六校2015届高三第三次联合考试(理数)

六校2015届高三第三次联合考试数学（理科）（满分150分） 考试时间：120分钟参考公式：柱体的体积公式V Sh =，锥体的体积公式13V Sh =.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,4,3,5U A B ===，则图中阴影部分所表示的集合为( ）A.{}2,3B.{}1,4C.{}5D.{}62．已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ） A.()p q ⌝∨B.p q ∨C.p q ∧D.()()p q ⌝∧⌝3．已知向量()()()5,2,4,3,,a b c x y ==--=，若320a b c -+=，则c =（ ） A.()23,12--B.()23,12C.()7,0D.()7,0-4．下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（ ） A.xxy e e -=+B.y =C.tan y x =D.1ln1xy x+=- 5．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ） A.263 B.83π+ C.143π D.73π 6．已知等差数列{}n a 中，10,0a d >>，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 满足11b a =，44b a =，前n 项和为n T ，则（ ） A.44S T >B.44S T <C.44S T =D.44S T ≤7．已知直线()1:2110l ax a y +++=，()()2:110l a x a y ++-=,若12l l ⊥，则a =（ ）A.2或12B.13或1- C.13D.1- U AB主视图 侧视图俯视图8．已知函数()f x 的定义域为D ，如果存在实数M ，使对任意的x D ∈，都有()f x M ≤，则称函数()f x 为有界函数，下列函数：①()2,xf x x R -=∈ ②()()ln ,0,f x x x =∈+∞③()()()2,,00,1xf x x x =∈-∞+∞+； ④()()sin ,0,f x x x x =∈+∞为有界函数的是（ ） A.②④B.②③④C.①③D.①③④二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）9．函数()ln f x x x =在点()(),e f e 处的切线方程为___________________. 10．在ABC ∆中，45,75,2A B c =︒=︒=，则此三角形的最短边的长度是________. 11．已知递增的等差数列{}n a 满足21252,6a a a ==+，则n a =___________. 12．已知圆2220x y x +-=上的点到直线:2l y kx =-的最近距离为1，则k =______.13．如图，为了测量两座山峰上两点P 、Q 之间的距离，选择山坡上一段长度为米且和P,Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得四个角的大小分别是90PAB ∠=︒,60PAQ PBA PBQ ∠=∠=∠=︒, 可求得P 、Q 两点间的距离为 米.14．已知(){}:,23p M x y x x ∈+-+；()(){}()222:,10q M x y x y r r ∈-+<>如果p 是q 的充分但不必要条件，则r 的取值范围是_三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）15.（本小题满分12分）已知函数()sin 1f x x x ωω=+（其中0,x R ω>∈）的最小正周期为6π.⑴ 求ω的值； ⑵ 设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13217f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()1135f βπ+=，求()cos αβ+的值.16．（本小题满分12分）寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲、乙两个小组，每组均组织①垃圾分类宣传，②网络知识讲座，③现场春联派送三项活动，甲组计划12的同学从事项目①，14的同学从事项目②，最后14的同学从事项目③；乙组计划15的同学从事项目①，另15的同学从事项目②，最后35的同学从事项目③，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目①的总人数不得多于20人，从事项目②的总人数不得多于10人，从事项目③的总人数不得多于18人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？17．（本小题满分14分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边(),02AB t t =<<，连接A 1B,A 1C,A 1D.⑴ 当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B-A 1C-D 的值；⑵ 线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由.18．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，1141,13n n a a a +==-+ ，数列{}n b 满足()*1,1n n b n N a =∈+. ⑴ 求数列{}n b 的通项公式； ⑵ 证明：222121117nb b b +++<.19．（本小题满分14分）已知直角坐标系中，圆O 的方程为222x y r +=()0r >，两点()()4,0,0,4A B ，动点P 满足(),01AP AB λλ=≤≤.⑴ 求动点P 的轨迹C 方程；⑵ 若对于轨迹C 上的任意一点P ，总存在过点P 的直线l 交圆O 于M,N 两点，且点M 是线段PN 的中点，求r 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数()()ln f x x a ax =++. ⑴ 求函数()f x 的单调区间和极值；⑵ 若()1,0a ∈-，函数()()g x a f x '=的图像上存在12,P P 两点，其横坐标满足1216x x <<<，且()g x 的图像在此两点处的切线互相垂直，求a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题： CBAD DABC 二、填空题：9.20x y e --=； 10.3； 11.2n 12.0或者43-； 13. 