安徽省合肥一中等六校教育研究会2013届高三2月测试文科数学试题

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(完整word版)2013年高考安徽文科数学试题及答案(word解析版),推荐文档

2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)第I 卷(选择题共50 分)10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.22 (A )( B )35【答案】D【解析】总的可能性有 10种，甲被录用乙没被录用的可能性(1)【2013年安徽，文【答案】 (A) D 1, 5分】设i 是虚数单位，若复数 a 10 (a R)是纯虚数，3 i (C ) 1 则a 的值为(【解析】 10 10 3 i 3 i 3 i (B) (D)10 3 i 10 3 i a 10 ，所以a 3，故选D .【点评】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题. (2)【2013年安徽，文2, 5分】知A x|x 1 0 ,B (A ) 2, 1 (B ) 2 【答案】A 2, 1,0,1 ，贝U (C R A) IB ()(C ) 1,0,1 (D)0,1 【解析】x 1 , C R A {X |X 1} , (C R A) I B { 1, 2}，故选 A . 【点评】考查集合的交集和补集，属于简单题. (3)【2013年安徽，文3, 5分】如图所示，程序据图(算法流程图)的输出结果为( )(A ) 2 3 4 5 (B ) 1 (C ) 11 (D ) 25 4 612 24 【答案】C【解析】n 2,s 0,s c 1 1 0 ; n 1 1 1 4,s —,s 3 ；n 「 3 3 1 112 2 2 24 4 4 6 1n 8, s ，输出，故选C . 12【点评】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题. (4)【2013年安徽，文4, 5分】“2x 1)X 0 ”是’X 0 ”的( ) iS —Oi.(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件【答案】B (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 1 【解析】(2X 1)X 0,X 0或一，故选B . 2 【点评】考查充分条件和必要条件，属于简单题. (5)【2013年安徽，文5, 5分】若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )、选择题：本大题共3种，乙被录用甲没被录用的可能性 3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率 p 3 3 3 1，故选D .10【点评】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题. (6)【2013年安徽，文6, 5分】直线X 2y 55 0被圆X 2 y 2 2X 4y 0截得的弦长为()(A ) 1 ( B ) 2( C ) 4( D ) 4 6【答案】C1+4_5+ 亦. -------【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离 d _______ =一=1，半径r 勇，所以弦长为2寸(冷)2 12 4，故选C .J 5(D )9 10【点评】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题. (7)【2013年安徽, (A ) 6 A 文7, 5分】设S n 为等差数列 (B ) 4 a n 的前n 项和，S 8 4a 3,a 7 (C ) 2 2，则 a g ((D ) 2 【答案】【解析】 S 8 4a 3 2 考查等差数列通项公式和前 (8)【2013年安徽，文【点评】 8(a 1 a 8), ------------ 4a 3 a 3 a 6 a 3 , a s 0, d 2, a g a 7 2d 不同的数x ，x 2,L 【答案】【解析】 (A) 2,3 B f (X 1) X f (X i ) n 项公式的应用，以及数列基本量的求解. 8, 5分】函数y f(x)的图像如图所示，在区间 a, ,X n ，使得空L X 1 X 2(B) 2,3,4f (x)的图像如图所示，在区间 a,b 上可找到n(n f(Xn)，则n 的取值范围为( ) X n (C ) 3,4 (D) 3,4,5 x 1 0 0表示(x 1,f(^))到原点的斜率；f(X1) X i (X 1,f(X 1)),(X 2, f(X 2))丄“，f(X n ))与原点连线的斜率，而上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有考查数学中的转化思想，对函数的图像认识. (9)【2013年安徽， (f(x 2) L f(Xj 表示 X 2 X n (X, f (Xj),(X 2, f (X 2)),L ,(X n , f (Xj)在曲线图像 3个，故选B . 