椭圆概要总结
椭圆基本知识点总结
椭圆基本知识点总结椭圆是平面上一条封闭的曲线，具有一对焦点和一条主轴。
下面将对椭圆的基本知识进行总结，包括椭圆的定义、方程、性质、参数方程、焦点、离心率等。
一、椭圆的定义和方程：椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为椭圆的焦点，连结两个焦点的直线称为椭圆的主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。
将两个焦点之间的距离称为焦距，将两焦点之间的距离称为椭圆的直径。
椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长，a>b，中心在原点。
二、椭圆的性质：1.对于椭圆上的任意一点P，焦点到P的距离之和等于常数。
设PF1和PF2分别是该点到焦点F1和F2的距离，那么PF1+PF2=2a（常数）。
2.椭圆的离心率e满足0<e<1、离心率e的定义是焦距与半轴长的比值：e=c/a，其中c为焦距。
3.离心率e越小，椭圆的形状越扁平；离心率接近于1，椭圆的形状越接近于长轴为直径的圆。
4. 椭圆的面积为πab，其中π为圆周率。
5.椭圆的边界上的点离中心的距离最远为a，该点称为椭圆的顶点；离中心的距离最近为b，该点称为椭圆的底点。
三、椭圆的参数方程：可以用参数方程来表示椭圆上的点的坐标(x,y)。
常用的参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b为椭圆的半轴长。
四、椭圆的焦点和直线：1.椭圆的焦点是椭圆上特殊的两个点，它们与椭圆上的任意一点连线的长度之和是一个常数。
2.椭圆的两条主轴与椭圆相交于中心，相互垂直。
3.过椭圆的焦点F1和F2分别作直线L1和L2，与椭圆的边界交于两点P1和P2，那么直线L1和L2分别是椭圆的两条切线。
4.椭圆的两条主轴与椭圆的焦点、中心之间的连线围成的角称为离心角，它等于直角。
五、椭圆的离心率和焦距：1. 椭圆的离心率e定义为焦距与半轴长之比：e = c/a = sqrt(1 -b^2/a^2)，其中c为焦距。
(完整版)椭圆知识点归纳总结
(完整版)椭圆知识点归纳总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的形状由焦点之间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。
2. 椭圆的基本性质- 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。
- 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。
- 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。
- 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两个焦点的距离之和。
- 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。
3. 椭圆的方程普通椭圆的方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。
5. 椭圆的焦点与直径- 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。
- 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。
6. 椭圆与其他几何图形关系- 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。
- 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。
- 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。
7. 椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如：- 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。
- 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。
- 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。
以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。
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椭圆一．知识清单1.椭圆的两种定义：①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a 2a F1 F2的动点P 的轨迹，即点集M={P||PF|+|PF |=2a ， 2a＞ |F F |} ；（2a F1 F2时为线段 F1F2，2a F1F2无轨迹）。
此中两定1212点 F1， F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和必定直线的距离的比是小于 1 的正常数的点的轨迹，即点集M={P|PF e， 0＜ e＜ 1 的常数。
（ e1为抛物线； e1为双曲线）d（利用第二定义 , 能够实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转变，定点为焦点，定直线为准线） .2 标准方程：（ 1）焦点在 x 轴上，中心在原点：x2y 21 （a＞b＞0）；a2 b 2焦点 F （－ c， 0）， F（ c，0）。
此中c a2b2（一个 Rt 三角形）12（ 2）焦点在 y 轴上，中心在原点：y 2x 21（a＞b＞0）；a2b2焦点 F1（ 0，－ c）， F2（ 0， c）。
此中c a 2 b 2注意：①在两种标准方程中，总有a＞ b＞ 0，c a 2b2而且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞ 0，B＞ 0，A≠ B），当 A＜ B 时，椭圆的焦点在 x 轴上， A＞ B 时焦点在 y 轴上。
