河南省豫南九校2018届高三数学下学期第一次联考试题文-含答案 师生通用

河南省豫南九校2018届高三数学下学期第一次联考试题 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2210,10A x x B x x =-≥=-≤，则A B ⋂=（ ） A ．{}1x x ≥- B ．{}1x x ≥ C ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ D ．112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭2.复数)2018z i i i =+ (i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2B ．1 D 3.27log cos4π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1-B ．12-C ．12D4.抛物线20)2(x p y p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知随机事件,A B 发生的概率满足条件()34P A B ⋃=，某人猜测事件A B ⋂发生，则此人猜测正确的概率为（ ）A ．1B ．12 C ．14 D ．0 6.将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，则所得函数图像的解析式为（ ） A ．5sin 224x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．5sin 212x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ． 7sin 212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭7.某空间几何体的三视图如图所示，均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）A 1BC ．1+D ．328.《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的的d 的值为33，则输出的i 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79.直三棱拄111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12,120AB AC AA BAC ===∠=︒，则此球的表面积等于（ ） A ．529π B ．20π C ．8π D ．523π10.已知ABC ∆的三个内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若2sin 126A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2a =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A D ． 11.设定义()0,+∞在上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1x f x '>，则（ ）A ．()()21ln 2f f ->B ．()()21ln 2f f -<C ．()()211f f ->D ．()()211f f -<12.已知直线:10l x y +-=截圆()222:0x y r r Ω+=>,M N 在圆Ω上，且直线()():12130l m x m y m '++--=过定点P ，若PM PN ⊥，则MN 的取值范围为（ ） A．2⎡+⎣ B．2⎡+⎣ C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数,x y 满足1,30,220,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为 ．14.已知向量,a b 满足()2,3a a b a =-=-，则向量b 在a 方向上的投影为 ．15.已知直线(2)20,ax by a b -=>>0过圆224210x y x y +-++=的圆心，则111a b ab++的最小值为 ． 16.下列结论：①若00x y >>,，则“2x y +=2x =，且1y =”； ②存在1,0a x >>，使得log x a a x <；③若函数()()()4213f x x a x a x =--+-的导函数是奇函数，则实数3a =；④平面上的动点P 到定点()1,0F 的距离比P 到y 轴的距离大1的点P 的轨迹方程为24y x =. 其中正确结论的序号为 ．(填写所有正确的结论序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设正项等比数列{}n a ，481a =，且23,a a 的等差中项为()1232a a +. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若321log n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T .18. 如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，,24PA PB CD AB ===,//,CD AB 90BPA BAD ∠=∠=︒.（1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若三棱锥C PBD -的体积为2，求PAD ∆的面积. 19.某地区某农产品近几年的产量统计如下表:（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程 y bta =+ ； （2）根据（1）中所建立的回归方程预测该地区2018年()7t =年该农产品的产量.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n t y t y t y ，其回归直线 y bta =+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121nii i nii tty y bt t ==--=-∑∑ ， ay bt =- . 20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率e =，过2F 且与x轴垂直的直线与椭圆C 在第一象限内的交点为P，且OP =.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,2Q 的直线l 交椭圆C 于,A B两点，当AOB S ∆=时，求直线l 的方程. 21.设函数()sin x f x e a x b =++.（1）当[)1,0,a x =∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围； （2）若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，且方程()2m xf x x-=恰有两解，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),P x y 是直线l 与圆面24cos 3πρθ⎛⎫≤-⎪⎝⎭y +的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲 已知,,x y z 均为实数.