2012-2013线性代数检测题答案
中国农业大学2012-2013(秋)《线性代数》期末考试试题解析
2012~2013学年秋季学期线性代数（B）课程考试试题解析一．填空题（本题满分15分，共5道小题，每道小题3分）1．设A 为3阶方阵，且||3A =，A *为A 的伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得到B ，则||BA *=27-．解析：||BA *=()2*-3-27==B A A注释本题知识点：1.互换行列式的两行，行列式改变符号。
2.*||=n -1AA 2．A 为n 阶矩阵，且()R A E n -<，则A 的一个特征值为1．解析：由于()R A E n -<，所以||=0A -E ，所以A 的一个特征值为1.注释本题知识点：1.()R A E n -<，知道A -E 不可逆，其行列式值为0.2.特征值的定义。
3．设A 为34⨯矩阵，()3R A =，且已知非齐次线性方程组Ax b =的两个解为121211,0124ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则非齐次线性方程组Ax b =的通解为1112()0122k k R ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解析：由于()3R A =，对应的齐次线性方程组的基础解系有一个解向量，2112-=-12ηη⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭就是对应的齐次线性方程组的基础解系。
1η是非齐次线性方程组的特解。
所以非齐次线性方程组Ax b =的通解为k k R 1112()0122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注释本题知识点：1.基础解系的概念2.非齐次线性方程组解的构成。
4.若2221231231223(,,)2+2f x x x x x x x x tx x =+++为正定二次型，则t．解析：正定二次型对应的矩阵为t2t 22101101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，它的各阶顺序主子大于零，所以t 2t 22101101>21102t->，所以t 注释本题知识点：1.二次型对应的矩阵是对称矩阵。
线性代数2012-2013历年(攀枝花学院,附答案)
2012～2013 学年度第 二 学期《线性代数》试卷（ A 卷）适用年级专业：2012级理工、经管类本科教学班 考 试 形 式：（ ）开卷、（ √ ）闭卷二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整、准确填写，填写不清者，成绩不计。
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）：1、排列5173642的逆序数为_________________.2、已知四阶行列式D 的第二行元素分别为 1,0,2,1-，他们的代数余子式分别为2,2,1,1-，则 行列式D =____________.3、设A 为4阶方阵，且2A =，则*A -= .4、设A 是43⨯矩阵，且线性方程组Ax b =有唯一解，则A 的列向量组线性 .5、如果一个二次型的标准型为2221235x x x -+，则此二次型的秩为 . 二、选择题（每题 2分，共 10 分，每题只有一个正确答案）：1、若n 阶矩阵A 互换第一, 二行后得矩阵B , 则必有（ ）.()0=+B A A ； ()0=AB B ； ()0=+B A C ； ()0=AB D .2、设,,A B C 为同阶方阵，E 为单位矩阵，若E ABC =，则下列各式中总成立的是（ ）.()A BCA E =； ()B A C B E =； ()C BAC E =； ()D CBA E =.3、 设0Ax =是非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次线性方程组， 那么下列叙述正确的是（ ）.()A 如果0Ax =只有零解，那么b Ax =有唯一解; ()B 如果0Ax =有非零解，那么b Ax =有无穷多个解;()C 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =只有零解; ()D 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =有非零解.4、设4阶矩阵A 的特征值为2、2、3、-1，则A =（ ）.()A 6； ()B -6； ()C 12； ()D -12.5、设矩阵A 为正交阵，下列说法错误的是（ ）.()A T A A =； ()B E AA T =； ()C A 的列向量为单位向量；()D 11A =-或.三、计算题（每题8分，共 32分）：1、计算行列式 1123112312131231D --=--.2、已知11112121,3321111A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 求TB A .3、已知2110112132X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求矩阵X .4、已知齐次线性方程组0Ax =有非零解, 其中142t A -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求t 的值.四、证明题（共8分）已知向量组321,,βββ线性无关，若向量组321,,ααα满足：3211βββα+-= ，3212βββα-+= ，3213βββα++-= ；判断向量组321,,ααα的线性相关性.五、（共 10分）求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=6063324208421221A 对应的列向量组的秩，并 求一个最大无关组 .六、（共 10分）设三元非齐次线性方程组b Ax =,若()2R A =,且12(1,1,2,0),(0,1,1,0)T T ηη=-=是两个已知解向量,求b Ax =的通解.七、（共 10分）已知方阵0111110a A b ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为1231, 2.λλλ===-1）求b a ,的值；2）判断A 是否可以对角化.八、（共 10分）已知二次型：323121232221321662355),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++= ，用正交变换化此二次型为标准型，并求正交变换矩阵Q .一、填空题[三基类] [教师答题时间： 2分钟]（每小题 2分，共 10 分）1、12;2、1;3、8;4、无关;5、3.二、选择题[三基类] [教师答题时间： 2分钟]（每题2分，共 10分）1、C ；2、A;3、D ；4、D ；5、A ；三、计算题[三基类][教师答题时间： 15 分钟]（每题8分，共32分），1、解：由1123112312131231D --=--=11231123512131231--- …………（2分）……………（6分）2、解： TB A =111131*********⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭…………（3分）283770-⎛⎫=⎪⎝⎭. …………（5分）3、解： 12110112132X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭…………（3分） 211011121323-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭…………（3分） 41135123⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. ……………（2分）4、解： 由 1042t A -==, …………（5分）即 240t +=, …………（2分）得 2t =-. ……………（1分）四、证明题[三基类] [教师答题时间： 5分钟]（8分）证明：由123123111(,,)(,,)111111αααβββ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， ……（2分） 由04≠=A ，A 可逆，故两个向量组可相互线性表出,因此两个向量组等价. ………（3分） 由向量组321,,βββ线性无关，得123(,,)3R βββ=,有123123(,,)(,,)3R R αααβββ==, ………（2分） 故向量组321,,ααα线性无关 . ………（1分）五、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解：由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−0000000012001221rA ，……（4分）故向量组的秩为2， ……（3分）最大无关组为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3221和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0282. ……（3分）六、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解: 由()2R A =得0Ax =的基础解系含一个非零向量, ......