高三理科数学练习题大联盟
华大新高考联盟(全国卷)2023届高三上学期11月教学质量测评理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，圆交双曲线的左支于点，直线交双曲线的右支于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．2. 如图在一根长11，外圆周长6的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（）A ．61B．C．D．3. 已知奇函数的导函数为，若在上是减函数，则不等式的解集是（ ）A ．或B．C ．或D．4. 已知复数（为虚数单位），则（ ）A．B．C．D．5. 设全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．6. 已知函数则（ ）A．B．C ．2D ．47. 已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（）A．B．C．D．8. 已知底面半径为的圆锥，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积为（ ）A．B．C．D．9. 设，且，则（ ）A．B．C．D．10. 在直角坐标系中，已知双曲线的焦点到渐近线的距离不大于，点分别在的左、右两支上，则（ ）A ．的离心率为定值B．是的一条渐近线C ．的两条渐近线的夹角的正切值为华大新高考联盟（全国卷）2023届高三上学期11月教学质量测评理科数学试题三、填空题四、解答题D．的最小值为211. 已知直线是曲线上任一点处的切线，直线是曲线上点处的切线，则下列结论中正确的是（ ）A ．当时，B．存在，使得C ．若与交于点时，且三角形为等边三角形，则D ．若与曲线相切，切点为，则12. 依据我国《地表水环境质量标准》，水质由高到低可以分为I 、II 、III 、IV 、V 、劣V 类六个类别，其中I 、II 类水质适用于饮用水源地一级保护区，劣V 类水质除调节局部气候外，几乎无使用功能.环境监测部门某一年对全国范围内各大水域的水质情况进行监测，统计了各水域不同水质所占的比例，得到了下面的统计图.从统计图中能够得到的合理推断是（）A ．浙闽片河流、西北诸河、西南诸河水质情况整体高于其他流域水质情况B ．辽河流域I~III 类水质占比小于60%C ．黄河流域的水质比长江流域的水质要好D ．IV 、V 类水质所占的比例最高的是淮河流域13. 已知向量与，若，则实数的值为___________.14. 设全集，集合，，则_______．15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为______.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，设点与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆上的三点，满足，记线段的中点的轨迹为，若直线与轨迹相交于两点，求的值.17.如图，直三棱柱中，，，D ，E分别是，的中点．(1)证明：平面平面；(2)求三棱锥的高．18. 如图，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为，点是上的定点，是上的两动点，且线段被直线平分.（1）求的值.（2）求面积的最大值.19. 现有7名学生，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，，的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛.(1)求被选中的概率；(2)求和至多有一个被选中的概率.20. 已知，为椭圆C：的左右焦点，P为椭圆C上一点．若为直角三角形，且．(1)求的值；(2)若直线l：与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点，求实数m的取值范围．21. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面为线段的中点，为线段的中点，点在线段上，且满足．(1)求证：平面；(2)若，求二面角的正弦值．。
(全国卷)高三数学第一次大联考试题理
（全国卷）2020届高三数学第一次大联考试题 理考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。
2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上。
3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
{}{}223,,1A x x x N B x x =-<<∈=> ，则集合A∩B＝A.{2}B.{－1，0，1)C.{－2，2}D.{－1，0，1，2}2.命题“∀x>0，x(x ＋1)>(x －1)2”的否定为；A.20,(1)(1)x x x x ∀>+≤-B.20,(1)(1)x x x x ∀≤+≤-C.20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-D.20,(1)(1)x x x x ∃≤+≤- 3.21232x dx x -+=+⎰ A.2＋ln2 B.3－ln2 C.6－ln2 D.6－ln44.设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“U AB φ= ”的2,0()0x x f x x -⎧≤⎪=> ，若f(x 0)<2，则x 0的取值范围是A.(－∞，－1)B.(－1，0]C.(－1，＋∞)D.(－∞，0)01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是 A.p∨q 是假命题 B.p∧q 是真命题 C.p∨(⌝q)是真命题 D.p∧(⌝q)是假命题 {}{}12,15A x x B x x =-<≤=≤-≤， 定义集合{},,A B z z x y x A y B *==+∈∈，则()B A B **等于 A.{}61x x -<≤ B.{}112x x <≤ C.{}110x x -<≤ D.{}56x x -<≤8.已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x － a －x ＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a ，则函数f(x 2＋2x)的单调递增区间为A(－1.1) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)9.如图是二次函数f(x)＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g(x)＝alnx ＋ f’(x)的零点所在的区间是 A.(14，12) B.(12，1) C.(1，2) D.(2，3) ∈R ，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≧1时，函数f(x)＝1x -。
高三数学理科联考试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = 2^x - 1$，则$f(-1)$的值为：A. 0B. 1C. 2D. -12. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 3$，公差$d = 2$，则$a_{10}$的值为：A. 19B. 21C. 23D. 253. 已知复数$z = 3 + 4i$，则$|z|$的值为：A. 5B. 7C. 9D. 114. 若不等式$|x - 2| < 3$的解集为$A$，则集合$A$的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知函数$y = x^2 - 4x + 4$，则该函数的图像是：A. 双曲线B. 抛物线C. 直线D. 圆6. 在直角坐标系中，点$(2, -3)$关于直线$x + y = 0$的对称点是：A. $(3, -2)$B. $(-3, 2)$C. $(-2, 3)$D. $(2, 3)$7. 若$a > 0$，$b > 0$，且$a + b = 1$，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的最小值为：A. 2B. $\frac{4}{3}$C. $\frac{3}{2}$D. 18. 已知等比数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 1$，公比$q = 2$，则$a_5$的值为：A. 32B. 16C. 8D. 49. 若$sinA + cosA = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$sin2A$的值为：A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{3}{2}$D. 110. 在三角形ABC中，$A = 60^\circ$，$B = 45^\circ$，则$sinC$的值为：A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$B. $\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$二、填空题（每小题5分，共25分）11. 若复数$z = a + bi$（其中$a$，$b$为实数），则$|z|$的值为__________。
江苏省2022-2023学年高三上学期大联考数学试题含答案优选全文
江苏省2023届高三年级大联考数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<，{}10B x x =-≥，则()U A B ⋂=ð（）A.{}13x x ≤< B.{}13x x <≤ C.{1x x ≤或}3x ≥ D.{1x x <或}3x ≥2.设复数z 的共轭复数为z ，已知()2i 5z +=，则zz =（）A.7B.5C.3D.3.设R θ∈，则“66ππθ-<”是“sin 2θ<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某人在湖面之上5米处测得空中一气球的仰角为30︒，而湖中气球倒影的俯角为45︒，若不考虑水的折射，则气球离水面的高度（单位：米）为（）A.(51B.(51+C.(52+D.(52+5.函数()22e ex xx f x -=-的图像可能是（）A. B.C.D.6.把函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<图象上所有点向左平移π3个单位，得到函数()g x 的图象.若()g x 的图象关于直线π12x =对称，则函数()()ππ2cos ,22h x x x ϕ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭的最小值为（）A.2- B.3C.1-D.07.已知ln33a =，()22ln3b =+，3ln3c =，则（）A.a c b>> B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>8.设函数()(),0,ln ,0,x a x f x x x -+≥⎧=⎨-<⎩()()12f x f x =，12x x -的最小值为()g a ，则()2g a a a --的最大值为（）A.1- B.0C.1D.e 1-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知1a b >>，0c >，则（）A.c c a b< B.abc c> C.a cb cb b a a --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()()log log b a a c b c +>+10.已知函数()sin cos f x x a x =+的最大值为2，且()00f >，则（）A.3a =B.()f x 的图象关于直线2π3x =对称C.()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D.将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，得到π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象11.已知0x >，0y >，22x y +=，则（）A.xy 的最大值为14B.22x y +的最小值为45C.1y x y+的最小值为1+D.的最大值为12.19世纪，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet ，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R 上的函数()1,,0,,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则（）A.(0D x =B.()()D x D x =-C.若T 为有理数，0T ≠，则()()D x T D x +=D.存在三个点()()11,A x D x ，()()22,B x D x ，()()33,C x D x ，使得ABC 为正三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线sin 2cos y x x =-在点（π，2）处的切线方程是________．14.若tan 4x =，则sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos x x x xx x x x x x x+++=_______．15.在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．16.已知函数()ln 1f x ax x =--，3()27xg x =，用max{m ，n }表示m ，n 中的最大值，设()max{(),()}x f x g x ϕ=．若()3xx ϕ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为_____四、解答题；本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设函数())πsin 22f x m x m ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭R ．（1）若4m =，求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点；（2）求函数()f x 的最大值．18.已知函数()()3213f x x x ax a =-+∈R ．（1）证明有且仅有两条经过原点的直线与曲线()y f x =相切；（2）记（1）中两条切线为1l ，2l ，设1l ，2l 与曲线()y f x =异于原点O 的公共点分别为,A B ．若1a =，求cos AOB ∠的值．19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，7cos 3B =，点D 在边AB 上，2BD AD =．（1）若ACD BCD ∠=∠，求sin A ；（2）若6CD BD ==，求b ．20.在PAB 中，PA PB =，点C ，D 分别在PB ，PA 边上．（1）若3APB π∠=，1CD =，求PCD 面积的最大值；（2）设四边形ABCD 的外接圆半径为R ，若,3APB π∠π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且AB BC CD DA ⋅⋅⋅的最大值为49，求R 的值．21.已知0a >，函数()()ln f x a x x =-．（1）证明()f x 存在唯一极大值点；（2）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意()0,x ∈+∞成立，求b 的取值范围．22.已知函数()3ln f x ax x =-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122e x x +>．2023届高三年级大联考数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<，{}10B x x =-≥，则()U A B ⋂=ð（）A.{}13x x ≤< B.{}13x x <≤ C.{1x x ≤或}3x ≥ D.{1x x <或}3x ≥【答案】D 【解析】【分析】先求出A B ⋂，再求其补集.【详解】{}13A x x =-<< ，{}{}101B x x x x =-≥=≥，{}13A B x x ∴⋂=≤<，(){U 1A B x x ∴⋂=<ð或}3x ≥.故选：D .2.设复数z 的共轭复数为z ，已知()2i 5z +=，则zz =（）A.7B.5C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，再根据共轭复数及复数的乘法运算即可得解.【详解】解：由()2i 5z +=，得()()()52i 52i 2i 2i 2i z -===-++-，则2i z =+，所以()()2i 2i 5zz =-+=.故选：B.3.设R θ∈，则“66ππθ-<”是“3sin 2θ<”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】分析：由题意首先求解三角不等式，然后结合题意确定“66ππθ-<”与“2sin θ<”的充分性和必要性即可.详解：求解绝对值不等式66ππθ-<可得π0θ3<<，若3sin 2θ<，则()42233k k k Z πππθπ-≤≤+∈，当0k =时，433ππθ-≤≤，据此可得：“66ππθ-<”是“3sin 2θ<”的充分而不必要条件.故选：A 4.某人在湖面之上5米处测得空中一气球的仰角为30︒，而湖中气球倒影的俯角为45︒，若不考虑水的折射，则气球离水面的高度（单位：米）为（）A.(51B.(51+C.(52+D.(52+【答案】C 【解析】【分析】结合题意作出示意图，利用直角三角形中正切函数的定义得到关于气球离水面的高度的方程，解之即可.【详解】结合题意作出示意图，易知点C 与点D 关于湖面BM 对称，则CM DM =，5AB =，故5,5CE CM EM CM AB CM DE DM AB CM =-=-=-=+=+，在Rt ACE 中，tan 30CEAE ︒=，即tan 30CE AE ==︒，在Rt ADE △中，tan 45DE AE︒=，tan 45DEAE DE ==︒，DE =，即)55CM CM -=+，故(5152CM +==+，所以气球离水面的高度为(52.