6.2++等差数列教案(一)
(完整版)等差数列教案
课题：等差数列教学目标1. 知识目标（1）理解等差数列的概念；（2）掌握等差数列的通项公式；（3）了解等差数列的通项公式的推导过程及思想方法。
2. 能力目标1、通过对等差数列通项公式的推导，培养学生的观察力及归纳推理能力。
2、通过等差数列通项公式的应用，培养学生思维的深刻性和灵活性。
3. 情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，培养学生主动探索, 认真分析，善于总结的良好思维习惯。
教学重点：掌握等差数列的概念和通项公式。
教学难点：1、理解等差数列通项公式的推导过程；2、灵活应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题。
教学方法：发现式教学法，讲练结合法课型：新授课．教学过程1. 课题引入我们在初中学习了实数，研究了它的一些运算与性质，如加减乘除法．那么，对于数列，我们能不能也像研究实数一样，研究它的项与项之间的关系，运算与性质呢？为此，我们先从一些特殊的数列入手来研究这些问题．请同学们仔细观察下列几个数列，各个数列相邻两项之间有什么共同特征？②0，5，10，15，20，25；②-2 , -1 , 0, 1, 2;③3，3，3，3，3，3，3，3；③1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1；④4, 2, 0, -2 , -4, -6 ．引导学生通过观察,类比,思考和交流,得出结论。
共同特征：从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列，等差数列是本节课我们所要学习的内容。
2. 新课教学（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“ d ”表示）。
（1）等差数列的公差d 是由后项减前项所得；（2）对于数列｛a n｝,若a n a n i d （与n无关）,n 2, n N ,则此数列是等差数列，d 为公差。
请同学们做一做：下列数列是不是等差数列？（1） 1 ，1，2，2，4；（不是）（2） 1 ，2，4，6，7；（不是）（3）9 ，7，5，3，1；（是）（4）0, 1, 0, 1, 0, 1 ．（不是）强调：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差必须是同一个常数。
6.2等差数列(1)教案2课时
设计说明数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体。
新课程倡导：强调过程、强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生在探求过程的注重体验。
基于以上认识，本节教学设计时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是通过创造一些数学情境，在教师的预设引领下，让学生自己去发现、探究。
在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题、解决问题的能力，培养了他们的创造力。
而这正是新课程所倡导的数学教学理念。
本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
6.2等差数列（一）教案问题：（3）请写出各个鞋码分别构成的数列。
1a+,d课后反思：本设计从生活中的等差数列模型，如童谣数青蛙、各国鞋码等问题引入，进而提出有待探索的问题，这有助于发挥学生学习的主动性。
在探索的过程中，学生通过分析、观察，逐步抽象概括得出等差数列定义，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程。
本课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出，过程中分析细致、到位、适度。
如：判断某数列是否成等差数列，这是促进概念理解的好素材。
本节课教学中体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，把握科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。
教学手段和教学方法的选择合理、有效，体现了新课程所倡导的“培养学生积极主动，勇于探索的学习方式”的理念。
本节课不足之处：在等差数列的通项公式中，仅仅参考了书本例题，与现实生活联系较少。
改进措施：平时多积累资料，多阅读，将生活中的例子与数学更好地结合，使得例题更加丰满、完善。
等差数列两课教案
等差数列两课教案一、教学目标知识与技能目标：理解等差数列的定义及其性质，能够运用等差数列的概念解决实际问题。
过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等差数列的性质，培养学生的逻辑思维能力和抽象概括能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。
二、教学重点与难点重点：等差数列的定义及其性质。
难点：等差数列的通项公式及其应用。
三、教学准备教师准备：等差数列的相关教学材料、PPT、例题及练习题。
学生准备：学习等差数列的相关知识，了解等差数列的基本概念。
四、教学过程1. 导入新课教师通过PPT展示等差数列的实例，引导学生回顾等差数列的基本概念，为新课的学习做好铺垫。
2. 探究等差数列的性质（1）教师引导学生观察等差数列的前几项，引导学生发现等差数列的规律。
（2）学生分组讨论，总结等差数列的性质。
（3）各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
3. 学习等差数列的通项公式（1）教师引导学生根据等差数列的性质，推导出等差数列的通项公式。
（2）学生跟随教师一起推导，理解并掌握通项公式。
4. 应用等差数列的知识解决问题（1）教师出示例题，引导学生运用等差数列的知识解决问题。
（2）学生独立思考，解答例题，教师点评解答过程。
5. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，巩固等差数列的知识。
五、课后作业教师布置练习题，让学生巩固等差数列的知识，提高解题能力。
教案二一、教学目标知识与技能目标：掌握等差数列的通项公式及其应用，能够运用等差数列的知识解决实际问题。
过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等差数列的性质，培养学生的逻辑思维能力和抽象概括能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。
二、教学重点与难点重点：等差数列的通项公式及其应用。
难点：等差数列的前n项和公式的推导及应用。
三、教学准备教师准备：等差数列的相关教学材料、PPT、例题及练习题。
学生准备：学习等差数列的相关知识，了解等差数列的基本概念。
等差数列的教学设计(合集5篇)
等差数列的教学设计(合集5篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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等差数列教案(精选多篇)
