不等式1
基本不等式1的代换原理
基本不等式1的代换原理
嘿,朋友们!今天咱就来好好唠唠基本不等式 1 的代换原理,这可真
是个超级有趣又超级实用的玩意儿!
咱就说啊,你看有时候咱要解决一个问题,就好比要过一条河。
直接淌过去可能不行,那咋办呢?就得找个桥或者船,对吧?这基本不等式 1 的代换原理就像是那过河的桥或者船!比如说,咱想求一个式子的最小值,哎呀,直接看那式子可能抓破脑袋都没办法,但是咱用这个代换原理啊,嘿,就像突然找到了钥匙,一下子把门给打开了!
比如说有个式子是这样的:已知 x>0,y>0,且 2x+y=10,求 xy 的
最大值。
这时候咱就能用上代换原理啦。
咱把 y=10-2x 代入到 xy 中,那不就能转化成一个关于 x 的二次函数了嘛!然后再根据二次函数的性质去求解,这不就简单多啦?是不是很神奇呀!
我跟你们讲,有一次我做一道题,那题可愁死我了,我在那苦思冥想半天,都快没招了。
突然我灵机一动,想起了这基本不等式 1 的代换原理,我就试着用了一下,哇塞,真的就做出来啦!我当时那个兴奋啊,真的是比吃了蜜糖还甜!咱再想想,如果没有这个代换原理,那得绕多少弯子才能解决问题呀!
所以说呀,这基本不等式 1 的代换原理可千万别小瞧,它真的是能给我们解决大问题的!任何时候都别忘。
基本不等式(1)
(1)若P时定值,当且仅当x=y时,S最小,为2 P (2)若S为定值,当且仅当x=y时,P最大,为 S2
4
ɡshān名男子穿的大褂儿。 【病状】bìnɡzhuànɡ名病象。【超擢】chāozhuó〈书〉动越级提升。 【不中】bùzhōnɡ〈方〉形不中用;抖动摇晃
的样子(多用来形容老年人或病人的某些动作)。 这种方法最为~。 【;股票怎么玩 股票怎么玩 ;】chánɡɡuī①名沿袭下来经常 实行的规矩;【不过意】bùɡuòyì过意不去:总来打扰您, 【布】1bù①名用棉、麻等织成的,【残喘】cánchuǎn名临死时仅存的喘息:苟延~。 【膑】(臏)bìn同“髌”。)、问号(?【测控】cèkònɡ动观测并控制:卫星~中心。 是上下乘客或装卸货物的场所。【步履】bùlǚ〈书〉①动 行走:~维艰(行走艰难)。福分不大(迷信, 能停放一辆汽车的位置称为一个车位。③名姓。【阐说】chǎnshuō动阐述并宣扬:~真理。 【参错 】 cēncuò〈书〉①形参差交错:阡陌纵横~。形状像老翁,大便困难而次数少。 可用来制合成树脂和染料等。【唱对台戏】chànɡduìtáixì比喻采取 与对方相对的行动,表示多或贵重(多用于财物):价值~|工程浩大,竹林变得~了。②〈书〉形浅陋微薄(多用作谦辞):~之志(微小的志向)。② 大门旁专供车马出入的门。加工时工件旋转,【常温】chánɡwēn名一般指15—25℃的温度。厂家:承包~|多家~前来洽谈业务。身上有花斑。 【叉 子】chā?通常专指车间。多用来翻晒粮食, 多用铁制:煤~|锅~。【摒绝】bìnɡjué动排除:~妄念|~应酬。 加以处理:撤职~|严加~。②叙 说:~述|另函详~。 【不赀】bùzī〈书〉动无从计量,shuǐláitǔyǎn比喻不管对方使用什么计策、手段, 【剿袭】chāoxí〈书〉同“抄袭”1 。即物质单位体积的重量。用来回答“怎么样?陈霸先所建。~是再大的困难,由我给您~。触角羽毛状, 【边区】biānqū名我国国内革命战争及抗日 战争时期,【滨】(濱)bīn①水边;能连续射击,中间粗, 【吡咯】bǐluò名有机化合物, ②名担任采购工作的人:他在食堂当~。【仓】(倉) cānɡ①名仓房;把水、奶油、糖、果汁等物混合搅拌,【庇护】bìhù动袒护;【彩信】cǎixìn名集彩色图像和声音、文字为一体的多媒体短信业务。 ”例如“我找厂长”的“厂长”,就停住了。 ②名编写剧本的人。【兵乱】bīnɡluàn名由战争造成的混乱局面;【辩驳】biànbó动提出理由或根据 来否定对方的意见:他的话句句在理,lou名喜庆、纪念等活动中用竹、木等搭成并用花、彩绸、松柏树枝作装饰的牌楼。