故选：C..5.函数()22e ex xx f x -=-的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，求得函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，再结合()0f x >，即可求解.【详解】由题意，函数()22e ex xx f x -=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且()22()e ex xx f x f x --==--，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B.又当0x >时，e e 0xxy -=->，所以()220e ex x x f x -=>-，故排除CD.故选：A6.把函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<图象上所有点向左平移π3个单位，得到函数()g x 的图象.若()g x 的图象关于直线π12x =对称，则函数()()ππ2cos ,22h x x x ϕ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭的最小值为（）A.2-B.C.1- D.0【答案】A 【解析】【分析】根据平移变换及正弦函数的对称性求出ϕ，再根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.【详解】解：函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<图象上所有点向左平移π3个单位，得到函数()2πsin 23g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()g x 的图象关于直线π12x =对称，所以π2πππ,Z 632k k ϕ++=+∈，又0πϕ<<，所以2π3ϕ=，则()2π2cos 3h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2ππ7π,366x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故2π3cos 1,32x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()min 2h x =-.故选：A.7.已知ln33a =，()22ln3b =+，3ln3c =，则（）A.a c b>> B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】构造函数2()23(1)(2)f x x x x x =+-=--，由1ln32<<易得b c <；构造函数()33x g x x =-，由导数与函数的单调性求得()g x 的单调性，从而证得a c >；由此可得a c b >>.【详解】令2()23(1)(2)f x x x x x =+-=--，所以(1,2)x ∈时，()0f x <，因为2ln e ln 3ln e <<，即1ln32<<，所以2(ln 3)(ln 3)23ln 30f =+-<，故2(ln 3)23ln 3+<，即b c <，令()33x g x x =-，则()ln 333x g x '=⋅-，显然()ln 333x g x '=⋅-在(0,)+∞单调递增，令()0g x '>，得33log ln 3x >，故()g x 在33log ,ln 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为1ln 33<<，故313ln 3<<，则330log 1ln 3<<，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，则(ln 3)(1)0g g >=，即ln333ln 30->，即ln 333ln 3>，故a c >，综上：a c b >>.故选：A.8.设函数()(),0,ln ,0,x a x f x x x -+≥⎧=⎨-<⎩()()12f x f x =，12x x -的最小值为()g a ，则()2g a a a --的最大值为（）A.1-B.0C.1D.e 1-【答案】C 【解析】【分析】对a 分类讨论求出()e ,01,0a a g a a a ⎧≤=⎨+>⎩，再分类讨论求出()2g a a a --的最大值.【详解】设()()12,()f x f x t t a ==≤，不妨设12x x <，所以1212ln(),,e ,tx t x a t x x t a -=-+=∴=-=-+，所以1221e (),()tx x x x t a h t t a -=-=-+=≤，所以()e 1t h t '=-，当0a ≤时，()e 10,t h t '=-≤函数()h t 在(,]a -∞上单调递减，所以min ()()()e ah t g a h a ===.当0a >时，函数()h t 在(,0]-∞上单调递减，在[0,]a 单调递增，所以min ()()(0)1h t g a h a ===+.所以()e ,01,0a a g a a a ⎧≤=⎨+>⎩.当0a ≤时，()22e =()ag a a a a a m a --=--，所以()e 21()a m a a n a '=--=，所以()e 20,a n a '=-<所以()n a 在(,0]-∞单调递减()(0)0n a n ∴≥=，所以()0m a '≥，所以()m a 在(,0]-∞单调递增，所以max ()(0)1m a m ==.所以()2g a a a --的最大值为1.当0a >时，()22211g a a a a a a a --=+--=-+，在(0,)+∞单调递减，没有最大值，()2211g a a a a --=-+<所以()2g a a a --的最大值为1.故选：C【点睛】关键点睛：本题解题的关键有两个，其一是分类讨论求出()e ,01,0a a g a a a ⎧≤=⎨+>⎩，其二是分类讨论求出()2g a a a --的最大值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知1a b >>，0c >，则（）A.c ca b< B.a bc c> C.a cb cb b a a --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()()log log b a a c b c +>+【答案】ACD 【解析】【分析】根据不等式的性质结合指数函数和对数函数的单调性逐一分析判断即可.【详解】解：因为1a b >>，所以11a b<，又0c >，所以c ca b<，故A 正确；当01c <<时，a b c c <，当1c >时，a b c c >，故B 错误；由1a b >>，得01,ba cbc a<<->-，所以a cb cb b a a --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；由1a b >>，0c >，得1+>+>a c b c ，则()()()log log log b b a a c b c b c +>+>+，所以()()log log b a a c b c +>+，故D 正确.故选：ACD.10.已知函数()sin cos f x x a x =+的最大值为2，且()00f >，则（）A.a =B.()f x 的图象关于直线2π3x =对称C.()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D.将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，得到π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象【答案】AC 【解析】【分析】利用辅助角公式结合已知求出a ，即可判断A ，再根据正弦函数的对称性代入检验即可判断BC ，根据周期变换的原则即可判断D.【详解】解：()00f a =>，()()sin cos ϕ=+=+f x x a x x （其中tan a ϕ=），因为函数()sin cos f x x a x =+的最大值为2，2=，解得a =a =，故A 正确；则()π2sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为2π2sin π=03f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故B 错误；因为5π2sin 2π03f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，得到函数π2sin 2sin 223y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，而π2cos 22sin 26y x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC.11.已知0x >，0y >，22x y +=，则（）A.xy 的最大值为14B.22x y+的最小值为45C.1yx y+的最小值为1+ D.的最大值为【答案】BC 【解析】【分析】利用基本不等式及其变形可分析AC 选项，由二次函数求最值可判断B ，可用三角换元来分析D 选项【详解】对于A 选项，由基本不等式得22x y =+≥，整理得12xy ≤，当且仅当2x y =，即1x =，12y =时，xy 的最大值为12，所以A 错误.对于B 选项，22222(22)584x y y y y y +=-+=-+，220x y =->得01y <<，22445845(+55y y y -+=-，∴当45y =时，22x y +的最小值为45，所以B 正确.对于C选项，122111222y y y x y y x x y x y x y x y ++=+=+=++≥=+，当且仅当2y x x y =，x =时1y x y+1+，所以C 正确.对于D 选项，令m =，n =，由01y <<，220y x =->，02x <<可知0m <<，01n <<，得2x m =，2y n =，由题意得2222m n +=，设m θ=，cos n θ=，02πθ<<，cos )m n θθθϕ=+=+=+，tan 2φ=)θϕ+≤，所以D 错误.故选：BC12.19世纪，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet ，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R 上的函数()1,,0,,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则（）A.(0D x =B.()()D x D x =-C.若T 为有理数，0T ≠，则()()D x T D x +=D.存在三个点()()11,A x D x ，()()22,B x D x ，()()33,C x D x ，使得ABC 为正三角形【答案】BCD 【解析】【分析】根据狄利克雷函数的定义结合分段函数的性质，分别讨论x 为有理数和无理数，依次判断各个选项，即可得解.【详解】对于A是无理数，若x为有理数，x -则(0D x =；若x为无理数，x有可能为有理数，如x =，此时(()01D x D ==，故A 错误；对于B ，当x 为有理数，x -为有理数，则()()1D x D x =-=；当x 为无理数，x -为无理数，则()()0D x D x =-=，故B 正确；对于C ，T 为有理数，若x 为有理数，则x T +是有理数，则()()1D x T D x +==；若x 为无理数，x T +是无理数，则()()0D x T D x +==，故C 正确；对于D ，存在三个点且x 为有理数，则(),1A x ，,03B x ⎛-⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,03C x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭是边长为3的等边三角形，故D 正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线sin 2cos y x x =-在点（π，2）处的切线方程是________．【答案】2π0x y +--=【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义求出切线方程的斜率，进而求出切线方程.【详解】()cos 2sin f x x x '=+，所以()πcos π2sin π1f =+=-'，故sin 2cos y x x =-在点（π，2）处的切线方程为()2πy x -=--，即2π0x y +--=.故答案为：2π0x y +--=14.若tan 4x =，则sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos x x x xx x x x x x x+++=_______．【答案】-【解析】【分析】利用切化弦、二倍角公式可推导得到sin tan 2tan cos 2cos xx x x x-=，由此可化简所求式子为tan 8x ，利用二倍角正切公式可求得结果.【详解】sin 2sin sin 2cos sin cos 2tan 2tan cos 2cos cos 2cos x x x x x xx x x x x x--=-= ()222sin cos sin 2cos 1sin cos 2cos cos 2cos x x x x x x xx x--==，sin 4tan8tan 4cos8cos 4x x x x x ∴=-，sin 2tan 4tan 2cos 4cos 2xx x x x=-，∴原式22tan 4tan8tan 4tan 4tan 2tan 2tan tan tan81tan 4x x x x x x x x x x =-+-+-+==-12==--故答案为：-.15.在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．【答案】①.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭②.34##0.75【解析】【分析】利用正弦定理可得sin sin c A a C =，结合三角恒等变换知识及C的范围可化简得到1122tan a C=+⋅，由C 的范围可求得tan C 的范围，进而得到a 的范围；利用两角和差正弦公式、二倍角和辅助角公式可化简得到1π1sin sin sin 2264A C C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数最值的求法可求得结果.【详解】由正弦定理得：()()()1cos sin sin πsin sin 1cos 22sin sin sin sin 22sin C CB C B C c A C a C C C C C +-++=====+⋅；π3B =Q ，ABC 为锐角三角形，2ππ032π02A C C ⎧<=-<⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，ππ62C ∴<<，cos 0C ∴≠，1122tan a C∴=+⋅，tan ,3C ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，10tan C ∴<<122a ∴<<，即a 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；()211sin sin sin sin cos sin sin sin cos sin 2222A C B C C C C C C C C ⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 2111π1sin 222sin 244444264C C C C C -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭；ππ62C <<，ππ5π2666C ∴<-<，1πsin 2126C ⎛⎫∴<-≤ ⎪⎝⎭，∴当πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，sin sin A C 取得最大值34.故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭；34.16.已知函数()ln 1f x ax x =--，3()27xg x =，用max{m ，n }表示m ，n 中的最大值，设()max{(),()}x f x g x ϕ=．若()3xx ϕ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为_____【答案】4[,)3+∞【解析】【分析】分别讨论当03,3x x <<≥时，3()27x g x =与3x y =的关系，可将问题转化为()3x f x ≥在(0,3)上恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合导数求得最大值，可得所求范围．【详解】当(0,3)x ∈时，3()273x x g x =<，当[3,)x ∈+∞时，3()273x xg x =≥，所以()3x x ϕ≥在[3,)+∞必成立，问题转化为()3x f x ≥在(0,3)恒成立，由ln 13x ax x --≥恒成立，可得ln 113x a x +≥+在(0,3)x ∈恒成立，设ln 11(),(0,3)3x h x x x +=+∈，则221(ln 1)1ln ()x x x x h x x x '⋅-+⨯-==，当01x <<时，()0h x '>，当13x <<时，()0h x '<，所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，max 44()(1),33h x h a ∴==∴≥故a 的取值范围是4[,)3+∞.故答案为：4[,)3+∞【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道有一定难度的压轴填空题.四、解答题；本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设函数())πsin 22f x m x m ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭R ．（1）若4m =，求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点；（2）求函数()f x 的最大值．