等差数列教案(精选多篇)第一篇：等差数列教案4等差数列（1）教学内容与教学目标1．使学生理解等差数列的定义，掌握通项公式及其简单应用，初步领会“迭加”的方法；2．通过通项公式的探求，引导学生学习归纳、猜测、证明等合情推理与逻辑推理方法，提高学生分析^p 、综合、抽象、概括等逻辑思维能力；3．通过证明的教学过程，培养学生实事求是的科学态度和勇于探索的精神．设计思想1．根据本节内容，我们选用“探究发现式”教学法，并按如下顺序逐步展开：d即的第二通项公式anamd∴ d=amanmn如：a5a4da32da23da14d三、例题讲解例1 ⑴求等差数列8，5，2的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：⑴由a18,d58253n=20，得a208d例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列un中，设数列的第s项和第t项分别为us和ut，计算usut st解：通过计算发现usut的值恒等于公差st证明：设等差数列{un}的首项为u1，末项为un，公差为d，usu1d和an=p n+q (p、q是常数)的理解与应用.第五篇：高中数学等差数列教案(二)课题：3.3 等差数列的前n项和（二）6161,又∵n∈n*∴满足不等式n＜的正整数一共有30个. 22二、例题讲解例1 .求集合m={m|m=2n－1,n∈n*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和. 解：由2n－1＜60,得n＜即集合m中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1, an(a1an)30=59,n=30的等差数列.∵sn=2,∴s30(159)30=2=900.答案：集合m中一共有30个元素，其和为900.例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2分析^p ：满足条件的数属于集合，m={m|m=3n+2,m＜100,m∈n*}解：分析^p 题意可得满足条件的数属于集合，m={m|m=3n+2,m＜100,n∈n*} 由3n+2＜100,得n＜322 3,且m∈n*,∴n可取0，1，2，3， (32)即在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8， (98)它们可组成一个以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差数列.由sn(a1an)n=2,得s33(298)33=2=1650.答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650. 例3已知数列an,是等差数列，sn是其前n项和，求证：⑴s6，s12-s6，s18-s12成等差数列；⑵设sk,s2ksk,s3ks2k （kn）成等差数列证明：设an,首项是a1，公差为d则s6a1a2a3a4a5a6∵s12s6a7a8a9a10a11a12(a16d)(a26d)(a36d)(a46d)(a56d)(a66d)(a1a2a3a4a5a6) 36ds636d∵s18s12a13a14a15a16a17a18(a76d)(a86d)(a96d)(a106d)(a116d)(a126d)(a7a8a9a10a11a12)36d(s12s6)36d∴s6,s12s6,s18s12是以36d同理可得sk,s2ksk,s3ks2k是以kd为公差的等差数列.三、练习：1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.分析^p ：将已知条件转化为数学语言，然后再解.解：根据题意，得s4=24, s5－s2=27则设等差数列首项为a1,公差为d, 24(41)d4a2412则(5a5(51)d)(2a2(21)d)271122a13解之得：∴an=3+2（n－1）=2n+1. d22．两个数列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1,y2, ……,y6, 5均成等差数列公差分别是d1, d2, 求xx2x7d1与1y1y2y6d2解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝; d2278x1+x2+……+x7＝7x4＝7×15＝21,2y1+y2+ ……+y6＝3×(1＋5)＝18,∴x1x2x77＝. y1y2y663．在等差数列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和snsn解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24,3n(n1)3512512∴ sn＝－24n＋＝[(n－)－],36226∴ 当|n－51|最小时，sn最小， 6即当n＝8或n＝9时，s8＝s9＝－108最小.解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3(n－1),由an≤0得n≤9且a9＝0,∴当n＝8或n＝9时，s8＝s9＝－108最小.四、小结本节课学习了以下内容：an是等差数列，sn是其前n项和，则sk,s2ksk,s3ks2k （kn五、课后作业：1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.解：由(n－2)·180＝100n＋n(n1)×10， 2求得n2－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.2．已知非常数等差数列{an}的前n项和sn满足10snm23n2(m1)nmn解：由题设知2n2(n∈n, m∈r), 求数列{a5n3}的前n项和. sn＝lg(m32即 sn＝[(m1)n2mn(m1)n2mn)＝lgm＋nlg3＋lg2,52(m1)mlg2]n2＋(lg3＋lg2)n＋lgm2,55∵ {an}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式(m1)lg2≠0且lgm2＝0, ∴ m＝－1, 5212 ∴ sn＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,55(请您支持.aoo.) 3 则当n=1时，a1＝lg3lg2 521当n≥2时,an＝sn－sn1＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2) 5541＝nlg2lg3lg2 55∴41nlg2lg3lg2 554 d=an1an=lg2 541a5n3=(5n3)lg2lg3lg2 5511=4nlg2lg3lg2 531数列{a5n3}是以a8=lg3lg2为首项,5d=4lg2为公差的等差数列，∴数列5∴an＝{a5n3}的前n项和为n·(lg331211lg2)＋n(n－1)·(4lg2)＝2n2lg2(lg3lg2)n 2553．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.解：设这个数列的首项为a1, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等12a166d35432, 解得d＝5. 差数列，由已知得6a230d6a130d27解法2：设偶数项和与奇数项和分别为s偶，s奇，则由已知得s偶s奇354s32,求得s偶＝192，s奇＝162，s偶－s奇＝6d, ∴ d＝5. 偶s27奇4．两个等差数列，它们的前n项和之比为5n3, 2n1解：a9a1a17b9b1b1717(a1a17)s8. 17"17s173(b1b17)2 5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110 解：在等差数列中，s10, s20－s10, s30－s20, ……, s100－s90, s110－s100, 成等差数列，∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，10s10＋109·d＝s100＝10, 解得d＝－22 2∴ s110－s100＝s10＋10×d＝－120, ∴ s110＝－110.6．设等差数列{an}的前n项和为sn，已知a3＝12，s12>0，s13<0，(1) 求公差d的取值围；(2) 指出s1, s2, s3, ……,s121211s12ad01122a111d02解：(1) ,1312a6d01s1313a1d02 ∵ a3＝a1＋2d＝12, 代入得247d024, ∴ －<d<－3, 73d0(2) s13＝13a7<0, ∴ a7<0, 由s12＝6(a6＋a7)>0, ∴ a6＋a7>0, ∴a6>0,s6最大.六、板书设计（略）七、课后记：。
6.2 等差数列教案
教案
2.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，某人按期存入10 000元钱，年利率是