3 参数方程：焦点在 x 轴，x a cos（为参数）y b sin4 一般方程：Ax2By 21( A0,B 0)5. 性质：对于焦点在 x 轴上，中心在原点：x2y21（ a＞ b＞ 0）有以下性质：a2b2坐标系下的性质：①范围： |x|≤a， |y|≤b；② 对称性：对称轴方程为x=0， y=0，对称中心为O（0， 0）；③极点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（ a 半长轴长，b半短轴长）；④ 椭圆的准线方程：对于 x2y 21，左准线 l 1 : x a 2；右准线 l 2 : x a2a 2b 2c c对于 y 2x 21，下准线 l1 : y a 2；上准线 l 2 : y a 2a 2b 2c c焦点到准线的距离 pa 2 a 2 c 2b 2 cc（焦参数）cc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外面，与短轴平行，且对于短轴对称⑤ 焦半径公式： P （ x 0，y 0）为椭圆上任一点。
椭圆高中知识点总结
椭圆高中知识点总结椭圆是一个在数学中经常被研究的几何图形。
它有许多重要的性质和特点，是高中数学中的重要知识点之一、在以下的总结中，我将介绍椭圆的定义、方程、性质、焦点及其应用等方面的知识点。
一、椭圆的定义：椭圆可以通过两个焦点和一个定长的线段来定义。
具体地说，椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于定长的点的集合。
这两个给定点称为焦点，定长称为焦距。
二、椭圆的方程：椭圆的标准方程为：[(x-h)^2/a^2]+[(y-k)^2/b^2]=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。
三、椭圆的性质：1.椭圆的长半轴和短半轴之间存在关系：c^2=a^2–b^2，其中c是焦点到椭圆中心的距离。
2.椭圆是对称图形，具有关于x轴和y轴的对称性。
3.椭圆的离心率e满足0<e<1，且离心率越大，椭圆越扁平；离心率为0时，椭圆退化成为一个点。
4.椭圆的周长可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：L=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第一类型椭圆积分。
5. 椭圆的面积可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：S =πab。
四、椭圆的焦点：椭圆上有两个与焦点有关的重要的点，分别是两个焦点的位置。
焦点到椭圆上任一点的距离之和等于椭圆的焦距。
焦距与椭圆的半轴之间的关系为c^2=a^2–b^2五、椭圆的应用：1.椭圆在天文学中被广泛应用，用于描述行星和卫星的轨道形状。
2.椭圆在工程学中用于设计椭圆形的机械零件。
3.椭圆在地理学中用于描述地球的地理形状和地球上的纬度和经度线。
4.椭圆在艺术和建筑设计中被用于创作椭圆形的艺术品和建筑结构。
总结：椭圆是一个广泛应用于数学和其他科学领域的重要几何图形。
通过椭圆的定义、方程、性质和焦点等方面的知识点，我们可以更好地理解和应用椭圆。
椭圆的应用广泛，涉及到天文学、工程学、地理学、艺术和建筑设计等不同领域。
掌握椭圆的相关知识，对于我们理解和应用数学都有很大的帮助。
数学选修椭圆知识点总结
数学选修椭圆知识点总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上一点到两个给定点（称为焦点）的距离之和等于定值（称为椭圆的半长轴）的所有点的轨迹。
这个定值等于椭圆的长度，两个焦点的距离等于椭圆的主轴。
2. 椭圆的方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中(a,0)和(-a,0)分别是椭圆的两个焦点，直线x=a和x=-a分别是椭圆的两个直径。
3. 椭圆的性质椭圆有很多性质，其中一些重要的性质包括：- 椭圆的离心率e < 1- 椭圆的直径是椭圆的最长直线段- 椭圆的焦点到椭圆上任意点的距离之和等于椭圆的半长轴4. 椭圆的焦点和焦距椭圆有两个焦点，它们位于椭圆的主轴上，并且满足焦距的性质。
椭圆的焦点和焦距的关系由以下公式给出：c = √(a^2-b^2)5. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中t的范围为0 <= t <= 2π6. 椭圆的面积和周长椭圆的面积可以用以下公式计算：S = πab其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆的周长可以用以下公式计算：L = 4aE(e)其中E(e)是第二类完全椭圆积分。
7. 椭圆的变换椭圆可以通过一些线性变换转化为标准椭圆方程。
一般情况下，椭圆可以通过平移、旋转和缩放等变换转化为标准椭圆方程。
8. 椭圆的应用椭圆在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
在几何学中，椭圆是圆锥曲线中的一个重要成员，它的性质和特征被广泛应用于曲线的研究和建模中。
在物理学中，椭圆的运动规律和能量转换规律被广泛应用于物体运动和动力学模型的建立。
在工程学中，椭圆的形状和性质被广泛应用于建筑物、机械设备、电子设备等的设计和制造中。
总之，椭圆是一个非常有趣且重要的数学概念，它的定义、性质、方程、焦点、焦距、离心率、参数方程等内容都具有重要的理论和应用价值。
对椭圆进行深入的研究不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以帮助我们更好地应用数学知识解决实际问题。
椭圆的知识点总结
椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。
在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。
具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。
椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。
3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。
4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。
椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。
6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。
椭圆的离心率满足0<e<1，且e=√(1-b²/a²)。
7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。
四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。
五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。
数学椭圆知识点总结
数学椭圆知识点总结椭圆是数学中有着许多重要性质和应用的一个图形。
下面是对椭圆的一些基本概念、性质和应用的总结。
