信号与系统 徐天成第5章(1)

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5.1 系统响应的拉氏变换求解
5.1 系统响应的拉氏变换求解 5.1.1 微分方程的拉氏变换求解
利用拉氏变换求系统响应，需首先将描述系统输入-输 出关系的微分方程进行拉氏变换，得到一个代数方程， 求出其解（复频域解）后，经拉氏逆变换即可得到时域 解。在求解过程中自动包含了系统起始状态的作用。
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5.1 系统响应的拉氏变换求解
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5.1 系统响应的拉氏变换求解
1 求vR(t) （1）列写微分方程 ） L dvR (t ) + vR (t ) = Eu (t ) R dt （2）取拉氏变换 L ）
E [ sVR ( s ) − vR (0 )] + VR ( s ) = R s
−
E L R + vR (0− ) −s 2 1 s R L VR ( s ) = =E = E − L R s s+ R s +1 ss + R L L
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5.1 系统响应的拉氏变换求解
dvL (t ) R dv1 (t ) + vL (t ) = dt L dt
对于 系统： 系统：
2 Eδ (t ) (0 − 系统） dv1 (t ) = dt 0 (0 + 系统）
（2） 其中： 其中：
（3）
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5.1 系统响应的拉氏变换求解
对于 系统： 系统：
vC (0 ) s -
−
+
R2
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5.1 系统响应的拉氏变换求解
R1
I zi ( s )
1 sC
vC(0 ) s
−
R2
电阻R与1/SC串联，可求出流过电 串联， 串联 容的电流像函数，再进行分流， 容的电流像函数，再进行分流， 即可得
1 1 − vC (0 ) 3⋅ ⋅3 R2 9 3 s s ⋅ = = = I zi ( s ) = R1 + R2 1 + R (1 + 3) ⋅ ( 1 + 3 ) 3s + 4 s + 4 3 sC s 4
其中： 其中：
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5.1 系统响应的拉氏变换求解
最后分别画出 和 的波形： 的波形：
vR(t) E 0 -E t
vL(t) 2E
0
t
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5.1 系统响应的拉氏变换求解
例5.1-4 如图所示电路，起始状态为0，t = 0时开关S闭合，接 入直流电源E，求电流 i (t ) 。 解：（1）建立微分方程 ）
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5.2 系统函数与冲激响应
Ii (s)
V(s) i
Ii (s)
系统
V(s) i
系统
Ij (s)
V j (s)
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5.2 系统函数与冲激响应
例如右图中的RC电路， 例如右图中的 电路，其系统函数为 电路 1 VC ( s ) 1 1 = sC = ⋅ H (s) = X (s) R + 1 RC s + 1 sC RC
1
E1 s
2 s
I zs ( s )
R1
1 sC
R2
1 3 − 4t izs (t ) = ( − e 3 )u (t ) 2 2
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5.2 系统函数与冲激响应
1. 系统函数的定义
阶微分方程为： 设系统的 n 阶微分方程为：
an y ( n ) (t ) + an −1 y ( n −1) (t ) + L a1 y (1) (t ) + a0 y (t ) = bm x ( m ) (t ) + bm −1 x ( m −1) (t ) + L + b1 x (1) (t ) + b0 x(t )
di(t) 1 t L + Ri(t) + ∫−∞ i(τ )dτ = Eu(t) dt C
i(0 ) = 0
−
1 t ∫−∞ i(τ )dτ C
=0
t = 0−
（2）对微分方程求拉氏变换 ）
1 E LsI ( s ) + RI ( s ) + I (s) = Cs s
I (s) = E 1 s Ls + R + Cs = E E = s 2 + 2 s + 2 ( s + 1) 2 + 1
（2）假定流过 的电流为 I L0 ( s ) ）假定流过sL的电流为
1 E1 E2 E1 E2 + + s R1 R2 sR1 sR2 1 I L0 ( s ) = × = 1 1 1 sL sL( R0 + R2 ) + + +1 R0 R2 sL R0 R2
