解直角三角形练习题1
【期末优化训练】浙教版2022-2023学年九下数学第1章 解直角三角形 测试卷1
【期末优化训练】浙教版2022-2023学年九下数学第1章解直角三角形测试卷1考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．在Rt△ABC中，△C＝90°，若sin△A＝23，则cosB＝（）A．23B．√53C．2√55D．√522．在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且|tanB−√3|+(2sinA−√3)2=0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．某铁路路基的横断面是一个等腰梯形（如图），若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为（）A．7米B．9米C．12米D．15米4．如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q．当点Q也落在△O上时，cos△OQB的值等于（）A．12B．13C．14D．23（第3题）（第4题）（第5题）5．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A．1sinαB．1cosαC．sinαD．16．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．8tan20°B．8tan20°C．8sin20°D．8cos20°7．我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6=6R，则π≈l62R=3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°（第7题）（第8题）8．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，D为AC上一点，连接BD，将△BDC沿BD翻折，点C恰好落在AB上的点E处，连CE.若AD=7√22，tan∠ABD=13，则CD的长度为（）A．5√22B．6√25C．3√22D．7√239．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan△ABF＝2，则DE的长是（）A．1B．65C．43D．5310．在△ABC中，∠ACB=90°，P为AC上一动点，若BC=4，AC=6，则√2BP+AP的最小值为（）A．5B．10C．5√2D．10√2（第9题）（第10题）（第11题）第12题）二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan△ABE＝．12．某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A 处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为m．（参考数据：√3≈1.732，结果按四舍五八保留一位小数）13．图1是一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图2（忽略跑步机的厚度）．该跑步机由支杆AB （点A固定），底座AD和滑动杆EF组成．支杆AB可绕点A转动，点E在滑槽AC上滑动．已知AB＝60cm，AC＝125cm．收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合；打开时，点E从点C向左滑动，若滑动杆EF与AD夹角的正切值为2，则察看点F处的仪表盘视角为最佳．（1）BE＝cm；（2）当滑动端点E与点A的距离EA＝cm时，察看仪表盘视角最佳．（第13题）（第14题）14．如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE=AB，BE=DE，则tan∠BDE=．15．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，DB平分∠ADC.若AD=1，CD=3，则sin∠ABD=.（第15题）（第16题）16．如图，岸边堤坝和湖中分别伫立着甲、乙两座电线塔，甲塔底CD和堤坝EF段均与水平面MN 平行，B为CD中点，CD=6EF=12米，DE=5米．某时刻甲塔顶A影子恰好落在斜坡底端E处，此时小章测得2米直立杆子的影长为1米．随后小章乘船行驶至湖面点P处，发现点D，F，P三点共线，并在P处测得甲塔底D和乙塔顶T的仰角均为α=26.7°，则塔高AB的长为米；若小章继续向右行驶10米至点Q，且在Q处测得甲、乙两塔顶A，T的仰角均为β=36.8°．若点M，P，Q，N在同一水平线上，TN⊥MN，则甲、乙两塔顶A，T的距离为米．（参考数据：tan26.7°≈0.5，sin26.7°≈0.45，tan36.8°≈0.75，cos36.8°≈0.8）三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题每题12分，第24题14分，共80分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．计算：（1）tan30°sin60°−cos245°+tan45°；（2）√(tan60∘−1)2+|1−cos60°|−2tan45°·cos30°．18．如图，在△ABC中，△C=150°，AC=4，tanB= 18．（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：√2=1.4，√3=1.7，√5=2.2）19．如图，在△ABC中，△C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的△O经过AB的中点E，交AD 的延长线于点F，连结EF．（1）求证：△1=△F．，EF=2 √5，求CD的长．（2）若sinB= √5520．某校门前正对一条公路，车流量较大，为便于学生安全通过，特建一座人行天桥．如图，是这座天桥的引桥部分示意图，上桥通道由两段互相平行的楼梯AB、CD和一段平行于地面的平台CB构成．已知△A=37°，天桥高度DH 为5.1米，引桥水平跨度AH 为8.3米． （1）求水平平台BC 的长度；（2）若两段楼梯AB ：CD=10：7，求楼梯AB 的水平宽度AE 的长．（参考数据：sin37°≈ 35 ，cos37°≈ 45 ，tan37°≈ 34）21．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问： （1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？22．如图1，在△ABC 中，△ACB=90°，△CAB=30°，△ABD 是等边三角形，E 是AB 的中点，连接CE 并延长交AD 于F ．（1）求证：①△AEF△△BEC ；②四边形BCFD 是平行四边形；（2）如图2，将四边形ACBD 折叠，使D 与C 重合，HK 为折痕，求sin△ACH 的值．23．在△ABC 中，△ABC=90°．（1）如图1，分别过A 、C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：△ABM△△BCN ；（2）如图2，P 是边BC 上一点，△BAP=△C ，tan△PAC= 2√55，求tanC 的值；（3）如图3，D 是边CA 延长线上一点，AE=AB ，△DEB=90°，sin△BAC= 35 ， AD AC =25，直接写出tan△CEB 的值． 24．已知:点 C 、D 在 ⊙O 上,弦 AB ⊥CD ,垂足 E ,弦 AF ⊥BC ,垂足为 G ,弦 AF 与 CD 相交于点 H ；（1）如图1,求证: DE=EH；（2）如图2,连接OC,当CD平分∠BCO时,求证:弧AD=弧FD；（3）如图3,在(2)的条件下,半径OC与AF相交于点K,连接BH,若sin∠BHD=23,S△BCH=√5,求线段OK的长.。
(完整版)初三解直角三角形练习题基础
初三解直角三角形练习题一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm=则SinA= cosA= 3、Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=54,AB=10,则BC ＝4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\=5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB=7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB= 二、选择题1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ）A 、小于300B 、大于300C 、大于450且小于600D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、A a sin C 、acosA D 、Aa cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、15005、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ）A 、41cmB 、21cmC 、43cmD 、23cm三、求下列各式的值1、sin 2600+cos 26002、sin600－2sin300cos3003. sin300－cos 24504. 2cos450+|32 |5. 0045cos 360sin 2+ 6. 130sin 560cos 300-7. 2sin 2300·tan300+cos600·cot300 8. sin 2450-tan 2300四、解答下列各题1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，，AB ＝13，BC ＝5， 求sinA, cosA, tanA, cotA2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若1312sin =A 求cosA, sinB, cosB3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，b=17, ∠B=450,求a, c 与∠A四、根据下列条件解直角三角形。
解直角三角形1
解直角三角形[例1]（2004贵阳）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图12），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时. （1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：sin32º≈53100 ，cos32≈106125 ，tan32º≈58）[例2]（2004海口）雄伟壮观的“千年塔”屹立在海口市西海岸带状公园的“热带海洋世界”.在一次数学实践活动中，为了测量这座“千年塔”的高度，雯雯在离塔底139米的C 处 C 与塔底B 在同一水平线上），用高1.4米的测角仪CD 测得塔顶A 的仰角α=43°（如图），求这座“千年塔”的高度AB （结果精确到0.1米）.（参考数据：tan43°≈0.9325，cot43°≈1.0724）[例3]（2004重庆）如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明. 〖考题训练〗1．（2004深圳）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30º夹角，这棵大树在折断前的高度为A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米2．（2005徐州）21．(A 类)如图1，在与旗杆AB 相距20米的C 处，用高1.20米的测角仪测得旗杆顶端B 的仰角α=30°.求旗杆AB 的高(精确到0.1米). (B 类)如图9，在C 处用高1.20米的测角仪测得塔AB 顶端B 的仰角α=30º，向塔的方向前进20米到E 处，又测得塔顶端B 的仰角β=45°.求塔AB 的高(精确到0.1米).我选做______________类题，解答如下：3．（2004大连）如图5，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形， D 是AB 的中点，中柱CD=1米，∠A=27°， 求跨度AB 的长(精确到0.01米)。
解直角三角形 试题及答案
向东航行 30 分钟后到达 C处,发现灯塔 B在它的南偏东 15°方向,则此时货轮与灯塔 B的距离为
km.
