高一数学必修2课件(球的表面积和体积)
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8.3 第2课时球的表面积和体积-人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
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数学 必修第二册 配人版A版
第八章 立体几何初步
2．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面 得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．
【答案】16π 【解析】如图，圆 M 面积为 3π，则圆 M 半径 MB
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第八章 立体几何初步
错解：2
如图，设球的大圆为圆 O，C，D 分别为两截面圆的圆心，AB 为经
(2)已知球的体积为5300π，求它的表面积． 素养点睛：本题考查了数学运算的核心素养．
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数学 必修第二册 配人版A版
第八章 立体几何初步
解：(1)设球的半径为 r，则由已知得 4πr2＝64π，r＝4.所以球的体积 V＝43πr3＝2356π.
的体积为
()
A．43π
B．
2π 3
C．
3π 2
D．π6
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第八章 立体几何初步
【答案】A 【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知， 此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1， 其体积是43×π×13＝43π.
(1)正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半 径为 r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图 1.
高中数学必修2《球的体积和表面积》课件
V球 =
4 3
R3
=32 3 （cm）3 。 答：这个球的体积是 32 3 cm3。
• 练习:半球内有一正方体，正方体的一个面在
半球的底面圆内，若正方体的棱长为 6 ，求
半球的体积和表面积.
C
S表 27，
V球 18
D R
A
O
B
练习：若与球心距离为4的平面截球所得
的截面圆的面积是9 ，求球的体积。
复习:圆柱、圆锥、与圆台的侧面积
空间体侧面展开图
空间体的侧面积 平面图形面积
S侧 2r l 2rl
S侧
1 2
2r
l
rl
矩 S ab
形
三
角 S 1 ah
形
2
S侧
1 2
(2
r'2源自r)l(r ' r) l
梯 形
S 1 (a b)h 2
复习:柱体、锥体、与台体的体积
1、柱体的体积公式:
求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
例2：如图是一个底面直径为２０厘米的装有水
的圆柱形玻璃杯，水中沉没着一个直径为６厘米
的钢球，当钢球从水中取出后，杯里的水将下降
多少厘米？
解：
V钢球
4 3
( 6 )3 2
36
(cm3 )
设水面下降的高度为x cm，则小圆柱的体积为：
V小圆柱
( 20)2 2
x
100x(cm3)
由36 100x,得 x 0.36(cm)
答：杯里的水下降了0.36厘米
例3:一个正方体的顶点都在球面上，它的 棱长是4cm。求这个球的体积。
球的表面积和体积(课件)高一数学(北师大版2019必修第二册)
D A
D A11
D
C B
O C1
B1 C
R 3a 2
S 4R2 3a 2
A
D A11
B O
C1
B1
LOGO
例 2 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的 三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为___1_4_π___．
解：作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体D
①内切球 直径等于正方体的棱长.
切点：各个面的中心. 球心：正方体的中心.
1 R内 a
直径：相对两个面中心连线.
2
O•
O•
②棱切球 直径等于正方体一个面的对角线长.
切点：各棱的中点. 球心：正方体的中心. 直径： “对棱”中点连线
R棱
2a 2
O•
O•
③外接球 直径等于正方体的体对角线长.
球心：正方体的中心. 直径： 体对角线
2R = 2，∴R = 1.
∴
球的体积为
V球
4 3
R3
4 3
.
课堂小结 1.熟练掌握球的体积、表面积公式：
2.影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
3cm
8.5cm
8cm
解：设钢球半径为 R ,则由题意有
32 8 4 R3 32 8.5，
3
解得 R 1.5cm.
答：钢球的半径为1.5cm.
例3.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距离 为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积.
解:设截面圆心为O',连结OA,
设球半径为R .则:
2.球心到截面的距离d与球的半径R和截面半径r有下 面的关系: r R2 d 2 .