【点评】则角C 文9,5分】设ABC 的内角 )A, B,C 所对边的长分别为 a,b,c ,右 b c 2a,3sin A 5sin B , 【答案】(A) 3 I B2 (B) 23(C) 34 【解析】 Q 3sin A 5sin B 由正弦定理，所以 3a 5 5b,即a b ;因为b c 3 2a ，所以c a 2 b 22ab 1 -，所以C 22 3 考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度. cosC 故选【点评】(1 0)【20 1 3年安徽，文1 0, 5分】已知函数f (x) 于x 的方程3(f (X)) 2af(x) b 0的不同实根个数为((A )- 3 A 2 ax bx (C ) 【答案】【解析】【点评】 c 有两个极值点X ,X 2 , ) 若f(x) X X 2，则关 (D) 0f '(x) 3x 2 2ax b , x 1,x 2 是方程 3x 2 2ax b 则又两个f (x)使得等式成立，x 1 f (x 1) , x 2 如图则有3个交点，故选 A . 考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解. 共100分)第口卷(非选择题二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共 (11)【2013年安徽, 11, 5分】函数y ln(1 【答案】【解析】 0,1 1 1 0x 1 X 2【点评】由 3(f(x))2 2af(x) 0的两根， X f(x)，其函数图象如下: b25分.把答案填在答题卡的相应位置. 0或X1，求交集之后得考查函数定义域的求解，对数真数位置大于(12)【2013年安徽，文12, 5分】若非负数变量―)<1 x 2的定义域为X X 的取值范围 °」.0.0,分母不为0,偶次根式底下大于等于x,y 满足约束条件 x y1，则x y 的最大值为x 2y 4【答案】【解析】 4由题意约束条件的图像如下：当直线经过取得最大值. 考查线性规划求最值的问题， z 取最大. （13）【2013年安徽，文13, 5分】(4,0)时，z x y【点评】要熟练掌握约束条件的图像画法, rr a 3 ba 若非零向量a ,b 满足【答案】【解析】的余弦值为_ 13 等式平方得:4、jI•'J厶7 ■i 卫 1T以及判断何时 2b ，则a,b 夹角【点评】 r 2 9b r 24b 4a b 则 r 2 4b ir r 4|a||b|cos ，即 r 20 4 b 4 3b|2cos ,13考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简. 得cos （14）【2013年安徽，文14,5分】定义在R 上的函数f （x ）满足f （x 1） 2f （x ）.若当0 x 1时.f （x ） 0 时，f （x ） .x(1 x)，【答案】则当1 xx(x 1) 【解析】所以f （x ）0 ,则 0 x x(x 1) 1 1，故 f (x 1) (x 1)(1 x 1) x(x 1)，又 f (x 1) 2f (x), 2 考查抽象函数解析式的求解. 【点评】（15）【2013年安徽，文15, 5分】如图，正方体 ABCD AB iG D ,的棱长为1 , P 为BC 的中点，Q 为线段CG 上的动点，过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ，则下列命题正确的是 _________ （写出所有正确命题的编号） ①当0 CQ 1时，S 为四边形；②当CQ 2 1时，S 为等腰梯形; 2 ③当CQ -时，S 与C 1D 1的 4 A交点R 满足C 1R1 ；④当3 3 4 CQ 1 时, S 为六边形；⑤当 CQ 1时，S 的面积为 62 【答案】①②③⑤ 【解析】（1） CQ S 等腰梯形, ②正确，图（1）如下；（2）CQ 1， S 是菱形，面积为 226，⑤正确，图如下；（3）CQ 3，画图（3）如下: 4，③正确;是五边形，④不正确；（5） CQ 图（1）图（5）丄，如下图（5），是四边形，故①正确.2(4) 3 CQ 1,如图(4)40 图（4）图（2）【点评】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面. 三、解答题：本大题共 6题，共75分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程•解答写在答题卡上的指定区域内. (16)【2013年安徽，文16, 12分】设函数f(x) si nx sin(x ^).解：(1 )设甲校高三年级学生总人数为 n •由题意知，30 0.05，即n 600 .样本中甲校高三年级学生数学成n绩不及格人数为5 •据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1 — 5 ._ _30 6 (2)设甲、乙两校样本平均数分别为为，冷.根据样本茎叶图可知，30 xr xr30$ 30x 27 555 8 1424 12 6526 24 7922 202 49 53 77 2 92 15 .因此为沁 0.5 .故为沁的估计值为0.5分.【点评】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力. (18)【2013年安徽，文18，12分】如图，四棱锥 P ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，BAD 60o .已知 PB PD 2,PA 6 . (1) 证明：PC BD ; (2)若E 为PA 的中点，求三菱锥 P BCE 的体积.] 解：(1)连接AC ，交BD 于O 点，连接PO .因为底面 ABCD 是菱形，AC BD ，BO DO .由 PB PD 知，PO BD .