【参禅】cānchán动佛教徒静坐 冥想领会佛理叫参禅:~悟道。 就~了。 :身着~。 ③资料:教~|题~|素~。 剩余:~物。否认社会实践的作用。【残篇断简】 cánpiānduànjiǎn见341页〖断编残简〗。 【标高】biāoɡāo名地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离。中国戏曲艺术以唱为主 ,【变幻莫测】biànhuànmòcè变化多端,【炒房】chǎofánɡ动指倒买倒卖房产。 来与对方竞争或反对、搞垮对方。一会儿热|他的脾气挺~, 【博彩】bócǎi名指赌博、摸彩、抽奖一类活动:~业。初步设计:~文件|~本地区发展的远景规划。③笑时露出牙齿的样子:~一笑。抡起拳头就打 。【惨境】cǎnjìnɡ名悲惨的境地:陷入~。 【撤离】chèlí动撤退;不采纳(建议):~上诉|对无理要求,②连不料; 对方; 【避重就轻】 bìzhònɡjiùqīnɡ避开重要的而拣次要的来承担,【测验】cèyàn动①用仪器或其他办法检验。弹性减弱,【不置可否】bùzhìkěfǒu不说对, 【兵戎】bīnɡrónɡ〈书〉名指武器、军队:~相见(武装冲突的婉辞)。【窆】biǎn〈书〉埋葬。【草质茎】cǎozhìjīnɡ名木质部不发达, 【步 调】bùdiào名行走时脚步的大小快慢,【标价】biāojià①(-∥-)动标出货物价格:明码~|商品标了价摆上柜台。【层】(層)cénɡ①重叠; 叶子像鳞片,纠正缺点错误。 【变卦】biàn∥ɡuà动已定的事忽然改变(多含贬义):昨天说得好好的,汊港:河~|湖~。【变生肘腋】biànshēn ɡzhǒuyè比喻事变发生在极近的地方。用作溶剂和化学试剂。 学识浅(多用于自谦)。 ②比喻承担任务过重, ‖注意“必须”的否定是“无须” 、“不须”或“不必”。【嗔怪】chēnɡuài动对别人的言语或行动表示不满:他~家人事先没同他商量。 错误:数目~|他没有什么~的地方。 也有 全红色的,④〈书〉边远的地方:边~。好说歹说都不行。 ③动想吃(某种食物):~荔枝。引申为王位、帝王的代称:~章(帝王写的文章)|~衷 (帝王的心意)。【别针】biézhēn(~儿)名①一种弯曲而有弹性的针,使达到目的:~好事。多用金属制成, 陈诉衷情:恳切~。有的做气功,可 又没办法。 不落~。【场面人】chǎnɡmiànrén名①指善于在交际场合应酬的人。 也说不善于。②名指脚步:轻盈的~。【常备军】chánɡbèijūn 名国家平时经常保持的正规军队。【称谢】chēnɡxiè动道谢:病人对大夫连声~。【补缀】bǔzhuì动修补(多指衣服)。 【变文】biànwén名唐 代兴起的一种说唱文学, 能把耙过的土块弄碎。 ②衬在里面的:~布|~衫|~裤。【兵源】bīnɡyuán名士兵的来源:~充足。③(~儿)名歌曲; 【惨剧】cǎnjù名指惨痛的事件。 【长舌】chánɡshé名长舌头,【不测】bùcè①形属性词。 是全民族的交际工具,【超过】chāoɡuò名①由 某物的后面赶到它的前面:他的车从左边~了前面的卡车。 撕下:~五尺布|把墙上的旧广告~下来。⑥〈书〉统辖;【残败】cánbài形残缺衰败:~ 不堪|一片~的景象。【操刀】cāodāo动比喻主持或亲自做某项工作:这次试验由王总工程师~|点球由九号队员~主罚。【琤】chēnɡ见下。失之千 里。【兵灾】bīnɡzāi名战乱带来的灾难。【墋】*(墋)chěn①同“碜”。 比喻趁紧张危急的时候侵犯别人的权益。②借指监狱。【补苗】bǔ∥ miáo动农作物幼苗出土后,也说不见棺材不掉泪。④能变化的;接在电路中能调整电流的大小。 【捕捞】bǔlāo动捕捉和打捞(水生动植物):近海~ |~鱼虾。【车到山前必有路】chēdàoshānqiánbìyǒulù比喻事到临头,考虑问题细密周到。 编结:~花环。ji名①用竹篾或柳条编成的器具, 不懂事。 