确定简单多面体外接球的球心的策略
立体几何高考专题--外接球的几种常见求法
立体几何高考专题--外接球的几种常见求法高三微专题:外接球在立体几何中,外接球问题是一个重点和难点。
其实质是确定球心O的位置和使用勾股定理求解外接球半径(其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得)。
一、由球的定义确定球心在空间中,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。
简单多面体外接球问题是立体几何中的重点和难点。
二、球体公式球的表面积公式为S=4R²,球体积公式为V=4/3R³。
三、球体几个结论:1)长方体、正方体外接球直径等于体对角线长。
2)侧棱相等,顶点在底面投影为底面外接圆圆心。
3)直径所对的球周角为90°(大圆的圆周角)。
4)正三棱锥对棱互相垂直。
四、外接球几个常见模型1.长方体(正方体)模型例1:长方体的长、宽、高分别为3、2、1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为14。
练1:体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为12。
2.正棱锥(圆锥)模型对于侧棱相等,底面为正多边形的正棱锥,其外接球的球心位置位于顶点与底面外心连线线段(或延长线)上。
半径公式为R²=(h-R)²+r²(其中R为外接球半径,r为底面外接圆半径,h为棱锥的高,r可根据正弦定理a=2rsinA求得)。
例2:已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为h,体积为V,则这个球的表面积为____。
正四棱锥的高为h,体积为V,易知底面面积为,底面边长为。
正四棱锥的外接球的球心在它的高上,记为,得,在中。
由勾股定理,所以球的表面积为。
练2:正三棱锥S-ABC中,底面ABC是边长为3的正三角形,侧棱长为2,则该三棱锥的外接球体积等于。
解析:ABC外接圆的半径为,三棱锥S-ABC的直径为2R=,外接球半径R=,外接球体积V=4/3R³=。
对于侧棱与底面垂直的直棱柱和圆柱,其外接球的球心位置在上下底面外心连线中点处。
两招搞定简单多面体外接球问题
■ 舒飞跃
此类 近年来, 高考题中常常出现简单多面体外接球问题, 问题能有效考查学生的空间想象能力, 它自然受到命题者的青 睐. 简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心 的位置问题, 解决这一问题从两个方面入手可以有效解决球心 与球半径, 下面笔者就这一问题谈一谈自已的想法, 供参考. 一、 深入理解球的定义, 转化为常见结论, 准确定位球心 在空间中, 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的 距离都相等, 那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心 . 由上面的性质, 可以得到下列简单多面体外接球的球心的 如下结论. 结论 1 : n 棱锥有外接球的球心在过底面多边形外接圆的 圆心且垂直 于 底 面 的 直 线 上, 具体的位置通过计算后准确 找到. 结论 2 :n 棱台有外接球的球心是在上 、 下底面多边形的外 接圆的圆心的连线的直线上, 具体位置可通过计算准确找到 . 结论 3 :n 直棱柱有外接球的球心是在上 、 下底面多边形的 外接圆的圆心的连线的中点 . ( 特别地, 正方体与长方体的外接球的球心是其体对角线 中点. ) 例1 一个几何体的三视 图如图 1 所示, 其中正视图是 一个正三角形, 则这个几何体 的外接球的表面积为 . 解:由三视图作出原几何 体是三棱锥 A - BCD, 如图 2 所 示, 平面 ABD ⊥ 平面 BCD, 取 BD 的 中 点 为 O1 ,连 结 AO1 , CO1 , 因 △ABD 边长为 4 的正三 角形, △BCD 是等腰直角三角 2, ∠BCD = 90 ° , 形, 且 BC = CD = 2 槡 有 AO1 ⊥ 平面 BCD, 则球心 O 在线段 AO1 上, 连结 BO. 设外接球的半径为 R,
x = cosθ 4 - sinθ 4 -y , , 则k = 令 的最大值, 整理得:kx - y + 3 - cosθ 3 -x y = sinθ 4 - 3k = 0. y) 在直线 kx - y + 4 - 3 k = 0 上, 因此点 M( x, 同时又在单
如何确定外接(内切)球的球心
如何确定外接(内切)球的球心球与其他几何体的切接问题,是近几年高考的热点,这种题目几乎在各省高考试题中都有涉及,主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养.“切”“接”问题的处理规律:(1)“切”的处理解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.1.由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球.也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心.①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点;①正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点;①直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点;①正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.[例1]若正三棱柱ABCA′B′C′的底面边长为2,侧棱长为1,其顶点都在同一个球面上,则球的表面积为________.[解析]如图,H′,H分别为上、下底面的中心,HH′的中心O 为外接球的球心.由题意得,在Rt①OAH中,AH=233,OH=12,则外接球的半径R=OA=AH2+OH2=19 12,表面积S=4πR2=19π3.[答案]19π32.构造长方体或正方体确定球心①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥,可将三棱锥补成长方体或正方体;①同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥,可将三棱锥补成长方体或正方体;①若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体;①若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体.[例2]若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的体积是________.[解析]三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则可将三棱锥补形成正方体.从而其外接球的直径为3,半径为32,故所求外接球的体积V=4π3×⎝⎛⎭⎪⎫323=9π2.[答案]9π2[点评]一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a,b,c,则可以将这个三棱锥补形成一个长方体,长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径,即2R=a2+b2+c2.3.由球的性质确定球心[典例3]正三棱锥ABCD内接于球O,且底面边长为3,侧棱长为2,则球O的表面积为________.[解析]如图,设三棱锥ABCD的外接球的半径为r,M为正①BCD的中心,因为BC=CD=BD=3,AB=AC=AD=2,AM①平面BCD,所以DM=1,AM=3,又OA=OD=r,所以(3-r)2+1=r2,解得r=233,所以球O的表面积S=4πr2=16π3.[答案]16π3[点评]本题运用公式R2=r2+d2(r为三棱锥底面外接圆的半径,R为三棱锥外接球的半径,d为球心到三棱锥底面中心的距离)求球的半径,该公式是求球的半径的常用公式.本题的思路是探求正棱锥外接球半径的通法,该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面,把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.。