如果一个数列从第2项起，每一项与它前面一项的差都等于同一个常数，则称这个数列为等差数列，这个常数称为公差，通常用d来表示。
如正奇数数列1，3，5，7，9， 是首项为1、公差为2的等差数列。
们自己也可以设计出一个简单的麦田圈。
这个麦田圈由一组同心圆构成（如图6-3）最里面的圆半径，其他的圆半径依次增加1m。
那么，同心圆
每秒计数一次，写出电梯高度构成的数列。
这个数项是多少？写出这个数列的通项公式？
{a是一个等差数列，
设数列}
层，那么这个图案上共有多少颗宝石？
+98+99+100=？
100100
S=
将○1○2两式对应项相加，得
第三课时：习题巩固
、等差数列的定义及通项公式；
、等差数列的前n项和公式；。
等差数列教案第一课时市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
等差数列教案第一课时一、教学目标：1. 理解等差数列的概念，能够正确地列出等差数列的通项公式；2. 掌握等差数列的求和公式，能够用求和公式计算等差数列的和；3. 能够应用等差数列的概念和公式解决实际问题。
二、教学重点：1. 理解等差数列的概念，能够正确地列出等差数列的通项公式；2. 掌握等差数列的求和公式，能够用求和公式计算等差数列的和。
三、教学难点：能够应用等差数列的概念和公式解决实际问题。
四、教学过程：1. 导入（5分钟）教师可以通过提问的方式导入，例如：“小明种植了一排树木，第一棵树距离大门10米，第二棵树距离第一棵树20米，第三棵树距离第二棵树30米，以此类推，你能发现什么规律？这些数之间有什么特点？”2. 概念解释（15分钟）引导学生讨论并总结出等差数列的概念：“等差数列是指数之间的差值相等的数列。
在等差数列中，我们称这个差值为公差，用d表示。
”教师可以给出示例，如1, 3, 5, 7, ...等，并解释数列中的每个数依次加上公差d就可以得到下一个数。
3. 列出通项公式（15分钟）通过示例引导学生找出等差数列的通项公式。
以示例1, 3, 5, 7, ...为例，学生可以发现每个数都可以表示为a + (n-1)d的形式，其中a为第一个数，n为项数，d为公差。
因此，该等差数列的通项公式为an = a + (n-1)d。
4. 使用通项公式求值（15分钟）教师通过例题演示如何使用通项公式求等差数列中的某一项的值。
例如：“求等差数列1, 3, 5, 7, ...中第10项的值。
”学生可以利用通项公式an = a + (n-1)d，将a设为1，d设为2，n设为10，代入公式计算得到an的值为...5. 求等差数列的和（15分钟）引导学生思考如何求等差数列的和，并给出等差数列求和的公式：Sn = n/2 (2a + (n-1)d)，其中Sn表示等差数列的和。
教师通过例题演示如何使用求和公式计算等差数列的和。
等差数列教学设计(一课时)
2.2.1《等差数列》教案设计教材分析1.教案内容分析本节课是《普通高中课程规范实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。
主要内容是等差数列定义和等差数列的通项公式。
2.地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法．教案目标知识目标1.理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数列是否为等差数列；2.掌握等差数列的通项公式.能力目标1.通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。
2.培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识.情感目标通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．教案重难点重点1.等差数列的概念；2.等差数列的通项公式的推导过程及应用．难点理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义.教案设想本课教案，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生理解概念，进一步引导学生通过概念来判断一个数列是否是等差数列。
整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主，真正体现课堂教案中学生的主体作用。
教案过程教案环节教师活动学生活动设计意图环节一环节1 创设情境，提出问题在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）你能预测出下一次的大致时间吗？主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？天文学家陈丹说: 2062年左右。
通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗学生活动通过情景引出数列，观察发现其规律，并通过规律填写内容。
(完整word版)等差数列的概念教学设计
6.2.1 等差数列的概念【教学目标】1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念．2.逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题．3.通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．【教学重点】等差数列的概念及其通项公式．【教学难点】等差数列通项公式的灵活运用．【教学方法】本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．解因为a 3 = 5, a 8= 20,根据通项公式得教师点拨、引导：会找到多种不同的解决办法，教师要逐J a1+(3 —1) d = 5[a 1+(8 —1) d = 20整理，得f a 1+2 d = 5《f a 1+7 d = 20解此方程组，得a 1 = —1, d = 3.所以a25 = —1+(25 —1)X3 = 71.强调：已知首项a 1和公差d，便可求得等差数列的任意项a n.练习五(1)例题给出了哪些量？如何用数列符号表示？(2)例题中的所求量是什么？需要知道哪些条件？教师总结学生思路，给出解题过程.学生自主练习.一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识.鼓励学生自主(1)已知等差数列｛a n｝中，a 1 = 3, 教师巡视指导.解答，培养学生运算新a n = 21，d = 2,求n. 请个别学生在黑板上做题能力.课(2)已知等差数列｛an｝中，a4 = 10,a5 = 6,求a8 和d.后，师生共同订正.例5梯子的最高一级是33 cm, 教师出示例题. 通过例题，强化最低一级是89 cm,中间还有7级，各级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度.解用｛a n｝表示题中的等差数歹人已知a 1= 33, a n = 89, n = 9, 贝U a9 = 33+(9 —1)d ,即89 = 33 + 8d, 解得d = 7.于是a2 = 33 + 7 = 40, a3 = 40 + 7 =47, a4 = 47 + 7 = 54, a 5 = 54 +7 = 61, a6 = 61 + 7 = 68, a7 = 68 +7 = 75, a8 = 75 + 7 = 82.引导学生将题中的已知和未知转化为用数列符号表示.学生解答.教师巡视指导.教师出示解题过程，强调解题步骤要规范、严谨，叙述要简明、完整.学生对等差数列通项公式的理解，强化学生学以致用的意识.。
等差数列教案（5篇）
