数学探究型问题

本题难点是，变化的部分太多，有三处发生变
化：分子、分母、分式的符号。学生很容易发现各
部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示
出分式的符号的变化规律是难点.
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1．数式规律
归纳与猜想
例3：（05年陕西）观察下列各式：
1×3=12＋2×1；
2×4=22＋2×2；
3×5=32＋2×3；……
请你将猜方想法到总的结：规律用正整数n n 1
（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；
（2）猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式．
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复练2：
[06] 观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律： （1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：
①
4×0＋1＝4×1－3；
②
4×1＋1＝4×2－3；
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探究型问题是近年中考比较常见的题目，解
答这类问题的关键是牢固掌握基本知识，加强
“一题多解”、“一题多变”等的训练；需要有 较 强的发散思维能力、创新能力。具体做题时，
要仔细分析题目的有关信息、合情推理、联想，
并要运用类比、归纳、分类讨论等数学思想全 面考虑问题，有时还借助图形、实物或实际操 作来打开思路。
表示出来横：向_熟__悉_代__数_式__、_算_.式的结构；
纵向观察、对比，研究各式之间的
关系，寻求变化规律；
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按要求写出算式或结果。
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2．图形规律
归纳与猜想
例4:(2008黑龙江哈尔滨)观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20
个图形共有 3n 个★．
三角形每条边上的
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实验操作型问题是让学生在实际操作 的基础上设计问题，主要有：⑴裁剪、折 叠、拼图等动手操作问题，往往与面积、 对称性质相联系；⑵与画图、测量、猜想、 证明等有关的探究型问题。
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实验操作型问题
折纸与剪纸
主要考查： （1）全等、相似、平移、对称、旋转、翻折等几何
A．正三角形
C．正五边形
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B．正方形
D．温正馨六边提形示:看清步骤，仔细操作. 20
温馨提示:带齐工具。
试一试：
复练（08山东）：将一正方形纸片按下列顺序折叠， 然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角 形．将纸片展开，得到的图形是（ ）C
③
4×2＋1＝4×3－3；
④
___________________；
⑤
___________________；
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……
……
（2）通过猜想，写出与第 n 个图形相对应的等式．
返表一
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探究规律题的一般步骤为： (1)观察（发现特点） (2)猜想（可能的规律） (3)实验（用具体数值代入猜想）
的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图
形需棋子
枚（用含n的代数式表示）.
…
第1个图
第2个图
第3个图
方法一:除第一个图形有4枚棋子外,每多一个图形,
多3枚棋子. 4＋3（n－1）=3 n+1
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2．图形规律
归纳与猜想
例5（2008海南省）用同样大小的黑色棋子按图所示
的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图 形需棋子 3n+1 枚（用含n的代数式表示）.
方法一: 3(n+1)-3=3n
星数相同,再减去
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三个顶点的数
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2．图形规律
归纳与猜想
例4:(2008黑龙江哈尔滨)观察下列图形：
3
6
9
12
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20
个图形共有 3n 个★．
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2．图形规律
归纳与猜想
例5（2008海南省）用同样大小的黑色棋子按图所示
操作变换的若干方法和技巧； (2）综合运用相关知识解决应用问题．
分割与拼合
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展开与叠合
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动手操作型的折纸与剪纸，图形的分割与拼合、几何体 的展开与叠合，几乎触及了每份试卷，从单一的选择、填空， 到综合性较强的探索猜想、总结规律，判断论证存在与否， 以及分类讨论等综合题，几乎无处不在．
第3个图
方法总结：
2n+(n+1)=3n+认提1 真取数观式察信息研究仿图照案数（式形规）
律得到结论
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复练1：
[05]
观察右面的图形（每个正方形的边长均为 1）和相应的等式，探究其中的规律：
① 1 1 1 1
22
② 2 2 2 2 33
③ 3 3 3 3
44
④ 4 4 4 4
55
……
……
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1．数式规律
归纳与猜想
例1：(2008 湖北十堰)观察下面两行数： 2， 4， 8， 16， 32， 64， … ① 5， 7， 11， 19， 35， 67， … ② 根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得
它们的和是（写出最后的结果） 2051 ．
分析：第一行的第10个数是 210 1024 ,第二行
1.基础题型
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1.折纸问题
操作与探究
基础 题型
例6（2008泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，
再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分
线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，
那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定
是（
）
解题策略1：重过程——“折”．
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规律型问题
探
实 验操作题
究
型 问
存在型问题
题
动态型问题
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1.条件的不确定性 2.结构的多样性 3.思维的多向性 4.解答的层次性 5.过程的探究性 6.知识的综合性
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规律探索试题是中考中的一棵常青树，一直 受到命题者的青睐，主要原因是这类试题没有固 定的形式和方法，要求学生通过观察、分析、比 较、概括、推理、判断等探索活动来解决问题．
…
第1个图
第2个图
第3个图
Fra Baidu bibliotek
方法二:每个图形,可看成是序列数与3的倍数
又多1枚棋子
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2．图形规律
归纳与猜想
例5（2008海南省）用同样大小的黑色棋子按图所示
的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图
形需棋子
枚（用含n的代数式表示）.
…
第1个图
方法三:
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第2个图
的每个数总比第一行同一位置上的数大3，所以第
二行的第10个数是1024+3=1027.
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1．数式规律
归纳与猜想
例2：(2008北京)一组按规律排列的式子：
b2 , a
b5 a2
,
b8 a3
,
b11 …（ab≠0）， a4
其中第7个式子是
，
第n个式子是
（n为正整数）．
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