必考问题10 基本不等式及其应用PPT课件
合集下载
基本不等式ppt课件
梳理 (1)重要不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立. (2)基本不等式
a＋b ①定理 2：如果 a，b＞0，那么 2 ≥ ab ，当且仅当 a＝b 时，等号成立 .
②定理2的应用：对两个正实数x，y， (ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的积P取得最大 值； (ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的和S取得最 小 值.
题型探究
类型一 不等式的证明 例1 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明
跟踪训练1 已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd； 证明 ∵a，b，c，d，∈R＋， ∴ab＋cd≥2 abcd，ac＋bd≥2 acbd， ∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当a＝d且b＝c时取等号.
解答
(2)若 x＜0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最大值. 解 ∵x＜0，∴－x＞0, 故 f(x)＝－－12x＋3－x≤－2 36＝－12， 当且仅当－1x2＝－3x，即 x＝－2 时，等号成立， ∴f(x)的最大值是－12.
解答
跟踪训练 2 若实数 a，b 满足1a＋2b＝ ab，则 ab 的最小值为
证明
类型二 利用基本不等式求最值 例 2 (1)设 x＞0，y＞0 且 2x＋y＝1，求1x＋2y的最小值； 解 1x＋2y＝1x＋2y×1＝1x＋2y(2x＋y)＝4＋4yx＋yx≥4＋2 4yx·xy＝4＋4＝8， 当且仅当4yx＝yx，即 x＝14，y＝12时，等号成立， ∴1x＋2y的最小值是 8.
A.0 B.1 C.2 D.3
√
解析 答案
不等式讲基本不等式及其应用课件pptx
柯西-施瓦茨不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
《不等式及其基本性质》课件
《不等式及其基本性质》 课件ppt
这个课件介绍了不等式的定义、运算性质、解集表示，还包括一元一次不等 式、多元一次不等式的求解方法，以及不等式组的求解方法和在实际问题中 的应用。
不等式的定义
1 概念解释
不等式是用不等号连接的两个数或两个式子，表示大小关系。
2 种类
常见的不等式类型有大于、小于、不大于、不小于等。
不等式在实际问题中的应用
1 金融领域
利用不等式来决材料强度、承重能力等问题。
3 生活领域
通过不等式来优化日常生活，如控制饮食、调整作息等。
图像法
将多元不等式的解集表示在平面直角坐标系上，求出解集的范围。
线性规划法
利用线性规划方法求解多元不等式问题，找到最优解。
不等式组的求解方法
1
代入法
2
通过代入变量的方式，逐个求解不等式
组的每个不等式。
3
图形解法
将不等式组在平面直角坐标系上展示， 找出满足所有不等式的交集。
矩阵解法
利用矩阵运算和线性方程组的方法求解 不等式组。
可以用数轴上的点或线段来表示解集的范围。
3
区间表示
可以用开区间、闭区间或半开半闭区间来表示解集的范围。
一元一次不等式的求解方法
图形法
将不等式在数轴上表示成线段或阴影部分，求出解 集。
代数法
使用代数方法进行计算和推导，求出解集。
多元一次不等式的求解方法
子代数法
将多元不等式化简为含有一个变量的式子，再进行求解。
3 示例
例如：2x + 3 > 7 是一个不等式。
不等式的运算性质
加减法性质
• 对不等式两边同时加减一个相同的数，不等 式方向不变。
这个课件介绍了不等式的定义、运算性质、解集表示，还包括一元一次不等 式、多元一次不等式的求解方法，以及不等式组的求解方法和在实际问题中 的应用。
不等式的定义
1 概念解释
不等式是用不等号连接的两个数或两个式子，表示大小关系。
2 种类
常见的不等式类型有大于、小于、不大于、不小于等。
不等式在实际问题中的应用
1 金融领域
利用不等式来决材料强度、承重能力等问题。
3 生活领域
通过不等式来优化日常生活，如控制饮食、调整作息等。
图像法
将多元不等式的解集表示在平面直角坐标系上，求出解集的范围。
线性规划法
利用线性规划方法求解多元不等式问题，找到最优解。
不等式组的求解方法
1
代入法
2
通过代入变量的方式，逐个求解不等式
组的每个不等式。
3
图形解法
将不等式组在平面直角坐标系上展示， 找出满足所有不等式的交集。
矩阵解法
利用矩阵运算和线性方程组的方法求解 不等式组。
可以用数轴上的点或线段来表示解集的范围。
3
区间表示
可以用开区间、闭区间或半开半闭区间来表示解集的范围。
一元一次不等式的求解方法
图形法
将不等式在数轴上表示成线段或阴影部分，求出解 集。
代数法
使用代数方法进行计算和推导，求出解集。
多元一次不等式的求解方法
子代数法