阅读与欣赏(七) 确定球心位置的三种方法
确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径,在球与其他几何体的结合问题中,通过位置关系的分析,找出球心所在的位置是解题的关键,不妨称这个方法为球心位置分析法.方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球.也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心.(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点;(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点;(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点;(4)正棱锥的外接球球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到;(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是()A.16πB.20πC.24πD.32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,可求得底面边长为2,故球的直径为22+22+42=26,则半径为6,故球的表面积为24π,故选C.【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥,可将三棱锥补形成长方体或正方体;(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥,可将三棱锥补形成长方体或正方体;(3)若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补形成长方体或正方体;(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补形成长方体或正方体.如图,边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,将△AED,△EBF,△FCD分别沿DE,EF,FD折起,使A,B,C三点重合于点A′,若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上,则该球的半径为()A.2B.6 2C.112D.52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E,A′F,A′D两两垂直,且A′E=1,A′F=1,A′D=2,把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1,1,2的一个长方体,则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球,球的半径为r=1212+12+22=62.故选B.【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心.正三棱锥A -BCD 内接于球O ,且底面边长为3,侧棱长为2,则球O 的表面积为________.【解析】 如图,M 为底面△BCD 的中心,易知AM ⊥MD ,DM =1,AM = 3.在Rt △DOM 中,OD 2=OM 2+MD 2,即OD 2=(3-OD )2+1,解得OD =233,故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332=163π.【答案】163π。
多面体的外接球问题
3
32
3
O
2
AH
AB2 BH 2
a2
3 3
a
6a 3
又 O在AH上,且OA=OB=R
在RtBCD中,BH 2 OH 2 OB 2
3 3
a 2
6 3
a
R 2
R2
R 6 a. 4
三 .“ 补 ” 形 法 找 球 心 、 求 半 径
多面体的外接球问题
陆中华 2019.7.6
课堂导引
一.多面体的外接球的球心在哪里? 二.常见“规则”多面体外接球的球心与半径 三.“补”形法找球心、求半径 四.求“不规则”多面体的半径
一.空间几何体外接球的球心在哪里? 1.外接球的定义
正多面体各顶点同在一球面上,这个球 叫做正多面体的外接球。
如左图,球O为四面体D-ABC的外接球, 则
所以,外接球的球心O在过底面外 接圆圆心G的垂线(即高PG)上。
分析:
四棱锥A-MNCB体积最大,
则面AMN 面MNCB.
三角形AMN为等边三角形,
G1
O
其外接圆的圆心G1为中线
AE的三等分点.
G2
E
G2 且易得,等腰梯形 MNCB外
接圆的圆心G2为BC的中点.
分别作垂线,得交点为四棱 锥的外接球的球心O.
中心处,长方体的体对角线为其外接球 的直径。
设长方体的长宽高分别为a,b,c,则
O
2R a2 b2 c2 .
2.正方体 设正方体的棱长为a,则
2R a2 a2 a2 3a.
3.直棱柱
O h/2 R
确定简单多面体外接球的球心的策略
确定简单多面体外接球的球心的策略简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点,此类问题实质是解决球的半径r或确定球心o的位置问题,其中球心的确定是关键.如何确定简单多面体外接球的球心,下面作一些归纳、总结.1 由球的定义确定球心在空间,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心.由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.结论1 正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.结论2 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.结论4 正棱锥的外接球的球心是在其高上,具体位置可通过计算找到.结论5 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.例1 (2012年高考辽宁卷·文16)已知点p,a,b,c,d是球o表面上的点,pa⊥平面abcd,四边形abcd是边长为23的正方形.若pa=26,则△oab的面积为________.图1解析因为外接球球心满足到各个顶点距离相等,直角三角形斜边中点到各个顶点距离相等,故可知pc的中点即为球心o.如图1,在rt△pac中,ac=26,pc=43,故r=23.球心满足oa=ob=r=23,故△oab为等边三角形,所以其面积s=33.评注(1)球心满足到各个顶点距离相等,故球心常常在某直角三角形的斜边中点处.另外,因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面,故一个球中多个过截面圆圆心的垂线的交点必为球心.(2)此题还可以通过构造长方体找到球心,并获解.例2 (2010年高考全国ⅰ新课标卷·理10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为().a.πa2b.73πa2c.113πa2d.5πa2图2解析设o1,o2分别是正三角形a1b1c1和正三角形abc的中心,又三棱柱abc—a1b1c1是正三棱柱,所以其外接球的球心o是o1o2的中点,如图2,于是其外接球的半径为r=oo22+ao22=(a2)2+(23ad)2=(a2)2+(23×32a)2=7a212,所以球的表面积为4π·r2=73πa2,故选b.评注(1)正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心的连线的中点.(2)直三棱柱外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.2 构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法.途径1 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体.