1-2-1数列的极限
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1 1 第二天截下的杖长总和 为 X2 2 ; 2 2
1
第n天截下的杖长总和为X n
1 1 1 2 n ; 2 2 2
1 Xn 1 n 2
一、数列
称 作 定义： 一串按次序排列的数 数 x1 , x2 ,, xn , 列 ， 第n项 xn叫做数列的一般项。 数列中的每个数叫数列的项， 记 作 1 1 1 1 数 1 例如 , , ,, n ,; { n } 列 2 4 8 2
0,
要使 xn 1 , 只要
1 所以, 取N [ ], 则当n N时, n ( 1) n 1 n ( 1)n1 就有 1 即 lim 1. n n n
1 1 或 n , , n
例2
设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .
( 1) n 1 1 1 xn a 0 2 2 n1 n ( n 1) ( n 1)
0,
要使 xn a ,
1 取N ,
1 1 只须 , 即n . n
( 1) n 当n N时， 0 . 2 ( n 1)
§2 数列的极限
一 二 三 四 数列 数列的极限 数列极限的性质 小结
引例1：如何求圆的面积 刘晖的割圆术 极 限 方 法
正六边形面积：A1 正十二边形面积：A2 正二十四边形面积：A3 正6 . 2n-1边形面积：An ……
A1,A2, …,An, … 逼近某一个确定的值----圆面积真实值
“一尺之棰，日截其半，万世不竭” 例2、截杖问题： 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2
{xn}.
2
1,1,1, , ( 1)
n1
,;
n 1
{( 1) n 1 }
1 4 n ( 1) 2, , , , 2 3 n
n ( 1) n 1 ,; { } n
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
{ 3 3 3}
n个 2.表示方法 （1）用数轴上的点表示数列
n
证
任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim xn C .
n
结论:常数列的极限等于同一常数.
说明: 1.用定义证数列极限存在时,关键是由任意给定
0, 寻找N
1）由|xn-a|<解出n>g(), g()是的函数 2）取N=[g()], 2.用定义证数列极限存在的一般步骤： >0,要使|xn-a|<，即：……，只要使n>g(), 取N=[g()],当n>N时， |xn-a|< ，∴ ……
？ 1 考察各数列的变化趋势
关于数列{xn}的两个基本问题 1、当n无限增大时，xn能否无限接近于某确定数值？ 判断数列极限是否存在 2、如果能的话，如何求这个数？ 如何求极限的问题
二、数列的极限
1.定义 直观上：{xn},当n无限增大时，xn无限接近于一个常数， 称此常数为数列{xn} 的极限。 ( 1) n 1 如： {1 }. n ( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于 1. n 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
a
x2 x1 x N 1
2
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点xn都落在(a , a )内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外.
n ( 1)n1 证明 lim 1. n n
例1 证
1 n ( 1) n 1 xn 1 1 n n
3.N不唯一。取N=[g()]+任一正整数，都可保证
n>g(),故N不唯一，但不必要求最小的N.
4.当由|xn-a|<直接求解n不好解时，可适当放 大不等式， 如使：|xn-a|<f(n)< ,由f(n)< 求解n。
例3 证
（－ 1n） 验证 的极限是0. 2 ( n 1)
n
lim xn a 0 , 正整数N，当n N时， xn a 恒成立。
小注：
1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
2.N与任意给定的正数 有关 .
3、N不唯一！
2.几何解释:
n
lim x n a
xn a a xn a x n ( a , a )
xn 1 ( 1) n 1 1 1 n n
xn 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
1 有 xn 1 , 1000
1 1 给定 , 只要 n 10000 , 时, 有 x n 1 10000 10000
一般地：
给定 0, 只要 n N ( [1])时, 有 x n 1 成立.
数列极限定义
N定义
xn a
德国数学家维尔斯特拉斯
设xn 为一数列 , 如果存在常数a , 对于任意给定的正数 （不论它多么小），总 存在正整数N , 使得当n N时, 不等式
( 1n ) 故 lim 0. 2 n ( n 1)
P31
1(偶)
xn 的极限. 恒成立，那么就称常数 a是数列
. xn 收敛于a , 记为 lim xn a , 或者xn a（n ） 或者称数列
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
n
lim xn a 0 , 正整数N，当n N时， xn a 恒成立。
x3
xn f (n).
