讲义6：分式方程
《分式方程》 讲义
《分式方程》讲义一、什么是分式方程在我们学习数学的过程中，方程是一个非常重要的概念。
之前我们接触过一元一次方程、二元一次方程等，今天我们要来认识一种新的方程类型——分式方程。
那到底什么是分式方程呢？分式方程是指方程里含有分式，并且分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
比如说，像这样的方程：＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，＄＼frac{2}｛x} ＋ 3 ＝ 5$ ，它们都是分式方程。
因为在这些方程中，分母中都含有未知数。
二、分式方程的解法接下来，我们重点来学习一下分式方程的解法。
解分式方程的一般步骤可以总结为以下几步：1、去分母这是解分式方程最为关键的一步。
我们要找到所有分式的最简公分母，然后将方程两边同时乘以这个最简公分母，把分式方程化为整式方程。
例如，对于方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，最简公分母是＄x 1$ ，方程两边同时乘以＄x 1$ ，得到＄x ＝ 2(x 1)＄。
2、解整式方程完成去分母后，我们得到了一个整式方程。
接下来，按照解整式方程的方法求解这个方程。
就以上面得到的整式方程＄x ＝ 2(x 1)＄为例，展开得到＄x ＝2x 2$ ，移项可得＄2x x ＝ 2$ ，即＄x ＝ 2$ 。
3、检验这一步非常重要，却很容易被忽略。
我们将求得的解代入原分式方程的分母中，如果分母不为零，那么这个解就是原分式方程的解；如果分母为零，那么这个解就是增根，原分式方程无解。
还是以方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ 为例，把＄x ＝ 2$ 代入分母＄x 1$ ，＄2 1 ＝ 1$ ，不为零，所以＄x ＝ 2$ 是原方程的解。
三、分式方程的增根在解分式方程的过程中，增根是一个需要特别关注的概念。
增根是分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为零的根。
为什么会产生增根呢？这是因为在去分母的过程中，我们乘以了一个含有未知数的式子，这个式子有可能为零。
而等式两边同乘以零是不符合数学规则的，所以可能会产生额外的根，也就是增根。
分式方程讲义
x2 4x 1 2 ) 2 其中，x=—3” ． x2 x 4 x 4
小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3” ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
20． （8 分）今年我市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也活动起来捐款打井抗 旱，已知第一天捐款 4800 元，第二天捐款 6000 元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多 50 人，且两天人 均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
180 180 x 2 (1 ) ， x 1.5 x 3 解这个方程为 x 182 ，经检验，x=182 是所列方程的根，即前前一小时的速度为 182．
由题意得： 22 、 解 ： 设 该 市 去 年 居 民 用 气 的 价 格 为 x 元 / m ³ ， 则 今 年 的 价 格 为 (1+25%)x 元 / m ³． „„„„„„„„„„„„„„„„„„1 分 96 90 10 ． 根据题意，得 „„„„„„„„„4 分 x (1 25%) x 7
3
本节小结：
解分式方程的步骤(1).去分母(2).解整式方程(3).把整式方程的根代入最简公分母或原分式方
程.若结果为零,则是增根,舍去
解分式方程应用的步骤和注意事项
列分式方程解的一般步骤题为： ①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数； ②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺 各个量之间的关系； ③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程； ④解方程并检验； ⑤写出答案．
18、 （1） x 1 为增根，此题无解； （2） x
2 19、解：原式计算的结果等于 x 4 ， „„„„„„„„„„„„„6 分
6分式讲义
分式及分式的应用分式的运算1．已知ab b a 2=-，则1a －1b的值为（ ） A ．12 B ．－12C ．－2D ．2 2．若322=+-b a b a ，则a b 等于 （ ） A ．54- B ．54 C ．1 D ．54 3.)2222(624822-+-+-÷-++x x x x x x x x4.化简求值：222y x xy y x y y x x ---++ 其中2,5==y x5.已知12,4-=-=+xy y x ，求1111+++++y x x y 的值知识点一：分式方程（1）分母中含有未知数的方程叫分式方程。
解分式方程的一般思路是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是：①化简整理，确定分式方程的最简公分母；②分式方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；③解这个整式方程，求出整式方程的解；④验根，即将整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为零.从而确定分式方程的根。
解分式方程要注意：一是去分母不要漏乘不含分母的项；另一个是不要忘了验根。