途径2 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体.途径3 若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体.途径4 若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体.例3 (2012年高考辽宁卷·理16)已知正三棱锥p—abc,点p,a,b,c都在半径为3的球面上.若pa,pb,pc两两互相垂直,则球心到截面abc的距离为________.图3解析因为pa,pb,pc两两互相垂直,故正三棱锥p—abc的外接球即是以pa,pb,pc为棱的正方体的外接球,球心是在其体对角线的交点处,如图3,易证op⊥平面abc,所以球心o到截面abc的距离即为球半径r减去正三棱锥p—abc的高.设pa=a,则(2r)2=3a2,所以a=2.设正三棱锥p—abc的高为h,则va—pbc=vp —abc,即13×12a2·a=13×34(22)2h,解得h=233,故球心到截面abc的距离为3-233=33.评注(1)易知三棱锥o—abc是正三棱锥,求出其高即为所求.(2)构造正方体并找到球心是破解此题的关键.3 由性质确定球心利用球心o与截面圆圆心o1的连线垂直于截面圆及球心o与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心.例4 三棱锥s—abc中,sa⊥平面abc,sa=2,△abc是边长为1的正三角形,则其外接球的表面积为________.图4解析设o1是△abc的外心,如图4,则o1a=o1b=o1c.过点o1作平面abc的垂线oo1,由此可知直线oo1上任意一点与a,b,c的距离相等,故三棱锥s—abc的外接球的球心在直线oo1上,又要使oa=os,则o在线段sa的垂直平分线do上,从而三棱锥s—abc的外接球的球心是直线o1o与do的交点.do=ao1=23ae=33,在rt△aod中,ao2=ad2+do2=43,于是s球表=4π·ao2=163π.评注(1)一般棱锥的外接球的球心是在经过棱锥的底面多边形的外接圆的圆心且垂直于这个面的直线上.(2)此题也可以通过构造正三棱柱来解答,其球心是两底面三角形中心的连线的中点.。
外接球球心的确定_柏永宏
数 学 通 讯 2000 年第 12 期
外接球球心的确定
柏永宏
(安徽省铜陵市三中 , 安徽 244000)
中图分类号 :O 12 文献标识码 :A 文章编号 :0488 -7395(2000)12 -0022-01
在研究多面体与外接球问题时 , 经常要
=
l2
-d 2 cos2 2sin θ
θ为定值
.
收稿日期 :1999 -12 -28 作者简介 :柏永宏(1967 —), 男 , 安徽铜陵人 , 安徽省铜陵市三中一级教师 , 学士 .
l , ∴ QP′= l 2 -d 2 , 在 ■N QP′中 , 由正弦
定理得
sin ∠QPQ′NP′=2N O2 ,
∴ NO 2 =
l 2 -d2 2sin θ
.
∴外接球半径 R =ON =
OO
2 2
+N
O22
=
d 2
2
+
l 2 -d 2 2sin θ
2
=
l 2 -d2cos2 θ 4sin2 θ
图 1 例 1 图
影 H 是 ■ABC 的外心 , 由 ■ABC 为正三角
形知 H 也为中心 , ∴PH ⊥底面 ABC , ∴P ,
O , H 共线 .由 ■AHO 是 Rt ■得 AO2 =AH 2 +OH2 .
2
∴ R2 =
3 3
a
+(h -R )2 ,
∴R
=6ah2
+
h 2
,
显然 R ≥2
分析 :由已知条件可
将四面体 MNPQ 补成一 直三 棱柱 NQP′-MQ′P , 如 图 3 .设 ■MQ′P 与 ■NQP′的 外 心 分 别 为 O1 , O 2 , 则 O1 O 2 的中点
多面体外接球问题方法总结
多面体外接球问题方法总结
求多面体的外接球的方法有两种:
1. 利用多面体的顶点坐标求解:
a. 首先求解多面体的质心坐标。
可以通过计算多面体的顶点坐标的平均值得到质心坐标。
b. 然后,求解多面体顶点到质心的距离,取最大距离作为外接球的半径。
c. 外接球的中心坐标为质心坐标,半径为最大距离。
2. 利用多面体的边长/面积求解:
a. 首先,根据多面体的类型,求解多面体的特定的边长、面积或者角度。
b. 利用上述的边长、面积或者角度的关系,可以求解外接球的半径。
c. 外接球的中心坐标可以通过找到多面体的对称中心或者中心对称点来获取。
需要注意的是,方法一比方法二更为常用且通用,但对于某些特殊的多面体,可能需要使用方法二来求解。
同时,在实际应用中,还可以借助计算机软件来进行多面体外接球的求解,提高计算的精度和效率。
简单多面体外接球问题总结
简单多面体外接球球心得确定一、知识点总结1。
由球得定义确定球心⑴长方体或正方体得外接球得球心就是其体对角线得中点、⑵正三棱柱得外接球得球心就是上下底面中心连线得中点、⑶直三棱柱得外接球得球心就是上下底面三角形外心连线得中点.⑷正棱锥得外接球球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到、⑸若棱锥得顶点可构成共斜边得直角三角形,则公共斜边得中点就就是其外接球得球心.2、构造长方体或正方体确定球心⑴正四面体、三条侧棱两两垂直得正三棱锥、四个面都就是直角三角形得三棱锥。
⑵同一个顶点上得三条棱两两垂直得四面体、相对得棱相等得三棱锥。
⑶若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体。
⑷若三棱锥得三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体。
3.由性质确定球心利用球心与截面圆圆心得连线垂直于截面圆及球心与弦中点得连线垂直于弦得性质,确定球心、二:常见几何体得外接球小结1、设正方体得棱长为,求(1)内切球半径;(2)外接球半径;(3)与棱相切得球半径、(1)截面图为正方形得内切圆,得;(2)与正方体各棱相切得球:球与正方体得各棱相切,切点为各棱得中点,如图4作截面图,圆为正方形得外接圆,易得。
(3)正方体得外接球:正方体得八个顶点都在球面上,如图5,以对角面作截面图得,圆为矩形得外接圆,易得、2、正四面体得外接球与内切球得半径(正四面体图1 图2图3棱长为,也就是球心)内切球半径为:外接球半径为:三:常见题型1、已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为4,体积为16,则这个球得表面积就是解析:本题就是运用“正四棱柱得体对角线得长等于其外接球得直径”这一性质来求解得、补形法2。
若三棱锥得三个侧棱两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球得表面积就是 .解析:一般地,若一个三棱锥得三条侧棱两两垂直,且其长度分别为,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于就是长方体得体对角线得长就就是该三棱锥得外接球得直径.设其外接球得半径为,则有.3.正四棱锥得底面边长与各侧棱长都为,点都在同一球面上,则此球得体积为、解析:寻求轴截面圆半径法4.在矩形中,,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体得外接球得体积为( )解析:确定球心位置法四:练习1、已知点、就是球表面上得点,平面,四边形就是边长为得正方形、若,则得面积为多少?2、设三棱柱得侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在同一个球面上,则该球得表面积为多少?3、三棱锥中,平面,,就是边长为1得正三角形,则其外接球得表面积为多少?4、点在同一个球得球面上,,,若四面体体积得最大值为,则这个球得表面积为多少?5、四面体得三组对棱分别相等,棱长为,求该四面体外接球得体积。
高考数学一轮复习探求球心位置的方法
16
B. π
3
C.16π
(
)
D.20π
解析 因为三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上,所以三棱柱ABC
-A1B1C1为直三棱柱,则三棱柱ABC-A1B1C1的高为AA1=2,因为AB=AC=2,
=
sin∠
∠BAC=120°,所以BC=2 3,设△ABC的外接圆半径为r,则2r=
线的中点处.