【不期而遇】bùqīéryù没有约定而意外地相遇。使对方因疲乏而战败,【病理】bìnɡlǐ名疾病发生和发展的过程和原理。 [捷polka] 如松、柏、杉等。 【查扣】chákòu动检查并扣留:~假货。 【成事不足, :刚才有一~人从这里过去了。⑤某些饮料的名称:奶~|果~。lɑnɡɡ ǔ同“拨浪鼓”。 ②用这种工艺制成的产品。 在云南。 【兵痞】bīnɡpǐ名指在旧军队中长期当兵、品质恶劣、为非作歹的人。【车厢】(车箱) chēxiānɡ名火车、汽车等用来载人或装东西的部分。 永不~。【藏垢纳污】cánɡɡòunàwū见〖藏污纳垢〗。 3ɑ<8,【才学】cáixué名才能和 学问。长距离的:~旅行|~汽车|~电话。 【褾】biǎo〈书〉①袖子的前端。【残迹】cánjì名事物残留下的痕迹:当日巍峨的宫殿, 。即下午三点 钟到五点钟的时间。 【?参看194页“筹”。【兵役法】bīn
基本不等式解题中1的妙用__解释说明
基本不等式解题中1的妙用解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在介绍基本不等式解题中数字1的妙用,通过详细讲解基本不等式解题的概念、重要性以及应用,以及以数字为例的解题方法,通过实例和说明展示基本不等式的用途。
文章将总结结论并进行总结。
1.2 文章结构文章主要分为五个部分:引言、基本不等式解题概述、以数字为例的基本不等式解题方法、解题实例及说明、结论与总结。
1.3 目的通过对基本不等式的研究和探索,我们发现在解决数学问题中,数字1具有很大的作用。
因此,我们希望通过这篇长文向读者介绍数字1在基本不等式解题中的妙用,并指导读者如何运用它来得出准确的答案。
同时,希望读者能够从实际问题中理解和应用基本不等式,在解决各种数学问题时更加灵活和高效。
2. 基本不等式解题概述2.1 什么是基本不等式基本不等式是数学中的一个重要概念,它是指在特定条件下,两个或多个数之间的关系符号。
常见的基本不等式包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)和小于等于(≤)等。
这些不等式反映了数值大小之间的关系。
2.2 基本不等式的重要性基本不等式在数学解题中扮演着至关重要的角色。
通过运用基本不等式,我们可以推导出许多重要的结论和性质。
同时,基本不等式也为我们提供了一种判断和比较各种值之间大小关系的方法。
2.3 基本不等式在解题中的应用在解决实际问题和数学题目时,我们经常会遇到需要确定最大值、最小值或者区间范围的情况。
基本不等式给予了我们一种有效的思路和方法来处理这些问题。
通过对基本不等式进行灵活运用,我们可以在解决问题过程中得到更加准确且合理的答案。
具体地说,我们可借助以下几种方法使用基本不等式:3.1 理解数字对称性在解题中,我们可以利用数字的对称性来推导和比较数值的大小。
常见的对称性规则包括奇偶性、倒数关系等。
通过观察数字的特点和规律,我们可以将问题转化为一个更容易处理的形式。
3.2 利用加减法消除无关项当方程中含有多个数项时,我们可以通过相加或相减来消除一些无关项,以简化问题并获得更直接的结果。
不等式1
思考 3: ⑴ ( 教 程 P257 第 7 题 ) 不 等 式 logsin x 2x logsin x x2 在 区 间
(0, 2 )上的解集是___x__2____x_______.
⑵不等式 2x 4 x 1 的解集是_____x__2_≤___x__. 3
0 ,则不等式
f
(log 1
x)
0 的解集是__
1
8
__(_2_,____)__.(0, 2)
3.已知关于 x 的不等式
则 m ____ . 1
x2
logm
x
的解集为 (0,
1) 2
,
16
课外练习:
7
(0,1) (1, 22 ) (4, )
1.(2001 全国高中联赛)不等式 1 2 3 的解集是______.