一、基本概念：1.椭圆的定义：椭圆是平面中到两个给定点距离之和等于常数的点的集合。
2.椭圆的元素：椭圆的两个给定点叫做焦点，连接两焦点的线段长度叫做主轴；主轴的中点叫做椭圆的中心；主轴的一半长度叫做半轴长度；椭圆中心到焦点的距离叫做焦距。
3.椭圆的方程：标准椭圆的方程形式为：(x/a)²+(y/b)²=1其中，a是椭圆的半长轴长度，b是椭圆的半短轴长度。
二、性质：1.对称性：椭圆是关于x轴和y轴对称的。
2.焦点性质：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
3.离心率：椭圆的离心率是一个衡量椭圆圆度的量。
离心率e的取值范围是0到1之间，当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一个抛物线。
4.焦半径性质：椭圆的焦半径性质是指在椭圆上取一点P，以焦点为中心，过点P作圆的切线，切点和焦点之间的距离等于焦距。
5.弦长性质：椭圆上取一点P，过点P作两直线段与椭圆相交，分别与圆交于A、B两点，则线段AB的长度等于弦长。
6.空间对称性：椭圆的三维空间图形是椭球，具有空间对称性。
三、应用：1.天体运动：开普勒的椭圆轨道定律描述了行星运动的椭圆轨道特性。
2.光学：反射和折射定律中的焦点性质和弦长性质可以用来解决光学问题。
3.通信：在无线通信中，椭圆是天线和信号传播路径的数学模型，用于研究无线信号的覆盖范围和传播特性。
4.机械工程：在机械零件的设计中，椭圆齿轮和椭圆齿条可以用来实现转动和直线运动的转换。
5.地理测量学：地球的纬度和经度构成的网格是一种椭圆形状的二维曲面，用于定位和测量地球上的位置。
6.统计学：椭圆是多元统计分析中用来表示数据分布形状的图形，如椭圆的主轴和离心率可以用来描述数据的差异和相关性。
总结起来，椭圆是数学中一个重要的图形，具有许多特殊的性质和应用。
椭圆知识点总结
椭圆知识点总结一、椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别代表椭圆长轴和短轴的一半。
椭圆的焦点到中心的距离是c，满足c^2 = a^2 - b^2。
二、椭圆的性质1. 椭圆对称性：椭圆关于x轴和y轴对称。
2. 焦点性质：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
3. 长短轴性质：椭圆的长轴和短轴互相垂直，长轴的长度是2a，短轴的长度是2b。
4. 离心率：椭圆的离心率e定义为c/a，表示椭圆拉伸的程度，离心率介于0到1之间。
5. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)，其中t为参数。
6. 弦长：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，因此椭圆上任意一条弦的长度小于或等于2a。
7. 焦准线性质：椭圆上任意一点到两个准线的距离之差等于常数2a。
三、椭圆与圆的关系1. 圆是椭圆的特殊情况：当椭圆的长轴和短轴相等时，椭圆就变成了圆。
2. 椭圆的离心率介于0到1之间，当离心率等于0时，椭圆就是一个圆。
因此，椭圆和圆可以看作是同一种几何图形的不同特例。
四、椭圆的应用1. 天体运动：椭圆轨道是描述天体运动的重要数学工具，如行星绕太阳运动、卫星绕地球运动等。
2. 光学：椭圆镜片和椭圆抛物面反射器是光学领域常用的元件，用于聚焦和成像。
3. 工程设计：椭圆的性质在设计椭圆形建筑、椭圆形机械零件、椭圆形轨迹等方面有重要应用。
4. 地理测量：椭圆在地图投影和地理测量中有广泛应用，如椭球面测量、椭圆地图投影等。
五、椭圆的求解1. 椭圆的参数方程可以通过消除参数t来得到椭圆的标准方程。
2. 根据椭圆的焦点性质和准线性质，可以求解椭圆的焦点和准线方程。
3. 椭圆的面积可以通过积分求解，面积公式为S = πab。
4. 椭圆的周长可以通过椭圆的参数方程求解，周长公式为L = 4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分。
六、椭圆的变换1. 平移变换：椭圆的平移变换可以用矩阵形式表示，通过平移变换可以将椭圆移动到任意位置。
数学椭圆总结（精选5篇）
数学椭圆总结（精选5篇）数学椭圆总结篇1《椭圆的简单几何性质》知识点总结椭圆的简单几何性质中的考查点:(一)、对性质的考查：1、范围：要注意方程与函数的区别与联系;与椭圆有关的求最值是变量的取值范围;作椭圆的草图。
2、对称性：椭圆的中心及其对称性;判断曲线关于轴、y轴及原点对称的依据;如果曲线具有关于轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性;注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。
3、顶点：椭圆的顶点坐标;一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点;椭圆中a、b、c的几何意义(椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示)。
4、离心率：离心率的定义;椭圆离心率的取值范围：(0，1);椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平;当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆;当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。
(二)、课本例题的变形考查：1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点P(，y)到椭圆一焦点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点P的坐标;2、椭圆的第二定义及其应用;椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。
3、已知椭圆内一点M，在椭圆上求一点P，使点P到点M与到椭圆准线的距离的和最小的求法。
4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。
数学椭圆总结篇2⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算数学椭圆总结篇31、新课程改革的核心是促进学生学习方式的变革。
椭圆知识点详细总结
椭圆知识点详细总结椭圆是平面上的一个特殊几何图形，其形状和性质具有独特的特点。
在学习椭圆的知识时，我们需要了解它的定义、性质、方程和应用等方面的内容。
一、椭圆的定义和性质：1.定义：在平面上给定一对焦点F1和F2以及一个距离2a（长轴）,该点到两个焦点F1和F2的距离之和是常数2a（2a>0）。