（4分）故T T T（4分） （2分）七、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解：1）由已知, 0;1 2.b A a b =⎧⎪⎨=--=-⎪⎩……………（3分）得 1,0.a b =-= ………(2分)2）当1λ=时，由111111111000111000A E λ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， ……（2分） 得 ()1R A E -=，故1λ=对应两个线性无关的特征向量，……(2分) 故 A 可以对角化. …………（1分）八、 [综合型] [教师答题时间：10分钟]（10分）解: 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=333351315A ………………………………(2分)令0)9)(4(=--=-λλλλE A 得9,4,0321===λλλ。
海南大学2012-2013《线性代数》 试题(A卷)
海南大学2012-2013学年度第二学期试卷科目：（工科类）《线性代数》试题(A 卷)姓名： 学 号： 学院： 专业班级：时限： 120 分钟 考试形式：闭卷笔试所有试卷均配有答题纸，考生应将答案写在答题纸上，写在试卷上一律无效大题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一、选择题：(每题3分，共15分)1.行列式0100002000034000=_____-24_____2. 设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的行列式为0___3. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，若m n >，则AB =____0___4.若n 元齐次线性方程组AX O =有n 个线性无关的解向量，则A =O5. 设三阶方阵A 有三个特征值1232,3,λλλ==，若 A =24，则3λ=4二、填空题（每题3分，共15分）1. 设A 为n 阶方阵，且AX O =有非零解，则矩阵A 必有一个特征值为（ C ）(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) 无法确定得分 阅卷教师得分 阅卷教师2. 设矩阵A 、B 都为n 阶方阵A =2，B =-3，则13A B *-＝（ D ）(A) 6 (B) 6n (C) -6 (D) 16n --3.若可逆方阵A 满足2A A = ，则 A =（ A ）(A)1 (B) 0 (C) -1 (D)无法确定4. 设三阶行列式D 的第三行元素依次是1、-1、1，它们的代数余子式依次是2、8、-5，则D =（ B ） （A ） 11 (B) -11 (C) 5 (D)-55. n 元非齐次线性方程组AX β=有解，其中A 为(1)n n +⨯的矩阵，则A β=（ A ）(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 无法确定三 、计算题（14分）求非齐次线性方程组1234123412343133445980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解。
北京理工大学2012级线性代数(A)A卷及答案
课程编号：A073122 北京理工大学2012-2013学年第一学期线性代数A 试题 A 卷班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________一、（10分）已知3阶方阵123035002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算行列式*123A I+。
二、（10分） 设423110, 2123A AX A X ⎛⎫ ⎪⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭, 求X 。
三、（10分）已知线性空间4][x F 的自然基为231,,,x x x 。
(1) 证明：2231,12,123,1234x x x x x x ++++++为4][x F 的一个基；(2) 求自然基231,,,x x x 到基2231,12,123,1234x x x x x x ++++++的过渡矩阵，以及23()1h x x x x =--+在后一个基下的坐标。
四、（10分）已知123(1,0,1), (2,2,0), (0,1,1)TTTααα=-==。
(1) 求向量组123,,ααα的一个极大无关组；(2) 求生成子空间123(,,)L ααα的一个标准正交基。
五、（10分）设A 是5阶方阵，且已知存在5阶可逆矩阵P ，使得111112P AP --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭试写出A 的初等因子，同时判断P 的哪几列是A 的特征向量。
六、（10分）在多项式空间4[]R x 中定义变换σ：233012330201()()a a x a x a x a a a x a a x σ+++=-+++（1）证明：σ是4[]R x 上的线性变换；（2）求σ在4[]R x 的自然基231,,,x x x 下的矩阵，并判断σ是否可逆。
七、（10分）假设A 是m n ⨯的实矩阵，证明：()()TA A A =秩秩八 (10分）已知(1,1,1)T ξ=-是矩阵2125312A a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的一个特征向量， （1）确定参数a , b 及特征向量ξ所对应的特征值； （2）判断A 是否可以相似对角化，说明理由。
2012-2013-1线性代数A试卷与答案
,,s、向量组的秩为r，则向量组中三、计算题（每题12分，共60分）1、计算行列式：32142143143243212、已知=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111121X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛523231141，求矩阵X3、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
4、求向量组1234(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(1,2,3)αααα====-的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.5、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010221A 的特征值与特征向量.