高中数学必修2《球的体积和表面积》课件
球心：形成球的半圆的____圆__心__叫做球的球心． 球的半径：连接球面上一点和球心的线段叫球的半径． 球的直径：连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径．
半径 球心
思考感悟 体育中用到的球与数学中提到的球一样吗？ 提示：不一样．体育用到的足球、篮球、乒乓球， 它们都是中空的，所以它们不是数学中提到的球， 但是铅球是数学中提到的球，数学中提到的球是 旋转体，是实心的．
R
R O
R
R O
用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面
设平行于大圆且与大圆的距离为 l 的平面截半球所得圆
面的半径为r,则r R2 l2 ,则截面面积 S1 πr 2 π(R2 l 2 )
设圆大环半径为R小圆半径为 l，面积 S2 πR2 πl2
所以 S1 S2
R
R
l lR
O
教学目标
1.掌握球的体积、表面积公式及其应用. 2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用
数学的能力. 3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”
与“外切”的几何体问题.
重点难点
教学重点
球的体积和表面积的计算公式的应用
教学难点
解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题
s3
s2
R
s1
O
V球
4
3
R3
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
...
1 3
R(S1
S2
S3
...)
1 3
RS球表
S球表=4πR2
s3 s2
R s1
O
知识要点
球的体积公式：
V 4 πR3 3
半径 球心
思考感悟 体育中用到的球与数学中提到的球一样吗？ 提示：不一样．体育用到的足球、篮球、乒乓球， 它们都是中空的，所以它们不是数学中提到的球， 但是铅球是数学中提到的球，数学中提到的球是 旋转体，是实心的．
R
R O
R
R O
用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面
设平行于大圆且与大圆的距离为 l 的平面截半球所得圆
面的半径为r,则r R2 l2 ,则截面面积 S1 πr 2 π(R2 l 2 )
设圆大环半径为R小圆半径为 l，面积 S2 πR2 πl2
所以 S1 S2
R
R
l lR
O
教学目标
1.掌握球的体积、表面积公式及其应用. 2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用
数学的能力. 3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”
与“外切”的几何体问题.
重点难点
教学重点
球的体积和表面积的计算公式的应用
教学难点
解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题
s3
s2
R
s1
O
V球
4
3
R3
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
...
1 3
R(S1
S2
S3
...)
1 3
RS球表
S球表=4πR2
s3 s2
R s1
O
知识要点
球的体积公式：
V 4 πR3 3
高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的 两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所 示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截 面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底 面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三 球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛， 特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解 决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形 杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋 融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可 先设出圆锥的高，再求其侧面积．
人教版必修二数学课件：1.3 球表面积和体积 (共14张PPT)
y-3 y-2 y 3b y y1-y2 x1+x2 (x1+x2)(y1-y2) y1-y2 y-4 16 x1-x2 0-4 0-3 -4-2 -2 2 x-4 x1-x2 2
AM PC BB BB BB BB MN MN MN MN a b a b a b AB AB PA· PB=0 AB'×PC PB×PC AM PC m n m n BM· PC m· n EC· n PM· n | |· · · ① 则 sin=| 则cos = |m|· 则 d=| |· · · ① |· · · ① · · · ① |BM|· |PC| | n| |n| |PM|· |n| a· b · m| · y = y = B 甲= b= b= b=b= 则d=| AB · · ① | m| |a|· |b| 8 8 8 0 Lim 8 8 8 | -1 △x→∞ 5 2= x i i=1
例3. 两个平行的球小圆面积为49 和400 , 它们之间的距离为9, 求球的半径. r1 o1 A 2 解: r1 =49 => r1=7 r2 o2 B o r22=400 => r2=20
① O1O2=9 => O1O - O2O=9 R2 -72 - R2 -202 =9, R=25 ② O1O2=9 => O1O+O2O=9 R2 -72 + R2 -202 =9, 无解 r1 o1 A B
$5.球的表面积和体积
1. 球的表面积: S球=4 R2 4 2. 球的体积: V球= 3 R3
例1. ①圆柱形玻璃瓶的内径为6cm, 内装有 8cm 高的水, 浸入一个铁球后 水面升高到 8.5 cm, 求铁球的表面积.
