浙江专版2018年高考数学第1部分重点强化专题专题3概率及期望与方差专题限时集训6古典概型20180305126

专题限时集训(六) 古典概型(对应学生用书第125页) [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A.815 B.18 C.115D.130C [∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种． ∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.]2．(2017·浙江五校联考)在某次全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )【导学号：68334082】A.310 B.58 C.710D.25D [由题意得从5人中选出2人，有10种不同的选法，其中满足2人编号相连的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种不同的选法，所以所求概率为410＝25，故选D.]3．在一次旅行途中，组织者要开展一个游戏节目，需要从5对夫妇中选出4位表演节目，请问选出的4位中不含有夫妇的概率为( ) A.521B.27C.13D.821D [从5对夫妇即10个人中选4个人，共有C 410种情况，其中选出的4个人中不含有夫妇的情况有C 45×24种，因此所求概率为C 45×24C 410＝821.]4．某中学有3个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中一个社团，则这两位同学参加不同社团的概率为( )A.13B.12C.23D.34C [甲、乙两位同学参加3个社团，共有9种不同的情况，其中两人参加相同的社团的情况有3种，所以两人参加不同的社团的概率为1－39＝23，故选C.]5．现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为( ) A.16B.56C.1027D.1727B [依题意得，甲、乙、丙、丁到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分一名义工的方法数是C 24·A 33，其中甲、乙两人被分到同一社区的方法数是C 22·A 33，因此甲、乙两人被分到不同社区的概率等于1－C 22·A 33C 24·A 33＝56.]二、填空题6．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝__________.23[将事件A ＋B 分为：事件C “朝上一面的数为1,2”与事件D “朝上一面的数为3,5”，则C ，D 互斥，且P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ＋B )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝23.]7．(2016·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{}4，6，8，b ∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为__________. 【导学号：68334083】23[要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0要有两个实根，则Δ＝4a 2－4b 2>0.又a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，即a >b ，而a ，b 的取法共有3×3＝9种，其中满足a >b 的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为69＝23.]8．在一个袋子中装有标注数字1,2,3,4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出一个小球，记下数字后放回袋中，这样连续进行3次，则以记下的三个数字为边，不能组成三角形的概率为________．1532[连续取3次，共有4×4×4＝64种不同结果，其中不能组成三角形的数字组合有(1,1,2)，(1,1,3)，(1,1,4)，(2,2,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，有4C 23＋3A 33＝30种，故所求概率为3064＝1532.]三、解答题9．袋子里放有编了号的6个小球，其中红球3个，白球2个，黄球1个，并且这些球除颜色和编号外完全相同．(1)现从袋子里任意摸出3球，求其中恰有2球同色的概率；(2)若在袋子里任意摸球，取后放回，每次只摸出一球，共摸3次，求摸出的3球中至少有2球同色的概率．[解] (1)从袋子里任意摸出3个球有C 36＝20种方法， 3分 从袋子里任意摸出3球恰有2球同色有C 23C 13＋C 22C 14＝13种方法. 5分 所以概率为P ＝C 23C 13＋C 22C 14C 36＝1320.6分(2)从袋子中有放回地任意摸球3次，有C 16C 16C 16A 33种方法，摸出的3球都不同色，有C 13C 12C 11种方法.11分 所以概率为P ＝1－C 13C 12C 11C 16C 16C 16·A 33＝56.15分10．(2017·温州质量检测)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7则中一等奖，等于6或5则中二等奖，等于4则中三等奖，其余结果为不中奖． (1)求中二等奖的概率； (2)求不中奖的概率.【导学号：68334084】[解] (1)记“中二等奖”为事件A .从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10个基本事件．记两个小球的编号之和为X ，由题意可知，事件A 包括两个互斥事件：X ＝5，X ＝6.3分事件X ＝5的取法有2种，即{1,4}，{2,3}，故P (X ＝5)＝210＝15；事件X ＝6的取法有1种，即{2,4}， 故P (X ＝6)＝110.5分 所以P (A )＝P (X ＝5)＋P (X ＝6)＝15＋110＝310.7分 (2)记“不中奖”为事件B ，则“中奖”为事件B －，由题意可知，事件B －包括三个互斥事件：中一等奖(X ＝7)，中二等奖(事件A )，中三等奖(X ＝4)．事件X ＝7的取法有1种，即{3,4}，故P (X ＝7)＝110；9分事件X ＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2种， 故P (X ＝4)＝210＝15.由(1)可知，P (A )＝310.11分 所以P (B －)＝P (X ＝7)＋P (X ＝4)＋P (A )＝110＋15＋310＝35.13分 所以不中奖的概率为P (B )＝1－P (B －)＝1－35＝25.15分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( ) A.310B.15C.12D.35A [基本事件的总数为10，其中能构成三角形三边长的数组为(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故其概率为310.]2．下列试验中，是古典概型的个数为( )①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD 内，任意抛掷一点P ，点P 恰与点C 重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之和是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率. 【导学号：68334085】 A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型．②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型．③符合古典概型的特点，是古典概型问题．] 3．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B －发生的概率为( ) A.13B.12C.23D.56C [掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B －)＝1－P (B )＝1－23＝13.∵B －表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B －互斥，从而P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝13＋13＝23.] 4．已知函数f (x )＝13ax 3－12bx 2＋x ，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数f ′(x )在x ＝1处取得最值的概率是( ) A.136 B.118C.112D.16C [由题意得f ′(x )＝ax 2－bx ＋1，因为f ′(x )在x ＝1处取得最值，所以b2a ＝1，符合的点数(a ，b )有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a ，b )共有36种情况，所以所求概率为336＝112，故选C.]二、填空题5．曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A 为“方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝__________.512[试验中所含基本事件个数为36.若表示焦点在x 轴上的椭圆，则m >n ，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P (A )＝1536＝512.]6．(2017·绍兴调研)电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字构成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为________. 【导学号：68334086】1360[因为时钟一分钟显示一次，故总的显示方法数为24×60＝1 440(种)，四个数字之和为23的有09：59,18：59,19：49,19：58四种情况，故所求概率为41 440＝1360.]三、解答题7．现有8名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3数学成绩优秀，B 1，B 2，B 3物理成绩优秀，C 1，C 2化学成绩优秀，从中选出数学、物量、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛． (1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率．[解] (1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(A 1，B 1，C 1}，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}，共18个基本事件组成.4分由于每一个基本事件被抽取的机会均等．因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“C 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)}. 6分 事件M 由9个基本事件组成，因而P (M )＝918＝12.8分(2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件， 则其对立事件N 表示“A 1，B 1全被选中”这一事件．由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，事件N 由2个基本事件组成，所以P (N )＝218＝19.13分 由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－19＝89.15分8．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)若直线l ：x ＋y －5＝0，求点P (b ，c )恰好在直线l 上的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．[解] (1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，4分 当b ＋c ＝5时，(b ，c )的所有取值为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，5分所以所求概率为P 1＝416＝14.6分 (2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立. 7分②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2. 8分③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3. 9分④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0， 即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4. 11分 由①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)， 14分 所以方程为“漂亮方程”的概率为P 2＝316.15分。