分）若123,,ξξξ是方程组0AX =的基础解系，证明1323122,2,2ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的基础解系.2012-2013-1线性代数A 参考答案与评分标准一、 判断题（每题2分，共20分）二、填空题（每空2分，共10分）1、-2；2、43、41； 4、1； 5、111,,632三、计算题（每题12分，共60分）1、解：原式=32110214101431043210……………………………………………（2分） =111022203110432110321121411431432110------= …………………………（6分） =11314021113112011111131120----=----=---- …………（10分）=160113140=- ……………………………………………………（12分）2、解：1141121132111325101X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----------------------4分 121100121100111010012110101001022101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1310011031202201211001001100212111001122⎡⎤--⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎢⎥⎣⎦--------------10分131221141223113201102232511465122⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦--------------------------12分 3、解：先对增广矩阵进行初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------000000000012210032112442012210122100321121611178231461203211--------------------6分同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+1220324324321x x x x x x x ，一个特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011-----------------------8分选4x 为自由未知量，得到齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1105----------------------10分原方程组的通解为+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101211k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11052k +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011-------------------------12分 4、解:秩为 3，--------------------------6分一个极大线性无关组为123,,ααα. --------------------------10分412335αααα=-+-；--------------------------12分5、解:特征方程为|λE －A|=1010221---+λλλ=(λ+1) (λ－1)2 =0，------4分 ∴A 的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共28分)一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，则行列式a a a a a a 111213212223++等于（ D ）A. m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A -1等于（B ）A. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ B 10001200013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21000100031D 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（B ）A. –6B. 6C. 2D. –2 4.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ D ） A. A =0 B. B ≠C 时A =0 C. A ≠0时B =C D. |A |≠0时B =C 5.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ D ）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 7.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ C ） A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0 D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ A ）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 η1-η2是Ax=b 的一个解 9.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ A ） A.秩(A )<n B.秩(A )=n -1 =0D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ B ）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（ A ）A. k ≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ B ） A.|A|2必为1 B.|A |必为1 =A T 的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（ D ）与B 相似 B. A 与B 不等价 C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ C ）A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分 非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数测试试卷及答案
线性代数（A卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分）1. 设﹑是任意阶方阵，那么下列等式必成立的是（）(A）（B) （C） (D）2。
如果元齐次线性方程组有基础解系并且基础解系含有个解向量，那么矩阵的秩为（）（A） (B）（C) （D）以上答案都不正确3.如果三阶方阵的特征值为，那么及分别等于( ）（A）（B）（C) (D）4。
设实二次型的矩阵为,那么（）(A) （B) (C） (D)5.若方阵A的行列式,则（）（A） A的行向量组和列向量组均线性相关 (B）A的行向量组线性相关，列向量组线性无关（C） A的行向量组和列向量组均线性无关 (D）A的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题（每小题3分，共30分)1 如果行列式有两列的元对应成比例，那么该行列式等于；2. 设,是的伴随矩阵，则；3. 设,是非齐次线性方程组的解，若也是它的解，那么；4. 设向量与向量正交，则；5。
设为正交矩阵,则；6。
设是互不相同的三个数，则行列式；7. 要使向量组线性相关，则；8. 三阶可逆矩阵的特征值分别为,那么的特征值分别为；9. 若二次型是正定的，则的取值范围为；10。
设为阶方阵，且满足，这里为阶单位矩阵，那么.三﹑计算题（每小题9分，共27分）1. 已知,,求矩阵使之满足。
2. 求行列式的值。
3 求向量组的一个最大无关组和秩.四﹑(10分）设有齐次线性方程组问当取何值时, 上述方程组(1）有唯一的零解﹔（2）有无穷多个解，并求出这些解.五﹑（12分）求一个正交变换，把下列二次型化成标准形：.六﹑（6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为。
线性代数(A卷）答案一﹑1。
D 2。
C 3。
B 4. A 5。
A二﹑1。
0 2. 3。
1 4。
3 5。
1或—16. 7。
0 8。
9。
10。
三﹑1。
解由得。
(2分）下面求。
由于(4分)而. (7分)所以。
（9分）2。
自学考试线性代数2012至2015真题和答案
10．设A= ，b= ，若非齐次线性方程组Ax=b有解，则增广矩阵 的行列式 =__________．
11．齐次线性方程组x1+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为__________．
12．设向量 ，则 的长度 =__________．
13．已知-2是矩阵A= 的特征值，则数x=__________．
19．求向量组 的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.
20．已知齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系为 ，求r(A)及该齐次线性方程组.
21．设向量组 .求一个非零向量 ，使得 与 均正交.
22．用配方法化二次型 为标准形，并写出所用的可逆性变换.
