1.4.1角平分线
湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质》教学设计
湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质》是湘教版八年级下册数学第1.4.1节的内容。
本节主要让学生了解角平分线的性质，学会用角平分线判定角的相等和边的垂直平分关系。
教材通过生活实例引入角平分线的概念，接着引导学生探究角平分线的性质，最后通过角平分线的应用，使学生感受数学与生活的紧密联系。
二. 学情分析八年级的学生已具备一定的几何知识，对图形的性质有一定的了解。
但在探究角平分线的性质过程中，需要学生具备较强的观察能力、分析能力和推理能力。
此外，学生可能对角平分线与边的关系理解不够深入，因此在教学过程中需要引导学生反复探究、总结。
三. 教学目标1.理解角平分线的性质，并能运用角平分线判断角的相等和边的垂直平分关系。
2.培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。
四. 教学重难点1.角平分线的性质2.运用角平分线判断角的相等和边的垂直平分关系五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究角平分线的性质。
2.运用几何画板软件，动态展示角平分线的性质，增强学生的直观感受。
3.采用合作交流法，让学生在小组内讨论、分享解题心得，提高学生的合作能力。
4.运用实例分析法，让学生感受数学与生活的紧密联系。
六. 教学准备1.准备相关课件，展示角平分线的性质。
2.准备几何画板软件，用于动态展示角平分线的性质。
3.准备生活实例，使学生感受数学与生活的联系。
4.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入角平分线的概念，引导学生思考：如何判断一个角是否为另一个角的平分线？2.呈现（10分钟）展示几何画板软件，动态展示角平分线的性质。
引导学生观察、分析，总结角平分线的性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用角平分线判断角的相等和边的垂直平分关系。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。
1.4.1角平分线-角平分线的性质定理及其逆定理(判定定理)
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上
如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD =10， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，求DE的长.
A
E F D C
B
1.4.1角平分线
二、思考探究，获取新知
3.角平分线的逆定理（判定定理）的应用
证明：
1.4.1角平分线
二、思考探究，获取新知 1.角平分线的性质定理 【归纳结论】 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
1.4.1角平分线
二、思考探究，获取新知
2.角平分线的逆定理（判定定理）
你能写出“角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距 离相等”的逆命题吗?
它是真命题吗？
你能证明它吗？
4.你能证明它吗?
1.4.1角平分线
二、思考探究，获取新知
1.角平分线的性质定理
求证：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE．
1.4.1角平分线
二、思考探究，获取新知
1.角平分线的性质定理
第一章 三角形的证明
等腰 三角形
直角 三角形
线段的 垂直平分线
角平分线
角平分线的性质定理及其逆定理（判定定理）
1.4.1角平分线
一、回顾旧知，导入新知
1.什么叫做角平分线？
1.4.1角平分线
一、回顾旧知，导入新知
1.什么叫做角平分线？ 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这 条射线叫做这个角的平分线。
解：
湘教版八下数学1.4角平分线的性质第1课时角平分线的性质和判定教学设计
湘教版八下数学1.4角平分线的性质第1课时角平分线的性质和判定教学设计一. 教材分析湘教版八下数学第1.4节角平分线的性质，主要讲述了角平分线的性质和判定。
本节课的内容是学生学习几何知识的重要组成部分，也是学生进一步学习圆的性质和线段平分线性质的基础。
通过本节课的学习，学生可以掌握角平分线的性质和判定方法，为以后的学习打下坚实的基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的定义、角的计算等基本知识，同时也学习了线段的性质和判定。
但是，对于角平分线的性质和判定，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、操作等活动，自主探索角平分线的性质和判定方法，从而达到理解掌握的目的。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解角平分线的性质，掌握角平分线的判定方法。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考等活动，培养自己的逻辑思维能力和空间想象力。
3.情感态度与价值观：学生通过对角平分线性质的学习，增强对数学的兴趣和好奇心，培养自己的探索精神。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质。
2.难点：角平分线的判定方法。
五. 教学方法采用问题驱动法、引导发现法、合作交流法等教学方法，引导学生通过观察、操作、思考等活动，自主探索角平分线的性质和判定方法。
六. 教学准备教师准备多媒体教学课件、角平分线的模型、练习题等教学资源。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学过的角和线段的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件呈现角平分线的性质和判定方法，引导学生观察、思考，引导学生发现角平分线的性质和判定方法。
3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作交流，让学生通过实际操作，进一步理解和掌握角平分线的性质和判定方法。
4.巩固（10分钟）教师通过出示一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）教师出示一些拓展题，引导学生思考，进一步深化对角平分线性质和判定方法的理解。
2020--2021学年湘教版八年级数学下册 1.4.1 角平分线的性质与判定
1.4.1 角平分线的性质与判定1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE ＝6，则DF的长度是()A．2 B．3C．4 D．62．如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，连接AB.下列结论中不一定成立的是()A．P A＝PBB．PO平分∠APBC．OA＝OBD．AB垂直平分OP3．如图，已知BD是∠ABC的平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为(D)A．6 B．5C．4 D．3 34．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，DC＝13AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于()A．6 B．4C．3 D．15．在正方形网格中，∠AOB和点P，Q，M，N的位置如图所示，到∠AOB的两边的距离相等的点是()A．点M B．点NC．点P D．点Q6.【中考·湖州】如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()A．24 B．30 C．36 D．427.【教材改编题】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，则△ADC的面积为()A．3 B．10C．12 D．158．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的结论是()A．①②③B．②③C．①③D．①9．【中考·永州】如图，已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC 上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F.若DE ＝2，则DF＝________．10．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝_______．11.【中考·湘潭】如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为________．12．【中考·福建】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点，并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：(1)AM⊥DM；(2)M为BC的中点．14．如图，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的平分线，AB＝AD，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF，请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半．15．【中考·长春】感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC．探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证：DB＝DC．16．已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B，D分别在AN，AM上．