第五章2012弯曲应力

300 B 200
A C
15 . m
15 . m
例5：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为
10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P A
300 B 200
C
2m
2m
CL8TU15
AC ( x ) d x 解：
0 l /2
l /2
l /2

0
( x)
E
l /2
dx

y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
将应力表达式代入(2)式，得
E
E
y


A
yzdA 0
FN dA
A
0 (1)
I yz A yzdA 0
M yE dA
A
M y
自然满足
Mz
zdA 0 (2)
A
将应力表达式代入(3)式，得
9 kN
例3：简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应
变片，测得其应变ε= 6×10-4，材料的弹性模
量 E=200GPa，求载荷P的大小。
P
A
0.5 m
C D
0.4 m 1m
B
20
40
CL8TU13
补充：电测法的基本原理
电阻应变片
R K R
解：C点的应力 C E 200 10 6 10
凹边的纵向线段缩短，凸
边的纵向线段伸长，由于 变形的连续性，中间必有 一层纵向线段 无长度改 变。此层称为 中性层 。
中性层与横截面的交线称
为 中性轴
。
实验 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 观察变形 提出假设
平面假设 单向受力假设 中性层、中性轴
变形的分布规律
应力的分布规律
变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力
电子万能实验机
进行纯弯曲梁实验
纯弯曲梁加载过程
实验室纯弯曲梁实验的装置
1、实验
（1）变形现象 纵向线 各纵向线段弯成弧线， 且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长 横向线 各横向线仍保持为直线，
θ
相对转过了一个角度,
建立公式
2、变形几何关系
dx
d
dx o
o
x o y b
z b
o’
z b’
o’
x b’
图（a）
y
图（b）
y
图（c）
b ' b ' ( y )d
bb dx OO O ' O ' d
y

( y )d d
d

应变分布规律 直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
m
m
M
FS
m
m

M
m
FS
m
只有与切应力有关的切向内力元素 d FS = dA 才能合成剪力 只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩 所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力
三、分析方法
平面弯曲时横截面 平面弯曲时横截面 例如：


纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况) 横力 弯曲(横截面上既有FS又有M的情况) F2
当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲
l
F
h b
Z
P 近似地认为每片上承担的外力等于 F n
/n
l
F
h b
Z
每一薄片中的最大正应力等于
M max max WZ F l 6 Fl n n 2 2 1 h bh b( ) 6 n
l
F
h b
Z
若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲
且梁横截面的 中性轴 一般也不是对称轴，所以梁的
t max c max
（两者有时并不发生在同一横截面上）
要求分别不超过材料的 许用拉应力 和 许用压应力 。
t max [t ]
c max c
例1：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料 的许用应力［σ］=160MPa，校核该梁的强度。
最大正应力等于
Fl 6 Fl M max 2 max 1 2 WZ bh bh 6
仍与变形后的纵向弧线垂直
（2）提出假设
(a)平面假设 变形前为平面的横截面变形 后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线 (b) 单向受力假设 纵向纤维不相互挤压, 只受单向拉压 推论：必有一层变形前后长度不变的纤维 ——中性层
中性轴
中性轴 ⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
推论: 横截面的转动将使梁的
yt max
和
yc max
直
M
接代入公式 z
yt max
y
My Iz
求得相应的最大正应力
σ t max
My t max IZ
σ c max
σ c max
My c max IZ
yc max
M
z
yt max
y
σ t max
二、横力弯曲时的正应力
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力 ,平面假 设和单向受力假设都不成立 。 横力弯曲正应力 横力弯曲最大正应力 引用记号 则公式改写为
0
M ( x) dx Wz E
2 P l Px dx 2 Wz E 16Wz E 0
P
16Wz E AC
l2 150 kN
16 0.2 0.32 2 1010 5 10 3 6 4
P
A
x
dx
C
300 B 200
2m
2m
l
F
h b
Z
例题6：由 n 片薄片组成的梁
M ( x) y Iz
max
M max ymax Iz
Iz W ——抗弯截面系数 y max M max max W
等直梁 横力弯曲时横截面上的正应力公式为

1、 在弹性范围内

M ( x)
WZ
l 5 h
三、公式的应用范围
2、具有切应力的梁
3、平面弯曲 4、直梁
四、强度条件：
E

建立公式
4、静力关系 横截面上内力系为垂直于 横截面的空间平行力系 这一力系简化，得到三个内力分量
M
待解决问题
中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
Mz
z
O
内力与外力相平衡可得
y
dA
x σdA
FN
FN dFN dA
A A
0
0
(1)
(2)
My
y
M y dM y z dA
ydA M(3)
A
y

M
E

A
y dA
2
M
E

Iz
M E Iz
1
实验 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 观察变形 提出假设
平面假设 单向受力假设 中性层、中性轴
变形的分布规律

y

y
应力的分布规律
E
1

建立公式
M EI Z
My Iz
A A
dFN dA
M z dM Z y dA
A A
M(3)
z dA dM z y dA
dM y
将应力表达式代入(1)式，得
FN

A
E
y

dA 0
E


A
ydA 0
待解决问题： 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力 1、数学表达式
max
2、强度条件的应用
M max [ ] W
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
对于铸铁等 脆性材料 制成的梁，由于材料的
t c
中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
?
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层 中性轴
1、中性轴的位置 2、中性层的曲率半径 中性轴
实验 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
平面假设 单向受力假设 中性层、中性轴
观察变形 提出假设
变形的分布规律

y

y
应力的分布规律
10 kN / m
200 2m 4m 100
CL8TU10
10 kN / m
200 2m 4m Q( kN) 25 45kN 100
15kN 解：由弯矩图可见 M max 20kN m
20 M ( kN m)
3 M 20 10 15 max t 2 W 01 . 0 . 2 z 1125 . 6 30MPa < [ ]
第五章
§5–1 §5–2 §5–3 引言
弯曲应力
梁的正应力及强度条件
梁的切应力及强度条件
§5–4 提高梁强度的主要措施
§5－１ 引言
一. 工程实例
二、弯曲构件横截面上的应力
当梁上有横向外力作用时，一般情 况下，梁的横截面上既又弯矩 M ， 又有剪力 FS 。 剪力FS 内力 弯矩M 正应力 切应力
h
z y b