1.若分式22--x x 的值为零，则x 的值是( )A.2±B.2C.2-D. 0 2.)1(1--x x x =x1成立的条件是 3．已知关于x 的方程232x m x +=-的解是正数，则 m 的取值范围为________4.已知4)4(422+++=+x C Bx x A x x ，则___________,_____,===C B A ； 5.解方程：x x 527=- 423532=-+-xx x 313221x x +=--x x 31221261--=- xx x x 2321212+=++知识点二：关于分式方程的增根问题例1．a 为何值时，方程3x x -=2+3a x -会产生增根？ 解： 最简公分母3-x方程两边同时乘以3-x ，得a x x +-=)3(2 ① （不能漏乘）∵3=x 是方程的增根，故3=x 代入① 得：()a +-⨯=3323∴3=a 1、若方程kx x +=+233有负数根,则k 的取值范围是__________ 2、 若方程113122-=-++x k x x 有增根,则k 的值为 . 分式方程无解可能是①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解例2、已知关于x 的方程m x m x =-+3无解,求m 的值 1.已知：关于x 的方程x x x a --=-+3431无解，则 a= 。
第06讲分式方程(讲义)(原卷版)-2024年中考数学一轮复习讲义
第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。
第6讲 分式方程
第6讲 分式方程表头加底纹注意事项：只是章首页下的表格加底纹，其他不加知识梳理 一、分式方程1．分母里含有________的有理方程叫做分式方程．2．使分式方程分母为零的未知数的值即为__________；分式方程的增根有两个特征： (1)增根使__________为零；(2)增根是分式方程化成的__________方程的根． 二、分式方程的基本解法 解分式方程的一般步骤：(1)去分母，把分式方程转化为__________方程． (2)解这个整式方程，求得方程的根．(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的__________，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．三、分式方程的实际应用分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： (1)检验所求的解是否是所列分式方程的解； (2)检验所求的解是否符合实际． 自主测试1．分式方程32x －4－x x －2＝12的解为( )A ．x ＝52B ．x ＝53C ．x ＝5D ．无解2．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，那么两车的速度各为多少？设货车的速度为x 千米/时，依题意列方程正确的是( )A ．25x ＝35x －20B ．25x －20＝35xC ．25x ＝35x ＋20D ．25x ＋20＝35x3．已知关于x 的分式方程a ＋2x ＋1＝1的解是非正数，则a 的取值范围是__________．考点一、分式方程的解法 【例1】解方程：x ＋12x ＝x ＋13.分析：把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程求得分式方程的解．解：原方程两边同乘6x ，得3(x ＋1)＝2x ·(x ＋1)，整理得2x 2－x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝32.经验证知它们都是原方程的解，故原方程的解为x ＝－1或x ＝32. 方法总结 解分式方程时应注意以下两点：(1)去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．触类旁通1 解方程：x x ＋2＋x ＋2x －2＝8x 2－4.【例2】解方程：x －1x ＋x x －1＝52.解：设x －1x ＝y ，则原方程化为y ＋1y ＝52.解得y 1＝2，y 2＝12.当y ＝2时，x －1x ＝2，解得x ＝－1；当y ＝12时，x －1x ＝12，解得x ＝2.经检验，x 1＝－1，x 2＝2均符合题意， 所以原方程的解为x 1＝－1，x 2＝2.方法总结 解分式方程时，如按常规用约去分母的方法解，所得到的整式方程比较复杂，不易继续求解，我们可采用换元法求解．一般分式方程有以下两种情况时，可考虑换元法：第一种情况是“倒数型”，如2x x －1＋x －1x ＝52，由于x x －1与x －1x 互为倒数，当设xx －1＝y 时，原方程可化为2y ＋1y ＝52；第二种情况是“平方型”，如⎝⎛⎭⎫x －1x 2－2⎝⎛⎭⎫x －1x －3＝0，此时设x －1x＝y ，则原方程可化为y 2－2y －3＝0.触类旁通2 方程66x ＋3－60x ＝0的根是________．考点二、分式方程的增根【例3】分式方程x x －1－1＝mx －1 x ＋2 有增根，则m 的值为( )A ．0或3B ．1C ．1或－2D ．3解析：由(x －1)(x ＋2)＝0得增根可能是x ＝1或x ＝－2，把方程两边都乘(x －1)(x ＋2)得x (x ＋2)－(x －1)·(x ＋2)＝m ，当x ＝1时，得m ＝3，当x ＝－2时，得m ＝0，此时方程变为xx －1－1＝0，即x ＝x －1，此时方程无解，故m ＝0舍去，∴当m ＝3时，原方程有增根x ＝1.答案：D方法总结 利用增根求分式方程中字母的值：(1)确定增根；(2)将原分式方程化成整式方程；(3)增根代入变形后的整式方程，求出字母的值．触类旁通3 若解分式方程mx ＋1x －1＝－1时产生增根，则m 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 考点三、分式方程的应用【例4】某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？解：设该品牌饮料一箱有x 瓶，依题意，得26x －26x ＋3＝0.6，化简，得x 2＋3x －130＝0，解得x 1＝－13(不合题意，舍去)，x 2＝10.经检验：x ＝10符合题意．答：该品牌饮料一箱有10瓶．方法总结 列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．触类旁通4 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工要多用30天才可完成．