8.3空间点、直线、平面之间的位置关系(理_作业)

限时作业38 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C ∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C 三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( ).
A.点A
B.点B
C.点C 但不过点M
D.点C 和点M
2.如右图所示,四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥底面ABCD,底面ABCD 为正方形,AA 1=2AB,则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( ). A. B. C.
D.
3.平面α∥平面β,直线a ⊂α,给出下列四个命题: ①a 与β内的所有直线平行; ②a 与β内的无数条直线平行; ③a 只与β内的一条直线平行; ④a 与β无公共点. 其中正确的命题有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ). A.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥β
B.若m 不垂直于α,则m 不可能垂直于α内的无数条直线
C.若α∩β=m,n∥m,且n ⊄α,n ⊄β,则n∥α且n∥β
D.若α⊥β,m∥n,n⊥β,则m∥α
5.已知直线l,m,平面α,β,则下列命题中假命题是( ).
A.若α∥β,l ⊂α,则l∥β
B.若α∥β,l⊥α,则l⊥β
C.若l∥α,m ⊂α,则l∥m
D.若α⊥β,α∩β=l,m ⊂α,m⊥l,则m⊥β
6.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是( ). A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF 的体积为定值
D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
二、填空题
7.如图,G,H,M,N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN 是异面直线的图形有 .
8.关于直线m,n 和平面α,β,有以下四个命题:
①若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n;②若m∥n,m ⊂α,n⊥β,则α⊥β;③若α∩β=m,m∥n,则n∥α且n∥β;④若m⊥n,α∩β=m,则n⊥α或n⊥β. 其中假命题的序号是 .
9.在三棱锥P-ABC 中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=AC=BC,则直线PC 与AB 所成角的大小是 .
三、解答题
10.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为CC 1,AA 1的中点,画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线.
11.如图,在几何体P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,AB=PA=2.
(1)当AD=2时,求证:平面PBD⊥平面PAC;
(2)若PC与AD所成的角为45°,求几何体P-ABCD的体积.
12.如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.
(1)若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,求MN的长;
(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.
参考答案
一、选择题
1.D
2.D
3.B
4.C
5.C
6.D 解析:由AC⊥平面DBB
1D
1
,可知AC⊥BE,故A正确.
由EF∥BD,EF⊄平面ABCD,知EF∥平面ABCD,故B正确.
A到平面BEF的距离即A到平面DBB
1D
1
的距离为,
且S
△BEF =BB
1
×EF=定值,
故V
A-BEF
为定值,即C正确.
二、填空题
7.②④8.①③④
9.60°解析:分别取PA,AC,CB的中点F,D,E,连接FD,DE,EF,AE,则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角.
设PA=AC=BC=2a,在△FDE中,易求得FD=a,DE=a,FE=a,
根据余弦定理,得cos∠FDE==-,
所以∠FDE=120°.
所以PC与AB所成角的大小是60°.
三、解答题
10.解:在平面AA
1D
1
D内,延长D
1
F,
∵D
1
F与DA不平行,
∴D
1
F与DA必相交于一点,设为P,
则P∈FD
1
,P∈DA.
又∵FD
1⊂平面BED
1
F,AD⊂平面ABCD,
∴P∈平面BED
1
F,P∈平面ABCD.
又B为平面ABCD与平面BED
1
F的公共点,连接PB,
∴PB即为平面BED
1
F与平面ABCD的交线.
如图所示.
11.(1)证明:当AD=2时,四边形ABCD是正方形,则BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴PA⊥BD.
又∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
∵BD⊂平面PBD,
∴平面PBD⊥平面PAC.
(2)解:PC与AD成45°角,AD∥BC,则∠PCB=45°.
∵BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A,
∴BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB.
∴BC⊥PB.
∴∠CPB=90°-45°=45°.
∴BC=PB=2.
∴几何体P-ABCD的体积为
×(2×2)×2=.
12.(1)解:取CD的中点G,连接MG,NG.因为ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,所以
MG⊥CD,MG=2,NG=.
因为平面ABCD⊥平面DCEF,
所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.
所以MN==.
(2)证明:假设直线ME与BN共面,则AB⊂平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知,两正方形不共面,故AB⊄平面DCEF.
又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以AB∥EN.
又AB∥CD∥EF,
所以EN∥EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立.
所以ME与BN不共面,它们是异面直线.。