以两个焦点F1、F2和连接它们的直线段为轴的点的轨迹，构成了一个椭圆。
2.性质：a)长轴和短轴：椭圆的长轴是两个焦点之间的距离2a，短轴是通过中点M的两条焦半径之间的距离2b。
b)焦点关系：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
c)中点关系：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之差等于长轴的长度。
d)准线：椭圆上的点到两条焦半径的距离之和等于准线的长度。
e) 离心率：椭圆的离心率ε的定义为eccentricity=e=c/a，其中c是焦点到中心的距离。
f)焦半径和法线：椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于该点到准线的距离，即焦半径等于法线。
二、椭圆的方程和参数方程：1.方程：a)标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a是长轴的长度，b是短轴的长度。
b) 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cosθ, y = b*sinθ，其中θ为参数。
2.其他形式的方程：椭圆还可以通过平移、旋转和缩放等变换得到其他形式的方程。
比如椭圆的中心在坐标原点的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1三、椭圆的性质：1.对称性：椭圆具有相对于两个轴的对称性，即关于x轴和y轴对称。
2.离心角和弧长：任意两个焦点之间的线段所对应的圆心角等于椭圆上的弧的长度。
3.焦点面积和弧长：椭圆上两个焦点和一点的连线所围成的三角形面积等于以该点为焦点的椭圆弧长的一半。
4.弦：椭圆上的弦的长度是准线的长度小于2a。
5.游程：椭圆上两个焦点之间的距离等于椭圆上两个点之间的最短路径长度。
6.光学性质：椭圆是一个反射光线的特殊曲面，具有反射原则和等角反射原理。
椭圆知识点总结归纳
椭圆知识点总结归纳一、椭圆的定义和基本概念椭圆可以通过平面上的一个固定点F（称为焦点）和一条固定线段2a（称为主轴）上的所有点P的路径定义为椭圆。
具体而言，椭圆的定义如下：给定平面内的一条固定线段2a，再给定一个固定点F（焦点），点S（焦点）到线段上所有的点P的距离之和等于一个常数2a。
即|PF1| + |PF2| = 2a。
一个椭圆可以有很多不同的特点和性质，其中一些重要的概念包括椭圆的长轴、短轴、焦距、离心率等，这些概念对于理解和分析椭圆的性质和特点非常重要。
椭圆上的点P满足以下条件：|PF1| + |PF2| = 2a，其中F1和F2为椭圆的两个焦点，2a为椭圆的长轴的长度。
椭圆也具有一个参数e，叫做离心率，满足e=c/a，其中c为焦距。
二、椭圆的标准方程和参数方程椭圆的标准方程是椭圆上的所有点（x，y）满足以下条件的方程：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
椭圆的参数方程是另一种表示椭圆的方式，通常用参数方程表示的椭圆更容易进行计算和分析。
三、椭圆的性质和特点1. 椭圆的离心率是一个重要的性质，它决定了椭圆的形状。
离心率e的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个点；当e=1时，椭圆退化为一条线段。
2. 椭圆的长轴和短轴的长度分别为2a和2b，其中a>b。
3. 椭圆的焦点和两个顶点都在椭圆的长轴上。
4. 椭圆上的任意点P到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度2a。
5. 椭圆上的对称轴是椭圆的长轴和短轴，对称中心是椭圆的中心。
6. 椭圆与坐标轴的交点分别为（±a, 0）和（0, ±b）。
7. 椭圆上的点P（x，y）与主轴和副轴之间的关系满足x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
8. 椭圆的周长和面积分别为π(a+b)和πab。
9. 椭圆是一种闭合曲线，不同于抛物线和双曲线，它没有渐近线。
四、椭圆的相关定理和公式1. 椭圆上的点P(x，y)与焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度2a，即|PF1| + |PF2| = 2a。
椭圆的经典知识总结
椭圆的经典知识总结椭圆是一个非常重要的几何形状，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
下面将对椭圆的经典知识进行总结，涵盖椭圆的定义、性质以及一些常见的应用。
一、定义和性质：1.椭圆定义：椭圆是平面上到两个给定点（焦点）距离之和等于一定常数（长轴）的点的集合。
2.主要要素：(1)焦点：椭圆的两个焦点是确定椭圆形状的关键要素。
(2)长轴和短轴：椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴则是垂直于长轴并通过中心点的线段。
长轴的长度称为椭圆的主轴，短轴的长度则称为次轴。
(3)中心：椭圆的中心是指长轴和短轴的交点。
(4)半焦距：则是焦点到中心的距离。
(5)离心率：椭圆的离心率是一个用来衡量椭圆形状的值，定义为离心距（焦点到中心的距离）与主轴长度之比。
3.离心率和几何性质：(1)离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化为一个点；当离心率为1时，椭圆退化为一个抛物线。
(2)在椭圆上的任意一点，到焦点的距离之和等于常数，称为焦散性质。
(3)椭圆的两个焦点到任意一点的距离之差等于长轴的长度。
4.椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为椭圆中心点的坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度，并且a>b。
二、椭圆的性质和应用：1.对称性：(1)椭圆具有对称性，关于中心对称，即中心点是对称中心。
(2)长轴和短轴也是椭圆的对称轴。
2.焦点与直线的关系：(1)焦点到椭圆上的任意一点的距离之和等于该点到椭圆的任意一条切线的长度。
(2)椭圆上的任意一条切线与焦点之间的两条线段的夹角相等。
3.切线和法线：(1)切线是与椭圆一点相切且垂直于切线的直线。
(2)法线是与切线垂直且通过椭圆上切点的直线。
4.面积公式：椭圆的面积为πab，其中a和b分别为长轴和短轴的长度。
5.椭圆的应用：(1)椭圆在天文学中被用来描述行星、彗星和其他天体的轨道。
(2)椭圆也广泛应用于工程学、建筑学和设计中，例如椭圆形的天花板和门窗等。
高三知识点总结椭圆
高三知识点总结椭圆一、椭圆的定义椭圆是平面上一个动点到两个不同的固定点的距离之和等于常数的轨迹。
这两个固定点分别称为焦点，这个常数称为椭圆的半长轴的长度。