将多元不等式化简为含有一个变量的式子，再进行求解。
3 示例
例如：2x + 3 > 7 是一个不等式。
不等式的运算性质
加减法性质
• 对不等式两边同时加减一个相同的数，不等 式方向不变。
基本不等式及其应用ppt课件
【解析】 x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥ 2 x－1·x－4 1＋1＝5.(当且仅当 x＝3 时取等号)
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
《基本不等式》PPT课件
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的基本步骤
01
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
解一元一次不等式需要注意的事项
02
在解不等式的过程中，要确保每一步都是等价变换，不改变不
等式的解集。
解一元一次不等式的实例分析
03
通过具体例子展示解一元一次不等式的详细步骤和注意事项。
一元一次不等式的应用举例
课程目标与要求
知识与技能
掌握不等式的定义、性质及基本 不等式，能够运用所学知识解决
相关问题。
过程与方法
通过探究、归纳、证明等方法， 培养学生的数学思维和解决问题
的能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 认识到数学在解决实际问题中的 重要作用。同时，通过基本不等 式的学习，培养学生的严谨、细
排序不等式的概念与性质
性质 反序和不大于乱序和，乱序和不大于顺序和。
当且仅当$a_i = b_i$（$i = 1, 2, ldots, n$）时，反序和等于顺序和。
切比雪夫不等式的概念与性质
概念：对于任意两个实数序列$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，若它们分别单调不 减和单调不增，则有$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i cdot frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}b_i leq frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_ib_i$。
1 2
一元一次不等式在生活中的应用 例如比较两个数的大小、判断某个数是否满足某 个条件等。
一元一次不等式在数学中的应用 例如在解方程、求函数值域等问题中，经常需要 利用一元一次不等式进行求解。
3.不等式与基本不等式PPT课件(人教版)
知识点分析
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
题型2
利用基本不等式求函数和代数式的最值
知识点分析
1．基本不等积定和最小
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
题型3
应用“1”的代换转化为基本不等式求最值
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
知识点分析
题型4
含有多个变量的条件最值问题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
题型5
基本不等式综合问题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
谢谢观看！
3.不等式与基本不等式
章末复习
目录/contents
题型一：不等关系和不等式性质题型二：利用基本不等式求函数和代数式的最值题型三：应用“1”的代换转化为基本不等式求最值题型四：含有多个变量的条件最值及恒成立问题题型五：基本不等式综合问题
思维导图
本章知识
题型1
不等关系和不等式性质
知识点分析
作差法
基本不等式ppt课件
基本不等式
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上页 下页 返回
解析 因为 x＞y＞0，所以 x2＋y2≥a(x－y)恒成立即为 a≤xx2－＋yy2 min，而 xy＝1，所以xx2－＋yy2＝x－x－y2y＋2＝(x－y)＋x－2 y≥2 2，当且
仅
当
x－y＝ xy＝1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2，
⇒x＝ y＝
6＋ 2
6－ 2
2， 2
时，
x2＋y2
x－y
min
上页 下页 返回
4．(2012·泰州中学调研)已知A，B，C是平面上任意三点， BC ＝ a ， CA ＝ b ， AB ＝ c ， 则 y ＝ ＋ 的 最 小 值 是 ________． 解析 y 要最小，则 a 要最大，而 a 的最大值是 b＋c，所以 y＝a＋c b＋bc≥2b＋c c＋bc＝2bc1＋12＋bc＋12－12≥ 2－12，即最 小值是 2－12. 答案 2－12
上页 下页 返回
热点命题 角度