A． B．
C． D．
10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（）
A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B．正定矩阵的行列式一定小于零
C．正定矩阵的行列式一定大于零D．正定矩阵的差一定是正定矩阵
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11．设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det ((AB)3)=__________．
16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．
17．设 是齐次线性方程组Ax=0的解，而 是非齐次线性方程组Ax=b的解，则 =__________．
18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．
19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．
2012-2013-1-线性代数A 期末试卷及答案
②若秩 (A) ≥ 秩 (B) ，则 Ax = 0 的解均是 Bx = 0 的解；
③若 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，则秩 (A) = 秩 (B) ；
④若秩 (A) = 秩 (B) ，则 AX = 0 与 BX = 0 同解。
以上命题中正确的是
。
（A）①②
（B）①③
（C）②④
（D）③④
5. 方阵 A 与 B 相似的充分必要条件是
北京科技大学 2012--2013 学年第一学期
线性代数 试卷（A 卷）
院(系)
班级
学号
姓名
试卷卷面成绩
题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
得
分
评
阅
审
核
小计
占课程 考核成 绩 70%
平时 成绩 占 30%
课程考 核成绩
注意事项： （1）本试卷共八道大题，共八页，请认真核对。 （2）正确填写学院、班级、姓名、学号等个人信息，空填或错填的试卷为无效试卷。 （3）请使用钢笔、签字笔或者圆珠笔答卷，使用铅笔答卷无效。
(A)2000
(B)-2000
。 (C)2300
(D)-2300
3.设向量组α1,α2 ,α3 线性无关，向量 β1 可由α1,α2 ,α3 线性表示，而向量 β2 不能由α1,α2 ,α3 线性表示，
则对于任意常数 k ，必有
。
（A）α1,α2 ,α3, kβ1 + β2 线性无关；
（B）α1,α2 ,α3, kβ1 + β2 线性相关；
⎟ ⎟ ⎟
,
α
3
⎜
=
⎜ ⎜
0 7
⎟
20122013年理工线性代数考试A卷答案
《线性代数》考试 A 卷答案及评分标准教 2012 - 2013学年第一学期 线性代数（理科）课程试题课程类别必修［V ］选修［］ 师考试方式填授课教师开卷［］闭卷［V ］ 写 考试时间2013年1月日姓名试卷类别（A 、B …）[A ]共8页1.已知A,B 均为三阶矩阵,且A ( , , ), B ( , , ), 及| A| 2,A 2B 72 .2.设A,B 均为三阶矩阵,且A 4, B2, A *为矩阵A 的伴随矩阵,则行列式x 1 kx 2 x 3 02x 1 x 2 x 30只有0解,则k 应满足的条件就是 kx 2 3X 38. 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,则行列式4A 1 E 39.二次型 f (X 1,X 2,X 3) x ； 2X 1X 2 2X |的是 y j £ y ；规范形就(3B) 1A8 273.设矩阵A2 1 ,E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足BA B 2E ,则矩阵 1 2 1B1 1、14、设矩阵A 满足A 2A 4E 得分评阅人填空题（共10小题,每小题2分,共20分）3,则1?(A 2E)0,则(A E)5.齐次线性方程组6.设向量组 (1,0,1几 (2,k, 1)T, y （1,1, 4）T 线性相关，则k 7.设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式A 0,则矩阵A 的秩为丄 _______10.当t 满足0 t 1 时，二次型f (X1, X2, X3) X2 x；tx；2tx1x2为正定1、 若a 15a 42a 3j a 21a k4就是五阶行列式A 的一项(除去符号),则有(B )(A) j3, k 5,此项为正 (B) j 3, k 5,此项为负(C) j5, k3,此项为正(D)以上全不对2. 若三阶行列式D 的第三行的元素依次为1、2、3,它们的余子式分别为2、3、4,则行列式D =( C ) (A) -8(B) -20(C) 8(D) 203.已知向量组1, 2, 3线性相关，2 ,3,4线性无关，则：(A ) (A)1必能由2, 3, 4线性表示。
线性代数练习题答案
线性代数练习题答案一、选择题1. 设矩阵A的秩为2，矩阵B的秩为1，则矩阵AB的秩为：A. 1B. 2C. 0D. 32. 向量组a1, a2, a3线性无关的充分必要条件是：A. 它们互不相同B. 它们不共面C. 它们是单位向量D. 它们是正交向量3. 一个3阶方阵A的特征值之和等于：A. A的迹B. A的行列式C. A的秩D. A的逆矩阵的行列式4. 若矩阵A是可逆的，则下列哪个矩阵也是可逆的：A. A的转置矩阵B. A的伴随矩阵C. A的逆矩阵D. A的行列式二、填空题1. 设矩阵A的行列式为-3，则矩阵A的伴随矩阵的行列式为______。
2. 若向量组{b1, b2, b3}能由向量组{a1, a2}线性表示，且a1=(1,2,-1)^T，a2=(0,1,3)^T，b1=(2,3,-1)^T，b2=(1,1,4)^T，则b3=(3,4,-2)^T可以表示为______。
三、简答题1. 简述矩阵的特征值和特征向量的概念，并说明它们在矩阵理论中的重要性。
2. 解释什么是矩阵的正交化和单位化，并说明它们在解决向量空间问题中的应用。
四、证明题1. 证明：若矩阵A是正定的，则其逆矩阵也是正定的。
2. 证明：若两个向量a和b是正交的，则它们对应的投影矩阵的乘积为零矩阵。
五、计算题1. 计算以下矩阵的行列式：\[ A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} \]2. 设矩阵B为：\[ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \] 求矩阵B的特征值和特征向量。
3. 已知向量v=(1,1,1)^T，求在向量v方向上的投影矩阵P_v。
六、应用题1. 某公司需要解决一个线性方程组问题，方程组如下：\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 5 \\ 3x_1 + x_2 + 4x_3 = 8 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 4 \end{cases} \]请使用高斯消元法求解该方程组。
线性代数考试题库及答案(一)
线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。
项。
4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。
9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。
(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。
2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。
改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
《线性代数》练习题库参考答案
《线性代数》练习测试题库一.选择题1、=-0000000000121nn a a a a （ B ）A. n n a a a 21)1(-B. n n a a a 211)1(+-C. n a a a 212、n 阶行列式0000000000a a a a= （ B ）A.na B. (1)2(1)n n n a -- C. (1)n n a -3、n21＝ （ B ）A. (1)!nn - B. (1)2(1)!n n n -- C. 1(1)!n n +-4、 A 是n 阶方阵，m, l 是非负整数，以下说法不正确的是 （ C ）. A. ()m l mlA A = B. mlm lA A A+⋅= C. m m mB A AB =)(5、A 、B 分别为m n ⨯、s t ⨯矩阵, ACB 有意义的条件是 （ C ） A. C 为m t ⨯矩阵； B. C 为n t ⨯矩阵； C. C 为n s ⨯矩阵6、下面不一定为方阵的是 （C ）A.对称矩阵.B.可逆矩阵.C. 线性方程组的系数矩阵.7、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 的伴随矩阵是 （A ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 8、 分块矩阵 00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（其中A 、B 为可逆矩阵）的逆矩阵是 （ A ）A. 1100A B --⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 00BA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、线性方程组Ax b = 有唯一解的条件是 （ A ）A.()()r A r A b A ==的列数B.()()r A r A b = .C.