椭圆的定义可以用数学表达式表示为：椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)$其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度，且椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆定义的两个焦点到椭圆曲线上的任意一点的距离之和等于常数2a。
2. 直径性质：椭圆的任意一条直径上任意一点到焦点的距离与到准位线的距离之和等于直径的长。
3. 对称性质：椭圆具有关于x轴、y轴和原点对称的性质。
4. 离心率：椭圆的离心率为$e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，它描述了椭圆的扁平程度，离心率越接近于0，椭圆越圆。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为：$x=a \cos t$$y=b \sin t$其中，t为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
四、椭圆的焦点与准位线椭圆的焦点和准位线是椭圆的重要性质之一，它们在椭圆的图形、方程和计算中起着重要作用。
1. 焦点的坐标：椭圆的焦点坐标为$(\pm \sqrt{a^2 - b^2},0)$2. 准位线方程：椭圆的准位线方程为$x=\pm a \epsilon$，其中ε为椭圆的离心率。
五、椭圆的相关定理1. 椭圆的直径定理：椭圆的所有直径的长度之和为常数2a。
2. 椭圆的离心率定理：椭圆的离心率e的平方等于1减去b平方除以a平方。
六、椭圆的应用椭圆在生活和工程领域中有着广泛的应用，例如：1. 太阳系中行星的轨迹一般为椭圆，椭圆的性质可以帮助我们更好地理解天体运动规律。
2. 椭圆在工程中的应用：例如建筑、机械、航天等领域都会涉及到椭圆的应用，例如在建筑设计中椭圆形的圆顶结构、在机械制造中椭圆齿轮的设计等等。
高三知识点总结椭圆
高三知识点总结椭圆椭圆作为高中数学中的重要知识点之一，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
它具有独特的性质和特点，需要我们掌握其定义、基本性质以及相关公式和定理。
接下来，我将对椭圆的知识点进行总结。
1. 椭圆的定义和相关术语椭圆是一个平面上的几何图形，由到两个定点的距离之和等于常数的点的集合组成。
其中，两个定点称为焦点，常数称为焦距。
椭圆的中心是焦点连线的中垂线的交点，椭圆的长轴是焦点连线的延长线段，短轴是长轴上截取的一段等于焦距的线段。
2. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的一半长度。
通过标准方程，我们可以确定椭圆的中心、长短轴和离心率。
3. 椭圆的离心率和焦距关系椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的重要指标。
离心率的计算公式为e = √(a²-b²)/a，其中a和b分别表示长轴和短轴的一半长度。
当离心率小于1时，椭圆是一个闭合曲线，当离心率等于1时，椭圆退化为一个抛物线。
4. 椭圆的焦点坐标和焦距的计算椭圆的焦点坐标可以通过中心坐标和离心率计算得到。
设横轴为x轴，纵轴为y轴，椭圆的焦点坐标为(F₁,0)和(-F₁,0)，其中F₁ = e * a。
椭圆的焦距为2F₁。
5. 椭圆的参数方程椭圆还可以通过参数方程来表示。
如果椭圆的焦点在原点上方，参数方程可表示为x = h + a * cosθ，y = k + b * sinθ，其中θ为参数。
6. 椭圆的性质和定理椭圆有许多重要的性质和定理，如椭圆离心率定理、椭圆三点共线定理、椭圆的切线方程等。
掌握这些性质和定理，对于解题和证明椭圆相关问题非常有帮助。
7. 椭圆的应用椭圆广泛应用于几何学、物理学、电子学等领域。
在几何学中，椭圆常用于描述行星的轨道、天体运动和地震波的传播等。
在物理学中，椭圆常用于描述光的偏振和电场的变化等。
高中数学椭圆知识点总结
高中数学椭圆知识点总结椭圆在数学中是一个十分重要且有趣的概念，它既是几何图形的一种，也是代数方程的一种。
在高中数学中，我们学习了很多关于椭圆的知识，下面将对一些重要的椭圆知识点进行总结。
1. 椭圆的定义与特点椭圆是平面上一点到两个给定点F1和F2的距离之和等于常数2a的轨迹。
其中F1和F2被称为椭圆的焦点，两个焦点的连线称为主轴，主轴的中点为椭圆的中心。
椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，长轴和短轴的中点连线为准线。
椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为两个焦点之间的距离。
2. 椭圆的方程椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
当椭圆的长轴和短轴与坐标轴平行时，可以根据给定的参数求解椭圆的具体方程。
3. 椭圆的焦点坐标对于给定的椭圆方程，可以通过求解a和b来计算焦点的坐标。
由焦点的定义可知，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于2a。
可通过使用平面几何中距离公式进行计算，得出焦点的坐标。
4. 椭圆的离心率椭圆的离心率描述了椭圆形状的独特性质。
离心率小于1的椭圆被称为压缩椭圆，离心率等于1的椭圆是一个特殊的情况，称为圆，离心率大于1的椭圆被称为扁椭圆。
通过计算椭圆的离心率，可以判断其形状的特性。
5. 椭圆的参数方程除了使用标准方程表示椭圆外，还可以使用参数方程来表示椭圆。
参数方程的形式为x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数，范围为[0,2π]。
该参数方程描述了椭圆上每个点的坐标。
6. 椭圆的焦半径椭圆上每个点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。
通过该等式，可以根据给定的点坐标求解焦半径。
7. 椭圆的直径与焦径椭圆上的两个对称点与两个焦点之间的线段被称为焦径。
椭圆的长轴是通过两个焦点的直线，同时也是椭圆上的最大直径。
椭圆的短轴与长轴垂直，同时也是椭圆上的最小直径。
以上是高中数学中关于椭圆的一些重要知识点的总结。
椭圆归纳总结
椭圆归纳总结在数学中，椭圆是一种常见的几何形状，具有许多独特的性质和特点。
通过归纳总结，我们可以更深入地理解椭圆，并在各个方面应用它们。
本文将对椭圆的定义、性质、公式以及实际应用进行详细讨论。
一、椭圆的定义与性质椭圆可由一个平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹定义。
定点称为焦点，常数称为离心率。