图 K23-8
10、 如图 K23-9,在一笔直的沿湖道路上有 A,B两个游船码头,观光岛屿 C在码头 A北偏东 60°的方向,在码头 B北偏 西
45°的方向,AC=4 km.游客小张准备从观光岛屿 C乘船沿 CA回到码头 A或沿 CB回到码头 B,设开往码头 A,B的游船
∵∠CNP=46°,∴∠PNA=44°,
∴PA=PN·sin∠PNA=60×0.6947≈41.68(海里).
6【答案】25
如图,过点 B作 BE⊥AE于点 E,
∵坡度 i=1∶ 3,
∴tanA=1∶ 3= 3,∴3∠A=30°,
∵AB=50 m,∴BE=1AB=25(m)
.
2
∴他升高了 25 m.
∴BD=CD·tan37°≈27.2×0.75=20.4(海里).
�� 3
答:还需航行的距离 BD的长为 20.4 海里.
12【答案】解:如图,过点 C作 CD⊥AB于点 D,
设 BD为 x海里,
在 Rt△ACD中,∠DAC=45°,
∴AD=DC=(x+5)海里,
4
在 Rt△BCD中,由 tan53°=����
126
米.
5【答案】B
如图,过点 P作 PA⊥MN于点 A,
MN=30×2=60(海里),
∵∠MNC=90°,∠CNP=46°,
∴∠MNP=∠MNC+∠CNP=136°,
∵∠BMP=68°,
∴∠PMN=90°-∠BMP=22°,
∴∠MPN=180°-∠PMN-∠PNM=22°,
解直角三角形测试题及答案
《解直角三角形》整章测试【1】一、选择题（每小题3分，共24分）1.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（ ）（A ）154(B)14(C)15 (D)４2.计算：2)130(tan -︒＝（ ）(Ａ)331-(B)13- (Ｃ)133-（D ）１－3 3.在ABC ∆中，,A B ∠∠都是锐角，且sinA ＝21， cosB ＝23，则ABC ∆的形状（ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不能确定4.如图，在Rt ABC △中，3tan 2B =，23BC =，则AC 等于（ ）（A ）3（B ）4（C ）43（D ）65.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的 眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） (A)（53332+）m (B)（3532+）m (C)533m (D)4m 6．因为1sin 302=，1sin 2102=-， 所以sin 210sin(18030)sin 30=+=-；因为2sin 452=，2sin 2252=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（ ）（A ）12-(B)22-(C)32- (D)3-7．如图，客轮在海上以30km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得 灯塔A 的方位角为北偏东80，测得C 处的方位角为南偏东25，航 行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20，则C 到A 的距离是（ ）(A)156km(B)152km (C)15(62)+km(D)5(632)+km北东ABC8.如图，在Rt ABC △中，906cm A AC ∠==，，8cm AB =，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则sin DBE ∠的值为（）(A)13(B)310(C)37373(D)1010二、填空题（每小题3分，共24分） 9．计算sin 60tan 45cos30-的值是．10. 用“>”或“<”号填空：1sin 50cos 402-0．（可用计算器计算） 11.在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则cos A =． 12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为米．13.如图，一轮船由南向北航行到O 处时，发现与轮船相距40海里的A 岛在北偏东33方向．已知A 岛周围20海里水域有暗礁， 如果不改变航向，轮船（填“有”或“没有”）触暗礁 的危险．（可使用科学计算器）14. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE=6cm ，3sin 5A =，则菱形ABCD 的面积是__________2cm ． 15.根据指令[s,A]（s ≥0,0°≤A ＜360°）机器人在平面上能完成如下动作：先在原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点（－3，3），应下的指令是．16. 有古诗“葭生池中”今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问： 水深、葭长各几何？（1丈=10尺）回答：水深，葭长. 17.（本题8分）计算：242(2cos 45sin 60)4︒-︒+． 18.（本题10分）某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A B ，两点间的距离时用了以下三种测量方法，如下图所示．图中a b c ，，表示长度，β表示角度．请你分别求出AB 的长度（用含有a b c β，，，字母的式子表示）．（1）______AB = （2）______AB = （3）______AB =19.（本题10分）小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）． 20.（本题12分）海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． （1A C B a b（2AC B a β （3AC B aD Ec b A BCD EA BC21.（本题12分）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．（1）求B，D之间的距离；（2）求C，D之间的距离．四、附加题（本题20分）22.现代家居设计的“推拉式”钢窗，运用了轨道滑行技术，纱窗装卸时利用了平行四边形的不稳定性，操作步骤如下：（1）将矩形纱窗转化成平行四边形纱窗后，纱窗上边框嵌入窗框的上轨道槽（如图1）．（2）将平行四边形纱窗的下边框对准窗框的下轨道槽（如图2）．（3）将平行四边形纱窗还原成矩形纱窗，同时下边框嵌入窗框的下轨道槽（如图3）．在装卸纱窗的过程中，如图所示α∠的值不得小于81，否则纱窗受损．现将高96cm的矩形纱窗恰好安装在上、下槽深分别为0.9cm，高96cm（上、下槽底间的距离）的窗框上．试求合理安装纱窗时α∠的sin810.987=0.990=sin830.993=0.995=cos90.987=0.990=0.993=0.995=章《解直角三角形》整章测试答案：～8 BABA ACDD三、17.解：2=原式2=-2=18.解：（1）AB=（2）tanAB aβ=（3）acABb=．19．解：分两种情况：（1）当ACB∠为钝角时，BD是高，90ADB∴∠=．在Rt BCD△中，40BC=，30BD=∴CD==．在Rt ABD△中，50AB=，ABC中山路文化路D和平路45°15°30°环城路EF 图1 2 图3∴40AD ==．40AC AD CD ∴=-=-，新课标第一网∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==-⨯=-△． （2）当ACB ∠为锐角时， BD 是高，90ADB BDC ∴∠=∠=，在Rt ABD △中，5030AB BD ==，，40AD ∴==．同理CD ==∴(40AC AD CD =+=+，∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==+⨯=+△．综上所述：2(600)ABC S =±△.20．解：有触礁危险．理由： 过点P 作PD ⊥AC 于D ．设PD 为x ，在Rt △PBD 中，∠PBD=90°－45°＝45°． ∴BD ＝PD ＝x ．在Rt △PAD 中，∵∠PAD ＝90°－60°＝30°，∴x ．xAD 330tan =︒=∵BD ，AB AD +=∴x ．x +=123 ∴)13(61312+=-=x ．∵，＜18)13(6+∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．21. 解：（1）由题意得，∠EA D =45°，∠FBD=30°． ∴∠EAC=∠EA D +∠DA C =45°+15°=60°． ∵ AE∥BF∥CD，∴ ∠FBC=∠EAC =60°． ∴ ∠DBC=30°．又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB， ∴ ∠ADB=15°．∴∠DAB=∠ADB．∴ BD=AB=2． 即B ，D 之间的距离为2km ．（2）过B 作BO⊥DC，交其延长线于点O ， 在Rt△DBO 中，BD=2，∠DBO=60°． ∴ DO=2×sin60°=2×323=,BO=2×cos60°=1． 在Rt△CBO 中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=33， ∴ CD=DO－CO=332333=-（km ）． 即C ，D 之间的距离为332km ． 22. 解：能够合理装上平行四边形纱窗时的最大高度：960.995.1-=（cm ） 能够合理装上平行四边形纱窗时的高：96sin α∠或96cos(90)α-∠·°当81α∠=°时，纱窗高：96sin81960.98794.75295.1=⨯=<° ∴此时纱窗能装进去，当82α∠=°时，纱窗高：96sin82960.99095.0495.1=⨯=<° ∴此时纱窗能装进去．当83α∠=°时，纱窗高：96sin83960.99395.32895.1=⨯=>° ∴此时纱窗装不进去．因此能合理装上纱窗时α∠的最大值是82°.。
北师大版九年级数学下册第一章《解直角三角形》课时练习题(含答案)
北师大版九年级数学下册第一章《4.解直角三角形》课时练习题（含答案）一、单选题1．在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，则AB的长是（）A．2(31)+ +B．3(31)+C．4(31)+D．5(31)2．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（4，2）或（﹣4，2）B．（23，﹣4）或（﹣23，4）C．（﹣23，2）或（23，﹣2）D．（2，﹣23）或（﹣2，23）3．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为()A．123B．12 C．243D．4834．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，如果tan∠DBA=1，那么AD的长为（）5A．1 B．2 C．2D．225．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是（）A．15 B．18 C．20 D．226．如图，小明在一条东西走向公路的O 处，测得图书馆A 在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m ，则图书馆A 到公路的距离AB 为（ ）A ．100mB ．1002mC ．1003mD ．2003m 3 7．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，那么点2019A 的坐标是( )A ．22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．(1,0)C ．22,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．(0,1)-8．如图，在BAC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC =，将BAC 绕点A 顺时针旋转至DAE ，点D 刚好落在BC 直线上，则BDE △的面积为（ ）A ．