等差数列教案（5篇）第一篇：等差数列教案等差数列教案教学目的1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.（1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念；（2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；（3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想.3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.关于等差数列的教学建议（1）知识结构（2）重点、难点分析①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外，出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.（3）教法建议①本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．③等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项其图像的形状相对应．可看作项数的一次型（）函数，这与⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式是数列第项与项数之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是，即其末项未必是该数列的第项，在教学中一定要强调这一点．⑥等差数列前项和的公式推导离不开等差数列的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究等差数列的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣．⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境．等差数列通项公式的教学设计示例教学目标1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.教学重点，难点教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用．教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法研探式.教学过程一.复习提问前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.二.主体设计通项公式反映了项与项数之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知求，求）.找学生试举一例如：“已知等差数列中，首项，公差.”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.1.方程思想的运用（1）已知等差数列的第______项.中，首项，公差，则－397是该数列（2）已知等差数列中，首项，则公差（3）已知等差数列中，公差，则首项这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量，在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.2.基本量方法的使用（1）已知等差数列中，求的值.（2）已知等差数列中，求.若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于的，由和和的二元方程组，所以这些等差数列是确定写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个和的二元方程组，以求得和，和称作基条件（等式）化为关于本量.教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于这是一个和和的二元方程，的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.如：已知等差数列中，…由条件可得即，可知，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题（3）已知等差数列中，求；；；；….类似的还有（4）已知等差数列中，求的值.以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出 3.研究等差数列的单调性，考察随项数的变化规律.着重考虑的符号，由学生叙的情况.此时是的一次函数，其单调性取决于述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.4.研究项的符号这是为研究等差数列前项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如（1）已知数列始小于0？的通项公式为，问数列从第几项开（2）等差数列三.小结从第________项起以后每项均为负数.1.用方程思想认识等差数列通项公式；2.用函数思想解决等差数列问题.第二篇：等差数列教案（精选）等差数列教案一、教材分析从教材的编写顺序上来看，等差数列是必修五第二章的第二节的内容，一方面它是数列中最基础的一种类型、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习等比数列及数列的极限等内容作准备.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，对其在性质的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．依据课标“等差数列”这部分内容授课时间3课时，本节课为第2课时，重在研究等差数列的性质及简单应用，教学中注重性质的形成、推导过程并让学生进一步熟悉等差数列的通项公式。
等差数列(人教版)教案
等差数列（一）教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2. 过程与方法:通过日常生活中实际问题分析，引导学生观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型，用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中。
通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳转化为数学问题的能力，培养学生的应用意识。
（二）教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
教学用具：投影仪（四）教学设想[创设情景]上节课我们学习了数列。
在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。
今天我们就先学习一类特殊的数列。
[探索研究]由学生观察分析并得出答案：（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。
该项目共设置了7个级别。
其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。
如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。
等差数列教案
等差数列(一)教学目标：明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道a n,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题；培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识.教学重点：1.等差数列的概念的理解与掌握.2.等差数列的通项公式的推导及应用.教学难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.教学过程：Ⅰ. 复习引入上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子1，从函数观点看,数列可看作是定义域为正整数集N*所对应的一列函数值，从而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
