，则数列{a n }的公差与函数y ＝3x ＋5的图象的斜率相等( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．(北师大版教材例题改编)已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________ 答案：－15－n3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于________． 答案：88对应学生用书P74考点一 等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. [题组练透]1．(2014·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. ∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－723.在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0， 解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.[类题通法]等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．考点二 等差数列的判断与证明(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识](1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．[提醒] 要注意定义中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．[一题多变][典型母题][题点发散1] 试说明本例中数列{a n }是不是等差数列． 解：当n ≥2时，a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1).∴当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列． [题点发散2] 若将本例条件改为“a 1＝2，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)”，问题不变，试求解．解：(1)∵S n ＝S n －12S n －1＋1，∴1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2. ∴1S n －1S n －1＝2. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以12为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，即S n ＝12n －32.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72 ＝－2⎝⎛⎭⎫2n －32⎝⎛⎭⎫2n －72；当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n＝⎩⎨⎧2(n ＝1)，－2⎝⎛⎭⎫2n －32⎝⎛⎭⎫2n －72(n ≥2).[题点发散3] 若本例变为：已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列． 证明：∵a n ＝2－1a n －1， ∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列． [类题通法]等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .[提醒] 在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．考点三 等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.[典题例析]1．等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24D ．－8解析：选C ∵a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24， ∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.2．(2014·北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．解析：∵数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，∴a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，∴a 9＜0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大．答案：83．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60. 答案：604．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.∵a 1＋a n ＝36，n ＝18，∴a 1＋a 18＝36， 从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.[类题通法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[演练冲关]1．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37解析：选C 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.2．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：选A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．解：∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.法一：由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653. 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.法二：∴S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 法三： 由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.对应B 本课时跟踪检测(三十)[A 卷——夯基保分]一、选择题1．设S n 为等差数列的前n 项和，公差d ＝－2，若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11，得a 11＝0.又已知d ＝－2，则a 11＝a 1＋10d ＝a 1＋10×(－2)＝0，解得a 1＝20.2．(2015·兰州、张掖联考)等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156解析：选B ∵3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24， ∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26，故选B.3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 由S n －S n －3＝51得， a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17， 又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10.4．(2015·辽宁鞍山检测)已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( )A ．1 006×2 013B ．1 006×2 014C ．1 007×2 013D ．1 007×2 014解析：选C 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013. 5．(2015·洛阳统考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.6．(2015·河北唐山一模)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( )A.n (n ＋5)2B.n (5n ＋1)2C.3n (n ＋1)2D.(n ＋3)(n ＋5)2解析：选C 当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2,3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3.当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，又∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n (n －1)2×3＝3n (n ＋1)2，选C.二、填空题7．(2014·江西高考)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________． 解析：∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1， 又a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：109．(2015·无锡一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析：由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，所以数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.答案：21110．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是________．解析：由等差数列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，故当n ＝1,2,3,5,11时，a n b n 为整数，故使得a nb n为整数的正整数n 的个数是5.答案：5 三、解答题11．(2015·长春调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 1＝3，S 5－S 2＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S n,22(a n ＋1＋1)，S n ＋2成等比数列，求正整数n 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 5－S 2＝3a 1＋9d ＝27， 又a 1＝3，则d ＝2，故a n ＝2n ＋1.(2)由(1)可得S n ＝n 2＋2n ，又S n ·S n ＋2＝8(a n ＋1＋1)2， 即n (n ＋2)2(n ＋4)＝8(2n ＋4)2，化简得n 2＋4n －32＝0， 解得n ＝4或n ＝－8(舍)，所以n 的值为4.12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求a n 和S n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c ，求非零常数c .解：(1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴通项公式a n ＝4n －3.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n .(2)由(1)知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c ，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.[B 卷——增分提能]1．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4. ∴a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15(－29＋2×15－31)2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.2．(2015·安徽宿州调研)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：∵f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7 ＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， ∴a n ＝3n －8，∵a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， ∴数列{a n }为等差数列． (2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， ∴当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n [5＋(8－3n )]2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋(n －2)[1＋(3n －8)]2＝3n 2－13n ＋282.∴S n＝⎩⎨⎧13n －3n 22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.3．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18， 解得a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋9n .(2){S n }是“特界”数列，理由如下：由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2 ＝a n ＋2－a n ＋12＝d2＝－1<0， 得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①. 而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝⎛⎭⎫n －922＋814(n ∈N *)， 则当n ＝4或5时，S n 有最大值20， 即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．第三节等比数列及其前n 项和对应学生用书P76基础盘查一 等比数列的有关概念 (一)循纲忆知理解等比数列的概念(定义、公比、等比中项)． (二)小题查验 1．判断正误(1)常数列一定是等比数列( ) (2)等比数列中不存在数值为0的项( )(3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列( ) (4)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≠1 B ．a ≠0或a ≠1 C ．a ≠0 D ．a ≠0且a ≠1答案：D基础盘查二 等比数列的有关公式 (一)循纲忆知1．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3．了解等比数列与指数函数的关系． (二)小题查验 1．判断正误(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n ( ) (2)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a( )答案：(1)× (2)×2．(人教A 版教材习题改编)在等比数列{a n }中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则q ＝________，S 4＝________.答案：－4 51基础盘查三 等比数列的性质 (一)循纲忆知掌握等比数列的性质及应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)q ＞1时，等比数列{a n }是递增数列( )(2)在等比数列{a n }中，若a m ·a n ＝a p ·a q ，则m ＋n ＝p ＋q ( )(3)在等比数列{a n }中，如果m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，那么a m ·a n ＝a 2k ( )(4)若数列{a n }是等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列( )(5)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×2．(北师大版教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列答案：B对应学生用书P76考点一 等比数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.[提醒] 运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论．[题组练透]1．(2015·东北三校联考)已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝1，则数列{a n }的前10项和S 10为( )A.43(210－1) B.43(210＋1) C.43(2－10－1) D.43(2－10＋1) 解析：选C ∵2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1a n ＝－12.又a 2＝1，∴a 1＝－2，∴数列{a n }是首项为－2，公比为q ＝－12的等比数列，∴S 10＝a 1(1－q 10)1－q＝－2(1－2－10)1＋12＝43(2－10－1)，故选C. 2．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析：选C 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21， ∴1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12.3．(2015·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1 解析：选D 设{a n}的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52①，a 1q ＋a 1q 3＝54②，由①②可得1＋q 2q ＋q3＝2，∴q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ， ∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S na n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1，选D.4．设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n ，求数列{b n }前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1， 两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)， 即6a n ＝9(a n －a n －1)，∴a n ＝3a n －1.∴数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)∵b n ＝1a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －2，∴{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝92⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n .[类题通法]解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.考点二 等比数列的判定与证明(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定义的表达式为a n ＋1a n＝q .2．等比中项G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . [提醒] 在等比数列中每项与公比都不为0.[一题多变][典型母题][题点发散1] 在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2), 证明：{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 ＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . ∴b n ＋1b n ＝12，数列{b n }是等比数列． [题点发散2] 本例条件变为：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)．试判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列． 解：由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n .令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n .∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1c n＝p (非零常数)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是等比数列． [类题通法]等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．考点三 等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 4n 不一定构成等比数列．[典题例析]1．(2015·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14， 答案：142．(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50. 答案：50[类题通法]等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[演练冲关]1．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 8＝a 6＋2a 4即为a 4q 4＝a 4q 2＋2a 4，解得q 2＝2(负值舍去)，又a 2＝1，所以a 6＝a 2q 4＝4.答案：42．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.解析：由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.答案：－12对应A 本课时跟踪检测(三十一)[A 卷——夯基保分]一、选择题1．(2014·重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．(2015·昆明、玉溪统考)等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎫1－14n D.23⎝⎛⎭⎫1－12n 解析：选C 依题意，a n ＝2n －1，1a n a n ＋1＝12n －1·2n ＝122n －1＝12×14n －1，所以T n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n . 3．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 014，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 014×1010B ．2 014×1011C ．2 015×1010D ．2 015×1011解析：选A 由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n ＝1，即a n ＋1a n＝10，所以{a n }是公比为10的等比数列．因为(a 2 001＋…＋a 2 010)·q 10＝a 2 011＋…＋a 2 020，所以a 2 011＋…＋a 2 020＝2 014×1010，选A.4．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：选A 由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n ，从而得a n ＝2n.法一：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22n (2n－1)＝n (2n －1)．法二：取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3解析：选B 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8.∴a 2m a m ＝a 1q2m －1a 1q m 1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，∴m ＝3，∴q 3＝8， ∴q ＝2.6．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：选D ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n ＝q ，从而{A n }为等比数列．二、填空题7．(2014·安徽高考)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.解析：法一：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列，又a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5是常数列，故q ＝1.法二：因为数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，得d 2＋4d ＋4＝0，即d ＝－2，所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1.答案：18．(2015·兰州模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝________.解析：a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2，。

高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测16Word版含解析

高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测16Word版含解析

课时追踪检测 (十六 )[高考基础题型得分练 ]1．方程 x3－6x2＋9x－10＝0 的实根个数是 ()A ．3B．2C．1D．0答案： C分析：设 f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x －3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－ 6＜0，极小值为f(3)＝－ 10＜0，所以方程 x3－6x2＋9x－10＝0 的实根有 1 个．2．若存在正数 x 使 2x(x－a)＜1 成立，则 a 的取值范围是 ()A ．(－∞，＋∞ )B．(－2，＋∞ )C．(0，＋∞ )D．(－1，＋∞ )答案： D分析：∵2x－a)＜，∴＞－1x(x 1 a x 2 .1令 f(x)＝x－2x，∴f′(x)＝1＋2－x ln 2＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单一递加，∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－ 1，∴a 的取值范围为 (－1，＋∞)．3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为()A ．3B ．4C ．6D ．5答案： A分析：设圆柱的底面半径为 R ，母线长为 l ，则 V ＝πR 2 ＝ π，∴l 27 27l ＝R 2.要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小．由题意， S ＝πR 2 27＋2πRl ＝πR 2＋2π·. R54π∴S ′＝2πR － R 2 ，令 S ′＝0，得 R ＝3，则当 R ＝3 时，S 最小．故选 A.4．[2017 ·河北衡水中学一调 ]设曲线 f(x)＝－ e x－x(e 为自然对数的底数 )上随意一点处的切线为l 1，若总存在曲线 g(x)＝3ax ＋2cos x上某点处的切线 l 2，使得 l 1⊥l 2，则实数 a 的取值范围为 ()A ．[－1,2]B ．(3，＋∞ )C. －2，1D. －1，23 33 3答案： D分析： 由 f(x)＝－ e x －x ，得 f ′(x)＝－ e x －1，因为 e x＋1>1，所以1∈(0,1)，e x ＋1由 g(x)＝3ax ＋2cos x ，得 g ′(x)＝3a －2sin x ，又－ 2sin x ∈[－2,2]，所以 3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a] ，要使过曲线 f(x)＝－ e x －x 上随意一点的切线 l 1，总存在过曲线 g(x)－2＋3a ≤0，＝3ax ＋2cos x 上一点处的切线 l 2，使得 l 1⊥l 2，则2＋3a ≥1，解得－1 23≤a ≤，应选 D.3x15．[2017 ·河北石家庄模拟 ]已知函数 f(x)＝x e －e x ，若 f(x 1)＜f(x 2)，则()A ．x 1＞x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1＜x 2D ．x 12＜ x 22答案： D－x1 1分析：因为 f(－ x)＝－ x e－x ＝x ex－ x ＝f(x)，所以 f(x)为偶e－e函数，由 f(x 1)＜f(x 2)，得 f(|x 1|)＜f(|x 2|)(*) ．x1x1又 f ′(x)＝e －e x ＋x e ＋e xe 2xx ＋1 ＋ x －1＝e x.当 x ≥0 时， e 2x(x ＋1)＋x －1≥e 0(0＋1)＋0－1＝0，则 f ′(x)≥0，所以 f(x)在[0 ，＋ ∞)上为增函数，进而由 (*) 式得 |x 1|＜|x 2|，即 x21＜x 22.6．[2017 ·辽宁沈阳一模 ]若定义在 R 上的函数 f(x)知足 f(x)＋f ′(x)3＞1，f(0)＝4，则不等式f(x)＞e x ＋ 1(e 为自然对数的底数 )的解集为()A ．(0，＋∞ )B．(－∞， 0)∪(3，＋∞ )C．(－∞， 0)∪(0，＋∞ )D．(3，＋∞ )答案： A分析：由 f(x)＞e 3x＋1，得 ex f(x)＞3＋e x.结构函数F(x)＝e x f(x)－e x－3，得 F′(x)＝e x f(x)＋e x f′(x)－e x＝e x[f(x)＋f′(x)－1]．由 f(x)＋f′(x)＞1，e x＞0，可知 F′(x)＞0，即 F(x)在R上单一递加．又因为 F(0)＝e0f(0)－ e0－3＝f(0)－4＝0.所以 F(x)＞0 的解集为 (0，＋∞)．7．已知函数 f(x)＝ax3－3x＋1 对 x∈(0,1]总有 f(x)≥0 成立，则实数 a 的取值范围是 ________．答案： [4，＋∞ )3x－1分析：当 x∈(0,1]时，不等式 ax3－3x＋1≥0 可化为 a≥x3，设3x－1g(x)＝x3，x∈(0,1]，13x3－ 3x－1 ·3x2 6 x－2g′(x)＝x6＝－x4.1由 g ′(x)＝0 得 x ＝2，当 x 变化时， g ′(x)与 g(x)的变化状况以下表：x0， 1 1 1 22 ，12g ′(x) ＋－g(x)极大值 4所以 g(x)的最大值为 4，则实数 a 的取值范围是 [4，＋ ∞)．8．已知函数 y ＝ x 3－3x ＋c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则c＝ ________.答案：－2或 2分析： 设 f(x)＝x 3－3x ＋c ，对 f(x)求导可得， f ′(x)＝3x 2－3，令f ′(x)＝0，可得 x ＝±1，易知 f(x)在(－∞，－ 1)，(1，＋ ∞)上单一递增，在 (－1,1)上单一递减．若 f(1)＝1－3＋c ＝0，可得 c ＝2；若 f(－1)＝－ 1＋3＋c ＝0，可得 c ＝－ 2.9．设直线 x ＝t 与函数 f(x)＝x 2，g(x)＝ln x 的图象分别交于点 M ，N ，则当 |MN|达到最小时 t 的值为 ________．2答案： 2分析： 当 x ＝t 时， f(t)＝t 2，g(t)＝ln t ，∴y ＝|MN|＝t 2－ln t(t ＞ 0)．2t 2－1 2221t ＋ 2t － 2∴y ′＝2t － t ＝t＝t.22当 0＜t ＜2 时， y ′＜0；当 t ＞2 时， y ′＞0.2∴y ＝|MN|＝t 2－ln t 在 t ＝ 2 时有最小值．10 ．已知f(x) ＝ －x－1.(1 x)e(1)求函数 f(x)的最大值；解： f ′(x)＝－ xe x .当 x ∈(－∞， 0)时， f ′(x)＞0，f(x)单一递加；当 x ∈(0，＋∞ )时， f ′(x)＜0，f(x)单一递减．所以 f(x)的最大值为 f(0)＝0.f x(2)设 g(x)＝ x ，x ＞－ 1，且 x ≠0，证明： g(x)＜1.证明： 由(1)知，当 x>0 时， f(x)<0，g(x)<0<1.当－ 1<x<0 时， g(x)<1 等价于 f(x)>x.设 h(x)＝f(x)－x ，则 h ′(x)＝－ xe x －1.当 x ∈(－1,0)时， 0<－x<1,0<e x <1，则 0<－xe x<1，进而当 x ∈(－1,0)时，h ′(x)<0，h(x)在(－1,0]上单一递减．当－ 1<x<0 时， h(x)>h(0)＝0，即 g(x)<1.综上，当 x>－1 且 x ≠0 时，总有 g(x)<1.11．已知函数 f(x)＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线 y ＝f(x)在点 (0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为－ 2.(1)求 a 的值；解： f ′(x)＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a.曲线 y ＝f(x)在点 (0,2)处的切线方程为 y ＝ax ＋2.2由题设得－a＝－ 2，所以 a＝1.(2)证明：当 k<1 时，曲线 y＝f(x)与直线 y＝kx－2 只有一个交点．证明：由(1)知， f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设 g(x)＝f(x)－kx＋ 2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由题设知 1－k>0.当 x≤0 时，g′(x)＝3x2－6x＋1－ k>0，g(x)单一递加， g(－1)＝k －1<0，g(0)＝4，所以 g(x)＝0 在(－∞， 0]上有独一实根．当 x>0 时，令 h(x)＝x3－3x2＋4，则 g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．h ′＝2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)上单一递减，在(2，＋∞ ) (x) 3x上单一递加，所以 g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以 g(x)＝0 在(0，＋∞ )上没有实根．综上， g(x)＝0 在R上有独一实根，即曲线y＝f(x)与直线 y＝kx －2 只有一个交点．[ 冲刺名校能力提高练 ]1．[2017·陕西西安八校联考]已知函数f(x)＝－x＋x2∈m(x1)e(mR)．(1)若 m＝－ 1，求函数 f(x)的单一区间；(2)若对随意的x＜0，不等式x2＋(m＋2)x＞f′(x)恒成立，求m 的取值范围．解： (1)当 m＝－1 时， f(x)＝(1－x)e x＋x2，则 f′(x)＝x(2－e x)，由 f′(x)＞0 得， 0＜x＜ln 2；由f′(x)＜0 得， x＜0 或 x＞ln 2.故函数 f(x)的单一递加区间为 (0，ln 2)，单一递减区间为 (－∞，0)，(ln 2，＋∞ )．(2)依题意， f ′(x)＝mx ex＋m 2 ＜x 2＋(m ＋2)x ，x ＜0，因为 x ＜0，所以 me x －x －m ＞0，令 h(x)＝me x －x －m ，则 h ′(x)＝me x －1，当 m ≤1 时， h ′(x)≤ e x－1＜0，则 h(x)在(－∞， 0)上单一递减，所以 h(x)＞h(0)＝0，切合题意；当 m ＞1 时，h(x)在(－∞，－ ln m)上单一递减，在 (－ln m,0)上单调递加，所以 h(x)min ＝h(－ln m)＜h(0)＝0，不合题意．综上所述， m 的取值范围为 (－∞， 1]．2．[2017 ·贵州七校联考 ]函数 f(x)＝(ax 2＋x)e x，此中 e 是自然对数的底数， a ∈R .(1)当 a ＞0 时，解不等式 f(x)≤0；(2)当 a ＝0 时，求整数 t 的全部值，使方程 f(x)＝x ＋2 在[t ，t ＋1]上有解．解： (1)因为 e x ＞0，所以不等式 f(x)≤0 即为 ax 2＋x ≤0，又因为1a ＞0，所以不等式可化为 x x ＋ a ≤0，1所以不等式 f(x)≤0 的解集为 －a ，0 .(2)当 a ＝0 时，方程即为 xe x ＝x ＋2，因为 e x＞0，所以 x ＝0 不是方程的解，所以原方程等价于 e x－2x － 1＝0.令 h(x)＝e x－2x－1，因为 h′(x)＝e x＋x 22＞0 关于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞ )恒成立，所以 h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞ )内是单一递加函数，又 h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－2＞0，h(－3)＝e－3－1＜0，h(－2)＝e－2＞0，3所以方程 f(x)＝x＋2 有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2] 和[－3，－ 2]上，所以整数 t 的全部值为 { －3,1}．3．某山区外头有两条互相垂直的直线型公路，为进一步改良山区的交通现状，计划修筑一条连结两条公路和山区界限的直线型公路．记两条互相垂直的公路为 l1，l2，山区界限曲线为 C，计划修筑的公路为 l.以下图， M ，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1，l2的距离分别为 5 千米和40 千米，点 N 到 l 1，l 2的距离分别为 20 千米和 2.5 千米．以 l 2，l 1所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，成立平面直角坐标a系 xOy.假定曲线 C 切合函数 y＝x2＋b(此中 a，b 为常数 )模型．(1)求 a，b 的值；(2)设公路 l 与曲线 C 相切于点 P，P 的横坐标为 t.①请写出公路l 长度的函数分析式f(t)，并写出其定义域；②当 t 为什么值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．解： (1)由题意知，点 M，N 的坐标分别为 (5,40)，(20,2.5)．a将其分别代入y＝x2＋b，得a＝40，25＋b a＝1 000，a b＝0.＝2.5，400＋b1 000(2)①由 (1)知， y＝x2(5≤x≤20)，1 000则点 P 的坐标为 t，t2.设在点 P 处的切线 l 交 x 轴、y 轴分别于 A，B 两点，y′＝－2 000 x3 ，则 l 的方程为 y－1 000 2 000t2＝－t3 (x－t)，由此得 A 3t，0 ，B 0，3 000. 2t2故 f(t)＝3t 230002 2＋t23＝2②设2＋4×106t t4，t∈[5,20] ．g(t)＝t2＋4×10616×106t4，则g′(t)＝2t－t5.令 g′(t)＝0，解得 t＝10 2.当 t∈(5,10 2)时， g′(t)＜0，g(t)是减函数；当t∈(10 2，20)时， g′(t)＞0，g(t)是增函数．进而，当 t＝10 2时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测16Word版含解析所以 g(t)min＝300，此时 f(t)min＝15 3.故当 t＝10 2时，公路 l 的长度最短，最短长度为15 3千米．。

2016届高考数学(文科人教A版)一轮课时作业5.4数列求和

2016届高考数学(文科人教A版)一轮课时作业5.4数列求和

课时提升作业(三十一)数列求和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设数列{(-1)n}的前n项和为S n,则对任意正整数n,S n= ( )【解析】选D.因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列,所以S n==.【加固训练】若数列{a n}的通项公式是a n=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=( )A.15B.12C.-12D.-15【解析】选A.因为a n=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.2.(2015·青岛模拟)已知S n=+++…+,若S m=10,则m=( ) A.11 B.99 C.120 D.121【解析】选 C.因为==-,所以S m=-+-+…+-=-1.由已知得-1=10,所以m=120.故选C.3.设f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N*),则f(n)等于( )A.(8n-1)B.(8n+1-1)C.(8n+3-1)D.(8n+4-1)【解析】选D.由题意知f(n)可看作以2为首项,23为公比的等比数列的前n+4项和,所以f(n)==(8n+4-1).4.(2015·铜陵模拟)若函数g(x)=x m+ax的导函数为g′(x)=2x+1,则数列(n∈N*)的前n项和是( )A. B. C. D.【解析】选C.由题意得g′(x)=mx m-1+a,又g′(x)=2x+1,所以m=2,a=1,g(x)=x2+x,==-,故所求的前n项和为+++…+=1-=.5.数列{a n}的通项公式a n=ncos,其前n项和为S n,则S2016等于( )A.2016B.1008C.504D.0【解析】选B.因为a n=ncos,所以当n为奇数时,a n=0,当n为偶数时,a n=其中m∈N*,所以S2016=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2016=a2+a4+a6+a8+…+a2016=-2+4-6+8-10+12-14+…+2016=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-2014+2016)=2×504=1008.故选B. 【加固训练】(2015·合肥模拟)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),S n是数列{a n}的前n项和,则S2016=( )A.22016-1B.3×21008-3C.3×21008-1D.3×22016-2【解析】选B.依题意得a n·a n+1=2n,a n+1·a n+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1为首项、2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2为首项、2为公比的等比数列,于是有S2016=(a1+a3+a5+…+a2015)+(a2+a4+a6+…+a2016)=+=3×21008-3,故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(-12)+f(-11)+f(-10)+…+f(0)+…+f(11)+f(12)+f(13)的值为.【解析】抓住求和式子与函数f(x)=的特征,我们对自变量进行配对,当自变量之和为1时,研究函数值之和,即f(x)+f(1-x)=+=+×=,共计配成13对,故所求的和为.答案:7.设数列{a n}的通项公式为a n=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|= .【解析】由a n=2n-10(n∈N*)知{a n}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n=2n-10≥0得n≥5,所以当n<5时,a n<0,当n≥5时,a n≥0,所以|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130.答案:130【加固训练】(2015·郑州模拟)若数列{a n}是1,,,…,1+++…+,…,则数列{a n}的前n项和S n= .【解析】a n=1+++…+==2,所以S n=2=2=2=2=2n-2+.答案:2n-2+8.(2015·厦门模拟)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,a n=f(n)(n∈N*),则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是.【解析】由已知可得a 1=f(1)=,a 2=f(2)=[f(1)]2=, a 3=f(3)=f(2)·f(1)=[f(1)]3=,…,a n =f(n)=[f(1)]n =,所以S n =+++…+==1-,因为n ∈N *,所以≤S n <1. 答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·洛阳模拟)已知等差数列{a n }满足:a 3=7,a 5+a 7=26,{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n . (2)令b n =(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,则由已知得31571a a 2d 7,a a 2a 10d 26,=+=⎧⎨+=+=⎩解得1a 3,d 2.=⎧⎨=⎩所以a n =3+2(n-1)=2n+1,S n =3n+×2=n 2+2n.(2)由(1)知a n=2n+1,即数列{b n}的前n项和T n=.【误区警示】(1)在解答本题时有两点容易造成失分:①利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误,不能准确求出首项a1和公差d;②在求解数列{b n}的前n项和时,不能熟练准确地利用裂项方法.(2)解决等差数列问题时,还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:①对通项公式与前n项和公式记忆错误;②基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确;③判断一个数列是否为等差数列时,易忽略验证第一项.【加固训练】(2015·漳州模拟)在数列{a n}和{b n}中,已知a1=2,a2=6,a n+2a n=3(n∈N*),b n=,(1)求证:数列{b n}是等比数列.(2)求数列{a n}的通项公式.(3)若p n=,S n为数列{p n}的前n项和,求S n.【解析】(1)因为a n+2a n=3(n∈N*),所以====3,所以数列{b n}是以3为公比的等比数列.(2)由(1)可得到b n=b1q n-1=q n-1=×3n-1=3n,所以b n==3n,所以=31,=32,=33,……=3n-1,所以×××…×=31×32×33×…×3n-1,所以=31+2+3+…+(n-1)=.又因为a1=2,所以a n=a1×=2×.(3)由(2)得:a n=2×,所以p n=====-,所以S n=p1+p2+p3+…+p n=+++…+=2-=.10.(2014·安徽高考)数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列{}是等差数列.(2)设b n=3n·,求数列{b n}的前n项和S n.【解析】(1)由已知可得所以{}是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得=1+(n-1)=n,所以a n=n2,从而b n=n·3n,S n=1·31+2·32+3·33+…+n·3n, ①3S n=1·32+2·33+3·34+…+(n-1)·3n+n·3n+1.②①-②可得-2S n=31+32+33+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1=【加固训练】已知数列{a n}是首项为a1=,公比为q=的等比数列,设b n+2=3l o a n(n∈N*),数列{c n}满足c n=a n·b n.(1)求数列{b n}的通项公式.(2)求数列{c n}的前n项和S n.【解析】(1)由题意,知a n=(n∈N*),又b n=3lo a n-2,故b n=3n-2(n∈N*).(2)由(1),知a n=,b n=3n-2(n∈N*),所以c n=(3n-2)×(n∈N*).所以S n=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×,于是S n=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×.两式相减,得S n=+3++…+-(3n-2)×=-(3n+2)×.所以S n=-×(n∈N*).(20分钟40分)1.(5分)(2015·重庆模拟)已知数列{a n}:,+,++,…,+++…+,…,那么数列{b n}=的前n项和S n为( )A. B. C. D.【解析】选B.a n==,所以b n===4(-),2.(5分)已知数列2008,2009,1,-2008,-2009,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2015项之和S2015等于( ) A.2008 B.2010 C.1 D.0【解析】选C.由已知得a n=a n-1+a n+1(n≥2),所以a n+1=a n-a n-1.故数列的前8项依次为2008,2009,1,-2008,-2009,-1,2008,2009.由此可知数列为周期数列,周期为6,且S6=0.因为2015=6×335+5,所以S2015=S5=2008+2009+1+(-2008)+(-2009)=1.【加固训练】在数列{a n}中,a1=1,a n+1=(-1)n(a n+1),记S n为{a n}的前n项和,则S2015= .【解析】由a1=1,a n+1=(-1)n(a n+1)可得a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0,该数列是周期为4的数列,a2013=a1=1,a2014=a2=-2,a2015=a3=-1,所以S2015=503(a1+a2+a3+a4)+a2013+a2014+a2015=503×(1-2-1+0)+1-2-1=-1008.答案:-1008【方法技巧】数列求和的思路(1)等差数列和等比数列的前n项和公式是求和的基础.一般数列的求和问题往往通过变形整理,转化为这两类特殊数列的和的问题.例如,一类特殊数列的求和通过倒序相加法或错位相减法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题.(2)观察数列的特点是变形的基础.给定的数列有其自身的特点和规律,根据数列的特点和规律选择合适的方法变形是解题的突破口.3.(5分)(2015·泉州模拟)已知a,b∈N*,f(a+b)=f(a)·f(b),f(1)=2,则等于.【解析】由于f(a+b)=f(a)·f(b),令b=1,得f(a+1)=f(a)f(1),所以=f(1)= 2,故+++…+=2×2014=4028.答案:40284.(12分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明{a n+}是等比数列,并求{a n}的通项公式.(2)证明:++…+<.【解题提示】(1)将a n+1=3a n+1进行配凑,得“a n+1+”与“a n+”的关系,得证,然后求得{a n}的通项公式.(2)求得{}的通项公式,然后证得不等式.【解析】(1)因为a1=1,a n+1=3a n+1,n∈N*.所以a n+1+=3a n+1+=3(a n+).所以{a n+}是首项为a1+=,公比为3的等比数列.所以a n+=,所以a n=.(2)=.=1,当n>1时,【加固训练】等差数列{a n}的首项a1=3,且公差d≠0,其前n项和为S n,且a1,a4,a13分别是等比数列{b n}的b2,b3,b4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式.(2)证明:≤++…+<.【解析】(1)设等比数列的公比为q,因为a1,a4,a13分别是等比数列{b n}的b2,b3,b4,所以(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,所以d2-2d=0,所以d=2或d=0(舍去).所以a n=3+2(n-1)=2n+1.等比数列{b n}的公比为==3,b1==1.所以b n=3n-1.(2)由(1)知S n=n2+2n.所以==,所以++…+===-<.因为+≤+=,所以-≥,所以≤++…+<.5.(13分)(能力挑战题)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n满足S n=2a n-2.(1)求{a n}的通项.(2)若{b n}满足b1=1,-=1,求数列{a n}的前n项和.【解析】(1)因为S n=2a n-2, ①所以n≥2时,S n-1=2a n-1-2, ②所以由①-②得,a n=2a n-2a n-1(n≥2),所以a n=2a n-1.又当n=1时,①式可化为a1=2a1-2,解得a1=2,所以数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列,所以a n=2×2n-1=2n.(2)因为-=1,b1=1,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以=1+(n-1)×1=n,b n=n2.设T n为数列{a n}的前n项和,则T n=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n③2×T n=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1④③-④得,-T n=21+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=(1-n)·2n+1-2,所以T n=(n-1)·2n+1+2,即数列{a n}的前n项和为(n-1)·2n+1+2.关闭Word文档返回原板块。