上页 下页 返回
命题角度一 利用基本不等式求最值 [命题要点] ①应用基本不等式求和的最小值或积的最大值； ②构造基本不等式满足的条件求最值．
上页 下页 返回
【例1】► (2012·扬州中学检测)已知：x＞y＞0，且xy＝1， 若 x2 ＋ y2≥a(x － y) 恒 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________． [审题视点] 此题为不等式恒成立问题，先根据分离参数 法转化为函数的最值问题，再利用基本不等式求最 值． [听课记录]
上页 下页 返回
【突破训练 1】 (2012·徐州考前信息卷)已知正数 x，y 满足：1x＋ y＋3 2＝1，则 x＋y 的最小值为________． 解析 根据“1”的代换，利用基本不等式求解．因为 x＋y＝ x＋(y＋2)－2＝[x＋(y＋2)]1x＋y＋3 2－2＝2＋y＋3x2＋y＋x 2≥ 2＋2 3，当且仅当y＋3x2＝y＋x 2，且1x＋y＋3 2＝1 即 x＝y＝ 3＋1 时，等号成立，故 x＋y 的最小值为 2＋2 3. 答案 2＋2 3
的图象交于 P，Q 两点，所以 k＞0，且联立解得 P
2k， 2k，
Q－ 2k，－ 2k，所以|PQ|＝ 2 ≥4. 答案 4
2k2＋2 2k2＝
81k＋k
上页 下页 返回
2．(2011·浙江文，16)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋ y的最大值为________．
解析 由 x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即 xy＝(x＋y)2 －1≤x＋4y2，所以34(x＋y)2≤1，故－23 3≤x＋y≤233，
上页 下页 返回
5．(2012·扬州中学检测)已知x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1， x2＋y2＋z2＝3，则xyz的最大值是________． 解析 由题意可得 x＋y＝1－z，x2＋y2＝3－z2≥0⇒－ 3 ≤z≤ 3，所以 2xy＝(1－z)2－(3－z2)＝2z2－2z－2，由基本 不等式可得 2xy≤x2＋y2，即 2z2－2z－2≤3－z2⇒－1≤z≤53， 故 xyz＝(z2－z－1)z＝z3－z2－z，(z3－z2－z)′＝3z2－2z－1 ＝(3z＋1)(z－1)，所以 z∈－1，－13，导数大于等于 0，
＝
2
2，故
a≤2 2. 答案 a≤2 2
上页 下页 返回
基本不等式在求函数最值时，具有重要应用，要 注意构造应用基本不等式求最值的条件，同时要特别注意 基本不等式应用的条件是否具备，特别是等号能否取到， 而且还要在条件不满足的情况下能够求解或者转化，如等 号取不到时，要借助函数图象，利用函数单调性求解最值 等．
必考问题10 基本不等式及 其应用
抓住命题 方向
上页 下页 返回
【真题体验】 1．(2011·江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的
一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ 长的最小值是________．
上页 下页 返回
解析 设过坐标原点的一条直线方程为 y＝kx，因为与函数 f(x)＝2x
上页 下页 返回
2．基本应用
(1)已知a＞0，b＞0，则当ab＝p(常数)，则a＋b≥2 p ，当且
仅当a＝b＝ p时，a＋b取得最小值2 p；
(2)当a＋b＝S(常数)，则ab≤
S2 4
，当且仅当a＝b＝
S 2
时，ab取
得最大值S42；
上页 下页 返回
必备方法
1．利用基本不等式
x＋y 2
≥
xy 时，要注意“正、定、等”三要
素，“正”，即x，y都是正数；“定”，即不等式另一边为
定值；“等”，即当且仅当x＝y时取等号．
上页 下页 返回
2．利用基本不等式
x＋y 2
≥
xy 时，要注意“积定和最大，和定
积最小”这一口诀，并且适当运用拆、拼、凑等技巧，但应
该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等
号成立的条件是否同时成立．
上页 下页 返回
【应对策略】 掌握高考对基本不等式的考查的常见题型，主要从三
个方面考查：一是利用基本不等式求两个正数的和的最小 值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本 不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数 (或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等；三是将一个实 际问题构造成函数模型，利用基本不等式解决．掌握利用 基本不等式求最值时，要满足三个条件：“一正”、“二 定”、“三相等”，而且求解时要逐一检验．
上页 下页 返回
原函数递增，且 z＝－13时，xyz 的值是257，z＝53时，xyz 的值是257，
故最大值是257.