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；(2)若甲工程队独做a 天后，再由甲、乙两工程队合作__________天(用含a 的代数式表示)可完成此项工程；(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？1．(2012浙江丽水)把分式方程2x ＋4＝1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )A ．xB ．2xC ．x ＋4D ．x (x ＋4) 2．(2012四川宜宾)分式方程12x 2－9－2x －3＝1x ＋3的解为( )A ．3B ．－3C ．无解D ．3或－33．(2012浙江台州)小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了14，设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是( )A ．40x ＋20＝34×40xB ．40x ＝34×40x ＋20C ．40x ＋20＋14＝40xD ．40x ＝40x ＋20－144．(2012四川攀枝花)若分式方程：2＋1－kx x －2＝12－x 有增根，则k ＝__________.5．(2012广东梅州)解方程：4x 2－1＋x ＋21－x ＝－1.6．(2012山东临沂)某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件．若加工1 800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的37倍．求手工每小时加工产品的数量．1．解方程x x 2－1＋2 x 2－1 x ＝3时，设xx 2－1＝y ，则原方程化为y 的整式方程为( )A ．2y 2－6y ＋1＝0B ．y 2－3y ＋2＝0C ．2y 2－3y ＋1＝0D ．y 2＋2y －3＝0 2．分式方程2x －5x －2＝32－x的解是( )A ．x ＝－2B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝1或x ＝2 3．若关于x 的方程m －1x －1－xx －1＝0没有增根，则m 的值不能是( )A ．3B ．2C ．1D ．－14．某单位向一所希望小学赠送1 080件文具，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个．设B 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为( )A ．1 080x ＝1 080x －15＋12B ．1 080x ＝1 080x －15－12C ．1 080x ＝1 080x ＋15－12D ．1 080x ＝1 080x ＋15＋125．已知x ＝1是分式方程1x ＋1＝3kx的根，则实数k ＝________. 6．若2x －1与1互为相反数，则x 的值是__________．7．已知关于x 的方程2x ＋mx －2＝3的解是正数，则m 的取值范围为__________．8．解分式方程： (1)xx ＋1＋1＝2x ＋1x ；(2)1x ＋1－2xx 2－1＝1.9．某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米．参考答案导学必备知识 自主测试1．B 去分母，得3－2x ＝x －2，解得x ＝53.经检验x ＝53是原方程的解．2．C 相等关系为：货车行驶25千米所用时间＝小车行驶35千米所用时间． 3．a ≤－1 去分母，得a ＋2＝x ＋1，解得x ＝a ＋1，由题意得a ＋1≤0，所以a ≤－1. 探究考点方法触类旁通1．解：去分母，得x (x －2)＋(x ＋2)2＝8. 去括号，得x 2－2x ＋x 2＋4x ＋4＝8. 整理，得x 2＋x －2＝0.解得x 1＝－2，x 2＝1.检验，当x 1＝－2时，x 2－4＝4－4＝0，∴x 1＝－2是增根；当x 2＝1时，x 2－4＝1－4＝－3≠0， ∴原方程的根是x ＝1.触类旁通2．解：66x ＋3－60x ＝0，60x ＋180＝66x ， x ＝30.触类旁通3．C 使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个整式方程的根．∵mx ＋1x －1＝－1有增根，∴x －1＝0，∴x ＝1，∴mx ＋1＝－x ＋1.当x ＝1时，解得m ＝－1.触类旁通4．解：(1)设乙单独做x 天完成此项工程，则甲单独做(x ＋30)天完成此项工程．由题意，得20⎝⎛⎭⎫1x ＋1x ＋30＝1，整理，得x 2－10x －600＝0， 解得x 1＝30，x 2＝－20.经检验：x 1＝30，x 2＝－20都是分式方程的解． 但x 2＝－20不符合题意舍去，x ＋30＝60.答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天． (2)设甲单独做a 天后，甲、乙再合作⎝⎛⎭⎫20－a3天，可以完成此项工程． (3)由题意，得1×a ＋(1＋2.5)⎝⎛⎭⎫20－a3≤64， 解得a ≥36.答：甲工程队至少要单独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程，才能使施工费不超过64万元．品鉴经典考题 1．D2．C 解方程去分母得12－2(x ＋3)＝x －3解得x ＝3，经检验x ＝3是原方程的增根，原方程无解．3．A 因为公共汽车的平均速度为x 千米/时，则出租车的平均速度为(x ＋20)千米/时，小王乘公共汽车从甲地到乙地所花的时间为40x 小时，回来时路上所花时间为40x ＋20小时，根据相等关系：回来时路上所花时间＝去时路上所花时间×34，列方程为40x ＋20＝34×40x.4．1 解方程去分母得2(x －2)＋1－kx ＝－1，由于原方程有增根，则x ＝2，解得k ＝1.5．解：方程两边都乘以(x ＋1)(x －1)，得4－(x ＋1)(x ＋2)＝－(x 2－1)，整理，得3x ＝1，解得x ＝13.经检验，x ＝13是原方程的解．故原方程的解是x ＝13.6．解：设手工每小时加工产品x 件，则机器每小时加工产品(2x ＋9)件．根据题意，得1 800x ×37＝1 8002x ＋9. 解这个方程，得x ＝27. 经检验，x ＝27是原方程的解． 答：手工每小时加工产品27件． 研习预测试题1．