【文理通用】2016届高考数学第一轮 专项强化训练(6-3)

【文理通用】2016届高考数学第一轮 专项强化训练(6-3)

【文理通用】2016届高考数学第一轮专项强化训练(3)数列的综合应用一、选择题1.设{a n},{b n}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是( )A.a2>b2B.a3<b3C.a5>b5D.a6>b6【解析】选A.设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,由题可得d=-1,q=错误！未找到引用源。

,于是a2=3>b2=2错误！未找到引用源。

,故选A. 【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则错误！未找到引用源。

的取值范围是.【解析】由等差数列与等比数列的性质得错误！未找到引用源。

所以错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=2+错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

.当x,y同号时,错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

≥2;当x,y异号时,错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

≤-2.所以错误！未找到引用源。

的取值范围为(-≦,0]∪∪-1)++1,其中代表x的整数部分,由f(x)=x得f(x--1)=x--1,其中-1<x--1<0,没有这样的x.所以g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序为0,1,2,3,…,通项a n=n-1,故选C.【加固训练】定义:F(x,y)=y x(x>0,y>0),已知数列{a n}满足:a n=错误！未找到引用源。

(n∈N*),若对任意正整数n,都有a n≥a k(k∈N*)成立,则a k的值为( )A.错误！未找到引用源。

B.2C.1D.4【解析】选A.a n=错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2<(n+1)2,当n≥3时,2n2>(n+1)2,即当n≥3时,a n+1>a n,故数列{a n}中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=错误！未找到引用源。

[数学]步步高大一轮复习讲义数学文科a版【答案解析】版-精品文档

[数学]步步高大一轮复习讲义数学文科a版【答案解析】版-精品文档

§1.1 集合的概念及其基本运算要点梳理1.(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于 不属于 ∈ ∉ (3)列举法 描述法 图示法 区间法 (5)有限集 无限集 空集2.(1)A B B A ⊆ ⊆ ⊆ 2n 2n －1 2n －23.(1){x |x ∈A ，且x ∈B } {x |x ∈U ，且x ∉A } 基础自测 1.{2,4} 2.{x |0<x <1} 3.(2,3)4.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，－12 5.B题型分类·深度剖析例1 解 (1)当a ＋2＝1，即a ＝－1时，(a ＋1)2＝0，a 2＋3a ＋3＝1与a ＋2相同，∴不符合题意.当(a ＋1)2＝1，即a ＝0或a ＝－2时，①a ＝0符合要求. ②a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝1与(a ＋1)2相同，不符合题意. 当a 2＋3a ＋3＝1，即a ＝－2或a ＝－1.①当a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝(a ＋1)2＝1，不符合题意. ②当a ＝－1时，a 2＋3a ＋3＝a ＋2＝1，不符合题意. 综上所述，a ＝0，∴2 013a ＝1.(2) ∵当x ＝0时，x ＝x 2－x ＝x 3－3x ＝0，∴它不一定能表示一个有三个元素的集合.要使它表示一个有三个元素的集合，则应有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠x 2－x ，x 2－x ≠x 3－3x ，x ≠x 3－3x .∴x ≠0且x ≠2且x ≠－1且x ≠－2时，{x ，x 2－x ，x 3－3x }能表示一个有三个元素的集合. 变式训练 1 0或98例2 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论：①若a ＝0，则A ＝R ；②若a <0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |4a ≤x <－1a ；③若a >0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a <x ≤4a .(1)当a ＝0时，若A ⊆B ，此种情况不存在.当a <0时，若A ⊆B ，如图：，则⎩⎨⎧4a >－12－1a ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0或a <－8a >0或a ≤－12，又a <0，∴a <－8.当a >0时，若A ⊆B ，如图：，则⎩⎨⎧－1a ≥－124a ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a <0a ≥2或a <0.又∵a >0，∴a ≥2.综上知，当A ⊆B 时，a <－8或a ≥2. (2)当a ＝0时，显然B ⊆A ；当a <0时，若B ⊆A ，如图：，则⎩⎨⎧4a ≤－12－1a >2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－8≤a <0－12<a <0.又∵a <0，∴－12<a <0.当a >0时，若B ⊆A ，如图：，则⎩⎨⎧－1a ≤－124a ≥2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤20<a ≤2.又∵a >0，∴0<a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(3)当且仅当A 、B 两个集合互相包含时，A ＝B ，由(1)、(2)知，a ＝2.变式训练 2 4 例3 1或2变式训练3 解 (1)∵A ＝{x |12≤x ≤3}，当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}.(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时， B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－14.例4 A变式训练 4 6 {0,1,2,3}课时规范训练 A 组1.C2.C3.A4.－1或25.{(0,1)，(－1,2)}6.187.解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}.(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3. 8.解 ∵M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，N ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R }＝{y |－3≤y ≤3}，∴M －N ＝{y |y >3}，N －M ＝{y |－3≤y <0}，∴M *N ＝(M －N )∪(N －M )＝{y |y >3}∪{y |－3≤y <0}＝{y |y >3或－3≤y <0}. B 组1.C2.B3.A4.A5.a ≤06.－37.(－∞，－3)8.解 由x －5x ＋1≤0，∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}.(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}. (2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件要点梳理1.判断真假 判断为真 判断为假2.(1)若q ，则p 若綈p ，则綈q 若綈q ，则綈p ，(2)逆命题 否命题 逆否命题 (3)①相同 ②没有3.(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件基础自测 1.3 2.②③ 3.充分不必要 4.C 5.D 题型分类·深度剖析 例1 ②④ 变式训练1 ①③例2 解 (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，∵A 与B 不可能互补(∵三角形三个内角和为180°)，∴只有A ＝B .故p 是q 的充要条件.(2)易知，綈p ：x ＋y ＝8，綈q ：x ＝2且y ＝6，显然綈q ⇒綈p ，但綈p 綈q ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件.(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，∴p 是q 的必要不充分条件.(4)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，∴p ⇒q 但q p ，故p 是q 的充分不必要条件. 变式训练2 ①④例3 证明 充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，其根为x ＝－12，方程有一个负根，符合题意.当a <0时，Δ＝4－4a >0，方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的实根，且1a <0，方程有一正一负根，符合题意.当0<a ≤1时，Δ＝4－4a ≥0，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根，且⎩⎨⎧－2a<01a >0，故方程有两个负根，符合题意.综上知：当a ≤1时，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根. 必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根. 当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0符合题意.当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0应有一正一负根或两个负根.则1a<0或⎩⎨⎧Δ＝4－4a ≥0－2a <01a>0，解得a <0或0<a ≤1.综上知：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一负根，则a ≤1.故关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1.变式训练3 证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p ＋q ＝p －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立，于是a n ＋1a n ＝p n(p －1)p n －1(p －1)＝p (n ∈N *)即数列{a n }为等比数列.必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1). ∵p ≠0，p ≠1，∴a n ＋1a n＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，又S 2＝a 1＋a 2＝p 2＋q ，∴a 2＝p 2－p ＝p (p －1)，∴p (p －1)p ＋q ＝p ，即p －1＝p ＋q .∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件.课时规范训练 A 组1.D2.B3.A4.充分不必要5.①③④6.[3,8)7.解 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5，∴綈p ：x <1或x >5，q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5.∴2≤m ≤4.8.解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}，B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0} ＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈pD ⇒/綈q ，则{x |綈q x |綈p }，而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，{x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}， ∴{x |－4≤x <－x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，则⎩⎨⎧ 3a ≥－2，a <0或⎩⎨⎧a ≤－4，a <0.综上，可得－23≤a <0或a ≤－4.B 组1.A2.C3.B4.⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞) 5.[1,2) 6.①③②④ 7.3或48.解 (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x －52<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －94x －12<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94， ∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94，∴(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}.①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}.∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎨⎧a ≤23a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，∴－12≤a <13.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词要点梳理1．(1)或 且 非 (2)真 假 假 真 假 假 真 真 假 真 假 真 真 2．(3)∀ ∃ (4)①含有全称量词 ②含有存在量词 基础自测1．所有的三角形都不是等边三角形 2．[－4,0] 3．①② 4．A 5．C 题型分类·深度剖析 例1 q 1，q 4变式训练1 解 (1)p ∨q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题．p ∧q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题． 綈p ：1不是素数．真命题．(2)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题． p ∧q ：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题． 綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题． p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题． 綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号不相同．真命题．例2 解 (1)綈p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题．(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假 命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题． 变式训练2 解 (1)綈p ：∃x >0，使x 2－x >0，为真命题．(2)綈q ：∀x ∈R,2x ＋x 2>1，为假命题． 例3 解 ①若p 正确，则由0<⎝⎛⎭⎫12|x －1|≤1，得a >1.②若q 正确，则ax 2＋(a －2)x ＋98>0解集为R .当a ＝0时，－2x ＋98>0不合题意，舍去；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0(a －2)2－4a ×98<0，解得12<a <8. ③∵p 和q 中有且仅有一个正确，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ≤12或a ≥8或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤112<a <8，∴a ≥8或12<a ≤1.变式训练3 解 ∵函数y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a >1，不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，∴a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4，∴q ：0<a <4.∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，∴p 、q 中必有一真一假．①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a ≥4，得a ≥4；②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤10<a <4，得0<a ≤1.故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．课时规范训练 A 组1．C 2．A 3．C 4．－22≤a ≤22 5．a >1 6．綈p 、綈q7.解 由命题p 为真知，0<c <1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1. 综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.8.解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，∴函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，∴3－2a >1，∴a <1. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，，∴1≤a <2；(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <1，，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2，或a ≤－2. B 组1．C 2．D 3．D 4.⎣⎡⎦⎤0，12 5．(－∞，1] 6．(－∞，－2]∪[－1,3) 7．①③ 8．解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2，∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2，∵命题“p 或q ”为假命题，∴a >2或a <－2. 即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．§2.1 函数及其表示要点梳理1.(1)数集 任意 唯一确定 y ＝f (x )，x ∈A (2)定义域 值域 (3)定义域 值域 对应关系 (4)定义域 对应关系2.解析法 图象法 列表法3.都有唯一 一个映射4.函数 非空数集 基础自测1.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，522.①②3.－1 104.23或－1题型分类·深度剖析 例1 (2)(3)变式训练1 解 (1)y ＝1的定义域为R ，y ＝x 0的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，∴它们不是同一函数.(2)y ＝x －2·x ＋2的定义域为{x |x ≥2}，y ＝x 2－4的定义域为{x |x ≥2或x ≤－2}，∴它们不是同一函数.(3)y ＝x ，y ＝3t 3＝t ，它们的定义域和对应关系都相同，∴它们是同一函数. (4)y ＝|x |的定义域为R ，y ＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，∴它们不是同一函数.例2 (2) 变式训练2 (1)D (2)A 例3 C 变式训练3 B 例4 0 变式训练4 D 课时规范训练 A 组1.D2.D3.A4.65.16.－347.解 当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝030k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝115b 1＝0，∴y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝260k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110b 2＝－2，∴y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ， x ∈[0，30]2， x ∈(30，40)110x －2， x ∈[40，60].8.解 当f (x )≤0时，由x 2＋2x －3≤0，可得－3≤x ≤1，此时，g (x )＝0；当f (x )>0时，由x 2＋2x －3>0可得x <－3或x >1，此时g (x )＝f (x )＝(x ＋1)2－4.∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (－3≤x ≤1)(x ＋1)2－4 (x <－3或x >1)，其图象如图所示：B 组1.C2.D3.D4.②④5.(1)a (a 为正整数) (2)166.－27.[－4,2]8.解 (1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎡⎦⎤74＝1，g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34，∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛⎭⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1，∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4.∴716≤x <12.§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式要点梳理1.(1)使函数有意义的自变量的取值范围 (3)③R ④R ⑤⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z⑥{x |x ∈R 且x ≠0}2.(1)函数值 函数值的集合 (2)①R ②⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ③{y |y ∈R 且y ≠0} ④(0，＋∞) ⑤R ⑥[－1,1] ⑦R 基础自测1.[－1,2)∪(2，＋∞)2.{x |－3<x <2}3.(0，＋∞)4.x 2＋1x 2－1(x ≠0)题型分类·深度剖析 例1 (1)⎝⎛⎭⎫－13，1 (2)(－1,1) 变式训练1 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤0，34 例2 解 ∵f (2x )的定义域是[－1,1]，∴12≤2x ≤2，即y ＝f (x )的定义域是⎣⎡⎦⎤12，2，由12≤log 2x ≤2⇒2≤x ≤4.∴f (log 2x )的定义域是[2，4].变式训练2 解 ∵f (x )的定义域为[0,4]，(1)有0≤x 2≤4，∴－2≤x ≤2，故f (x 2)的定义域为[－2,2]；(2)有⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，∴1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3].例3 解 (1)(配方法) y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15].(2)(分离常数法) y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1，∵4x ＋1≠0，∴1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}.(3)方法一 (换元法) 令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，∴y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.方法二 (单调性法) 容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，∴y ≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12. (4)(基本不等式法) 函数定义域为{x |x ∈R ，x >0，且x ≠1}，当x >1时，log 3x >0， 于是y ＝log 3x ＋1log 3x－1≥2log 3x ·1log 3x－1＝1；当0<x <1时，log 3x <0，于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－log 3x －1 ≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞).变式训练3 解 (1)方法一 (配方法) ∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1，∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. 方法二 (判别式法) 由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R ，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0.∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1，又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0，解得－13≤y ≤1.综上得－13≤y <1，∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (2)方法一 (换元法)：设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24，于是f (x )＝g (t )＝2·13－t 24－1－t ＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数，∴g (t )≤g (0)＝112，因此原函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 方法二 (单调性法)：函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134，当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小，∴2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是一个单调递增函数，∴当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝⎛⎭⎫134＝112，故原函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 例4 解 (1)令x ＋1x ＝t ，则t 2＝x 2＋1x 2＋2≥4，∴t ≥2或t ≤－2且x 2＋1x2＝t 2－2，∴f (t )＝t 2－2，即f (x )＝x 2－2 (x ≥2或x ≤－2).(2)令2x ＋1＝t ，由于x >0，∴t >1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1 (x >1).(3)设f (x )＝kx ＋b ，∴3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3[k (x ＋1)＋b ]－2[k (x －1)＋b ]＝kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17.∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝25k ＋b ＝17，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7. (4)∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，∴2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x .∴f (x )＝2x －1x(x ≠0). 变式训练4 解 (1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1 (x ≥1).(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，又f (0)＝c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝44a ＋2b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋3. 课时规范训练 A 组1.C2.B3.C4.C5.(－∞，3]6.⎣⎡⎦⎤2，103 7.[－2,7] 8.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx ，又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝12，∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝⎛⎭⎫x 2－322－18， 当x 2＝32时，y 取最小值－18，∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为⎣⎡⎭⎫－18，＋∞. B 组1.B2.C3.A4.(－1，－910)∪(－910，2] 5.22 6.2837.解 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12.∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间.∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.∴a 、b 的值分别为32、3.8.解 (1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，∴2a 2－a －3＝0，∴a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝8(2a 2－a －3)≤0.∴－1≤a ≤32.∴a ＋3>0，∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174 ⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减，∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4.§2.3 函数的单调性与最值要点梳理1.(1)f (x 1)<f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 上升的 下降的 (2)增函数 减函数 区间D2.(1)f (x )≤M (2)f (x 0)＝M (3)f (x )≥M (4)f (x 0)＝M 基础自测 1.[1,4] 8 2.43，1 3.(－3,0) 4.A 5.C题型分类·深度剖析例1 (1)解 由2f (1)＝f (－1)，可得22－2a ＝2＋a ，得a ＝23. (2)证明 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1－ax 1－x 22＋1＋ax 2＝x 21＋1－x 22＋1－a (x 1－x 2)＝x 21－x 22x 21＋1＋x 22＋1－a (x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a . ∵0≤x 1<x 21＋1，0<x 2<x 22＋1，∴0<x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1<1.又∵a ≥1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递减.(3)解 任取1≤x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a ， ∵f (x )单调递增，∴f (x 1)－f (x 2)<0，又x 1－x 2<0，那么必须x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a >0恒成立.∵1≤x 1<x 2⇒2x 21≥x 21＋1,2x 22>x 22＋1，∴2x 1≥x 21＋1，2x 2>x 22＋1.相加得2(x 1＋x 2)>x 21＋1＋x 22＋1⇒x 1＋x 2x 21＋1x 22＋1>22，∴0<a ≤22. 变式训练1 (1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增. (2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.例2 解 令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝12log u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数.令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2，∴函数y ＝212log (32)x x -+的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞).又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上.∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数. 而y ＝12log u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝212log (32)x x -+的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1).变式训练2 解 令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数.由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数，∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞).例3 (1)证明 方法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0，再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )，在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2).又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，因此f (x )在R 上是减函数. 方法二 设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2). 又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数. (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3).而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2，∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式训练3 解 (1)∵当x >0，y >0时，f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，∴令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0.(2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1，∵x 2>x 1>0.∴x 2x 1>1，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数. (3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数.∴f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)，∵f (4)＝2，由f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )， 知f ⎝⎛⎭⎫164＝f (16)－f (4)，∴f (16)＝2f (4)＝4，∴f (x )在[1,16]上的值域为[2,4]. 课时规范训练 A 组1.B2.D3.A4.[3，＋∞)5.①③6.(1，＋∞)7.(1)证明 设x 2>x 1>0，设x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x 2－⎝⎛⎭⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的.(2)解 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，又f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2.∴易得a ＝25. 8.解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 21－1<0，x 22－1<0.－1<x 1x 2<1，∴x 1x 2＋1>0，∴(x 2－x 1)(x 2x 1＋1)(x 21－1)(x 22－1)>0. 因此，当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时函数在(－1,1)上为减函数；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时函数在(－1,1)上为增函数.B 组1.B2.B3.C4.(－∞，0)∪(1,3]5.a >0且b ≤06.[1，＋∞)7.①③④8.解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )在[－1,1]上单调递增.(2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增.∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立，下面来求m 的取值范围. 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立.②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1，1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0， ∴m ≤－2，或m ≥2，∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.§2.4 函数的奇偶性与周期性要点梳理1．f (－x )＝f (x ) f (－x )＝－f (x ) 2．(1)相同 相反 (2)①奇函数 ②偶函数 ③奇函数 3．(1)f (x ) (2)存在一个最小 基础自测1.132.②③3.－9 4．(－1,0)∪(1，＋∞) 5.C 题型分类·深度剖析例1 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0x 2－9≥0，得x ＝±3，∴f (x )的定义域为{－3,3}．又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数，又是偶函数． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＋x ≥01＋x ≠0，得－1<x ≤1.∵f (x )的定义域(－1,1]不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0，∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．∴f (x )＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x，∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )是奇函数． 变式训练1 解 (1)由1－x1＋x>0⇒－1<x <1，定义域关于原点对称．又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，故原函数是奇函数． (2)由2＋x2－x≥0且2－x ≠0⇒－2≤x <2，定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数． (3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x 2－2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f (x )＝lg (1－x 2)－(x 2－2)－2＝－lg (1－x 2)x 2. ∵f (－x )＝－lg[1－(－x )2](－x )2＝－lg (1－x 2)x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．例2 解 (1)令x ＝y ＝0⇒f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝0⇒f (－x )＝－f (x )⇒f (x )在(－1,1)上是奇函数．(2)设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2，而x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1⇒x 1－x 21－x 1x 2<0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2>0，即当0<x 1<x 2<1时，f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0,1)上单调递减．(3)由于f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫15＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－15＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－151－12×5＝f ⎝⎛⎭⎫13， 同理，f ⎝⎛⎭⎫13－f ⎝⎛⎭⎫111＝f ⎝⎛⎭⎫14，f ⎝⎛⎭⎫14－f ⎝⎛⎭⎫119＝f ⎝⎛⎭⎫15，∴f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫111－f ⎝⎛⎭⎫119＝2f ⎝⎛⎭⎫15＝2×12＝1. 变式训练2 解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，且由f (1)＝0得f (－1)＝0.若f [x (x －12)]<0＝f (1)，则⎩⎨⎧x (x －12)>0x (x －12)<1即0<x (x －12)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.若f [x (x －12)]<0＝f (－1)，则⎩⎨⎧x (x －12)<0x (x －12)<－1，由x (x －12)<－1，解得x ∈∅.∴原不等式的解集是{x |12<x <1＋174或1－174<x <0}．例3 (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＝0，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＝0. 变式训练3 2.5 课时规范训练 A 组1.B2.A3.B4.A5.－16.－1 7．－38.解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x ) ，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x ，任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21＋1x 1)－⎝⎛⎭⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，∴f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数． B 组1.A2.C3.B4.(1)(2)(3) 5．0 6.②③⑤7.(1)证明 由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )． 从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数． (2)解 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0. x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x ，故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.8.解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．§2.5 二次函数要点梳理 1．(2)①ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ②a (x －m )2＋n (a ≠0) ③a (x －x 1)(x －x 2) (a ≠0) 基础自测 1．2 2.[1,2] 3.6 4.(－∞，－2] 5.B 题型分类·深度剖析例1 解 方法一 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意有⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，，∴所求二次函数为y ＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 设f (x )＝a (x －m )2＋n ，a ≠0，∵f (2)＝f (－1)，，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值为n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解之，得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 依题意知：f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0.即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a24a＝8，解之，得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.变式训练1 解 (1)设顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的方程为y ＝a (x －3)2＋4，将(2,2)代入可得a ＝－2，∴y＝－2(x －3)2＋4，即x >2时，f (x )＝－2x 2＋12x －14.当x <－2时，即－x >2，又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝－2×(－x )2－12x －14， 即f (x )＝－2x 2－12x －14.∴函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式为f (x )＝－2x 2－12x －14.(2)函数f (x )的图象如图：(3)由图象可知，函数f (x )的值域为(－∞，4]．例2 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．变式训练2 解 f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ，对称轴为x ＝a2，顶点为⎝⎛⎭⎫a 2，－4a . ①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在区间[0,1]上递增．∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5，∴a ＝±1<2(舍去)．②当0<a 2<1，即0<a <2时，y max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a ，令－4a ＝－5，∴a ＝54∈(0,2)． ③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在区间[0,1]上递减，此时f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2.令－4a －a 2＝－5，即a 2＋4a －5＝0，∴a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或a ＝－5.例3 解 (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． 变式训练3 解 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n ，∴f (－1＋x )＝(－1＋x )2＋m (－1＋x )＋n ＝x 2－2x ＋1＋mx ＋n －m ＝x 2＋(m －2)x ＋n －m ＋1， f (－1－x )＝(－1－x )2＋m (－1－x )＋n ＝x 2＋2x ＋1－mx －m ＋n ＝x 2＋(2－m )x ＋n －m ＋1. 又f (－1＋x )＝f (－1－x )，∴m －2＝2－m ，即m ＝2.又f (x )的图象过点(1,3)， ∴3＝12＋m ＋n ，即m ＋n ＝2，∴n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，又y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称，∴－g (x )＝(－x )2＋2×(－x )，∴g (x )＝－x 2＋2x . (2)∵F (x )＝g (x )－λf (x )＝－(1＋λ)x 2＋(2－2λ)x ，当λ＋1≠0时，F (x )的对称轴为x ＝2－2λ2(1＋λ)＝1－λλ＋1，又∵F (x )在(－1,1]上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λ<01－λ1＋λ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ>01－λ1＋λ≥1，∴λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F (x )＝4x 显然在(－1,1]上是增函数． 综上所述，λ的取值范围为(－∞，0]． 课时规范训练 A 组1.D2.A3.B4.y ＝12(x －2)2－1 5．0≤m ≤146．0或－17.解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2，当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝1＋3a ＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a －a 2＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1； 当0<a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a －a 2＝－2，f (－1)＝1＋3a ＝2⇒a 不存在；当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1＋3a ＝2，f (1)＝1－a ＝－2⇒a 不存在．综上可得a ＝－1.8.解 (1)∵f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 而二次函数f (x )的对称轴为x ＝－b2a ，∴－b2a＝1.① 又f (x )＝x 有等根，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，∴Δ＝(b －1)2＝0.②由①②得b ＝1，a ＝－12.∴f (x )＝－12x 2＋x .(2)∵f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，如果存在满足要求的m ，n ，则必需3n ≤12，∴n ≤16.从而m <n ≤16<1，而x ≤1，f (x )单调递增，∴⎩⎨⎧f (m )＝－12m 2＋m ＝3mf (n )＝－12n 2＋n ＝3n ，可解得m ＝－4，n ＝0满足要求．∴存在m ＝－4，n ＝0满足要求． B 组1.D2.B3.C4.⎝⎛⎭⎫2，525.0<a ≤146.⎣⎡⎦⎤1，31277.[1，＋∞)8.证明 (1)由于f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .∴f (x )＝1⇔(x ＋2t )(x －1)＝0，(*)∴x ＝1是方程(*)的根，即f (1)＝1，因此x ＝1是f (x )＝1的实根，即f (x )必有实根． (2)当12<t <34时，f (－1)＝3－4t >0，f (0)＝1－2t ＝2⎝⎛⎭⎫12－t <0. f ⎝⎛⎭⎫12＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t >0，又函数f (x )的图象连续不间断．因此f (x )＝0在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12上各有一个实根．§2.6 指数与指数函数要点梳理1.(1)a 的n 次方根 根式 根指数 被开方数 (2)①n a ②n a － n a ± na ③a④a ⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a ＜0)2.(1)②1 ③1a p ④n a m ⑤1a m n 1na m ⑥0 没有意义 (2)①a r ＋s ②a rs ③a r b r3.(1)R (2)(0，＋∞) (3)(0,1) (4)y >1 0<y <1 (5)0<y <1 y >1 (6)增函数 (7)减函数 基础自测1.(1)x 23 (2)(a ＋b )34 (3)m 52 2.7 3.(－2，－1)∪(1，2) 4.3 5.B题型分类·深度剖析例1 解 (1)原式＝23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭＋121500-⎛⎫ ⎪⎝⎭－105－2＋1＝23827⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12500－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝5－2－1－(5－2)2＝(5－2)－1－(5－2)＝－1.(3)原式＝1122323311233ba b a b ab a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3111111226333a b +-++--＝ab －1. 变式训练1 解 (1)原式＝1323⎛⎫⎪⎝⎭×1＋()1342×142＋(132×123)6－1323⎛⎫⎪⎝⎭＝2＋4×27＝110. (2)令13a ＝m ，13b ＝n ，则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷⎝⎛⎭⎫1－2n m ·m ＝m (m 3－8n 3)m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n＝m 3(m －2n )(m 2＋2mn ＋4n 2)(m 2＋2mn ＋4n 2)(m －2n )＝m 3＝a . 例2 (1)D (2)0<a <1、b <0 (3)1 变式训练2 (1)A(2)解 函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴 上方得到的，函数图象如图所示.当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方 程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的 图象有唯一的交点，∴方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同交点，∴方程有两解. 例3 解 令t ＝a x (a >0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2 (t >0). ①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数. ∴f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，∴a ＝－15或a ＝13. 又∵a >0，∴a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数. ∴f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去). 综上得a ＝13或3.变式训练3 解 (1)当x <0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12，∵2x >0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0， ∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞). 课时规范训练 A 组1.B2.D3.D4.m <n5.16.12或327.－2。