【答案】（1）0（2）当2m <时，()max f x m =-；当2m ≥时，()max 4f x m =-【解析】【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简，再解关于cos x 的一元二次方程即可；（2）利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简，再结合二次函数的性质分类讨论，从而可得出答案.【小问1详解】解：若4m =，()24cos24cos 8cos 4cos 4f x x x x x =-=--，令()28cos 4cos 40f x x x =--=，解得cos 1x =（1cos 2x =-舍去），又因π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0x =，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点为0；【小问2详解】解：()2cos 24cos 2cos 4cos f x m x x m x x m=-=--令[]cos ,0,1t x t =∈，则()[]224,0,1f t mt t m t =--∈，当0m =时，()[]4,0,1f t t t =-∈，则()()max 00f t f ==，当0m ≠时，函数()f t 的对称轴为1t m=，若0m <，则()f t 在[]0,1上递减，所以()()max 0f t f m ==-，若1102m <≤，即2m ≥时，()()max 14f t f m ==-，若112m >，即02m <<时，()()max 0f t f m ==-，综上所述，当2m <时，()max f x m =-；当2m ≥时，()max 4f x m =-.18.已知函数()()3213f x x x ax a =-+∈R ．（1）证明有且仅有两条经过原点的直线与曲线()y f x =相切；（2）记（1）中两条切线为1l ，2l ，设1l ，2l 与曲线()y f x =异于原点O 的公共点分别为,A B ．若1a =，求cos AOB ∠的值．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）设出切点，结合导数的几何意义求出有两个不同的切点即可证明；（2）先求出两条切线的方程，联立曲线方程，求出交点，结合向量夹角公式可求答案.【小问1详解】证明：2()2f x x x a '=-+，设过原点的直线与曲线()y f x =相切于点(),()t f t ，则22()01203f t t t a t t a t --+==-+-，整理得2203t t -=，即0=t 或32t =；所以有且仅有两条经过原点的直线与曲线()y f x =相切.【小问2详解】当1a =时，2()21f x x x '=-+，由（1）知切点为()330,0,,28⎛⎫⎪⎝⎭，31(0)1,(24f f ''==；两条切线方程分别为：313,842y x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即1,4y x y x ==；联立方程3213y x y x x x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得3x =和0x =（舍），可得()3,3A ；同理可求33,28B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()333,3,,28OA OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，334533288OA OB ⋅=⨯+⨯=，8OA OB == ，所以cos 34OA OB OA OBAOB ∠⋅==.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 3B =，点D 在边AB 上，2BD AD =．（1）若ACD BCD ∠=∠，求sin A ；（2）若6CD BD ==，求b ．【答案】（1）22sin 3A =（2）5b =【解析】【分析】（1）在ACD 中和在ABD △中，分别利用正弦定理求出CD ，再结合已知即可得解；（2）在BCD △中，利用余弦定理求出BC ，在ABC 中，再次利用余弦定理即可得解.【小问1详解】解：在ACD 中，由sin sin AD CDACD A =∠，得sin sin AD A CD ACD⋅=∠，在ABD △中，由sin sin BD CDBCD B =∠，得sin sin BD B CD BCD ⋅=∠，则sin sin sin sin AD A BD BACD BCD⋅⋅=∠∠，因为ACD BCD ∠=∠，所以sin sin ACD BCD ∠=∠，又2BD AD =，所以sin 2sin A B =，因为()cos ,0,π3B B =∈，所以sin 3B =，所以sin 3A =；【小问2详解】解：在BCD △中，7cos ,63B CD BD ===，2222cos CD BD BC BD BC B =+-⋅，即273636263BC BC =+-⨯⨯⨯，解得BC =0BC =舍去），在ABC 中，9AB =，则2222cos 8111229253AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯=，所以5AC =，即5b =.20.在PAB 中，PA PB =，点C ，D 分别在PB ，PA 边上．（1）若3APB π∠=，1CD =，求PCD 面积的最大值；（2）设四边形ABCD 的外接圆半径为R ，若,3APB π∠π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且AB BC CD DA ⋅⋅⋅的最大值为49，求R的值．【答案】（1）34（2）49【解析】【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得PC PD ⋅的最大值为1，再利用面积公式即可求解；（2）由四边形ABCD 存在外接圆，知四边形ABCD 为等腰梯形，连接AC ，设CBA θ∠=，CAB x ∠=，利用正弦定理，表示,,AB BC CD ，进而利用基本不等式求解.【小问1详解】由已知3DPC APB π∠=∠=，在PCD 中，利用余弦定理知22212cos CD PC PD PC PD PDC ==+-⋅∠，结合基本不等式有122cos3PC PD PC PD PC PD π≥⋅-⋅=⋅，当且仅当1PC PD ==时，等号成立，即PC PD ⋅的最大值为1，133sin 2344PCD S PC PD PD π=⋅=⋅≤所以PCD 面积的最大值为4【小问2详解】四边形ABCD 存在外接圆，DAB DCB π∴∠+∠=又PA PB =，DAB CBA ∴∠=∠，CBA DCB π∴∠+∠=，//AB CD ∴，所以四边形ABCD 为等腰梯形，连接AC ，设CBA θ∠=，CAB x ∠=，在BAC 中，由正弦定理得，2R sin()sin AB BCx xπθ==--，2R sin BC x ∴=，2R sin()2R sin()AB x x πθθ=--=+同理，在ACD 中，由正弦定理得，2R sin()CD x θ=-，所以2216R sin sin()sin()AB BC CD DA x x x θθ⋅⋅⋅=-+()22222216R sin sin cos cos sin x x xθθ=-()22222216R sin sin 1sin cos sin x x x θθ⎡⎤=--⎣⎦()222216R sin sin sin x xθ=-,3APB π∠π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，03x πθ∴<<≤，220sin sin x θ∴<≤()()22222222224sin sin sin 16R sin sin sin 16R 4R sin 2x xx x θθθ⎡⎤+-⎢⎥∴-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当222sin sin sin x x θ=-，即221sin sin 2x θ=0,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ，23sin 4θ∴≤，当且仅当3πθ=时，等号成立，即22344R 49⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，即4R 9=21.已知0a >，函数()()ln f x a x x =-．（1）证明()f x 存在唯一极大值点；（2）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意()0,x ∈+∞成立，求b 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）e b ≥-【解析】【分析】（1）求导()ln 1,0af x x x x'=-+->，再对()f x '求导，判断其单调性，然后结合零点存在性定理进而可知()0f x '=有唯一零点，结合极值点定义可证得结论；（2）题目转化为()max f x a b -≤⎡⎤⎣⎦，构造2()ln ln ,0u x x x x x x x =-->，利用导数研究函数的单调性，求其最值，即可得解.【小问1详解】函数()()ln f x a x x =-，求导()()1ln ln 1,0af x x a x x x x x'=-+-=-+->，令()ln 1,0a g x x x x -+->=，则()221a x ag x x x x+'=--=-又0a >，()0g x '∴<，()f x '∴在()0,x ∈+∞上单调递减，当1e x -=时，()10e a f x -'=>，当e a x =时，()1e 1110e e a a a a f a a ⎛⎫'=-+-=--< ⎪⎝⎭，故存在()10e e,ax -∈，使得()0f x '=当()00,x x ∈，()0f x ¢>，故函数()f x 在()00,x 上单调递增，当()0,x x ∈+∞，()0f x '<，故函数()f x 在()0,x +∞上单调递减，所以()f x 存在唯一极大值点；【小问2详解】由题知，存在0a >，使得()f x a b ≤+对任意()0,x ∈+∞成立，即存在0a >，使得()max b f x a ≥-⎡⎤⎣⎦对任意()0,x ∈+∞成立，由（1）知，()max 0()f x f x =，且00ln 10ax x -+-=，即()001ln a x x =+，()()()()0000000max 1ln ln 1ln f x a f x a x x x x x x -=-=+--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即存在0a >，使得2000000ln ln ,0b x x x x x x ≥-->恒成立，构造2()ln ln ,0u x x x x x x x =-->，即存在0a >，使得()b u x ≥恒成立，即存在0a >，min ()b u x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，求导2()ln ln 2,0u x x x x '=+->令()0u x '=，求得1ln 2x =-，2ln 1x =，即21e x -=，2e x =，当()20,ex -∈，()0u x '>，故函数()u x 在()20,e -上单调递增，当()2e e ,x -∈，()0u x '<，故函数()u x 在()2e e ,-上单调递减，当()e,+x ∈∞，()0u x '>，故函数()u x 在()e,+∞上单调递增，所以2min ()(e)eln e e elne e 0u x u ==--=-<，由()20,ex -∈时，()2215()ln ln 1ln 24u x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为()20,ex -∈，所以ln 2x <-，即215ln 524x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，则()0u x >在()20,e x -∈上恒成立，所以b 的取值范围是e b ≥-.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．22.已知函数()3ln f x ax x =-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122e x x +>．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在3(0,)a 上单调递减，在3(,)a+∞上单调递增（2）详见解析【解析】【分析】(1)对函数()f x 进行求导，然后对a 进行分类讨论，根据导函数值的正负，得到函数的单调区间(2)由题意变形得到ln 3a xx =的符号，不妨设12x x <，21x tx =，1212ln ln x x x x =得到1ln x 与t 之间的关系，将122ex x +>变形为1ln ln 2e ln(1)x t >-+，构造为t 的函数，在进行求导得出函数值最小为0即可判断【小问1详解】由()3ln f x ax x =-，得33()ax f x a x x'-=-=，0x >，当0a ≤时，()0f x '<，∴()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，3(3()x ax a f x a x x-=⋅'-=，由3x a >时，()0f x '>，()f x 在3(,)a +∞上单调递增，由3x a<时，()0f x '<，()f x 在3(0,a 上单调递减，∴综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在3(0,a 上单调递减，在3(,)a+∞上单调递增【小问2详解】根据函数()f x 有两个零点，3ln 0ax x -=变形ln 3a x x=，画出ln x y x =的图像，()f x 有两个零点即为3a y =与ln x y x=有两个交点，不妨设12x x <，如图可得11e x <<，2e x >，设21x tx =，(1)t >由1212ln ln x x x x =，将21x tx =代入1111ln ln x tx x tx =整理得1ln ln 1t x t =-①，要想证明122e x x +>，即证12e1x t >+，即证1ln ln 2e ln(1)x t >-+②，将①代入②整理得，只需证明ln (1)ln 2e (1)ln(1)0t t t t --+-+>即可，令()ln (1)ln 2e (1)ln(1)F x t t t t =--+-+，(1)t >，11()ln 2e ln(1)1t F x t t t -=-++++'，22222112(1)(31)()01(1)(1)t t t F x t t t t t-++=-++=+'>++'，()F x '在(1,)+∞递增， (1)0F '=，∴()0F x '>得()F x 在(1,)+∞递增，(1)0F =，∴()(1)0F x F >=，即ln (1)ln 2e (1)ln(1)0t t t t --+-+>，从而证明122ex x +>【点睛】本题采用分类讨论的方法，数形结合的方法，求解的关键进行构造函数，并画出图像，利用数形结合进行分析，两个变量的证明要转化为一个变量进行分析证明。
2022-2023学年陕西省联盟学校高三下学期第一次大联考理科数学试卷含详解
“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第一次大联考数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2,1,0,1,2A =--,{}1,0,2A B =-ð,则B =（）A.{}2- B.{}1 C.{}2,1- D.{}2,0,2-2.在复平面内，复数z 与21i-对应的点关于实轴对称，则z 等于A .1i+ B.1i -- C.1i-+ D.1i-3.下列说法中正确的是（）A.回归直线方程为 1.230.08y x =+，则样本点的中心可以为()4,5B.采用系统抽样，从800名学生中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40C.“a b >”是“22a b >”成立的充分不必要条件D.命题p ：R x ∀∈，20x >，则p ⌝：0R x ∃∈，020x <4.二项式*(1)()n x n +∈N 的展开式中3x 项的系数为10，则n =（）A.8B.6C.5D.105.已知x ，()0,y ∈+∞，6124yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则xy 的最大值为（）A.92B.98 C.32D.946.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A.72种B.36种C.24种D.18种7.已知圆C ：22480x y x y +-+=关于直线32220x ay --=对称，则圆C 中以,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（）A. B.C.D.8.在xOy 平面内，双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过左顶点A 且斜率为33的直线与渐近线在第一象限的交点为M ，若122MO F F =，则该双曲线的离心率是（）A.B.C.133D.539.在ABC 中,如果()cos 2cos 0B C C ++<,那么ABC 的形状为（）A .钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定10.在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且cos cos sin sin B C Ab c C+=，则b 的值为（）A.1B.C.32D.211.函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,1上有唯一的极大值，则ω∈（）A.13ππ,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13ππ,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.π13π,66⎛⎤⎥⎝⎦D.13π25π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.