()()r A r A b A ==的行数10、线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211a ax x x a x ax x x x ax 有唯一解的条件是 （A ）A. 2,1-≠aB. 21-==a a 或.C. 1≠a11、 的是则下面向量组线性无关），，，＝（），，，＝（)6,2,4(054312--=--γβα（B ）A. 0，，βα B. γβ， C. γα， 12、设A 为正交矩阵，下面结论中错误的是 （ C ）A. A T 也为正交矩阵.B. A -1也为正交矩阵.C. 总有 1A =-13、二次型()233221214321342,,,,x x x x x x x x x x f --+=的矩阵为 （ C ）A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---340402021B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---320201011 C 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000032002010011 14、设r 是实二次型),,,(21n x x x f 的秩，p 是二次型的正惯性指数，q 是二次型的负惯性指数，s 是二次型的符号差，那么 （ B ）A. q p r -=；B. q p r +=；C. q p s +=； 15、下面二次型中正定的是 （ B ）A. 21321),,(x x x x x f =B.2322213212),,(x x x x x x f ++= C.22213212),,(x x x x x f +=二、判断题1、若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0. （ ⨯ ）2、A 与B 都是3×2矩阵，则A 与B 的乘积也是3×2矩阵。
2013级线性代数期末考试题(A卷)答案
2013—2014学年第一学期线性代数课程期末考试试卷参考答案（A 卷）一、（每小题2分，共8小题）1 错；2 对；3 对；4 C ；5 B ；6 B ；7 A ；8 B二、行列式计算 （本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）1、计算四阶行列式1110110110110111D =.解：根据行列式的性质，原行列式等于：1(234)21311/3414*3/211103333110111012101110110111011111111111110100103*3*21011010001111003*(1)*1*(1)*(1)*(1)32r r r r r r r r r r r D +++---==-==--=----=-分分分2、计算n 阶行列式11111222(2)1233123n n>.解：根据行列式的性质，原行列式等于：12111110111001100011n n r r r r ---==原式6分2分三、矩阵X ，A ，B 满足3AX X B =+,其中 （本题共8分）301050303A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222369B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵X 。
解：由 3AX X B =+ 可得：(3)A E X B -= 2分又因为 0010203003A E ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭-= 且它是可逆矩阵 1分所以 1(3)X A E B -=- 1分通过计算可得：1001/301/20100(3)A E -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭- 2分所以 123111111X ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭= 2分四、当a 取何值时，线性方程组：1232312343133(1)0x x x ax x x x a x ---+==+++=⎧⎪⎨⎪⎩无解，有惟一解，有无穷多解？并在方程组有无穷多解时求其通解。
（本题14分） 解：方程组的增广矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---01313301141a a 。
线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案第一局部选择题 (共28分)一、单项选择题〔本大题共14小题，每题2分，共28分〕在每题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号。
错选或未选均无分。
1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，那么行列式a a a a a a 111213212223++等于〔 〕 A.m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，那么A -1等于〔 〕 A. 13000120001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A の伴随矩阵，那么A *中位于〔1，2〕の元素是〔 〕 A.–6 B. 6C. 2D.–24.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，那么必有〔 〕A.A =0B. B ≠C 时A =0C.A ≠0时B =CD. |A |≠0时B =C5.3×4矩阵A の行向量组线性无关，那么秩〔A T 〕等于〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，那么〔 〕A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs 〔αs +βs 〕=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs 〔αs -βs 〕=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 和不全为0の数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A の秩为r ，那么A 中〔 〕A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，那么以下结论错误の是〔 〕A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=b の一个解 C.η1-η2是Ax=0の一个解 D.2η1-η2是Ax=b の一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，那么必有〔 〕A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，以下述中正确の是〔 〕A.如存在数λ和向量α使A α=λα，那么α是A の属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，那么λ是A の特征值C.A の2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A の3个互不一样の特征值，α1，α2，α3依次是A の属于λ1，λ2，λ3の特征向量，那么α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A の特征方程の3重根，A の属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k ，那么必有〔 〕A. k ≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A 是正交矩阵，那么以下结论错误の是〔 〕A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A の行〔列〕向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .那么〔 〕A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有一样の特征值D. A 与B 合同14.以下矩阵中是正定矩阵の为〔 〕A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二局部 非选择题〔共72分〕二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕不写解答过程，将正确の答案写在每题の空格。
线性代数习题(2012-2013-1)修订
第一章 行列式更多线性代数答案请登陆“黄玉成sky ”：一、 温习巩固。
1. 132213321；2. 492357816；3. 00a bac b c ---；4.2111121111211112；5.321103221033210；6.1234214334124321；；7.111110110110111；8. 2704232112131412-；9.152321353140422-----；10.dcb a 10110011001---；11. yy x x-+-+1111111111111111；12. 2341134710x x x x x x x x x ---+-----；13. 请指明每下列行列式计算中每一步所依据的行列式的性质.1)2)1112111211111212212221222122222121223)4)1112112221122221000000000000.a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+=+++=+=-；二、练习提高1.求证:00000000a bc d a b c dy x y x w z w z=.；2.用行列式性质证明1211212212121111nnn nn na a aa b a aa ab a bb ba a a b++=+LLL LM M M O ML；3.用行列式性质证明a b c da e f gD b e h ic f h jd g i j-==---------.；4.今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。