(1)如图①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明；(2)如图②，若∠ABC＋∠ADC＝180°，则(1)中的结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．1.4.1 角平分线的性质与判定1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE ＝6，则DF的长度是(D)A．2 B．3C．4 D．6【点拨】∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝6.2．如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，连接AB.下列结论中不一定成立的是(D)A．P A＝PBB．PO平分∠APBC．OA＝OBD．AB垂直平分OP3．如图，已知BD是∠ABC的平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为(D)A．6 B．5C．4 D．3 3【点拨】∵ED是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠C＝∠DBC.∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，AB⊥AC，∴∠ABD＝∠DBC，DE＝AD＝3.又∵∠BAC＝90°，∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，∴CD＝2DE＝6，∴CE＝CD2－DE2＝3 3.4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，DC＝13AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( C)A．6 B．4C．3 D．1【点拨】如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC＝12，DC＝13AD，∴CD＝12×11＋3＝3.∵CD ⊥BC ，ED ⊥BE ，BD 平分∠ABC ，∴DE ＝CD ＝3，即点D 到AB 的距离为3.5．在正方形网格中，∠AOB 和点P ，Q ，M ，N 的位置如图所示，到∠AOB 的两边的距离相等的点是( A)A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q6.【中考·湖州】如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积是( B )A ．24B ．30C ．36D ．42【点拨】如图，过D 作DH ⊥AB 交BA 的延长线于H .∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°，∴DH ＝CD ＝4， ∴四边形ABCD 的面积＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DH ＋12BC ·CD ＝12×6×4＋12×9×4＝30.7.【教材改编题】如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，AD 为∠BAC的平分线，则△ADC的面积为(D)A．3 B．10C．12 D．15【点拨】过点D作DH⊥AC于H，如图．∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝62＋82＝10.∵AD为∠BAC的平分线，AB⊥BD，DH⊥AC，∴DB＝DH，∵S△ADC ＝12AB·CD＝12DH·AC，∴6(8－DH)＝10DH，解得DH＝3，∴S△ADC ＝12×10×3＝15.8．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的结论是(A)A．①②③B．②③C．①③D．①9．【中考·永州】如图，已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC 上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F.若DE ＝2，则DF＝___4_____．【点拨】过D作DN⊥OB于点N.∵∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，DE⊥OA，DN⊥OB，∴∠AOC＝∠COB ＝30°，DN＝DE＝2.∵DE⊥OA，∴∠DFO＝90°－60°＝30°，∴DF＝2DN＝4.10．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝__150°._____．【点拨】∵BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∴AD是∠BAC的平分线．∵∠BAC＝40°，∴∠CAD＝12∠BAC＝20°，∴∠DGF＝∠CAD＋∠ADG＝20°＋130°＝150°.11.【中考·湘潭】如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为___3_____．12．【中考·福建】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，求作∠ABC 的平分线，分别交AD ，AC 于P ，Q 两点，并证明AP ＝AQ .(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)解：如图，BQ 就是∠ABC 的平分线． 证明如下：过点A 作AM ⊥PQ 于点M ，则∠AMP ＝∠AMQ ＝90°.∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°.∴∠BPD ＋∠PBD ＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠AQM ＋∠ABQ ＝90°.∵∠ABQ ＝∠PBD ，∴∠BPD ＝∠AQM .∵∠BPD ＝∠APM ，∴∠APM ＝∠AQM .在△APM 和△AQM 中，⎩⎨⎧∠APM ＝∠AQM ，∠AMP ＝∠AMQ ，AM ＝AM ，∴△APM ≌△AQM (AAS)．∴AP ＝AQ .14．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ∥CD ，M 为BC 边上的一点，且AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC ．求证：(1)AM ⊥DM ； (2)M 为BC 的中点．证明：(1)∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°.∴∠MAD＋∠ADM＝90°.∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.(2)：如图，过M作MN⊥AD交AD于点N，∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD.又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，即M为BC的中点．14．如图，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的平分线，AB＝AD，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF，请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半．【点拨】本题利用角平分线的性质，证S△ABC ＝S△ACD，S△AEC＝S△CDF，从而得到结论．解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥AD于点H.∵AC为∠BAD的平分线，∴CG＝CH.∵AB＝AD，∴S△ABC ＝S△ACD＝12S四边形ABCD.又∵AE＝DF，∴S△AEC＝S△CDF.∴S四边形AECF ＝S△AEC＋S△ACF＝S△CDF＋S△ACF＝S△ACD＝12S四边形ABCD，即四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半．15．【中考·长春】感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC．探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证：DB＝DC．【点拨】本题根据∠ACD与∠FCD是邻补角及∠ABD＋∠ACD＝180°得出∠B＝∠FCD，再根据全等三角形的判定与性质得出结论．证明：如图，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 的延长线于点F .∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF .∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD .在△DFC 和△DEB 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠DEB ＝90°，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB (AAS)．∴DB ＝DC .17．已知∠MAN ＝120°，AC 平分∠MAN ，点B ，D 分别在AN ，AM 上．(1)如图①，若∠ABC ＝∠ADC ＝90°，请你探索线段AD ，AB ，AC 之间的数量关系，并证明；(2)如图②，若∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则(1)中的结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．解：关系是AD ＋AB ＝AC .证明：∵AC 平分∠MAN ，∠MAN ＝120°，∴∠CAD ＝∠CAB ＝60°.又∠ADC ＝∠ABC ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB ＝30°.∴AD＝AB＝12AC. ∴AD＋AB＝AC.(2)：仍成立．证明：如图，过点C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F.∵AC平分∠MAN，CE⊥AM，CF⊥AN，∴CE＝CF.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABC.又∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB.∴ED＝FB，∴AD＋AB＝AE－ED＋AF＋FB＝AE＋AF.由(1)易知AE＋AF＝AC. ∴AD＋AB＝AC.。