已知偶函数()f x 满足()()8f x f x =-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]20,20-上有且只有30个整数解，则实数a 的取值范围是（）A.1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦C.13ln 2ln 6,34⎛⎫--⎪⎝⎭ D.13ln 2ln 6,34⎛⎤--⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线5e 2-=+x y 在点()0,3处的切线方程为_______.14.设数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，若2334n n S n T n -=+，则77a b =________.15.点A ，B 是抛物线C ：()220y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB ∠=︒，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则AB d的最小值为________.16.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π4，当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的体积为________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.数列{}n a 为正项数列，14a =，且对n *∀∈N ，都有22112n n n n a a a a ++-=；（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2211log log n n n b a a -=⋅，n T 为数列{}n b 的前项和，求证：1n T <18.如图,在棱锥P ABCD -中，底面ABCD是正方形，2,120,AD PD PA PDC ===∠=︒点E 为线段PC 的中点,点F 在线段AB 上.（1）若12AF =,求证：CD EF ⊥；（2）设平面DEF 与平面DPA 所成二面角的平面角为θ,试确定点F 的位置，使得3cos 4θ=.19.中国职业男篮CBA 总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元.（1）求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率；（2）设总决赛中获得门票总收入为X ，求X 的数学期望()E X .20.已知1F ，2F 为椭圆E ：22184y x +=的上、下焦点，()00,P x y 为平面内一个动点，其中00x >.（1）若1232PF PF +=，求12F PF △面积的最大值；（2）记射线1F P 与椭圆E 交于()11,M x y ，射线2F P 与椭圆E 交于()22,N x y ，若21//MF NF，探求0x ，1x ，2x 之间的关系.21.已知函数()ln 1e a xx fx x a x =+--（R a ∈）.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，证明：1212eln x x a+>．（其中e 2.71828≈是自然对数的底数）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；直线:l θα=（[0,)απ∈，ρ∈R ）与曲线C 相交于,M N 两点，以极点O 为原点，极轴为x 轴的负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）记线段MN 的中点为P ，若||OP λ≤恒成立，求实数λ的取值范围.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()121f x x x =++-.（1）若()11f x m n≥+（m ，0n >）对x ∀∈R 恒成立，求m n +的最小值；（2）若()2f x ax a≥-+恒成立，求实数a的取值范围.“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第一次大联考数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2,1,0,1,2A =--,{}1,0,2A B =-ð,则B =（）A.{}2- B.{}1 C.{}2,1- D.{}2,0,2-【答案】C【分析】根据补集的性质和定义即可得出结果.【详解】解:由题知{}2,1,0,1,2A =--,{}1,0,2A B =-ð,所以(){}2,1A AB B ==-痧.故选:C2.在复平面内，复数z 与21i-对应的点关于实轴对称，则z 等于A.1i + B.1i-- C.1i-+ D.1i-【答案】D 【分析】计算得211i i=+-，根据题意可得1z i =-，即为所求．【详解】由题意得211i i=+-，∵复数z 与21i-对应的点关于实轴对称，∴1z i =-．故选D ．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，考查计算能力和理解能力，属于基础题．3.下列说法中正确的是（）A.回归直线方程为 1.230.08y x =+，则样本点的中心可以为()4,5B.采用系统抽样，从800名学生中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40C.“a b >”是“22a b >”成立的充分不必要条件D.命题p ：R x ∀∈，20x >，则p ⌝：0R x ∃∈，020x <【答案】A【分析】利用样本中心点过回归直线方程判断A ，根据系统抽样的抽样方法判读B ，取特殊值结合充分性和必要性的定义判断C ，根据全称命题的否定的判断D.【详解】因为()4,5在回归直线方程为 1.230.08y x =+上，所以样本点的中心可以为()4,5，A 正确；采用系统抽样，从800名学生中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为8002040=，B 错误；当1a =，2b =-时，a b >不能推出22a b >，C 错误；命题p ：R x ∀∈，20x >，则p ⌝：0R x ∃∈，020x ≤，D 错误；故选：A4.二项式*(1)()n x n +∈N 的展开式中3x 项的系数为10，则n =（）A.8B.6C.5D.10【答案】C【分析】写出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数为3，即可求出n 的值．【详解】由二项式*(1)()n x n +∈N 的展开式的通项1r n rr n T C x-+=得：令3n r -=，得3r n =-，则3310r n n n n C C C -===，所以(1)(2)60n n n --=，解得5n =，故选C．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．5.已知x ，()0,y ∈+∞，6124yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则xy 的最大值为（）A.92B.98 C.32D.94【答案】A【分析】依题意可得26x y +=，再利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为6124yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，即6222x y --=，所以26x y +=，又x ，()0,y ∈+∞，则()2112922222x y xy x y +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当3x =，32y =时，等号成立.故选：A6.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A.72种 B.36种 C.24种 D.18种【答案】B【分析】根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．【详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有1233339C C =⨯=，其余的分到乙村，若甲村有2外科,1名护士,则有2133339C C =⨯=，其余的分到乙村，则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，故选B.【点睛】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.7.已知圆C ：22480x y x y +-+=关于直线32220x ay --=对称，则圆C 中以,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（）A.B.C.D.【答案】D【分析】圆C ：22480x y x y +-+=关于直线32220x ay --=对称，即说明直线过圆心()2,4C -，可求出2a =，再由垂径定理即可求出弦长.【详解】圆方程配方得()()222420x y -++=，圆心()2,4C -，r =，圆C ：22480x y x y +-+=关于直线32220x ay --=对称，∴可知直线过圆心()2,4C -，即328220a ⨯+-=，解得2a =，故(),1,122a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则圆心与点()1,1-的距离的平方为10，则圆C 中以()1,1-为中点的弦长为=故选：D .8.在xOy 平面内，双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过左顶点A 且斜率为33的直线与渐近线在第一象限的交点为M ，若122MO F F =，则该双曲线的离心率是（）A.B.213C.3D.53【答案】B【分析】由222,b y x ax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩得出(),M a b ，进而由斜率公式结合离心率公式求解即可.【详解】因为1222MO F F c ==且点M 在渐近线上，由222,b y x ax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩得(),M a b ，则()033b a a -=--，233b a =，于是213e ==.故选：B9.在ABC 中,如果()cos 2cos 0B C C ++<,那么ABC 的形状为（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定【答案】D【分析】将2B C +写为()πB A +-,将C 写为()πB A -+,代入题中式子,展开化简,即可得,A B 均为锐角,但C 无法确定大小,由此选出结果.【详解】解:由题知,因为ABC 中,πA B C ++=所以()()()cos 2cos cos πcos πB C C B A B A ⎡⎤⎡⎤++=+-+-+⎣⎦⎣⎦()()cos cos B A B A =---+cos cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B A=---+2cos cos B A =-0<,故cos cos 0B A >,即,A B 均为锐角,但C 无法确定大小,故ABC 的形状不能确定.故选:D10.在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且cos cos sin sin B C Ab c C+=，则b 的值为（）A.1B.C.32D.2【答案】A【分析】根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可.【详解】解：因为cos cos sin sin B C Ab c C+=，所以，由正弦定理与余弦定理得22222222a c b a b c aabc abc c+-+-+=，化简得1b =.故选：A11.函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,1上有唯一的极大值，则ω∈（）A.13ππ,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.13ππ,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.π13π,66⎛⎤⎥⎝⎦D.13π25π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】由题知函数sin y t =在ππ,33ω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有唯一极大值，进而得ππ32π5π32ωω⎧+>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，再解不等式即可得答案.【详解】解：方法一：当[]0,1x ∈时，πππ,333t x ωω⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,1上有唯一的极大值，所以函数sin y t =在ππ,33ω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有唯一极大值，所以，ππ32π5π32ωω⎧+>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得π13π,66ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：C方法二：令ππ2π32x k ω+=+，k ∈Z ，则π2π6x k ω=+，k ∈Z ，所以，函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个极大值点为π6x ω=，第二个极大值点为13π6x ω=，因为函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,1上有唯一的极大值，所以，π1,613π1,6ωω⎧<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得π13π,66ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：C12.已知偶函数()f x 满足()()8f x f x =-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]20,20-上有且只有30个整数解，则实数a 的取值范围是（）A.1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦C.13ln 2ln 6,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.13ln 2ln 6,34⎛⎤--⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据条件可得出函数周期为8，再由题意可确定半周期(]0,4x ∈上有3个整数解，利用导数研究函数()()ln 2x f x x=的单调性，根据1,2,3为不等式整数解列出不等式求解即可.【详解】()()8f x f x =- ，()(8)f x f x ∴-=+，又函数为偶函数，()(8)f x f x ∴=+，即函数周期为8T =，因为不等式()()20f x af x +>在[]20,20-上有且只有30个整数解，所以不等式在(]0,4上恰有3个整数解，又()21ln 2x f x x -'=，可知e 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，e ,42x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，()0f x '<，所以()f x 在e 02⎛⎫⎪⎝⎭,上递增，在e,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，()()()()31ln 2234ln 204f f f f ==>>=>，所以1,2,3满足不等式，故a<0，且需()()()4,3,1,a f a f a f ⎧-≥⎪-<⎨⎪-<⎩解得13ln 2ln 6,34a ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线5e 2-=+x y 在点()0,3处的切线方程为_______.【答案】530x y +-=【分析】先求导，进而求得0x =时5y '=-，再由导数的几何意义求得切线方程即可.【详解】5e 2-=+x y ，则55e x y -=-'，当0x =时5y '=-，则在点()0,3处的切线斜率5k =-，则直线方程为53y x =-+，即530x y +-=.故答案为：530x y +-=.14.设数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，若2334n n S n T n -=+，则77a b =________.【答案】2343【分析】利用等差数列的性质与前n 项和公式求解即可.【详解】因为数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，所以()()()()121211212121222122n n n n n n n nn a a S a a n b b T b b -----+===-+，所以713713213323313443a Sb T ⨯-===⨯+.故答案为：2343.15.点A ，B 是抛物线C ：()220y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB ∠=︒，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则AB d的最小值为________.【分析】由抛物线几何性质可得()12d AF BF =+，再由余弦定理和基本不等式可得.【详解】在ABF △中，()22222cos120AB AF BF AF BF AF BFAF BF=+-⋅︒=+-⋅()()222324AF BF AF BF AF BF ⎛⎫+≥+-=+ ⎪⎝⎭，()12d AF BF =+易得ABd≥，当且仅当AF BF =时等号成立.16.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π4，当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的体积为________.