24BD B ．22BC C ．4BC BD ⋅ D ．22AB二、填空题9．如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为________；当点M的位置变化时，DF 长的最大值为________．10．如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，AB ＝10，D 是AC 的中点，则BD ＝______．11．如图，已知四边形ABCD ，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC =∠DAC =90°，14tan ,23BO ACB OD ∠==，则ABDCBD S S =___．12．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A ，B ，C 均为正六边形的顶点，AB 与地面BC 所成的锐角为β，则tan β的值是______．13．如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =43P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，以点A 为中心，将线段AP 逆时针旋转60°到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为____．14．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，E ，F 分别为AB ，CD 边的中点．动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH ⊥PQ 于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P 从点E 运动至点A 的过程中，线段PQ 长度的最大值为_____，线段DH 长度的最小值为_____．三、解答题15．如图，菱形ABCD 中，120D ∠=︒，F 是AD 中点，连接BF ，BE DC ⊥，垂足是E ．（1）求证：BF BE =；（2）若23BF =BEDF 的面积．16．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝5，cosC ＝35，AD 是BC 边上的高线． （1）求AD 的长；（2）求△ABC 的面积．17．如图，在ABC 中，390,tan ,3C A ABC ∠==∠的平分线BD 交AC 于点.3D CD =．求AB 的长？18．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东30°方向，距离灯塔120海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东45°方向上的B 处．(1)问B 处距离灯塔P 有多远？（结果精确到0.1海里）(2)假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB 上，距离灯塔150海里的点O 处．圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险．①请判断海轮到达B 处是否有触礁的危险？并说明理由．②如果海轮从B 处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明理由．2 1.4≈3 1.7≈）参考答案1．B2．C3．A4．B5．A6．A7．A8．A 9．33633-10．21311．3 3212．1931513．214．3213﹣215．（1）证明：连接BD∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，∴AB=CB=CD=AD，∠A=∠C=60°，∵F是AD中点，BE⊥DC，∴△ABD、△CBD是等边三角形，∵F是AD中点，BE⊥DC，∴BF⊥AD，∴∠AFB=∠CEB =90°，∵∠A=∠C，AB=CB，∴△ABF≌△CBE（AAS），∴BF=BE；（2）由（1）得△ABF是直角三角形，∠A=60°，∵BF=3sin60°3∴AB=CB=CD=AD=4，AF=12AB=2，∴ABCD =234S菱形=83ABF CEB1S=S=2232⨯⨯△△=23∴四边形BEDF 的面积=ABF CEB ABCD S S S --△△菱形16．解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°．在Rt △ACD 中，AC ＝5，cosC ＝35， ∴CD ＝AC•cosC ＝3，∴AD4．（2）∵∠B ＝45°，∠ADB ＝90°， ∴∠BAD ＝90°﹣∠B ＝45°， ∴∠B ＝∠BAD ，∴BD ＝AD ＝4，∴S △ABC ＝12AD•BC ＝12×4×（4+3）＝14．17．解：在Rt ABC 中，90,C tanA ∠== 30,60,A ABC ∴∠=∠= BD 是ABC ∠的平分线，30,CBD ABD ∴∠=∠=︒ 又3,CD =330CD BC tan ∴==， 在Rt ABC 中，90,30∠=︒∠=︒C A ， 630BC AB sin ∴==︒． 故答案为：6．18．（1）解：过点P 作PD AB ⊥交于点D ． 由题意可知，120PA =海里，903060APD ∠=︒-︒=︒，45BPD ∠=︒． 906030A ∴∠=︒-︒=︒．1602PD PA ∴==（海里）， 在Rt PBD 中，45BPD ∠=︒，PBD ∴∆是等腰直角三角形， 2602PB PD ∴==（海里）84.8≈（海里）． 答：B 处距离灯塔P 约84海里． （2）解：①海轮到达B 处没有触礁的危险，理由如下： 由题意知：150OP =海里，602PB =海里， (150602)OB OP PB ∴=-=-海里65≈海里50>海里， ∴海轮到达B 处没有触礁的危险． ②过点O 作OE AB ⊥交于E ，交AB 延长线于点E ，则90OEB ∠=︒， 45OBE PBD ∠=∠=︒， sin OE OB OBE ∴=∠ 2(150602)=-752604650=≈<， ∴海轮从B 处继续向正北方向航行，有触礁的危险．。
解直角三角形练习题(带答案)
解直角三角形—题集1.如图，在地面上的点处测得树顶的仰角为度，米，则树高为（ ）．A.米B.米C.米D.米【答案】A【解析】米．【标注】【知识点】仰角与俯角2.如图，斜坡，坡顶到水平地面的距离为米，坡底为米，在处，处分别测得顶部点的仰角为，，求的长度．（结果保留根号）．【答案】的长度为米．【解析】设米，则米，由题意得，四边形为矩形，∴，在中，∴ ，在中，，∴，∴，解得，，∴．答：的长度为米．【标注】【知识点】仰角与俯角A.的值越小，梯子越陡B.的值越小，梯子越陡C.的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与的函数值无关3.如图，梯子跟地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）．【答案】B【标注】【知识点】坡度4.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为米，坡面的坡度为，文化墙在天桥底部正前方米处（的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为．（1）（2）若新坡面坡角为，求坡角度数．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于米时应拆除，天桥改造后，该文化墙是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：，）【答案】（1）（2）．该文化墙需要拆除，证明见解析．【解析】（1）（2）∵新坡面坡角为，新坡面的坡度为，∴，∴．作于点，则米，∵新坡面的坡度为，∴，解得，米，∵坡面的坡度为，米，∴米，∴米，又∵米，∴米米，故该文化墙需要拆除．【标注】【知识点】坡度游船港口海警船北（1）（2）5.一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以海里每小时的速度前往救援．求点到直线的距离．求海警船到达事故船处所需的大约时间．（温馨提示：，）【答案】（1）（2）海里．小时．【解析】游船港口海警船北（1）（2）如图，过点作交延长线于．在中，∵，，海里，∴点到直线距离海里．在中，∵，，∴（海里），∴海警船到达事故船处所需的时间大约为：（小时）．【标注】【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用6.一副直角三角板按如图所示放置，点在的延长线上，，，，，，则的长为 ．【答案】【解析】过点作于点，在中，，，，∴．∵，∴．，在中，，，∴，∴，∴．【标注】【知识点】三角板拼接问题7.如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，一辆小汽车车门宽为米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？ ．（填“是”或“否”）请简述你的理由 ．（参考数据：，，）．【答案】否 ; 点到的距离小于与墙的距离【解析】过点作，垂足为点，如图．在中，∵，米，∴米，∵汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，∴车门不会碰到墙(点到的距离小于与墙的距离)．故答案为：否；点到的距离小于与墙的距离．【标注】【知识点】测量物体之间的距离8.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，求树的高度．【答案】米．【解析】延长交延长线于点，则，作于，在中，，，∴（米），（米），在中，∵同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，（米），，∴（米），∴（米），在中，（米），故答案为：米．【标注】【知识点】影子问题（1）（2）9.如图，在中，，点是边的中点，，．求和的长．求的值．【答案】（1）（2），．．【解析】（1）（2）∵点是边的中点，且∴．∵，∴．∵在中，，，∴．在中，，，∴．故，．如图，作交于点．∵在中，，，∴设，，由勾股定理可得，解得，∴．在中，∵，，∴．即．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用10.如图，在四边形中，，于点，已知，，，求的长．【答案】．【解析】过点作于．∵在中，，，∴，．∵，，∴，∵，∴．∴在中，，，∴，．又∵在中，，，．∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用11.如图，在中，，，=， ，求．【答案】．【解析】 在中，，，，，，由勾股定理得：，∵，∴，∵∴，，∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用。
第一章 解直角三角形单元测试卷(困难 含解析)
浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（困难）（含答案解析）考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，已知△ABC中，∠B=90°，D，E分别为BC，AC的中点，连结DE，过D作AC的平行线与∠CAB的角平分线交于点F，连结EF，若EF⊥DF，AC=2，则∠DEF的正弦值为( )A. √5−12B. √5+14C. √5−14D. 3+√542. 在△ABC中，已知tanA=tanB，则下列说法不正确的是( )A. 边AB上任意一点P到边AC、BC的距离之和等于点B到AC的距离B. 边AB的垂直平分线是△ABC的对称轴C. △ABC的外心可能在△ABC内部、边上或外部D. 如果△ABC的周长是l，那么BC=l−2AB3. 如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点M处，折痕为AP，再将△PCM，△ADM分别沿PM，AM折叠，此时点C，D落在AP上的同一点N处.给出以下结论：①M是CD的中点；②AD//BC；③∠DAM+∠CPM=90∘；④当AD=CP时，ABCD =√32．其中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=12，则sinA的值为( )A. 12B. √22C. √32D. √35. 如图，AB⏜是半径为1的半圆弧，△AOC 为等边三角形，点D 是BC ⏜上的一动点、则△COD 的面积S 的最大值是 ( )A. √34B. √33C. √32D. 126. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，cosB =14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE =∠B ，连接CE ，则CEAD的值为( )A. 32B. √3C. √152D. 27. 已知圆内接正三角形的面积为√3，则该圆的内接正六边形的边心距是( ) A. 2B. 1C. √3D. √328. 如图，在正方形ABCD 中，AB =2，点E 是BC 边的中点，连接DE ，延长EC 至点F ，使得EF =DE ，过点F 作FG ⊥DE ，分别交CD 、AB 于N 、G 两点，连接CM 、EG 、EN ，下列正确的是：①tan∠GFB =12；②MN =NC ；③CMEG =12；④S 四边形GBEM =√5+12( )A. 4B. 3C. 2D. 19. 四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值ℎl为( )A. √2B. √2+12C. 4+√24D. 3√2210. 如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q.当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于( )A. 12B. 13C. 14D. 2311. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②△OAP∽△EAC；③四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14；④AP−BP=√2OP；⑤若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47.其中正确的结论有( )个A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 如图，建筑工地划出了三角形安全区(△ABC)，一人从A点出发，沿北偏东53°方向走50m 到达C点，另一人从B点出发，沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距(tan53°=43)( )A. 30√15mB. 30√17mC. 40√10mD. 130m第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D.给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有______．14. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为______．，BE=2，则该菱形的面积是______．15.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=3516.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AH：AE=4：3，四边形EFGH的周长是40cm，则矩形ABCD的面积是______cm2．三、解答题（本大题共9小题，共72分。
解直角三角形易错题型(带答案)
解直角三角形易错题【基础题型】一、选择题1. 在△ABC 中，∠C=90°，下列等式不正确的是（ ）A. sin 2A+cos 2=1B. sin 2（90°- A ）+ cos 2（90°- A ）=1C. C.sin （60°- A ）=cos （30°+ A ）D. tanA · cotA=12. 已知α为锐角，且cos （α-10°）=23，则α等于（ ） A.20° B.40° C.60° D.80°3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于（ ）A. 43B.34C.53D.544. 在△ABC 中，∠C=90°，斜边AB=m ，∠B=40°，则直角边BC 的长是（ ）A. msin40°B.msin50°C.mtan40°D.tan40m5. Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图所示方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）A. 724B.37C.247D.316. 如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A.103米B.10米C.20米D.203米7. 如图，已知楼房AB 高为50米，铁塔塔基距楼房的水平距离BD 为100米，塔高CD 为31503100 m ，则下面结论正确的是（ ）A. 由楼顶望塔顶仰角为60°B.由楼顶望塔基俯角为60°B. 由楼顶望塔顶仰角为30° D.由楼顶望塔基俯角为30°8. 以下对坡度的描述正确的是（ ）A. 坡度是指斜坡与水平线夹角的度数B. 坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比C. 坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比D. 坡度是指倾斜的角度二、填空题1. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，如果CD=4,BD=3，则∠A 的正弦值是 .2. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，tanB=21，则CD:DB= .3. 在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树之间的水平距离为6m ，则斜坡上相邻两树的坡面距离为 .4. 如图，在高2m ，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 m.三、解答题1.甲，乙两名同学在计算锐角A 的正弦值时，甲的答案为sinA=107，乙的答案为sinA=1013.请你不看解答过程，迅速判断哪名同学的答案一定是错误的，并说明理由。
中考数学每日一练：解直角三角形练习题及答案_2020年填空题版
中考数学每日一练：解直角三角形练习题及答案_2020年填空题版答案答案答案答案答案答案2020年中考数学：图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形练习题~~第1题~~(2020青浦.中考模拟) 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan B =2，AB =4，那么BC =________．考点： 解直角三角形;~~第2题~~(2020湖州.中考模拟) 在△ABC 中，AC=6，点D 为直线AB 上一点，且AB=3BD，直线CD 与直线BC 所夹锐角的正切值为 ，并且CD ⊥AC ，则BC 的长为________．考点： 解直角三角形;~~第3题~~(2020上海.中考模拟) 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt △AB C 中，∠C=90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tanA=________．考点： 解直角三角形;~~第4题~~(2020松江.中考模拟) 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米.那么斜面AB 的坡度为________．考点： 解直角三角形;解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题;~~第5题~~(2020上海.中考模拟) 如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝3， BC＝2，tanA ＝，则CD ＝________．考点： 锐角三角函数的定义;解直角三角形;~~第6题~~(2020虹口.中考模拟) 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为，那么大正方形的面积是________．考点： 锐角三角函数的定义;解直角三角形;~~第7题~~答案答案答案答案(2020上海.中考模拟) 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m ，已知木箱高BE=m ，斜面坡脚为30°，则木箱顶端E 距离地面AC 的高度EF 为________m 。
1.3 解直角三角形 第1课时 解直角三角形练习题 2020——2021学年浙教版九年级数学下册
1.3解直角三角形第1课时解直角三角形【基础练习】知识点已知一边一角或两边解直角三角形,BC=6,则AB的长为()1.在Rt△ABC中,△C=90°,sin A=35A.4B.6C.8D.102.如图1,在Rt△ABC中,△C=90°,△B=30°,AB=8,则BC的长为()图1A.4√3B.4C.8√3D.4√333.在Rt△ABC中,已知△C=90°,△A=40°,BC=3,则AC等于()A.3sin40°B.3sin50°C.3tan40°D.3tan50°4.在Rt△ABC中,△C=90°,a,b,c分别为△A,△B,△C的对边,c=10,△A=45°,则a=,b=,△B=°.5.在Rt△ABC中,△C=90°,a,b,c分别为△A,△B,△C的对边,a=6,b=2√3,则△B的度数为.6.如图2,在Rt△ABC中,△C=90°,△B=37°,BC=32,则AC的长约为.(结果保留整数,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)图27.如图3所示,AB是伸缩式的遮阳棚,CD是窗户,要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户,则AB的长度是米(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°).图38.如图4,在Rt△ABC 中,△C=90°,a ,b ,c 分别为△A ,△B ,△C 的对边,由下列条件解直角三角形. (1)△A=60°,b=4; (2)a=13,c=√23;(3)c=2√2,△B=30°;(4)a=8,sin B=√22.图49.如图5,在△ABC 中,△ABC=90°,△A=30°,D 是边AB 上一点,△BDC=45°,AD=4,求BC 的长.(结果保留根号)图5【能力提升】10.某简易房的示意图如图6所示,它是一个轴对称图形,则AC的长为()图6A.511sinα米B.511cosα米C.115sinα米D.115cosα米11.等腰三角形的腰长为2√3,底边长为6,则底角等于()A.30°B.45°C.60°D.120°12.[2019·杭州]如图7,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC△OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a,AD=b,△BCO=x,则点A到OC的距离等于()图7A.a sin x+b sin xB.a cos x+b cos xC.a sin x+b cos xD.a cos x+b sin x13.如图8,已知在Rt△ABC中,△ABC=90°,点D沿BC边从点B向点C运动(点D与点B,C不重合),作BE△AD于点E,CF△AD,交AD的延长线于点F,则在点D运动的过程中,BE+CF的值()图8A.不变B.逐渐增大C.逐渐减小D.先增大后减小14.如图9,小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠,点B恰好落在AD边上,设此点为F.若AB∶BC=4∶5,则tan△ECB的值为.图915.在学习《解直角三角形》一章时,小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣,进行了一些研究.