八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版
度数，可以求此角的度数。
3
应用三 解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角 三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一 画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的 平分线。
练习二 用角平分线定理 求角度
练习应用角平分线定理来求出角 的度数。
练习三 解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同 的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解 方法？
可用尺规作图法作出一条角的平 分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一 求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二 求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版 八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地 掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分 成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交， 则它们所截的弧上的点都在相同 的直线上。
北师大版八年级数学下册课时达标训练：1.4.1角平分线
1.4.1角平分线一、选择题1.如图,BP为∠ABC的平分线,过点D作BC,BA的垂线,垂足分别为E,F,则下列结论中错误的是()A.∠DBE=∠DBFB.DE=DFC.2DF=DBD.∠BDE=∠BDF2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是()A.M点B.N点C.P点D.Q点3.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.424.如图,在平面直角坐标系中,AD平分∠OAB,DB⊥AB,BC∥OA,若点B的横坐标为1,点D的坐标为(0,√3),则点C 的坐标是()A.(0,2)B.(0,5)C.(0,√5)D.(0,√3+√2)二、填空题5.如图,∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D,若QC=QD,则∠CQO=°.6.已知:如图,AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于点E,且PE=3 cm,则AB与CD之间的距离为cm.7.如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB.若EC=1,则EF=.8.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为48和26,则△EDF的面积为.三、解答题9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,CD=3.(1)求DE的长;(2)若AC=6,BC=8,求△ADB的面积.10.已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.11.如图,某地有两个村庄M,N,和两条相交叉的公路OA,OB,现计划在∠AOB内部修建一个物资仓库,希望仓库到两个村庄的距离相等,到两条公路的距离也相等,请你确定该仓库的位置.12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是Rt△ABC的一条角平分线,点O,E,F分别在BD,BC,AC上,且四边形OECF 是正方形.(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.13.感知:如图①,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知:DB=DC.探究:如图②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求证:DB=DC.应用:如图③,在四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=a,则AB-AC=(用含a的代数式表示)答案1.[答案] C2.解析： A 从图上可以看出点M 在∠AOB 的平分线上,其他三点均不在∠AOB 的平分线上, 所以点M 到∠AOB 两边的距离相等.故选A .3.解析： B 如图,过点D 作DH ⊥BA 交BA 的延长线于点H.∵BD 平分∠ABC ,∠BCD=90°,∴DH=CD=4,∴四边形ABCD 的面积=S △ABD +S △BCD =12AB ·DH+12BC ·CD=12×6×4+12×9×4=30.故选B .4.解析： D ∵AD 平分∠OAB ,DB ⊥AB ,DO ⊥OA ,∴DB=DO=√3.∵点B 的横坐标为1,∴BC=1.∵OA ⊥y 轴,BC ∥OA ,∴BC ⊥y 轴,即∠BCD=90°,∴CD=√(√3)2-12=√2,∴OC=OD+CD=√3+√2,∴点C 的坐标是(0,√3+√2).故选D .5.[答案] 55解析： ∵QC ⊥OA 于点C ,QD ⊥OB 于点D ,QC=QD ,∴OQ 是∠AOB 的平分线.∵∠AOB=70°,∴∠AOQ=12∠AOB=12×70°=35°, ∴∠CQO=90°-∠AOQ=90°-35°=55°.故答案为55. 6.[答案] 6解析： 过点P 作PM ⊥AB 于点M ,并反向延长交CD 于点N.∵AB ∥CD ,∴PN ⊥CD.∵AP 平分∠BAC ,PE ⊥AC ,PM ⊥AB ,PE=3 cm,∴PM=PE=3 cm .同理PN=PE=3 cm,∴MN=PM+PN=6 cm,∴AB 与CD 之间的距离是6 cm . 7.[答案] 2解析： 如图,过点E 作EG ⊥OA 于点G.根据角平分线的性质定理得到EG 的长,再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°,然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°,利用在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半解题.8.[答案] 11解析： 如图,过点D 作DH ⊥AC 于点H.∵AD 是△ABC 的角平分线,DF ⊥AB ,DH ⊥AC ,∴DF=DH.在Rt △FDE 和Rt △HDG 中,∵DF= DH ,DE=DG ,∴Rt△FDE ≌Rt △HDG (HL).同理,Rt △FDA ≌Rt △HDA (HL).设△EDF 的面积为x ,由题意,得48-x=26+x ,解得x=11,即△EDF 的面积为11.故答案为11.9.解:(1)∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB ,DE ⊥AB 于点E ,CD=3,∴DE=CD=3. (2)∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,CD=3,∴BD=BC-CD=5,∴S △ADB =12BD ·AC=12×5×6=15.10.证明:∵PD ⊥OA 于点D ,PE ⊥OB 于点E ,∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt △PFD 和Rt △PGE 中,∵PF=PG ,DF=EG , ∴Rt △PFD ≌Rt △PGE (HL), ∴PD=PE.∵P 是OC 上一点,PD ⊥OA ,PE ⊥OB , ∴OC 是∠AOB 的平分线.11.解:如图,点P 即为该仓库的位置.12.解:(1)证明:如图,过点O 作OM ⊥AB 于点M.∵四边形OECF 是正方形,∴OE=EC=CF=OF ,OE ⊥BC ,OF ⊥AC. ∵BD 平分∠ABC , ∴OM=OE , ∴OM=OF.又∵OM ⊥AB ,OF ⊥AC ,∴点O 在∠BAC 的平分线上.(2)方法一:∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,∴由勾股定理得AB=13. 易证BE=BM ,AM=AF.又∵BE=BC-CE ,AF=AC-CF ,CE=CF=OE ,∴BE=12-OE ,AF=5-OE. ∵BM+AM=AB ,∴BE+AF=13,即12-OE+5-OE=13, 解得OE=2,即OE 的长为2. 方法二:利用面积法.连接OC.∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12, ∴由勾股定理得AB=13.∵S △ABC =12AC ·BC ,S △ABC =12BC ·OE+12AC ·OF+12AB ·OM , ∴12AC ·BC=12BC ·OE+12AC ·OF+12AB ·OM ,即12×5×12=12×12OE+12×5OF+12×13OM. 由(1)得,OM=OE=OF ,∴OE=2.13.解:探究:证明:如图①,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC ,交AC 的延长线于点F.∵AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC , ∴DE=DF.∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°, ∴∠B=∠FCD.在△DEB 和△DFC 中,∵∠DEB=∠F=90°,∠B=∠FCD ,DE=DF , ∴△DEB ≌△DFC ,∴DB=DC.应用:如图②,连接AD ,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC ,交AC 的延长线于点F.∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°, ∴∠B=∠FCD.在△DEB和△DFC中,∵∠DEB=∠F=90°,∠B=∠FCD,DB=DC, ∴△DEB≌△DFC,∴DE=DF,BE=CF.在Rt△ADF和Rt△ADE中,∵AD=AD,DF=DE,∴Rt△ADF≌Rt△ADE,∴AF=AE,∴AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=2BE.在Rt△DEB中,∵∠DEB=90°,∠B=∠EDB=45°,BD=a,∴BE=√2a,∴AB-AC=√2a.2故答案为√2a.。