【VIP专享】世纪金榜2016最新版数学文科 专项强化训练(一)

【VIP专享】世纪金榜2016最新版数学文科 专项强化训练(一)

圆学子梦想铸金字品牌温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

专项强化训练(一)导数的综合应用1.(2015·汕头模拟)某商品每件成本5元,售价14元,每星期卖出75件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x<9)的平方成正比,已知商品单价降低1元时,一星期多卖出5件.(1)将一星期的商品销售利润y表示成x的函数.(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?【解题提示】(1)先写出多卖的商品数,则可计算出商品在一个星期的获利数,再依题意“商品单价降低1元时,一星期多卖出5件”求出比例系数,即可把一个星期的商品销售利润表示成x的函数;(2)根据(1)中得到的函数,利用导数研究其极值,也就是求出函数的极大值,从而得出定价为多少元时,能使一个星期的商品销售利润最大.【解析】(1)依题意,设m=kx2,由已知得5=k·12,从而k=5,所以m=5x2,所以y=(14-x-5)(75+5x2)=-5x3+45x2-75x+675(0≤x<9).(2)因为y′=-15x2+90x-75=-15(x-1)(x-5),由y′>0得1<x<5,由y′<0得0≤x<1或5<x<9,圆学子梦想 铸金字品牌可知函数y 在[0,1)上递减,在(1,5)上递增,在(5,9)上递减,从而函数y 取得最大值的可能位置为x=0或是x=5,因为y(0)=675,y(5)=800,所以当x=5时,y max =800,答:商品每件定价为9元时,可使一个星期的商品销售利润最大.【加固训练】(2015·湖南四校联考)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂,由于工厂生产须占用农场的部分资源,因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.工厂在不赔付农场的情况下,工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2 若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格).(1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出工厂获得最大利润的年产量.(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y=0.002t 2(元),在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,农场要在索赔中获得最大净收入,应向张林的工厂要求赔付价格s 是多少?【解析】(1)工厂的实际年利润为:-st(t≥0).-st=221 000 1 000),s s --+当t=时,w 取得最大值.21 000()s 所以工厂取得最大年利润的年产量t= (吨).21 000()s (2)设农场净收入为v 元,则v=st-0.002t 2.将t=代入上式,21 000()s圆学子梦想 铸金字品牌得:v=2341 0002 1 000.s s ⨯-又v′=()23232551 0008 000s 1 0008 1 000,s s s -⨯-+=令v′=0,得s=20.当s<20时,v′>0;当s>20时,v′<0,所以s=20时,v 取得最大值.因此李明向张林要求赔付价格s=20(元)时,获最大净收入.2.(2015·长春模拟)已知函数f(x)=1-,g(x)=x-l n x.x x 1e-(1)证明:g(x)≥1.(2)证明:(x-ln x)f(x)>1-.21e 【证明】(1)g′(x)=,x 1x -当0<x<1时,g′(x)<0,当x>1时,g′(x)>0,即g(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.所以g(x)≥g(1)=1,得证.(2)f(x)=1-,f′(x)=,x x 1e -x x 2e -所以0<x<2时,f′(x)<0,x>2时,f′(x)>0,即f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,所以f(x)≥f(2)=1-,又由(1)x-ln x≥1,21e 所以(x-ln x)f(x)>1-.21e 3.已知函数f(x)=(x 2+2x-2)·e x ,x∈R,e 为自然对数的底数.(1)求函数f(x)的极值.(2)若方程f(x)=m 有两个不同的实数根,试求实数m 的取值范围.【解题提示】(1)根据求极值的方法求极值.(2)画出图象,根据图象分析求解.【解析】(1)f′(x)=(2x+2)·e x+(x2+2x-2)·e x=(x2+4x)·e x,令f′(x)=0,解得x1=-4或x2=0,列表如下:x(-∞,-4)-4(-4,0)0(0,+∞)f′(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可得当x=-4时,函数f(x)有极大值f(-4)=6e-4;当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=-2.(2)由(1)及当x→-∞,f(x)→0;x→+∞,f(x)→+∞大致图象为如图,“方程f(x)=m有两个不同的实数根”转化为函数f(x)的图象与y=m的图象有两个不同的交点,故实数m的取值范围为(-2,0]∪{6e-4}.4.(2015·包头模拟)已知函数f(x)=x2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若关于x的方程f(x)=kx-1有实数解,求实数k的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为{x|x>0},f′(x)=x(2ln x+1).令f′(x)=x(2ln x+1)>0,得2ln x+1>0,即令f′(x)=x(2ln x+1)<0,得2ln x+1<0,即,所以当x ∈（）时,f(x)单调递减;当x ∈时,f(x)单调递增.(2)由f(x)=kx-1得x 2ln x=kx-1,所以有k=xln x+ (x>0),1x 设g(x)=xln x+,g′(x)=ln x+,g′(1)=0,1x 22x 1x 当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以x>0时,g(x)min =g(1)=1.所以k≥1,k 的取值范围是[1,+∞).5.(2014·四川高考)已知函数f(x)=e x -ax 2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a 的取值范围.【解题提示】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用,函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想,并考查思维的严谨性.【解析】(1)因为f(x)=e x -ax 2-bx-1,所以g(x)=f′(x)=e x -2ax-b,又g′(x)=e x -2a,因为x ∈[0,1],1≤e x ≤e,所以:①若a≤,则2a≤1,g′(x)=e x -2a≥0,12所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min =g(0)=1-b.圆学子梦想 铸金字品牌②若<a<,则1<2a<e,12e 2于是当0≤x≤ln(2a)时,g′(x)=e x -2a≤0,当ln(2a)<x≤1时,g′(x)=e x -2a>0,所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增,g(x)min =g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.③若a≥,则2a≥e,g′(x)=e x -2a≤0,e 2所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min =g(1)=e-2a-b.综上所述,当a≤时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min =g(0)=1-b;12当<a<时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为12e 2g(x)min =g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b;当a≥时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min =g(1)=e-2a-b.e 2(2)由f(1)=0⇒e-a-b-1=0⇒b=e-a-1,又f(0)=0,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内不可能单调递增,也不可能单调递减,由(1)知当a≤或a≥时,函数g(x)即f′(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足上述要12e 2求.故只有<a<,此时g(x)min =2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)-e+1,12e 2令h(x)=x-xln x-e+1(1<x<e),32则h′(x)=-ln x.12由h′(x)=-ln x>0⇒12所以h(x)在区间)上单调递增,在区间,e)上单调递减,h(x)max )=32圆学子梦想 铸金字品牌即g(x)min <0恒成立,因为函数f(x)在区间(0,1)内不可能单调递增,也不可能单调递减,所以解得()()g 01b 2e a 0,g 1e 2a b a 10,=-=-+>⎧⎪⎨=--=-+>⎪⎩a e 2,a 1,>-⎧⎨<⎩又<a<,所以e-2<a<1,12e 2综上,a 的取值范围为(e-2,1).关闭Word 文档返回原板块。

「精选」人教版最新高考文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)及参考答案-精选文档

「精选」人教版最新高考文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)及参考答案-精选文档

高考第一轮复习文科数学习题集（含答案）目录第一章集合 (1)第一节集合的含义、表示及基本关系 (1)第二节集合的基本运算 (3)第二章函数 (5)第一节对函数的进一步认识 (5)第二节函数的单调性 (9)第三节函数的性质 (13)第三章指数函数和对数函数 (16)第一节指数函数 (16)第二节对数函数 (20)第三节幂函数与二次函数的性质 (24)第四节函数的图象特征 (28)第四章函数的应用 (32)第五章三角函数 (33)第一节角的概念的推广及弧度制 (33)第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39)第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42)第四节函数()sin()f x A xw j=+的图象 (45)第六章三角恒等变换 (50)第一节同角三角函数的基本关系 (50)第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53)第七章解三角形 (56)第一节正弦定理与余弦定理 (56)第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59)第八章数列 (60)第九章平面向量 (62)第十章算法 (65)第一节程序框图 (65)第二节程序语句 (69)第十一章概率 (73)第一节古典概型 (73)第二节概率的应用 (75)第三节几何概型 (79)第十二章导数 (83)第十三章不等式 (85)第十四章立体几何 (88)第一节简单几何体 (88)第二节空间图形的基本关系与公理 (92)第三节平行关系 (96)第四节垂直关系 (100)第五节简单几何体的面积与体积 (104)第十五章解析几何 (108)第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108)第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111)第三节圆的标准方程与一般方程 (114)第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117)第五节空间直角坐标系 (121)第十六章圆锥曲线 (123)第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系A 组1．已知A ＝{1，2}，B ＝{}|x x A Î，则集合A 与B 的关系为________．解析：由集合B ＝{}|x x A Î知，B ＝{1，2}．答案：A ＝B2．若{}2,|a a R x x ＮÆØ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，2x a £有解，故0a ³．答案：0a ³3．已知集合A ＝{}2|21,y y x x x R =--?，集合B ＝{}|28x x-＃，则集合A 与B 的关系是________．解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴A ＝{y|y ≥－2}，∴B A ．答案：B A4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{}2|0x x x +=关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={}2|0x x x +=，得N ={-1，0}，则N M ．答案：②5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ＝{}|5x x >，集合B ＝{}|x x a >，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件，∴A B ，∴a <5．答案：a <56．(原创题)已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B ．B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab |可能取的值组成的集合是________． 解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________．解析：∵B ⊆A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1． 答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0，2，5；b ＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若N M ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2010年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1．∴A ＝{x ，1，0}，B ＝{0，|x |，1x}． 于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1． 11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ．②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3．由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3，4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．，即不存在m 值使得A ＝B ． 12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2．(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，由数轴可知1≤a ≤2．(3)若A =B ，则必有a =2第二节 集合的基本运算A 组1．(2009年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{}|0x x >，B ＝{}|1x x >，则A ∩∁U B ＝____．解析：∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4，5，7，9}，B ＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．解析：A ∩B ＝{4，7，9}，A ∪B ＝{3，4，5，7，8，9}，∁U (A ∩B )＝{3，5，8}．答案：33．已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{}|2,x x a a M =?，则集合M ∩N ＝________．解析：由题意知，N ＝{0，2，4}，故M ∩N ＝{0，2}．答案：{0，2}4．(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⓐB ＝________．解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0，2]，所以A ⓐB ＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ；(2)若B ⊆A ，求m 的取值范围．解：(1)当1m =-时，B ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥－1}．(2)若B ⊆A ，则1m >，即m 的取值范围为(1，＋∞)B 组1．若集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝________．解析：因为集合N ＝{－1，0，1，2}，所以M ∩N ＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{0，2}，则(∁U A )∩B ＝________．解析：∁U A ＝{0，1}，故(∁U A )∩B ＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝________．解析：根据已知得M ∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0}4．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2，∴a ＝4，从而b ＝2，∴A ∪B ＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________．解析：U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，3，5，7}，B ＝{3，6}，∴A ∪B ＝{1，3，5，6，7}，得∁U (A ∪B )＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x y，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0，4，5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.点(0，2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2． 9．设全集I ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2，3，a 2＋2a －3}＝{2，5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1，2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3．(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－3． 11．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B ．(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；(3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意． 若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98． 综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98． (2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意． 当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时， 方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}． 综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}． (3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅．当a ≠0时，要使方程有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98． 综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________． 解析：⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4，0)∪(0，1] ．答案：[－4，0)∪(0，1] 2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2．答案：2 3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________．解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32．答案：log 324．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2，1，－1)＝________．解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3， 解得b 1＝－1，b 2＝0．答案：(－1，0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x(x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32， 求a ． 解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3， 又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32． (2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x 3x －1； 若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2； 若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1．∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧ 3x 3x －1 (x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1． 当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2； 当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22． ∴a ＝2或±22．B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0，2x －1>0，得x >23．答案：{x |x >23} 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_． 解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3， ∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7．答案：73．定义在区间(－1，1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1，1)，有－x ∈(－1，1)，由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，①由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)． 答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1) 4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)． 由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)3 6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1，3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3，解得x ＝1，x ＝3．故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3．当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3．综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0， 则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2．答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95， 又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数()f x =．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；(ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数．由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1．由①②可得－511≤a ≤1． (2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2，1]，显然1－a 2≠0且－2，1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a 2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2．11．已知()()()2f x f x x R +=?，并且当x ∈[－1，1]时，()21f x x =-+，求当[]()21,21x k k k Z ?+?时、()f x 的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1，2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1．∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1．又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)． (2)f (x )＝⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129．第二节 函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当12x x <时，都有()()12f x f x >”的是________．①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，12]时，g (x )为减函数．由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1．答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y =________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2． 答案：[1，2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋a ex |(a ∈R )在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围__． 解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋a e0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －a ex ≥0在x ∈[0，1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1．答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数()2f x x =，()1g x x =-． (1)若存在x ∈R 使()()f x b g x <?，求实数b 的取值范围；(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--2，且()F x 在[0，1]上单调递增，求实数m 的取值范围．解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x x ∈R ，x 2－bx ＋b＝(－b )2－4b b <0或b >4．(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需 ⎩⎨⎧ m 2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0． ②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m 2≥1，则x 1≤0．⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2． 若m 2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255．综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2．B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x | 解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4．答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__． 解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916． 答案：(0，916] 4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________． ①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3)③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14． 6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(3，0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)， 当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1．答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1，1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1，1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2，0]．答案：[－2，0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1，3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0，1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13．答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0，1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1． μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12) 10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性． 解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22．由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增． 11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2． 由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9．因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b x，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0，1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1．若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0，1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b 1＝1．即a ＋b ＝2．设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋b x 2恒成立． 由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立． 又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1．设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立． ∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1．由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1．∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节 函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1，1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0．答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23．答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2．答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5．(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1，4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4，9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)，又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0．(2)当x ∈[1，4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x ．∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15．当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9．B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2)④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1，0)，及点(－1，0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________．解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0．答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________．解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0．答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0．从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1，0)时，f (x )<0；x ∈(0，1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0．∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，1)答案：(－∞，－1)∪(0，1)．5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2．∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1．答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009．5)＝________． 解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009．5)＝f (502×4＋1．5)＝f (1．5)＝f (－2．5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009．5)＝f (2．5)＝52．答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1．答案：－19．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0．由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4．由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8． 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0．当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )． 11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2，6]上的最值． 解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称．∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0．∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R ．则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0．∴f (x 2)－f (x 1)<0．即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0，2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ， 设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x ．∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x ．故f (x )＝12x (－1≤x ≤1) 又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)， 又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3) 由f (x )＝－12，解得x ＝－1．∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0，2010]上共有502个x 使f (x )＝－12．第三章 指数函数和对数函数第一节 指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1．又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a－2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b－a －b ＝－2．答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________．解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3．又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3．答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________． 解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴(12)2x －x 2≥12．答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1． 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝3．答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1． 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a ．又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2． (2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ．即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13． 法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13．B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1．答案：②2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1，2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1．答案：(0，1] 3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12．答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________． 解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1， 故f －1(13)＝－1．又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2．答案：2 5．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(13)2－x ＝3x －2．答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x ＋e x e －x －e x ＝－e x ＋e －xe x －e－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④． 又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③．答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________．解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2．∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124．答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．。