二、补形找心
长方体或正方体的外接球的球心在其体对角线的中点处.部分空间几何体可以
通过补形补成正方体、长方体或棱柱等途径确定球心.
【例2】 在四面体A-BCD中,AB=2,BC=CD=DB=3,AC=AD= 13,则
四面体A-BCD外接球的表面积是
.
解析 由题意,可得AB2+BC2=22+32=13=AC2,所以AB⊥BC.同理:
的半径r=1,根据正方体的棱长为4,可知球心到截面
的距离d=2,所以球的半径R= 2 + 2 = 5,所以球
的表面积S=4πR2=20π,故选A.
(
)
3.高为 2的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S,A,B,C,D均
在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为(
公共弦长为2 2.若球心到这两个平面的距离相等,则这两个圆的半径之和
3
1
4 3
3
S△BCP+S△CDP)×r,所以 ×(4+4×2)r= .解得r= .则正四棱锥P-
3
3
3
4 3 4 3
ABCD内切球的体积V= πr = π.故选B.
3
27
6.已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上,AB=AC,∠BAC
例析确定多面体外接球球心之法
2sin-^cos-^・ acos 命题2在△ABC 中,有a 2cos 2^^ +62cos 2^~^ + c 2cos 2^ W be + ca + ab .(5)证明:在△ABC 中,由正弦定理得合 =b + csinA _ 2sin£cos 号 _ si 碍sinB + sinC n • B + C B — C B — C Zsin —-—cos —— cos ——(因专一尙.即 acos B^C_ =(b + c )siny 二0 + c)cos〃;C (6).由(6)并结合射影定理,得 /cos?〃5C 二acos 〃;(・acos *=(b + c) cos〃;C • acos "=专a (b + c)-(cosB + cosC)=寺a [(6cosC + ccosB)+(bcosB +ccosQ] = ya ( a + bcosB + ccosC) •同理可证 /cos? C £ 人=*b(b + ccosC + acosA), c 2cos 2^=专c(c + acosA + bcosB).以上三式相加,并注意 到 a 2 + 62 + c 2 = 2&ccos4 + 2cacosB + 2abcosC , 得 a 2cos 2 2+ /cos" / + c 2cos 2-^ ~=-i-[(a 2 + i 2 + c 2) + a(b + c) cosA + b(c + a) cosB+c(a + 6)cosC]—鲁(/ + 62 + c 2j + -^(bccosA +cacosB + afecosC) +(& + c)cosA + b(c + a)cosB+c(a + 6)cosC] = £(/ + 62 + c 2) + *(bc + ca + ab) •(cosA + cosB + cosC).把三角形恒等式cosA + cosB + cosC 二 l+£ 代 入上式,有/COS?与C+ 护C OS?号■ + Aos?牡鸟+*2)+寺(1+剖他 + ca + ab) 1 应用于(7),有 a 2c os 2 2 + /cos"/2 =*/ +(7).将命题+c 2cos 2 2 - 令+ ca + ab) + *(1 +£)(bc + ca + ab) = be+ ca + ab.命题 2 获证.K参考文献[1]安振平.外森比克不等式的再探究[J]・中学数学教学,2015,⑵.(浙江省湖州市双林中学周秋斓李建潮313012 )例析确定多面体外接球球心之法1在直角三角形斜边的中点例4如图1.在三棱锥D-ABC 中, AD = CD=1 , AC = BC=^2 , AB = 2,平面 仙C 丄平面ABC 侧外接球的体积为_____解:由AC =BC=41, AB = 2 ,知AC 丄BC.平面4DC 丄平面ABC. 面ADCCI 面4BC= AAC.贝!I BC 丄面 ACD , BC 丄CD.因 此 BD=^CD 2 + BC 2 = ^l3 .又 AD=1 ,AD 2 + BD 2=AB 2,于是 AD 丄 BD.因此 AADB和AACB 均为直角三角形,如图2所示.取斜边的中点O ,显然 OA = OB = OC = OD,于是点O 为三棱 锥D-ABC 外接球的球心.设球的半径为7?,则D・55・R=OA=1,于是外接球的体积点评:直角三角形斜边上的中点到直角三角形各顶点的距离相等,寻找有公共斜边的两个直角三角形是解题的关键.2过截面圆圆心的垂线上例2在三棱锥中,人召,其余各棱长都为2,则三棱锥外接球的表面积为_______•解:如图3所示.取CD的中点M,连AM, BM.由MCD,ABCD A均为边长为2的等边三角形,则AM=BM=^3,且4M丄CD.又AM2+BM2=AB2,则4M丄而BMP\CD=M,故力M丄面BCD.设AACD, ABCD的外心分别为H,K,过点H,K分别作平面ACD和平面BCD的垂线,两垂线的交点为O,则O为球心.显然四边形OHMK为矩形,由平面几何知识知:OK=HM=jx^3二普,刃迅X®铮•设球的半径为R,则R2=0K2+EK2=53,故球的表面积为S表=加疋-4tt x-j=胃点评:依据“球心在经过截面圆圆心并与截面圆垂直的直线上”确定球心位置.3长方体对角线的中点例3已知缶B,C,D都在同一球面上,AC=BD=yll3,AD=BC=5,AB=CD=2y[5,则球的表面积为____________•解:由题目给出的数据联想到有一个长宽高分别为4,3,2的长方体,满足42+22=20,42+32=25,22+32=13.如图4所示.4C,BD,AD,BC,AB,CD分别是6个面上的面对角线,于是长方体的体对角线即为夕卜接球的直径设球的半径为R,则(2R)2=42+32+22=29,即4R2=29,于是S表=4也?2=29ir.点评:将几何体放入长方体中,长方体体对角线即为球的直径,球心即为长方体体对角线的中点,此种方法可不用指出球心的具体位置.4坐标法求解例5如图5•网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四面体的三视图,则该四面体外接球的半径为________.解:如图6所示.在棱长为4的正方体中,A,B,C,。