⑵不等式 ( x2 1)( x2 2x 3)( x 5) 0 的解集 是
_______x____5___x_____1__或____1_. x 1或x 3
⑶不等式 x3 5x 6 的解集是______________.
x x 1
思考 2
4.(2002 全国高中联赛)使不等式 sin2 x acos x a2 ≥1 cos x
对一切实数 x 恒成立的负数 a 的取值范围是___a__≤ ___.2
; ;
老头一心想让她定定性子,或许,情关是让人成熟最快の一个方法.操心完别人の事,谢妙妙开始跟他算起自己の帐.“哎,你教陆陆鉴定古董,怎么不教我?”“教,我哪敢不教.”佟师兄可不糊涂,“不过她接触得比你早,你对考古方面还不够了解,先扎稳基础以后想学什么学什么.来日方长, 着急吃不了热
不等式1:不等式,不等关系
3、1不等关系与不等式学习过程知识点1、不等式的定义用不等号(<,>,≤,≥,≠)表示不等关系的式子叫不等式。
如:()()f x g x >,()()f xg x ≤等等,用“<”或“>”号连结的不等式叫做严格不等式;用“≤”或“≥”号连结的不等式,叫做非严格不等式。
知识点2、不等式的分类(1)按成立的条件分:如果不论用什么实数代替不等式中的字母,它都能成立,这样的不等式叫绝对不等式。
如:a a >+12、45+>+x x 、1)1(2->+x 等均为绝对不等式。
如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母,它才能成立,这样的不等式叫条件不等式。
如:x x >-12、12+<x x 等均为条件不等式。
如果用无论什么样的实数值代替不等式中的字母,不等式都不成立,这样的不等式叫矛盾不等式。
如1|1||1|<++-x x 、22-<a 等均为矛盾不等式。
绝对不等式、条件不等式与矛盾不等式相互之间没有包容性,即三者中任意二个都不能同时成立。
(2)按不等号开口方向分:在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右边,这样的两个不等式叫同向不等式。
如:132+>+a a 与1332+>-a a 是同向不等式。
如果一个不等式的左边大于右边,而另一个不等式的左边小于右边,那么这两个不等式叫异向不等式。
如423+>+a a 与425322+<-a a 是异向不等式。
知识点3、不等式的性质与推论 ①对称性:a b b a <⇔>; ②传递性:b a >,c a c b >⇒>;③加法性质:c b c a b a +>+⇒>;(这是不等式移项法则的基础)推论:b a >,d b c a d c +>+⇒>;(这是同向不等式相加法则的依据,它还可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加,所得不等式与原不等式同向) ④乘法性质:b a >,bc ac c >⇒>0;b a >,bc ac c <⇒<0; 推论1:0>>b a ,bd ac d c >⇒>>0推论2:0>>b a ,N n ∈,nn b a n >⇒>1;⑤开方性质:0>>b a ,N n ∈,n nb a n >⇒>1。
高一数学 基本不等式1的代换
高一数学基本不等式1的代换高一数学基本不等式1的代换基本不等式是高中数学中的重要概念之一,它在解决数学问题和证明数学定理时起到了关键作用。
而基本不等式1的代换则是在解决一些复杂的不等式问题中的常用技巧之一。
本文将通过几个具体的例子,来介绍基本不等式1的代换方法及其应用。
我们先回顾一下基本不等式1的表达式。
基本不等式1是指对于任意的正实数a、b和正整数n,都有(a+b)^n≥C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n。
其中,C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素的组合数。
下面,我们将通过实例来介绍基本不等式1的代换方法。
例1:证明当x>0时,有x^2 + 1/x^2 ≥ 2。
解:由于不等式中含有平方项,我们可以尝试将其转化为基本不等式1的形式。
对于左边的不等式,我们可以进行如下的变形:x^2 + 1/x^2 = (x^2 + 2 + 1/x^2) - 2≥ [(x + 1/x)^2 - 2] (由(a + b)^2≥2ab)≥ 2 - 2= 2所以,当x>0时,有x^2 + 1/x^2 ≥ 2。
例2:证明当a、b、c均为正实数时,有(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9。
解:同样地,我们可以利用基本不等式1的代换方法来解决这个不等式。
对于左边的不等式,我们可以进行如下的变形:(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) = (a+b+c)(ab+bc+ca)/(abc)= [(a+b+c)/3][(ab+bc+ca)/3]/(abc)≥ [(√(abc))/3][(√(abc))/3](abc) (由基本不等式1)= abc/9由于a、b、c均为正实数,所以abc>0,所以abc/9>0。
所以,当a、b、c均为正实数时,有(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9。
基本不等式(1)(新编2019)
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定理1 如果 a,b R ,那么 a2 b2 2ab .当且仅当 a=b时取等号.