高考数学大一轮复习 第二章 第12节 定积分概念及简单应用课时冲关 理 新人教A版高三全册数学试题

高考数学大一轮复习 第二章 第12节 定积分概念及简单应用课时冲关 理 新人教A版高三全册数学试题

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习 第二章 第12节 定积分概念及简单应用课时冲关 理 新人教A 版对应学生用书课时冲关(十五)第261页 一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，1，1<x ≤2，则定积分⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.83 B ．2 C.43D.13解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x＝13x 3|10＋x |21＝43. 故选C. 答案：C2．(2015·厦门模拟)设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( )A.56B.12C.23D.16解析：f ′(x )＝mxm －1＋a ＝2x ＋1，得m ＝2，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以f (－x )＝x 2－x ，所以⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2|21＝56.故选A.答案：A3．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J解析：由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ， ∴k ＝100 N/m ，则W ＝⎠⎛00.06 100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18(J)．故选A. 答案：A4．(2015·合肥模拟)如图，由函数f (x )＝e x－e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1 B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1解析：由已知得S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x－e)d x ＝(e x－e x )|21＝(e 2－2e)－(e －e)＝e 2－2e.故选B.答案：B5．(2015·南昌模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：因为a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83∈(2,3)，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20＝4>3，c ＝⎠⎛02sin x d x＝(－cos x )|20＝1－cos 2＜2，所以c ＜a ＜b . 故选D. 答案：D6．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解析：∵v (t )>0，∴质点在[1,2]内的位移s 即为v (t )在[1,2]上的定积分， ∴s ＝⎠⎛12v (t )d t ＝⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t | 21＝176.答案：A7．(2015·中山模拟)已知t ＞0，若⎠⎛0t (2x －1)d x ＝6，则t 的值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：⎠⎛0t (2x －1)d x ＝(x 2－x )|t0＝t 2－t ，由t 2－t ＝6得t ＝3或t ＝－2(舍去)．故选B.答案：B8．由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为( ) A.43 B.54 C.56D.34解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x 3，解得交点坐标是(1,1)．故由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝14x 4|10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2|21＝14＋12＝34.故选D. 答案：D9．(2015·石家庄模拟)已知等比数列{a n }，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( )A ．π2B ．4C ．πD ．－9π解析：∵a 4＋a 8＝π，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A.答案：A10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(－1≤x <0)，cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C ．2D.12答案：A11．(2013·北京高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D.1623解析：由题意知抛物线的焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 312|20＝83.答案：C12．(2015·珠海模拟)由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2(t 为常数且t ∈(0,1))所围成图形(阴影部分)面积的最小值为( )A.14B.13C.12D.23解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝t 2，x >0，得x ＝t .故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3|t 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x |1t＝43t 3－t 2＋13， 令S ′＝4t 2－2t ＝0，因为0<t <1，所以t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14，故选A.答案：A 二、填空题13．(2015·昆明模拟)⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝________.解析：⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ln x ＋2x |32 ＝92＋ln 32. 答案：92＋ln 3214．(2015·南宁模拟)在同一坐标系中作出曲线xy ＝1和直线y ＝x 以及直线y ＝3的图象如图所示，曲线xy ＝1与直线y ＝x 和y ＝3所围成的平面图形的面积为________．解析：所求区域面积为S ＝⎠⎜⎛13113⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3. 答案：4－ln 315．已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3|k 0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2.答案：216．(2015·成都模拟)函数y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值是________．解析：y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t＝⎠⎛0x ⎝⎛⎭⎪⎫sin t ＋12sin 2t d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos t －14cos 2t |x＝－cos x －14cos 2x ＋54＝－cos x －14(2cos 2x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2≤2，当cos x ＝－1时取等号． 答案：2 [备课札记]————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————高考大题冲关导数综合应用的热点问题导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想的运用．题型一利用导数研究函数性质综合问题对应学生用书理52页文49页[典例赏析1] (理科)(2014·重庆高考)已知函数f(x)＝a e2x－b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．[思维导引] (1)先求导函数f′(x)，再利用f′(x)为偶函数和曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c建立关于a，b的方程组求解；(2)把c＝3代入函数解析式，利用基本不等式求f′(x)的最小值，进而确定f′(x)的符号，从而确定函数f(x)的单调性；(3)对c分类，讨论方程f′(x)＝0是否有实根，从而确定极值．[解] (1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1>0，故f(x)在R上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4，当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1＝c ＋c 2－164，t 2＝c ＋c 2－164，t 1t 2>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0； 又当x >x 2时，f ′(x )>0， 从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．[典例赏析1] (文科)(2014·广东高考)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＜0时，试讨论是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. [思维导引] (1)由函数的导数与函数的单调性之间的关系求解；(2)先由a <0得函数的单调性，求得函数的最大值是f (0)或f (1)再讨论求解得答案．[解] (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ＝4(1－a )， 若a ≥1，则Δ≤0，f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0， ∴f (x )在R 上单调递增．若a <1，则Δ>0，方程x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ，当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )>0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间为()－∞，－1－1－a 和()－1＋1－a ，＋∞，单调递减区间为()－1－1－a ，－1＋1－a . (2)当a <0时，Δ>0，且f (0)＝1， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3124＋a2，f (1)＝73＋a ， 此时x 1<0，x 2>0，令x 2＝12得a ＝－54.①当－54<a <0时，x 1<0<x 2<12，f (x )在(0，x 2)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫x 2，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增．(ⅰ)若－54<a <－712，则f (0)＝1>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(ⅱ)当－712≤a <0时，f (0)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；②当a ＝－54时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增． ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.③当－2512<a <－54时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)， ∴存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.④当a ≤－2512时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥f (1)， ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.综上，当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－712，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－54∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512时，不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12； 当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－712时，存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.函数性质综合问题难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论．(1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．(2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值、最小的为最小值．1．(2015·呼伦贝尔市二模)已知函数f (x )＝1＋ln xx，(x ≥1)．(1)试判断函数f (x )的单调性，并说明理由； (2)若f (x )≥kx ＋1恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝－ln xx2.∵x ≥1，∴ln x ≥0，∴f ′(x )≤0，故f (x )在[1，＋∞)单调递减． (2)f (x )≥kx ＋1⇔(x ＋1)(1＋ln x )x≥k . 记g (x )＝(x ＋1)(1＋ln x )x，g ′(x )＝[(x ＋1)(1＋ln x )]′x －(x ＋1)(1＋ln x )x 2＝x －ln xx2.再令h (x )＝x －ln x 则h ′(x )＝1－1x.∵x ≥1则h (x )≥0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴[h (x )]min ＝h (1)＝1>0，从而g ′(x )>0，故g (x )在[1，＋∞)上也单调递增，∴[g (x )]min ＝g (1)＝2，∴k ≤2.题型二 利用导数证明不等式[典例赏析2] (2013·新课标全国高考Ⅱ)已知函数f (x )＝e x－ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0.[思维导引] (1)f ′(x )＝0解得m ，在f (x )的定义域内确定f ′(x )>0，f ′(x )<0的区间即得其单调区间；(2)m ≤2时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，只要f (x )＝e x－ln(x ＋2)>0即可，故只要f (x )min >0，确定函数f (x )的最小值点后论证其最小值大于0.[解] (1)解：f ′(x )＝e x－1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x－ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x －1x ＋1.函数f ′(x )＝e x－1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)， 故只需证明当m ＝2时，f (x )>0. 当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x－1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f ′(－1)<0，f ′(0)>0， 故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0， 且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝(x 0＋2)2x 0＋2>0.综上，当m ≤2时，f (x )>0.导数研究实数区间D 上的不等式的主要表现形式是“证明不等式在区间D 上成立，不等式在区间D 上恒成立，求参数k 的范围”等．(1)证明区间D 上不等式成立的策略：构造函数f (x )，把不等式转化为证明f (x )>0，f (x )<0等，把其转化为求函数f (x )在区间D 上的最值或值域的端点值，通过最值和值域端点值与0的比较得证．(2)根据区间D 上不等式恒成立求参数k 范围的策略：如果能够分离参数k ，即得到φ(k )>f (x )或φ(k )<f (x )，问题等价于求函数在区间D 上的最值或值域的端点值，通过最值与值域端点值得到关于k 的不等式解之；如果不能分离参数，则在含有参数的情况下，其处理策略同证明区间D 上不等式成立的策略．2．(2015·湛江一模)已知f (x )＝ln(x ＋1)，g (x )＝12ax 2＋bx (a ，b ∈R )．(1) 若b ＝2且h (x )＝f (x －1)－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝0，b ＝1，求证：当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )－g (x )≤0恒成立； (3) 利用(2)的结论证明：若x >0，y >0，则x ln x ＋y ln y >(x ＋y )ln x ＋y2.解：(1)当b ＝2时，h (x )＝ln x －12ax 2－2x∴h ′(x )＝1x－ax －2.∵h (x )有单调减区间，∴h ′(x )<0有解，即1－ax 2－2xx<0∵x >0，∴ax 2＋2x －1>0有解． (ⅰ)当a ≥0时符合题意；(ⅱ)当a <0时，Δ＝4＋4a >0，即a >－1. ∴a 的取值范围是(－1，＋∞)．(2)当a ＝0，b ＝1时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－x ，∴φ′(x )＝1x ＋1－1＝－xx ＋1. ∵x >－1，讨论φ′(x )的正负得下表：∴当x ＝0即φ(x )≤0恒成立，∴当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )－g (x )≤0恒成立． (3)证明：∵x >0，y >0， ∴x ln x ＋y ln y －(x ＋y )ln x ＋y2＝x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x －ln x ＋y 2＋y ⎝⎛⎭⎪⎫ln y －ln x ＋y 2＝x ln2x x ＋y ＋y ln 2y x ＋y ＝－x ln x ＋y 2x －y ln x ＋y 2y＝－x ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －y 2y .由(2)有－x ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －y 2y >－x ·y －x 2x －y ·x －y 2y ＝0∴x ln x ＋y ln y >(x ＋y )ln x ＋y2.题型三 利用导数研究恒成立问题 对应学生用书理53页 文50页[典例赏析3] (2015·珠海检测)已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋12，a ∈R .(1)当a ＝－13时，求f (x )的最大值；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|恒成立，求实数a 的取值范围．[思维导引] (1)对函数f (x )求导，得到f (x )的单调递增区间和单调递减区间，进而得到f (x )最小值； (2)对函数f (x )求导，然后对a 分情况进行讨论得到f (x )的单调区间； (3)分①当a ≥0时， ②当a ≤－1时， ③当－1<a <0时进行讨论，在这三种情况中分别找到a 的范围，最后取并集．[规范答题] (1)当a ＝－13时，f (x )＝23ln x －13x 2＋12，f ′(x )＝23x －23x ＝2－2x 23x ＝－2(x ＋1)(x －1)3x，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)，所以f (x )max ＝f (1)＝16.(2)函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋12的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.下面对参数进行如下讨论：当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a ，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞，f ′(x )<0. 故f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增；在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减． (3)不妨设0<x 1≤x 2：①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1恒成立．构造函数g (x )＝f (x )＋4x ，须证g (x )＝f (x )＋4x 在(0，＋∞)上单调递增，即证g ′(x )＝f ′(x )－4＝a ＋1x＋2ax －4≥0，即2ax 2－4x ＋a ＋1≥0(x >0)恒成立．当a ＝0时，则由－4x ＋1>0得x >14，不合题意，即a ≠0，则a >0.根据二次函数y ＝2ax 2－4x ＋a ＋1(x >0)开口方向向上，对称轴x ＝1a>0，所以只需Δ≤0，可得16－8a (a ＋1)≤0， 解得a ≥1(a ≤－2舍去)．②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，即f (x 2)＋4x 2≤f (x 1)＋4x 1恒成立．构造函数g (x )＝f (x )＋4x ，须证g (x )＝f (x )＋4x 在(0，＋∞)上单调递减，即证g ′(x )＝f ′(x )＋4＝a ＋1x＋2ax ＋4≤0，得2ax 2＋4x ＋a ＋1≤0(x >0)恒成立. 根据二次函数y ＝2ax 2＋4x ＋a ＋1(x >0)开口方向向下，对称轴x ＝－1a>0， 所以只需Δ≤0，可得16－8a (a ＋1)≤0，解得a ≤－2(a ≥1舍去)． ③当－1<a <0时，f (x )在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增；在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减，此时|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于f (x 2)－4x 2≥f (x 1)－4x 1恒成立或者f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1恒成立，由上可知a ≥1或a ≤－2，这与－1<a <0不符，故此情况无解．综上所述：实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞)．利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为函数在给定区间上的最值问题求解．(2)如果无法分离参数可以考虑对参数a 或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解．(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．3．(2015·青岛一模)已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))的切线方程；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，af ′(x )＋4a 2x ≥ln x －3a －1恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a >0时，试讨论f (x )在(－1,1)内的极值点的个数．解：(1)由题意知f (x )＝23x 3－3x ，所以f ′(x )＝2x 2－3.又f (3)＝9，f ′(3)＝15，所以曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))的切线方程为15x －y －36＝0.(2)由题意2ax 2＋1≥ln x ，即a ≥ln x －12x 2对一切x ∈(0，＋∞)恒成立． 设g (x )＝ln x －12x 2，则g ′(x )＝3－2ln x2x 3. 当0<x <e 32时，g ′(x )>0；当x >e 32时，g ′(x )<0.所以当x ＝e 32时，g (x )取得最大值g (x )max ＝14e 3，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14e 3，＋∞.(3)f ′(x )＝2x 2－4ax －3，f ′(－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14，f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎪⎫a ＋14.①当a >14时，∵⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14>0，f ′(1)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使得f ′(x 0)＝0.因为f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，所以在(－1，x 0)内f ′(x )>0，在(x 0,1)内f ′(x )<0， 即f (x )在(－1，x 0)内是增函数，f (x )在(x 0,1)内是减函数， 故a >14时，f (x )在(－1,1)内有且只有一个极值点，且是极大值点．②当0<a ≤14时，∵⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14≤0，f ′(1)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14<0.又因为f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，所以在(－1,1)内f ′(x )<0，则f (x )在(－1,1)内为减函数，故没有极值点． 综上可知：当a >14，f (x )在(－1,1)内的极值点的个数为1；当0<a ≤14时，f (x )在(－1,1)内的极值点的个数为0.题型四 利用导数研究方程的根(或函数的零点) 对应学生用书理54页 文51页[典例赏析4] (2015·包头市二模)已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝kx －1有实数解，求实数k 的取值范围．[思维导引] (1)在定义域范围内，解不等式f ′(x )>0得单调递增区间，解不等式f ′(x )<0得单调递减区间；(2)将实数k 分离出来，转化为求函数的值域．[规范答题] (1)函数的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝x (2ln x ＋1)令f ′(x )＝x (2ln x ＋1)>0，得2ln x ＋1>0，即x >ee；令f ′(x )＝x (2ln x ＋1)<0，得2ln x ＋1<0，即0<x <e e； 所以，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e e 时，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e e ，＋∞时，f (x )单调递增 (2)由f (x )＝kx －1，得x 2ln x ＝kx －1， 所以有k ＝x ln x ＋1x(x >0)，设g (x )＝x ln x ＋1x ，g ′(x )＝ln x ＋x 2－1x2g ′(1)＝0，当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 所以x >0时，g (x )min ＝g (1)＝1所以k ≥1，k 的取值范围是[1，＋∞)．研究方程根，可以通过构造函数g (x )的方法，把问题转化为研究构造的函数g (x )的零点问题．研究函数g (x )零点的策略是：(1)如果函数g (x )在已知区间上是单调的，则其最多只有一个零点，再结合函数的零点存在定理，确定其零点是否存在．(2)如果函数g (x )在已知区间不是单调的，则求出这个函数的极值点和单调区间，再结合g (x )的极值与零的大小，以及函数g (x )的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数．4．已知函数f (x )＝x 2－2a ln x －bx .(1)若a ＝－12，函数f (x )在其定义域内是增函数，求b 的最大值；(2)若b ＝0，关于x 的方程f (x )－2ax ＝0有唯一解，求实数a 的取值范围．解：(1)依题意a ＝－12时，f (x )＝ln x ＋x 2－bx ，且在其定义域(0，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x＋2x －b ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即b ≤1x＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴只需b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x min .∵x >0，∴1x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝22时取“＝”，∴b ≤22，故b 的最大值为2 2.(2)记(g )x ＝f (x )－2ax ＝x 2－2a ln x －2ax ， g ′(x )＝2x －2a x －2a ＝2x(x 2－ax －a )．若方程f (x )＝2ax 有唯一解，即g (x )＝0有唯一解. 令g ′(x )＝0，得x 2－ax －a ＝0.因为a >0，x >0， 所以x 1＝a －a 2＋4a2<0(舍去)，x 2＝a ＋a 2＋4a2.当x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，x 2)是单调递减函数； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(x 2，＋∞)上是单调递增函数． 当x ＝x 2时，g ′(x 2)＝0，g (x )min ＝g (x 2)． 因为g (x )＝0有唯一解，所以g (x 2)＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧g (x 2)＝0，g ′(x 2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 22－2a ln x 2－2ax 2＝0，x 22－ax 2－a ＝0，两式相减得a ln x 2＋ax 2－a ＝0， 因为a >0，所以2ln x 2＋x 2－1＝0(*)． 设函数h (x )＝2ln x ＋x －1，因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x )＝ 0至多有一解． 因为h (1)＝0，所以方程(*)的解为x 2＝1，从而解得a ＝12.1．(2015·武威市凉州区一诊)已知函数f (x )＝(ax －2)e x在x ＝1处取得极值． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值；(3)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e.解：(1)解：f ′(x )＝a e x ＋(ax －2)e x ＝(ax ＋a －2)e x. 由已知得f ′(1)＝0，即(2a －2)e x＝0，解得a ＝1.当a ＝1时，在x ＝1处函数f (x )＝(x －2)e x取得极小值，所以a ＝1. (2)解：f (x )＝(x －2)e x，f ′(x )＝e x＋(x －2)e x＝(x －1)e x.所以函数f 当m ≥1时，f (x )在[m ，m ＋1]单调递增，f min (x )＝f (m )＝(m －2)e m .当0<m <1时，m <1<m ＋1，f (x )在[m,1]上单调递减，在[1，m ＋1]上单调递增， f min (x )＝f (1)＝－e.当m ≤0时，m ＋1≤1，f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减，f min (x )＝f (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1.综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值f min (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(m －2)e m，m ≥1，－e ，0<m <1，(m －1)e m ＋1，m ≤0.(3)证明：由(Ⅰ)知f (x )＝(x －2)e x，f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x .令f ′(x )＝0得x ＝1.因为f (0)＝－2，f (1)＝－e ，f (2)＝0，所以f max (x )＝0，f min (x )＝－e ，所以，对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f max (x )－f min (x )＝e.2．(2015·常州市监测)已知函数f (x )＝ln x －x －ax，a ∈R . (1)当a ＝0时，求函数f (x )的极大值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)当a >1时，设函数g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x －1)＋x －1＋a x －1，若实数b 满足b >a 且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫b b －1＝g (a )，g (b )＝2g ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，求证：4<b <5.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0时，f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0得x ＝1.列表：所以f (x )(2)f ′(x )＝1x －1＋a x 2＝－x 2＋x ＋ax2. 令f ′(x )＝0，得－x 2＋x ＋a ＝0，记Δ＝1＋4a .(ⅰ)当a ≤－14时，f ′(x )≤0，所以f (x )单调减区间为(0，＋∞)；(ⅱ)当a >－14时，由f ′(x )＝0得x 1＝1＋1＋4a 2，x 2＝1－1＋4a2，①若－14<a <0，则x 1>x 2>0，由f ′(x )<0，得0<x <x 2，x >x 1；由f ′(x )>0，得x 2<x <x 1.所以，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2；②若a ＝0，由(1)知f (x )单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)； ③若a >0，则x 1>0>x 2，由f ′(x )<0，得x >x 1；由f ′(x )>0，得0<x <x 1.f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2. 综上所述：当a ≤－14时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当－14<a <0时，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2； 当a ≥0时，f (x )单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2. (3)证明： g (x )＝|ln(x －1)|(x >1)． 由g ⎝⎛⎭⎪⎫b b －1＝g (a )得⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 1b －1＝|ln(a －1)|.∵1<a <b ，∴b －1＝a －1(舍)，或(a －1)(b －1)＝1. ∵1＝(a －1)(b －1)<(b －1)2，∴b >2.由g (b )＝2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2得|ln(b －1)|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b －1＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 12[(a －1)＋(b －1)]，(*)因为a －1＋b －12≥(a －1)(b －1)＝1，所以(*)式可化为ln(b －1)＝2ln 12[(a －1)＋(b －1)]，即b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1＋b －12.令b －1＝t (t >1)，则t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2，整理得t 4－4t 3＋2t 2＋1＝0，从而(t －1)(t 3－3t 2－t －1)＝0，即t 3－3t 2－t －1＝0.记h (t )＝t 3－3t 2－t －1，t >1.h ′(t )＝3t 2－6t －1，令h ′(t )＝0得t ＝1－233(舍去)，t ＝1＋233，列表：所以，h ，h (4)>0，所以3<t <4，从而4<b <5.对应学生用书理55页 文52页3．(2015·临沂市质检)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图象相切，求实数m 的值； (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x有唯一的公共点；(3)设0<a <b ，比较f (b )－f (a )2与b －ab ＋a的大小，并说明理由． 解：(1)f ′(x )＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0， 代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34x2<0， ∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝ln 1－1＋1＝0，∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．(3)ln b －ln a 2－b －a b ＋a ＝12 ln b a －ba －1ba＋1，∵0<a <b ，∴ba>1.构造函数φ(x )＝12ln x －x －1x ＋1，(x >1)，则φ′(x )＝12x －x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝12x －2(x ＋1)2＝(x －1)22x (x ＋1)2>0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增， 又当x ＝1时，φ(1)＝0，∴x >1时，φ(x )>0，即12ln x >x －1x ＋1，则有12ln b a >b a －1b a＋1成立，即ln b －ln a 2>b －a b ＋a.即f (b )－f (a )2>b －ab ＋a. 4．(2015·湖北省八市联考)定义在R 上的函数g (x )及二次函数h (x )满足g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2ex －9，h (－2)＝h (0)＝1且h (－3)＝－2.(1)求g (x )和h (x )的解析式；(2)对于x 1，x 2∈[－1,1]，均有h (x 1)＋ax 1＋5≥g (x 2)－x 2g (x 2)成立，求a 的取值范围；(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，(x >0)h (x )，(x ≤0)，讨论方程f [f (x )]＝2的解的个数情况．解：(1)∵g (x )＋2g (－x )＝e x＋2ex －9，①g (－x )＋2g (x )＝e －x ＋2e－x －9，即 g (－x )＋2g (x )＝2e x ＋1ex －9.②由①②联立解得：g (x )＝e x－3.∵h (x )是二次函数，且h (－2)＝h (0)＝1，可设h (x )＝ax (x ＋2)＋1，由h (－3)＝－2，解得a ＝－1.∴h (x )＝－x (x ＋2)＋1＝－x 2－2x ＋1. ∴g (x )＝e x －3，h (x )＝－x 2－2x ＋1.(2)设φ(x )＝h (x )＋ax ＋5＝－x 2＋(a －2)x ＋6，F (x )＝e x －3－x (e x －3)＝(1－x )e x ＋3x －3，依题意知：当－1≤x ≤1时，φ(x )min ≥F (x )max . ∵F ′(x )＝－e x＋(1－x )(e x－3)＋3＝－x e x＋3，F ″(x )＝－e x (1＋x )，当x ∈[－1,1]时，F ″(x )≤0，∴F (x )在[－1,1]上单调递减，∴F ′(x )min ＝F ′(1)＝3－e>0.∴F (x )在[－1,1]上单调递增，∴F (x )max ＝F (1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ(－1)＝7－a ≥0，φ(1)＝a ＋3≥0，解得－3≤a ≤7，∴实数a 的取值范围为[－3,7]． (3)f (x )的图象如图所示： 令T ＝f (x )，则f (T )＝2.∴T 1＝－1，T 2＝ln 5，f (x )＝－1有两个解，f (x )＝ln 5有3个解． ∴f [f (x )]＝2有5个解．5．(理科)(2015·漳州市质检)给出定义在(0，＋∞)上的三个函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－af (x )，h (x )＝x －a x ，已知g (x )在x ＝1处取极值．(1)求实数a 的值，并确定函数h (x )的单调性； (2)求证：当1<x <e 2时，恒有x <2＋f (x )2－f (x )成立；(3)若函数y ＝m －g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围． 解：(1)由题设，g (x )＝x 2－a ln x ，则g ′(x )＝2x －ax.由已知，g ′(1)＝0，即2－a ＝0⇒a ＝2.于是h (x )＝x －2x ，则h ′(x )＝1－1x，且x ∈(0，＋∞)． 由h ′(x )＝1－1x>0⇒x >1，h ′(x )＝1－1x<0⇒0<x <1.所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，在(0,1)上是减函数．(2)当1<x <e 2时，0<ln x <2，即0<f (x )<2，欲证x <2＋f (x )2－f (x )，只需证x [2－f (x )]<2＋f (x )，即证f (x )>2(x －1)x ＋1.设γ(x )＝f (x )－2(x －1)x ＋1＝ln x －2(x －1)x ＋1，则γ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2. 当1<x <e 2时，γ′(x )>0，所以γ(x )在区间(1，e 2)上为增函数． 从而当1<x <e 2时，γ(x )>γ(1)＝0，即f (x )>2(x －1)x ＋1，故x <2＋f (x )2－f (x ).(3)∵y ＝2ln x －x 2＋m ，则y ′＝2x －2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，故y ′＝0时，x ＝1.当1e <x <1时，y ′>0；当1<x <e 时，y ′<0.故函数y ＝φ(x )在x ＝1处取得极大值φ(1)＝m －1. 又φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，φ(e)＝m ＋2－e 2，φ(e)－φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e2<0，则φ(e)<φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e， ∴y ＝φ(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是φ(e)． y ＝φ(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧φ(1)＝m －1>0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2. 5．(文科)(2015·大连市二模)设函数f (x )＝ln x －cx (x ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≤x 2恒成立，求c 的取值范围；(3)设函数f (x )有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1·x 2>e 2.解析：(1)∵f (x )＝ln x －cx ，∴x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －c ＝1－cxx.当c ≤0时，f (x )单调增区间为(0，＋∞)；当c >0时，f (x )单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，f (x )单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.(2)∵f (x )≤x 2，∴ln x －cx ≤x 2，∴c ≥ln x x－x .设g (x )＝ln x x －x ，∴g ′(x )＝1－ln x －x 2x2， ∴g (x )在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． ∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴c ≥－1.(3)证明： f (x )有两个相异零点，ln x 1＝cx 1，ln x 2＝cx 2，① ∴ln x 1－ln x 2＝c (x 1－x 2)， ∴ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝c ，②而x 1·x 2>e 2，等价于ln x 1＋ln x 2>2，即cx 1＋cx 2>2，③ 由①②③得：ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋x 2)>2.不妨设x 1>x 2>0，则t ＝x 1x 2>1， 上式转化为ln t >2(t －1)t ＋1(t >1)．设H (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)，则H (t )＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，故函数H (t )是(1，＋∞)上的增函数，所以H (t )－H (l )＝0，即不等式ln t >2(t －1)t ＋1成立，故所证不等式x 1·x 2>e 2成立.6．(理科)(2015·南平市质检)设函数g (x )＝x 2－2x ＋1＋m ln x ，(m ∈R )． (1)当m ＝1时，求过点P (0，－1)且与曲线y ＝g (x )－(x －1)2相切的切线方程； (2)求函数y ＝g (x )的单调增区间；(3)若函数y ＝g (x )有两个极值点a ，b ，且a <b ，记[x ]表示不大于x 的最大整数，试比较sin [g (a )][g (b )]与cos([g (a )][g (b )])的大小．解：(1)曲线方程为y ＝ln x ，设切点为(x 0，ln x 0)．由y ′＝1x 得切线的斜率k ＝1x 0，则切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．因为切线过点P (0，－1)，所以－1－ln x 0＝－1，即x 0＝1，故所求切线方程为x －y －1＝0.(2)函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋mx.令g ′(x )>0并结合定义域得2x 2－2x ＋m >0， 对应一元二次方程的判别式Δ＝4(1－2m )．①当Δ≤0，即m ≥12时，g ′(x )≥0，则函数g (x )的增区间为(0，＋∞)；②当0<m <12时，函数g (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2m 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞；③当m ≤0时，函数g (x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞. (3)g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋m x ，令g ′(x )＝0得2x 2－2x ＋m ＝0，由题意知方程有两个不相等的正数根a ，b (a <b )，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(1－2m )>0，m2>0解得0<m <12， 解方程得b ＝1＋1－2m 2，则12<b <1.又由2b 2－2b ＋m ＝0得m ＝－2b 2＋2b ，所以g (b )＝b 2－2b ＋1＋m ln b ＝b 2－2b ＋1＋(－2b 2＋2b )ln b ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.g ′(b )＝2b －2＋(－4b ＋2)ln b ＋2－2b＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12ln B.当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，g ′(b )>0，即函数g (b )是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上的增函数，所以1－2ln 24<g (b )<0，故g (b )的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－2ln 24，0.则[g (b )]＝－1.同理可求0<a <12，g (a )＝a 2－2a ＋1＋(－2a 2＋2a )ln a ，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，g ′(a )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12ln a <0，即函数g (a )是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的减函数，所以1－2ln 24<g (a )<1，故g (a )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2ln 24，1，则[g (a )]＝－1或[g (a )]＝0.当[g (a )]＝－1时，sin [g (a )][g (b )]>cos([g (a )][g (b )])；当[g (a )]＝0时，sin [g (a )][g (b )]<cos([g (a )][g (b )])．6．(文科)(2015·南平市质检)已知函数f (x )＝e x－x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)已知t 为实数，求函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值；(3)定义在区间D 上的函数g (x )，若存在区间[a ，b ]⊆D 及实常数m ，当x ∈[a ，b ]时，g (x )的取值范围恰为[a ＋m ，b ＋m ]，则称区间[a ，b ]为g (x )的一个同步偏移区间，m 为同步偏移量．试问函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上是否存在同步偏移区间？若存在，请求出一个同步偏移区间及对应的偏移量；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知f (1)＝e －1，f ′(x )＝e x－1. ∴函数f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝e －1， ∴切线方程为y －(e －1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x . (2)令f ′(x )＝e x－1＝0得x ＝0.①当t ≥0时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f min x ＝f (t )＝e t－t . ②当－2<t <0时，在[t,0]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减；在[0，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，∴f min (x )＝f 极小(x )＝f (0)＝1.③当t ≤－2时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减，f min (x )＝f (t ＋2)＝et ＋2－t －2.∴f min (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e t ＋2－t －2，t ≤－21，－2<t <0e t －t ，t ≥0(3)函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间． 证明如下：假设函数g (x )＝[f (x )＋x ](x 2－1)＝(x 2－1)e x存在同步偏移区间[a ，b ]， 则g ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x.∵x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (a )＝(a 2－1)e a＝a ＋m ，g (b )＝(b 2－1)e b＝b ＋m ，即方程(x 2－1)e x＝x ＋m 有两个大于1的相异实根．设φ(x )＝(x 2－1)e x －x －m (x >1)，则φ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x－1.∵x>1，φ′(x)>0，∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增.∴φ(x)在区间(1，＋∞)上至多有一个零点与方程(x2－1)e x＝x＋m有两个大于1的相异实根矛盾，∴假设不成立，即g(x)在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间．。