2，小明目前会100个单词，他打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为： 100，98，96，94，92 ①3，小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背5个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为 5，10，15，20，25 ②首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?（引导学生积极思考，并找出其共同特点）Ⅱ. 新课探究数列①是一递减数列，后一项总比前一项少2数列②是一递增数列，后一项总比前一项多5综合上述所说，它们的共同特点是什么呢？它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.给出5组数列，判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。
1. 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d= -12. 0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d= 0.013. 0，0，0，0，0，0，…….;√ d= 04. 1，2，3，2，3，4，……；×5. 1，0，1，0，1，……×其中第一个数列公差<0, 第二个数列公差>0,第三个数列公差=0注：公差可以是正数、负数，也可以是02.等差数列的通项公式不完全归纳法：由等差数列定义可得：a 2－a 1＝d 即：a 2＝a 1＋d ；a 3－a 2＝d 即：a 3＝a 2＋d ＝a 1＋2d ；a 4－a 3＝d 即：a 4＝a 3＋d ＝a 1＋3d ；……；a n －a n －1＝d ，即：a n ＝a n －1＋d ＝a 1＋(n －1)d叠加法：或者等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则据其定义可得：(n －1)个等式⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝d a 3－a 2＝da 4－a 3＝d …a n －a n －1＝d若将这n －1个等式左右两边分别相加，则可得：a n －a 1＝(n －1)d 即：a n ＝a 1＋(n －1)d当n ＝1时，等式两边均为a 1，即上述等式均成立，则对于一切n ∈N *时上述公式都成立，所以它可作为数列{a n }的通项公式.看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a 1和公差d ,便可求得其通项.例如一个等差数列{a n }的首项是1，公差是2，得出这个数列的通项公式是：a n =1+ (n-1)×2 ， 即a n = 2n-1Ⅲ. 应用举例［例1］求等差数列8，5，2…的第20项.分析：由给出的三项先找到首项a 1,求出公差d ，写出通项公式，然后求出所要项.解：由题意可知：a 1＝8，d ＝5－8＝2－5＝－3∴该数列通项公式为：a n ＝8＋(n －1)×(－3)，即：a n ＝11－3n (n ≥1)，当n ＝20时，则a 20＝11－3×20＝－49.答案：这个数列的第20项为－49.［例2］在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公差d .解：由题意可知，⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10 ①a 1＋11d ＝31 ②这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1＝－2，d ＝3.即这个等差数列的首项是－2，公差是3.［例3］已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 45＝153，试问217是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.分析：这是一个探索性问题，但由于在条件中已知道两项的值，所以，在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a 1和d ，也可以利用性质求d ，再就是考虑运用等差数列的几何意义.解法一：由通项公式，知⎩⎨⎧a 15＝a 1＋14d ＝33a 45＝a 1＋44d ＝153 得：⎩⎨⎧a 1＝－23d ＝4由217＝－23＋4(n －1)，得n ＝61.解法二：由等差数列性质，得a 45－a 15＝30d ＝153－33，即d ＝4又a n ＝a 15＋(n －15)d ，217＝33＋4(n －15)，解得n ＝61.解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点由于P （15，33），Q （45，153），R （n ，217）在同一条直线上.故有153－3345－15 ＝217－153n －45，解得n ＝61. 评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.Ⅳ. 归纳小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：a n －a n －1＝d (n ≥2).其次，要会推导等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1)，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：a n ＝a m ＋(n －m )d 的理解与应用.Ⅴ. 布置作业必做：课本P 39习题1，2，3 选做：课本P 39习题6, 7。
《等差数列》的教学设计
《等差数列》的教学设计一、教学目标1.知识与技能目标：(1)理解等差数列的概念，并能够分析和判断一个数列是否为等差数列；(2)掌握等差数列的通项公式及前n项和的公式；(3)运用等差数列的概念和公式解决实际问题。
2.过程与方法目标：(1)通过示例引入的方式，激发学生对等差数列的兴趣，提高学习积极性；(2)采用讲解与练习相结合的方式，帮助学生巩固理论知识，提高解题能力；(3)引导学生运用等差数列的思维方式解决问题，培养学生的问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：(1)培养学生对数学的兴趣与探索精神，提高数学学习的积极性；(2)培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力；(3)培养学生良好的合作精神和团队意识。
二、教学重点和难点1.教学重点：(1)等差数列的概念和特点；(2)等差数列的通项公式及前n项和的公式；(3)运用等差数列的概念和公式解决实际问题。
2.教学难点：(1)等差数列的通项公式的推导及应用；(2)运用等差数列的概念和公式解决实际问题。
三、教学过程1.导入新课阶段（15分钟）(1)引入：通过举例的方式引入等差数列的概念，如：1,3,5,7,9是一个等差数列，问学生这个数列有什么特点？对于这个数列，我们能否找出一般规律？当然，这只是一个小数列，我们如何来判断一个数列是否为等差数列呢？(2)导入：出示一个数列：1,3,5,7,9，并引导学生分析该数列的特点，如：相邻两项之间的差是相等的。
2.概念解释和探究阶段（20分钟）(1)定义：讲解等差数列的定义和特点，即相邻两项之间的差是相等的。
(2)探究：通过抛出问题，引导学生分析和总结等差数列的特点，如：两项之差相等、首项、公差等。
(3)活动：设置数列填空的活动，让学生根据等差数列的特点填写缺失的数字，帮助巩固对等差数列的理解。
3.公式导出和应用阶段（30分钟）(1) 公式的导出：引导学生通过观察和总结，导出等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
教学设计3：6.2 等差数列