900；14. r >)r ∈+∞或者直接)+∞均可三、解答题：15. 解：⑴ ()sin 12sin()13f x x x x πωωω=+=-+ …………3分26T ππω==，所以13ω=. ………………………………………………6分 ()12sin()133f x x π=-+注：如果()2cos()16f x x πω=-++等正确结果的话相应给分即可.⑵1132sin (3)12sin 12cos 12323217f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以8cos 17α=………………………………………………………………7分 ()11132sin (3)12sin 1335f πβπβπβ⎛⎫+=+-+=+= ⎪⎝⎭所以3sin 5β=…………………………………………………………………8分因为,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以154sin ,cos 175αβ====，10分 所以()13cos cos cos sin sin 85αβαβαβ+=-=-. …………………………12分 16.解：设甲组x 名同学，乙组y 名同学，根据题意有：……………………1分1120251110451318450,0x y x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎪⎨⎪+≤⎪⎪⎪≥≥⎩ 整理得： 52200542005123600,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩ 可行域如图： 参加活动的总人数z x y =+，变形为y x z =-+，当经过可行域内的点，斜率为1-的直线在y 轴上截距最大时，目标函数z x y =+取得最大值.由可行域图像可知，直线y x z =-+经过54200x y +=和512360x y +=的交点A 时，在y 轴上截距最大. …………………………………………………………………8分解方程组54200512360x y x y +=⎧⎨+=⎩得：24,20x y == …………………………………10分所以max 242044z x y =+=+= ………………………………………………11分 答：甲组24名同学参加，乙组20名同学参加，此时总人数达到最大值44人.………12分17.解：法一：⑴ 根据题意，长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭……2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1 所以当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边 形ABCD 为正方形 ……4分作BM ⊥A 1C 于M ，连接DM ，BD ……………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以1A BC ∆与1A DC ∆全等，故DM ⊥A 1C ，所以BMD ∠即为所求二面角的平面角 ……6分Oxy54200x y +=52200x y +=512360x y +=y x =-A （24，20）………7分，约束条件和图像各3分，不化简不扣分A BCDA 1B 1C 1DM因为BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以1A BC ∆为直角三角形又11AB AC =113A B BC BM AC ⨯===DM = 在∆BMD中，根据余弦定理有：6621cos 2BMD +-∠==- ……………8分 因为()0,180BMD ∠∈︒︒，所以120BMD ∠=︒即此时二面角B-A 1C-D 的值是120︒. …………………………………………………9分 ⑵ 若线段A 1C 上存在一点P ，使得 A 1C ⊥平面BPD ，则A 1C ⊥BD ……………10分 又A 1A ⊥平面ABCD,所以A 1A ⊥BD ，所以BD ⊥平面A 1AC所以BD ⊥AC …………………………………………………………………12分 底面四边形ABCD 为正方形，即只有ABCD 为正方形时，线段A 1C 上存在点P 满足要求，否则不存在由⑴知，所求点P 即为BM ⊥A 1C 的垂足M此时，2111A B A P AC ===……………………………………………………14分 法二：根据题意可知，AA 1, AB,AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：⑴长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭……………………2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1 ………………………………3分 所以当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形 ……4分 则()()()()(110,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,A B C A B BC =-=设平面A 1BC 的法向量(),,m x y z =，则00x z y -=⎧⎨=⎩取1x z ==，得：()1,0,1m = ………………6分 同理可得平面A 1CD 的法向量()0,1,1n = ……7分所以，1cos ,2m n m n m n⋅==⋅ ………………8分 又二面角B-A 1C-D 为钝角，故值是120︒.…………9分（也可以通过证明B 1A ⊥平面A 1BC 写出平面A 1BC 的法向量）⑵ 根据题意有()()(),0,0,,2,0,0,2,0B t C t t D t --，若线段A 1C 上存在一点P 满足要求，不妨11A P AC λ=，可得()(),2,1P t t λλλ--()()(),2,1,,2,0BP t t t BD t t λλλ=---=--1100BP AC BD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即：()()()()22221020t t t t t t λλλ⎧-+---=⎪⎨-+-=⎪⎩…………………………11分 解得：21,3t λ== …………………………………………………………13分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ，位置是线段A 1C 上1:2:1A P PC =处. ………………………………………………………14分18.