(1)初步尝试:我们知道:tan60°=,tan30°=,发现结论:tan A2tan A2(填“=”或“≠”).(2)实践探究:如图10△,在Rt△ABC中,△C=90°,AC=2,BC=1,求tan A2的值.小明想构造包含12△A的直角三角形:延长CA至点D,使得DA=AB,连结BD,可得到△D=12△BAC,即转化为求△D的正切值.请按小明的思路进行余下的求解.(3)拓展延伸:如图△,在Rt△ABC中,△C=90°,AC=3,tan A=13.△tan2A=;△求tan3A的值.图10答案1.D2.D3.D4.5√2 5√2 455.30° [解析] ∵tan B=ba ,b=2√3,a=6, ∴tan B=2√36=√33,∴∠B=30°. 6.24 [解析] 因为在Rt △ABC 中,∠C=90°, 所以tan B=ACBC ,即tan37°=AC32, 所以AC=32·tan37°≈32×0.75=24. 7.√38.解:(1)∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B=30°. ∵b=4,cos A=bc,∴4c=12,解得c=8,∴a=√82-42=4√3.(2)∵a=13,c=√23,∴b=√c 2-a 2=13. ∵sin A=a c =13÷√23=√22, ∴∠A=45°,∴∠B=45°. (3)∵∠B=30°,c=2√2,sin B=bc , ∴12=2√2,∠A=60°,∴b=√2,∴a=√c 2-b 2=√(2√2)2-(√2)2=√6. (4)∵sin B=√22,∴∠B=45°, ∴∠A=45°,∴b=a=8, ∴c=√a 2+b 2=8√2.9.解:∵∠ABC=90°,∠BDC=45°, ∴BD=BC.∵∠ABC=90°,∠A=30°, ∴AB=√3BC ,∴AD+BD=√3BC ,即AD+BC=√3BC. 又∵AD=4,∴4+BC=√3BC , 解得BC=2√3+2.10.D [解析] 如图,过点A 作AH ⊥BC 于点H.由题意,得AB=AC ,BC=4+0.2+0.2=4.4(米). ∵AH ⊥BC , ∴BH=CH=2.2米. 在Rt △ABH 中,cos α=BH AB,∴AB=BHcosα=2.2cosα=115cosα(米),即AC=115cosα米. 故选D . 11.A [解析] 如图所示,在△ABC 中,AB=AC=2√3,BC=6,过点A 作AD ⊥BC 于点D , 则BD=12BC=12×6=3.在Rt △ABD 中,cos B=BDAB =2√3=√32,∴∠B=30°.故选A .12.D [解析] 如图,过点A 分别作AE ⊥OC 于点E ,AF ⊥OB 于点F .∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠ABC=90°.∵∠ABC=∠AEC ,∠BCO=x ,∴∠EAB=x,∴∠FBA=x.∵AB=a,AD=b,∴AE=FO=FB+BO=a cos x+b sin x.故选D.13.C[解析] ∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴CF∥BE,∴∠DCF=∠DBE.设∠DCF=∠DBE=α,则CF=CD·cosα,BE=DB·cosα,∴BE+CF=(DB+CD)cosα=BC·cosα.∵∠ABC=90°,∴0°<α<90°,当点D从点B向点C运动时,α是逐渐增大的,∴cosα的值是逐渐减小的,∴BE+CF=BC·cosα的值是逐渐减小的.故选C.14.12[解析] 设AB=4k,则BC=5k.在△DFC中,FC=BC=5k,CD=AB=4k,∴DF=3k,∴AF=2k.由折叠的性质可知∠CFE=∠B=90°,∴∠CFD+∠AFE=90°.又∵∠CFD+∠DCF=90°,∴∠AFE=∠DCF.又∵∠D=∠A=90°,∴△DFC∽△AEF,∴DFAE =FCEF,即3kAE=5k4k-AE,解得AE=1.5k,∴BE=2.5k,∴tan∠ECB=2.5k5k =1 2 .15.解:(1)√3√33≠(2)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,BC=1,∴AB=√AC 2+BC 2=√5. ∵DA=AB ,∴∠D=∠ABD ,CD=DA+AC=√5+2, ∴∠BAC=2∠D , ∴tan A2=tan D=BCCD =√5+2=√5-2.(3)①34 [解析] 如图ⓐ,作AB 的垂直平分线交AC 于点E ,连结BE ,则AE=BE ,∠A=∠ABE ,∴∠BEC=2∠A. ∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,tan A=13, ∴BC=1,则AB=√AC 2+BC 2=√10. 设AE=x ,则BE=x ,EC=3-x.在Rt △EBC 中,由勾股定理,得BE 2=EC 2+BC 2,即x 2=(3-x )2+1, 解得x=53,即AE=BE=53,∴EC=43,∴tan2A=tan ∠BEC=BC EC=34.故答案为34.②如图ⓑ,作AB 的垂直平分线交AC 于点E ,连结CE ,作BM 交AC 于点M , 使∠MBE=∠ABE ,则∠BMC=∠A+∠MBA=3∠A. 设EM=y ,则CM=EC -EM=43-y. ∵∠MBE=∠ABE ,∠A=∠ABE ,∴∠A=∠MBE ,∠ABM=2∠A=∠BEC , ∴△ABM ∽△BEM , ∴AB BE =BM EM,即√1053=BM y,∴BM=3√105y. 在Rt △MBC 中,BM 2=CM 2+BC 2, 即3√105y 2=43-y 2+1,整理得117y 2+120y -125=0, 解得y 1=2539,y 2=-53(不合题意,舍去), 即EM=2539,则CM=43-2539=913,∴tan3A=tan ∠BMC=BCCM=1913=139.。
解直角三角形测试题与答案
解直角三角形测试题与答案一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1、在直角三角形中，若一个锐角为 30°，斜边与较小直角边的和为 12，则斜边的长为（）A 4B 6C 8D 10答案：C解析：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
设较小直角边为 x，则斜边为 2x，由题意得 2x ＋ x ＝ 12，解得 x ＝ 4，所以斜边为 8。
2、已知在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，sinA ＝，则 tanB 的值为（）A B C D答案：A解析：因为 sinA ＝，所以设 BC ＝ 3x，AB ＝ 5x，则 AC ＝ 4x。
所以 tanB ＝。
3、在△ABC 中，∠C ＝ 90°，AB ＝ 15，sinA ＝，则 BC 等于（）A 9B 12C 10D 6答案：B解析：因为 sinA ＝，所以 BC ＝ AB×sinA ＝ 15×＝ 9。
4、如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ 4，AB ＝ 5，则cosB 的值是（）A B C D答案：A解析：因为在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ 4，AB ＝ 5，所以BC ＝ 3。
所以 cosB ＝。
5、一个直角三角形的两条直角边分别为 6 和 8，则其斜边上的高为（）A 48B 5C 3D 10答案：A解析：根据勾股定理可得斜边为 10，设斜边上的高为 h，根据面积相等可得 ×6×8 ＝ ×10×h，解得 h ＝ 48。
6、在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，若 sinA ＝，则 cosA 的值为（）A B C D答案：B解析：因为 sin²A ＋ cos²A ＝ 1，sinA ＝，所以 cosA ＝。
7、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，CD⊥AB 于点 D，若AC ＝，BC ＝ 2，则 sin∠ACD 的值为（）A B C D答案：A解析：因为∠ACB ＝ 90°，AC ＝，BC ＝ 2，所以 AB ＝ 3。
解直角三角形练习题
解直角三角形练习题解直角三角形练习题一、基础知识练习题：1. 在一个直角三角形ABC中，∠A = 90°， AB = 6cm， AC = 8cm，求BC的长度。
2. 若一个直角三角形的另外两个角的度数分别是30°和60°，求斜边的长。
3. 已知一个直角三角形的斜边长是10cm，一个锐角的度数是45°，求直角边的长度。
4. 在一个直角三角形PQR中，∠P = 90°， PQ = 5cm， QR = 13cm，求PR的长度。
5. 若一个直角三角形的直角边长分别是3cm和4cm，求斜边的长。
二、综合运用练习题：1. 一个直角三角形ABC，∠A = 90°， AB = x cm， AC = 8cm，BC = 10cm。
求x的值。
2. 已知一个直角三角形的斜边长是8cm，一个锐角的度数是30°，求直角边的长度。
3. 在一个直角三角形MNP中，∠N = 90°， MN = x cm， NP = 12cm， MP = 20cm。
求x的值。
4. 若一个直角三角形的直角边长分别是2x cm和3x cm，求斜边的长。
5. 已知一个直角三角形的斜边长是15cm，一个锐角的度数是60°，求直角边的长度。
三、挑战练习题：1. 在一个直角三角形DEF中，∠D = 90°， DE = 12cm， DF = x cm， EF = x + 2cm。
求x的值。
2. 若一个直角三角形的直角边长是4x cm和5x cm，求斜边的长。
3. 在一个直角三角形XYZ中，∠Z = 90°， XY = 10cm， XZ = 3x cm， YZ = 4x cm。
求x的值。
4. 已知一个直角三角形的斜边长是20cm，一个锐角的度数是45°，求直角边的长度。
5. 在一个直角三角形GHI中，∠G = 90°， GH = x cm， GI = 15cm， HI = 3x cm。
第一章 解直角三角形单元测试卷(标准难度 含答案)
浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（标准难度）（含答案解析）考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( )A. sinA=√32B. tanA=12C. cosB=√32D. tanB=√32. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F.若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为( )A. 8B. 10C. 12D. 163. 如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tan B=53，则tan∠CAD的值为( )A. √33B. √35C. 13D. 154. 在实数π，13，√2，sin30°中，无理数的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，下列三角函数值错误的是( )A. sinB=35B. cosB=45C. tanB=34D. tanA=436. 如图，CD是平面镜，光线从点A出发，经CD上点E反射后照射到点B.若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值为( )A. 113B. 311C. 911D. 1197. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，cosA=√32，∠B的平分线BD交AC于点D，若AD=16，则BC的长为( )A. 6B. 8C. 8√3D. 128. 如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin∠C>sin∠D；②cos∠C>cos∠D；③tan∠C>tan∠D中，正确的结论为( )A. ①②；B. ②③；C. ①②③；D. ①③；9. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为( )A. 95sinα米B. 95cosα米C. 59sinα米D. 59cosα米10. 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D，BD=√3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )A. √33B. √32C. 1D. √6211. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=α，则点A到OC的距离等于( )A. a⋅sinα+b⋅sinαB. a⋅cosα+b⋅cosαC. a⋅sinα+b⋅cosαD. a⋅cosα+b⋅sinα12. 如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45∘方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东60∘方向，则这段河的宽度为( )A. 80(√3+1)米B. 40(√3+1)米C. (120−40√3)米D. 40(√3−1)米第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是．14. 在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sin A=3，则菱形ABCD的周长是．515. 若锐角α满足cosα<√2且tanα<√3，则α的范围是．216. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，cosB=3.如果⊙O的半径为√10cm，且经过点B，5C，那么线段AO=cm．三、解答题（本大题共9小题，共72分。