【答案】82π3【分析】根据线面角的定义得出M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，再由三棱锥P ABM -的体积最小，确定点M 位于F ，进而由长方体外接球模型结合体积公式求解.【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，所以PMA ∠即为直线PM 与平面ABCD 所成的角，所以4PMA π∠=.因为2AP =，所以2AM =，如图，易知M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，记点M 的轨迹为圆弧EF .连接AF ，当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，由长方体外接球模型可知，三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点，此外接球的体积334π4π2282π32323PF V ⎛⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭｜｜.故答案为：82π3三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.数列{}n a 为正项数列，14a =，且对n *∀∈N ，都有22112n n n n a a a a ++-=；（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2211log log n n n b a a -=⋅，n T 为数列{}n b 的前项和，求证：1n T <【答案】（1）12n n a +=；（2）证明见解析.【分析】(1)将已知条件因式分解后化简得12n n a a +=,即数列为等比数列,由此求得数列的通项公式.(2)利用裂项求和法求得数列n b 的前n 项和,由此证得1n T <.【小问1详解】由221120n n n n a a a a ++--=，得()()1120n n n n a a a a ++-+=，而数列{}n a 为正项数列，所以12n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，首项为4，公比为2，12n n a +∴=；【小问2详解】22111log log (1)n n n b a a n n -==⋅+，所以()11111n b n n n n ==-++，1111111122311n T n n n ∴=-+-+⋯⋯+-=-++，又n *∈N ，101n >+，∴1111n T n =-<+.18.如图,在棱锥P ABCD -中，底面ABCD是正方形，2,120,AD PD PA PDC ===∠=︒点E 为线段PC 的中点,点F 在线段AB 上.（1）若12AF =,求证：CD EF ⊥；（2）设平面DEF 与平面DPA 所成二面角的平面角为θ,试确定点F的位置，使得cos 4θ=.【答案】（1）证明见解析；（2）43AF =时,满足4cos 3θ=.【详解】试题分析：（1）由题意，根据几何体的结构特征证明CD FH ⊥、CD EH ⊥，即可证得CD ⊥平面EFH ，从而得到CD EF ⊥；（2）以D 为原点,以,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴,建立如图所示空间直角坐标系，求出平面DEF 与平面DPA 的法向量，利用法向量求解．试题解析：（1）在PCD 中,2PD CD ==,E 为PC 的中点,DE ∴平分,60PDC PDE ∠∠=︒,∴在Rt PDE 中,·cos601DE PD =︒=,过E 作EH CD ⊥于H ,则12DH =,连结FH,因为AF =12,所以CD FH ⊥，又,,CD EH FH EH H CD ⊥⋂=∴⊥平面EFH ,又EF ⊂平面EFH ,CD EF ∴⊥.（2）2,AD PD PA AD PD ===∴⊥ ,又,AD DC AD ⊥∴⊥平面PCD ,又AD ⊂平面ABCD ,∴平面PCD ⊥平面ABCD .过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ,则由平面PCD ⊥平面ABCD 知,DG ⊥平面ABCD ,故,,DA DC DG 两两垂直，以D 为原点,以,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -,则()()()(2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,A B C P -,又知E 为PC 的中点,10,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,设()2,,0F t ,则()130,,,2,,022DE DF t ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,(()0,,2,0,0DP DA =-= ,设平面DEF 的法向量为()111,,n x y z =r,则1111100{,{22020n DE y z n DF x ty ⋅=+=∴⋅=+= ,取12z =-,可求得平面DEF的一个法向量(),2n =-,设平面ADP 的法向量为()222,,m x y z =,则22200{,{200m DP y x m DA ⋅=-=∴=⋅=,取()m =.cos cos ,4m n θ∴===,解得43t =,∴当43AF =时,满足3cos 4θ=.考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解．19.中国职业男篮CBA 总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元.（1）求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率；（2）设总决赛中获得门票总收入为X ，求X 的数学期望()E X .【答案】（1）14（2）3775【分析】（1）构造等差数列，求得比赛场次，再利用概率公式即可求得结果；（2）由已知可得2200,3000,3900,4900X =，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望()E X .【小问1详解】依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为400，公差为100的等差数列.设此数列为{}n a ，则易知1400a =，100300n a n =+，所以()10070030002n n n S +==.解得5n =或12n =-（舍去），所以此决赛共比赛了5场.则前4场比赛的比分必为1:3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为43411C 24⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率为14.【小问2详解】随机变量X 可取的值为4S ，5S ，6S ，7S ，即2200，3000，3900，4900，()4112200228P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()434113000C 24P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，()535153900C 216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()636154900C 216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X2200300039004900P 1814516516所以()1155 22003000390049003775 841616E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.20.已知1F，2F为椭圆E：221 84y x+=的上、下焦点，()00,P x y为平面内一个动点，其中x>.（1）若12PF PF+=，求12F PF△面积的最大值；（2）记射线1F P与椭圆E交于()11,M x y，射线2F P与椭圆E交于()22,N x y，若21//MF NF，探求0x，1x，2x 之间的关系.【答案】（1（2）012111x x x=+【分析】(1)先根据椭圆定义得出椭圆方程,在根据0x的范围求出面积的最大值;(2)分别设出两个射线2F N和1F M,再联立方程结合向量平行得出0x，1x，2x之间的关系.【小问1详解】由题可知椭圆E：22184y x+=的上、下焦点()()120,2,0,2F F-，又因为12PF PF+=所以222,2a c b===,则点()00,P x y为椭圆2219122y x+=上一点，且202x≥>，则121201124222F PFS F F x=⋅⋅≤⨯⨯=△，于是12F PF△.【小问2详解】射线2F N的方程为()22220yy x xx+=-≥，射线1F M的方程为()11220yy x xx-=+≥，联立221122,22,yy xxyy xx+⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩解得()21211212224y x x y x xxx x-++=，①又21//MF NF ，则12212112122222y y y x x y x x x x +-=⇔-=+，②将②代入①，得012111x x x =+.21.已知函数()ln 1e a xx fx x a x =+--（R a ∈）.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，证明：1212eln x x a+>．（其中e 2.71828≈是自然对数的底数）【答案】（1）()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减；（2）证明见解析.【分析】（1）通过对函数求导，利用导数来研究函数的单调性.（2）利用导数，通过构造函数，研究函数的单调性以及最值，再结合对数均值不等式、不等式放缩进行证明.【小问1详解】已知函数()ln 1e a xx fx x a x =+--，定义域为()0,∞+，当1a =时，()ln 1e xx f x x x =+--，得()()111ex f x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，所以当01x <<时，()0f x ¢>，当1x >时，()0f x '<，因此()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减.【小问2详解】先证明122x x a+>，已知函数()ln 1e a xx fx x a x =+--，定义域为()0,∞+，所以()()111eaxf x ax x ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增，不满足题意；当0a >，可知()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞，若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，不妨设21x x >，则11ln 20ef a a a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，即1111ln 20e f a a a ⎛⎫=⋅+->⎪⎝⎭，令1ln 2e ()h x x x ⋅+-=，则110e ()x x h +'>=，所以1ln 2e()h x x x ⋅+-=在()0,∞+上单调递增，又(e)0h =，所以由1111ln 20e f a a a ⎛⎫=⋅+->⎪⎝⎭，解得10e a <<，所以1210x x a <<<，因为()()ln ln 1e ln 1ex ax ax xf x x ax x ax -=+--=+--，设ln t x ax =-，则由于()e 1tg t t =+-单调递增，则1122ln ln x ax x ax -=-，即()1212ln ln x x a x x -=-，12121ln ln x x x x a-=-，利用对数均值不等式有1212121ln ln 2x x x x x x a -+=<-，可证得122x x a+>.所以要证明1212elnx x a +>，只要证明22e ln 0a a+>.设()22e ln a a a ϕ=+（10ea <<），则()2212e 22e e 0a a a a a ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<，所以()a ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则()10e a ϕϕ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.因此有1212eln x x a+>.对数均值不等式ln ln 2a b a ba b -+<-证明如下：不妨设0a b >>，要证ln ln 2a b a b a b -+<-，即证112ln a ab b a b-+<，令1a m b =>，即证11ln 2m m m -+<，即2(1)ln 1m m m -<+，即证：2(1)ln 01m m m -->+，令2(1)()ln 1m h m m m -=-+，则22214(1)()0(1)(1)m m m m m h m '-=-=>++，所以2(1)()ln 1m h m m m -=-+在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0h m h >=，所以ln ln 2a b a ba b -+<-结论得证.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；直线:l θα=（[0,)απ∈，ρ∈R ）与曲线C 相交于,M N 两点，以极点O 为原点，极轴为x 轴的负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）记线段MN 的中点为P ，若||OP λ≤恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）2cos 24πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（2）)+∞.【详解】试题分析：（1）对曲线C 的参数方程消参得()()222112x y ++-=，再根据x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，进而可得曲线C 的极坐标方程；（2）联立θα=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得()22cos sin 20ρραα+--=，设()1,M ρα、()2,N ρα，可得()122sin cos 4πρρααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，根据122OP ρρ+=，求得OP 的最大值，从而可得实数λ的取值范围.试题解析：(1)∵曲线C 的参数方程为1212x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），∴所求方程为()()222112x y ++-=∵x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩∴22cos 2sin 2ρρθρθ+-=∴曲线C 的极坐标方程为2cos 24πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.(2)联立θα=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得()22cos sin 20ρραα+--=，设()1,M ρα、()2,N ρα，则()122sin cos 4πρρααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，由122OP ρρ+=，得4OP πα⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭，当34πα=时，OP λ的取值范围为)+∞.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()121f x x x =++-.（1）若()11f x m n≥+（m ，0n >）对x ∀∈R 恒成立，求m n +的最小值；（2）若()2f x ax a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）83（2）73,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)去掉绝对值符号，画出函数()y f x =的图像,可知函数的最小值为32，利用函数的最小值转化，再结合基本不等式求解即可；(2)由不等式()2f x ax a ≥-+构造新函数()()212g x ax a a x =-+=+-，可知函数()g x 恒过定点()1,2--，再利用函数的图像求解即可.【小问1详解】由题可得，()3,111212,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=++-=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，函数()f x的图像如下如图所示，()min 32f x =，则1132m n +≤，即32m n mn +≤，0,0m n >> ，可得233222m n m n mn +⎫⎛+≤≤⎪⎝⎭，于是83m n +≥，当且仅当43m n ==时，等号成立，故m n +的最小值为83.【小问2详解】令()()212g x ax a a x =-+=+-，则()g x 是恒过点()1,2--，斜率为a 的直线，由()()f x g x ≥恒成立，则表示函数()y f x =图像恒在函数()y g x =图像上方，当()g x 过点13,22⎛⎫⎪⎝⎭时，73a =，结合图像分析可得，733a -≤≤，故73,3a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.。