【全套】全国新课标通用2016年高考数学(文)专题复习：题型专训

【全套】全国新课标通用2016年高考数学(文)专题复习：题型专训

【全套】全国新课标通用2016年高考数学（文）专题复习：题型专训目录第二部分 题型专训 (1)客观题限时练(一) (1)客观题限时练(二) (5)客观题限时练(三) (9)客观题限时练(四) (14)中档题满分练(一) (18)中档题满分练(二) (19)中档题满分练(三) (21)压轴题突破练 (24)参考答案 (25)第二部分 题型专训客观题限时练(一)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合A ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，B ＝{x |x 2－x ＞0}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，1]∪(2，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，2)C ．∅D ．(1，2]2．(2015·长沙模拟)已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z －2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－343．(2015·济南模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．在△ABC 中，若sin A sin A cos C ＝cos A sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．(2015·西安质检)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的频数分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x －，则()A ．m e ＝m o ＝x －B ．m e ＝m o ＜x －C ．m e ＜m o ＜x －D ．m o ＜m e ＜x － 6．(2015·日照调研)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.34B.14C.211 D ．47．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)8．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n )，q ＝(3，6)，则向量p 与q 共线的概率为( )A.118B.112C.19D.299．(2015·武汉质检)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )＞f (c )＞f (d )B ．f (b )＞f (a )＞f (e )C ．f (c )＞f (b )＞f (a )D ．f (c )＞f (e )＞f (d )10．设数列{a n }是首项为－12，公差为d (d ≠0)的等差数列，S n 是其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则公差d 的值为( )A ．－1B ．－12 C.18 D.1211．(2015·衡水中学质检)当向量a ＝c ＝(－2，2)，b ＝(1，0)时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．512．(2015·郑州一中模拟)设双曲线x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，则此双曲线的方程为( ) A.x 23－y 2＝1B.x 24－y 212＝1 C ．y 2－x 23＝1 D.y 212－x 24＝1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．(2015·巴蜀中学一模)公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为________．14．(2015·莱芜调研)直线y ＝x ＋1被圆x 2－2x ＋y 2－3＝0所截得的弦长等于________．15．(2015·西安调研)某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为π3的扇形，则该几何体的体积为________．16．(2015·莱芜质检)设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数ω＞0，使|f (x )|≤ω|x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f (x )＝4x ；②f (x )＝x 2＋2；③f (x )＝2x x 2－2x ＋5；④f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤ 4|x 1－x 2|.其中是“条件约束函数”的序号是________(写出符合条件的全部序号)．客观题限时练(二)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．计算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 2 0152＋i ＝( ) A. 2B.223 C ．2 2 D ．12．(2015·济南模拟)已知集合M ＝{x |x 2－2x －3≥0}，N ＝{x |x ＞a }．若∁R M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[3，＋∞)D ．(3，＋∞)3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[－1，0)时，f (x )＝x＋3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．－32B ．－52C ．－72D ．－24．(2015·沈阳市四校联考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8，85．(2015·青岛质检)已知函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π12个单位后，得到函数g (x )的图象，则“φ＝－π6”是“g (x )为偶函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．(2015·济南调研)某餐厅的原料费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^＝8.5x ＋7.5，则表中的m 的值为( )A.50 B ．55 C ．60D ．65 7.如果执行右侧的程序框图，那么输出的S 的值为( )A ．1 740B ．1 800C ．1 860D ．1 9848．(2015·北京东城区质检)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－129．(2015·山东高考)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n11．(2015·济南调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点(3，0)，且一条渐近线被圆(x －3)2＋y 2＝8截得的弦长为4，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±255xC ．y ＝±663xD ．y ＝±26x12．若直角坐标系中有两点P ，Q 满足条件：(1)P 、Q 分别在函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象上，(2)P 、Q 关于点(1，0)对称，则对称点对(P ，Q )是一个“和谐点对”．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx ( －2≤x ≤4)的图象中“和谐点对”的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13.(2014·福建高考)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．14．若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝________．15．在椭圆x 216＋y 29＝1内，通过点M (1，1)且被这点平分的弦所在的直线方程为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．客观题限时练(三)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，在复平面内，向量OA→对应的复数为z，则复数z2·i＝()A．－3－4i B．5＋4iC．4＋3i D．3－4i2．设全集U＝R，A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}3．(2015·莱芜调研)在数列{a n}中，已知S1＝1，S2＝2，且S n＋1＋2S n＝3S n(n≥2且n∈N*)，则此数列为()－1A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列4．下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是()A．f(x)＝sin x B．f(x)＝sin x cos xC ．f (x )＝cos xD ．f (x )＝cos 2x －sin 2x 5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝3，∠ABC ＝60°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )A ．－94B.94C.274 D ．9 6．(2015·日照质检)执行如图所示的程序框图，输出的k 值为( )A ．7B ．9C ．11D ．13 7．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a 2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图象不可能的是( )8．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π49．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．510．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．211．(2015·福建高考)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.1212．设函数f (x )的定义域为D ，若任取x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D 满足f （x 1）＋f （x 2）2＝M ，则称M 为函数y ＝f (x )在D 上的均值，给出下列五个函数：①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝4sin x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝e x ，则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为( )A ．①③B ．①④C ．①④⑤D ．②③④ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13.(2015·南京调研)如图是某电视台青年歌手大奖赛上七位评委给某选手打出的分数茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，若这组数据的中位数与平均数相等，则m ＝________．14．(2015·济南质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．15．已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，若关于x的方程f(x)＝|log a|x||(a＞0，a≠1)在[－2，3]上有5个根，则a的取值范围是________．16．(2015·天津高考)已知函数f(x)＝ax ln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．客观题限时练(四)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z满足i z＝2＋4i，则z在复平面内对应的点的坐标是() A．(4，2) B．(2，－4)C．(2，4) D．(4，－2)2．已知集合M＝{x|y＝lg(2x－x2)}，N＝{x|x2＋y2＝1}，则M∩N＝()A．[－1，2) B．(0，1)C．(0，1] D．∅3．(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.23π＋6B.113πC.116πD.23＋6π5．(2015·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图象与直线y ＝1的相邻交点之间的距离为π，f (x )的图象向左平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0中心对称 B ．图象关于x ＝－π6对称C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上单调递增 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π3上单调递减 6．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x －，s 2＋1002B.x －＋100，s 2＋1002C.x －，s 2D.x －＋100，s 2 7．(2015·湛江市调研)在△ABC 中，边a 、b 所对的角分别为A 、B ，若cos A ＝－35，B ＝π6，b ＝1，则a ＝( )A.85B.45C.165D.588．(2015·衡水调研)a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则 cos(a π－θ)的结果是( )A ．cos θB ．－cos θC ．sin θD ．－sin θ9．(2015·济南模拟)若至少存在一个x (x ≥0)，使得关于x 的不等式x 2≤4－|2x －m |成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－4，5]B ．[－5，5]C ．[4，5]D ．[－5，4]10．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( ) A.2＋12B.2＋1C.3＋12D.3＋111．(2015·北京海淀区调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋(a 2＋c 2－ac )x ＋1有极值点，则∠B 的范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 12．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．已知不共线的平面向量a ，b 满足a ＝(－2，2)，(a ＋b )⊥(a －b )，那么|b |＝________．14．(2015·潍坊质检)在数列{a n }中，已知a 2＝4，a 3＝15，且数列{a n ＋n }是等比数列，则a n ＝________．15．(2015·河北石家庄二模)动点P (a ，b )在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ≥0，y ≥0上运动，则ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是________． 16．(2015·南京调研)定义域是R 的函数，其图象是连续不断的，若存在常数λ(λ∈R )使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是R 上的一个“λ的相关函数”．有下列关于“λ的相关函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；②f (x )＝x 2是一个“λ的相关函数”；③“12的相关函数”至少有一个零点；④若y ＝e x 是“λ的相关函数”，则－1＜λ＜0.其中正确的命题序号是________．中档题满分练(一)1．(2015·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin (A ＋B )＝69，ac ＝23， 求sin A 和c 的值．2．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．3.在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．4．(2015·湖北高考)设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1) 求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2) 当d>1时，记c n＝a nb n，求数列{c n}的前n项和T n. 中档题满分练(二)1．已知函数f(x)＝2a sin ωx cos ωx＋23cos2ωx－3(a＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π.(1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程；(2)若f (α)＝43，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π6的值．2．(2015·西安调研)对于给定数列{a n }，如果存在实常数p ，q ，使得a n ＋1＝pa n ＋q 对于任意n ∈N *都成立，我们称数列{a n }是“M 类数列”．(1)已知数列{b n }是“M 类数列”且b n ＝3n ，求它对应的实常数p ，q 的值；(2)若数列{c n }满足c 1＝－1，c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)，求数列{c n }的通项公式，判断{c n }是否为“M 类数列”并说明理由．3.如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．4．某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b－)，(a，b)，(a－，b)，(a－，b－)，(a，b)，(a，b)，(a，b－)，(a－，b)，(a，b－)，(a－，b－)，(a，b)，(a，b－)，(a－，b)，(a，b)其中a，a－分别表示甲组研发成功和失败；b，b－分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．中档题满分练(三)1．已知向量a＝(2sin x，－cos x)，b＝(3cos x，2cos x)，f(x)＝a·b＋(1)求函数f (x )的最小正周期，并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时f (x )的取值范围；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．2．(2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．3．(2015·浙江高考)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点．(1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；(2)求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值．4．(2015·无锡质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知点(a n －1，a n )(n ∈N *，n ≥2)在函数y ＝3x 的图象上，且S 4＝80.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成公差为d n 的等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和为P n .①求P n；②若16P n＋6n3n≤40027成立，求n的最大正整数值．压轴题突破练1．(2015·四川高考)已知函数f(x)＝－2x ln x＋x2－2ax＋a2，其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．2．(2015·北京高考)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．3．(2015·浙江高考)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1，1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1，1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，半焦距为c ，B (0，1)为其上顶点，且a 2，c 2，b 2依次成等差数列．(1)求椭圆的标准方程和离心率e ；(2)P ，Q 为椭圆上的两个不同的动点，且k BP ·k BQ ＝e 2.(ⅰ)试证直线PQ 过定点M ，并求出M 点坐标；(ⅱ)△PBQ 是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ 的斜率；否则请说明理由．参考答案第二部分 题型专训客观题限时练(一)1．D [易知A ＝[0，2]，B ＝{x |x ＜0或x ＞1}．∴A ∩B ＝(1，2]．]2．A [求出z 1·z －2的虚部，令其为0，∵复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，∴z 1·z －2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ，∵z 1·z －2是实数，∴4t －3＝0，∴t ＝34.] 3．D [将直线类比到平面，可知①、④正确．]4．A [∵sin A －sin A cos C ＝cos A sin C ，∴sin A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )．由于A ，A ＋C ∈(0，π)．所以A ＝π－(A ＋C )，又B ＝π－(A ＋C )，因此A ＝B ，△ABC 为等腰三角形．]5．D [由频数分布直方图知，众数m o ＝5，中位数m e ＝5＋62＝5.5，平均数x ＝2×（3＋8＋9＋10）＋3×（4＋7）＋10×5＋6×630＝17930≈5.97.因此x ＞m e ＞m o .]6．B[先画出x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a 的可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，得B (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x ，得C (a ，a )，平移直线2x ＋y ＝0，当直线过点C (a ，a )时，目标函数z ＝2x ＋y 有最小值，且z min ＝3a ；当直线过点B (1，1)时，函数z ＝x ＋y 取最大值，且z max ＝3.依题意，得3＝4×3a ，则a ＝14.]7．D [当x ＞0时，2x －1＝0，得x ＝12，依题意知，当x ≤0时，e x＋a ＝0必须有实根．∴x ＝ln(－a )≤0，则1≥－a ＞0，所以－1≤a ＜0.]8．B [抛两次骰子共有36个基本事件，由向量p 与q 共线得6m ＝3n ，即2m ＝n ，符合要求的(m ，n )有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3种情况，则向量p 与q 共线的概率为336＝112.]9．C [依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0. 因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a ＜b ＜c ，所以f (c )＞f (b )＞f (a )，选C.]10．A [∵{a n }是首项为－12的等差数列，∴S n ＝－12n ＋n （n －1）2d ，又S 1，S 2，S 4成等比数列． ∴(－1＋d )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·(－2＋6d )，即d 2＋d ＝0，解之得d ＝0，或 d ＝－1，由于d ≠0，从而d ＝－1.]11．C [执行一次循环后，i ＝1，c ＝(－2，2)＋(1，0)＝(－1，2)； 执行两次循环后，i ＝2，c ＝(－1，2)＋(1，0)＝(0，2)；执行第三次循环后，i ＝3，c ＝(0，2)＋(1，0)＝(1，2)；执行第四次循环后，i ＝4，c ＝(1，2)＋(1，0)＝(2，2)；此时a·c ＝(－2，2)·(2，2)＝0，输出i ＝4.]12．C [抛物线x 2＝8y 的焦点为F (0，2)，∴双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝2，显然A 、B 不满足，验证选项C 、D ，方程y 2－x 23＝1满足．] 13.14 [该人能等到公共汽车的概率为20－1520－0＝14.] 14．22 [圆(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，半径r ＝2，∴圆心C (1，0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1－0＋1|2＝2， 因此所求弦长为2r 2－d 2＝2 2.]15．2π [由三视图知，该几何体是底面为扇形面的柱体(如图)．∵S 底＝12·r 2·α＝12×22×π3＝2π3，∴V 柱体＝3·S 底＝2π.]16．①③④ [显然①f (x )＝4x 满足|f (x )|＝4|x |，f (x )为“条件约束函数”．②f (x )＝x 2＋2，取|x |＞ω时，|f (x )|＝x 2＋2＞ω|x |＋2＞ω|x |，∴②中f (x )不是“条件约束函数”．③中，x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥4，则|f (x )|≤|2x |4＝12|x |，满足条件． ④中，由于y ＝f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，令x 1＝x ，x 2＝0，则|f (x 1)－f (x 2)|≤4|x 1－x 2|⇒|f (x )|≤4|x |.综上可知①③④中函数为“条件约束函数”．]客观题限时练(二)1．D [⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 2 0152＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 32＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i 2＋i ＝1.] 2．A [由x 2－2x －3≥0，得x ≥3或x ≤－1，∴M ＝{x |x ≥3或 x ≤－1}，则∁R M ＝{x |－1<x <3}．由于∁R M ⊆N ，得a ≤－1.]3．B [由于f (x )在R 上为奇函数，且当x ∈[－1，0)时，f (x )＝x ＋3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝－52.] 4．B [由题意得该四棱锥为正四棱锥，其侧棱长为6，四棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，因此，其侧面积为12×（6）2－12×2×4＝45，其体积为13×22×2＝83.]5．A [依题意，得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，g (x )为偶函数⇔π6＋φ＝k π，φ＝k π－π6，k ∈Z ，所以“φ＝－π6”是“g (x )为偶函数”的充分不必要条件．]6．C [由表格知：x －＝5，y －＝190＋m 5.又回归直线y ^＝8.5x ＋7.5过点(x －，y －)．∴190＋m 5＝8.5×5＋7.5，解得m ＝60.]7．C [由程序框图知，输出的S ＝4(1＋2＋3＋…＋30)＝4×（1＋30）×302＝1 860.] 8．D [如图作出可行域，平移l 0：y －x ＝0，过点A 时，z 取最小值，此时x ＝－2k ，y ＝0，所以0＋2k ＝－4，解得k ＝－12.]9．B [甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.]10．A [由已知得a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1，a 3－a 2＝ln 3－ln 2，a 4－a 3＝ln 4－ln 3，…，a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)，以上(n －1)个式子左右分别相加，得a n －a 1＝ln n ，所以a n ＝2＋ln n ．故选A.]11．B [在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，c ＝3，且bx －ay ＝0是一条渐近线，又bx －ay ＝0被圆(x －3)2＋y 2＝8截得的弦长为4，∴圆心(3，0)到bx－ay ＝0的距离d ＝8－22＝2，则|3b |a 2＋b 2＝2，即3b c ＝2，b ＝2.从而a ＝c 2－b 2＝5，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±255x .]12．C [依题意，若P (x ，y )，则Q (2－x ，－y )，(P ，Q )为“和谐点对”．∵点P 、Q 分别在y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)，y ＝11－x 的图象上．∴y ＝2sin πx ，－y ＝1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫即y ＝－1x －1， 在同一坐标系中，作y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)与y ＝－1x －1的图象，可知，两图象有4个交点，故“和谐点对”(P ，Q )有4个．] 13．0.18 [依题意，得S 阴影S 正方形＝1801 000，所以S 阴影1×1＝1801 000，解得S阴影＝0.18.]14．－29 [如图所示，∵CM →＝13CB →＋12CA →，∴MA →＝CA →－CM →＝12CA →－13CB →，MB →＝CB →－CM →＝23CB →－12CA →.又CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos 60°＝12，∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →－13CB → ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →＝－14CA →2－29CB →2＋12CA →·CB →＝－29.]15．9x ＋16y －25＝0 [设过点M (1，1)的弦交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)．则x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减（x 1－x 2）（x 1＋x 2）16＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）9.又x 1＋x 2＝2，且y 1＋y 2＝2， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－9（y 1＋y 2）16（x 1＋x 2）＝－916. 故所求直线的方程为y －1＝－916(x －1)， 即9x ＋16y －25＝0.]16．－3 [由曲线y ＝ax 2＋bx 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b2 (1)．又y ′＝2ax －b x 2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72(2)． 由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.]客观题限时练(三)1．C [由复数的几何意义，OA →对应复数z ＝－2＋i ，∴z 2·i ＝(－2＋i)2·i ＝(3－4i)·i ＝4＋3i.]2．B [A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜1}，∴∁U B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}．]3．D [∵S n ＋1＋2S n －1＝3S n (n ≥2)，∴S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1), 即a n ＋1＝2a n (n ≥2)．又a 2＝S 2－S 1＝1≠0，∴当n ≥2时，{a n }为等比数列，且公比为2，又a 1＝1，a 2＝1，则a 2a 1≠2，因此D 正确．]4．D [由f (x )＝f (－x )知f (x )为偶函数，又f (x －π)＝f (x )，∴f (－x －π)＝f (－x )，则f (x ＋π)＝f (x )，∴y ＝f (x )的最小正周期为π.在选项D 中，f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x 为偶函数，且最小正周期为π.]5．C [由于|AB →|＝|BC →|，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．∴|AD →|＝|AB →|sin 60°＝332，且〈AD →，AC →〉＝30°，因此AD →·AC →＝|AD →||AC →|cos 30°＝332×3×32＝274.]6．C [由程序框图知，S ＝lg 13＋lg 35＋lg 57＋…＋lg k k ＋2＝lg 1k ＋2，令S＝lg1k ＋2＜－1，解得k ＞8(k ∈N *)，此时k ＋2＞10，即k ＝11(k ∈N *)．] 7．B [当a ＝0时，函数为y ＝－x 与y ＝x ，图象为D ，故D 有可能．当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x ＋a 2的对称轴为x ＝12a ，对函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，令y ′＝0，则x 1＝13a ，x 2＝1a .所以对称轴x ＝12a 介于两个极值点x 1＝13a ，x 2＝1a 之间，A ，C 满足，B 不满足，所以B 是不可能的．故选B.]8．B [根据俯视图可得这是一个切割后的几何体，再结合另外两个视图，得到几何体．这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π.]9．D [不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，① 又2|PF 1|＝|PF 2|＋2c ，② 联立①，②得|PF 1|＝2c －2a ，则|PF 2|＝2c －4a ，依题意∠F 1PF 2＝90°， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，即4(c －a )2＋4(c －2a )2＝4c 2.则(c －a )(c －5a )＝0， ∴c ＝5a ，故离心率e ＝ca ＝5.]10．B [法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4. 法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2，1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0，0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.]11．B [由图形知C (1，2)，D (－2，2)， ∴S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32. ∴P ＝326＝14.]12．B [由于y ＝x 2，y ＝e x 的值域分别为[0，＋∞)和(0，＋∞)， 当f (x 1)＞4时，则f (x 2)＝4－f (x 1)＜0，x 2不存在．因此②y ＝x 2，⑤y ＝e x 不满足均值为2.又③y ＝4sin x 为周期函数，则x 2不唯一，③不满足．由于①y ＝x 与④y ＝ln x 的值域为R ，且在(－∞，＋∞)上单调，因此①④满足．]13．0 [由茎叶图知，中位数为86.根据题意，有 78＋84＋85＋86＋87＋92＋90＋m7＝86，解得m ＝0.] 14．－14 [因为2sin B ＝3sin C ，所以2b ＝3c ，联立b －c ＝14a ，解得b ＝3c2，a ＝2c ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14.]15.⎝⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞) [由f (x －1)＝f (x ＋1)知y ＝f (x )的最小正周期T＝2，在同一坐标系中作y ＝f (x )，x ∈[－2，3]与y ＝|log a |x ||的图象，由于方程f (x )＝|log a |x ||在x ∈[－2，3]上有5个根，∴y ＝f (x )，x ∈[－2，3]与y ＝|log a |x ||的图象有5个交点．根据图象特征，应有|log a 3|≤1，则a ≥3或0＜a ≤13.]16．3 [f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)，由f ′(1)＝3得，a (ln 1＋1)＝3，解得a ＝3.]客观题限时练(四)1． D [∵z ＝2＋4i i ＝4＋2i ＝4－2i ，∴复数z 对应的点的坐标是(4，－2)．]2．C [由2x －x 2＞0，得0＜x ＜2，则M ＝(0，2)． 又N ＝{x |x 2＋y 2＝1}＝{x |x 2≤1}＝[－1，1]， 所以M ∩N ＝(0，1]．]3．C [由x ＞1知，x 3＞1；由x 3＞1可推出x ＞1.故选C.]4．C [由三视图可知，该几何体为半圆柱与半圆锥的组合体(如图)．∵S 底＝12×π×12＝π2，所以几何体的体积V ＝3×π2＋13×2×π2＝116π.]5．C [由T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，则f (x )＝sin 2x ，依题意，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≠0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0≠±1， ∴选项A 、B 不正确．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上是增函数．]6．D [对平均数和方差的意义深入理解可巧解．因为每个数据都加上了100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变，故选D.] 7．A [由题意得，0＜A ＜π，sin A ＞0， 故sin A ＝1－cos 2A ＝45.由正弦定理知，a sin A ＝b sin B ⇒a ＝sin A ×b sin B ＝45×1sin π6＝85.]8．B [根据执行语句a ＝11－a 及a ＝2知，a 的取值具有周期性，且最小正周期T ＝3.当i ＝2 014时，执行循环体，a ＝－1，则i ＝2 015， 这时i ＝2 015不满足条件i ＜2 015，输出a ＝－1， 因此cos(a π－θ)＝cos(－π－θ)＝－cos θ.] 9．A [若m ＝－5时，由x 2≤4－|2x －m |(x ≥0)，得 x 2≤4－(2x ＋5)，则x 2＋2x ＋1≤0，∴(x ＋1)2≤0在[0，＋∞)上无解，m ＝－5不满足． 若m ＝－4时，由条件，得x 2≤4－(2x ＋4)，∴x 2＋2x ≤0，则－2≤x ≤0在[0，＋∞)上有解x ＝0. ∴当m ＝－4时，满足题设要求，比较选项，可知A 正确．] 10．D [∵(OP →＋OF →2)·F 2P →＝0，且F 2P →＝OP →－OF →2， ∴OP→2－OF →22＝0，则|OP →|＝|OF →2|.在△F 1PF 2中，|OP →|＝|OF →2|＝|OF →1|， 则∠F 1PF 2＝90°.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝3|PF 2|，得|PF 2|＝2a3－1＝(3＋1)a ，|PF 1|＝(3＋3)a .由勾股定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.∴[(3＋1)2＋(3＋3)2]a 2＝4c 2，则c 2＝(4＋23)a 2.因此e ＝c a ＝4＋23＝3＋1.]11．C [f ′(x )＝x 2＋2bx ＋a 2＋c 2－ac ，且f (x )有极值点，∴方程f ′(x )＝0有两个不相等实根，Δ＝4b 2－4(a 2＋c 2－ac )＞0， 则ac ＞a 2＋c 2－b 2.由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＜12，又y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，因此π3＜B ＜π.]12．A [若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3，2a －1＝－1无解； 若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7， f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.]13．22 [∵(a ＋b )⊥(a －b )，且a ＝(－2，2)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0， 则a 2＝b 2，|b |＝|a |＝2 2.]14．2·3n －1－n [由a 2＝4，a 3＝15， 得a 2＋2＝6，a 3＋3＝18. 又数列{a n ＋n }是等比数列， ∴公比q ＝a 3＋3a 2＋2＝3，首项a 1＋1＝63＝2. 因此a n ＋n ＝2·3n －1， 故a n ＝2·3n －1－n .]15．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [画出可行域如图，w ＝1＋b －2a －1，设k ＝b －2a －1，则k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以w ＝a ＋b －3a －1的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．]16．③④ [①不正确，设f (x )＝c (常数)，则c ＋λc ＝0. ∴当λ＝－1时，f (x )＝c 均是R 上的“λ相关函数”．②不正确，假设f (x )＝x 2是“λ的相关函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，即x 2(1＋λ)＋2λx ＋λ2＝0对x ∈R 恒成立，应有1＋λ＝0且2λ＝0，无实解．③正确，当λ＝12时，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12f (x )＝0.若f (x )＝0，则y ＝f (x )有零点． 若f (x )≠0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝－12f (x )，∴f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜0. 从而y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫x ，x ＋12内有零点．④当f (x )＝e x 时，依题意e x ＋λ＋λe x ＝0对x ∈R 恒成立． ∴λ＝－e λ，则λ＜0，从而－e λ＞－1， 因此－1＜λ＜0，命题④正确． 综合①②不正确，③④正确．]中档题满分练(一)1．解 在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63， 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69.因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角． 所以cos C ＝539.因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223.由a sin A ＝csin C ，可得a ＝c sin A sin C ＝223c 69＝23c ， 又ac ＝23，所以c ＝1.2．解 (1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ， 则事件B －包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B －)＝1－327＝89. 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.3．(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线，所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知可知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以，MD 綉12AC ，OE 綉12AC ，因此MD 綉OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .4．解 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29. 故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或 ⎩⎨⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1. (2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是 T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －32n －1＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1. 中档题满分练(二)1． 解 (1)f (x )＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝a 2＋3sin(2ωx ＋φ)(其中cos φ＝a a 2＋3，sin φ＝3a 2＋3)， 由题意知：f (x )的最小正周期为π，由2π2ω＝π，知ω＝1， 由f (x )最大值为2，故a 2＋3＝2，又a ＞0，∴a ＝1，则有cos φ＝12，sin φ＝32，取φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．故f (x )的对称轴方程为x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由f (α)＝43知2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝43， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝23， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π2＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3 ＝－1＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19. 2．解 (1) ∵b n ＝3n ，则b n ＋1＝3n ＋3＝b n ＋3，由“M 类数列”定义，得p ＝1，q ＝3.(2)∵c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)，∴c n ＋1－c n ＝－2n (n ∈N *)，则c 2－c 1＝－2，c 3－c 2＝－4，c 4－c 3＝－8，…∴c n －c n －1＝－2n －1(n ≥2)，以上式子累加得c n ＝－(1＋2＋4＋…＋2n －1)＝1－2n (n ≥2)，其中c 1＝－1也满足上式．因此c n ＝1－2n (n ∈N *)，则c n ＋1＝1－2n ＋1＝2(1－2n )－1＝2c n －1，{c n }是“M 类数列”．3．(1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解 连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18. 4．解 (1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为x －甲＝1015＝23； 方差为s 2甲＝115[(1－23)2×10＋(0－23)2×5]＝29.乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均数为x －乙＝915＝35； 方差为s 2乙＝115[(1－35)2×9＋(0－35)2×6]＝625. 因为x －甲＞x －乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a ，b －)，(a －，b )，共7个，故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.中档题满分练(三)1．解 (1)f (x )＝a·b ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时，－π3≤2x －π6≤76π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 因此f (x )的取值范围是[－3，2]．(2)依题意，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，得2cos A ＝1， ∴cos A ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc∴4＝42－3bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4·sin π3＝ 3.2．解 (1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4.所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为p＝110. 3．(1)证明设E为BC的中点，连接AE，A1E，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)解作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC ⊥AE ，AE ∩A 1E ＝E ，所以BC ⊥平面AA 1DE . 所以BC ⊥A 1F ，又DE ∩BC ＝E ，A 1F ⊥平面BB 1C 1C .所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角． 由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2. 由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14. 由DE ＝BB 1＝4.DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72.所以sin ∠A 1BF ＝78.4．解 (1)依题意，a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2)， ∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3.又S 4＝a 1（1－34）1－3＝80， ∴a 1＝2.因此数列{a n }的通项公式a n ＝2·3n －1.(2)①由(1)知，a n ＋1＝2·3n ，依题意，d n ＝2·3n －2·3n －1n ＋1＝4·3n －1n ＋1，1d n＝n ＋14·3n －1. ∴P n ＝24×1＋34×3＋44×32＋…＋n ＋14×3n －1，(*)则13P n ＝24×3＋34×32＋…＋n 4×3n －1＋n ＋14·3n ，(**) (*)－(**)，23P n ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －1－n ＋14·3n ＝12＋14·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－n ＋14·3n ＝58－2n ＋58·3n .∴P n ＝1516－2n ＋516·3n －1. 因此16P n ＋6n 3n ＝15－2n ＋53n －1＋6n 3n ＝15－153n ， 解不等式15－153n ≤40027，3n ≤81，则n ≤4.所以n 的最大正整数为4.压轴题突破练1．(1)解 由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x， 当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．(2)证明 由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0， 解得a ＝x －1－ln x ，令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2 ＝(1＋ln x )2－2x ln x ，则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0，。