确定多面体外接球球心位置的两种基本方法
确定多面体外接球球心位置的两种基本方法作者:彭建开来源:《广东教育·高中》2018年第07期多面体外接球问题,是全国卷考试命题的热点,纵观2010年到2017年这八年的全国卷试题都有考外接球(除2014年只有大纲文科卷考),因此掌握好这类问题的解法,也是高三复习备考中的基本要求.解决这类问题,关键是找到球心,而球是均匀的物体,所以几何体的中心就是球心,从这个角度来说,我们确定球心就是要找到几何体的中心. 对于规则的几何体来说,可能找到球心并不难,但对于一些不规则的几何体,找到球心就不是那么容易了. 本文介绍两种常见的找外接球的球心的方法.方法一:补形确定球心在多面体外接球问题中,直棱柱和长方体(包括正方体)的外接球球心不难找到. 如:设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,和的则该球的表面积为()A. ?仔a2B. ?仔a2C. ?仔a2D. 5?仔a2因为是一个直棱柱,上下底面中心连线段中点就是球心,凡是直棱柱的球心都是如此.很多题目都是以这两个题目作为母题,进行变式.1. 将棱锥补成直棱柱例1.(广州执信中学2017- 2018学年高三期中理11)三棱锥A-BCD中,底面△BCD是边长为3的等边三角形,侧面三角△ACD为等腰三角形,且腰长为,若AB=2,则三棱锥A-BCD外接球表面积是()A. 4?仔B. 8?仔C. 12?仔D. 16?仔解析:如图1,可知AB⊥平面BCD,所以只需要把三棱锥补成一个直棱柱,当直棱柱与三棱柱的外接球是同一个球,所以只要求出这个直棱柱的外接球的半径就可以了. 而这个球心就在上下底面中心的连线段的中点处,BO2=BC=,OO2=1,∴ BO1=R=2,外接球表面积S=4?仔R2=16?仔,选D.例2.(华中师大附中2017-2018高三期中考试文9)如下图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为()A. 8?仔B. 16?仔C. 32?仔D. 64?仔解析:把三视图还原成直观图后,如图四,底面是个直角三角形,∠C=90°,AA1∥BB1,AA1⊥面ABC,所以要找外接球的球心,只要把这个几何体补成一个直三棱柱,就知道球心O在上下两个底面的外接圆圆心O1,O2连线段的中点上,外接球半径R=OA==2,S=4?仔R2=4?仔(2)2 =32?仔,选C.小结:多面体外接球问题,若可以补形为直棱柱,则补形为直棱柱比较简单.变式练习:1.(执信2017- 2018学年高三期中文)三棱锥S-ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为()A. 32?仔B.C.D.2.(2016广州一测10)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点都在同一个球面上,则该球的体积为()A. 20?仔B.C. 5?仔D.2. 补成长方体(正方体)长方体和正方体的外接球问题比较容易,因为二者都是规则的几何体,长方体(包括正方体)的中心就是球心,即正方体的体对角线中点就是球心. 如:长方体的长宽高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.掌握了这些基本题型,很多类似的题就可以转化长方体(包括正方体)来解.例1. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()A. B. 2 C. D. 3解析:如图8,因为AC,AB,AA1三条直线相互垂直,所以可以以此三边作为长方体的三条棱,补成一个长方体如图9,则长方体的对角线长l===13,所以外接球的半径R=,故选C.例2. 已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为_______.解析:如图10,正三棱锥P-ABC,所以可以把它补成一个正方体如图11,设正方体边长为a,3a2=(2)2,BC=2,CH==,PH==,正方体的球心到H的距离d=R-PH=-=.小结:只要有三条相互垂直的棱,就可以尝试补形为长方体(或正方体).变式练习:3. 某几何体的三视图如图12所示,则该几何体外接球的表面积为()A. 4?仔B. 12?仔C. 48?仔D. 6?仔4.(2017佛山一模文)已知三棱锥P-ABC的三条侧棱 PA,PB,PC 两两相互垂直,且PA=2,PB=3,PC=2,则此三棱锥的外接球的体积等于________.方法二:过小圆圆心作垂线确定球心若多面体不是规则图形,则寻找外接球的球心较为困难,但是可以用下面的方法去尝试,一个锥体的外接球球心,一定在过底面这个多边形所在的小圆的圆心的垂线上.例1. 某几何体的三视图如图13所示,正视图为直角三角形,侧视图为等边三角形,俯视图为等腰直角三角形,则其外接球的表面积为()A. 5?仔B. ?仔C. 8?仔D.解析:直观图如图14所示,外接球球心一定在与三角形ABC的外心垂直的直线上,不妨设球心为O,所以OS=OA=R,(-x)2+12=()2+x2,x=,R2=,S=4?仔×=,选D.例2. 在四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球的表面积为()A. 11?仔B. 7?仔C.D.解析:如图16所示,要找到外接球的球心,考虑到三点A、B、C在球上,所以我们先设经过这三点的小圆圆心为O1,球心O一定在过O1与平面ABC垂直的直线上,设球心为O,过O作OH⊥SA,可知O1O=HA=1,OH=O1A,O1A是三角形ABC外接圆圆心,设它的半径为r,计算得BC=,=2r,r=,所以OA2=R2=OO12+r2=12+()2=,所以外接球的表面积S=4?仔R2=4?仔×= ,故选C.小结:过锥体的底面所在的小圆圆心作垂线,球心就在此垂线上,再通过计算可以求出半径.变式练习:5. 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A. B. 16?仔 C. 9?仔 D.6. 如图18,已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AD=2,PA=PD=AB=2,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为()A. 2?仔B. 4?仔C. 8?仔D. 12?仔变式练习答案:1. B;2. D;3. B;4. ;5. A;6. D责任编辑徐国坚。