湘教版八下数学1.4角平分线的性质说课稿
湘教版八下数学1.4角平分线的性质说课稿一. 教材分析湘教版八下数学第1.4节“角平分线的性质”，是在学生学习了角的概念、角的计算等基础知识后，进一步引导学生探究角平分线的性质。
本节内容通过探究角平分线的性质，培养学生的观察能力、推理能力及动手操作能力，使学生能更好地理解和运用角平分线的相关知识。
二. 学情分析学生在学习本节内容时，已经具备了角的基本知识，对角的计算、角的大小比较等有一定的了解。
但学生在角平分线的性质的理解上，可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、推理等方法，深入理解角平分线的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能理解角平分线的性质，并能运用角平分线的性质解决相关问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、推理等方法，培养观察能力、推理能力及动手操作能力。
3.情感态度与价值观目标：学生体验数学探究的过程，增强对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：角平分线的性质。
2.教学难点：角平分线性质的推理和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：引导探究法、讨论法、演示法。
2.教学手段：黑板、粉笔、几何画板、教学课件。
六. 说教学过程1.导入：通过复习角的基本知识，引导学生进入对新知识的学习。
2.探究角平分线的性质：引导学生观察、操作、推理，探究角平分线的性质。
3.讲解与演示：教师讲解角平分线的性质，并用几何画板进行演示。
4.练习与讨论：学生进行练习，教师引导学生讨论，巩固角平分线的性质。
5.总结与拓展：教师引导学生总结本节课的内容，并进行拓展。
七. 说板书设计板书设计如下：角平分线的性质1.定义：角平分线是将一个角平分成两个相等角的线段。
2.性质：角平分线上的任意一点，到角的两边的距离相等。
3.应用：解决与角平分线相关的问题。
八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、练习结果和课堂讨论等方面进行。
教师应关注学生在学习过程中的参与程度、理解程度和运用能力，及时发现和解决问题。
北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》教学设计1
北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》教学设计1一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学九年级上册第1章“几何图形变换”中的一个知识点。
本节课主要介绍了角平分线的概念、性质及运用。
教材通过引入角平分线来让学生进一步理解角的性质，培养学生的几何思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、射线、线段等基本几何概念，并了解了垂线的性质。
在此基础上，学生需要进一步理解角平分线的概念，并能够运用角平分线解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握角平分线的概念、性质和运用。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的概念、性质和运用。
2.难点：角平分线的证明和运用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考，发现角平分线的性质。
2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题。
3.实践操作法：学生动手操作，加深对角平分线性质的理解。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。
2.学具：学生每人一份三角板、直尺、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直线、射线、线段的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示三角板，引导学生观察角平分线的定义，并用几何画板软件动态展示角平分线的性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，利用三角板、直尺、圆规等工具，自行探索角平分线的性质。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）教师选取几组学生得出的结论，让学生进行分析、判断、验证。
学生通过互相交流，巩固对角平分线性质的理解。
5.拓展（10分钟）教师提出一些实际问题，让学生运用角平分线的性质进行解决。
例如：在平面直角坐标系中，如何找到一点，使得该点到两点的距离相等？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固角平分线的性质及运用。
角平分线教学教案
课题：1.4.1角平分线学习目标：1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．教学过程一、情境引入如图，要在S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）二、探究新知角平分线的性质（1）实验：OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点1.操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：猜想：（2）验证猜想已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P 在OC 上，PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.（3）性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：应用格式：例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD,DE ⊥AB,DF ⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.DS例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.（2）求△APB的面积.（3）求∆PDB的周长.角平分线的判定思考：你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?你能证明它吗?（1）证明猜想已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.（2）判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：应用格式：例3:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．例4如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)三、当堂练习1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=度，BE=.2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是.3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？三、课本例题学习四、五、随堂练习课本第29页1、2题。
1.4、角平分线1
1.4、角平分线(一)
课型
新授课
教学目标
1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。
2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。
3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。
教学重点
角平分线性质定理及其逆定理。
6．给出规范的表述并进一部阐释它的内涵和与角平分线性质定理的关系。因学生已经接触过线段垂直平分线判定定理的证明，所以不妨把这个证明的任务留给学生课后完成。知道对于角平分线，也有类似的结论。
三、用直尺和圆规作角的平分线
1．讲述与作图有关的数学史知识，尤其是与本节课内容接近的三等分任意角问题；让学生对此有初步的了解，开阔学生的视野，让学生体会数学家坚韧不拔的科学探索精神。
4．拿出准备好的纸折的角，在老师示范的同时按要求把角和角的边对折几次，观察折痕的性质。由折纸的过程，可以观察到折痕和角的边垂直，并且对应的折痕长度相等。
5．说出猜想：折痕和角的两边垂直，并且对应的折痕长度相等。说明白已是通过折纸的过程和观察得到上述猜测的。
6．在老师的表扬和鼓励中，树立起自信，知道思考的重要性。继续思考刚才的问题，发现实例中应用角平分线性质的几个例子都有类似的特点。
3．综合学生的发现，对于其中应用角平分线性质的几个例子，让学生猜想：它们应用的性质有没有什么相同的地方?