第二节 等差数列1．等差数列(1)定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．(2)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d ．(3)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2. (4)a 、b 的等差中项A ＝a ＋b 2． 2．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)若m 、n 、p 、q 、k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ．(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd ．(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列．(4)若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)．1．(人教A 版教材习题改编)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24【解析】由S 10＝S 11得10a 1＋10×92×(－2)＝11a 1＋11×102×(－2)，解得a 1＝20.【答案】 B2．(2013·潍坊模拟)已知{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4a 5，a 2＝－8，则该数列的公差是( )A ．4B ．14C ．－4D ．－14【解析】 因为a 3＋a 9＝4a 5，所以根据等差数列的性质可得：a 6＝2a 5，所以a 1＋5d ＝2a 1＋8d ，即a 1＋3d ＝0，又a 2＝－8，即a 1＋d ＝－8，所以公差d ＝4.【答案】 A3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( )A ．12B ．16C ．20D ．24【解析】 ∵{a n }是等差数列，∴a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝16.【答案】 B4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________．【解析】 ∵a m －1＋a m ＋1＝2a m ，∴2a m －a 2m ＝0，则a m ＝2，a m ＝0(舍)，又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝2(2m －1)＝38.解之得m ＝10. 【答案】 105．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．【解析】 设自上第一节竹子容量为a 1，则第9节容量为a 9，且数列{a n }为等差数列． 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3，a 7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4.解之得a 1＝1322，d ＝766，故a 5＝a 1＋4d ＝6766. 【答案】 6766已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．【尝试解答】 (1)∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1， ∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1（2－1a n）－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.∴数列{b n }是以－52为首项，以1为公差的等差数列． (2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7. 设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数． ∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.,第(2)小题，通过{b n }是等差数列，求得{a n }的通项，然后利用函数的单调性求数列的最大(小)项．2．证明数列{a n }为等差数列有两种方法：(1)证明a n ＋1－a n ＝d (常数)．(2)证明2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：{1S n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明 ∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0，∴1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又1S 1＝1a 1＝2， 故数列{1S n}是以2为首项，以2为公差的等差数列． (2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ， ∴S n ＝12n .当n ≥2时，有a n ＝－2S n ×S n －1＝－12n （n －1），又∵a 1＝12，不适合上式， ∴a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.(1)(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________．(2)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.①求数列{a n }的通项公式；②若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．【思路点拨】 (1)由S 2＝a 3求{a n }的公差d ，进而代入求a 2与S n ；(2)易求d ＝－2，从而可求a n ；求出S n 后，根据方程S k ＝－35，求k 值．【尝试解答】 (1)由S 2＝a 3，得a 1＋a 2＝a 3，∴d ＝a 3－a 2＝a 1＝12， 因此a 2＝a 1＋d ＝1，S n ＝n 24＋n 4. 【答案】 1 n 24＋n 4(2)①设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 3＝－3，得1＋2d ＝－3，∴d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .②由①知a n ＝3－2n ，∴S n ＝n [1＋（3－2n ）]2＝2n －n 2，由S k ＝－35得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5，又k ∈N *，故k ＝7.,1．等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．3．等差数列的通项公式形如a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，前n 项和公式形如S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)，结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍．(2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ，由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×（5－1）2d ＝105，a 1＋9d ＝2（a 1＋4d ），解得a 1＝7，d ＝7. 因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)．(2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 1（1－q m ）1－q ＝7×（1－49m ）1－49＝7×（72m －1）48＝72m ＋1－748.(1)(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.