椭圆有以下基本性质：1. 椭圆是平面上的一个封闭曲线，且具有对称性；2. 椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并通过椭圆的中心点；3. 椭圆的离心率小于1，且离心率越接近于0，椭圆越趋近于圆形；4. 椭圆的离心率决定了其扁平程度。
二、椭圆的参数方程与标准方程椭圆的参数方程由以下两个方程给出：x = a*cosθ,y = b*sinθ,其中a和b分别代表长轴与短轴的一半，θ为参数。
标准方程是描述椭圆的另一种形式，可由以下方程表示：((x-h)²/a²) + ((y-k)²/b²) = 1,其中(h,k)为椭圆的中心点坐标。
通过参数方程和标准方程，我们可以方便地描述和画出椭圆。
三、椭圆的周长与面积椭圆的周长和面积是我们在实际问题中常常需要计算的指标。
1. 椭圆的周长公式为：C = 4*a*E(e),其中E(e)为椭圆的第一类椭圆积分，e为离心率。
2. 椭圆的面积公式为：S = π*a*b，其中a和b分别代表长轴和短轴的一半。
四、椭圆的应用椭圆具有广泛的应用领域，下面我们将以几个具体的实例来说明椭圆在实际中的应用。
1. 天体运动：开普勒定律描述了行星围绕太阳运动的规律，其中椭圆轨道是行星运动的基础。
2. 抛物物体轨迹：若有一个物体在一个平面上沿抛物线轨迹运动，那么当物体的初始速度和投掷角度给定时，该轨迹是一个椭圆。
3. 天文测量：椭圆是描述天体轨道的最常见形状之一，对于行星、卫星、彗星等天体的轨道参数测量和计算，椭圆方程是非常重要的工具。
4. 圆椎曲线应用：椭圆是一种圆锥曲线，因此在光学领域应用广泛，如椭圆镜、椭圆透镜等。
对口数学椭圆知识点总结
对口数学椭圆知识点总结一、椭圆的定义在数学中，椭圆是指到定点距离之和等于常数的点的集合。
这个常数称为椭圆的长轴长度，而与定点的距离之和等于这个常数的直线称为椭圆的长轴。
另一方面，椭圆的短轴长度是椭圆的长轴长度的一半，并且长轴和短轴所在的直线相互垂直。
椭圆的定点称为焦点，两个焦点之间的距离等于椭圆的长轴长度。
椭圆的数学符号为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别代表椭圆的长轴和短轴长度。
在平面直角坐标系中，椭圆的中心点为原点(0,0)，椭圆的长轴沿着x轴方向，短轴沿着y轴方向。
二、椭圆的性质1. 对称性：椭圆具有关于x轴和y轴对称的性质。
即椭圆关于x轴对称时，其上半部分和下半部分关于x轴对称；椭圆关于y轴对称时，其左半部分和右半部分关于y轴对称。
2. 离心率：椭圆的离心率e定义为焦点到中心的距离与半长轴之比。
离心率是一个重要的因数，它可以用来定义椭圆的形状，离心率越接近于0，椭圆的形状越接近于圆。
3. 外切矩形：椭圆的外切矩形是指外切于椭圆，并且长轴和短轴作为两边的矩形。
椭圆的外切矩形的面积是椭圆的面积的上限。
4. 焦点性质：椭圆的焦点是指到椭圆上所有点的距离之和等于椭圆的长轴长度的定点。
焦点与椭圆的长轴上的一个特殊点的连线称为准径，椭圆上任意一点到焦点的距离与到准径的距离的和是常数。
5. 弦长定理：椭圆上任意两点的连线与长轴的交点A和B的连线的长度之和等于椭圆的长轴长度。
6. 双曲线与椭圆的关系：椭圆是双曲线的一种特殊情况，当椭圆的离心率为0时，椭圆就是双曲线的两分支相互重合的情况。
三、椭圆的方程椭圆的一般方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴长度。
如果椭圆的中心点不在原点，可以通过平移变换将椭圆的中心点移到原点，然后再求解出椭圆的方程。
椭圆的标准方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。
椭圆知识点总结范文
椭圆知识点总结范文1.椭圆的定义：椭圆定义为平面上到两个焦点的距离和为常数的点构成的轨迹。
焦点是椭圆的两个重要元素之一，另一个是短轴。
椭圆也可以通过斜率和离心率来定义，离心率是椭圆两个焦点与短轴之间的比值。
2.椭圆的方程：椭圆的标准方程为：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长短轴半径。
当椭圆的中心在坐标原点时，方程可以简化为x²/a²+y²/b²=1、如果长轴和短轴长度相等，椭圆退化为圆。
3.椭圆的性质：(1)椭圆的长轴是与短轴垂直的直线段，且过椭圆中心。
(2)椭圆的焦点到中心的距离称为焦距，焦距长度等于椭圆长轴长度的一半。
(3)椭圆的周长是一个无法用简单的公式表示的数值，需要使用数值近似方法进行计算。
(4)椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于椭圆长轴的长度。
(5)椭圆的离心率介于0和1之间，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆。
4.椭圆的参数方程：椭圆可以用参数方程x = a*cosθ，y = b*sinθ来表示，其中θ为参数，a和b分别是椭圆的长短轴半径。
5.椭圆的投影：当椭圆在一平面上被其中一直线所投影时，所得的投影图形称为椭圆的投影。
椭圆的投影可以是一个椭圆、一个椭圆弧、一个椭圆或一直线。
6.椭圆的焦准线：椭圆的焦准线是指与椭圆两个焦点相关联的直线。
椭圆上的任意一点到椭圆的焦准线的距离之和等于焦距的长度。
7.椭圆的切线和法线：椭圆上的切线是与椭圆曲线切于一个点的直线，切点处切线与椭圆曲线的斜率相等。
椭圆上的法线是与切线垂直的直线，法线与切线在切点处相交。
8.椭圆的应用：(1)椭圆在天文学中被广泛应用于描述行星、卫星和彗星的运动轨迹。
(2)椭圆在钟表设计中用于绘制表盘和指针的轨迹。
(3)椭圆在建筑设计中用于绘制拱门和圆顶的形状。
(4)椭圆在航空航天工程中用于描述轨道、导弹和飞机的运动轨迹。
椭圆相关知识点总结
椭圆相关知识点总结椭圆是数学几何中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用，如天文学、航天工程、电子工程等。
本文将对椭圆的定义、性质、方程和应用进行总结和讨论。
一、椭圆的定义和性质1.定义：椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个给定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。
2.性质：–椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形。
–椭圆的长轴是两个焦点之间的距离，短轴是椭圆的两个相互垂直的直径的长度之一。
–椭圆的焦点到任意一点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
二、椭圆的方程椭圆的标准方程可以表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中，(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的长度。