羊主曰：“我羊食半马”。
马主曰：“我马食半牛”。
今欲衰偿之，问各出几何？5. 问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？三、 思考与深化1. 证明对于任何实数123,,λλλ及三阶行列式总有111123222333a b ca b ca b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c λλλλλλλλλλλλ''''''''''''''''''++=++''''''''''''''''''''''''''''''''''''2. 小张同学说，二阶行列式都为零，理由如下：21211200r r r r r r a b a c b d a c b d c dc ad b-------===--哪里出了问题？第二章 矩阵一、温习巩固 1． 设112302A -⎛⎫=⎪⎝⎭，430211B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，121051C --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求（1）23A B C -+；（2）32A B -；（3）TB C ；（4）若有2A X B +=，求X 。
线性代数[本]2012-2013-1(19-A)试卷参考答案
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重庆科技学院20 12/20 13学年第1学期试卷参考答案及评分标准(19-A 卷)课程名称： 线性代数 适用专业/年级：考试方式： 闭卷笔试 卷面总分： 100 分一、填空题：（本题共9小题，每小题4分，共36分）1、(1)(2)2n n --；2、15301518126131811⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭； 3、1321344213243142,a a a a a a a a -； 4、13-； 5、线性相关； 6、(1)(2)212(1)n n n a a a ---…； 7、－6； 8.1(4)10A E -- ； 9、2. 二、选择题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）10.C ； 11.B ； 12.D ； 13、A ； 14、D.三、计算题：（本题共4小题，共41分）15(7分)解：(1)23110002010002200(1)0220021111011n n n n n n n nn n+----+==-----原式(4分)11(1)1(1)(1)!(1)(1)!22n n n n n n --+=⨯--=-+ ……………(2+1分) 16 (8分)解：由2TAX A X =+，即(2)TA E XA-= ………………(2分)由001|2|01010100A E -==-≠知(2)A E -可逆，于是1(2)T XA E A -=- ………………(2分)而223(2)110121A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1143(2)153164A E ---⎛⎫ ⎪-=-- ⎪⎪-⎝⎭ ………………(2分) 从而114341113318(2)1532121542016430320525T X A E A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=--=--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………(2分)17(16分) 解：对增广矩阵施行初等行变换13113112112112112113r r A λλλλλλλλ↔--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2131321121120110011001(1)(1)3(1)00(1)(2)3(1)r r r r r r λλλλλλλλλλλλλλ--+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+---+--⎝⎭⎝⎭………………(4分) 机械、勘察、储运、安全等2011级(1)若方程组无解，则()()R A R A ≠，(1)(2)03(1)0λλλ-+=--≠即2λ=-时方程组无解 ………………(1分)(2)若方程组有唯一解，则()()3R A R A == ………………(1分) 于是(1)(2)0λλ-+≠，即2,1λλ≠-≠时方程组有唯一解 ………………(1分) (3)若方程组有无穷多解，则()()R A R A =＜3，故有(1)(2)03(1)0λλλ-+=--=，即1λ=时方程组有无穷多解 ………………(1分)此时111200000000A -⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，得同解方程组1232x x x ++=- ………………(2分) 其一般解1232x x x =--- (23,x x 为自由未知量) ………………(2分)令230x x ==得其特解为*(2,0,0)T η=- ………………(1分)其导出组的一般解为123x x x =-- (23,x x 为自由未知量) ………………(1分)令231,0x x ==和230,1x x ==得其导出组的基础解系为12(1,1,0),(1,0,1)T T ξξ=-=-………………(1分)则12123112100010x x k k x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(其中12,k k 为任意常数) ………………(1分) 18(10分)解：100141001401025010250013600136123143200000456327700000A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………(4分)故12345(,,,,)3R ααααα=，123,,ααα为极大无关组 ……………(2+2分) 且4123512323,456αααααααα=++=++. ………………(2分)四、证明题：（本题共1小题，共8分）19(8分) 证明：设112212()0m m k k k k l αααββ+++++= ………………(1分)则0k=，否则，若0k ≠，2β可由121,,,,m αααβ线性表出，又1β可由12,,,m ααα线性表出，于是2β可由12,,,m ααα线性表出，与题设矛盾 ………………(3分)从而11220m m k k k ααα+++= ………………(1分)由12,,,m ααα线性无关知120m k k k ==== ………………(2分)于是120m k k k k =====，即1212,,,,m l αααββ+… 线性无关 ……………(1分)。
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1. 3 -， 2 ；2. (1)2(1)n n --， 120 .二．选择题1. (A).三．计算题1. 解：原式232(1)(5)4(5)(5)(6)(5)1130x x x x x x x x x x =------=--=-+.天津科技大学线性代数检测题§1.2~1.3参考答案一．填空题1. D -；2. 2或3 ；3. 20 -；4. 0 a b ==；5. 11112222()()a d b c a d b c --.二．选择题1. (D).三．计算题(1) 解：原式3132414212021202 4011701171801240033102022200006r r r r r r r r -+=----+----； (2) 解：111111111111111112340123012301231136100259001300131410200391903100001====. (3) 解：24243223212321232102000122(1)(1)4301301330133101011011r r ++-=-=-=； (4) 解：将第二、三、四列加到第一列上，得 原式10234102341131131034101131022210044104120222111004101230111---===⨯--=⨯----------10(4)(4)160=⨯-⨯-=； (5) 解：1212323242352108216382161602021105110541241213130412617205224130617r rr r r rr rr r --------=----+--+---------1620(8040)4025-=-=--+=-.(6) 解：1111111111112314013222225=0320132013201212121212121---+性质.1. 0 ， 0 .二．选择题1. (C).三．计算题1. 解：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即有1111110(1)(1)111101211211210a ab a a b b a b b b a b -===-=------故1a =或0b =.2. 解：1230121001D ==，10230121101D ==，21030022011D ==-，31200101001D ==故1x =，2y =-，1z =.天津科技大学线性代数第一章自测题参考答案一．