着眼点（1）先求a 1＋a 11，再求S 11（2）根据前6项与最后6项的和求出a 1＋a n ，再求n 及a 9＋a 10【尝试解答】 (1)S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11（a 4＋a 8）2＝88. 【答案】 B(2)由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝324， ∴18n ＝324，∴n ＝18.由a 1＋a n ＝36，n ＝18.∴a 1＋a 18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.,1．在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k 是常用的性质，本例(1)、(2)都用到了这个性质．2．掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．(1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________．(2)(2013·广州质检)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40【解析】 (1)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60.(2)设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.【答案】 (1)60 (2)A在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．【思路点拨】 由a 1＝20及S 10＝S 15可求得d ，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号．【尝试解答】 法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ， ∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×(－53)＝－53n ＋653. 令a n ≥0得n ≤13，即当n ≤12时，a n ＞0；n ≥14时，a n ＜0.∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×(－53)＝130. 法二 同法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.,求等差数列前n 项和的最值常用的方法(1)先求a n ，再利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值． (2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值．②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5.(1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．【解】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5， 解出a 1＝3，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5.(2)S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2，所以n ＝2时，S n 取到最大值4.一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式． 两个技巧1.若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….2．若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…. 两种思想1.等差数列的通项公式，前n 项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a 1和d .2．等差数列{a n }中，a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)，均是关于“n ”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程等差数列在每年的高考中均有所涉及，主要考查等差数列的通项公式、前n 项和及等差数列的性质，各种题型均有可能出现，一般有一个小题或在解答题中出现，在解题时，应熟练掌握通项公式与前n 项和公式，规范答题避免不必要的失分．规范解答之八 等差数列的通项与求和问题(12分)(2012·湖北高考)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．【规范解答】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，易求a 2＝－1，则a 3＝a 2＋d ，a 1＝a 2－d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1－d ，（－1＋d ）（－1－d ）·（－1）＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3. 所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4，2，不成等比数列，不合题设条件． 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3. 记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5.当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋（n －2）[2＋（3n －7）]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.【解题程序】 第一步：由条件，构造关于基本量a 1，d 的方程；第二步：求a 1与d ，进而求数列{a n }的通项公式；第三步：检验a 2，a 3，a 1成等比数列，确定|a n |的表达式；第四步：分类讨论，利用等差数列的前n 项和公式求和；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点、规范解题步骤．易错提示：(1)不能利用等差数列的性质恰当设置，导致繁杂计算，错求a 1与d .(2)缺乏分类讨论的意识，忽视n ＝1，2的讨论，误认为S n 为等差数列{3n －7}的前n 项和；弄错S n 中的项数，导致计算失误．防范措施：(1)若三个数成等差数列且和为定值，可对称设置为a －d ，a ，a ＋d 简化运算．(2)去绝对值符号，分段表示|a n |；求数列{|a n |}前n (n ≥3)项和，只有从第3项起各项才成等差数列，切忌弄错项数．1．(2013·西安质检)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋190d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20，d ＝－2.∴S 10＝10a 1＋45d ＝110.【答案】 1102．(2012·山东高考)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .【解】 (1)因为{a n }是一个等差数列，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，所以a 4＝28.设数列{a n }的公差为d ， 则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9.由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)．(2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ，则9m ＋8<9n <92m ＋8，因此9m －1＋1≤n ≤92m －1，故得b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1) ＝9×（1－81m ）1－81－（1－9m ）1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180.。