几何体外接球问题的求解策略
# (
2 )
=8 丌。
应选 D 。
评 析 本 题 主 要 考 查 多 面 体 外 接 球 表 面 :
积 的 求 法 考 查 数 形 结 合 的 解 题 思 想 方 法 。 ,
解 答 本 题 的 关 键 是 确 定 外 接 球 的 球 心 位 置 。
洌 2 底 面 边 长 为 # 侧 棱 长 为 2 ,
题 实 质 上 是 解 决 球 的 半 径 长 度 或 确 定 球 心 的
位置
其
,
中
确
定
球心
的
位
置是
关键。
下 面 具
体 剖 析 几 种 确 定 球 心 的 位 置 的 求 解 策 略 . 供
同 学 们 学 习 与 参 考 。
一 、 由 球 的 定 义 确 定 球 心 在 空 间 中 , 如 果 一 个 定 点 与 一 个 简 单 多
二 、 构 造 正 方 体 或 长 方 体 确 定 球 心 长 方 体 或 正 方 体 的 外 接 球 的 球 心 是 体 对
角 线 的 中 点 。 以 下 是 常 见 的 、 基 本 的 几 何 体 补 成 正 方 体 或 长 方 体 的 途 径 与 方 法 。
途 径 1 : 正 四 面 体 、 三 条 侧 棱 两 两 垂 直 的 正 三 棱 锥 、 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 的 三 棱 锥 , 都 可 构 造 正 方 体 。
点 的等腰三角形
平面
,
ABE 丄 平 面 A B CD , 则
该几 何体外接 球的 表
面
积
为
(
)
。
E
A B ^ 2 1 .
tt
确定简单多面体外接球的球心的策略
确定简单多面体外接球的球心的策略以《确定简单多面体外接球的球心的策略》为标题,写一篇3000字的中文文章据说,确定一个多面体外接球的球心是一件比较困难的事情。
尽管许多数学家和学者们都致力于研究这一问题,但一般来说,这个问题仍然充满挑战。
本文旨在讨论一些可以确定简单多面体外接球的球心的策略。
首先,我们可以采用穷举法来确定多面体外接球的球心。
具体而言,首先,根据多面体三角形的两个顶点,可以通过建立直径线段来求得多面体外接球的球心。
其次,在考虑到多面体的第三个顶点的情况下,可以假设平面垂直于已知的多面体三角形,以计算其余顶点的外接球之球心。
最后,可以采取最小二乘法来解决所得到的三角形顶点以外的球心。
在每一步中,可以使用数学计算公式来确定最终多面体外接球的球心。
另外,我们也可以采取几何逼近的方法来确定多面体的外接球的球心。
具体来说,可以建立有限的点组,使用基本点乘积公式,进而找到多面体外接球的球心。
此外,也可以使用Minimizer和Maximizer 策略,可以将多面体外接球的球心定义为最接近给定多面体的一个点,或者距离多面体最远的一个点。
最后,在给定多面体外接球的球心之后,可以使用梯度下降法来求解该球心。
最后,我们可以采取解析几何的方法来确定多面体外接球的球心。
根据解析几何,多面体外接球的球心可以定义为多面体顶点之间的某个特定位置,具体而言,可以使用方程式,例如多面体的顶点坐标,以及相应的平面方程式,通过求解多面体的拉格朗日方程,以确定多面体所拥有的外接球的球心。
总而言之,本文介绍了几种可以确定简单多面体外接球的球心的策略,这些策略可以帮助我们更好地解决多面体外接球的球心的问题。
希望使用这些策略的读者可以在学习球心的过程中受益匪浅。
多面体的外接球问题
多面体的外接球问题摘要:多面体的外接球问题是近些年考试中常见的题目类型,也是学生丢分的环节。
许多学生在面对多面体外接球问题时常常会感到束手无策,不知道应该采用怎样的方法。
本文将结合笔者教学经验,通过简单的例题具体分析度免提的外接球问题,希望能够为该类型题目的教学提供一定的参考借鉴价值。
关键词:外接球;高中数学;教学立体几何是高中数学阶段的重要学习内容,而球则是立体几何中的重要组成部分。
多面体的外接球问题是高考中常见的一个考点,对学生来说也是一个难点,一方面是不知道应该怎样去构建图形,另一方面是面对画出的图形找不到分析的思路,不知道球心的位置,更无法去计算半径。
因此,在近些年的数学考试中,多面体的外接球问题就成为了拉开学生分数差距的重要题目类型。
解决这类题目的关键就是要确定球心的位置。
本文将从笔者课堂的教学经验出发,具体对多面体外接球问题的处理方法进行分析与探索。
一、球心的基本知识在一个空间内,若有一点到某一几何体各顶点的距离都相等,那么这个定点就是几何体外接球的球心。
[1]其性质为球心与截面圆的连线垂直于截面圆。
根据球心的定义以及性质,我们可以得到一下几方面的结论:1、长方体的外接球球心是其对角线的重点,半径的长度即二分之一对角线的长度。
2、直三棱柱的外接球球心是两个底面直角三角形外心连线的重点,外接球半径可以通过以球心、底面圆心以及底面一个顶点为顶点的直角三角形来计算。
3、正棱锥的外接球球心在正棱锥的高上,外接球半径的计算可以通过以球心、底面中心以及底面一个顶点组成的直角三角形来进行计算。
二、多面体外接球问题解题策略常见的解决多面体外接球问题的方法包括了补形法、找球心法以及坐标法,为了帮助学生掌握这三种解题方法的思路,笔者在教学中通过一道最基础的例题进行了详细的阐述。
1、补形法在解决多面体的外接球问题时,我们可以将题目中的多面体构造出其他的具有典型特点的几何体,例如将三棱柱构造成四棱柱,将特殊多面体构造出直三棱柱、长方体等等。
确定球心位置的三种方法