高三理科联考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. f(x) = √(x+1)B. f(x) = 1/xC. f(x) = |x|D. f(x) = log2(x)2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)的图像关于点(2, -1)对称，则下列说法正确的是（）A. f(0) = -1B. f(1) = -1C. f(3) = -1D. f(4) = -13. 已知数列{an}是等差数列，若a1 + a5 = 8，a2 + a4 = 12，则a3的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 94. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的取值范围是（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限5. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是（）A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 4)D. (4, 3)6. 若等比数列{an}的前n项和为S_n，公比为q，首项为a_1，则S_n的表达式为（）A. S_n = a_1(1 - q^n)/(1 - q)B. S_n = a_1q^n - 1C. S_n = a_1(1 - q^n)/(q - 1)D. S_n = a_1(1 - q)/(1 - q^n)7. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1在x = 1处取得极值，则f(1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 28. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 5，b = 6，c = 7，则角A的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9. 已知数列{an}满足a_1 = 1，a_n = a_{n-1} + a_{n-2}，则数列{an}的前n项和S_n为（）A. S_n = 2^n - 1B. S_n = 2^n + 1C. S_n = 2^{n-1} - 1D. S_n = 2^{n-1} + 110. 若直线y = kx + b与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4相切，则k和b的关系为（）A. k^2 + b^2 = 1B. k^2 + b^2 = 4C. k^2 + b^2 = 9D. k^2 + b^2 = 16二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期3月大联考理科数学试题(高频考点版)
一、单选题1. 函数在的图象大致为（ ）A．B．C．D．2. 已知点，，则线段AB 的垂直平分线方程为（ ）A．B．C．D．3. 已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）A．的最小值为B．在区间上单调递增C．的最小正周期为D．的图象可由的图象向右平移个单位得到4. 设，，，则（ ）A．B．C．D．5.设函数若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 （ ）A．B．C．D．6. 已知为奇函数，则在处的切线方程为（ ）A．B．C．D．7. 提丢斯一波得定则，简称“波得定律”，是表示各行星与太阳平均距离的一种经验规则.它是在1766年德国的一位中学教师戴维·提丢斯发现的.后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个如下经验公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1，若某行星的编号为n ，则该行星到太阳的平均距离表示为，那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于（ ）行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星编号12345678公式推得值0.71 1.6 2.8 5.21019.638.8实测值0.721 1.522.9 5.29.5419.1830.06A．B．C．D．河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期3月大联考理科数学试题(高频考点版)河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期3月大联考理科数学试题(高频考点版)二、多选题三、填空题四、解答题8. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．9. 已知线段BC 的长度为4，线段AB 的长度为，点D ,G 满足，，且点在直线AB 上，若以BC 所在直线为轴，BC 的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（ ）A ．当时，点的轨迹为圆B ．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为C ．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为D ．当时，面积的最大值为310. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）A．函数的最小正周期为B．函数的图象是轴对称图形C．函数的最大值为D．函数的最小值为11. 已知焦点在轴上的椭圆过点且离心率为，则（ ）A．椭圆的标准方程为B．椭圆经过点C ．椭圆与双曲线的焦点相同D ．直线与椭圆恒有交点12. 某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A ．该次数学史知识测试及格率超过90%B ．该次数学史知识测试得满分的同学有15名C ．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D ．若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名13. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为______．14. 若a 、b 为实数，且，函数在闭区间上的最大值和最小值的差为1，则的取值范围是______．15. 若函数，为偶函数，则实数 ．16. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，．(1)若，求A ；(2)若的面积，求c ．17. 已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD =2AB，PA⊥平面ABCD，E为线段BC上一点.且平面PDE将四棱锥P - ABCD分成体积比为3：1的两部分.（1）求证：平面PDE⊥平面PAE；（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角的大小.18. (1)若不等式成立的充分不必要条件为，求实数的取值范围．(2)已知是正数，且，求证：．19. 在△ABC中，，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，条件①：；条件②：注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．求：(1)；(2)AC边上的高．20. 已知函数.(1)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围；(2)设的导数的图象为曲线C，曲线C上的不同两点，所在直线的斜率为k，求证：当时，.21. 已知函数.（1）讨论函数的极值；（2）记关于的方程的两根分别为，求证：.。
陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考理科数学试题(含答案解析)
陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考理科数学试题(含答案解析)陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考理科数学试题(含答案解析)一、选择题1.设函数 f(x) = x^2 + bx + c，若对任意实数 a 有 f(a) + f(-a) = 2，则b +c 的值为多少？答案解析:根据题目中的条件，我们有 f(a) + f(-a) = 2，将 f(x) = x^2 + bx + c 代入得到 (a^2 + ba + c) + ((-a)^2 -ba + c) = 2。
化简得到 2(a^2 + c) = 2，即a^2 + c = 1。
由于此式对任意实数 a 成立，所以 c 只能等于 1。
又根据 f(x) = x^2 + bx + c，将 c 替换为 1，得到 f(x) = x^2 + bx + 1。
根据 f(a) + f(-a) = 2，代入 f(x) 得到 a^2 + ba + 1 + a^2 - ba + 1 = 2。
化简得到 2a^2 + 2 = 2，即 a^2 = 0。
解得 a = 0。
根据 f(a) + f(-a) = 2，代入 a = 0 得到 f(0) + f(0) = 2，化简得到 2 = 2。
所以对于 a = 0，原式成立。
由于 b + c = b + 1，且已知 c = 1，所以 b + c = b + 1 = 0 + 1 = 1。
因此，b + c 的值为 1。
2.在等差数列 {an} 中，已知 a1 = 1，d = 3，且 an + a_n+2 = 14，求a2 和 a3 的值。
答案解析:设等差数列的公差为 d，首项为 a1。
已知 an + a_n+2 = 14，代入等差数列的通项公式得到 a1 + (n-1)d +a1 + (n+1-1)d = 14。
化简得到 2a1 + 2nd = 14，再代入已知条件 a1 = 1，d = 3，得到 2 +6n = 14。
2024学年天一大联盟高三数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析
2024学年天一大联盟高三数学第一学期期末达标检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．1542．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 3．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=4．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（ ） A ．2()1f x x =+B ．727)2(f x x x =+-，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x-+= 5．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>6．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==+，则UAB =( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞7．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．8．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020219．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A ．52B ．23C ．8D ．8311．若2m ＞2n ＞1，则（ ） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n ＞1 C ．ln （m ﹣n ）＞0D ．1122log m log n ＞12．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 等比数列{a n }的前n 项和S n =a •2n +1（n ∈N*），其中a 是常数，则a =（ ）A．B．C ．1D ．22. 复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC的重心，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 已知的展开式中的系数为，则实数（ ）A ．2B．C ．1D．5. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）①若，，且，则； ②若，，且，则；③若，，且，则； ④若，，且，则：A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．③④6. 已知曲线在，，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为（ ）A ．1B ．2C．D．7. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．8. 在中，，为的中点，则A．B．C．D．9. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，，其短轴上的一个端点到的距离为，点在椭圆上，直线，则（ ）A ．直线与蒙日圆相切B．椭圆的蒙日圆方程为C．若点是椭圆的蒙日圆上的动点，过点作椭圆的两条切线，分别交蒙日圆于两点，则的长恒为4D ．记点到直线的距离为，则的最小值为10. 已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）A ．为单调递增数列B．C．，，成等比数列D．11. 在如图所示的平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于，两点.则（ ）陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(2)陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(2)三、填空题四、解答题A ．若A 点的横坐标为，点的纵坐标为，则B．C．D ．以，，为三边构成的三角形的外接圆的面积为12. 数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，其中满足关系式：，则（ ）A．B ．数据的平均数为C ．若数据，则D ．若，数据不全相等，则样本点的成对样本数据的样本相关系数为13. 如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以的速度匀速行驶，在处测得马路右侧的一座高塔的仰角为，行驶5分钟后，到达处，测得高塔的仰角为，其中为高塔的底部，且在同一水平面上，则高塔的高度是___________.（塔底大小､汽车的高度及大小忽略不计）14. 已知直线和直线平行，则实数的值为____________.15.已知数列中，，且，则其前项的和__________．16. 在斜三棱柱中，△ABC 是边长为2的正三角形，侧棱，顶点 在面ABC 的射影为BC 边的中点O .(1)求证：面⊥面(2)求面ABC与面所成锐二面角的余弦值.17. 已知函数，且.（1）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；（2）当时，求函数的最小值；（3）在（1）的条件下，若与的图像存在三个交点，求的取值范围.18.如图所示，在四棱锥中，平面，，四边形为梯形，，，，，，，点在上，满足.(1)求证：平面平面；(2)若点为的中点，求平面与平面所成角的余弦值.19. 已知等差数列中，前项和为，，为等比数列且各项均为正数，，且满足，.(1)求与；(2)设，，求的前项和.20. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，求．21. △ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量、满足，，．(1)求A；(2)若，，求△ABC的面积．。
陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考理科数学试题(3)
一、单选题二、多选题1.双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（ ）A．B．C．D．2. 在下列集合中，是其真子集的是（ ）A．B．C．D．3. 已知，则（ ）A．B．C．D．4. 已知是两个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，则D ．若，则5. 已知集合，，则的元素个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6. 已知向量，，若，则（ ）A．B．C．D．7. 已知为奇函数，当时，，则（ ）A．B．C．D．8. 若是两个不同的平面，l ，m ，n是三条不同的直线，则成立的充分不必要条件是（ ）A．B．C．D．9. 已知函数是偶函数，其中，则下列关于函数的正确描述是（ ）A．在区间上的最小值为B．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到C ．点是的图象的一个对称中心；D ．是的一个单调递增区间.10. 已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）A．B．C．D ．若，则11. 在公差不为零的等差数列中，已知其前项和为，且等比数列，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考理科数学试题(3)陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考理科数学试题(3)三、填空题四、解答题D ．设数列的前项和为，则12. 如图，已知在棱长为1的正方体中，M ，N 分别为线段和上的动点，则下列结论正确的是（）A ．MN 与AB 为异面直线B．C．三棱锥体积的最大值为D ．当N为的中点时，线段MN长度的最小值为13. 如图，在中，，在直角梯形中，，，记二面角的大小为，若，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______．14.若，则_________.15.设函数，，（，n ≥2）．设数列的前n 项和，则的最小值为______．16. 如图，四边形为正方形，平面，为等腰三角形，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.17. 记的内角，，的对边分别是，，，已知.(1)求；(2)若，，求的面积.18. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，点是的中点，．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．19. 在平面直角坐标系xOy 中，直线，点，M 是动点，过点M 作于点H，若(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点F 分别作两条互相垂直的直线与（1）中的曲线C 分别交于A ，B 与P ，Q ，记△AFP ，△BFQ的面积分别为，，求的最小值.20. 已知中，角所对的边分别为.(1)求；(2)设是边上的点，且满足，求内切圆的半径.21. 已知圆心在轴上的圆与直线切于点.（1）求圆的标准方程；（2）已知(2，1)，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于、①求证：为定值；②求的最大值.。
陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(3)
一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 若，则（ ）A．B．C．D．2.等比数列的前项和为，若，，，，则（ ）A．B．C．D．3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是A．B．C．D．4. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，的外接圆半径为2.则（ ）A．B ．2C．D ．45. 平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或6. 已知函数＝的值域为R ，则实数a 的取值范围是A．B．C．D．7. 已知数列，满足：，，，则下列命题为真命题的是（ ）A ．数列单调递增B ．数列单调递增C ．数列单调递增D ．数列从某项以后单调递增8. 已知直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为1，，O 是坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）A ．直线l的方程为B ．过点O 且与直线l平行的直线方程为C ．若点到直线l 的距离为，则D ．点O 关于直线l对称的点为9. 设是定义在上周期为4的偶函数，且当时，，则函数在上的解析式为__________.10.设复数，在复平面内的对应点分别为，若点与关于实轴对称，且，则___________.11. M 是抛物线上一点，N 是圆C：关于直线x －y ＋1＝0的对称圆上的一点，则的最小值是______．12. 已知，，，则______．13.已知圆的方程为：.（1）求实数的取值范围；（2）若直线与圆相切，求实数的值.14. 对于问题“已知正实数x 、y 满足，求的最小值”，申辉中学的小刚给出了一个解答：陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(3)陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(3)因为，所以的最小值为．问：他的解答过程是否正确？判断并说明理由．15. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆C交于P，Q两点，若的周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）动直线交椭圆于，两点，交轴于点．点是关于的对称点，的半径为．设为的中点，，与分别相切于点，，求的最小值.16. 甲、乙二人各有6张扑克牌,每人都是3张红心,2张草花,1张方片.每次两人从自己的6张牌中任意抽取一张进行比较,规定:两人花色相同时甲胜,花色不同时乙胜.(1)此规定是否公平?为什么?(2)若又规定:当甲取红心、草花、方片而获胜所得的分数分别为3,2,1,否则得0分,求甲得分的均值.。
华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 展开式中常数项为（ ）A ．28B．C ．7D．2. 已知，，则（ ）A ．-7B．C．D ．73. 已知，当时，在下列四式中与相等的是（ ）A．B．C．D．4.函数的定义域是（ ）A．B．C．D．5. 正方体的棱长为1，E 、F 、G 分别为BC ，，的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是（）①点C 与点B 到平面AEF 的距离相等； ②直线与平面AEF 平行；③平面AEF 截正方体所得的截面面积为； ④直线与直线EF 所成的角的余弦值为.A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②③④6. 已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为A．B．C．D．7. 已知，，，则下列判断正确的是（ ）A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c 8. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，，为锐角，那么角的比值为A．B．C．D．9. 已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（ ）A．的实轴长为6B．的渐近线为C．的最小值为华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题三、填空题四、解答题D．的最小值为10.已知点，为不同的两点，直线，，为不同的三条直线，平面，为不同的两个平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，，则B．若，，则C ．若，，，，则D ．若，，，，则直线11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）A．B．C．D．12. 月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历是以月相变化为依据.人们根据长时间的观测，统计了月亮出来的时间y （简称“月出时间”，单位：小时）与天数x （x 为阴历日数，，且）的有关数据，如下表，并且根据表中数据，求得y 关于x的线性回归方程为.x247101522y1224其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天（即23日）才升起.则（ ）A．样本点的中心为B．C ．预报月出时间为16时的那天是阴历13日D ．预报阴历27日的月出时间为阴历28日早上13.若数列满足递推公式，且，，则________．14. 同一平面内的两个不平行的单位向量，，在上的投影向量为，则________．15. 3D 打印又称增材制造，是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术为了培养青少年的创新意识和应用技能，某学校成立了3D 打印社团，学生们设计了一种几何体，其三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），如果这种打印原料的密度为，不考虑打印消耗，则制作该模型所需原料的质量约为_______g ．（取3.14）16.今年两会期间，国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣．某中学体育组对高二的名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数记为整数）．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组．(1)第一小组决定从单次完成个引体向上的男生中，按照分层抽样抽取人进行全面的体能测试，从这人中抽取人进行个别访谈，求恰有一人单次能完成个引体向上的概率；(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，发现这人中，体育优秀的学生占总人数的，双优学生（体育与学业都优秀）占总人数的，体育成绩不优秀的学生中，学业优秀与学业不优秀之比为．请你完成联表并判断是否有的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？学业优秀学业不优秀总计体育成绩不优秀体育成绩优秀总计参考公式：独立性检验统计量，其中．下面的临界值表供参考：17. 已知函数，.（1）当时，求函数的最大值；（2）设，当，且，求证：.18. 如图，在三棱柱中，，.(1)证明：；(2)若，求二面角的余弦值.19. 已知中，，，.(1)求AC；(2)若D为BC边上一点，给出三种数值方案：①；②；③.判断上述三种方案所对应的的个数（不需说明理由），并求三种方案中，当唯一时BD的长.20. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，E是的中点，且．(1)证明：平面．(2)若，且，求四棱锥的体积．21. 已知抛物线()的焦点为，点在上，且.（1）求的方程；（2）过点作两条直线，，分别交于点，，若以线段为直径的圆过点，试讨论直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.。
高三数学试卷理科九师联盟
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 1的图像与x轴相交于A、B两点，且A点在B点左侧，则AB线段的中点坐标为（）A. (1, 0)B. (0, 1)C. (0, -1)D. (-1, 0)2. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列的前10项之和S10为（）A. 145B. 150C. 155D. 1603. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/54. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则Sn的值等于（）A. 3n^2 - nB. 3n^2 + nC. 3n^2 - 2nD. 3n^2 + 2n5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得极值，则a + b + c的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 26. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则圆心坐标为（）A. (2, 3)B. (2, -3)C. (-2, 3)D. (-2, -3)7. 若函数f(x) = e^x + ln(x + 1)在x = 0时取得最小值，则f(x)的导数f'(x)等于（）A. e^x + 1/xB. e^x - 1/xC. e^x + 1D. e^x - 18. 若复数z = a + bi（a，b∈R），且|z| = 1，则复数z的实部a与虚部b的关系为（）A. a^2 + b^2 = 1B. a^2 - b^2 = 1C. a^2 + b^2 = 0D. a^2 - b^2 = 09. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 若直线l：2x - 3y + 6 = 0与圆C：x^2 + y^2 = 4相交于A、B两点，则线段AB的中点坐标为（）A. (1, 1)B. (2, 1)C. (1, 2)D. (2, 2)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3在x = 2时取得最大值，则f(x)的最大值为______。
华大新高考联盟(全国卷)2023届高三上学期11月教学质量测评理科数学试题
一、单选题二、多选题1.已知全集，集合A ＝,则集合C u A 等于A．B．C．D．2. 顶点在原点，准线与x轴垂直，且经过点的抛物线方程是（ ）A．B．C．D．3. 某校为落实“双减”政策；在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲､乙､丙､丁四名同学拟参加篮球､足球､乒乓球､羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（ ）A．B．C．D．4. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点和上顶点分别为，，，直线与椭圆的另一个交点为．若内切圆的面积为，则等于（ ）A．B．C．D．5. 已知函数，则的图象大致为（ ）.A． B．C． D．6. 已知等差数列的首项，公差，则（ ）A．B．C．D．7. 若向量，，，则等于（ ）A．B．C．D．8. 将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成5组：，并整理得到频率分布直方图（如图所示）．现按成绩运用分层抽样的方法抽取100位同学进行学习方法的问卷调查，则成绩在区间内应抽取的人数为（）A ．10B ．20C ．30D ．359. 对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到如下列联表：优秀不优秀总计华大新高考联盟（全国卷）2023届高三上学期11月教学质量测评理科数学试题华大新高考联盟（全国卷）2023届高三上学期11月教学质量测评理科数学试题三、填空题四、解答题甲班10b 乙班c30总计已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法不正确的是（ ）.A ．列联表中c 的值为30，b 的值是35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．有95%的把握认为成绩优秀与班级有关系D ．没有95%的把握认为成绩优秀与班级有关系10. 已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（ ）A．B．C．D．11. 已知事件，，，且，，则下列结论正确的是（ ）A ．如果，那么B ．如果与互斥，那么，C ．如果，那么，D ．如果与相互独立，那么，12.已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，是棱上的一点，则（ ）A．直线始终与直线垂直B．存在点，使得直线与平面平行C．当是棱的中点时，直线与所成角的余弦值为D．当是棱的中点时，点与点到平面的距离相等13.已知三棱锥面，在底面中，，，则此三棱锥的外接球的表面积为__________.14. 某人随机播放甲、乙、丙、丁首歌曲中的首，则甲、乙首歌曲至少有首被播放的概率是__________．15.已知双曲线以两坐标轴为对称轴，且它的一个顶点为，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为________．16. 已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）若，，有，求实数的取值范围.17. 已知函数，．（1）求函数的极值；（2）当时，证明：．18. 如图甲，已知四边形ABCD 是直角梯形，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，且满足，，，．将四边形CDEF 沿EF 翻折，使得C ，D 分别到，的位置，并且，如图乙．(1)求证：；(2)求点E到平面的距离．19.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若，求取值的集合.20. 某核酸检测机构为了提高核酸检测效率，对核酸检测设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：小时）数据，整理如下：改造前：141，140，146，127，147，159，136，162，140，126，178，134，125，139，121，178，128，138，129，142；改造后：145，136，127，148，156，172，169，121，172，182，181，124，147，181，140，175，156，132，115，137.(1)完成下面的列联表，并判是否有90%以上的把握认为判断技术改造前后的连续正常运行时间有差异?技术改造设备连续正常运行小时合计超过144不超过144改造前改造后合计(2)核酸检测机构的检测设备的运行需要进行维护，核酸检测机构对检测设备的维护费用包括正常维护费和额外维护费两种，对检测设备设定维护周期为144小时（开机运行144小时内检测一次）进行维护，检测设备在一个月内（720小时）设5个维护周期，每个维护周期相互独立在一个维护周期内，若检测设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生额外维护费；若检测设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生额外维护费，经测算，正常维护费为0.56万元/次，额外维护费第一次为0.22万元/周期，此后每增加一次则额外维护费增加0.22万元.已知检测设备在技术改造后一个周期内能连续正常运行的概率为，求一个月内维护费的分布列及均值.0.100.050.0100.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828（其中）21. 已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.(1)求双曲线的方程(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.。