解直角三角形测试题与答案
解直角三角形测试题与答案一．选择题〔共12小题〕1．〔2021•义乌市〕如图，点A〔t，3〕在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，那么t的值是〔〕A．1B．C．2D．32．〔2021•巴中〕在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanB的值为〔〕A．B．C．D．3．〔2021•凉山州〕在△ABC中，假设|cosA﹣|+〔1﹣tanB〕2=0，那么∠C的度数是〔〕A．45°B．60°C．75°D．105°4．〔2021•随州〕如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，那么B点到河岸AD的距离为〔〕A．100米B．50米C．D．50米米5．〔2021•凉山州〕拦水坝横断面如下图，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=10m，那么坡面AB的长度是〔〕A．15m B．20m C．10m D．20m6．〔2021•百色〕从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，两栋楼之间的水平距离为6米，那么教学楼的高CD是〔〕A．〔6+6〕米B．〔6+3〕米C．〔6+2〕米D．12米7．〔2021•苏州〕如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，那么该船航行的距离〔即AB的长〕为〔〕A．4km B．2km C．2km D．〔+1〕km 8．〔2021•路北区二模〕如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，那么cosC的值为〔〕A．B．C．D．9．〔2021•长宁区一模〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的〔〕A．B．C．D．10．〔2021•工业园区一模〕假设tan〔α+10°〕=1，那么锐角α的度数是〔〕A．20°B．30°C．40°D．50°11．〔2021•鄂州四月调考〕在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，那么sinB的值是〔〕A．B．C．D．12．〔2021•邢台一模〕在Rt△ABC中，∠C=90°，假设AB=4，sinA=，那么斜边上的高等于〔〕A．B．C．D．二．填空题〔共6小题〕13．〔2021•济宁〕如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，那么AB的长为_________．14．〔2021•徐汇区一模〕如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，假设CD=1，BC=3，那么∠A的正切值为_________．15．〔2021•虹口区一模〕计算：cos45°+sin260°=_________．16．〔2021•武威模拟〕某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米，那么它上升的高度是_________米．17．〔2021•海门市模拟〕某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A 的仰角为60°，那么建筑物AB的高度是_________m．18．〔2021•扬州〕在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，那么BC=_________．三．解答题〔共6小题〕19．〔2021•盘锦〕如图，用一根6米长的笔直钢管弯折成如下图的路灯杆ABC，AB垂直于地面，线段AB与线段BC所成的角∠ABC=120°，假设路灯杆顶端C到地面的距离CD=，求AB长．20．〔2021•遵义〕如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．〔注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比〕21．〔2021•哈尔滨〕如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．〔1〕求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；〔2〕求建筑物CD的高度〔结果保存根号〕．22．〔2021•邵阳〕一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．〔温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6〕23．〔2021•射阳县三模〕小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．斜坡的坡度为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度．24．〔2021•崇川区一模〕如图，某登山队在山脚A处测得山顶B处的仰角为45°，沿坡角30°的斜坡AD前进1000m 后到达D处，又测得山顶B处的仰角为60°．求山的高度BC．参考答案与试题解析一．选择题〔共12小题〕1．〔2021•义乌市〕如图，点A〔t，3〕在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，那么t的值是〔〕A．1B．C．2D．3考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：根据正切的定义即可求解．解答：解：∵点A〔t，3〕在第一象限，∴AB=3，OB=t，又∵tanα==，∴t=2．应选：C．点评：此题考察锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．〔2021•巴中〕在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanB的值为〔〕A．B．C．D．考点：互余两角三角函数的关系．专题：计算题．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．解答：解：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，那么AC==12x，故tan∠B==．应选：D．点评：此题考察了互余两角三角函数的关系，属于根底题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．3．〔2021•凉山州〕在△ABC中，假设|cosA﹣|+〔1﹣tanB〕2=0，那么∠C的度数是〔〕A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C 的度数．解答：解：由题意，得cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．应选：C．点评：此题考察了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于根底题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．4．〔2021•随州〕如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，那么B点到河岸AD的距离为〔〕A．100米B．50米C．D．50米米考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．解答：解：过B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=BC=50米，∴BM=CM=50米，应选：B．点评：此题主要考察了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半．5．〔2021•凉山州〕拦水坝横断面如下图，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=10m，那么坡面AB的长度是〔〕A．15m B．20m C．10m D．20m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：计算题．分析：在Rt△ABC中，坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=10m，∴AB==20m．应选：D．点评：此题主要考察学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答此题的关键．6．〔2021•百色〕从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，两栋楼之间的水平距离为6米，那么教学楼的高CD是〔〕A．〔6+6〕米B．〔6+3〕米C．〔6+2〕米D．12米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：在Rt△ABC求出CB，在Rt△ABD中求出BD，继而可求出CD．解答：解：在Rt△ACB中，∠CAB=45°，AB⊥DC，AB=6米，∴BC=6米，在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=，∴BD=AB•tan∠BAD=6米，∴DC=CB+BD=6+6〔米〕．应选：A．点评：此题考察仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．7．〔2021•苏州〕如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，那么该船航行的距离〔即AB的长〕为〔〕A．4km B．2km C．2km D．〔+1〕km考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，那么AB=AD=2．解答：解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即该船航行的距离〔即AB的长〕为2km．应选：C．点评：此题考察了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．