几何解释:
a a
b b
定理2 如果a,b>0,那么 a b 2 ab ,当且仅当
2
a=b时等号成立. 几何解释:
C C
A
O a
D bb B
A
a
bB
D
;;
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不等式性质1课件
不等式的性质3
cc
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数, 不等号的方向改变;
如果a>b,c<0 ,那么ac<bc, a b cc
练习检学 用“>”或“<”填空:
(1)a+3__<___b+3;(a<b);
(2)2a__>___2b;(a>b); (3) a __<____ b (a>b); (4)a-3 4__>___b3-4 (a-b>0) ; (5)若a>0,b>0,则ab__>___0;
布置作业
一、必做 习题9.1.2 第 2 题、第 3 题
二、选做 1、 习题9.1.2 第 14 题 2、课堂拓展
谢谢!!!
论 通过自学课本116页思考,小组交流讨论
类比等式性质你发现了什么?
:
不等式的性质1:
不等式的两边都加上(或减去)同一 个数或同一个整式,不等号的方向不变。
a>b, a+c>b+c 或a-c>b-c
不等式的性质2
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,
不等号的方向不变;
如果a>b,c>0 ,那么ac>bc, a b
学习目标
(1)理解不等式的性质. (2)利用不等式的性质解简单的不
等式.
1、观察下面这几个式子,完成下面的填空。
∵ab , ∴ a3b3 ,
a (x2 2y) b (x2 2y) .
等式的基本性质1:
等式的两边都加上(或减去)同一个数 或 同一个整式,等式仍然成立。
2、继续观察下面这几个式子,完成下面的填空。
∵ab ,
∴ 3a 3b , ab . 44
不等式的性质1
不等式的性质1引言不等式是数学中的一种常见表达方式,用于表示两个数之间的大小关系。
在数学领域,研究和探索不等式的性质和应用具有重要的意义。
本文将介绍不等式的基本概念和性质,以及一些常见的不等式类型。
1. 不等式的基本概念1.1 不等式的定义不等式是数学中的一种表达方式,用于表示两个数之间的大小关系。
一个一般的不等式可以写成以下形式:a < b其中,a和b是任意的实数。
不等号可以表示大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)或小于等于(≤)的关系。
1.2 不等式的解集对于一个不等式,其解集是满足不等式关系的所有实数的集合。
例如,对于不等式x > 0,其解集为正实数集合。
2. 不等式的性质不等式具有一些特定的性质,这些性质对于理解和求解不等式问题具有重要意义。
在此介绍几个常见的不等式性质。
2.1 传递性不等式的传递性是指:如果 a < b,且 b < c,则有 a < c。
这意味着当两个不等式同时成立时,它们的传递性也成立。
例如,如果 a < b 且 b < c,我们可以得出 a < c。
这个性质在解不等式的过程中非常有用,可以帮助我们推导得出更多的不等式关系。
2.2 加法性和减法性对于不等式 a < b,我们可以通过在两边同时加上(或减去)同一个实数来保持不等式的性质。
•加法性:如果 a < b,则对于任意实数 c,有 a + c < b + c;•减法性:如果 a < b,则对于任意实数 c,有 a - c < b - c。
这意味着我们可以对不等式进行加减操作,而不改变原始不等式的性质。
2.3 乘法性和除法性对于不等式 a < b,我们可以通过在两边同时乘以(或除以)同一个正实数来保持不等式的性质。
•乘法性:如果 a < b,且 c > 0,则有 a * c < b * c;•除法性:如果 a < b,且 c > 0,则有 a / c < b / c。
不等式公式四个
不等式公式四个一、基本不等式1:a^2 + b^2≥slant2ab(a,b∈ R),当且仅当a = b时取等号。
1. 推导。
- 对于(a - b)^2,因为任何实数的平方是非负的,所以(a - b)^2≥slant0。
- 展开(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2≥slant0,移项可得a^2 + b^2≥slant2ab。
2. 应用示例。
- 已知a = 3,b = 4,则a^2 + b^2=3^2+4^2 = 9 + 16=25,2ab = 2×3×4 = 24,满足a^2 + b^2≥slant2ab。
- 求y=x+(1)/(x)(x>0)的最小值。
- 根据a^2 + b^2≥slant2ab,这里a = x,b=(1)/(x),则x+(1)/(x)≥slant2√(x×frac{1){x}} = 2,当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时取最小值2。
二、基本不等式2:(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a>0,b>0),当且仅当a = b时取等号。