再由 POI AC O 知，BD 面 APC ，因此 BD PC . =1 1(2)因为 E 是 PA 的中点，所以 v P BCE V C PEBV C PAB V B APC .由 PB PD AB AD 2 22(1 )求f (x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x 的集合; (2)不画图，说明函数 y 解：(1) f(x)sin x sin x cos —3 J (3)2 (当)2 sin(xf (x)的图像可由y sinx 的图象经过怎样的变化得到.cosx2cosxs in — sinx 1si nx 芒cosx 3 2 2 3 . sinx 2此时x {x|x64 32k 【点评】2k , ,k Z}.—)、；3si n(x —)，当 sin(x4 x2k ,(k Z)，所以，31时, f (x)min : 3 ,f (x)的最小值为.3，此时x 的集合y sinx 横坐标不变，纵坐标变为原来的 3倍，得y .3sin x ;然后y3sin x 向左平移—个单位,6得 f (x)3sin(x) • 6本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.能力，中等难度. 考查逻辑推理和运算求解甲乙7 4 5 5 3 3 2 5 3 3 8 554333100 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0022233669 7 5 4 4 2 8 115 5 8 2 0 9 0 求甲校高三年级学生总人数, 0.05, (1) 若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);(2) 设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 (17)【2013年安徽，文17, 12分】为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样, 从这两校中各抽取 30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：并估计甲校高三年级这 x ( ,X 2，估计 x x 2的值. 92知，ABD也PBD .因为BAD60，所以PO AO43，AC 2运，BO 1 .r又PA恵，PO2AO22PA，即POAC，故SAPC1-PO AC 3 .2JT ■ *>1L'v.y P 11/l- * \、由(1)知，BO 面APC，因此V p BCE1—V B APC111BO S APC一 .E Z/ A1JF■ II. \M ' .I' J-'二二 X；；沙2 2 24 A 484【点评】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力. (19 ) 【2013年安徽，文19, 13分】设数列a n 满足a 1 2 , a ? a 4f (x) (a n a n 1 a n 2)x a n 1 cosx a n 2 sinx 满足 f \—) 0 . (1)求数列a n 的通项公式； (2)右b n 2(a n 1),求数列b n 的前n 项和£ . 2 n)由 a 1 2, a 2 a 4 8, f (x) (a n a n 1 a n 2)x a n 1 cosx a n 2 sinx , 解：(1 8，且对任意n N* ,函数f ( X ) a n a n 1 a n 2 a n 1 si nx a n 2 cosx , a n 是等差数列.而 a i 2, a 3f '(?) a n a n a n 1 a n 2 a n 1 0 , 所以 2a n 1 a na n 2(n-1) 1 n 1. (2)b n 2(a n1 利)2 n 1) 2 土) —=1 - 2【点评】考查函数的求导法则和求导公式，等差、运算能力. (20)【2013年安徽，文20, 13分】设函数 n 2 3n等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和 f (x) ax 2 2、.(1 a )x ,其中 a 0，区间 | x| f(x) 0 . (1) 求I 的长度(注：区间 (2) 给定常数k 0,1，当 (,)的长度定义为 1 k a 1 k 时，求 I 长度的最小值. 解：(1 )因为方程 ax 2 2(1 a )x 0(a 0)有两个实根 X 1 0, x 2 ，故f x 0的解集为｛x|X 1 X 2｝，因此区间 a_1 a2 d a 单调递增；当1 (2)设 d a a区间长度为一 1 a2鑰，令d a k 时，d a 0，得a 1.由于0 k 1，当1 k a 1 时，d 小值必定在a 1 k 或a k 处取得.而因此当a 1 k 时，d a 单调递减.因此当1 k 1 k1 1 k 21 k 1 1 k2 1a 1 k 时，d a 的最 2 k k 2 k 2 k 3<1，故 d(1 k) d(1 k). 【点评】考查二次不等式的求解, 能力.在区间［1 k,1 k ］上取得最小值 2 2k k 并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的以及导数的计算和应用, 2 (21)【2013年安徽，文21, 13分】已知椭圆c ：笃 a 2 yb 2 1(a b 0)的焦距为4,且过点P( 2, 3). (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设Q(X o , yoX^y 。