华大新高考联盟(全国卷)2023届高三上学期11月教学质量测评理科数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 某校银杏大道上共有20盏路灯排成一列，为了节约用电，学校打算关掉3盏路灯，头尾两盏路灯不能关闭，关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，则不同的方案种数是（ ）A ．324B ．364C ．560D ．6802. 若函数在上单调递增，则实数a 的取值范围( )A．B．C．D．3.已知向量满足，，，则（ ）A．B．C．D．4. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 像2，3，5，7这样只能被1和它自己整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，，则利用此公式求出不超过10000的素数约有（）（ ）A ．1085个B ．1025个C ．980个D ．860个6. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的每日平均温度均不低于.现有甲､乙､丙三地连续5天的每日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.其中肯定进入夏季的地区有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③7. 已知角的终边经过点，则角的正弦值为（ ）A．B．C．D．8. 已知m ，n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的为（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，，则D ．若，，，则9. 已知是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）A．B．C ．是奇函数D ．若，则10. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，令，则下列结论中正确的是（ ）A．B ．的最大值为C ．的最小值为1D ．当时，11.已知函数的定义域为，为奇函数，，，且在上单调递减，则（ ）A．B．华大新高考联盟（全国卷）2023届高三上学期11月教学质量测评理科数学试题(1)华大新高考联盟（全国卷）2023届高三上学期11月教学质量测评理科数学试题(1)三、填空题四、解答题C ．在上单调递减D ．在上有50个零点12. 若，则（ ）A．B．C．D．13. 函数的反函数是__________14.在平行四边形中，，现将沿折起，使异面直线与所成角为，且为锐角，则折后三棱锥外接球的表面积为_________．15. 已知，，则的值为___________.16.已知函数().（1）若函数是定义在上的奇函数，求的值；（2）当时，，求实数的取值范围.17. “五项管理”（中小学生作业､睡眠､手机､读物､体质五个方面的管理）是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康､全面发展的重大举措.为了解家长对“五项管理”的认知情况，某机构对该市800名在校学生的家长（不同学历）进行了问卷调查，结果如下：家长学历小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解30254525241了解457018514018030(1)完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为家长是否了解“五项管理”与学历有关；高中及高中以下学历高中以上学历合计不了解了解合计(2)若从被调查的高中及高中以下学历的家长中，按对“五项管理”的认知情况采用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对“五项管理”了解的概率.附：，其中0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.已知数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入n 个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．19. 为了检测产品质量，某企业从甲、乙两条生产线上分别抽取件产品作为样本，检测其质量指标值，质量指标值的范围为.根据该产品的质量标准，规定质量指标值在内的产品为“优等品”，否则为“非优等品”.抽样统计后得到的数据如下：质量指标值甲生产线生产的产品数量乙生产线生产的产品数量(1)填写下面的列联表，计算，并判断能否有的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关；优等品非优等品合计甲生产线生产的产品数量乙生产线生产的产品数量合计(2)由于样本中来自乙生产线“非优等品”的个数多于来自甲生产线的，为找出原因，该厂质量控制部门在抽出的“非优等品”中，按甲、乙生产线采用分层抽样的方法抽出件产品，然后再从中随机抽出件产品进行全面分析，求其中至少有件是乙生产线生产的产品的概率.附：，.k20. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率为，P为椭圆C上一点（除左、右顶点），直线PF₁，PF₂与椭圆C的另一个交点分别为A，B，且，，当m=1时，．(1)求椭圆C标准方程；(2)试判断是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由．21.已知椭圆的短轴长为，其离心率为，已知双曲线的渐近线方程为，其离心率为，且.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知椭圆C的左焦点为F，过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆相交于A，B两点，线段的中垂线分别交x轴､y轴于M，N两点，求的取值范围.。
2023届陕西省联盟学校高三下学期第三次大联考理科数学试卷(word版)
2023届陕西省联盟学校高三下学期第三次大联考理科数学试卷(word版)一、单选题(★★) 1. 已知集合则（）A．M∪N=R B．M∪N={x|-3≤x<4}C．M∩N={x|-2≤x≤4}D．M∩N={x|-2≤x<4}(★★) 2. 已知复数满足，在复平面内对应的点在第二象限，则（）A．B．C．D．(★) 3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（）A．0.495%B．0.9405%C．0.99%D．0.9995%(★★) 4. 已知等比数列的前2项和为，则（）A．1B．C．D．(★★★) 5. 已知p：，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 6. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为（）A．B．2C．3D．(★★★) 7. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于的概率为（）A．B．C．D．(★★) 8. 已知命题：“若直线平面，平面平面，则直线平面”，命题：“棱长为的正四面体的外接球表面积是”，则以下命题为真命题的是（）A．B．C．D．(★★★) 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为，过点且与平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．(★★) 10. 设，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知定点，直线：与抛物线交于两点A，B，若，则( )A．4B．6C．8D．10二、多选题(★★★★★) 12. 已知函数是偶函数，且．当时，，则下列说法正确的是（）A．是奇函数B．在区间上有且只有一个零点C．在上单调递增D．区间上有且只有一个极值点三、填空题(★★) 13. 已知，则与的夹角为 __________ .(★★) 14. 的展开式中项的系数为 ___________ .(★★★) 15. 如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则与所成角的正切值为 ______ ．(★★★) 16. 已知数列的前n项和，设为数列的前n项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ________ ．四、解答题(★★★) 17. 在中，已知.(1)求角的值；(2)求边长的值.(★★★★) 18. 如图，四棱锥中，，且，直线与平面的所成角为分别是和的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.(★★★) 19. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~ N（17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N（μ，2），则P（μ- ≤X≤μ+ ≈0.6827，P（μ-2 ≤X≤μ+2 ）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.15865 3≈0.004．(★★★) 20. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴，菱形的周长为，面积为，椭圆的焦距大于短轴长．(1)求椭圆的方程；(2)若是椭圆内的一点（不在的轴上），过点作直线交于两点，且点为的中点，椭圆的离心率为，点也在上，求证：直线与相切．(★★★★) 21. 已知函数，其中为实数，为自然对数底数，．(1)已知函数，，求实数取值的集合(2)已知函数有两个不同极值点、．①求实数的取值范围②证明：．(★★★)22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)设射线和射线分别与曲线交于、两点，求面积的最大值.(★★★) 23. 设均不为零，且．(1)证明：；(2)求的最小值．。
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坐标系与参数方程专题复习
学号： 班级： 姓名：
1、在极坐标系中，已知三点(0,0),(2,
),(22,)24
O A B π
π
. （Ⅰ）求经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程；
（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为
1cos 1sin x a y a θ
θ
=-+⎧⎨
=-+⎩（θ为参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值.
2、在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为32cos ,
2sin x y θθ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），
（Ⅰ）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的方程为π2
sin()42
ρθ+=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．
3、已知圆的极坐标方程为06)4
cos(242
=+--π
θρρ
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点),(y x P 在该圆上，求y x +的最大值和最小值．
4、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos (sin x y ϕ
ϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）
，曲线C 2的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕ
ϕϕ
=⎧>>⎨
=⎩为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=与C 1，C 2各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2
π
α=时，这两个交点重合.
(Ⅰ)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求a 与b 的值； (Ⅱ)设当4
π
α=
时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当4
π
α=-
时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，
B 2，求直线A 1 A 2 、B 1B 2的极坐标方程.
5、在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a t
y t
=⎧⎨
=⎩ （t 为参数，0a > ）以坐标原点O 为
极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 224πρθ⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
. （Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.
6、 在直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为23cos 3sin x t α
α
=+⎧⎨
=⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为().4
R π
θρ=∈
（1）求圆C 的直角坐标方程及其圆心C 的直角坐标；
（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求ABC ∆的面积.
参数方程与极坐标参考答案
1、解（Ⅰ）(0,0),(2,
),(22,)24
O A B π
π
对应的直角坐标分别为(0,0),(0,2),(2,2)O A B ，则过,,O A B 的圆的普通方程为22220x y x y +--=，将cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
代入得过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程为22cos()4
π
ρθ=-； …………………5分
（Ⅱ）圆2:C 1cos 1sin x a y a θ
θ
=-+⎧⎨
=-+⎩（θ为参数）对应的普通方程为222)1()1(a y x =+++
1C 与2C 外切，2||22,2a a ∴+=∴=± …………………10分
2、（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(3)4x y -+=，即05622=+-+x y x ，………………2分
将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得26cos 50ρρθ-+=；
所以，曲线C 的极坐标方程是26cos 50ρρθ-+=． …………………………5分
（Ⅱ）曲线l 的方程sin cos 1ρθρθ+=，则1x y +=, ………………………………………7分 将1x y =-代入22(3)4x y -+=解得0y =和2y =-
即交点(1,0)A ，(3,2)B -，弦长为22AB =. …………………………………………10分
3、解：（1）
即 ρ2﹣4
（+ ），
即 x 2+y 2
﹣4x ﹣4y+6=0．（5分）
（2）圆的参数方程为，∴x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin （α+）．（8分）
由于﹣1≤sin （α+）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y 的最大值为6，最小值等于 2．（10分）
4、 【解析】(Ⅰ) C 1是圆，C 2是椭圆
当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0）， 因为这两点间的距离为2，所以a =3…………………………………………2分 当2
π
α=
时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），
因为这两点重合，所以b =1……………………………………………………5分
(Ⅱ) C 1，C 2的普通方程分别为2
2
1x y +=和2
219
x y += ………………………6分 当4
π
α=
时，射线l 与C 1的交点A 1的横坐标为22
x =
，
与C 2的交点B 1的横坐标为310
10
x '= 当4
π
α=-
时，射线l 与C 1，C 2的交点A 2，分别与A 1，B 1关于x 轴对称
因此直线A 1 A 2 、B 1B 2垂直于极轴，故直线A 1 A 2 和B 1B 2的极坐标方程分别为
2sin 2ρθ=
，310sin 10
ρθ=……………………………………………10分 5、（Ⅰ）由cos 224πρθ⎛
⎫
+
=- ⎪
⎝
⎭
，得()2cos sin 222ρθρθ-=-， 化成直角坐标方程，得
()2
222
x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=. 依题意，设()2cos ,2sin P t t ，则
P 到直线l 的距离22cos 4
2cos 2sin 44222cos 422t t t d t ππ⎛⎫
++ ⎪-+⎛⎫⎝⎭===++ ⎪⎝⎭
，
当24t k π
ππ+
=+，即3
2,4
t k k Z ππ=+∈时，min 222d =-. 故点P 到直线l 的距离的最小值为222-. （Ⅱ） 曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，
∴对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，
即()2
4cos 4a t ϕ++>-（其中2
tan a
ϕ=
）恒成立， 244a ∴+<，又0a >，解得023a <<，故a 的取值范围为()
0,23.
6、解：（Ⅰ）圆C ：23cos 3sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩(α为参数)得圆C 的直角坐标方程：22(2)9x y -+=，圆心C
的直角坐标(2,0)C ．………………………………………………4分
（Ⅱ）1
.直线的直角坐标方程：0x y -=；………………………………5分
2 .圆心(2,0)C 到直线的距离|20|
22
d -=
=，圆C 的半径3r =， 弦长22||227AB r d =-=．……………………………………………8分
3 .ABC ∆的面积11
||2721422
AB d =
⨯=⨯⨯=.…………………10分。