B 设x x 2－1＝y ，则原方程化为y ＋2y ＝3，去分母移项得y 2－3y ＋2＝0.2．C 去分母，得2x －5＝－3，解得x ＝1.检验，当x ＝1时，x －2≠0，所以原方程的解为x ＝1.3．B 将分式方程两边都乘以(x －1)，得m －1－x ＝0，把x ＝1代入m －1－x ＝0，解得m ＝2.所以若原分式方程没有增根，则m ≠2.4．B 因为B 型包装箱每个可以装x 件文具，则A 型包装箱每个可以装(x －15)件文具．相等关系为：单独使用B 型包装箱数＝单独使用A 型包装箱数－12，列方程为1 080x ＝1 080x －15－12.5．16 把x ＝1代入方程，得12＝3k ，解得k ＝16. 6．－1 由题意，得2x －1＋1＝0，所以2＋(x －1)＝0， 所以x ＝－1.经检验x ＝－1是方程2x －1＋1＝0的解．7．m ＞－6且m ≠－4 由2x ＋mx －2＝3，得x ＝m ＋6，∴m ＋6＞0，m ＞－6.又∵x －2≠0，即x ≠2，∴m ≠－4， 故m ＞－6且m ≠－4.8．解：(1)去分母，得x 2＋x (x ＋1)＝(2x ＋1)(x ＋1)，解得x ＝－12.经检验：x ＝－12是原方程的解，所以原方程的解为x ＝－12.(2)去分母，得x－1－2x＝x2－1，化简，得x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1. 经检验：x＝－1不是原方程的解．所以原方程的解为x＝0.9．解：设原计划每天铺设管道x米．则120x＋300－120x(1＋20%)＝27.解得x＝10(米)．经检验，x＝10是原方程的解．答：原计划每天铺设管道10米．。
分式方程的概念及解法讲课讲稿
分式方程的概念，解法知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释：1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。
2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。
要点二：分式方程的解法1. 解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。
2．解分式方程的一般方法和步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
(2)解这个整式方程。
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。
3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。
当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
规律方法指导1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．经典例题透析：类型一：分式方程的定义1、下列各式中，是分式方程的是（）A．B．C．D．举一反三：【变式】方程中，x为未知量，a,b为已知数，且，则这个方程是（）A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程类型二：分式方程解的概念2、请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________.举一反三：【变式】在中，哪个是分式方程的解，为什么？类型三：分式方程的解法3、解方程举一反三：【变式】解方程：(1)＝; (2)＋＝2.类型四：增根的应用4、当m为何值时，方程会产生增根( )A. 2B. －1C. 3D.－3举一反三：【变式】.若方程＝无解，则m＝。
分式方程讲义
一、教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根3. 理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
4. 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。
二、教学内容：课前热身：1、分解因式：（2a+b ）（2a －b ）+b （4a+2b ）2、如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，D E⊥AC 于F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE ＝AC.（1）求证：AB=AF ；（2）若∠BAF=60°，且FG=1，求BC 的长.考点一、分式方程1、定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程．2、解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．【例题解析】例1、指出下列方程中，分式方程有（ ）ABE G FDC①21123x x -=5 ②223x x -=5 ③2x 2-5x=0 ④5252x x -+3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、掌握分式方程的解法步骤例2、解方程：（1）51144x x x --=-- 解： 51144x x x -+=-- 方程两边同乘以 ，得． ∴检验：把x =5代入 x -5，得x -5≠0所以，x =5是原方程的解.（2）22162242x x x x x -+-=+-- 解：方程两边同乘以 ，得， ∴ ．检验：把x =2代入 x 2—4，得x 2—4=0。
所以，原方程无解。
.（验根的方法：一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解。
分式方程6PPT优选课件
1
1. 什么叫一元一次方程?
2. 下列方程哪些是一元一次方程?
(1 )3 x 5 3(2 )x 2 y 5 (3)x2x5 (4)xx11
23
3. 请解上述方程(4).
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2
一辆快客车和一辆中巴车在公路上行驶,已知 快客车每小时比中巴车多行20千米,快客车行驶 80千米所需要的时间与中巴车行驶60千米所需要 的时间相同,求快客车的速度.