3 r 解: V柱=V球 => R2h= 4 3 3 => r= 3 32· 0.5=4 r · 2 3 S球= 4 r2 =9 (cm2)
球体的表面积与体积-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
典例精析
题型二：球的截面问题
球的截面问题
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面；
性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面．
性质3: 球心到截面的距离与球的半径及截面的
半径的关系: = −
O1
例4.已知知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这
两个截面间的距离为________．
探究新知
②再探究球的表面积公式
球的体积，等于所有小棱锥的体积和
球 = + + ⋯ +
球 =
+
+ ⋯+
= ( + + ⋯ + )
= 球
∴ 球 =
球
=
×
=
极限思想
02
球体的表面积和体积公式的推导
然后代入体积或表面积公式求解.
2.关键要素：半径和球心是球的关键要素，把握住了这两点，计算球的
表面积或体积的相关题目也就轻松自如了.
典例精析
题型二：球的截面问题
例3.一平面截一球得到直径为 的圆面，球心到这个平面的距离是 ，则
该球的体积是( ).
A.
B.
应用新知
题型一：球的表面积和体积
例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是. ，
圆柱高. .如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要. 涂料，
那么给个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(取. )
解：一个浮标的表面积为2 × 0.15 × 0.6 + 4 × 0.152 = 0.8478(2 )，
高中数学必修二：1.3-2球的表面积和体积.pptx
3
3
18
你能由此推导出半径为R的球的表面积 公式吗？
S 4 R2
经过球心的截面圆面积是什么？它与球 的表面积有什么关系？
球的表面积等于球的大圆面积的 4 倍
19
理论迁移
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等 于球的直径，求证： （1）球的体积等于圆Байду номын сангаас体积的 2 ；
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
n=6
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
A2
S S 正多边形
A1OA 2
SA2OA3
SAnOA1
1 2
p( A1A2
A2 A3
An A1)
1 2
pC正多边形
O
当n 时，p R,C正多边形 C圆
p
A3
S圆
1 2
R
2R
R2
A1 A2
12
极限思想
zxxkw
割
圆
术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面
O A
C
M B
R 3 6 , S 54 ,V 27 6
23
2
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍.2
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍4.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是. 1: 2 2
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是. 1: 3 4
20
例2 已知正方体的八个顶点都在球O
的球面上，且正方体的表面积为a2，求
球O的表面积和体积.
C′
o
A
21
例3某街心花园有许多钢球（钢的密度是
必修二课件 1.3.2 球的体积和表面积
和近似地等于多少?
提示:小棱锥的底面积之和近似地等于球的表面积 ,高近似地等于半径,
体积之和近似地等于球的体积.
5.你能由此推导出半径为R的球的表面积公式吗? 提示:由V= 1 R·S= 4 πR3,故S=4πR2.
3 3
➡根据以上探究过程,试着写出球的体积和表面积公式:
4 3 R 1.球的体积公式:_______(R 为球的半径). 3 V
所以S圆锥侧= rl 2h 5h 2 5h 2，
S球 4R 4h ，所以
2 2
S圆锥侧 S球
2 5h 2 5 . 2 4h 2
【规律总结】求球的体积与表面积的策略 (1)要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R, 然后代入体积或表面积公式求解. (2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积 或体积的相关题目也就简单了.
【典例1】(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=
90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的
表面积为 ( )
A.36π
B.64π
C.144π
D.256π
(2)若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,求圆锥侧 面积与球表面积之比.
1.3.2 球的体积和表面积
【阅读教材】
根据下面的知识结构图阅读教材,并识记球的体积和表面积公式,
初步掌握它们的应用.
【知识链接】
1.柱体、锥体的表面积及体积公式:
(1)表面积:S表=S侧+S底 (2)体积:V柱体=S底·h V锥体= 1 S底·h
3
2.圆的面积公式:S=πR2
主题:球的体积和表面积 【自主认知】 1.从球的结构特征分析,球的大小由哪个量确定? 提示:球的大小由球的半径来确定.