填空题1. 02x x ≠≠且；2. 0；3. 10-；4. 5-；5. 0；6. 3；7. 4abcdef .二．计算题1.222213213513306(2)(6)(1)(2)(6)13200x x x x x x x x x x x x -=-=+--=-+-++-. 2. (1)11111111111102228111100221111002-==-----. (2)12341234123413410113011312142102130033112301110004--===-------. (3) 原式31128461642804616221101020112051627202516027---------==--=-=-----40=.(4)31010100100110(1)1011010010a aa a a a a a a a a a a a=+=+或221223310010010110101(1)(1)10101011010010a a a a a a a a a a a a a a+++--=-=+拉普拉斯定理.天津科技大学线性代数检测题§2.1~2.2参考答案一．填空题1. 1 1⎛⎫ ⎪⎝⎭；2. 0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ，1052010⎛⎫ ⎪--⎝⎭，0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ；3. 200 010003nn ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4. 1269 846201015--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 5.=AB BA .二．选择题1. (C)；2. (D)；3. (D)；4. (B).三．计算题1. 解：100223032101414541010⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 2. 解：2111130212103⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，2()37f =--A E A A 1011307737012103147--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四．证明题证：由2=A A ，2=B B ，知222()+=+++=+++A B A B AB BA A B AB BA . 故2()+=+A B A B 的充要条件是+=AB BA O ，即=-AB BA .天津科技大学线性代数检测题§2.3参考答案一．填空题1. 111432-⎛⎫⎪⎝⎭； 2. 8 -.二．选择题1. (B)；2. (D).三．计算题1. 解：(1) 101110212214235121133253028920T -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ； (2) 3101(3)27214270.3325-=-=-=--A A天津科技大学线性代数检测题§2.4~2.5参考答案一．填空题1. 1 2； 2. 2 ； 3. ()* TA .二．选择题1. (A)；2. (C)三．计算题1. 解：(1)cos sin 1sin cos αααα=--，*cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭， 故 1cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. (2) 0016423110=-，*001312423314110600--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故 111100131226314233141126263110600100-⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭. (3) 1212342541-=--，*121420342136154132142--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故 1210121420113134213613222541321421671--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭.2. 解：2=A ，1111112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，3=B ，1300120131230-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，因此1157153113316---⎛⎫== ⎪-⎝⎭X A CB . （注：应先判断矩阵,A B 的可逆性，再得出11--=X A CB ）四．证明题证：由 223(4)(2)5=+-=+-+O A A E A E A E E ，知 1(4)(2)5⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭A E E A E ，故4+A E 可逆，且 11(4)(2)5-+=--A E A E .天津科技大学线性代数检测题§2.6参考答案一．填空题1. 0 ；2. D -.二．选择题1. (D).三．计算题1. 解：(1)()121100121100100210342 010021310021310|54100101465010011671---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E100210100210131020136101032200116710011671-⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→→---- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭--⎝⎭，故A 可逆，且1210131.3221671--⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A(2)()2311000721102151100113 5 010026011026011|151100115110010721102---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E151100102601173000122⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，故B 不可逆. (3)()10210102100102100101000020 010020010|211103001005101001055⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭C E 321000551010*********55⎛⎫- ⎪⎪⎪→ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，故C 可逆，且1604105010202C --⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2. 解：()121011************ 120211102111|5412301462200155--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B100101001002044010220015500155⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故A 可逆，且1102255-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭X A B .天津科技大学线性代数检测题§2.7参考答案一．填空题1. n E ；2. 3 .二．选择题1. (D)；2. (A)；3. (B)；4. (B).三．计算题1. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得121121363000242000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ，故()1r =A .2. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得21314112321123214436320565622101405656550327010121212r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪---⎪ ⎪=- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A 324234123210565620002000000r r r r r r --⎛⎫- ⎪-- ⎪=- ⎪⎪↔ ⎪⎝⎭ B 故()3r =A .3. 解：241121121212150122101212110610105101510c c λλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫↔ ⎪ ⎪ ⎪=→---++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭A1210121200393λλλλλ-⎛⎫ ⎪→+-- ⎪ ⎪--⎝⎭，从而当3λ≠时，()3r =A ；当3λ=时，()2r =A .天津科技大学线性代数第二章自测题参考答案一．填空题1. 359411⎛⎫ ⎪---⎝⎭； 2. E ； 3. 0或1 .二．选择题1. (B)；2. (D)；3. (A)；4. (C).三．计算题1. 