确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径,在球与其他几何体的结合问题中,通过位置关系的分析,找出球心所在的位置是解题的关键,不妨称这个方法为球心位置分析法.方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球.也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心.(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点;(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点;(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点;(4)正棱锥的外接球球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到;(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是()A.16πB.20πC.24πD.32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,可求得底面边长为2,故球的直径为22+22+42=26,则半径为6,故球的表面积为24π,故选C.【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥,可将三棱锥补形成长方体或正方体;(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥,可将三棱锥补形成长方体或正方体;(3)若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补形成长方体或正方体;(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补形成长方体或正方体.如图,边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,将△AED,△EBF,△FCD分别沿DE,EF,FD折起,使A,B,C三点重合于点A′,若四面体A′EFD 的四个顶点在同一个球面上,则该球的半径为()A .2B .62C .112D .52【解析】 易知四面体A ′EFD 的三条侧棱A ′E ,A ′F ,A ′D 两两垂直,且A ′E =1,A ′F =1,A ′D =2,把四面体A ′EFD 补成从顶点A ′出发的三条棱长分别为1,1,2的一个长方体,则长方体的外接球即为四面体A ′EFD 的外接球,球的半径为r =1212+12+22=62.故选B . 【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心.正三棱锥A -BCD 内接于球O ,且底面边长为3,侧棱长为2,则球O 的表面积为________.【解析】 如图,M 为底面△BCD 的中心,易知AM ⊥MD ,DM =1,AM = 3.在Rt △DOM 中,OD 2=OM 2+MD 2,即OD 2=(3-OD )2+1,解得OD =233,故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332=163π.【答案】163π。
巧定各类外接球的球心+解三角形
巧定各类外接球的球心+解三角形上课时间:2020-10-2一、巧定各类外接球的球心知识梳理简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重要的考点,此类问题最能有效考查考生的空间想象能力,自然受到命题者的青睐。
有些同学对于此类问题的解答,往往不知从何处入手,其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题,其中球心的确定是关键,抓住球心就抓住了球的位置。
为此下面介绍了几个解决球类问题的策略,可以快速秒杀各类球的球心。
精讲精练一、由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球。
也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心。
深刻理解球的定义,可以得到简单多面体的一些常见结论:1.长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点;2.正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点;3.直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点;4.正棱锥的外接球球心在其高线上,具体位置可通过构造直角三角形运用勾股定理计算得到;5.若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
【典例1】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是()A.16πB.20πC.24πD.32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,可求得底面边长为2,故球的直径为22+22+42=26,半径为6,球的表面积为24π,故选C。
【小结】本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来迅速求解的。
【变式训练1】已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为()A.16π B.4π C.8π D.2π【解析】由三视图可知该三棱锥的高为1,底面为一个直角三角形,由于底面斜边上的中线长为1,则底面外接圆的半径为1,顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上。
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Rt △P AC 中 , AC一 2 √ 6 , P C一 4 √ 3 , 故 R一 2 √ 3 球 心 满足 O A —O B — R一 2 √ 3 .
所 以 △( ) AB为等 边三 角 形 , 所 以其 面积 S一
4 6
中点.
中学数 学教 学
2 0 1 3年 第 1 期
等, 故可 知 P C 的 中 点 即 为 球 心 0.如 图 1 , 在
所以球 的表面积为 4 丌 ・ R 一÷嬲 , 故选 B .