答案
5 27
上页 下页 返回
【高考定位】 高考对本内容的考查主要有：基本不等式是C级要求，
理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重 要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与 函数、实际应用题综合考查，构成中高档题．
当
x＝y＝
33时“＝”成立，所以
x＋y
的最大值为2
3
3 .
答案
23 3
上页 下页 返回
3．(2011·南京模拟)若不等式4x2＋9x2≥2kxy对一切正数x，y 恒成立，则整数k的最大值为________． 解析 由 4x2＋9x2≥2kxy(x＞0，y＞0)，得 2k≤4yx＋9xy.因为4yx ＋9xy≥2 4yx·9xy＝12，所以 2k≤12，又 k∈Z，所以 k≤3， 即 kmax＝3. 答案 3
上页 下页 返回
必备知识 方法
上页 下页 返回
必备知识 1．基本不等式
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 即若a，b＞0，则a＋2 b≥ ab(当且仅当a＝b时取等号) 基本变形：(1)a＋b≥2 ab；a＋2 b2≥ab； (2)若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，a2＋2 b2≥a＋2 b2.
解析 因为 x＞y＞0，所以 x2＋y2≥a(x－y)恒成立即为 a≤xx2－＋yy2 min，而 xy＝1，所以xx2－＋yy2＝x－x－y2y＋2＝(x－y)＋x－2 y≥2 2，当且
仅
当
x－y＝ xy＝1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2，
⇒x＝ y＝
6＋ 2
6－ 2
2， 2
时，
x2＋y2
x－y
min
上页 下页 返回
4．(2012·泰州中学调研)已知A，B，C是平面上任意三点， BC ＝ a ， CA ＝ b ， AB ＝ c ， 则 y ＝ ＋ 的 最 小 值 是 ________． 解析 y 要最小，则 a 要最大，而 a 的最大值是 b＋c，所以 y＝a＋c b＋bc≥2b＋c c＋bc＝2bc1＋12＋bc＋12－12≥ 2－12，即最 小值是 2－12. 答案 2－12
上页 下页 返回
热点命题 角度
上页 下页 返回
命题角度一 利用基本不等式求最值 [命题要点] ①应用基本不等式求和的最小值或积的最大值； ②构造基本不等式满足的条件求最值．
上页 下页 返回
【例1】► (2012·扬州中学检测)已知：x＞y＞0，且xy＝1， 若 x2 ＋ y2≥a(x － y) 恒 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________． [审题视点] 此题为不等式恒成立问题，先根据分离参数 法转化为函数的最值问题，再利用基本不等式求最 值． [听课记录]
上页 下页 返回
【突破训练 1】 (2012·徐州考前信息卷)已知正数 x，y 满足：1x＋ y＋3 2＝1，则 x＋y 的最小值为________． 解析 根据“1”的代换，利用基本不等式求解．因为 x＋y＝ x＋(y＋2)－2＝[x＋(y＋2)]1x＋y＋3 2－2＝2＋y＋3x2＋y＋x 2≥ 2＋2 3，当且仅当y＋3x2＝y＋x 2，且1x＋y＋3 2＝1 即 x＝y＝ 3＋1 时，等号成立，故 x＋y 的最小值为 2＋2 3. 答案 2＋2 3
的图象交于 P，Q 两点，所以 k＞0，且联立解得 P
2k， 2k，
Q－ 2k，－ 2k，所以|PQ|＝ 2 ≥4. 答案 4
2k2＋2 2k2＝
81k＋k
上页 下页 返回
2．(2011·浙江文，16)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋ y的最大值为________．
解析 由 x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即 xy＝(x＋y)2 －1≤x＋4y2，所以34(x＋y)2≤1，故－23 3≤x＋y≤233，
上页 下页 返回