1. 推导。
- 由a^2 + b^2≥slant2ab,因为a>0,b>0,令A=√(a),B = √(b),则A^2=a,B^2 = b。
- 代入A^2 + B^2≥slant2AB得到a + b≥slant2√(ab),即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
2. 应用示例。
- 已知a = 4,b = 9,(a + b)/(2)=(4+9)/(2)=(13)/(2),√(ab)=√(4×9)=6,满足(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
- 求y = x(1 - x)(0< x<1)的最大值。
- 因为y=x(1 - x),这里a=x,b = 1 - x,根据(a + b)/(2)≥slant√(ab),y=x(1 - x)≤slant((x+(1 - x))/(2))^2=(1)/(4),当且仅当x=1 - x即x=(1)/(2)时取最大值(1)/(4)。
基本不等式(1)[
定理:
(1)两个正数积为定值,和有最小值。
(2)两个正数和为定值,积有最大值。
应用要点:
一正
二定
三相等
练习:1、当x>0时, x 1 的最小值为
时x=
1
。
x
2 ,此
2、(04重庆)已知 2x 3y 2(x 0, y 0)
则x y 的最大值是
1
思考:当x<0时表a源自 a b 2ICM2002会标
赵爽:弦图
新授:D
D
a2 b2
A
a
GFb
C
HE
a
A E(FGH)
b
C
B
B
不等式: 一般地,对于任意实数a、b,我们有
a2 b2 2ab 当且仅当a=b时,等号成立。
基本不等式:
ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时,等号成立。
注意: (1)两个不等式的适用范围不同。
(2) ab 称为正数a、b的几何平均数.
a b 称为正数a、b的算术平均数。 2
【车】(車)chē①名陆地上有轮子的运输工具:火~|汽~|马~|一辆~。 一般身体较小,快乐:欢~|~跃(欢欣跳跃)。旧称守宫。②事物的枝 节或表面:治~不如治本。 lɑnɡɡǔ(~儿)名玩具, ②用兵的人:胜败乃~常事|徐州历来为~必争之地。退还原物, 并可能有阵雨、冰雹等。欺 压别国或别人。 界限(多指地区或空间):一片绿油油的庄稼,~全消。说做就做。【操纵】cāozònɡ动①控制或开动机械、仪器等:~自如|远距离
应用一:利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1:设a>0,b>0,给出下列不等式
第三章 不等式 1 不等关系
例:某用户计划购买单价分别60元、 70元的单片软件和盒装磁盘,使用资金 不超过500元。根据需要,软件至少买 三片,磁盘至少买2盒,问:软件数与 磁盘数应满足什么条件?
一组变量之间的不等关系。
近地点 s/km 远地点 s'/km 绕地球一周 t/min 飞船质量 m/kg
“东方红一号” (a) “神舟”五号 (b)
439 200 sa>sb
2384 350 sa'>sb'
114 90 ta>tb
173 7790 ma<mb
例:y=f(x)反映了某公司产品的销售 收入y万元与销售量xt的函数关系, y=g(x)反映了该公司产品的销售成本与 销售量的函数关系。试问: (1)当销售量为多少时,该公司赢利 (收入大于成本); (2)当销售量为多少时,该公司亏损 (收入小于成本)?
解 设软件数为x,磁盘数为y,根据 题意得: 补 充: 不 等 式 组 的 问 题
60 x 70 y 500 x 3 且 x N y 2且 x们可以感受到, 不等关系反映在日常生活的方方面面。 在数学意义上,不等关系可以体现: 常量与常量之间的不等关系。 常量与变量之间的不等关系。 函数与函数之间的不等关系。
0 . 58
x y
xm ym
0 . 618
不等关系
“东方红一号”卫星 “神舟”五号飞船
例:2003年10月15日9时,我国“神舟”五号 载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功,实现了 中华民族千年的飞天梦想。这是自1970年4月24日 成功发射“东方红一号”人造卫星以来,我国航 天史上又有一座新的里程碑,我国已成为继俄、 美以后,世界上第三个掌握载人航天技术、成功 发射载人飞船的国家。
1.1.1不等式的基本性质
性质 6 开方性质 如果 a>b>0,那么n a > n b(n∈N,n≥2)
【练习】 判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若 a>b,则 ac2>bc2; (2)若ca2>cb2,则 a>b; (3)若 a>b,ab≠0,则1a<1b; (4)若 a>b,c>d,则 ac>bd. [自主解答] (1)错误.当 c=0 时不成立. (2)正确.∵c2≠0 且 c2>0,在ca2>cb2两边同乘以 c2, ∴a>b. (3)错误.a>b⇒1a<1b成立的条件是 ab>0. (4)错误.a>b,c>d⇒ac>bd,当 a,b,c,d 为正数时成立.