通过标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要参数： - 焦点的坐标为 (h ± c, k)，其中 c² = a² - b²。
- 离心率为 e = c/a。
三、椭圆的应用1.天文学：行星和卫星的运动轨迹多为椭圆，椭圆方程可以用来描述它们的轨道。
2.航天工程：火箭发射轨迹也常用椭圆来描述，以便计算火箭的速度和位置。
3.电子工程：天线的辐射范围常用椭圆来描述，以便确定最佳的天线安装位置和方向。
4.地理测量学：椭圆体被用作地球的近似模型，以便进行地图绘制和测量。
5.光学：椭圆反射镜和椭圆透镜在光学系统中有着重要的应用，可以用来聚焦和成像。
综上所述，椭圆是数学几何中的重要概念，在许多领域中都有广泛的应用。
通过对椭圆的定义、性质、方程和应用的总结，我们对椭圆有了更深入的了解，也认识到椭圆在实际问题中的重要性。
椭圆总结(全)
椭圆总结一、椭圆的定义：（隐含条件）平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
二、 方程1、标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个Rt 三角形）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=2、 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
要求能熟练的把一般方程转化成标准方程，并找出a,b,c.三、性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质：1、范围：|x|≤a ，|y|≤b ；[][]22121212,*,0PF a c a c PF PF b a F PF F BF ∈-+⎡⎤∈⎣⎦∈角，2、对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；3、顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；4、通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=ab 225、离心率：e=ca==（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越扁，0=e 是圆。
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椭圆一．知识清单1.椭圆的两种定义：①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e dPF =，0＜e ＜1的常数}。
（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） （利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）.2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个Rt 三角形）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
3 参数方程：焦点在x 轴，⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）4 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax5.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质：① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；④椭圆的准线方程：对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 22:=焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数） 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称⑤焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。
|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0；|PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上r =a-ey 0c a PF c a PF -=+=min max , ，左加右减，上减下加⑥通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=ab 22平面几何性质：⑦离心率：e=ca==（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越扁，0=e 是圆。
⑧焦准距c b p 2=；准线间距ca 22=⑨两个最大角()()221max 21221max 21,A B A PA A F B F PF F ∠=∠∠=∠焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）的性质可类似的给出。
6．焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义：r 1＋r 2＝2a (2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |= c | y 0 |=2tan2b θ⋅(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)7.共焦点的椭圆系设法：把椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的共焦点椭圆设为222221()x y b a b λλλ+=>-++ 8.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e 与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.9.弦长公式：1212AB x y y =-=-= 1212b x x a cx x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（a,b,c 为方程的系数 二．典型例题考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用 例1 .椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ）A ．4aB ．2(a －c)C ．2(a+c) D例2.点P 为为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，试求：21PF PF ⋅取得最值时的P 点坐标。