「最新」人教版高考文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)Word完整版-可编辑修改

「最新」人教版高考文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)Word完整版-可编辑修改

高考第一轮复习文科数学习题集（含答案）目录第一章集合 (1)第一节集合的含义、表示及基本关系 (1)第二节集合的基本运算 (3)第二章函数 (5)第一节对函数的进一步认识 (5)第二节函数的单调性 (9)第三节函数的性质 (13)第三章指数函数和对数函数 (16)第一节指数函数 (16)第二节对数函数 (20)第三节幂函数与二次函数的性质 (24)第四节函数的图象特征 (28)第四章函数的应用 (32)第五章三角函数 (33)第一节角的概念的推广及弧度制 (33)第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39)第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42)第四节函数()sin()f x A xw j=+的图象 (45)第六章三角恒等变换 (50)第一节同角三角函数的基本关系 (50)第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53)第七章解三角形 (56)第一节正弦定理与余弦定理 (56)第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59)第八章数列 (60)第九章平面向量 (62)第十章算法 (65)第一节程序框图 (65)第二节程序语句 (69)第十一章概率 (73)第一节古典概型 (73)第二节概率的应用 (75)第三节几何概型 (79)第十二章导数 (83)第十三章不等式 (85)第十四章立体几何 (88)第一节简单几何体 (88)第二节空间图形的基本关系与公理 (92)第三节平行关系 (96)第四节垂直关系 (100)第五节简单几何体的面积与体积 (104)第十五章解析几何 (108)第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108)第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111)第三节圆的标准方程与一般方程 (114)第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117)第五节空间直角坐标系 (121)第十六章圆锥曲线 (123)第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系A 组1．已知A ＝{1，2}，B ＝{}|x x A Î，则集合A 与B 的关系为________．解析：由集合B ＝{}|x x A Î知，B ＝{1，2}．答案：A ＝B2．若{}2,|a a R x x ＮÆØ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，2x a £有解，故0a ³．答案：0a ³3．已知集合A ＝{}2|21,y y x x x R =--?，集合B ＝{}|28x x-＃，则集合A 与B 的关系是________．解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴A ＝{y|y ≥－2}，∴B A ．答案：B A4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{}2|0x x x +=关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={}2|0x x x +=，得N ={-1，0}，则N M ．答案：②5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ＝{}|5x x >，集合B ＝{}|x x a >，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件，∴A B ，∴a <5．答案：a <56．(原创题)已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B ．B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab |可能取的值组成的集合是________． 解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________．解析：∵B ⊆A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1． 答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0，2，5；b ＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若N M ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2010年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1．∴A ＝{x ，1，0}，B ＝{0，|x |，1x}． 于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1． 11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ．②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3．由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3，4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．，即不存在m 值使得A ＝B ． 12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2．(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，由数轴可知1≤a ≤2．(3)若A =B ，则必有a =2第二节 集合的基本运算A 组1．(2009年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{}|0x x >，B ＝{}|1x x >，则A ∩∁U B ＝____．解析：∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4，5，7，9}，B ＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．解析：A ∩B ＝{4，7，9}，A ∪B ＝{3，4，5，7，8，9}，∁U (A ∩B )＝{3，5，8}．答案：33．已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{}|2,x x a a M =?，则集合M ∩N ＝________．解析：由题意知，N ＝{0，2，4}，故M ∩N ＝{0，2}．答案：{0，2}4．(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⓐB ＝________．解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0，2]，所以A ⓐB ＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ；(2)若B ⊆A ，求m 的取值范围．解：(1)当1m =-时，B ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥－1}．(2)若B ⊆A ，则1m >，即m 的取值范围为(1，＋∞)B 组1．若集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝________．解析：因为集合N ＝{－1，0，1，2}，所以M ∩N ＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{0，2}，则(∁U A )∩B ＝________．解析：∁U A ＝{0，1}，故(∁U A )∩B ＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝________．解析：根据已知得M ∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0}4．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2，∴a ＝4，从而b ＝2，∴A ∪B ＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________．解析：U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，3，5，7}，B ＝{3，6}，∴A ∪B ＝{1，3，5，6，7}，得∁U (A ∪B )＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x y，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0，4，5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.点(0，2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2． 9．设全集I ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2，3，a 2＋2a －3}＝{2，5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1，2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3．(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－3． 11．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B ．(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；(3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意． 若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98． 综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98． (2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意． 当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时， 方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}． 综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}． (3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅．当a ≠0时，要使方程有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98． 综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________． 解析：⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4，0)∪(0，1] ．答案：[－4，0)∪(0，1] 2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2．答案：2 3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________．解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32．答案：log 324．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2，1，－1)＝________．解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3， 解得b 1＝－1，b 2＝0．答案：(－1，0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x(x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32， 求a ． 解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3， 又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32． (2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x 3x －1； 若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2； 若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1．∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧ 3x 3x －1 (x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1． 当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2； 当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22． ∴a ＝2或±22．B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0，2x －1>0，得x >23．答案：{x |x >23} 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_． 解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3， ∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7．答案：73．定义在区间(－1，1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1，1)，有－x ∈(－1，1)，由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，①由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)． 答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1) 4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)． 由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)3 6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1，3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3，解得x ＝1，x ＝3．故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3．当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3．综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0， 则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2．答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95， 又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数()f x =．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；(ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数．由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1．由①②可得－511≤a ≤1． (2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2，1]，显然1－a 2≠0且－2，1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a 2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2．11．已知()()()2f x f x x R +=?，并且当x ∈[－1，1]时，()21f x x =-+，求当[]()21,21x k k k Z ?+?时、()f x 的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1，2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1．∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1．又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)． (2)f (x )＝⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129．第二节 函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当12x x <时，都有()()12f x f x >”的是________．①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，12]时，g (x )为减函数．由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1．答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y =________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2． 答案：[1，2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋a ex |(a ∈R )在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围__． 解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋a e0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －a ex ≥0在x ∈[0，1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1．答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数()2f x x =，()1g x x =-． (1)若存在x ∈R 使()()f x b g x <?，求实数b 的取值范围；(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--2，且()F x 在[0，1]上单调递增，求实数m 的取值范围．解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x x ∈R ，x 2－bx ＋b＝(－b )2－4b b <0或b >4．(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需 ⎩⎨⎧ m 2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0． ②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m 2≥1，则x 1≤0．⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2． 若m 2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255．综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2．B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x | 解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4．答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__． 解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916． 答案：(0，916] 4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________． ①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3)③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14． 6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(3，0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)， 当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1．答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1，1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1，1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2，0]．答案：[－2，0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1，3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0，1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13．答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0，1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1． μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12) 10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性． 解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22．由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增． 11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2． 由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9．因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b x，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0，1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1．若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0，1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b 1＝1．即a ＋b ＝2．设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋b x 2恒成立． 由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立． 又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1．设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立． ∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1．由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1．∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节 函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1，1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0．答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23．答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2．答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5．(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1，4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4，9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)，又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0．(2)当x ∈[1，4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x ．∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15．当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9．B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2)④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1，0)，及点(－1，0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________．解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0．答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________．解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0．答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0．从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1，0)时，f (x )<0；x ∈(0，1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0．∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，1)答案：(－∞，－1)∪(0，1)．5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2．∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1．答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009．5)＝________． 解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009．5)＝f (502×4＋1．5)＝f (1．5)＝f (－2．5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009．5)＝f (2．5)＝52．答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1．答案：－19．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0．由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4．由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8． 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0．当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )． 11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2，6]上的最值． 解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称．∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0．∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R ．则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0．∴f (x 2)－f (x 1)<0．即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0，2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ， 设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x ．∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x ．故f (x )＝12x (－1≤x ≤1) 又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)， 又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3) 由f (x )＝－12，解得x ＝－1．∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0，2010]上共有502个x 使f (x )＝－12．第三章 指数函数和对数函数第一节 指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1．又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a－2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b－a －b ＝－2．答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________．解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3．又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3．答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________． 解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴(12)2x －x 2≥12．答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1． 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝3．答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1． 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a ．又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2． (2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ．即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13． 法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13．B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1．答案：②2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1，2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1．答案：(0，1] 3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12．答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________． 解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1， 故f －1(13)＝－1．又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2．答案：2 5．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(13)2－x ＝3x －2．答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x ＋e x e －x －e x ＝－e x ＋e －xe x －e－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④． 又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③．答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________．解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2．∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124．答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．。

高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 H单元 解析几何(文科2016年) Word版

高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 H单元 解析几何(文科2016年) Word版

数学H 单元 解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程15．H1、H4已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________．15．4联立⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，消去x 得y 2－33y ＋6＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2 3.不妨设A (－3，3)，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋y ＋23＝0，令y ＝0得x C ＝－2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D ＝2，∴|CD |＝4.所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217. 19．H1、H7、H8如图1­6，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．图1­619．解：(1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，所以可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1，消去x 得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以B （1t 2，－2t）.又直线AB 的斜率为2t t 2－1，所以直线FN 的斜率为－t 2－12t.从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N （t 2＋3t 2－1，－2t）.设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得 2t t 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．H2 两直线的位置关系与点到直线的距离5．H2，H5直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为() A.13 B.12 C.23 D.345．B 不妨设直线l 经过椭圆的焦点F (c ，0)和顶点(0，b )，则直线l 的方程为x c ＋yb＝1，椭圆中心到直线l 的距离为|－bc |b 2＋c 2＝14×2b .又a 2＝b 2＋c 2，所以离心率e ＝c a ＝12.15．H2，H3，H4设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．15．4πx 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a )．又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2，所以（232）2＋（|0－a ＋2a |2）2＝a 2＋2，得a2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.12．H2、H3已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为______________．12．(x －2)2＋y 2＝9设圆心的坐标为(a ，0)(a >0)，根据题意得|2a |5＝455，解得a ＝2(a＝－2舍去)，所以圆的半径r ＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，所以圆的方程为(x －2)2＋y 2＝9.3．H2已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是________． 3.255由两平行线间距离公式得，l 1与l 2的距离d ＝|－1－1|22＋12＝255. 12．E5、H2已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．12.45，13可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即|－2|52＝45，最大值为OB 2＝22＋32＝13.H3 圆的方程15．H2，H3，H4设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．15．4πx 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a )．又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2，所以（232）2＋（|0－a ＋2a |2）2＝a 2＋2，得a2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.10．H3已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．10．(－2，－4)5由题意知a 2＝a ＋2，则a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0⇒（x ＋12）2＋(y ＋1)2＝－54，不能表示圆；当a＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，所以圆心坐标是(－2，－4)，半径是5.12．H2、H3已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为______________．12．(x －2)2＋y 2＝9设圆心的坐标为(a ，0)(a >0)，根据题意得|2a |5＝455，解得a ＝2(a＝－2舍去)，所以圆的半径r ＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，所以圆的方程为(x －2)2＋y 2＝9.18．H3、H4如图1­6，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．图1­618．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5. (1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋BC 22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2，4)，T (t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实数t 的取值范围是．H4 直线与圆、圆与圆的位置关系6．H4圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝() A ．－43 B ．－34C. 3 D ．26．A 由题意可知，圆心为(1，4)，所以圆心到直线的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋12＝1，解得a ＝－43. 7．H4已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是()A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 7．B 由垂径定理得（a2）2＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4，∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，∴圆M与圆N 的圆心距d ＝（0－1）2＋（2－1）2＝ 2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交．5．H4圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为() A ．1 B ．2 C. 2 D ．2 25．C 根据点到直线的距离公式，得d ＝|－1＋3|12＋（－1）2＝ 2.15．H2，H3，H4设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．15．4πx 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a )．又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2，所以（232）2＋（|0－a ＋2a |2）2＝a 2＋2，得a2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.15．H1、H4已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________．15．4联立⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，消去x 得y 2－33y ＋6＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2 3.不妨设A (－3，3)，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋y ＋23＝0，令y ＝0得x C ＝－2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D ＝2，∴|CD |＝4.13．H4如图1­4，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE ＝2AE ＝2，BD ＝ED ，则线段CE 的长为________．图1­413.233记圆心为O ，连接OD ，AC ，易得BO ＝32，△BOD ∽△BDE ，∴BD BO ＝BE BD，∴BD 2＝BO ·BE＝3，∴BD ＝DE ＝ 3.又△AEC ∽△DEB ，∴AE DE ＝CE BE ，即13＝EC 2，∴EC ＝233.15．B14，H4在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′（y x 2＋y2，－xx 2＋y 2）；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．15．②③①设点A 的坐标为(x ，y )，则“伴随点”A ′的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，则点A ′的“伴随点”的横坐标为－x x 2＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x x 2＋y 22＝－x ，同理可得其纵坐标为－y ，故点A ′的“伴随点”的坐标为(－x ，－y )，故①错误；②设单位圆上的点P 的坐标为(cos θ，sin θ)，则点P 的“伴随点”P ′的坐标为(sin θ，－cos θ)，所以点P ′也在单位圆上，故②正确；③设点A 的坐标为(x ，y )，其关于x 轴对称的点为A 1(x ，－y )，又点A 的“伴随点”A ′的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，点A 1的“伴随点”A 1′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，所以A ′与A ′1两点关于y 轴对称，故③正确；④反例：设A (0，1)，B (1，1)，C (2，1)，则这三个点的“伴随点”分别是A ′(1，0)，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－25，此时A ′，B ′，C ′三个点不在同一条直线上，故④错误．18．H3、H4如图1­6，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．图1­618．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5. (1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋BC 22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2，4)，T (t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实数t 的取值范围是． H5 椭圆及其几何性质5．H2，H5直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为() A.13 B.12 C.23 D.345．B 不妨设直线l 经过椭圆的焦点F (c ，0)和顶点(0，b )，则直线l 的方程为x c ＋yb＝1，椭圆中心到直线l 的距离为|－bc |b 2＋c 2＝14×2b .又a 2＝b 2＋c 2，所以离心率e ＝c a ＝12.12．H5已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为()A.13B.12C.23D.3412．A 设M (－c ，y 0)，则AM 所在直线方程为y ＝y 0－c ＋a (x ＋a )，令x ＝0，得E （0，ay 0－c ＋a）.BM 所在直线方程为y ＝y 0－c －a (x －a )，令x ＝0，得y ＝－ay 0－c －a .由题意得－ay 0－c －a ＝12×ay 0－c ＋a，解得a ＝3c ，即e ＝c a ＝13.10．H5，H8如图1­2，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．图1­210.63方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 2，x 2a2＋y2b2＝1，可得B (－32a ，b 2)，C （32a ，b2）.又由F (c ，0)，得FB →＝(－32a －c ，b 2)，FC →＝(32a －c ，b 2).又∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，化简可得2a 2＝3c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.方法二：同方法一可得B (－32a ，b 2)，C (32a ，b2)，所以BC ＝3a ，由椭圆的焦半径公式得BF ＝a －ex B ＝a ＋e ·32a ，CF ＝a －ex C ＝a －e ·32a ， 又∠BFC ＝90°，所以BF 2＋CF 2＝BC 2，即(a ＋e ·32a )2＋(a －e ·32a )2＝(3a )2， 式子两边同除以a 2可得e 2＝23，即e ＝63.19．H5，H8已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过A (2，0)，B (0，1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．19．解：(1)由题意得，a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3， 所以离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 20＝4. 又A (2，0)，B (0，1)，所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1， 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12(2＋x 0y 0－1)(1＋2y 0x 0－2) ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．21．H5、H8、H10已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程．(2)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .图1­6(i)设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k为定值； (ii)求直线AB 的斜率的最小值． 21．解：(1)设椭圆的半焦距为c ， 由题意知2a ＝4，2c ＝22，所以a ＝2，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)(i)设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)．由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m )， 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0，直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3，所以k ′k为定值－3.(ii)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线PA 的方程为y ＝kx ＋m ，直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0， 所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m . 同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m . 所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m ＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0. 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14（6k ＋1k）.由m >0，x 0>0，可知k >0，所以6k ＋1k ≥26，等号当且仅当k ＝66时取得．此时m4－8m2＝66，即m ＝147，符合题意， 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 19．H5、H8设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率．19．解：(1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4.所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝(9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3).由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k. 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912（k 2＋1）＝1，解得k ＝－64或k ＝64， 所以直线l 的斜率为－64或64.20．H5已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P （3，12）在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.20．解：(1)由已知得，a ＝2b .又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P （3，12），故34b 2＋14b2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1，(2)证明：设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式Δ＝4(2－m 2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，所以M 点坐标为（－m ，m 2），直线OM 的方程为y ＝－12x .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x及对称性，得C （－2，22），D （2，－22）， 所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)． 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14＝516＝516＝54(2－m 2)． 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.H6 双曲线及其几何性质4．H6已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为()A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y220＝1 4．A 根据题意，得b a ＝12，2c ＝25，又a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝1，所以所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.13．H6设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．13．(27，8)由已知得a ＝1，b ＝3，c ＝2.当∠F 1F 2P ＝π2时，|PF 2|＝3，|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝5，则|PF 1|＋|PF 2|＝8；当∠F 1PF 2＝π2时，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧|m －n |＝2a ＝2，m 2＋n 2＝（2c ）2＝16，而(m －n )2＝4＝m 2＋n 2－2mn ＝16－2mn ，所以mn ＝6，则(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ＝28，则m ＋n ＝27.又△F 1PF 2为锐角三角形，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是(27，8)．12．H6已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________．12．12根据题意得b a＝2，c ＝5，即a 2＋b 2＝5，所以a ＝1，b ＝2. 3．H6在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．3．210由题目所给方程可得a 2＝7，b 2＝3，故c 2＝10，所以焦距为210.14．H6已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．14．2将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，∴|AB |＝2b 2a .又∵2|AB |＝3|BC |，∴2×2b2a＝3×2c ，整理得2c 2－2a 2－3ac ＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍)．21．H6，H8双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且|AB |＝4，求l 的斜率． 21．解：(1)设A (x A ，y A )．由题意得，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4. 因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |， 即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . (2)由已知得，F 2(2，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k （x －2）得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0. 因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0.由x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，得(x 1－x 2)2＝36（k 2＋1）（k 2－3）2，故|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝6（k 2＋1）|k 2－3|＝4，解得k 2＝35， 故l 的斜率为±155. 19．D2，D4，H6已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2n .19．解：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列， 从而a n ＝qn －1.由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，所以a 3＝2a 2，故q ＝2， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，a n ＝qn －1，所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2（n －1）.由e 2＝1＋q 2＝2，解得q ＝3，所以e 21＋e 22＋…＋e 2n ＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋＝n ＋＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12(3n－1)．H7 抛物线及其几何性质5．H7设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝()A.12 B ．1 C.32D ．2 5．D 易知F (1，0)，因为曲线y ＝k x (k >0)与抛物线C 交于点P ，且PF ⊥x 轴，所以k1＝2，所以k ＝2.3．H7抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是() A ．(0，2) B ．(0，1) C ．(2，0) D ．(1，0)3．D 由已知得2p ＝4，故p ＝2，故该抛物线的焦点坐标为(1，0)．20．H7，H8在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．20．解：(1)由已知得M (0，t )，P (t 22p，t ).又N 为M 关于点P 的对称点，故N (t 2p ，t )，则直线ON 的方程为y ＝p tx ，代入y 2＝2px整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H (2t2p，2t )，所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )，代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．20．H7、H9已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．20．解：由题可知F （12，0）.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A （a 22，a ），B （b22，b ），P （－12，a ），Q （－12，b ），R （－12，a ＋b2）.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，所以1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2， 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217. 19．H1、H7、H8如图1­6，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．图1­619．解：(1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，所以可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1，消去x 得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以B （1t 2，－2t）.又直线AB 的斜率为2t t 2－1，所以直线FN 的斜率为－t 2－12t.从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N （t 2＋3t 2－1，－2t）.设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得 2t t 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．20．H7有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1，0)，如图1­4.(1)求菜地内的分界线C 的方程．(2)菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于S 1面积的“经验值”．图1­420．解：(1)因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以ΕΗ为准线的抛物线在正方形EFGH 内的部分，其方程为y 2＝4x (0<y <2)．(2)依题意得，点Μ的坐标为(14，1)，所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114.矩形面积与“经验值”之差的绝对值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－83＝16，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪114－83＝112，所以五边形面积更接近于S 1面积的“经验值”．22．H7、H8如图1­8，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程． (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．图1­822．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为p2，0，由点p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b 消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0. 方程(*)的两根为y 1，2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上，所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p .由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值范围为(0，43).H8 直线与圆锥曲线（AB 课时作业）10．H5，H8如图1­2，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．图1­210.63方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 2，x 2a 2＋y2b 2＝1，可得B (－32a ，b 2)，C （32a ，b2）.又由F (c ，0)，得FB →＝(－32a －c ，b 2)，FC →＝(32a －c ，b 2).又∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，化简可得2a 2＝3c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.方法二：同方法一可得B (－32a ，b 2)，C (32a ，b2)，所以BC ＝3a ，由椭圆的焦半径公式得BF ＝a －ex B ＝a ＋e ·32a ，CF ＝a －ex C ＝a －e ·32a ， 又∠BFC ＝90°，所以BF 2＋CF 2＝BC 2，即(a ＋e ·32a )2＋(a －e ·32a )2＝(3a )2， 式子两边同除以a 2可得e 2＝23，即e ＝63.20．H7，H8在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．20．解：(1)由已知得M (0，t )，P (t 22p，t ).又N 为M 关于点P 的对称点，故N (t 2p ，t )，则直线ON 的方程为y ＝p tx ，代入y 2＝2px整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H (2t2p，2t )，所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )，代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．21．H8已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2. 21．解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (－2，0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明：将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k2－12＝0.由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2（3－4k 2）3＋4k 2， 故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k23＋4k2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋2)．故同理可得|AN |＝12k 1＋k23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |得23＋4k 2＝k 3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0. 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点．f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217. 19．H1、H7、H8如图1­6，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．图1­619．解：(1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，所以可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1，消去x 得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以B （1t 2，－2t）.又直线AB 的斜率为2t t 2－1，所以直线FN 的斜率为－t 2－12t.从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N （t 2＋3t 2－1，－2t）.设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得 2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．19．H5，H8已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过A (2，0)，B (0，1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．19．解：(1)由题意得，a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3， 所以离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 20＝4. 又A (2，0)，B (0，1)，所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1， 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12(2＋x 0y 0－1)(1＋2y 0x 0－2) ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．21．H5、H8、H10已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程．(2)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .图1­6(i)设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k为定值； (ii)求直线AB 的斜率的最小值． 21．解：(1)设椭圆的半焦距为c ， 由题意知2a ＝4，2c ＝22，所以a ＝2，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)(i)设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)．由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m )， 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0，直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3，所以k ′k为定值－3. (ii)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线PA 的方程为y ＝kx ＋m ，直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0， 所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m . 同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m . 所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m ＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0. 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14（6k ＋1k）.由m >0，x 0>0，可知k >0，所以6k ＋1k ≥26，等号当且仅当k ＝66时取得．此时m4－8m2＝66，即m ＝147，符合题意， 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 21．H6，H8双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且|AB |＝4，求l 的斜率．21．解：(1)设A (x A ，y A )．由题意得，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4. 因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |， 即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . (2)由已知得，F 2(2，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k （x －2）得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0. 因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 由x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，得(x 1－x 2)2＝36（k 2＋1）（k 2－3）2，故|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝6（k 2＋1）|k 2－3|＝4，解得k 2＝35， 故l 的斜率为±155.22．H7、H8如图1­8，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程． (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．图1­822．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为p2，0，由点p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0.方程(*)的两根为y 1，2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p .由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值范围为(0，43).19．H5、H8设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率．19．解：(1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝(9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3).由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k. 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912（k 2＋1）＝1，解得k ＝－64或k ＝64， 所以直线l 的斜率为－64或64. H9 曲线与方程20．H7、H9已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．20．解：由题可知F （12，0）.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A （a 22，a ），B （b22，b ），P （－12，a ），Q （－12，b ），R （－12，a ＋b2）.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，所以1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2， 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.H10 单元综合21．H5、H8、H10已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程．(2)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .。

2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第11章 章末检测

2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第11章 章末检测

第十一章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．(2011·莱芜调研)正态分布密度函数φμ,σ（x）＝12π·σ·222x e.其中μ〈0的图象可能为（)2．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张，则有不同分法的种数是（)A．1 260 B．120 C．240 D．720 3．(2010·重庆)(x＋1）4的展开式中x2的系数为( )A．4 B．6 C．10 D．204．中央电视台1套连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告,且2个公益宣传广告不能连续播放,则不同的播放方式有（) A．120种B．48种C．36种D．18种5．（1－2x）5(2＋x)的展开式中x3的项的系数是( )A．120 B．－120 C．100 D．－100 6．（2010·四川)由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（）A．36 B．32 C．28 D．24 7．(2011·聊城模拟）从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，不同的参赛方案共有（）A．24种B．18种C．21种D．9种8．（2011·天津一中月考）若(1－2x）2 010＝a0＋a1x＋…＋a2 010x2 010(x∈R),则错误!＋错误!＋…＋错误!的值为（）A．2 B．0 C．－1 D．－29．从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A。

错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误! 10．(2011·福州模拟）袋中有40个小球，其中红色球16个，蓝色球12个，白色球8个,黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为( ) A。

2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第3章 高考专题突破一

2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第3章 高考专题突破一

高考专题突破一高考中的导数应用问题考点自测1．函数y＝错误!x2－ln x的单调递减区间为( )A．(－1,1] B．(0，1］C．［1,＋∞）D．（0，＋∞）答案B解析y＝错误!x2－ln x，y′＝x－错误!＝错误!＝错误!(x>0）．令y′≤0，得0<x≤1，即递减区间为（0，1]．故选B.2．若a>0，b〉0，且函数f（x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2 B．3C．6 D．9答案D解析∵f′（x)＝12x2－2ax－2b,∵Δ＝4a2＋96b〉0，又x＝1是极值点,∴f′（1）＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6,∴ab≤错误!＝9，当且仅当a＝b时“＝”成立,∴ab的最大值为9，故选D.3．函数f（x）＝x3－3x－1,若对于区间[－3,2］上的任意x1，x2，都有|f（x1）－f(x2）｜≤t，则实数t的最小值是( )A．20 B．18 C．3 D．0答案A解析因为f′(x）＝3x2－3＝3（x－1)（x＋1），令f′(x）＝0，得x＝±1，可知f(x）在x＝±1处取得极值．又f(－3）＝－19,f（－1）＝1，f(1）＝－3，f(2)＝1，所以在区间［－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19。