检验： x80是原方程的解
在解分式方程的 过程中体现了一 个非常重要的数 学思想：转化的 数学思想。
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6
解分式方程
x
x
1
3
(x1) (x+2)
1
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7
谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
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(2) 3 4 是分式方 （ 是程） 44x x3
(3) x2 1是 分 式 方 程 （ 是 ） x
(4) 1 1 是分式方（程 是 ） x1 y1
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下面我们一起研究下怎么样来解分式方程：
80 60 x x20
方程两边同乘以 x(x20) ，得
8(0 x2)0 6x0
解得
x80
汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
解: 设快客车每小时行驶X千米,则 中巴车每小时行驶(X－20)千米,根 据题意可得方程:
80 60
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x x20
3
80 60 x x20
分式方程及其应用讲义
分式方程及其应用讲义1、解分式方程时注意去分母、检验根。
2、分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题．本课内容： 营销类应用性问题、工程类应用性问题行程中的应用性问题、轮船顺逆水应用性问题浓度应用性问题、货物运输应用性问题———————————————————————————题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验.例1.解方程(1) 2223-=---x xx (2) 114112=---+x x x题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.例;1. 若方程x x x --=+-34731有增根,则增根为 . 2. 若方程113122-=-++x k x x 有增根,则k 的值为 . 3. 若分式方程x x k x x x k +-=----2225111有增根1-=x ,求k 的值?题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解.例题：1. 若关于x 的方程11+=+x mx x无解, 则m 的值为 . 2. 当k 取何值时关于X 的方程4162222-=--+-x k x x x x 无解？ 3. 已知关于x 的方程m x mx =-+3无解,求m 的值.题型四：解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解①若解为正⎩⎨⎧>去掉增根正的解0x ;②若解为负⎩⎨⎧<去掉增根负的解0x 例题：已知关于x 的方程323-=--x mx x解为正数,求m 的取值范围.一、【营销类应用性问题】例1：某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？二、【工程类应用性问题】例2：甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。
分式方程ppt课件
适用于分子、分母均为二次多项式的分 式方程。
因式分解法
将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。 因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03
分式方程应用举例
工程问题
工作总量 = 工作时间 × 工作 效率
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作 效率
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作 时间
举例：一项工程，甲单独做需 要20天完成，乙单独做需要30 天完成。如果两人合作，需要 多少天完成？
行程问题
速度 = 路程 ÷ 时间
举例：甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开 往乙地，每小时行驶60千米。问这辆汽车需要多少小
方程的解。
04
对于第三个练习题，找到公共分母$x^2-1$，两边乘 以公共分母，得到整式方程$(x+1)(x-1)-4=x^2-1$， 解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
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分式方程ppt课件
目 录
• 分式方程基本概念 • 分式方程解法 • 分式方程应用举例 • 分式方程与实际问题结合 • 分式方程求解技巧与注意事项 • 分式方程练习题与答案解析
01
分式方程基本概念
分式方程定义
分式方程是指分母里含有未知数 的有理方程。
分式方程是方程中的一种，且分 母里含有未知数的（有理）方程
之几？
经济问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进 价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)
进价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)
分式方程讲义
学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 八年级 课时数：3学员姓名： 辅导科目： 初中数学 学科教师：课 题分式 授课时间： 备课时间：教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容【基本知识点】1、分式的概念：形如A/B ，A 、B 是整式，B 中含有未知数且B 不等于0的整式叫做分式(fraction)。
其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
注:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的分式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
2、分式的四则运算(1).同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c(2).异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： bdbc ad d c b a +=+ (3).分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：bdac d c b a =⨯ (4).分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.bcad d c b a =÷ (2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:bc ad c d b a d c b a =⨯=÷ 3、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，区别分式方程与整式方程最好的方法就是看分母是否含有未知数，例如38735=++x a x ，当x 是未知数时，它是整式方程，不是分式方程，当a 是未知数时，它是分式方程。
