空间角

立体几何———空间角 1、角的概念及范围
1）异面直线所成的角的定义：过空间任一点分别引两异面直线的平行线，则此两相交直线
所成的锐角叫做异面直线所成的角，其范围为]2
,0(π
θ∈。

2）直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的身影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为
90；
（3）直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角为
0。

由此可知，直线和平面所成角的范围为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
2,
0π。

3）二面角的大小是通过其平面角来度量的，而二面角需要具有以下三个特点：（1）顶点在
棱上；（2）两边分别在两个面内；（3）与棱垂直。

2、求异面直线所成的角
求异面直线所成角的主要方法是通过平移转化法作出异面直线所成的角，然后利用三角形边角关系求角的大小。

根据定义，可以从空间任取一点作两异面直线的平行线，实际操作中，常取两异面直线之一的端点（只有两个端点，若不会观察，可用穷举法），引另一异面直线的平行线。

3、求直线与平面所成的角
求直线与平面所成角的一般过程是：（1）通过射影转化法，作出直线与平面所成角；（2）在三角形中求角的大小。

关于线线角，线面角，下面的两个结论经常用到。

1）已知PA 与PB 分别是平面α的垂线，在平面α内过斜足B 任意引一直线BC ，设θθθ=∠=∠=∠PBC ABC PBA ,,21，有21cos cos cos θθθ∙=。

2）经过一个角的顶点作这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。

4、求二面角
二面角的大小是用它的平面角来度量的，如何找出二面角，并且求出其大小，主要有以下几种方法：
1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角。

用定义法时，要认真观察图形的特征。

2）三垂线法：已知二面角中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角。

3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角。

由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。

4）射影法：利用面积身影公式S 射=S 投cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图中画出平面角来。

5、对于未给棱的二面角的求法，一般情况下，首先作棱，在有利条件下，利用射影公式求更方便。

二、对应练习
1、角的概念及范围
2、求异面直线所成的角
例1、如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角
的余弦值为
例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，求异面直线D 1B
和AC 所成的角的余弦值。

例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面
ABCD ，且1
2
P A A D D C ===，1AB =，M 是P B 的中点
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与P B 所成的角；
例4、 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABC D ，
3AB =
，1BC =，2PA =， E 为P D 的中点 求直线
AC 与P B 所成角的余弦值；
O
B B1
A1A C1
D C
D1C
A
B
D
P
3、求直线与平面所成的角
例1、在长方体AC 1中，AB=2，BC=CC 1=1，求 （1）CD 与面ABC 1D 1所成的角 （2）A 1C 与平面ABC 1D 1所成的角 （3）A 1C 与平面BC 1D 所成的角
例2、四面体ABCD 中，所有棱长都相等，M 为AD 的中点，求CM 与平面BCD 所成角的
余弦值。

例3、四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知
45A B C =
∠，2AB =，22BC =，3SA SB ==
．
（Ⅰ）证明SA BC ⊥；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．
例4、如图,2,1l l 是互相垂直的异面直线，M 、N 分别在2,1l l 上，且MN ⊥1l ，MN ⊥2l ，点
AB 在1l 上，C 在2l 上，AM=MB=MN 。

（1）证明：AC ⊥NB
（2）若∠ABC=60˚，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。

O B B1C1A1A
D
C
D1L2L1
A
B
M
C
N
D B C
A S
4、求二面角
例1、如图，已知棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，且⊥1AA 面ABCD ，
60=∠DAB ，1AA AD =，F 为棱1AA 的中点，M 为线段1BD 的中点，
（1）求证：⊥MF 面11B BDD ；
（2）求面1BFD 与面ABCD 所成二面角的大小．
例2、如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE 。

（1）求证：AE ⊥平面BCE ；
（2）求二面角B —AC —E 的大小；
例3、如图所示的几何体ABCDE 中,⊥DA 平面EAB ，
DA CB //,CB AB DA EA 2===，
AB EA ⊥，M 是EC 的中点. (Ⅰ)求证:EB DM ⊥; (Ⅱ)求二面角A BD M --的余弦值.
A B C D
A 1
B 1
C 1
D 1 F M O
E z
y x E
D C
B A
M
例4、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面
ABCD ，且1
2
P A A D D C ===
，1AB =，M 是P B 的中点
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；
（Ⅱ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小
例5、如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2， AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求二面角C-PA-B 的大小．
A
B
C D
P
E F。