x1
x 2 x4
xn
xn
· · · · ·
（2）用平面上的点表 ,, n ,; 2 4 8 2
1 { n} 2
0
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{( 1) n 1 } 不逼近确定值
n 1 1 4 n ( 1) n 1 n ( 1) 2, , , , ,; { } 2 3 n n
1
第n天截下的杖长总和为X n
1 1 1 2 n ; 2 2 2
1 Xn 1 n 2
一、数列
称 作 定义： 一串按次序排列的数 数 x1 , x2 ,, xn , 列 ， 第n项 xn叫做数列的一般项。 数列中的每个数叫数列的项， 记 作 1 1 1 1 数 1 例如 , , ,, n ,; { n } 列 2 4 8 2
0,
要使 xn 1 , 只要
1 所以, 取N [ ], 则当n N时, n ( 1) n 1 n ( 1)n1 就有 1 即 lim 1. n n n
1 1 或 n , , n
例2
设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .
( 1) n 1 1 1 xn a 0 2 2 n1 n ( n 1) ( n 1)
0,
要使 xn a ,
1 取N ,
1 1 只须 , 即n . n
( 1) n 当n N时， 0 . 2 ( n 1)
§2 数列的极限
一 二 三 四 数列 数列的极限 数列极限的性质 小结
引例1：如何求圆的面积 刘晖的割圆术 极 限 方 法
正六边形面积：A1 正十二边形面积：A2 正二十四边形面积：A3 正6 . 2n-1边形面积：An ……
A1,A2, …,An, … 逼近某一个确定的值----圆面积真实值
“一尺之棰，日截其半，万世不竭” 例2、截杖问题： 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2
{xn}.
2
1,1,1, , ( 1)
n1
,;
n 1
{( 1) n 1 }
1 4 n ( 1) 2, , , , 2 3 n
n ( 1) n 1 ,; { } n
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
{ 3 3 3}
n个 2.表示方法 （1）用数轴上的点表示数列
n
证
任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim xn C .
n
结论:常数列的极限等于同一常数.
说明: 1.用定义证数列极限存在时,关键是由任意给定
0, 寻找N
1）由|xn-a|<解出n>g(), g()是的函数 2）取N=[g()], 2.用定义证数列极限存在的一般步骤： >0,要使|xn-a|<，即：……，只要使n>g(), 取N=[g()],当n>N时， |xn-a|< ，∴ ……
？ 1 考察各数列的变化趋势
关于数列{xn}的两个基本问题 1、当n无限增大时，xn能否无限接近于某确定数值？ 判断数列极限是否存在 2、如果能的话，如何求这个数？ 如何求极限的问题
二、数列的极限
1.定义 直观上：{xn},当n无限增大时，xn无限接近于一个常数， 称此常数为数列{xn} 的极限。 ( 1) n 1 如： {1 }. n ( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于 1. n 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
a
x2 x1 x N 1
2
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点xn都落在(a , a )内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外.
n ( 1)n1 证明 lim 1. n n
例1 证
1 n ( 1) n 1 xn 1 1 n n
3.N不唯一。取N=[g()]+任一正整数，都可保证
n>g(),故N不唯一，但不必要求最小的N.
4.当由|xn-a|<直接求解n不好解时，可适当放 大不等式， 如使：|xn-a|<f(n)< ,由f(n)< 求解n。
例3 证
（－ 1n） 验证 的极限是0. 2 ( n 1)
n
lim xn a 0 , 正整数N，当n N时， xn a 恒成立。
小注：
1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
2.N与任意给定的正数 有关 .
3、N不唯一！
2.几何解释:
n
lim x n a
xn a a xn a x n ( a , a )
xn 1 ( 1) n 1 1 1 n n
xn 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
1 有 xn 1 , 1000
1 1 给定 , 只要 n 10000 , 时, 有 x n 1 10000 10000
一般地：
给定 0, 只要 n N ( [1])时, 有 x n 1 成立.
数列极限定义
N定义
xn a
德国数学家维尔斯特拉斯
设xn 为一数列 , 如果存在常数a , 对于任意给定的正数 （不论它多么小），总 存在正整数N , 使得当n N时, 不等式
( 1n ) 故 lim 0. 2 n ( n 1)
P31
1(偶)
xn 的极限. 恒成立，那么就称常数 a是数列
. xn 收敛于a , 记为 lim xn a , 或者xn a（n ） 或者称数列
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
n
lim xn a 0 , 正整数N，当n N时， xn a 恒成立。
x3
xn f (n).
x1
x 2 x4
xn
xn
· · · · ·
（2）用平面上的点表 ,, n ,; 2 4 8 2
1 { n} 2
0
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{( 1) n 1 } 不逼近确定值
n 1 1 4 n ( 1) n 1 n ( 1) 2, , , , ,; { } 2 3 n n