《分式方程》课件
《分式方程》课件xx年xx月xx日•引言•分式方程的解法•分式方程的应用目录•分式方程的注意事项•练习与巩固01引言总结词：基本概念详细描述：介绍分式方程的基本概念和定义，包括分式的定义、分式方程的构成要素和形式等。
分式方程的定义总结词：差异比较详细描述：通过比较分式方程和整式方程的异同点，让学生明确分式方程的特殊性和需要注意的事项。
分式方程与整式方程的区别总结词：实际应用详细描述：介绍分式方程在解决实际问题中的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域的应用，让学生感受到数学的实际价值。
分式方程的应用02分式方程的解法求解分式方程的基本思路将分式方程转化为整式方程求出整式方程的解通过去分母，把分式方程中的分母消掉对求出的解进行检验和验根求解分式方程的步骤得出分式方程的解对求出的解进行检验和验根求出整式方程的解去分母将分式方程转化为整式方程以某一具体的分式方程为例，介绍求解的过程通过具体例子，说明求解时需要注意的事项总结求解分式方程的一般步骤和注意事项举例说明03分式方程的应用1分式方程在物理中的应用23总结词：概念抽象，需借助实际生活场景理解。
分式方程可以描述速度、加速度等物理量之间的关系，如匀加速运动公式。
分式方程可以描述密度、体积、质量等物理量之间的关系，如密度公式。
分式方程在化学中的应用分式方程可以描述化学反应速率、平衡常数等之间的关系。
分式方程可以描述酸碱度、氧化还原反应等化学量之间的关系。
总结词：复杂方程式，需掌握化学反应原理。
分式方程在实际生活中的应用总结词：涉及实际问题，需具备实际生活经验。
分式方程可以描述路程、速度、时间等时间量之间的关系，如工程问题中的关键路径分析。
分式方程可以描述成本、利润、售价等经济量之间的关系，如盈亏平衡分析。
04分式方程的注意事项解分式方程时应注意的事项要分析清楚题意，确定未知数，并且注意分式方程中未知数的取值范围。
准确理解题意将方程中的常数项移到等号右边，把未知数的系数化成1。
第6讲分式方程(讲义)原卷版
第6讲分式方程模块一：分式方程及其解法知识精讲1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．例题解析例1．（1）下列方程中，是分式方程的为（ ）A ．12x -=B 1= C 10-= D 1= （2）在3253x +=；11(1)(1)432x x ++-=；21x-=；2371x x x ++=-；1(37)x x -中，分式方程有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例2．（1）用换元法解分式方程251x x +21x x+-+1=0，如果设21x x +=y ，那么原方程可以化为（ ） A ．2+y y -5=0B ．2y -5y+1=0C ．25y y 10++=D ．25y 10y +-=（2）.用换元法解方程221165380x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1y x x =+，则方程变为( )A ．265380y y +-=B ．265400y y +-=C ．265260y y +-=D ．265500y y +-=例3.分式方程2227381x x x x x +=+--的最简公分母是____________． 例4.直接写出下列分式方程的根：（1）11211x x x -=---：_________________；（2）11111x x x -=---：_________________；（3）2121x x -=-：_________________；（4）2111x x -=-：_________________．例5.解方程： （1）3363142x x -=-+； （2）43252x xx x =++； （3）23312222x x x x x ++=--+-．例6.解方程：（1）2213211x x x x -=+--； （2）24221422x x x x =++--+；（3）23211214124x x x x++=+--．例7.已知关于x 的方程22312x m x x x +-=-+-有增根，求m 的值．例8.已知关于x 的方程7155x m xx x--=---无解，求m 的值．例9.已知关于x 的方程301a xx +-=+的根是负数，求a 的取值范围．例10.解方程：（1）2220383x x x x+-=+；（2）2191502x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例11.解方程：（1）225(16(1)1711x xx x+++=++）；（2）2216104()933x xx x+=-．例12.解方程组：（1）413538x y x yx y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩；（2）132013251xyxy⎧+=⎪-⎪⎨⎪-=-⎪-⎩．例13.解方程组：（1）253489156x x x x+=+++++；（2）11212736x xx x x x++-=-++++．例14.解方程：226205x x +-=+．例15.a 为何值时，关于x 的方程211a a x +=+无解?例16.已知关于x 的方程222022x x x k x x x x-+++=--只有一个解，求k 的值及这个解．例17.解关于x 的方程：22112()3()1x x x x+-+=例18.解关于x 的方程()()450b x a xa b b x a x+-=-+≠+-．例19.已知方程22222(1)21()x ax a a x a +-++=+有实数根，求实数a 的取值范围．模块二 分式方程应用题知识精讲1、列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系” （1）利用题目中的关键语句寻找相等关系； （2）利用公式、定理寻找相等关系； （3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．例题解析例1.要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为x 天的方程是（）．A ．2213x xx -+=+B ．233xx =+C ．2213x xx ++=+D ．213xx x +=+ 例2.某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15 个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工x 个零件，那么下列根据题意 列出的方程中，错误的是（ ）A ．8030080615x x-+=- B ．30080615x -=-C ．80(6)8030015x x -+=-D ．8015300806x x-=--例 3.甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天完成．两队单独工作各需多少天完成?例4.登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?例5.甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速度各是多少?例6.甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、乙两车的速度各是多少?例7.某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需 货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5 个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?随堂检测1.