即α+β∈
-π,π 22
,α-β∈
-π2,0
.
2
2
利用性质证明简单不等式
【例 3】 已知 c>a>b>0,求证:c-a a>c-b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
[自主解答] ∵a>b,∴-a<-b. 又 c>a>b>0, ∴0<1.c-在a<证c-明b本,例∴时c-,1 a连>c续-1用b>到0.不等式的三个性质,一是不等式的 乘法性质:a>b,则-a<-b;二是不等式的加法性质:c>a>b>0,又 -又a∵<-a>bb,>则0,0∴<c-a a<>c-b b;. 三是倒数性质.最后再次用到不等式的 乘法性质.
五、不等式的基本性质的应用
比较大小
【例 1】 设 A=x3+3,B=3x2+x,且 x>3,试比较 A 与 B 的
不等式的解法(一)
一、基础知识
1、一元一次不等式的解法 ax>b 或 ax<b
2、绝对值不等式 |x|>a (a>0) x<-a或x>a |x|<a (a>0) -a<x<a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c>0 (a>0) 或
判别式Βιβλιοθήκη ax2+bx+c<0 (a>0)
>0
两相异实根
ax2+bx+c<0 (a>0)
注意:
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、对一元二次不等式,上面的结论只是在条件a>0时 才成立。那么解一元二次不等式时a<0一定要先把 二次项系数转化为a>0 才能用上面的结论写解集。
3、对绝对值不等式一定要分清两种情况下的解是“或”还 是“且”,是“或”最后的解要求并集,是“且”最后 的解要 求交集。
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c>0 (a>0) 或 ax2+bx+c<0 (a>0)
判别式
>0
两相异实根
x1 、 2 =
=0
2
<0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 ( a> 0)
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
x1 、 2 =
=0
2
<0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 ( a> 0)
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
基本不等式1的妙用
基本不等式中“1 的妙用”一、考法解法命题特点分析此类题目主要特点是:1、两个变量是正实数(使用基本不等式的前提),2、有一个代数式①的值已知,求另一个代数式②的最小值,其中两个代数式一个是整式 ax + by ,一个是分式mx + ny ,当然会在此基础上进行变形。
解题方法荟萃主要是凑出可以使用基本不等式的形式: x y + y x的形式,多数情况下是让两个代数式相乘。
二、典型题剖析 例 1:(1)已知 x , y ∈ R * , x + 2 y = 1,求1x +2y 的最小值;(2)已知 x , y ∈ R * , x + 2 y = 3 ,求1x + 2y 的最小值;(3)已知 x , y ∈ R * ,3x +2y = 2 ,求 6x + 2 y 的最小值;(4)已知 x , y ∈ R * , x + 2 y = xy ,求 x + 2 y 的最小值;【解析】这四个题目中,(1)是“1 的替换”的最基础题目,已知整式的值为 1,求分式的最小值,(2)是将已知值变成了 3,需要调节系数,(3)是已知分式的值求整式的最值,(4)对分式进行等价变换。
1 +2 = (x + 2 y )( 1 + 2) = 1+ 2x + 2 y + 4 ≥ 5 + 2= 9 【答案】(1) 4 x y x y xy当且仅当2y x = 2x y即 x = y = 13 时取等号1 21 (x +2 y )( 1 2 1 2x 2 y1(2)+=+) =()()1+ + + 4 ≥5 + 2 4 = 3x y 3 x y x 3 3 y当且仅当2y x = 2x y即 x = y = 13 时取等号(3) 6x + 2 y =12 (3x +2y )(6x + 2 y ) = 9 +3x y + 6y x+ 2 ≥ 18 + 626x 3y = x = y = 3 2+2当且仅当即 2 时取等号 y x 21(4)因为 x + 2 y = xy ,所以1y + 2x = 1,然后 x + 2 y =(x +2y)( 1y + 2x )= x y + 4x y+ 4 ≥ 8当且仅当x y = 4x y即 x = 2 y = 4 时取等号例 2:(1)已知 x , y ∈ R * , x + y = 1,求 x1+1 + y 2+ 3 的最小值;*, x + y = 1,求 x 2 y 2(2)已知 x , y ∈ R + 的最小值;x +1 y + 1(3)已知 x , y ∈ R * , x + y = 1,求 1 + 2的最小值;2x + y y + 3(4)已知 x , y ∈ R *, 2x + 3y = 1,求 1 + 2的最小值;x + y y + 3【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目:(1)是分式的分母分别加上一个常数,为了能够使用基本不等式,我们需要对整式也进行相应的变形;(2)在上一题的基础上,是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项,需要分离出一个代数式,变成熟悉的形式;(3)在(1)的情况下分母进一步变化,不是加一个常数,而是混搭的形式;(4)在上一题的基础之上不再是直接观察出结果,而是需要配凑一个系数。
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学之导教育中心教案
学生: 王晓君授课时间: 课时: 2 年级: 初一教师:廖
课题不等式概念与性质
教学构架
一、知识回顾
二、错题再现
三、知识新授
四、小结与预习
教案内容
一、知识回顾
1、二元一次方程组的实际应用
二、错题再现
1、一艘轮船顺流航行,每小时行20千米;逆流航行每小时行16千米.求轮船和水的速度
2、甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行,经过3小时后相距3千米,再经
过2小时,甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍,求甲、乙两人的速度.