球的表面积和体积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
与球有关的切、接问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个 球是这个多面体的内切球
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这 个球是这个多面体的外接球
正方体与球的切接问题
①正方体的内切球
②正方体的棱切球
O•
O•
③正方体的外接球
球的面积
第一步：分割
球面被分割成n个网格，连接球心O和每个 小网格的顶点。
O
Si
O
Vi
设“小锥体”的体积为： Vi 则球的体积为：
V V1 V2 V3 ..果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。
hi 的值就趋向于球的半径R
Vi
1 3
Si
R
Si
R
O Vi
V
则43πR3＝43π，故 R＝1，由
3a＝2R＝2，所以
a＝
2 ，所以正方 3
体的表面积为
S＝6a2＝6×
232＝8.]
5．已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的
一半，且 AB＝BC＝CA＝2，则球的表面积为________．
64 9π
[设截面圆心为 O′，球心为 O，连接 O′A，
球的截面问题
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面； 性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有 下面的关系:
r R2 d2
O1
球的截面问题
【例 2】 (1)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1. 球心 O 到
平面 α 的距离为 2，则此球的体积为( )
2．将本例(1)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为 3，高为 8，则球的表面积为________．
高一数学人必修二课件第一章球的体积和表面积
球的半径变化对体积和表面积的影响程度不同。具体地，当 半径增大时，体积的增速大于表面积的增速；当半径减小时 ，体积的减速也大于表面积的减速。
球的体积和表面积的综合应用
在解决一些实际问题时，需要同时考虑球的体积和表面积 。例如，在计算球的热量传递、受力分析等问题时，需要 综合考虑球的体积和表面积。
球的体积和表面积的计算公式在几何、物理、工程等领域 都有广泛的应用。掌握这些公式及其推导过程对于理解相 关概念和解决问题至关重要。
。
最后，根据祖暅原理，可以证 明该求和结果与(4/3)πr^3相
等。
球的体积公式的应用举例
计算给定半径的球的体积。
在物理、化学等科学领域中，用于计算球体物质的密度 、质量等物理量。
计算两个不同半径的球的体积比。
在工程领域中，用于计算球体容器的容积、装载量等工 程问题。
03
球的表面积公式及推导
球的表面积公式介绍
球心
定点即为球心。
半径
定长即为半径。
球外
球外部的点，与球心距离大于半 径。
球内
球内部的点，与球心距离小于半 径。
球面
球的表面，由所有与球心距离等 于半径的点组成。
球的性
02
球面上任意两点间的最 短距离是过这两点的大 圆弧长。
03
04
球的表面积公式为$4pi r^2$，其中$r$为球的 半径。
球的表面积公式为：S = 4πr²，其中 r为球的半径。
该公式用于计算球的表面积，是数学 和物理学中常用的公式之一。
球的表面积公式推导
推导过程基于微积分和几何学的知识 。
然后，通过对所有微元的面积进行积 分，得到整个球的表面积。
首先，将球划分为无数个小的微元， 每个微元的面积近似为平面圆的面积 。
球的体积和表面积的综合应用
在解决一些实际问题时，需要同时考虑球的体积和表面积 。例如，在计算球的热量传递、受力分析等问题时，需要 综合考虑球的体积和表面积。
球的体积和表面积的计算公式在几何、物理、工程等领域 都有广泛的应用。掌握这些公式及其推导过程对于理解相 关概念和解决问题至关重要。
。
最后，根据祖暅原理，可以证 明该求和结果与(4/3)πr^3相
等。
球的体积公式的应用举例
计算给定半径的球的体积。
在物理、化学等科学领域中，用于计算球体物质的密度 、质量等物理量。
计算两个不同半径的球的体积比。
在工程领域中，用于计算球体容器的容积、装载量等工 程问题。
03
球的表面积公式及推导
球的表面积公式介绍
球心
定点即为球心。
半径
定长即为半径。
球外
球外部的点，与球心距离大于半 径。
球内
球内部的点，与球心距离小于半 径。
球面
球的表面，由所有与球心距离等 于半径的点组成。
球的性
02
球面上任意两点间的最 短距离是过这两点的大 圆弧长。
03
04
球的表面积公式为$4pi r^2$，其中$r$为球的 半径。
球的表面积公式为：S = 4πr²，其中 r为球的半径。
该公式用于计算球的表面积，是数学 和物理学中常用的公式之一。
球的表面积公式推导
推导过程基于微积分和几何学的知识 。
然后，通过对所有微元的面积进行积 分，得到整个球的表面积。
首先，将球划分为无数个小的微元， 每个微元的面积近似为平面圆的面积 。
高中数学：.2《球的表面积和体积》【新人教A版必修2】PPT完美课件
回忆球的体积公式的推导方法, 得到启发， 可以借助极限思想方法来推导球的表面积公 式．
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
球的表面积
第 一 步： 分 割
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
•
1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
温故知新
回顾圆面积公式的推导
n=6
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
A2 S 正多 S A 1 O 边 2 A S 形 A 2 O 3 A S A n O 1
1 2p(A 1A2A2A3 AnA 1) 1
2 pC正多边形
O
当 n 时 p ， R ,C 正多 边 C 圆形
p A3 A1 A2
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
球的表面积
第 一 步： 分 割
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
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1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
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10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