4．让学生拿出纸折的角，把角对折至两条边完全重合，注意角的顶点处要折好；然后把角的两条边对折几次，让学生观察折痕的特点。可以带学生完成上述操作，以便学生顺利地把注意力集中到观察折痕上。
5．让学生说出他们的猜想，并说明他们怎么想到的，暴露学生的思维过程，一是为了让学生理顺自己的思路，二是可以找到学生思维的进程。
湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质(一)》教学设计
湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质（一）》教学设计一. 教材分析湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质（一）》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握角平分线的性质。
本节课的内容是在学生已经掌握了角的概念、角的计算等基础知识的基础上进行学习的，为后续学习角平分线的应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、角的计算等基础知识，对于图形的性质也有了一定的了解。
但学生的几何直观能力、逻辑推理能力还有待提高，因此，在教学过程中，需要注重培养学生的几何直观能力和逻辑推理能力。
三. 教学目标1.让学生理解角平分线的性质，并能运用角平分线的性质解决一些简单的问题。
2.培养学生的几何直观能力和逻辑推理能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，提高学生自主学习的能力。
四. 教学重难点1.角平分线的性质的推导过程。
2.如何运用角平分线的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、推理等过程，发现角平分线的性质。
2.运用几何画板等软件，动态展示角平分线的性质，增强学生的直观感受。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中提高自己的逻辑推理能力。
4.通过典型例题的讲解，引导学生运用角平分线的性质解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、几何画板软件等。
2.准备一些典型的例题和练习题。
3.准备一些关于角平分线的实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习角的概念、角的计算等基础知识，引导学生进入本节课的学习。
2.呈现（15分钟）利用几何画板软件，动态展示角平分线的性质，引导学生观察、思考，发现角平分线的性质。
3.操练（15分钟）让学生通过自主学习、小组合作学习的方式，掌握角平分线的性质。
在此过程中，教师引导学生运用逻辑推理能力，解决一些相关问题。
4.巩固（10分钟）通过一些典型的例题和练习题，让学生巩固所学知识，提高运用角平分线的性质解决实际问题的能力。
八年级数学三角形三条内角的平分线
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离
相等，所以O是内心，即三条角平分线
的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ 1∠ACB，
2
2
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
D
B
拓展思维
5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要 建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
l3
l2
P2
l1
P1
P3
P4
l3
l2
课堂小结
三角形内角平 分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交 于一点，并且这一点到三条边的 距离相等．
学校P的位置,P在何处？
A
B
C
讲授新课
一 三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线， 你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？
你能证明这个 结论吗？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴ CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
F
E
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
八年级数学下册 1.4 角平分线 角平分线的性质定理和判定定理指的是什么素材 (新版)北师大版
角平分线的性质定理和判定定理指的是什么？
难易度：★★★★
关键词：角平分线 -角平分线的性质定理和判定定理
答案：
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这角的平分线上。
【举一反三】
典题：在下列空格内填上正确或错误：
（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
（3）角的平分线是到角两边距离相等的点的集合．
（4）角平分线是角的对称轴．
思路导引：此题主要考查角平分线的性质以及逆定理，还要注意角平分线是射线而不是直线或线段．根据性质定理：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断．
标准答案：
解：答案分别为：正确；正确；正确；错误．
（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等，符合角平分线的性质定理，正确；
（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上，符合角平分线的性质定理的逆定理，正确；
（3）角的平分线是到角两边距离相等的点的集合，符合角平分线的性质定理的逆定理，正确；
（4）因为对称轴是一条直线，而角平分线是射线，所以角平分线是角的对称轴，错误．。
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时 角平分线》教案
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时角平分线》教案一. 教材分析《1.4 第1课时角平分线》这一课时主要让学生掌握角平分线的性质。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生推理、证明的能力。
本课时内容是学生在学习了角的概念、角的计算等知识的基础上进行学习的，为后续学习线段平分线、弧平分线等知识打下基础。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了角的概念、角的计算等知识，对角有一定的认识。
但是，对于角平分线的性质，学生可能还没有直观的理解。
因此，在教学过程中，教师需要利用直观的教具，引导学生观察、思考，从而发现角平分线的性质。
三. 教学目标1.理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质。
2.培养学生的观察能力、推理能力、证明能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.角平分线的性质。
2.如何引导学生发现并证明角平分线的性质。
五. 教学方法1.采用直观教学法，利用教具引导学生观察、思考。
2.采用问题驱动法，引导学生提出问题、解决问题。
3.采用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流。
4.采用证明教学法，引导学生用几何证明的方法证明角平分线的性质。
六. 教学准备1.准备角平分线的教具，如量角器、直尺、三角板等。
2.准备多媒体课件，展示角平分线的性质。
3.准备练习题，巩固学生对角平分线的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师利用教具，如量角器，引导学生观察量角器上的角平分线，让学生直观地感受角平分线的作用。
同时，教师提出问题：“你们认为角平分线有什么性质呢？”引导学生思考。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示角平分线的性质。
同时，教师用几何证明的方法，引导学生证明角平分线的性质。
在这个过程中，教师要注意引导学生发现并理解角平分线的性质。
3.操练（10分钟）教师发放练习题，让学生独立完成。
练习题包括判断题、填空题、解答题等题型，全面巩固学生对角平分线的理解。
1.4角平分线1
角平分线性质定理
角平分线判定定理
(1) 二者互逆，条件中都有垂直． (2) 性质定理和判断判定定理经过证明后就可以直接使用.
１.利用尺规作一个三角形三个内角的角平分线，你发 现了什么?并在信息技术课上利用几何画板验证一下。
2.认真思考独立完成 课本P习题1.9第３.４题
随堂检测
２如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB 的距离相等，则点P是( C ) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对
随堂检测
3 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足 分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( D ) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
都要经过严格的推理证明才能使用！
逻辑推理是数学的一个重要特征！
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
条件
结论
已知： 如图：
OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E.
求 证 ： PD＝PE
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE.
请说出成立的理由
拓展提升
２.如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F， DE＝DF，求DE的长.