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5.1 系统响应的拉氏变换求解
第5章 连续时间系统的变换域分析 章
5.1 系统响应的拉氏变换求解 5.2 系统函数与冲激响应 5.3 零、极点分布与时域响应特性 5.4 零、极点分布与系统频率响应特性的关系 5.5 典型系统的频响特性 5.6 全通系统和最小相位系统 5.7 系统模拟及信号流图 5.8 系统的稳定性 MATLAB在连续系统变换域分析中的应用 5.9 MATLAB在连续系统变换域分析中的应用
若 y ( k ) (0 − ) = 0, (5.2-1)
x ( k ) (0 − ) = 0
对式（ 对式（5.2-1）两边取拉氏变换得： ）两边取拉氏变换得：
bm s + bm −1s + L + b1s + b0 Yzs ( s ) = X (s) n n −1 an s + an −1s + L + a1s + a0
m
m −1
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5.2 系统函数与冲激响应
Y zs ( s ) b m s m + b m − 1 s m − 1 + L b1 s + b 0 H (s) = = X (s) a n s n + a n −1 s n −1 + L a1 s + a 0
--------- “系统函数”或“网络函数” 系统函数” 网络函数” 系统函数
1 s+ 1
τ
（3）逆变换为 ）
E1 E2 − τt E2 iL (t ) = − + e R2 R1 R2
t≥ 0
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5.1 系统响应的拉氏变换求解
如图所示电路，已知： 例5.1-7 如图所示电路，已知：E1＝2 V，E2＝4 V，当t<0时, ， ， 时 开关S处于 的位置，而且已达到稳定。 处于1的位置 开关S由 开关 处于 的位置，而且已达到稳定。当 t=0 时，开关 由1 转向2。 的零输入响应与零状态响应。 转向 。求电流 i(t) 的零输入响应与零状态响应。 首先求电流i(t)的零输入 首先求电流 解：(1)首先求电流 的零输入 响应i 响应 zi(t)
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5.1 系统响应的拉氏变换求解
IR(s) + R VR(s) IL(s) - + sL VL(s) + Ic(s) + -
+ Vc(s)

-
IR(s) +
R VR(s)
IL(s) - +
sL
IC(s) - +
1/sC -
VL(s)
VC(s)
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5.1 系统响应的拉氏变换求解
例5.1-5 电路中，当 t < 0 时。开关S位于“1”端，电路的状 态已经稳定。当 t = 0 时开关S从“1”端倒向“2”端，求 iL (t ) 解： iL (0− ) = − E1 / R1 （1）画出 域模型 ）画出s域模型
R2 3 vC (0 ) = ⋅ E2 = ⋅ 4 = 3V R1 + R2 1+ 3
−
2
S 1
R1 = 1Ω
i (t )
+
E1
-
+
E2
-
C =1F
R2 = 3Ω
画出电路的零输入响应的s域模型 电阻R1与R2的并联电阻R为:
R1
I zi ( s )
1 sC
R1 ⋅ R2 1× 3 3 R= = = Ω R1 + R2 1 + 3 4
I zs (s) = = 1 1 R2 ⋅ 3⋅ + sC 1 + s E R1 + 1 1 s R2 + 3+ sC s 2(1 + 3s) 1 1 3 1 = = ⋅ + ⋅ s(3s + 4) 2 s 2 s + 4 3 取拉氏逆变换，得到电流的零状态响应 取拉氏逆变换，得到电流的零状态响应。
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5.1 系统响应的拉氏变换求解
（3）求拉氏逆变换 ）
i ( t ) = E e − t sin t ⋅ u ( t )
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5.1 系统响应的拉氏变换求解
s域的元件模型 5.1.2 s域的元件模型
列写微分方程取拉氏变换的方法分析电路虽然具有许多 优点,但是,对于比较复杂的网络, 优点,但是,对于比较复杂的网络,列写微分方程这一步就显得 不必要的繁琐了。 不必要的繁琐了。要得到网络的模型应先从基本元件的模型 入手。 入手。 iL(t) iC(t) iR(t) R L + + + vR(t) vL(t) vC(t)
Y zs ( s ) = H ( s )
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5.2 系统函数与冲激响应
所以 或 简记为：
h ( t ) = L [ H ( s )]
−1
H ( s ) = L [ h ( t )]
h (t )
H (s)