已知方程：（1）2412x x -=-；（2）221x x =-；（3）11x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（4）32x -=， 其中是分式方程的有_____________． 2.当x 取何值时，分式方程1112x x x +=--的最简公分母的值等于0? 3.分式方程22228(2)331112x x x x x x +-+=-+，如果设2221x xy x +=-，那么原方程可以化为关 于y 的整式方程为 ． 4.解方程：（1）26531111x x x x =++--+； （2）22161242x x x x +-=--+；（3）243455121760x x x x x x --+=---+．5.解方程：221313x x x x ++=+．6.解方程组311332412463324x y x y x y y x⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩7.若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，求m 的值．8.甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．9.某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市 政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年 完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩， 求原计划平均每年的绿化面积．10.解方程：221114(4)12()12433x x x -=-++．11.解方程：596841922119968x x x x x x x x ----+=+----．12.已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a ．13.已知：关于x 的方程227()72120a a x x a x x+--++=只有一个实数根，求a ．。
分式方程知识讲解
分式方程知识讲解【学习目标】1、了解分式方程的概念；2、经历探索可化为一元二次方程的分式方程求解方法的过程，知道求解分式方程的一般步骤，领会化归思想.3、掌握“去分母”法解分式方程，知道可能产生增根，掌握验根的方法.4、会运用分式方程解决简单的实际问题。
【要点梳理】要点一、分式方程分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤.可以用下面的图表示：要点三、分式方程的解法1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点诠释：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.要点四、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 【典型例题】类型一、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．1．22132213,(2),(3),(4)11211x x x x x xx x ==+=+---下列方程中哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？（）． 【答案】（1），（2），（4）是分式方程，（3）是分式，不是方程. （4）是可化为一元二次方程的分式方程. 举一反三：【变式】下列方程哪些是分式方程？（1）；（2）；（3）；（4）（是常数）．【答案】（1）（2）是分式方程．类型二、适宜用“去分母”的方法的分式方程2． 解下列方程601745123542+--=--+-x x x x x 【思路点拨】解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。
第06课时 分式方程及其应用PPT课件
根据题意得:26a+35(200-a)=6280,
(2)若两种芯片共购买了 200 条,且购买的总费用为 6280 元,求购
解得:a=80.
买了多少条 A 型芯片?
答:购买了 80 条 A 型芯片.
+3
例 1 [2017·宁夏] 解方程:
-
4
-3 +3
=1.
[方法模型] 解分式方程时易出现的错误:
(1)漏乘没有分母的项;
(2)没有验根;
(3)去分母时,没有注意符号的变化.
解:去分母,得 x2+6x+9-4x+12=x2-9,
移项、合并同类项,得 2x=-30,
系数化为 1,得 x=-15,
)
B.4
=1 的解为 x=2,则 m
C.3
D.2
-1
=1 的解
为 x=2,∴x=2 满足关于 x 的分式方程
-3
-1
-3
=1,∴
2-1
=1,解得 m=4.故选 B.
高频考向探究
探究三 分式方程的应用
例 3 [2018·岳阳] 为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我
市持续推进长江岸线保护,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然
完成的绿化面积的 2 倍,并且甲工程队完成 300 平方米的绿化
面积比乙工程队完成 300 平方米的绿化面积少用 3 小时.乙工
程队每小时能完成多少平方米的绿化面积?
解:设乙工程队每小时能完成 x 平方米的
300 300
绿化面积.根据题意,得
-
2
=3.
解得 x=50.
经检验,x=50 是分式方程的解且符合题意.
分式方程课件
分式方程课件分式方程是高中数学中的重要内容之一，它在解决实际问题中具有广泛的应用。
本文将对分式方程的基本概念、解法以及一些典型例题进行探讨。
一、分式方程的基本概念分式方程是指方程中含有分式的方程。
它的一般形式可以表示为：$\frac{P(x)}{Q(x)}=0$，其中$P(x)$和$Q(x)$是多项式函数。
分式方程的解就是能够使等式成立的未知数的值。
二、分式方程的解法1. 清除分母在解分式方程时，我们通常要先清除方程中的分母。
这可以通过两个步骤来实现：（1）将方程两边乘以所有分母的最小公倍数，以消除分母；（2）将方程化简，得到一个多项式方程。
2. 分离变量有时候，我们可以通过将分式方程的分子和分母分别等于零来求解。
这种方法叫做分离变量法。
具体步骤如下：（1）将分母等于零，得到一个或多个方程；（2）将分子等于零，得到一个或多个方程；（3）求解这些方程，得到分式方程的解。
3. 通分当分式方程中含有多个分式时，我们可以通过通分的方法将它们合并成一个分式。
具体步骤如下：（1）找到这些分式的最小公倍数，作为通分的分母；（2）将每个分式的分子乘以通分的倍数，得到新的分式；（3）将这些新的分式合并成一个分式；（4）将合并后的分式化简，得到一个多项式方程。
三、分式方程的典型例题下面我们通过几个典型的例题来进一步理解分式方程的解法。
例题1：解方程$\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x^2-1}$。
解法：首先，我们需要清除方程中的分母。
将方程两边乘以$(x+1)(x-1)$，得到$3(x-1)-2(x+1)=(x+1)(x-1)$。
化简得到$x^2-3=0$，解得$x=\pm\sqrt{3}$。
例题2：解方程$\frac{x+2}{x-2}+\frac{x-2}{x+2}=\frac{4}{x-2}$。
解法：首先，我们需要清除方程中的分母。
将方程两边乘以$(x-2)(x+2)$，得到$(x+2)^2+(x-2)^2=4$。
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七年级上：初一数学提高（1）班辅导讲义6：分式方程及整数指数幂
姓名______________辅导时间______
【知识要点】
1、 分式方程：分母中含有未知数的方程。
.