分析：DE 丄 AB， DF 丄 AC ，
DE＝DF，
角平分线的判定定理
求DE的长？ AD＝10 DE与AD有数量关系
解：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F
且DE＝DF
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》(第1课时)教学设计
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》（第1课时）教学设计一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1.4节的内容，本节课主要介绍了角平分线的定义、性质和作法。
通过本节课的学习，使学生能够理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
教材通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣，接着引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，探索角平分线的性质和作法，培养学生的动手能力和合作意识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、垂线的性质等知识，具备了一定的几何基础。
但是，对于角平分线的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，针对学生的实际情况进行教学设计，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，掌握角平分线的性质和作法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、操作、交流等活动，培养学生的动手能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的定义、性质和作法。
2.教学难点：角平分线的性质的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：教师引导学生观察、思考、操作、交流，发现角平分线的性质。
3.合作学习法：学生分组合作，共同探索角平分线的性质和作法。
六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线的课件，包括图片、动画、例题等。
2.教学素材：准备一些角的模型和画图工具，如直尺、圆规等。
3.学生活动材料：准备一些练习题和小组讨论题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例引入角平分线，如剪刀的剪切角、太阳伞的遮阳角等，引导学生关注角平分线在生活中的应用。
2.呈现（10分钟）教师展示一些角的模型，让学生观察并思考：如何作一个角的平分线？学生分组讨论，尝试用工具画出角的平分线。
1.4.1角平分线的性质
角平分线的性质（2012•南岗区一模）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足为点E．若CD=5，则AD的长是（）A．B．2C．D．5【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．【专题】压轴题．【分析】先解直角三角形求出DE的长度，在根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=DE，从而得解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=90°，∴∠C=45°，∵DE⊥BC，CD=5，∴DE=CD•sin45°=5×=5，∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴AD=DE=5．故选D．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，难点在于求出DE的长度．（2011•安徽模拟）如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BC，交AD于点E，下列说法正确的有（）①∠BAC=∠ACB；②S四边形ABDC=AD•CE；③AB2+CD2=AC2+BD2；④AB﹣BD=AC﹣CD．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质求出AD⊥BC，然后利用三角形的面积可证明②是正确的，然后利用边角边定理证明△ABD与△ACD全等，从而得到③④是正确的，没有条件说明①的正误．【解答】解：∵AD平分∠BAC，AB=AC，∴AD⊥BC，CE=BE，=S△ABD+S△ACD=AD×BE+AD×CE=AD（BE+CE）=AD×CE，故②正确；∴S四边形ABDC∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD=CD，∴③AB2+CD2=AC2+BD2；④AB﹣BD=AC﹣CD，故③④正确；△ABC不一定是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB不一定成立，故①不一定正确．所以正确的有②③④共3个．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出两三角形全等是解题的关键．（2010•武汉模拟）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；④∠BAC=2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③【考点】角平分线的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题；推理填空题．【分析】过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理即可得到④正确．【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，∴PM=PN，PM=PD，∴PM=PN=PD，∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，∴∠ABC+∠MPN=180°，很明显∠MPN≠∠APC，∴∠ABC+∠APC=180°错误，故本小题错误；③在Rt△APM与Rt△APD中，，∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），∴AD=AM，同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，∴CD=CN，∴AM+CN=AD+CD=AC，故本小题正确；④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，∴∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCN=∠ACF=∠BPC+∠ABC，∴∠BAC=2∠BPC，故本小题正确．综上所述，①③④正确．故选B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线：S△BCO：S△CAO=4：5：6．交于点O，则S△ABO【考点】角平分线的性质．【专题】压轴题．【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC：S△BCO：S△CAO的值．的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：∴S△ABO50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．（2007•哈尔滨）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于3．【考点】角平分线的性质．【专题】压轴题．【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到两角的距离相等，因而过P作PE⊥OA 于点E，则PD=PE，因为PC∥OB，得角相等，而OP平分∠AOB，得∴∠ECP=∠COP+∠OPC=30°根据三角形的外角的性质得到答案．【解答】解：过P作PE⊥OA于点E，则PD=PE，∵PC∥OB，∠AOB=30∴∠ECP=∠AOB=30°在Rt△ECP中，PE=PC=3∴PD=PE=3．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等．（2013•万州区校级模拟）如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C处，AB、AC、BC是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在△ABC的内部，且到A、C的距离必须相等，到两条道路AC、AB的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置．（不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）．【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】作图题；压轴题．【分析】如图，由于P按照设计要求，在△ABC的内部，且到A、C的距离必须相等，因此确定P在线段AC的垂直平分线上，又P到两条道路AC、AB的距离也必须相等，由此确定P在∠CAB的平分线上，所以P是线段AC的垂直平分线和∠CAB的平分线的交点．【解答】解：如图：【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质，由已知能够确定点P 具有的性质是解决问题的关键．（2012•贵溪市模拟）某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树．如图，要求黄桷树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且点P 到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】作图题；压轴题．【分析】分别作出AD的垂直平分线及∠ABC的平分线，两条直线的交点即为P点的位置．【解答】解：（1）①分别以A、D为圆心，以大于AD为半径画圆，两圆相交于E、F两点；②连接EF，则EF即为线段AD的垂直平分线．（2）①以B为圆心，以大于任意长为半径画圆，分别交AB、BC为G、H；②分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于点I，连接BI，则BI即为∠ABC的平分线．③BI与EF相交于点P，则点P即为所求点．【点评】本题考查的是线段垂直平分线及角平分线的作法．熟知线段垂直平分线及角平分线性质是解答此题的关键．（2010•铁岭）如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可．不用证明．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定；轴对称的性质．【专题】压轴题；动点型．【分析】（1）由AB⊥ON，AC⊥OM，根据两锐角互余，易证得∠AED=∠ADE，然后根据等角对等边的性质，即可得AD=AE；（2）连接DF、EF，由点F与点A关于直线OP对称，E、D在OP上，可证得AE=FE，AD=FD，又由AD=AE，根据由四条边都相等的四边形是菱形，即可得四边形ADFE是菱形；（3）由四边形ADFE是菱形，可得AE=EF=AD，OA=OF，又由∠MON=45°，根据等腰直角三角形的性质，易得OA=AC=OK，则可证得OC=AC+AD．【解答】解：（1）AE=AD．理由如下：∵AB⊥ON，AC⊥OM，∴∠AED=90°﹣∠MOP，∠ADE=∠ODB=90°﹣∠PON，而∠MOP=∠NOP，∴∠AED=∠ADE．