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11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
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12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
温故知新
回顾圆面积公式的推导
n=6
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
A2 S 正多 S A 1 O 边 2 A S 形 A 2 O 3 A S A n O 1
1 2p(A 1A2A2A3 AnA 1) 1
2 pC正多边形
O
当 n 时 p ， R ,C 正多 边 C 圆形
p A3 A1 A2
高中数学必修2《球的体积与表面积》课件
如图③所示，有 2r3＝ 3a，∴r3＝ 23a，∴S3＝4πr23＝3πa2. 综上可得，S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
课前预习
课堂互动
课堂反馈
探究结论 (1)球的截面问题的方法归纳： 设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O 是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用 该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面进行求 解． (2)常见的几何体与球的切、接问题的解决策略： ①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心 的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心 总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等． ②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径 或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把 空间问题转化为平面问题来计算．
∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7 cm.
同理，得O1A＝20 cm.
①
课前预习
课堂互动
课堂反馈
设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm. 在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，① 在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，② 联立①②可得x＝15，R＝25. ∴S球＝4πR2＝2 500π(cm2)， 故球的表面积为2 500π cm2. 当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截 面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则
r＝
课前预习
课堂互动
课堂反馈
四、作业布置
1、基础知识：课本28页练习 2、拓展提升：28页习题1.3B组1 3、考点链接： 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2 ，求该球的表面积．
解 如图，设球心为O，半径为r，
课前预习
课堂互动
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探究结论 (1)球的截面问题的方法归纳： 设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O 是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用 该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面进行求 解． (2)常见的几何体与球的切、接问题的解决策略： ①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心 的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心 总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等． ②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径 或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把 空间问题转化为平面问题来计算．
∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7 cm.
同理，得O1A＝20 cm.
①
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设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm. 在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，① 在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，② 联立①②可得x＝15，R＝25. ∴S球＝4πR2＝2 500π(cm2)， 故球的表面积为2 500π cm2. 当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截 面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则
r＝
课前预习
课堂互动
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四、作业布置
1、基础知识：课本28页练习 2、拓展提升：28页习题1.3B组1 3、考点链接： 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2 ，求该球的表面积．
解 如图，设球心为O，半径为r，
球的体积和表面积 高中数学必修二总复习课件
1.3.2源自球的体积和表面积球
球的表面积
球的体积
球面距离
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
O
S 4R2
B
球的体积和表面积
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直 径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
解:设球的半径为R，则圆柱的底面 半径为R，高为2R.