由题设知在区间［－3，2］上f（x）max－f（x)min≤t,从而t≥20,所以t的最小值是20.4．已知函数f(x)＝错误!在［1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围为__________．答案［e，＋∞)解析f′(x）＝错误!＝错误!,因为f（x）在［1，＋∞）上为减函数，故f′(x）≤0在［1，＋∞)上恒成立，即ln a≥1－ln x在［1,＋∞)上恒成立．设φ（x）＝1－ln x,φ（x）max＝1，故ln a≥1，a≥e。

5．(2013·安徽)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f（x1）＝x1<x2，则关于x的方程3（f(x)）2＋2af(x）＋b＝0的不同实根个数为________．答案3解析f′（x)＝3x2＋2ax＋b；由已知x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的不同两根，当f(x1）＝x1<x2时，作y＝x1，y＝x2与f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个不同交点．即方程3（f（x)）2＋2af（x）＋b＝0有三个不同实根．题型一利用导数研究函数的单调性例1 已知a∈R，函数f（x)＝（－x2＋ax）e x (x∈R,e为自然对数的底数)．（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；(2）若函数f（x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．解（1)当a＝2时,f（x）＝（－x2＋2x）e x,所以f′（x)＝（－2x＋2）e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′（x）>0，即（－x2＋2)e x〉0，因为e x〉0,所以－x2＋2>0，解得－错误!<x<错误!.所以函数f（x)的单调递增区间是（－错误!，错误!)．(2）因为函数f(x)在（－1,1)上单调递增,所以f′(x)≥0对x∈（－1,1）都成立．因为f′（x）＝（－2x＋a）e x＋(－x2＋ax)e x＝［－x2＋(a－2)x＋a］e x，所以［－x2＋(a－2)x＋a]e x≥0对x∈（－1，1）都成立．因为e x>0，所以－x2＋（a－2)x＋a≥0对x∈（－1,1）都成立,即a≥错误!＝错误!＝(x＋1）－错误!对x∈（－1，1）都成立．令y＝（x＋1)－错误!,则y′＝1＋错误!>0。

2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套45分钟阶段测试(一)

2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套45分钟阶段测试(一)

45分钟阶段测试(一)(范围：§1。

1~§1。

3）一、选择题1．设集合A＝｛1，2}，则满足A∪B＝｛1，2,3｝的集合B的个数是( )A．1 B．3C．4 D．8答案C解析根据已知，满足条件的集合B为{1，3}，｛3},{2，3｝,｛1,2，3｝．故选C.2．若集合P＝{x|3〈x≤22}，非空集合Q＝｛x｜2a＋1≤x〈3a－5｝，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为（) A．（1，9）B．[1，9］C．[6,9) D．（6，9]答案D解析依题意，P∩Q＝Q，Q⊆P，于是错误!解得6〈a≤9,即实数a的取值范围是(6，9］．3．(2013·天津）设a，b∈R，则“(a－b）·a2<0"是“a〈b”的（) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由(a－b）a2<0⇒a≠0且a〈b，∴充分性成立;由a<b⇒a－b<0,当0＝a〈b时（a－b)·a2〈0，必要性不成立．4．下列结论中正确的是( )A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x≠1”B．命题p：∃x0∈R，sin x0〉1，则綈p：∀x∈R，sin x≤1C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．“φ＝错误!＋2kπ（k∈Z)”是“函数y＝sin(2x＋φ）为偶函数”的充要条件答案B解析对于A,命题“若x2－3x＋2＝0,则x＝1”的否命题是“若x2－3x＋2≠0，则x≠1”,A错误;由全称命题的否定是特称命题知，B 正确；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时,p且q为假命题，故C错误；函数y＝sin（2x＋φ）为偶函数的充要条件为φ＝错误!＋kπ（k∈Z）,故D错误．5．设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝｛z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q｝,若P＝{－1,0,1｝，Q＝{－2，2｝,则集合P*Q中元素的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案B解析当a＝0时,无论b取何值，z＝a÷b＝0；当a＝－1，b＝－2时，z＝(－1）÷（－2）＝1 2；当a＝－1,b＝2时,z＝（－1）÷2＝－1 2；当a＝1,b＝－2时，z＝1÷（－2）＝－错误!;当a＝1，b＝2时,z＝1÷2＝错误!.故P＊Q＝｛0，－错误!，错误!}，该集合中共有3个元素．二、填空题6．若“x2－2x－3>0”是“x<a”的必要不充分条件,则实数a的最大值为________．答案－1解析由x2－2x－3〉0,解得x〈－1或x〉3.由题意知,｛x|x〈a｝{x｜x<－1,或x〉3}，所以a≤－1，故a的最大值为－1。

2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第3章 章末检测

2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第3章 章末检测

第三章章末检测（时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.（2010·泰安高三二模)如图,函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f（5)＋f′（5)等于( )A.错误!B．1C．2 D．02．函数f(x)＝ax3－x在(－∞，＋∞）上是减函数，则（)A．a〈1 B．a〈1 3C．a〈0 D．a≤03．(2011·洛阳模拟)已知f(x）＝a＋1x＋ax＋1，且f（x－1)的图象的对称中心是（0,3）,则f′（2）的值为（）A．－错误! B.错误!C．－错误!D。

错误!4．若函数f（x）＝e x sin x，则此函数图象在点（4，f（4)）处的切线的倾斜角为( )A.错误!B．0 C．钝角D．锐角5．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝－错误!x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件6．已知f（x）＝2x3－6x2＋a（a是常数）在[－2,2］上有最大值3，那么在[－2，2]上f(x)的最小值是( )A．－5 B．－11C．－29 D．－377．(2010·江西）如图,一个正五角形薄片（其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t) （S（0)＝0），则导函数y＝S′(t）的图象大致（)8．已知x≥0,y≥0，x＋3y＝9,则x2y的最大值为（）A．36 B．18C．25 D．429．（2011·合肥模拟)已知R上可导函数f（x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3）f′(x）>0的解集为( )A．（－∞，－2）∪（1,＋∞）B．(－∞，－2）∪（1，2)C．（－∞,－1)∪（－1,0)∪（2,＋∞）D．(－∞，－1)∪(－1，1)∪（3，＋∞)10.如图所示的曲线是函数f（x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x错误!＋x错误!等于（)A.错误!B。

2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第11章 高考专题突破六

2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第11章 高考专题突破六

高考专题突破六高考中的概率与统计问题考点自测1．春节前夕，质检部门检查一箱装有2 500件包装食品的质量，抽查总量的2％，在这个问题中，下列说法正确的是( )A．总体是指这箱2 500件包装食品B．个体是一件包装食品C．样本是按2％抽取的50件包装食品D．样本容量是50答案D解析总体、个体、样本的考查对象是同一事，不同的是考查的范围不同,在本题中,总体、个体是指食品的质量，而样本容量是样本中个体的包含个数．故答案为D.2．质点在数轴上的区间［0,2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间［0，1］上的概率为( )A.错误!B。

错误!C.错误!D．以上都不对答案C解析区间［0，2］的长度为2，记“质点落在区间［0，1]上”为事件A。

则事件A的区间长度为1，则P（A)＝错误!。

3。

为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得到茎叶图如图所示．从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派________（填甲或乙）运动员合适．答案甲解析根据茎叶图，可得错误!甲＝错误!×（78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，错误!乙＝错误!×(75＋80＋83＋85＋92＋95）＝85。

s2，甲＝错误!×[（78－85)2＋(79－85）2＋（81－85）2＋（84－85)2＋(93－85)2＋(95－85）2]＝133 3，s错误!＝错误!×[(75－85）2＋(80－85)2＋（83－85)2＋(85－85）2＋（92－85）2＋（95－85）2］＝错误!。

因为错误!甲＝错误!乙，s错误!<s错误!，所以甲运动员的成绩比较稳定,选派甲运动员参赛比较合适．4．（2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ） A.14B.错误!C.错误!D.错误! 答案 C解析 设在通电后的4秒钟内,甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知错误!如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P （｜x －y |≤2)＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.题型一 古典概型与几何概型例1 (1)(2014·四川)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ,c .①求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c "的概率;②求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．(2）已知关于x 的二次函数f （x ）＝ax 2－4bx ＋1.设点（a ，b )是区域错误!内的一点，求函数y ＝f (x )在区间［1，＋∞）上是增函数的概率．思维点拨(1)①所有结果共有3×3×3＝27种,满足a＋b＝c的情况有3个．②a、b、c不完全相同的结果可用其对立事件考虑．（2）结合线性规划知识来解决．解(1）①由题意知,（a，b，c）所有的可能结果为(1，1,1)，(1,1，2），(1，1，3)，(1,2,1）,(1,2,2)，（1,2，3),（1,3,1），(1,3,2)，(1，3,3），（2，1，1)，（2，1，2）,（2，1,3），(2，2，1），（2，2,2），(2,2,3),(2，3，1），(2,3，2），(2，3,3)，(3,1,1），(3，1,2）,（3，1,3)，(3，2，1）,（3，2，2），（3，2,3)，(3,3,1)，（3,3,2），(3,3，3），共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1，2），(1,2，3）,（2，1，3），共3种．所以P(A)＝错误!＝错误!。

2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案53 抛物线

2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案53 抛物线

学案53抛物线导学目标：1。

掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2。

理解数形结合的思想．自主梳理1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l）距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________,直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p〉0）y2＝－2px(p〉0)x2＝2py（p>0)x2＝－2py（p>0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0）对称轴y＝0x＝0焦点F(错误!，0)F(－错误!，0）F（0,错误!）F(0，－错误!）离心率e＝1准线方程x＝－错误!x＝错误!y＝－错误!y＝错误!范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下自我检测1．(2010·四川)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( ) A．1 B．2 C．4 D．82．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点重合，则p的值为( ）A．－2 B．2 C．－4 D．43．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是（）A．y2＝－8x B．y2＝8xC．y2＝－4x D．y2＝4x4．已知抛物线y2＝2px (p>0）的焦点为F,点P1(x1，y1)，P2(x2，y2),P3（x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有（)A．｜FP1｜＋｜FP2|＝|FP3|B．｜FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2｜FP2｜＝｜FP1|＋|FP3｜D．｜FP2|2＝｜FP1｜·｜FP3|5．（2011·佛山模拟)已知抛物线方程为y2＝2px (p〉0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线,分别交准线于M、N两点，那么∠MFN必是( ）A．锐角B．直角C．钝角D．以上皆有可能探究点一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2），求|PA｜＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1 已知点P在抛物线y2＝4x上,那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( ）A。

2016届高考数学(文科人教A版)一轮课时作业2.8函数与方程

2016届高考数学(文科人教A版)一轮课时作业2.8函数与方程

课时提升作业(十一)函数与方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)的一个零点所在的区间是( )1.函数f(x)=ln(x+1)-2xA.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),【解析】选B.由题意知,函数f(x)=ln(x+1)-2x结合四个选项可知,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)<0,f(2)>0,所以函数的一个零点所在的区间是(1,2).f(x)=ln(x+1)-2x2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:可以判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是( )A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2)D.(-1,3)和(4,+∞)【解析】选A.由表格可得二次函数f(x)的对称轴为y=1,a>0,再根据2f(-3)f(-1)<0,f(2)f(4)<0,可得f(x)的零点所在的区间是(-3,-1)和(2,4),即方程ax2+bx+c=0的两个根所在的区间是(-3,-1)和(2,4).3.(2015·潍坊模拟)已知函数f(x)=-sinx,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选 B.零点就是使得函数值为0的x 值.由-sinx=0⇒=sinx,在同一坐标系中作出y=,y=sinx 在[0,2π]上的图象如图,可以看出交点个数为2.4.(2014·湖北高考)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=x 2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3},1,3} ,1,3}【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先根据f(x)是定义在R 上的奇函数,求出函数在R 上的解析式,再求出g(x)的解析式,根据函数的零点就是方程的解,问题得以解决. 【解析】选D.由f(x)是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时,f(x)=x 2-3x,所以f(x)=22x 3x,x 0,x 3x,x 0.⎧-≥⎪⎨--<⎪⎩所以g(x)=22x 4x 3,x 0,x 4x 3,x 0.⎧-+≥⎪⎨--+<⎪⎩由2x 0,x 4x 30≥⎧⎨-+=⎩解得x 1=3,x 2=1,由2x 0,x 4x 30<⎧⎨--+=⎩解得,故选D.5.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )A.x2<x1<x3B.x1<x2<x3C.x1<x3<x2D.x3<x2<x1【解析】选B.依据零点的意义,转化为函数y=x分别和y=-2x,y=-ln+1的交点的横坐标大小问题,作出草图,易得x1<0<x2<1<x3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·洛阳模拟)函数f(x)=log2(x2-3x)-2的零点是.【解析】由f(x)=0,得log2(x2-3x)=2,x2-3x-4=0,解得x=-1或x=4.答案:-1或47.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2 015x+log2 015x,则在R上,函数f(x)零点的个数为.【解析】函数f(x)为R上的奇函数,因此f(0)=0,当x>0时,f(x)=2)内存在一个零点,又f(x)为增函数,因此在015x+log2 015x在区间(0,12 015(0,+∞)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一解,从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.答案:38.若二次函数f(x)=x2-2ax+4在(1,+∞)内有两个零点,则实数a的取值范围为.【解析】据二次函数图象应满足:即解得2<a<.答案:【一题多解】本题还可以采用如下方法:方法一:运用根与系数的关系.设x1,x2为方程x2-2ax+4=0的两根,则有x1+x2=2a,x1x2=4. ①要使原方程x2-2ax+4=0的两根x1,x2均大于1,则需满足将①代入上述不等式组中,解之,得2<a<.方法二:运用求根公式.方程x2-2ax+4=0的两根为x1,2==a±;且Δ>0,得a>2或a<-2.要使两根均大于1,只需小根a->1即可,解之得2<a<.答案:【加固训练】若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的取值为.【解析】当a=0时,函数f(x)=-x-1为一次函数,则-1是函数的零点,即函数仅有一个零点;当a≠0时,函数f(x)=ax2-x-1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2-x-1=0有两个相等实根.所以Δ=1+4a=0,解得a=-.综上,当a=0或a=-时,函数仅有一个零点.答案:0或-三、解答题(每小题10分,共20分)9.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围. 【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.所以函数f(x)的零点为3或-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a2-a<0,解得0<a<1,因此实数a的取值范围是(0,1).【方法技巧】二次函数零点问题的解题技巧对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决,结合二次函数的图象从判别式,根与系数的关系、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件,这里涉及三个“二次”问题的全面考虑和“数形结合思想”的灵活运用.【加固训练】是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴有且只有一个交点.若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.【解析】因为Δ= (3a-2)2-4(a-1)=9+>0,所以若存在实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,所以a≤-或a≥1.检验:①当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.②当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-.令f(x)=0,即x2-x-=0,解得x=-或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-.综上所述,a的取值范围是∪(1,+∞).10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.【解析】因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,m=±2,所以m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去).所以2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.(20分钟40分)1.(5分)(2015·长沙模拟)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( )A.11(,)42B.(1,2)C.1(,1)2D.(2,3)【解析】选C.由图象可知0b1,a b10,a 01,2⎧⎪<<⎪++=⎨⎪⎪<-<⎩故f(x)=x2+ax-a-1,a∈(-2,-1),所以函数g(x)=ln x+f′(x)的零点为函数y=ln x与函数y=-f′(x)=-2x-a交点的横坐标,分析两函数图象得函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是1(,1)2.2.(5分)(2015·石家庄模拟)设函数f(x)=2x6x6,x0,3x4,x0,⎧-+≥⎨+<⎩若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( )A.2026(,]33B.2026(,)33C.11(,6]3D.11(,6)3【解析】选D.函数f(x)=2x6x6,x0,3x4,x0⎧-+≥⎨+<⎩的图象如图,不妨设x 1<x 2<x 3,则x 2,x 3关于直线x=3对称,故x 2+x 3=6,且x 1满足-73<x 1<0,则x 1+x 2+x 3的取值范围是-73+6<x 1+x 2+x 3<0+6,即x 1+x 2+x 3∈11(,6)3. 3.(5分)(2015·厦门模拟)若函数f(x)=x 2-|x|-a-1有四个零点,则实数a 的取值范围是 . 【解析】由f(x)=0得x 2-|x|=a+1, 作出y=x 2-|x|的图象如图,由图可知-<a+1<0, 即-<a<-1. 答案:【加固训练】(2015·南充模拟)已知函数f(x)=(](]x 1,1,1x 2,x 1,3,⎧∈-⎪⎨--∈⎪⎩其中m>0,且函数f(x)满足f(x+4)=f(x).若方程3f(x)-x=0恰有5个根,则实数m 的取值范围是 .【解题提示】根据对函数的解析式进行变形后发现当x ∈(-1,1],[3,5],[7,9]上时,f(x)的图象为半个椭圆.根据图象推断要使方程恰有5个实数解,则需直线y=x3与第二个半椭圆相交,而与第三个半椭圆无公共点.把直线分别代入椭圆方程,根据Δ可求得m 的范围.【解析】因为当x ∈(-1,1]时,将函数化为方程x 2+22ym=1(y ≥0),所以实质上为一个半椭圆,同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]时的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象,如图,由图易知直线y=x 3与第二个半椭圆(x-4)2+22y m =1(y ≥0)相交, 而与第三个半椭圆(x-8)2+22ym=1(y ≥0)无公共点时,方程恰有5个实数根,将y=x 3代入(x-4)2+22y m =1(y ≥0)得,(9m 2+1)x 2-72m 2x+135m 2=0,令t=9m 2(t>0),则(t+1)x 2-8tx+15t=0,由Δ=(-8t)2-4×15t(t+1)>0,得t>15,由9m 2>15,且m>0得同样由y=x3与第三个半椭圆(x-8)2+22y m =1(y ≥0)联立所得方程Δ<0可计算得,综上可知m ∈.答案: 4.(12分)(2015·郑州模拟)已知y=f(x)是定义域为R 的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式.(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.【解析】(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞).因为y=f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)] =-x2-2x,所以f(x)=22x2x,x0,x2x,x0.⎧-≥⎪⎨--<⎪⎩(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示),根据图象,若方程f(x)=a 恰有3个不同的解,则a的取值范围是(-1,1).5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+2ex (x>0).(1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.≥【解析】(1)因为x>0时g(x)=x+2ex等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需m≥2e,则y=g(x)-m就有零点. 所以m的取值范围是[2e,+∞).【一题多解】本题(1)还可以采用如下解法:(x>0)的大致图象如图:作出g(x)=x+2ex可知若使y=g(x)-m有零点,则只需m≥2e.所以m的取值范围是[2e,+∞).(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,(x>0)的大致图象.因为作出g(x)=x+2exf(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,所以其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).关闭Word文档返回原板块。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