∴AD=AE．（2）菱形．理由：连接DF、EF，∵点F与点A关于直线OP对称，E、D在OP上，∴AE=FE，AD=FD．由（1）得AE=AD，∴AE=FE=AD=FD．∴四边形ADFE是菱形；（3）OC=AC+AD．理由：∵四边形ADFE是菱形，∴∠AEO=∠FEO，∵∠AOE=∠FOE，∴∠EFO=∠EAO，∵AC⊥OM，OP平分∠MON，AE=EF，∴EF⊥OC，∴∠EFO=90°，∴AE=EF=AD，OA=OF，∵∠MON=45°，∴∠ACO=∠AOC=45°，∴OA=AC，∠FEC=∠FCE，∴EF=CF，∴CF=AE，∴OC=OF+FC=OA+AE=AC+AD．【点评】此题考查了垂直的定义，菱形的判定，等腰三角形与等腰直角三角形的性质，以及角平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．（2009•台州）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（真）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（真）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（假）【考点】角平分线的性质；平行四边形的性质；梯形；梯形中位线定理．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD，由角平分线的性质可知PJ=PH，PG=PI；（2）平行四边形对角线的交点，即为平行四边形的准内点；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点，即为梯形的准内点；（3）①当凸四边形为平行四边形时，易知其对角线交点即为其准内点；②当凸四边形不为平行四边形时，可以将四边形的两边延长，构造三角形，其对角线交点即为准内点．【解答】解：（1）如图2，过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD∵EP平分∠DEC∴PJ=PH．（3分）同理PG=PI．（1分）∴P是四边形ABCD的准内点．（1分）（2）（4分）平行四边形对角线AC，BD的交点P1就是准内点，如图3（1）．或者取平行四边形两对边中点连线的交点P1就是准内点，如图3（2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是准内点．如图4．（3）真；真；假．【点评】此题是一道新定义探索性题目，考查了对新信息的理解与应用能力，同时考查了三角形及四边形的性质．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D 作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD 的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．【解答】（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．【点评】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．（2015•德州）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF=AF+DE．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D．②③④【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．【专题】压轴题．【分析】①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确．②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF．③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可．④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立，据此解答即可．【解答】解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，∴①不正确；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD∠FAD，在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，DE=DF，∴AE+DF=AF+DE，∴④正确；在△AEO和△AFO中，，∴△AE0≌△AF0（SAS），∴EO=FO，又∵AE=AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，∴②正确；∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE=DF，∴四边形AEDF是正方形，∴③正确．综上，可得正确的是：②③④．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握．（2015•钦州）如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（）A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC【考点】角平分线的性质．【专题】压轴题．【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有=，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．【解答】解：如图过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴=，又∵AD是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴=，∴AB：AC=BD：CD．故选：A．【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关键是作平行线．（2013•柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A．B．C．D．【考点】角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】根据勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面积求出点A到BC上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点D到AB的长，再利用△ABD的面积列式计算即可得解．【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC===5，∴BC边上的高=3×4÷5=，∵AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，=×3h+×4h=×5×，则S△ABC解得h=，S△ABD=×3×=BD•，解得BD=．故选A．【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，利用三角形的面积分别求出相应的高是解题的关键．（2012•南岗区一模）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足为点E．若CD=5，则AD的长是（）A．B．2C．D．5【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．【专题】压轴题．【分析】先解直角三角形求出DE的长度，在根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=DE，从而得解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=90°，∴∠C=45°，∵DE⊥BC，CD=5，∴DE=CD•sin45°=5×=5，∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴AD=DE=5．故选D．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，难点在于求出DE的长度．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG 和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11B．5.5C．7D．3.5【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．【解答】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，∵DE=DG，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，∴S△MDGS△DNM=S△EDF=S△MDG=×11=5.5．故选B．【点评】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．（2010•益阳）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（）A．P是∠A与∠B两角平分线的交点B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC、AB两边上的高的交点D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】压轴题．【分析】根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答．【解答】解：∵点P到∠A的两边的距离相等，∴点P在∠A的角平分线上；又∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．即P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选B．【点评】本题考查了角平分线及线段垂直平分线的判定定理．到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（2010•武汉模拟）如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1=∠2=22.5°，下列结论：①∠1=∠3；②BD+DH=AB；③2AH=BH；④若DF⊥BE于点F，则AE﹣FH=DF．其中正确的结论是（）A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】应用题；压轴题．【分析】根据角平分线、高、等腰直角三角形的性质依次判断即可得出答案．【解答】解：①∵∠1=∠2=22.5°，又∵AD是高，∴∠2+∠C=∠3+∠C，∴∠1=∠3，②∵∠1=∠2=22.5°，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD，又∵∠2=∠3，∠ADB=∠ADC，∴△BDH≌△ADC，∴DH=CD，∵AB=BC，∴BD+DH=AB，③无法证明，④可以证明，故选C．【点评】本题主要考查了角平分线、高、等腰直角三角形的性质，比较综合，难度适中．（2006•贵港）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=：，则△ABD 与△ACD的面积之比为（）A．3：2B．：C．2：3D．：【考点】角平分线的性质．【专题】压轴题．【分析】利用角平分线的性质可知点D到AB、AC的距离相等，即两三角形的高相等，观察△ABD与△ACD，面积比即为已知AB、AC的比，答案可得．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB：AC=：，则△ABD与△ACD的面积之比为：．