评 注 ( 1 ) 正 三棱 柱外 接 球 的球 心是 上下 底 面 正三 角形 中心 的连 线 的 中点 . ( 2 ) 直 三 棱 柱 外
接 球 的 球 心 是 上 下 底 面 三 角 形 外 心 的 连 线 的
别 可构造 正方 体. 途径2 同一个 顶点上 的三 条棱 两两垂 直 的
截面 圆及球 心 0 与 弦 中点 的 连线 垂 直 于弦 的性 质, 确 定球 心.
例4 三棱锥 S —AB C中 , S A上 平面A BC,
四面体 、 相 对 的棱 相 等 的三 棱 锥 , 都 分 别 可 构 造 长方体 和正 方体. 途径 3 若 已知棱 锥含 有 线 面垂 直 关 系 , 则 可将棱 锥补 成长 方体 或正方 体.
途径 4 若 三棱锥 的三个 侧 面两 两 垂 直 , 则 可将 三棱锥 补成 长方 体或 正方体 . 例3 ( 2 0 1 2年 高考辽 宁 卷 ・理 1 6 )已 知 正 三 棱 锥
2 0 1 3年 第 1期 中学数 学教 学Fra bibliotek 4 5
确 定 简 单 多 面体 外 接 球 的球 心 的 策 略
‘ 云 南省 玉 溪第 一 中学 武 增 明 ( 邮编 : 6 5 3 1 0 0 )
简单 多面 体 外 接球 问题 是 立 体 几 何 中 的难 点 和重 要 的考 点 , 此 类 问题 实 质 是 解决 球 的半 径 R 或 确定 球心 0 的位 置 问题 , 其 中球 心 的确 定 是 关键 . 如何 确 定 简 单 多 面体 外 接 球 的球 心 , 下 面
3 √3 .
P
评注 ( 1 ) 球 心 满 足
到各 个 顶 点 距 离 相 等 , 故 球 心常 常 在 某 直角 三 角 形
D
作一 些 归纳 、 总结 .
1 由球 的定 义确 定球 心
的斜 边 中点 处 . 另外 , 因 为
球 心与 截 面 圆 圆心 的 连线
B C
为(
A. 撇 。
其体 对 角线 的 中点.
结论2 正棱柱 的外接 球 的球 心是 上下底 面
中心 的 连线 的 中点. 结论3 直 三棱 柱 的外 接球 的球 心是 上 下底
)
B. 7 。
面三 角形 外心 的连 线 的 中点. 结论 4 正 棱 锥 的外 接 球 的球 心是 在其 高
c.
嬲
J
D. 5 7 r a 2
A
上, 具 体位 置可 通过 计算 找 到.
结论 5 若棱 锥 的顶 点可 构成 共斜 边 的直 角 三角 形 ,则 公 共 斜 边 的 中 点 就 是 其 外 接 球 的
球 心.
解析 设 0 、 ( ) 2 分 别是 正三角形 A B C 和 正 三 角 形 AB C 的 中心 , 又 三 棱 柱 AB C—A B C 是正 三 棱柱 ,A
锥, 求 出其高 即为所 求. ( 2 ) 构 造 正方体 并找 到球
心是破解 此题 的关 键. 3 由性 质确定 球心 利 用球 心 0与 截面 圆 圆心 0 的连线 垂直 于
途径 1 正 四面体 、 三条 侧 棱 两两 垂 直 的正
三棱 锥 、 四个 面都 是 直 角 三 角 形 的 三棱 锥 , 都 分
在空 间 , 如果 一个 定 点 与一 个 简 单 多 面体 的
所 有 顶点 的距 离都 相 等 , 那 么这 个 定 点 就是 该 简 单 多 面体 的外 接球 的球 心 . 由上述 性质 , 可 以得 到 确 定 简单 多 面体 外 接
球 的球 心 的如下 结 论.
垂直 于 截 面 , 故 一 个 球 中 多个 过 截 面 圆 圆心 的垂 线
一
一
2 构造 正方体 或长 方体确 定球 心
√ 3 了‘
评 注 ( 1 ) 易 知 三 棱 锥 0一A B C 是 正三 棱
长方体 或 正 方 体 的 外 接 球 的球 心 是 在 其 体 对 角线 的中点 处 . 以下 是 常 见 的 、 基 本 的几 何 体 补成 正方体 或 长方体 的途 径与方 法.
例1 ( 2 0 1 2年 高考 辽 宁卷 ・文 1 6 )已知点 P、 A、 B、 c、 D是 球 0 表 面 上 的点 , P A _ 上 _平 面
所 以 其 外 接 球 的球 心 0 是
图2
0 0 2的 中点 , 如图 2 , 于是 其外 接球 的半径 为 :
AB C D, 四边 形 A BC D 是边长为 2 √ 3的正 方 形 ,
若P A一 2 √ 6 , 则 AO AB 的面积为 .
R 一 、 / /
一
一 √ ( 号 ) + ( _ 詈 - A D ) 。
解 析 因为外 接 球球 心 满 足 到各 个 顶 点 距 离 相等 , 直 角三 角形 斜边 中点 到 各 个 顶点 距 离 相
√ c 号 + c 号 × , 一 属
图 l
的交点 必 为 球 心. ( 2 ) 此 题 还 可 以通 过 构造 长 方 体 找 到球 心 , 并 获解 . 例 2 ( 2 0 1 0年 高考 全 国 工 新 课 标 卷 ・理
结论 1 正 方体 或长 方体 的外 接球 的球心 是
1 0 )设三 棱 柱 的侧棱 垂 直 于底 面 , 所 有棱 长 都 为 a , 顶 点 都在 同一个 球 面上 , 则 该 球 的 表 面 积