解分式方程的基本思想：去分母，把分式方程转化为整式方程
解分式方程的一般步骤：
（1） 去分母：在原方程的两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化成整式方程
（2） 解这个整式方程：得到整式方程的根
（3） 验根：检验整式方程的根是否为原分式方程的根（把整式方程的根代入最简公分母检验，使最简
公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去）
（4） 写结论：原方程的根为……，或原方程无解
列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
2、整数指数幂：正整数、0、负整数都可以作指数；幂的有关运算法则依然成立
（0和负整数作指数时要求底数不等于0）
3、科学计数法的简单应用
【基础自测】
1、下列方程中是分式方程的是（ ）
A.
2413x x +-+ B. 5042x x -+= C. ()34243
x x -= D. 142x x +=+ 2、1a =-是下列哪个方程的根？（ ）
A. 21012a a -=++
B. 2201a a
-=- C. 21012a a +=-+ D. 2212a a =-+ 3、下列运算正确的是（ ）
A. ()224--=
B. 2124--=
C. 22155x x -=
D. ()122xy xy
-= 4、下列等式正确的是（ ）
A. ()311--=
B. ()()236222-⨯-=
C. ()()826555-÷-=-
D. ()0241-=
5、分式方程5231x x
=-的解是______________ 6、 若分式方程()()2815
x a a x +=--的解为15x =-，则a ＝____________； 7、x ＝1_________（是、不是）方程1111
x x x +=--的根
8、去分母解关于x 的方程3022
x m x x --=--时会产生增根，则m ＝ _______ 9、科学计数法表示：1340000＝ _________________；0.0001034＝ __________________
10、写出原数：65.7110
-⨯=______________；84.0310-⨯=______________； 11、大小比较：24--，20.2-，0133⎛⎫- ⎪⎝⎭，334-⎛⎫ ⎪⎝⎭
：___________________________________ 12、用50克盐加水调制成浓度为25%的盐水，需要加水____________克
13、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队恰好同时开工同时完工；甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x 台空调，根据题意，可以列出方程为____________
【例题选讲】：
1、解方程 （1）
21211x x =-- （2）3233x x x =+--
（3）
22254212343x x x x x -=-+-++ （4）23251x x x x x +-=+-
2、（1）m 为何值时，关于x 的方程
22432x mx x x -+-=+2会产生增根？
（2）已知关于x 的方程
323-=--x m x x 解为正数,求m 的取值范围.
3、计算：（1）()11xy x y --+； （2）()()
1122x y x y ----+÷-
（3）2110162123733---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）()110111432232---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯÷+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
4、 应用题：（1）轿车和货车同时从上海出发，轿车行270千米到达南京时，货车才行120千米到达无锡，
如果轿车每小时比货车多行50千米，那么求轿车的速度
（2）一个分数的分母比它的分子大5；如果这个分数的分子加上14，分母减去1，那么所得的分数为原分数的倒数，去这个分数
（3）某文具厂加工一种学生画图工具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天的工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前5天完成任务。
试问这次加工任务共用了几天？
【拓展探究】
1、 计算：112
⨯＝________________ 111223
+⨯⨯＝________________ 111122334
++⨯⨯⨯＝________________ ……
1111 (1223989999100)
++++⨯⨯⨯⨯＝________________ 2、 计算：1
14⨯＝________________
1
1
1447+⨯⨯＝________________
1
1
1
1447710++⨯⨯⨯＝________________
……
1
1
1
1
...1447949797100++++⨯⨯⨯⨯＝________________
3、 试试填空：()()11313A
B
x x x x =-++++，则A ＝________，B ＝________
验证一下：
4、 填空：()()1
1212A B
x x x x =-+-+-，则A ＝________，B ＝________
5、 解分式方程：()1
1
1
12(2)(4)2x x x x x +-=+++
6、 解方程： x x x x x x x x +++++=+++++1
26
7235
6。