题型2 求椭圆的标准方程例3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.考点2 椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）例 4. 在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例5. 已知实数y x ,满足12422=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值考点3 椭圆的最值问题题型1: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值例6.椭圆191622=+yx上的点到直线l:9=-+yx的距离的最小值为___________．题型2.一、的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。
例7. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。
二、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。
例8 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。
三、的最值若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。
例9. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。
四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例10. 定长为的线段AB 的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。
考点4 直线与椭圆相交问题题型1 直线与椭圆相交求弦长(1) 常用分析一元二次方程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想。
(2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但△>0这一制约条件不同意。
1212AB x y y=-=-=1212bx xacx xa⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（a,b,c为方程的系数）例11.已知直线l过椭圆729822=+yx的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，求弦MN的长。
题型2“点差法”解题。
“设而不求”的思想。
当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。
步骤：1.设A(x1,y1) B(x2,y2)分别代入椭圆方程；2.设),(yxp为AB的中点。
两式相减，222122122121)()(yaxbyyaxxbxxyy-=++-=--3.得出2121xxyyk--=注：一般的，对椭圆12222=+byax上弦AB及中点，M，有22abKKOMAB-=⋅例12.已知椭圆1222=+yx，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程考点五.轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。
1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x ，y)，直接列出动点所应满足的方程。
2.代入法：一个是动点Q(x 0,y 0)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与Q 点满足某种关系，要求P 点的轨迹。
其关键是列出P 、Q 两点的关系式⎩⎨⎧==),(),(0y x y y y x f x o3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。
4.参数法：在x ，y 间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用⎩⎨⎧==)()(t y y t f x (t 为参数)来反映x ，y 之间的关系。
常用的参数有斜率k 与角α等。
例13：ABC ∆的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是94-，求顶点A 的轨迹方程：考点六 综合性问题，与平面向量结合 例15.（2009四川卷理）（本小题满分12分）已知椭圆2221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率e =，右准线方程为2x =。
（I ）求椭圆的标准方程；（II ）过点1F 的直线l 与该椭圆交于,M N 两点，且223F M F N +=，求直线l 的方程。
椭圆练习考点一：椭圆方程问题（一）求下列椭圆的标准方程1.长轴长是短轴长的3倍且过点A(3,0)2.经过两点A(0,2),B(12)3.焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过P(3,-4.焦距是12，离心率是34，焦点在y 轴上5.椭圆以坐标轴为对称轴，一焦点为（0，，且截直线32y x =-的弦的中点横坐标为12，求椭圆的标准方程。
（二）轨迹与椭圆有关的问题1.定点(,0)F c -，定直线2:a l x c=-，动点M 到定点F 的距离与到直线l 距离之比为ca ，求动点M 的轨迹方程。
2.ABC ∆的两顶点A(-1,0),B(1,0),且满足sin sin 3sin A B C +=，求动点C 的轨迹方程。
3. ABC ∆的两顶点A(-6,0),B(6,0)，边AC,BC 所在直线的斜率之积等于49-，求顶点C 的轨迹方程。
4.从圆2225x y +=上任意一点P 向x 轴做垂线段'PP ,且线段'PP 上一点M 满足关系式':'5:3PP MP =,求点M 的轨迹方程。
5.线段AB 的两端点A,B 分别在x 轴，y 轴上滑动，5AB =，点M 是点AB 上一点，且2AM =，点M 随线段AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程。