故选B．【点评】本题考查了角平分线的性质；此题的关键是根据角平分线的性质，求得点D到AB 的距离等于点D到AC的距离，即△ABD边AB上的高与△ACD边AC上的高相等．（2005•仙桃）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处．已知BC=12，∠B=30°，则DE的长是（）A．6B．4C．3D．2【考点】角平分线的性质．【专题】压轴题．【分析】由题意可得，AD平分∠BAC，∠C=∠AED=90°，根据角平分线的性质和30°所对直角边等于斜边的一半求解．【解答】解：由题意可得，AD平分∠BAC，∠C=∠AED=90°∴DE=DC又∠B=30°∴DE=BD又BC=12则3DE=12∴DE=4．故选B．【点评】此题考查翻折变化和角平分线的性质，对于折叠问题找准相等关系，得AD平分∠BAC，是解题的关键．（2000•天津）如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A．全部正确B．仅①和②正确C．仅①正确D．仅①和③正确【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】判定线段相等的方法可以由全等三角形对应边相等得出；判定两条直线平行，可以由“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”得出；判定全等三角形可以由SSS、SAS、ASA、AAS或HL得出．【解答】解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP=AP∴△ARP≌△ASP（HL）∴AS=AR，∠RAP=∠SAP∵AQ=PQ∴∠QPA=∠SAP∴∠RAP=∠QPA∴QP∥AR而在△BPR和△QSP中，只满足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3个条件，所以无法得出△BPR≌△QSP故本题仅①和②正确．故选B．【点评】本题涉及到全等三角形的判定和角平分线的判定，需要结合已知条件，求出全等三角形或角平分线，从而判定三个选项的正确与否．（2011•随州）（2015•广西）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC 于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是4．【考点】角平分线的性质．【专题】压轴题．【分析】首先根据CD平分∠ACB交AB于点D，可得∠DCE=∠DCF；再根据DE⊥AC，DF⊥BC，可得∠DEC=∠DFC=90°，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△CED≌△CFD，即可判断出DF=DE；最后根据三角形的面积=底×高÷2，求出△BCD的面积是多少即可．【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCE=∠DCF，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°，在△DEC和△DFC中，（AAS）∴△DEC≌△DFC，∴DF=DE=2，=BC×DF÷2∴S△BCD=4×2÷2=4答：△BCD的面积是4．故答案为：4．【点评】（1）此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握．（2010•广州校级一模）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD 与△ACD的面积之比为3：2．【考点】角平分线的性质．【专题】压轴题．【分析】本题需先利用角平分线的性质可知点D到AB、AC的距离相等，即两三角形的高相等，观察△ABD与△ACD，面积比即为已知AB、AC的比，答案可得．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为3：2．故答案为：3：2．【点评】本题考查了角平分线的性质；此题的关键是根据角平分线的性质，求得点D到AB 的距离等于点D到AC的距离，即△ABD边AB上的高与△ACD边AC上的高相等．。
1.4.1角平分线(教案)
一、教学内容
本节课选自七年级数学教材《几何初步》1.4.1节——角平分线。教学内容主要包括以下部分：
1.角平分线的定义：介绍什么是角平分线，即从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
2.角平分线的性质：讨论角平分线的一些基本性质，如角平分线把角分成两个相等的角，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
-难点2：在证明角平分线性质时，教师应逐步引导学生通过等量代换和角的性质来进行逻辑推理，同时提供多个证明方法的示例，以帮助学生理解。
-难点3：在画角平分线时，教师应详细演示画图步骤，并强调圆规和直尺的正确使用方法，同时提供足够的练习机会，让学生在实践中掌握技巧。
-难点4：针对实际问题中的应用，教师可以设计一系列有层次的练习题，从简单到复杂，让学生逐步学会如何将角平分线的性质运用到几何图形的求解中。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角平分线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.培养学生的团队合作能力：设置小组讨论和合作完成练习题，促使学生在交流与合作中共同提高。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-角平分线的定义：确保学生能够准确理解角平分线的概念，即从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的射线。
-角平分线的性质：掌握角平分线将角分成两个相等的角，以及角平分线上的点到角的两边的距离相等。
（二）新课讲授（用时10分钟）
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E B
角平分线性质定理的逆定理
判定定理: 在角的内部，到一个角的 两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
A
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上
D O E P C
B
注:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直 线经过某一点)的根据之一.
P
B
C
∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， E ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO (已证)， ∠1＝∠2(已证)， OP＝OP(公共边)， ∴△PDO≌△PEO (AAS)。 ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。
角平分线性质定理: 角平分线上的点到这个 角的两边的距离相等.
用符号语言表示为： ∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB
D P 1 2 A
∴PD=PE.
O
注：这个结论是经常用来证明
两条线段相等的根据之一.
E
B
交换定理的条件和结论得到的命题如何叙述？
考思
你能写出它的逆命题吗？
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这 个点必在这个角的平分线上． 这个命题是假命题．角平分线是角内部的一 条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的 点． 角平分线性质定理的逆命题：在一个角的 内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的 角平分线上．
F
随堂练习
2
挑战自我
2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路 与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例 尺 1:20 000).
A区
课堂小结：
(一)角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等．
(二)角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的 点，在这个角的平分线上． (三)用尺规作角平分线．
命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等
条件：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在 OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB.
A
求证：PD=PE.
O
D P C B
E
新课讲解
证明： ∴OC是∠AOB的平分线(已知)，
D
1 2
A
∴∠1=∠2(角平分线的定义)。 O
这是一个真命题吗?
做一做
逆命题 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上. 已知:如图,P是∠AOB内一点 ,PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别是D,E ，且PD=PE. O 求证:点P在∠AOB的平分线上. 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可 以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠AOC=∠BOC.
∴∠BAD=30°，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=10
1 1 ∴DE= AD= ×10=5（在直角三角形中，如果一个 2 2
锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
随堂练习 1
挑战自我
如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平
分线,它们有什么关系?
C E D
B
A
如何用尺规作角的平分线？
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ．
A
1 圆心．大于 ＭＮ的长为 2
半径作弧．两弧在∠AOB
２．分别以Ｍ，Ｎ为
Ｍ
Ｃ Ｏ Ｂ Ｎ
请你说明OC为什么是∠AOB的 平分线,并与同桌进行交流.
的内部交于Ｃ． ３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
探究新知
随Hale Waihona Puke 演练1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC
上，AD=10,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且
DE=DF，求DE的长
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F， 且DE=DF， ∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上） 又∵∠BAC=60°，
作业布置
作业本：习题1.9 第2、3、4题；
练习册1.4第1课时完成并订正批改；
预习1.4第2课时并完成预习作业；
3.如图，已知：E是∠AOB的平分线上的一点，
且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D. 求证：OE垂
直平分CD.