解：⑴ 12241233nn n n a a a a +++=-=++ ……………………………………2分 ()()11123111112221122n n n n n n n n a a b b a a a a +++++====+=+++++ …………………6分又112b =，所以数列{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列，2n nb = …………8分（也可以求出12341234,,,2222b b b b ====，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分数学归纳法证明过程如下： ① 当1n =时，112b =符合通项公式2n n b =；② 假设当n k =时猜想成立，即112k k kb a ==+，21k a k =-那么当1n k =+时1211113113k k k a k k a a k k +----===++-+，1111111211k k k b k a k+++===-+++即1n k =+时猜想也能成立综合①②可知，对任意的*n N ∈都有2n n b =. ⑵ 当1n =时，左边=21147b =<不等式成立；……………………………………9分 当2n =时，左边=2212114157b b +=+=<不等式成立； …………………………10分 当3n ≥时，()2214411411n b n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--⎝⎭左边=22212111111111414()23341n b b b n n+++<++-+-++-- 11454()772n n=+-=-<不等式成立 …………………………………………………………………………14分19.解：⑴ 设(),P x y ，因为(),01AP AB λλ=≤≤，所以444x y λλ-=-⎧⎨=⎩ 消去λ并注意到01λ≤≤可得动点P 的轨迹C 即为线段AB ，方程为：()40,04x y x +-=≤≤ ……5分，不写出x 的范围扣1分⑵ 设()()()00,,,4,04N x y P t t t -≤≤，则004(,)22x t y tM ++- 方程组22200222004()()22x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨++-+=⎪⎩即2220022200()(4)4x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨+++-=⎪⎩有解 ……7分 法一：将方程组两式相减得：()()22200224430tx t y t t r +-++--= ………8分 原方程组有解等价于点()0,0到直线()()222:224430l tx t y t t r +-++--=的距离小于或等于r r ≤ ……………………………………9分整理得：()()()22222221683444t t r t t r +--≤+-即()()22222816281690t t rtt r -+--+-≤也就是，22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 …………………10分根据二次函数22816y t t =-+的图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2max281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+= ………………………12分所以21689r ≤≤，43r ≤≤ ……………………………………………………13分特别的，当r =228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P 没有合乎要求的直线，故r ≠，即所求r 的范围为43r ⎡∈⎢⎣. ……14分法二：上述方程组有解即以()0,0为圆心，r 为半径的圆与以(),4t t --为圆心，2r 为半径的圆有公共点，故对于任意的04t ≤≤都有3r r 成立 ……9分整理得：22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2max281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，43r ≤≤ ……………………………………………………13分特别的，当r =228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P 没有合乎要求的直线，故r ≠，即所求r 的范围为43r ⎡∈⎢⎣. ……14分20.解：⑴函数()()ln f x x a ax =++的定义域为(),a -+∞，()1f x a x a'=++ ……1分当0a >时，原函数在区间(),a -+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值； 当0a =时，原函数在区间()0,+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值；…2分 当0a <时，令()10f x a x a '=+=+得：1x a a=-- …………………………3分11 当1(,)x a a a ∈---时，()0f x '>，原函数单调递增；当1(,)x a a∈--+∞时，()0f x '<，原函数单调递减 …………………………………………………………4分 所以()f x 的极大值为()21ln 1f a a a a ⎛⎫--=---- ⎪⎝⎭…………………………5分 ⑵ 由⑴知，当()1,0a ∈-时 ()()221,(,)11,(,)a a x a a x a a g x a f x a a a x a a x a x aa ⎧+∈---⎪⎪+'==+=⎨+⎪--∈--+∞⎪+⎩ ………………6分 函数图像上存在符合要求的两点，必须12116x a x a<<--<<，得：132a -<<-……8分 当1(,)x a a a ∈---时，()2a g x a x a=++，函数在点1P 处的切线斜率为()121ak x a =-+； 当1(,)x a a ∈--+∞时，()2a g x a x a=--+，函数在点2P 处的切线斜率为()222ak x a =+； ………………………………………………………………10分 函数图像在两点处切线互相垂直即为：()()22121a a x a x a ⋅=++，即()()22212x a x a a ++= …………………………11分 因为121016a x a x a a a <+<+<-<+<+，故上式即为()()12x a x a a ++=- …12分 所以()()1116a a a a a a⎧-+<-⎪⎪⎨⎪-+>-⎪⎩，解得：122a -<< 综合得：所求a的取值范围是(a ∈-. ………………………………14分。