【6份】2016届高考数学（文科）人教A版大一轮专项强化训练目录专项强化训练(一)导数的综合应用 (1)专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用 (6)专项强化训练(三)数列的综合应用 (14)专项强化训练(四)平行、垂直的综合问题 (23)专项强化训练(五)圆锥曲线的综合问题 (29)专项强化训练(六)概率与统计的综合问题 (42)专项强化训练(一)导数的综合应用1.(2015·潍坊模拟)5A级景区沂山为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足:y=f(x)=ax2+x-bln,a,b为常数,当x=10万元时,y=19.2万元;当x=50万元时,y=74.4万元.(参考数据:ln2≈0.7,ln3≈1.1,ln5≈1.6)(1)求f(x)的解析式.(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入)【解题提示】(1)由条件:“当x=10万元时,y=19.2万元;当x=50万元时,y=74.4万元”列出关于a,b的方程组,解得a,b的值即得f(x)的解析式.(2)先写出函数T(x)的解析式,再利用导数研究其单调性,进而得出其最大值,从而解决问题.【详细分析】(1)由条件可得解得a=-,b ≈1.则f(x)=-+x-ln(x ≥10).(2)由T(x)=f(x)-x=-+x-ln (x ≥10), 则T ′(x)=-+-=-.令T ′(x)=0,则x=1(舍)或x=50,当x ∈(10,50)时,T ′(x)>0,因此T(x)在(10,50)上是增函数; 当x>50时,T ′(x)<0,因此T(x)在(50,+≦)上是减函数,故x=50为T(x)的极大值点,也是最大值点,且最大值为24.4万元. 即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为T(50)≈24.4万元.【加固训练】(2015·湖南四校联考)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂,由于工厂生产须占用农场的部分资源,因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.工厂在不赔付农场的情况下,工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2 000t .若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格).(1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出工厂获得最大利润的年产量. (2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y=0.002t 2(元),在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,农场要在索赔中获得最大净收入,应向张林的工厂要求赔付价格s 是多少?【详细分析】(1)工厂的实际年利润为: w=2 000t -st(t ≥0).w=2 000t -st=221 000 1 000s(t ),s s--+ 当t=21 000()s时,w 取得最大值. 所以工厂取得最大年利润的年产量 t=21 000()s(吨). (2)设农场净收入为v 元,则v=st-0.002t 2.将t=21 000()s代入上式, 得:v=2341 0002 1 000.s s ⨯- 又v ′=()23232551 0008 000s 1 0008 1 000,s s s -⨯-+= 令v ′=0,得s=20.当s<20时,v ′>0;当s>20时,v ′<0, 所以s=20时,v 取得最大值.因此李明向张林要求赔付价格s=20(元)时,获最大净收入. 2.已知函数f(x)=1-xx 1e -,g(x)=x-l n x. (1)证明:g(x)≥1. (2)证明:(x-ln x)f(x)>1-21e . 【证明】(1)g ′(x)=x 1x-, 当0<x<1时,g ′(x)<0,当x>1时,g ′(x)>0, 即g(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+≦)上为增函数. 所以g(x)≥g(1)=1,得证. (2)f(x)=1-x x 1e -,f ′(x)=xx 2e -, 所以0<x<2时,f ′(x)<0,x>2时,f ′(x)>0, 即f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,+≦)上为增函数,所以f(x)≥f(2)=1-21e ,又由(1)x-ln x ≥1, 所以(x-ln x)f(x)>1-21e.3.已知函数f(x)=(x 2+2x-2)·e x,x ∈R,e 为自然对数的底数. (1)求函数f(x)的极值.(2)若方程f(x)=m 有两个不同的实数根,试求实数m 的取值范围. 【解题提示】(1)根据求极值的方法求极值. (2)画出图象,根据图象分析求解.【详细分析】(1)f ′(x)=(2x+2)·e x+(x 2+2x-2)·e x=(x 2+4x)·e x,令f′(x)=0,解得x1=-4或x2=0,列表如下:x (-≦,-4) -4 (-4,0) 0 (0,+≦) f′(x) + 0 - 0 +f(x) 单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可得当x=-4时,函数f(x)有极大值f(-4)=6e-4;当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=-2.(2)由(1)及当x→-≦,f(x)→0;x→+≦,f(x)→+≦大致图象为如图,“方程f(x)=m有两个不同的实数根”转化为函数f(x)的图象与y=m的图象有两个不同的交点,故实数m的取值范围为(-2,0]∪{6e-4}.4.(2015·日照模拟)已知函数f(x)=ax3lnx+bx3+c在x=1处取得极值c+2,a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值.(2)讨论函数f(x)的单调区间.(3)若对任意x>0,不等式f(x)≤c2恒成立,求c的取值范围.【详细分析】(1)因为f(x)=ax3lnx+bx3+c,所以f′(x)=3ax2lnx+ax2+3bx2,因为函数f(x)=ax3lnx+bx3+c在x=1处取得极值c+2,所以解得a=-6,b=2.(2)由(1)得f′(x)=-18x2lnx,x>0,由f′(x)>0,得0<x<1,所以增区间为(0,1).由f′(x)<0,得x>1,所以减区间为(1,+≦).(3)当x>0时,f(x)≤c2恒成立的充要条件是f(x)最大值≤c2,由(2)知f(x)最大值=f(1)≤c2,即c2≥2+c,解得c≤-1或c≥2.所以c的取值范围是(-≦,-1]∪[2,+≦).5.(2014·四川高考)已知函数f(x)=e x-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.【解题提示】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用,函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想,并考查思维的严谨性.【详细分析】(1)因为f(x)=e x-ax2-bx-1,所以g(x)=f′(x)=e x-2ax-b,又g′(x)=e x-2a,因为x∈[0,1],1≤e x≤e,所以:①若a≤12,则2a≤1,g′(x)=e x-2a≥0,所以函数g(x)在区间[0, 1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1-b.②若12<a<e2,则1<2a<e,于是当0≤x≤ln(2a)时,g′(x)=e x-2a≤0,当ln(2a)<x≤1时,g′(x)=e x-2a>0,所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增, g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.③若a≥e2,则2a≥e,g′(x)=e x-2a≤0,所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减, g(x)min=g(1)=e-2a-b.综上所述,当a≤12时,g(x)在区间 [0,1]上的最小值为g(x)min=g(0)=1-b;当12<a<e2时,g(x)在区间[0, 1]上的最小值为g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b;当a≥e2时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=g(1)=e-2a-b.(2)由f(1)=0⇒e-a-b-1=0⇒b=e-a-1,又f(0)=0,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内不可能单调递增,也不可能单调递减,由(1)知当a≤12或a≥e2时,函数g(x)即f′(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足上述要求.故只有12<a<e2,此时g(x)min=2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)-e+1,令h(x)=32x-xln x-e+1(1<x<e),则h′(x)=12-ln x.由h′(x)=12-ln x>0⇒x<e,所以h(x)在区间(1,e)上单调递增,在区间(e,e)上单调递减,h(x)max =h(e)=32e -e ln e -e+1=e-e+1<0,即g(x)min<0恒成立,因为函数f(x)在区间(0,1)内不可能单调递增,也不可能单调递减,所以()()g01b2e a0,g1e2a b a10,=-=-+>⎧⎪⎨=--=-+>⎪⎩解得a e2,a1,>-⎧⎨<⎩又12<a<e2,所以e-2<a<1,综上,a的取值范围为(e-2,1).专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用一、选择题1.(2015·济宁模拟)已知向量a =(1,),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,则tanθ=( )A. B. C.- D.-【详细分析】选B.因为a∥b,所以sinθ-cosθ=0,即sinθ=cosθ.故tanθ=.2. (2015·合肥模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(2sinB,-),n=(cos2B,2cos2-1),且m∥n,则锐角B的值为( )A. B. C. D.【解题提示】根据m∥n,转化为B的三角函数值后求解.【详细分析】选D.因为m∥n,所以2sinB(2cos2-1)=-cos2B,所以sin2B=-cos2B,即tan2B=-.又因为B为锐角,所以2B∈(0,π).所以2B=,所以B=.3.(2015·临沂模拟)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则a与b一定满足( )A.a与b的夹角等于α-βB.a⊥bC.a∥bD.(a+b)⊥(a-b)【解题提示】欲求a与b满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断a与b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.【详细分析】选 D.因为a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos(α-β).同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系.因为计算得到(a+b)·(a-b)=0,所以(a+b)⊥(a-b).故选D.4.已知a=,b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(0,)D.(0,]【详细分析】选C.因为a-b=,所以|a-b|====,因为θ∈(0,π),所以∈,cos∈(0,1).故|a-b|∈(0,).5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=,·=-2且a+b=5,则c等于( )A. B. C.4 D.【解题提示】由已知cosC=,·=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC可求c.【详细分析】选A.由已知cosC=,·=-2,得b·a·cos(π-C)=-2⇒b·a·cosC=2,所以ab=8,利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2〓8-4=5.所以c=.故选A.二、填空题6.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,则△ABC的形状是.【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解.【详细分析】由m∥n可得,b=2ccosA.由正弦定理可得sinB=2sinCcosA,即sin(A+C)=2sinCcosA.从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,故sinAcosC-cosAsinC=0.即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π,所以A-C=0,即A=C.由m⊥p可得c-2bcosA=0,从而sinC-2sinBcosA=0,故sin(A+B)-2sinBcosA=0.即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B.所以A=B=C.故三角形为等边三角形.答案:等边三角形7.(2015·银川模拟)已知正三角形OAB中,点O为原点,点B的坐标是(-3,4),点A在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量的夹角为α,则sinα的值为.【详细分析】设向量与x轴正向的夹角为β,则α+β=π+=,且有sinβ=,cosβ=-,sinα=sin(π-α)=sin=sinβ-cosβ=〓-〓=.答案:8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,若a=4,b=5,则在方向上的投影为.【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解.【详细分析】由2cos2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.则cos(A-B+B)=-,即cosA=-.由0<A<π,得sinA=,由正弦定理,有=,所以,sinB==.由题知a>b,则A>B,故B=,根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2〓5c〓,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为||cosB=.答案:三、解答题9.已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1).(1)若(a+b)⊥(a-b),求cos2x的值.(2)若a∥b,求cos2x-sin2x的值.【详细分析】(1)因为(a+b)⊥(a-b),a+b=(sin x+cos x,-),a-b=(sin x-cos x,),所以(a+b)·(a-b)=sin2x-cos2x-=0,即cos2x=-.(2)因为a∥b,所以-sin x-cos x=0,即tan x=-,所以cos2x-sin2x====.10.(2015·福州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(sin(x-A),sinA),n=(2cosx,1)(x∈R),函数f(x)=m·n在x=处取得最大值.(1)当x∈时,求函数f(x)的值域.(2)若a=7且sinB+sinC=,求△ABC的面积.【详细分析】(1)f(x)=2cosx(sinxcosA-cosxsinA)+sinA=sin2xcosA-cos2xsinA=sin(2x-A),因为f(x)在x=处取得最大值,所以2〓-A=+2kπ,k∈Z,即A=-2kπ,k∈Z.因为A∈(0,π),所以A=,所以-<sin(2x-A)≤1,即f(x)的值域为.(2)由正弦定理==得sinB+sinC=sinA,所以b+c=13,a2=b2+c2-2bccosA得bc=40,S△ABC=bcsinA=10.11.(2015·保定模拟)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(-1,1), n=(cosBcosC,sinBsinC-),且m⊥n.(1)求A的大小.(2)现给出下列四个条件:①a=1;②b=2sinB;③2c-(+1)b=0;④B=45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC,求出你所确定的△ABC的面积.【详细分析】(1)因为m⊥n,所以-cosBcosC+sinBsinC-=0,即cosBcosC-sinBsinC=-,cos(B+C)=-,因为A+B+C=180°,所以cos(B+C)=-cosA,所以cosA=,又0°<A<180°,所以A=30°.(2)选择①③可确定△ABC.因为A=30°,a=1,2c-(+1)b=0,由余弦定理12=b2+-2b·bcos30°,整理得b2=2,b=,c=.所以S△ABC=bcsinA=〓〓〓=.【一题多解】(2)选择①④可确定△ABC.因为A=30°,a=1,B=45°,所以C=105°.因为sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=,由正弦定理=,得b===,所以S△ABC=absinC=〓1〓〓=.12.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),其中0<α<x<π.(1)若α=,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值.(2)若a与b的夹角为,且a⊥c,求tan2α的值.【详细分析】(1)因为b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),α=,所以f(x)=b·c=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=2sinxcosx+(sinx+cosx).令t=sinx+cosx,则2sinxcosx=t2-1,且-1<t<.则y=t2+t-1=-,-1<t<,所以t=-时,y min=-,此时sinx+cosx=-,即sin=-,因为<x<π,所以<x+<π,所以x+=π,所以x=.所以函数f(x)的最小值为-,相应x的值为.(2)因为a与b的夹角为,所以cos==cosαcosx+sinαsinx =cos(x-α).因为0<α<x<π,所以0<x-α<π,所以x-α=.因为a⊥c,所以cosα(sinx+2sinα)+sinα(cosx+2cosα)=0,所以sin(x+α)+2sin2α=0,即sin+2sin2α=0.所以sin2α+cos2α=0,所以tan2α=-.专项强化训练(三)数列的综合应用一、选择题1. (2015·福州模拟)设{a n},{b n}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是( )A. a2>b2B.a3<b3C.a5>b5D.a6>b6【详细分析】选A.设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,由题可得d=-1,q=,于是a2=3>b2=2,故选A.【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是.【详细分析】由等差数列与等比数列的性质得所以==2++.当x,y同号时,+≥2;当x,y异号时,+≤-2.所以的取值范围为(-≦,0]∪[4,+≦).答案:(-≦,0]∪[4,+≦)2.已知数列{a n},{b n}满足a1=1,且a n,a n+1是函数f(x)=x2-b n x+2n的两个零点,则b10等于( )A.24B.32C.48D.64【详细分析】选D.依题意有a n a n+1=2n,所以a n+1a n+2=2n+1.两式相除得=2,所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=2·24=32,a11=1·25=32.又因为a n+a n+1=b n,所以b10=a10+a11=64.3.设{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为S n的最大值【详细分析】选C.因为{a n}是等差数列,所以S n=n2+n.因为S5<S6,S6=S7>S8,所以S n关于n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5,所以d<0,S6与S7均为S n的最大值,S9<S5,a7=S7-S6=0,故选C.4.已知函数f(x)=把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( )A.a n=,n∈N*B.a n=n(n-1),n∈N*C.a n=n-1,n∈N*D.a n=2n-2,n∈N*【详细分析】选C.当x≤0时,g(x)=f(x)-x=2x-1-x是减函数,只有一个零点a1=0;当x>0时,若x=n,n∈N*,则f(n)=f(n-1)+1=…=f(0)+n=n;若x不是整数,则f(x)=f(x-1)+1=…=f(x-[x]-1)+[x]+1,其中[x]代表x的整数部分,由f(x)=x得f (x-[x]-1)=x-[x]-1,其中-1<x-[x]-1<0,没有这样的x.所以g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序为0,1,2,3,…,通项a n=n-1,故选C.【加固训练】定义:F(x,y)=y x(x>0,y>0),已知数列{a n}满足:a n=(n∈N*),若对任意正整数n,都有a n≥a k(k∈N*)成立,则a k的值为( )A. B.2 C.1 D.4【详细分析】选 A.a n=,==,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2<(n+1)2,当n≥3时,2n2>(n+1)2,即当n≥3时,a n+1>a n,故数列{a n}中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故a k的值为.5.(2015·安庆模拟)气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为(n∈N*)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了( )A.600天B.800天C.1000天D.1200天【详细分析】选B.由第n天的维修保养费为(n∈N*)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为=++,当且仅当=时取得最小值,此时n=800,故选B.【方法技巧】建模解数列问题(1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系.(2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题.(3)通过建立的关系求出相关量.【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A.1和20B.9和10C.9和11D.10和11【详细分析】选D.设树苗放在第i 个树坑旁边(如图所示)则各个树坑到第i 个树坑的距离的和是S=10(i-1)+10(i-2)+…+10(i-i)+10[(i+1)-i]+…+10(20-i) =10+=10(i 2-21i+210).所以当i=10或11时,S 有最小值. 二、填空题6.(2015·镇江模拟)设曲线y=x n+1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =lg x n ,则a 1+a 2+…+a 99的值为 .【详细分析】因为y=x n+1(n ∈N *),所以y ′=(n+1)x n(n ∈N *),所以y ′|x=1=n+1, 所以在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),即(n+1)x-y-n=0,当y=0时,x=,所以x n =,所以a n =lgx n =lg=lg n-lg(n+1),所以a 1+a 2+…+a 99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+…+(lg99-lg100) =lg1-lg100 =-2. 答案:-27.某厂生产微机,原计划第一季度每月增产台数相同,在生产过程中,实际二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台,则该厂第一季度实际生产微机 台. 【详细分析】原计划第一季度三个月分别生产a 1,a 1+d,a 1+2d 台微机,现在实际上生产了a 1,a 1+d+10,a 1+2d+25台.由题意得211d 20d 5a 1000,a d 70,⎧+-+=⎨=+⎩解得1d 10,a 80,=⎧⎨=⎩故第一季度实际生产微机台数是3a 1+3d+35=305.答案:3058.数列{a n}的前n项和为S n,若数列{a n}的各项按如下规律排列:,,,,,,,,,,…,,,…,,…,有如下运算和结论:①a24=;②数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列;③数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为T n=;④若存在正整数k,使S k<10,S k+1≥10,则a k=.其中正确的结论有.(将你认为正确的结论的序号都填上)【详细分析】依题意,将数列{a n}中的项依次按分母相同的项分成一组,第n组中的数的规律是:第n组中的数共有n个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于=,对于①,注意到21=<24<=28,因此数列{a n}中的第24项应是第7组中的第3个数,即a24=,因此①正确.对于②③,设b n为②③中的数列的通项,则b n==,显然该数列是等差数列,而不是等比数列,其前n项和等于〓=,因此②不正确,③正确.对于④,注意到数列的前6组的所有项的和等于=10,因此满足条件的a k应是第6组中的第5个数,即a k=,因此④正确.综上所述,其中正确的结论有①③④.答案:①③④三、解答题9.(2015·潍坊模拟)已知等差数列{a n}的公差为2,它的前n项和S n=pn2+2n,n∈N*.(1)求p的值及a n.(2)若b n=2n-1·(a n-1),求数列{b n}的前n项和T n.【详细分析】(1)由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4,即a1+a2=4p+4,所以a2=3p+2.由已知:a2-a1=2,所以p=1,所以a n=2n+1,n∈N*.(2)由(1)得b n=n·2n,T n=1〓2+2〓22+…+n〓2n①,2T n=1〓22+2〓23+…+n〓2n+1②,①-②整理得:T n=(n-1)·2n+1+2.10.(2014·天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n-1,x i∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n,证明:若a n<b n,则s<t.【详细分析】(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+2x2+4x3,x i∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)由s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,a i,b i∈M,i=1,2,…,n及a n<b n,可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+…+（a n-1-b n-1）q n-2+（a n-b n）q n-1≤（q-1）+（q-1）q+…+（q-1）q n-2-q n-1所以,s<t.11.已知{a n}是由正数组成的数列,a1=1且点(,a n+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足b1=1,b n+1=b n+,求证:b n·b n+2<.【解题提示】(1)由点在函数图象上即可得出a n+1与a n的关系,从而可写出通项公式.(2)结合(1)找出b n+1与b n的关系式,从而可得b n,然后利用作差法比较大小.【详细分析】(1)由已知,得a n+1=a n+1,得a n+1-a n=1,又a1=1,所以数列{a n}是以1为首项,1为公差的等差数列.故a n=1+(n-1)〓1=n.(2)由(1),知a n=n,从而b n+1-b n=2n.b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1.因为b n·b n+2-=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2·2n+1+1)=-5·2n+4·2n=-2n<0,所以b n·b n+2<.【方法技巧】数列与函数的综合一般体现在两个方面:(1)以数列的特征量n,a n,S n等为坐标的点在函数图象上,可以得到数列的递推关系.(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.【加固训练】已知数列{a n}的前n项和为S n,对一切正整数n,点P n(n,S n)都在函数f(x)=x2+2x 的图象上,且过点P n(n,S n)的切线的斜率为k n.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设Q={x|x=k n,n∈N*},R={x|x=2a n,n∈N*},等差数列{c n}的任一项c n∈Q∩R,其中c1是Q∩R 中的最小数,110<c10<115,求{c n}的通项公式.【详细分析】(1)因为点P n(n,S n)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,所以S n=n2+2n(n∈N*).当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n+1,当n=1时,a1=S1=3满足上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n+1.(2)因为Q={x|x=2n+2,n∈N*},R={x|x=4n+2,n∈N*},所以Q∩R=R.又因为c n∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,所以c1=6,因为{c n}的公差是4的倍数,所以c10=4m+6(m∈N*).又因为110<c10<115,所以,解得m=27,所以c10=114,设等差数列{c n}的公差为d,则d===12,所以c n=6+(n-1)〓12=12n-6,所以{c n}的通项公式为c n=12n-6.12.某工厂年初用98万元购买一台新设备,第一年设备维修及燃料、动力消耗(称为设备的低劣化)的总费用12万元,以后每年都增加4万元,新设备每年可给工厂收益50万元.(1)工厂第几年开始获利?(2)若干年后,该工厂有两种处理该设备的方案:①年平均获利最大时,以26万元出售该设备;②总纯收入获利最大时,以8万元出售该设备.问哪种方案对工厂合算?【详细分析】(1)由题设每年费用是以12为首项,4为公差的等差数列,设第n年时累计的纯收入为f(n).所以f(n)=50n-[12+16+…+(4n+8)]-98=40n-2n2-98.获利即为:f(n)>0,所以40n-2n2-98>0⇒n2-20n+49<0⇒10-<n<10+,又n∈N,所以n=3,4,5, (17)所以当n=3时,即第3年开始获利.(2)①年平均收入==40-2（n+）≤40-4=12(万元),当且仅当n=,即n=7时等号成立.即年平均收益最大时,总收益为:12〓7+26=110(万元),此时n=7.②f(n)=-2(n-10)2+102,所以当n=10时,f(n)max=102,总收益为102+8=110万元,此时n=10.比较两种方案,总收益均为110万元,但第一种方案需7年,第二种方案需10年,故选择第一种方案.【加固训练】有一种零存整取的储蓄项目,在每月某日存入一笔相同金额,这是零存;到期可以提出全部本金和利息,这是整取,它的本利和公式如下:本利和=每期存入的金额×[存期+×存期×(存期+1)×利率].(1)试解释这个本利和公式.(2)若每月初存入100元,月利率为5.1%,到第12个月底的本利和是多少?(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1%,希望到第12个月底取得本利和2000元,那么每月初应存入多少?【详细分析】(1)设每期存入的金额为A,每期利率为P,存期为n,则各期的利息之和为nAP+(n-1)AP+…+2AP+AP=,所以本利和为nA+=A(元).(2)到第12个月底的本利和为100=1597.8(元).(3)设每月初应存入x元,则有x=2000,解得x≈125.2.所以每月初应存入125.2元.13.(2015·烟台模拟)已知S n为数列{a n}的前n项和,且有a1=1,S n+1=a n+1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项a n.(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和T n.(3)设c k=,{c k}的前n项和为A n,是否存在最小正整数m,使得不等式A n<m对任意正整数n恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.【详细分析】(1)当n=1时,a2=S1+1=a1+1=2.当n≥2时,S n+1=a n+1,S n-1+1=a n,相减得a n+1=2a n.又a2=2a1,所以{a n}是首项为1,公比为2的等比数列.所以a n=2n-1.(2)由(1)知a n=2n-1,所以b n===,所以T n=+++…+,T n=++…++,两式相减得T n=+++…+-=-=-,所以T n=1-.(3)C k=====2,所以A n==2=2<2,若不等式A n<m对任意正整数n恒成立,则m≥2,所以存在最小正整数m=2.使不等式A n<m对任意正整数n恒成立.专项强化训练(四)平行、垂直的综合问题1.(2015·济南模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC的中点,N为线段PB的中点,G在线段BM上,且=2.(1)求证:AB⊥PD.(2)求证:GN∥平面PCD.【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,又因为AD⊥AB,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.(2)因为△ABC是正三角形,且M是AC的中点,所以BM⊥AC.在直角三角形AMD中,∠MAD=30°,所以MD=AD.在直角三角形ABD中,∠ABD=30°,所以AD=BD.所以MD=BD.又因为=2,所以BG=GD,又N为线段PB的中点,所以GN∥PD,又GN⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,所以GN∥平面PCD.2.如图所示,ABCD为矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,AC和BD交于点G.(1)求证:AE∥平面BFD.(2)求三棱锥C-BFG的体积.【详细分析】(1)由题意可得G是AC的中点,因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥CE,又BC=BE, 所以F是CE的中点,所以FG∥AE,又FG⊂平面BFD,AE⊄平面BFD,所以AE∥平面BFD.(2)由矩形ABCD知AD∥BC,因为AD⊥平面ABE,所以BC⊥平面ABE,所以BC⊥AE.因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥AE,又BC∩BF=B,所以AE⊥平面BCE.由(1)知G是AC的中点,F是CE的中点,所以FG∥AE且FG=AE=1.所以FG⊥平面BCE.在Rt△BCE中,BF=CE=CF=,所以S△CFB=〓〓=1.所以V C-BFG=V G-BCF=S△CFB〓FG=〓1〓1=.【加固训练】(2015·长春模拟)在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.(1)求证:AE∥平面BCD.(2)求三棱锥D-BCE的体积.【详细分析】(1)取BC的中点M,连接DM,AM,因为BD=CD,所以DM⊥BC,又因为平面BCD⊥平面ABC,BC为交线,所以DM⊥平面ABC,因为AE⊥平面ABC,所以AE∥DM,又因为AE⊄平面BCD,DM⊂平面BCD,所以AE∥平面BCD.(2)由(1)知AE∥DM,在△BCD中,CD⊥BD,CD=BD,所以MD=BC=1=AE,所以四边形AMDE是平行四边形,所以DE∥AM,且DE=AM=,因为DM⊥平面ABC,所以DM⊥AM.又AM⊥BC,BC∩DM=M,所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD,则V D-BCE=V E-BCD=S△BCD·DE=〓·BC·DM·DE=〓〓2〓1〓=.3.如图,在边长为1的等边△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF 与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图所示的三棱锥A-BCF,其中BC=.(1)证明:DE∥平面BCF.(2)证明:CF⊥平面ABF.(3)当AD=时,求三棱锥F-DEG的体积V F-DEG.【详细分析】(1)在等边△ABC中,AD=AE,所以=,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DE∥BC.因为DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,所以DE∥平面BCF.(2)在等边△ABC中,F是BC的中点,所以AF⊥FC,BF=CF=.因为在三棱锥A-BCF中,BC=,所以BC2=BF2+CF2,CF⊥BF.因为BF∩AF=F,所以CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.V F-DEG=V E-DFG=··DG·FG·GE=〓〓〓(〓)〓=.【加固训练】(2015·佛山模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=AB=2,点E为AC中点,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D -ABC,如图2所示.(1)求证:AD⊥BC.(2)在CD上找一点F,使AD∥平面EFB.【详细分析】(1)在题图1中,可得AC=BC=2,从而AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.因为平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面ADC.又AD⊂平面ADC,所以AD⊥BC.(2)取CD的中点F,连接EF,BF,在△ACD中,因为E,F分别为AC,DC的中点,所以AD∥EF,EF⊂平面EFB,AD⊄平面EFB,所以AD∥平面EFB.4.已知等边△ABC的边长为3,点D,E分别在边AB,AC上,且满足==,将△ADE沿DE折叠到△A1DE的位置,使平面A1DE⊥平面BCED,连接A1B,A1C.(1)证明:A1D⊥平面BCED.(2)在线段BD上是否存在点M,使得CM∥平面A1DE?若存在,求出BM的长;若不存在,说明理由.【解题提示】(1)由平面A1DE⊥平面BCED,只需证明DE⊥A1D即可.(2)过C作BD边的垂线,垂足为所求,然后证明确认.【详细分析】(1)在△ABC中,==,得AD=CE=1,BD=AE=2,在△ADE中,∠A=60°,AD=1,AE=2,由余弦定理得DE=,于是AE2=AD2+DE2,故△ADE为直角三角形,且DE⊥AD,折叠后DE⊥A1D.因为平面A1DE⊥平面BCED,平面A1DE∩平面BCED=DE,A1D⊂平面A1DE,所以A1D⊥平面BCED.(2)过C作BD边的垂线,垂足即为所求的点M.证明如下:由(1)可知DE⊥AB,于是DE∥CM,因为CM⊄平面A1DE,DE⊂平面A1DE,所以CM∥平面A1DE,因为△ABC为等边三角形,且CM⊥BD,所以BM=BA=.5.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、侧视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.(1)求该几何体的体积.(2)求证:EM∥平面ABC.(3)试问在棱DC上是否存在点N,使MN⊥平面BDE?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)根据直观图与三视图的关系,确定相关线段的长度及线线、线面的位臵关系,确定几何体的高.(2)取BC的中点G,证明四边形AGME为平行四边形,利用线面平行的判定定理证明.(3)假设在棱DC上存在点N,使MN⊥平面BDE,通过相关的性质及相似三角形的性质确定N点的位臵.【详细分析】由题意知,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,AE∥DC,AE=2,DC=4,AB⊥AC且AC=AB=2.(1)因为EA⊥平面ABC,所以EA⊥AB,又因为AB⊥AC,EA∩AC=A,所以AB⊥平面ACDE.所以四棱锥B-ACDE的高h=AB=2,又梯形ACDE的面积S=6.所以V B-ACDE=Sh=4.(2)取BC的中点G,连接EM,MG,AG,因为M为DB的中点,所以MG∥DC,且MG=DC.所以MG∥AE,MG=AE,所以四边形AGME为平行四边形,所以EM∥AG.又EM⊄平面ABC,AG⊂平面ABC,所以EM∥平面ABC.(3)由(2)知EM∥AG,又因为平面BCD⊥底面ABC,AG⊥BC,所以AG⊥平面BCD,EM⊥平面BCD,又因为EM⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面BCD,在平面BCD中,过M作MN⊥DB交DC于点N,所以MN⊥平面BDE,此时点N即为所求点.因为△DMN∽△DCB,所以=,即=,所以DN=3,即DN=DC,所以,边DC上存在点N,当满足DN=DC时,MN⊥平面BDE.专项强化训练(五)圆锥曲线的综合问题1.已知直线l:y=x+1,圆O:x2+y2=32,直线l被圆截得的弦长与椭圆C:2222x ya b+=1(a>b>0)的短轴长相等,椭圆的离心率e=22.(1)求椭圆C的方程.(2)过点1M(0,)3-的直线l0交椭圆于A,B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l0如何转动,以AB为直径的圆恒过定点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)利用弦长公式及离心率公式求出a,b的值,从而求得椭圆C的方程. (2)先根据直线l0的斜率不存在及斜率为0的情况确定T的坐标,然后再证明以AB为直径的圆恒过定点T即可.【详细分析】(1)由题意知,圆O的半径r=62,圆O(0,0)到直线y=x+1的距离d=1222=,则直线l 被圆截得的弦长为22312r d 2222-=-=, 依题意2=2b,b=1.又椭圆的离心率22c b 21e ,1e ,a 22a a 2a===-===得, 所以椭圆C 的方程为2x 2+y 2=1.(2)假设存在定点T(x 0,y 0), 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1≤x 2).当直线l 0的斜率不存在时,易知A(0,1),B(0,-1), 则圆的方程为x 2+y 2=1.当直线l 0的斜率为0时,直线l 0的方程为y=-13, 代入椭圆方程可得4141A(,),B(,),3333---即圆的方程为22116x (y ).39++=易知T(0,1).下面证明,当直线l 0的斜率存在且不为0时,T(0,1)也符合. 设直线l 0的方程为y=kx-13, 联立22x y 1,21y kx ,3⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y 得(2k 2+1)x 2-416kx 39-=0. 则()()1212224k 16x x ,x x 312k 912k -+==++. 此时,=(x 1, y 1-1),=(x 2,y 2-1),即当直线l 0的斜率存在且不为0时,以AB 为直径的圆恒过点T(0,1). 综上所述,存在定点T,其坐标为(0,1).【加固训练】已知椭圆C: 2222x y a b+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,A 为上顶点,△AF 1F 2为正三角形,以AF 2为直径的圆与直线y=3x+2相切. (1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆交于M,N 两点,在x 轴上是否存在点P(m,0),使得=+时四边形PMQN 为菱形,且点Q 在椭圆C 上?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.【详细分析】(1)由已知△AF 1F 2为正三角形,c 1sin30,a 2c,b 3c,a 2=︒===得即 由A(0,b),F 2(c,0),得AF 2的中点c bB(,)22,点B 到直线y=3x+2的距离为解得a 2=4,b 2=3,所以椭圆C 的标准方程为22x y 43+=1. (2)由(1)可知F 2(1,0), 设直线l 的方程为y=k(x-1).联立方程,得()22y k x 1,x y 1,43⎧=-⎪⎨+=⎪⎩整理得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0, 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),由根与系数的关系得x 1+x 2=228k 34k +,则y 1+y 2=k(x 1+x 2-2)=26k34k-+, 又=(x 1-m,y 1),=(x 2-m,y 2),所以=+=(x 1+x 2-2m,y 1+y 2)得5k 4+16k 2+12=0,因为5k 4+16k 2+12>0恒成立, 故满足条件的点P(m,0)不存在.2.过x 轴上动点A(a,0)引抛物线y=x 2+1的两条切线AP,AQ.切线斜率分别为k 1和k 2,切点分别为P,Q.(1)求证:k 1·k 2为定值,并且直线PQ 过定点.(2)记S 为面积,当最小时,求·的值.【详细分析】(1)方法一:设过A 点的直线为:y=k(x-a),与抛物线联立得()2y k x a ,y x 1,⎧=-⎪⎨=+⎪⎩得x 2-kx+ka+1=0, Δ=k 2-4ak-4=0, 所以k 1+k 2=4a, k 1·k 2=-4为定值.抛物线方程y=x 2+1,求导得y ′=2x, 设切点P,Q 的坐标分别为(x P ,y P ),(x Q ,y Q ), k 1=2x P ,k 2=2x Q ,所以x P +x Q =2a,x P ·x Q =-1. 直线PQ 的方程:y-y P =P Q P Qy y x x --(x-x P ),由y P =+1,y Q =+1,得到y=(x P +x Q )x-x P x Q +1,整理可得y=2xa+2,所以直线PQ 过定点(0,2).方法二:设切点P,Q 的坐标分别为(x P ,y P ),(x Q ,y Q ),求导得y ′=2x, 所以l AP :y=2x P (x-a),(x P ,y P )在直线上,即y P =2x P (x P -a), 由P(x P ,y P )在抛物线方程上得y P =+1,整理可得y P =2x P a+2, 同理y Q =2x Q a+2, 所以l QP :y=2xa+2, 所以直线PQ 过定点(0,2).。

相关文档
最新文档