R 3a 2
S球 4R2 4（
3a ） 2 3a 2
2
A
V球
4 （
3
3 a）3 2
3 a3
2
C′
o
球的体积和表面积
例3 已知A、B、C为球面上三点，AC=BC=6， AB=4，球心O与△ABC的外心M的距离等于球半径的 一半，求这个球的表面积和体积.
O A
M B
解答：R 3 6 , 2
3
B
球面距离为d 2 R
3
作业
P28 练习1，2，3 P29-30 习题 B组 1,2,3
S 54 ,V 27 6
C
球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离， 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度.
球心O
O
B
A
B
大圆劣弧的圆心角为α弧
度，半径为R，则弧长为
A
大圆圆弧 L=αR
球面距离
例4. 已知地球的半径为R,在地球的赤道上 经度差为1200的两点间距离.
o A
答案：1200 2
1)因为
V球
4 R3，
3
V圆柱
R2 2R 2R3
球的表面积
球的体积
球面距离
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
O
S 4R2
B
球的体积和表面积
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直 径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
解:设球的半径为R，则圆柱的底面 半径为R，高为2R.
R 3a 2
S球 4R2 4（
3a ） 2 3a 2
2
A
V球
4 （
3
3 a）3 2
3 a3
2
C′
o
球的体积和表面积
例3 已知A、B、C为球面上三点，AC=BC=6， AB=4，球心O与△ABC的外心M的距离等于球半径的 一半，求这个球的表面积和体积.
O A
M B
解答：R 3 6 , 2
3
B
球面距离为d 2 R
3
作业
P28 练习1，2，3 P29-30 习题 B组 1,2,3
S 54 ,V 27 6
C
球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离， 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度.
球心O
O
B
A
B
大圆劣弧的圆心角为α弧
度，半径为R，则弧长为
A
大圆圆弧 L=αR
球面距离
例4. 已知地球的半径为R,在地球的赤道上 经度差为1200的两点间距离.
o A
答案：1200 2
1)因为
V球
4 R3，
3
V圆柱
R2 2R 2R3
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o
思考4:你能由此推导出半径为R的球的 表面积公式吗？
S 4 R
2
思考5:经过球心的截面圆面积是什么？ 它与球的表面积有什么关系？
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
理论迁移
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等 于球的直径，求证： 2 （1）球的体积等于圆柱体积的 3 ； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
知识探究（二）:球的表面积
思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它 是怎样得出来的？
a4
S圆 r
2
a3 an
a1
a2
思考2:把球面任意分割成n个“小球面 片”，它们的面积之和等于什么？
o
思考3:以这些“小球面片”为底，球心 为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥， 那么这些小棱锥的底面积和高近似地等 于什么？它们的体积之和近似地等于什 么？
1.3
空间几何体的表面积与体积
1.3.2
球的表面积和体积
问题提出
1.柱体、锥体、台体的体积公式分 别是什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积 公式分别是什么？ 2.球是一个旋转体，它也有表面积 和体积，怎样求一个球的表面积和体积 也就成为我们学习的内容.
知识探究（一）:球的体积
思考1:从球的结构特征分析，球的大小 由哪个量所确定？ 思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么？
例2 已知正方体的八个顶点都在球O 的球面上，且正方体的表面积为a2，求 球O的表面积和体积. C′ o
A
例3 有一种空心钢球，质量为142g （钢的密度为7.9g/cm3），测得其外径 为5cm，求它的内径（精确到0.1cm）.
例4 已知A、B、C为球面上三点， AC=BC=6，AB=4，球心O与△ABC的外心M 的距离等于球半径的一半，求这个球的 表面积和体积.
O A M B
C
R
3 6 2
, S 54 , V 27 6
作业: P28练习:1，2，3.
V柱 R3V锥 来自1 3R3
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系？
思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你 猜想半球的体积是什么？ 2
V球
R
3
3
思考5:由上述猜想可知，半径为R的球的 体积 V
4 3
R ，这是一个正确的结论，你
3
能提出一些证明思路吗？