（1）求证：432122x x x +≥+；（2）若236x y z ++=，求222x y z ++的最小值.试卷答案一、选择题1-5: DCBBC 6-10: BACBB 11、12：AD 二、填空题 13. 1 14. 1215. 8 16.①②③ 三、解答题17. （1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由题意，得()34121111813a a q a q a q a a q ⎧==⎪⎨+=+⎪⎩ 解得133a q =⎧⎨=⎩所以 113n n n a a q -==（2）由（1）得213log 321n n b n -==-，()()1212122n n n n n b b S n +-⎡⎤+⎣⎦=== ∴211114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， ∴11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18.解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，且AD AB ⊥，∴AD ⊥平面PAB .又∵PB ⊂平面PAB ，∴PB AD ⊥. 又∵PB PA ⊥，PA AD A ⋂=,,PA PD ⊂平面PAD ,∴PB ⊥平面PAD .（2）取AB 中点为E ，连接PE . ∵PA PB =，∴PE AB ⊥.又∵PE ⊂平面PAB ，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =， ∴PE ⊥平面ABCD .∴PE 为三棱锥P BCD -的高，且112PE AB ==. 又∵//,CD AB AD CD ⊥,∴122BCD S CD AD AD ∆=⋅=.∴12233C PBD P BCD BCD V V S PE AD --∆==⋅⋅==，得3AD =.cos45PA AB =⋅︒又∵AD ⊥平面PAB 且PA ⊂平面PAB ,∴PA AD ⊥,∴12PAD S PA AD ∆=⋅=19.解：（1）由题，123456 3.56t +++++==， 6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()()()()()()61 2.50.4 1.50.300.50.1 1.50.2 2.50.4 2.8iii tty y =--=-⨯-+-⨯-++⨯+⨯+⨯=∑，()()()()6222222212.5 1.50.50.5 1.5 2.517.5i i t t=-=-+-+-+++=∑所以 2.80.1617.5b== ，又 ay bt =- ，得 70.16 3.5 6.44a =-⨯=， 所以y 关于t 的线性回归方程为 0.16 6.44y t =+. （2）由（1）知 0.16 6.44y t =+， 当7t =时， 0.167 6.447.56y =⨯+=，即该地区2018年该农产品的产量估计值为7. 56万吨. 20.解：（1）设()()12,0,,0F c F c -，则2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵OP =,∴42232b c a +=.①∵e =，∴c a =②联立①②得，1,1,c b a ===∴椭圆方程为2212x y +=.（2）显然直线l 斜率存在，设直线l 方程为：2y kx =+，A 点坐标为()11,x y ，B 点坐标为()22,x y .联立方程组22212kx x y y ++==⎧⎪⎨⎪⎩， 得22(12860)k x kx +++=， 令0∆>得，232k >， ∴12122286,1212k x x x x k k +=-=++， 由弦长公式得，AB ===点O 到直线AB 的距离d ==272k=. ∴l 的方程为：2y x =+ 21．解：由()sin x f x e a x b =++， 当1a =时，得()cos x f x e x '=+.当[)0,x ∈+∞时，[]1,cos 1,1x e x ≥∈-，且当cos 1x =-时，2,x k k N ππ=+∈，此时1x e >. 所以()cos 0x f x e x '=+>，即()f x 在[)0,+∞上单调递増， 所以()()min 01f x f b ==+，由()0f x ≥恒成立，得10b +≥，所以1b ≥-.（2）由()sin x f x e a x b =++得()cos x f x e a x '=+，且()01f b =+. 由题意得()001f e a '=+=，所以0a =. 又()0,1b +在切线10x y --=上. 所以0110b ---=.所以2b =-. 所以()2x f x e =-. 即方程22x m xe x--=有两解，可得22x xe x m x -=-，所以x xe m =. 令() x g x xe =，则()()1x e g x x '=+，当(),1x ∈-∞-时，()0g x '<，所以()g x 在(),1-∞-上是减函数. 当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()1,-+∞上是减函数.所以()()min 11g x g e=-=-.又当x →-∞时，()0g x →；且有()10g e =>.数形结合易知：10m e-<<.22．解：（1）∵圆C 的极坐标方程为24cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴2214cos 4cos 32πρρθρθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵222x y ρ=+，cos ,sin x y ρθρθ==，∴222x y x +=-，∴圆C 的普通方程为2220x y x ++-=（2）设z y =+，故圆C 的方程2220x y x ++-=()(2214x y ⇒++=，∴圆C 的圆心是(-，半径是2，将112x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入z y +得z t =-， 又∵直线l过(C -，圆C 的半径是2，∴22t -≤≤，∴22t -≤-≤y +的取值范围是[]2,2-. 23.证明：（1）法一：432)(22)1x x x ++-（ 3()(21)11)(x x x x =--+- 3 121()()x x x =--- 3=()(1221)x x x x --+-2()[(1]2(1)1)x x x x =--+- 2212()2()1x x x -++=2211()21022x x ⎡⎤⎛⎫=++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，所以432122x x x +≥+. 法二：432)(22)1x x x ++-（ 43242221x x x x x =-++-+ ()()2222110x x x =-⋅+-≥，所以432122x x x +≥+.（2）证明：因为623x y z =++由柯西不等式得） 所以222187x y z ++≥， 当且仅当23y z x ==即369,,777x y z ===时，222x y z ++有最小值187.。