〔2021•路北区二模〕如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，那么cosC的值为〔〕A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：先构建格点三角形ADC，那么AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．解答：解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，∴AC===2，∴cosC===．应选B．点评：此题考察了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考察了勾股定理．9．〔2021•长宁区一模〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的〔〕A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：利用两角互余关系得出∠B=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出即可．解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，∴sinB===，故不能表示sinB的是．应选：B．点评：此题主要考察了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．10．〔2021•工业园区一模〕假设tan〔α+10°〕=1，那么锐角α的度数是〔〕A．20°B．30°C．40°D．50°考点：特殊角的三角函数值．分析：根据tan30°=解答即可．解答：解：∵tan〔α+10°〕=1，∴tan〔α+10°〕=．∴α+10°=30°．∴α=20°．应选A．点评：熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．11．〔2021•鄂州四月调考〕在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，那么sinB的值是〔〕A．B．C．D．考点：解直角三角形．分析：首先延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，进而得出AD，CD，BC的长，再利用锐角三角函数关系求出即可．解答：解：延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=，BD=5，∴BC==2，∴sinB===．应选：B．点评：此题主要考察了解直角三角形，作出正确辅助线构造直角三角形是解题关键．12．〔2021•邢台一模〕在Rt△ABC中，∠C=90°，假设AB=4，sinA=，那么斜边上的高等于〔〕A．B．C．D．考点：解直角三角形．分析：在直角三角形ABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，根据面积法求出CD的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如下图，在Rt△ABC中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD==．应选C．点评：此题考察了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法那么是解此题的关键．二．填空题〔共6小题〕13．〔2021•济宁〕如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，那么AB的长为3+．考点：解直角三角形．专题：几何图形问题．分析：过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．解答：解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+．故答案为：3+．点评：此题考察了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比拟好的题目．14．〔2021•徐汇区一模〕如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，假设CD=1，BC=3，那么∠A的正切值为．考点：锐角三角函数的定义．分析：求出∠ABC=∠ADB=90°，根据三角形内角和定理求出∠A=∠DBC，解直角三角形求出即可．解答：解：∵AB∥CD，AB⊥BC，∴DC⊥BC，∠ABC=90°，∴∠C=90°，∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∴∠DBC+∠ABD=∠A+∠ABD=90°，∴∠A=∠DBC，∵CD=1，BC=3，∴∠A的正切值为tanA=tan∠DBC==，故答案为：3．点评：此题考察了锐角三角函数的定义，三角形内角和定理的应用，关键是求出∠A=∠DBC和求出tan∠DBC=．15．〔2021•虹口区一模〕计算：cos45°+sin260°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：将cos45°=，sin60°=代入求解．解答：解：原式=×+〔〕2=1+=．故答案为：．点评：此题考察了特殊角的三角函数值，解答此题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值．16．〔2021•武威模拟〕某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米，那么它上升的高度是60米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据坡度的定义可以求得AC、BC的比值，根据AC、BC的比值和AB的长度即可求得AC的值，即可解题．解答：解：由题意得，AB=100米，tanB==3：4，设AC=3x，那么BC=4x，那么〔3x〕2+〔4x〕2=1002，解得：x=20，那么AC=3×20=60〔米〕．故答案为：60．点评：此题考察了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算，属于根底题．17．〔2021•海门市模拟〕某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A 的仰角为60°，那么建筑物AB的高度是m．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．分析：设AB=x，在Rt△ABC中表示出BC，在Rt△ABD中表示出BD，再由CD=20米，可得关于x的方程，解出即可得出答案．解答：解：设AB=x，在Rt△ABC中，∠C=30°，那么BC==x，在Rt△ABD中，∠ADB=60°，那么BD==x，由题意得，x﹣x=20，解得：x=10．即建筑物AB的高度是10m．故答案为：10．点评：此题考察了解直角三角形的应用，解答此题的关键是熟练掌握三角函数的定义，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．18．〔2021•扬州〕在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，那么BC=6．考点：解直角三角形；等腰三角形的性质．分析：根据题意做出图形，过点A作AD⊥BC于D，根据AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，可求出AD的长度，然后根据勾股定理求出BD的长度，继而可求出BC的长度．解答：解：过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，∵sin∠ABC==0.8，∴AD=5×0.8=4，那么BD==3，∴BC=BD+CD=3+3=6．故答案为：6．点评：此题考察了解直角三角形的知识，难度一般，解答此题的关键是构造直角三角形并解直角三角形以及勾股定理的应用．三．解答题〔共6小题〕19．〔2021•盘锦〕如图，用一根6米长的笔直钢管弯折成如下图的路灯杆ABC，AB垂直于地面，线段AB与线段BC所成的角∠ABC=120°，假设路灯杆顶端C到地面的距离CD=，求AB长．考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B作BE⊥DC于E，设AB=x米，那么CE=5.5﹣x，BC=6﹣x，根据30°角的正弦值即可求出x，那么AB 求出．解答：解：过B作BE⊥DC于E，设AB=x米，∴CE=5.5﹣x，BC=6﹣x，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=30°，∴sin30°==，解得：x=5，答：AB的长度为5米．点评：考察了解直角三角形，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题〔画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题〕．②根据题目特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．20．〔2021•遵义〕如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．〔注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比〕考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．解答：解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=〔25+10〕米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=〔25+10〕米，∴AB=AH+HB=〔35+10〕米．答：楼房AB的高为〔35+10〕米．点评：此题考察了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．21．〔2021•哈尔滨〕如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．〔1〕求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；〔2〕求建筑物CD的高度〔结果保存根号〕．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：〔1〕根据题意得：BD∥AE，从而得到∠BAD=∠ADB=45°，利用BD=AB=60，求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；〔2〕延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的长．解答：解：〔1〕根据题意得：BD∥AE，∴∠ADB=∠EAD=45°，∵∠ABD=90°，∴∠BAD=∠ADB=45°，∴BD=AB=60，∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；〔2〕延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，∴AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中，∠FAC=30°，∴CF=AF•tan∠FAC=60×=20，又∵FD=60，∴CD=60﹣20，∴建筑物CD的高度为〔60﹣20〕米．点评：考察解直角三角形的应用；得到以AF为公共边的2个直角三角形是解决此题的突破点．22．〔2021•邵阳〕一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．〔温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6〕考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．解答：解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50〔海里〕，∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=〔小时〕．