5．(2012·扬州中学检测)已知x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1， x2＋y2＋z2＝3，则xyz的最大值是________． 解析 由题意可得 x＋y＝1－z，x2＋y2＝3－z2≥0⇒－ 3 ≤z≤ 3，所以 2xy＝(1－z)2－(3－z2)＝2z2－2z－2，由基本 不等式可得 2xy≤x2＋y2，即 2z2－2z－2≤3－z2⇒－1≤z≤53， 故 xyz＝(z2－z－1)z＝z3－z2－z，(z3－z2－z)′＝3z2－2z－1 ＝(3z＋1)(z－1)，所以 z∈－1，－13，导数大于等于 0，
＝
2
2，故
a≤2 2. 答案 a≤2 2
上页 下页 返回
基本不等式在求函数最值时，具有重要应用，要 注意构造应用基本不等式求最值的条件，同时要特别注意 基本不等式应用的条件是否具备，特别是等号能否取到， 而且还要在条件不满足的情况下能够求解或者转化，如等 号取不到时，要借助函数图象，利用函数单调性求解最值 等．
必考问题10 基本不等式及 其应用
抓住命题 方向
上页 下页 返回
【真题体验】 1．(2011·江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的
一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ 长的最小值是________．
上页 下页 返回
解析 设过坐标原点的一条直线方程为 y＝kx，因为与函数 f(x)＝2x
上页 下页 返回
2．基本应用
(1)已知a＞0，b＞0，则当ab＝p(常数)，则a＋b≥2 p ，当且
仅当a＝b＝ p时，a＋b取得最小值2 p；
(2)当a＋b＝S(常数)，则ab≤
S2 4
，当且仅当a＝b＝
S 2
时，ab取
得最大值S42；
上页 下页 返回
必备方法
1．利用基本不等式
x＋y 2
≥
xy 时，要注意“正、定、等”三要
素，“正”，即x，y都是正数；“定”，即不等式另一边为
定值；“等”，即当且仅当x＝y时取等号．
上页 下页 返回
2．利用基本不等式
x＋y 2
≥
xy 时，要注意“积定和最大，和定
积最小”这一口诀，并且适当运用拆、拼、凑等技巧，但应
该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等
号成立的条件是否同时成立．
上页 下页 返回
【应对策略】 掌握高考对基本不等式的考查的常见题型，主要从三
个方面考查：一是利用基本不等式求两个正数的和的最小 值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本 不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数 (或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等；三是将一个实 际问题构造成函数模型，利用基本不等式解决．掌握利用 基本不等式求最值时，要满足三个条件：“一正”、“二 定”、“三相等”，而且求解时要逐一检验．
上页 下页 返回
原函数递增，且 z＝－13时，xyz 的值是257，z＝53时，xyz 的值是257，
故最大值是257.
答案
5 27
上页 下页 返回
【高考定位】 高考对本内容的考查主要有：基本不等式是C级要求，
理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重 要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与 函数、实际应用题综合考查，构成中高档题．
当
x＝y＝
33时“＝”成立，所以
x＋y
的最大值为2
3
3 .
答案
23 3
上页 下页 返回
3．(2011·南京模拟)若不等式4x2＋9x2≥2kxy对一切正数x，y 恒成立，则整数k的最大值为________． 解析 由 4x2＋9x2≥2kxy(x＞0，y＞0)，得 2k≤4yx＋9xy.因为4yx ＋9xy≥2 4yx·9xy＝12，所以 2k≤12，又 k∈Z，所以 k≤3， 即 kmax＝3. 答案 3
上页 下页 返回
必备知识 方法
上页 下页 返回
必备知识 1．基本不等式
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 即若a，b＞0，则a＋2 b≥ ab(当且仅当a＝b时取等号) 基本变形：(1)a＋b≥2 ab；a＋2 b2≥ab； (2)若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，a2＋2 b2≥a＋2 b2.