解：由 135100112010222( )02 1 100111010222001011001011⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎪ ⎪→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭行A E ， 故A 可逆，且 1135222111222011-⎛⎫--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .2. 由2=+AX A X ，得(2)-=A E X A . 再由() 101100301522110 010 110 4322 012001014223⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换A E A知2-A E 可逆，且1522(2)432223---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A . 四．证明题1.证：由1*-=A A A ，故(1) 1111n n n ---*-====A A A A A A A A ； (2) ()()()()111211111n n -*-----***--==⋅=⋅=A A A A A A A A A A A A A(2n ≥).2. 证：“⇒”若()0r =A ，则=A O ，记100m ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ B ，()100n ⨯= C ，则显然=A BC ；若()1r =A ，则存在可逆矩阵P 、Q 使得()100100001000000m n ⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ PAQ ，或()11101000--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ A P Q ，记112100m b b b -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B P ，()()112100n c c c -==C Q ，则=A BC .“⇐”由()1r ≤B ，知()()()1r r r =≤≤A BC B .天津科技大学线性代数检测题§3.1参考答案一．填空题1. ()(|) r r <A A b ；2. ()(|) r r n =<A A b ；3. () r n =A ；4. 1-.二．选择题1. (C)；2. (C).三．计算题1. 解：对增广矩阵施行初等行变换：3314243411113111311131113 3 3 0110011001100110(|)1120003300330011422112031400440000r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪÷++----⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪--+-⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b 2313121001 010*********r r r r r r ⎛⎫+ ⎪⎪- ⎪⎪-⎝⎭()(|)3r r ==A A b ，故方程组有唯一解：111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .2. 解：233132104081040810408 (|)0251100251100100011112015110005110r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b31341000155010004100125r r r ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭由()(|)34r r ==<A A b ，故方程组有无穷多解. 由 142344050125x x x x x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 得142344445 0125x x xx x xx ⎧=-⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩，其中4x 为自由未知量，所以方程组的通解为40001250k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，k ∈R .3. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得121121120247009001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由()2r =A ，故方程组有非零解，由123200x x x +=⎧⎨=⎩知该方程组的通解为：210k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，k ∈R .4. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得11111111111111101001011111011001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 由方程组只有零解，故()3r =A ，从而1λ≠，即仅当1λ≠时方程组只有零解.天津科技大学线性代数检测题§3.2参考答案一．填空题1. 1122 n n a a a +++ εεε.二．选择题1. (A)；2. (D).三．计算题1. 解：()1231116111611161037014130141311250231100515---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ1116110310020141301010101001300130013--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为12323=-+βααα.2. 解：()1231230100123140101312200111225000TT T T⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααβ行故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为123=+-βααα.天津科技大学线性代数检测题§3.3参考答案一．填空题1. 有非零解 ；2. 0；3. 无关 ；4. 4 -；5. 120k k ==.二．选择题1. (B)；2. (C).三．计算题解：由12412431901312800045700⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，知()23r =<A ，故向量组123,,ααα线性相关. 四．证明题1. 证：设11232123323()(2)()k k k +++++++=αααααααα0， 则12112321233()(2)()k k k k k k k k +++++++=ααα0由向量组123, , ααα线性无关，知12123123 0200k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得1230k k k ===，故向量组123++ααα，1232++ααα，23+αα线性无关.2. 证：设1122s s k k k +++= A αAαAα0，则1122()s s k k k +++= A ααα0. 由A 为可逆矩阵，知11122s s k k k -+++== αααA 00. 再由12,,,s ααα线性无关，知120s k k k ==== ，即向量组12,,,s A αAαAα线性无关.天津科技大学线性代数检测题§3.4~3.5参考答案一．填空题1. 2或3 ；2. 1m -；3. 1n -；4. 1 .二．选择题1. (B).三．计算题1. 解：对()12345TT T T T =A ααααα进行初等行变换，得1031210312103011301103303011012172501101000114214060224200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123=+ααα，5124=++αααα.2. 对()12345=A ααααα进行初等行变换，得31002112451124524255406311161010122412400051000012⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭A 于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123122=+ααα，512422=--+αααα.3. 解：对()1234=A αααα进行初等行变换，得11241124112413610243024315106061220028311004620007a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由于向量组线性相关，即()4r <A ，必有2a =.或由112411241124136102430243014(2)15106061220028311004620007a a a a a a a --------====-=------+-+--A 得2a =.4. 解：()1234125312531010311301240120531100010001147100000000TTT T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 34r =<，故向量组线性相关，124, , ααα为一个极大无关组，并且3122=+ααα。