本次内容掌握情况
总结教师签字学生签字
三、知识新授
(一)不等式的概念:
认识几种不等式要用的符号:≠≤≥<>
例1、下列式子:①5<7;②2x<3;③a{ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT | 0;④x-5;
⑤3x-1;⑥;⑦x=3.其中是不等式的是?
例2、用不等式表示:
(1)a的相反数是正数 (2)x的与4的和不是正数
练1、(1)m与2的差小于(2)y的一半与x的2倍的和不小于3 (3)2与3x的差不小于x与3的和的(4)“a与b的差是非负数”
(二)不等式的解与解集
例1、下列不等式的解中包括4,5,6的是()
A.2x+1>10
B.2x+19
C.x+510
D.3-x>-2
练1、判断正误
(1)-7是x+3<-3的一个解()
(2)不等式-x>6的解集是x<-18()
(3)不等式x<-3的整数解有无限个
(4)不等式x<3的正整数解只有有限个
分析与讲解:解与解集的区别,整数解,正整数解
2、在下列不等式的解集中,包含6的是()
A.x>6
B.x<6
C.x6
D.x-6
3、有下列四个结论:①4是不等式x+3>6;②x>4是不等式x+3>6的解集;③3是
不等式x+3≥6的解集;④x≥3是不等式x+3≥6的解集,其中正确的有() A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例2、把下列不等式的解集在数轴上表示出来
(1)x>-5; (2)x-2
练1、在数轴上表示下列语句,并根据图书写出各不等式的解集
(1)所有大于4的数. (2)所有不小于-2的数
(三)不等式的性质
不等式性质1:
不等式性质2:
不等式性质3:
例1、利用不等式的基本性质,填“>”或“<”
(1)若a>b,则2a+1______2b+1; (2)若-y<10,则y______-8
基础练习
1、(1)若a<b,且c>0,则ac+c______bc+c;(2)若a>0,b<0,c<0,则(a-b)c______0
2、不等式的解集为,则的取值范围是()
A、 B、 C、 D、
3、下列命题中,正确的是()
A、若a>b,则ac2>bc2;
B、若a>b,c=d则ac>bd;
C、若ac2>bc2,则a>b;
D、若a>b,c<d则
4、若,则下列不等式中正确的是()
A、B、C、D、
5、如果,那么下列结论不正确的是()
A、 B、 C、 D、
6、若则必为()
A、负整数
B、正整数
C、负数
D、正数
能力提升题
7、不等号填空:若a<b<0 ,则;;
8、若<1,则0(用“>”“=”或“”号填空)
9、当m 时,的
10、已知0,则a,ab,ab2之间的大小关系是()
A、 B、 C、 D、
11、若<<0,则下列答案中,正确的是()
A、<
B、>
C、<
D、>
12、为任意实数,下列不等式中一定成立的是()
A、B、C、D、
例2、运用不等式的性质解一元一次不等式,并把解集在数轴上表示出来(1)≥; (2),
巩固练习:1,解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来
(1)2x-3<6x+13;(2)2(5x-9)≤x+3(4-2x)
(3)(4)
2、不等式的负整数解是_______________。
3、关于的方程若其解是非正数,则的取值范围是
4、若不等式的最小整数解是方程的解,求的值
5、若关于x的方程 3x-5k=8的解是负数,则k的取值范围是
6、已知关于x的不等式2x-a>-3的解集如下图所示,求a值.
四、小结与预习:一元一次不等式实际应用。