等差数列两课教案
等差数列两课教案一、教学目标1. 理解等差数列的定义及其性质。
2. 学会运用等差数列的通项公式和求和公式。
3. 能够解决与等差数列相关的一些实际问题。
二、教学内容1. 等差数列的定义2. 等差数列的性质3. 等差数列的通项公式4. 等差数列的前n项和公式5. 等差数列的实际应用问题三、教学重点与难点1. 重点：等差数列的定义、性质、通项公式和求和公式。
2. 难点：等差数列的实际应用问题的解决。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解等差数列的概念、性质、公式。
2. 通过例题讲解等差数列的实际应用问题。
3. 引导学生进行小组讨论和探究，提高学生的合作能力。
五、教学过程第一课时：等差数列的定义与性质一、导入（5分钟）1. 复习等差数列的概念。
2. 引导学生思考等差数列的特点。
二、新课（20分钟）1. 讲解等差数列的定义。
2. 引导学生总结等差数列的性质。
三、练习与讨论（10分钟）1. 布置练习题，让学生巩固等差数列的定义与性质。
2. 组织学生进行小组讨论，分享解题心得。
第二课时：等差数列的通项公式与求和公式一、导入（5分钟）1. 复习等差数列的定义与性质。
2. 引导学生思考等差数列的通项公式和求和公式。
二、新课（20分钟）1. 讲解等差数列的通项公式。
2. 讲解等差数列的前n项和公式。
三、练习与讨论（10分钟）1. 布置练习题，让学生巩固等差数列的通项公式和求和公式。
2. 组织学生进行小组讨论，分享解题心得。
四、总结与拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结。
2. 引导学生思考等差数列的实际应用问题。
教学评价：通过课堂讲解、练习和小组讨论，评价学生对等差数列的定义、性质、通项公式和求和公式的掌握程度，以及解决实际问题的能力。
六、教学目标1. 学会运用等差数列的通项公式和求和公式解决实际问题。
2. 理解等差数列的图像和特点。
3. 能够运用等差数列的知识解决一些综合性的数学问题。
七、教学内容1. 等差数列的图像和特点2. 等差数列的实际应用问题3. 等差数列的综合训练八、教学重点与难点1. 重点：等差数列的图像和特点，以及实际应用问题的解决。
《等差数列》教案及说明
课题：等差数列（一）重庆市第十八中学詹远美[教学目标]1.知识目标：掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程；了解等差数列的函数特征；能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。
2.能力目标：让学生亲身经历“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”这一研究过程，培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。
通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。
3.情感目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。
[教学重难点]1.教学重点：等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用。
2.教学难点：（1）对等差数列中“等差”两字的把握；（2）对等差数列函数特征的理解；（3）用不完全归纳法推导等差数列的通项公式。
[教学过程]一.课题引入1.复习回顾：(上节课我们学习了数列的定义及通项公式,那么什么叫数列？什么是数列{}n a 的通项公式)从函数的观点看，数列可看成是定义域为N ﹡（或它的子集{}1,2,,n ）的函数，当自变量从小到大的依次取值时，所对应的一列函数值。
数列的通项公式()n a f n =是该函数的解析式。
2.创设情境 引入课题：(这节课我们将学习一类特殊的数列，下面我们看这样一些例子）①德国数学家高斯八岁时计算1+2+3+···+100=? 时，所用到的数列：1，2，3，4，...，100 ②姚明刚进NBA 一周里每天训练发．球的个数依次是：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000 ③匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm ）:26,2125,25,2124,24,2123,23,2122引导学生观察：上面的数列①、②、③有什么共同特点?对于数列（1），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ；对于数列（2），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ；对于数列（3），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ；发现这些数列有一个共同特点：从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，我们把有这一特点的数列叫做等差数列（板书课题）。
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【课题】 6．2 等差数列
【教学目标】
知识目标：
（1）理解等差数列的定义； （2）理解等差数列通项公式． 能力目标：
通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力． 【教学重点】
等差数列的通项公式． 【教学难点】
等差数列通项公式的推导． 【教学设计】
本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:d a a n n =-+1(常数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.
教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例2是求等差数列的通项公式及其中任一项的巩固性题目,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个量：
,
,,,1n a n d a 只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量．
【教学备品】
教学课件． 【课时安排】
2课时．(90分钟) 【教学过程】
过 程
行为 行为 意图 间 将正整数中5的倍数从小到大列出，组成数列： 5，10，15，20，…． （1） 将正奇数从小到大列出，组成数列：
1，3，5，7，9，…． （2） 观察数列中相邻两项之间的关系，
发现：从第2项开始，数列(1)中的每一项与它前一项的差都是5；数列（2）中的每一项与它前一项的差都是2．这两个数列的一个共同特点就是从第2项开始，数列中的每一项与它前一项的差都等于相同的常数．
课件 质疑 引导 分析
课件 思考 自我 分析
学生自然的走向知识点 引导 式启 发学 生得 出结 果
5
*动脑思考 探索新知
如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d 表示．
由定义知，若数列{}n a 为等差数列，d 为公差，则1n n a a d +-=,即
总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键
词语
思考 理解 记忆 带领 学生 分析
10
*巩固知识 典型例题
例１ 已知等差数列的首项为12，公差为−5，试写出这个数列的第2项到第5项．
解 由于5,121-==d a ，因此 ()751212=-+=+=d a a ；
()25723=-+=+=d a a ；
说明 强调 引领 讲解
观察 思考 主动
通过例题进一步领会等差数列通
（6.1）
【教师教学后记】。