点评：此题考察了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．〔2021•射阳县三模〕小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．斜坡的坡度为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：延长AC交BF延长线于D点，那么BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．解答：解：延长AC交BF延长线于D点，那么∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，∴CE=2〔米〕，EF=4cos30°=2〔米〕，在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2〔米〕，CE：DE=1：2，∴DE=4〔米〕，∴BD=BF+EF+ED=12+2〔米〕在Rt△ABD中，AB=BD=〔12+2〕=〔6+〕〔米〕．答：树的高度为：〔6+〕〔米〕．点评：此题考察了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决此题的关键是作出辅助线得到AB的影长．24．〔2021•崇川区一模〕如图，某登山队在山脚A处测得山顶B处的仰角为45°，沿坡角30°的斜坡AD前进1000m 后到达D处，又测得山顶B处的仰角为60°．求山的高度BC．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：过点D作DE⊥AC，△ACB是等腰直角三角形，直角△ADE中满足解直角三角形的条件．在直角△BDF 中，根据三角函数可得BF，进一步得到BC，即可求出山高．解答：解：过D分别作DE⊥AC与E，DF⊥BC于F．∵在Rt△ADE中，AD=1000m，∠DAE=30°，∴DE=AD=500m．∵∠BAC=45°，∴∠DAB=45°﹣30°=15°，∠ABC=90°﹣45°=45°．∵在Rt△BDF中，∠BDF=60°，∴∠DBF=90°﹣60°=30°，∴∠DBA=45°﹣30°=15°，∵∠DAB=15°，∴∠DBA=∠DAB，∴BD=AD=1000m，∴在Rt△BDF中，BF=BD=500m，∴山的高度BC为〔500+500〕m．点评：此题考察了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，根据得出FC，BF的长是解题关键．。
《解直角三角形》典型例题
《解直角三角形》典型例题（一）例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形．分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解（1）；（2）由a bB =tan ，知；（3）由c a B =cos ，知860cos 4cos =︒==B a c ．说明 此题还可用其他方法求b 和c ．例 2在Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴设 ,则由勾股定理,得∴．∴．解法二133330tan =⨯=︒=b a说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3设中，于D ，若，解三角形ABC ．分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手．解在Rt中，有：在Rt中，有说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值：所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具．例4在中，，求．分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有；在中，，且，∴；于是，有，则有说明还可以这样求：例5如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）．分析分别在两个直角三角形ADC和BDC中，利用正弦函数的定义，求出AC和BC．解:在Rt△ADC中，331023560sin==︒=DCAC在Rt△BDC中，221022545sin==︒=DCBC说明本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握．。
解直角三角形练习题及答案
解直角三角形一、选择题1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)．22 (D)．222、如果α是锐角，且54cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）2516 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513（B ）1213 （C ）1013 （D ）5124、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( )（A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）．（A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）．（A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）5167、某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( )（A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）512ABCDE︒15020米30米10、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． （A ）21 （B ）22（C ）23 （D ）1二、填空题11、如图，在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝22， 则BC ＝12、如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB为 m 。
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解直角三角形练习题 1 姓名
一、 真空题：
1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则A sin = ；
2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900
，AB ＝,3,5cm BC cm =
则A sin = ，B cos = ；
3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900
，A sin =
5
4，AB =10，则BC ＝ ；
4、α是锐角，若︒=15cos sin α,则α＝ 若8018.0'1853sin =︒，则'4236cos ︒= ；
5、∠B 为锐角，且01cos 2=-B ，则∠B ＝ ；
6、在△ABC 中，∠C ＝900
，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，12,9==b a 则
A sin = ，
B sin = ；
7、Rt △ABC 中，∠C ＝900，2
1tan =
A ，则=A cot ；
8、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=
则_____tan =A ；
9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 ； 10、若∠A 为锐角，且03tan 2tan 2=-+A A ，则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ；
12、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ； 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，︒=∠90B ，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则ACB ∠tan = ； 二、选择题
1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） （A ） 都扩大2倍 （B ） 都扩大4倍 （C ） 没有变化 （D ） 都缩小一半
2、若∠A 为锐角，且3cot <，则∠A （ ） （A ） 小于300 （B ） 大于300 （C ） 大于450且小于600 （D ） 大于600
3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） （A ） a A sin （B ）
A
a sin （C ） a A cos （D ）
A
a cos
4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ）
（A ） 600 （B ） 900 （C ） 1200 （D ） 1500
5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有 B A cos sin =，则这个三角形是 （ ） （A ） 等腰三角形 （B ） 直角三角形 （C ） 钝角三角形 （D ） 锐角三角形
6、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ）
（A ）
cm 4
1 （B ）
cm 2
1 （C ）
cm 4
3 （D ）
cm 2
3
三、求下列各式的值
1、︒+︒60cos 60sin 22
2、︒︒-︒30cos 30sin 260sin
3、︒-︒45cos 30sin 2
4、3245cos 2-+︒
5、0
45cos 360sin 2+ 6、
1
30sin 560
cos 30
-
7、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan ·︒30cot 8、︒-︒30tan 45sin 22
四、解答下列各题
1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900
，，AB ＝13，BC ＝5，求A sin , A cos ，A tan ，A cot ；
2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若13
12sin =A 求 A cos ，B sin ，B cos ；
3. 在Rt △ABC 中，︒=∠=︒=∠45,17,90B b C ,求a 、c 与A ∠；
四、根据下列条件解直角三角形。
在Rt △ABC 中。
1、︒=∠=45,20A c 2. ︒=∠=30,36B a
3. ,19=a 219=c
4. a =66,26=b
五、等腰梯形的一个底角的余弦值是23
2，腰长是6，上底是22求下底及面积
六. 如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o
，∠ACB=30o ，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。
七. 某一时刻，一架飞机在海面上空C 点处观测到一人在海岸A 点处钓鱼。
从C 点处测得A 的俯角为45o ；同一时刻，从A 点处测得飞机在水中影子的俯角为60o 。
已知海岸的高度为4米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离。
例7 如图1，在∆A B C 中，AD 是BC 边上的高，tan cos B D A C =∠。
（1）求证：AC ＝BD （2）若sin C B C =
=1213
12，，求AD 的长。
B H C
解：在中，Rt ABC BC AB ∆=
︒tan 45 在中，Rt ABG BG AB ∆=︒tan 60 A B A B tan tan 60458︒-︒= ∴=+AB 443
∴=+AC 4246。