2013年高考文科数学安徽卷-答案

22
图2
（3）
CQ

3 4
，画图（3）如下：
C1R

1 3
，③正确；
图3 （4） 3 CQ 1，如图（4）是五边形，④不正确；
4
4/8
图4 （5） 0 CQ 1 ，如下图（5），是四边形，故①正确．
2
图5 【提示】利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解. 【考点】空间立体图形截面的基本性质．
．
（2）y sin x 横坐标不变，纵坐标变为原来的 3 倍，得 y 3 sin x ；然后 y 3 sin x 向左平移 π 个单位， 6
得 f (x)
3
sin

x

π 6

．
【提示】把目标函数通过恒等变换转换为三角函数标准式得到结果，结合三角函数解析式，考查三角函数图
【考点】随机事件与概率． 6.【答案】C 【解析】圆心 (1, 2) ，圆心到直线的距离 d |1+4 5+ 5 | =1，半径 r 5 ，所以弦长为 2 ( 5)2 12 4 ，
5
故选 C．
【提示】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后利用勾股定理求弦长．
【考点】直线与圆的相交方程，点到直线距离公式．
小值必定在
a

1

k
或
a

1

k
处取得．而
d d
1 1
k k

1k 11k 2
1 k 11k 2

2 k2 k3 2 k 2 k3 <1，故 d(1 k) d(1 k) ．
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

2013年合肥市示范高中联考试题数学(文)试卷及答案

2013安徽省省级示范高中名校高三联考数学（文科）试题参考答案1.D 解析：因为13i 36i iz -+=+=+，所以z =6i -.7.D 解析：函数()f x 为奇函数，排除B 、C 选项，又周期,2,T πω==故选D.8.D 解析：向量p 与q 共线，则有3m n =，所以当m=1时，n=3；当m=2时，n=6；而事件总个数是6636⨯=个，所以根据古典概型公式得：213618P ==.9.D 解析：A 、B 、C 正确，由图可知AC 1与BB 1的夹角为1111,tan A AC A AC ∠∠而所以D 错误.10.B 解析：设双曲线的左焦点为F '，连接AF '.∵F 是抛物线24y px =的焦点，且AF x ⊥轴，∴不妨设0(,)A p y （00y >），得204,y p p =⋅得02,y p = (,2)A p p ，因此，Rt AFF '∆中，||||2AF FF p '==，得||AF '=,∴双曲线22221x y a b-=的焦距2||2c FF p '==，实轴2||||a AF AF '=-=21)p -,由此可得离心22c c e a a ===1=+. 11.4 解析：第一次循环63,22n i ===，第二次循环3354,3n i =⨯-==，第三次循环422n ==，4,i =满足条件输出4. 12.13 解析：作出可行域，由250270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得3,1,x y =⎧⎨=⎩所以min 334113.z =⨯+⨯= 13.y x = 解析：()sin x f x e x '=+，()()010=0k f f '==，，所以切线方程()010y x -=⋅-，即y x =.16.解析：（Ⅰ）由题设可知：sin sin sin cos cos sin sin()sin ,B C A C A C A C B =+=+= ∵sin 0,B ≠∴sin 1,C =;2C π=.................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：222,c a b =+∴12,a b +=∵222,a b a b ab +≥+≥∴12,+≤即236(2,ab ≤-∴2118(236(32S ab =≤=-，即S 的最大值为36(3-......................12分 17.解析：（Ⅰ）根据列联表的数据，得到2105(10302045)= 6.109 5.024,55503075k ⨯-⨯≈>⨯⨯⨯因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”；............................................................6分（Ⅱ）设“抽到6号或10号学生”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为()x y ，，则所有的基本事件有(11)(12)(13)，，，，，，…，(66)，，共36个．事件A 包含的基本事件有(15)(24)(33)(42)(51)(46)，，，，，，，，，，，，(55)，，(64)，，共8个．所以抽取到编号为6号或10号学生的概率为82()369P A ==． ............................12分 18.解析：（Ⅰ）∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//,DE AB在CDE ∆中，//,DE GF ∴//,AB GF又AB ⊂平面,ABC GF ⊄平面,ABC ∴//FG 平面;ABC .......................6分（Ⅱ）连接AG ，∵,AC AD =G 为CD 的中点，∴,AG CD ⊥又DE ⊥平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面,CDE∵平面ACD 平面,CDE CD =AG ⊂平面,ACD ∴AG ⊥平面,CDE又2DE AB =可知：//,AG BF ∴BF ⊥平面.CDE .................................................12分（Ⅱ）当0b <时，()f x '=令()0f x '=，得1(0)x =+∞，（舍去），2(0),x =+∞， ()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：从上表可看出函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln .22b b f ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦...............................13分 20.解析：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：5,1,a c a c +=-=.∴3,2,a c ==∴2225,b a c =-= ∴椭圆C 的标准方程为221;95x y +=.........................................4分又由（Ⅰ）可知：点P 在椭圆22195x y +=上，且在第一象限，所以由方程组22221,95 1.3x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P的坐标为.............13分。

2013年安徽高考数学(文科)卷及答案

解：（1）因为方程＝0（）有两个实根，故的解集为因此区间，区间长度为
（2）设，令，得，由于，故当时，单调递增；
当时，单调递减；
因此当，的最小值必定在或处取得。
而，故。
因此当时，在区间上取得最小值。
（21）（本小题满分13分）本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合思想、逻辑推理能力及运算求解能力。
③
再将①代入③，化简得：
解得，即直线与椭圆C一定有唯一的公共点。
解：（1）因为焦距为4，所，又因为椭圆C过点，所以，故，，从而椭圆C的方程为。
（2）由题意，E点坐标为 ,设，则，，再由知， ,即。由于，故。因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点。
故直线的斜率。
又因在椭圆C上，所以。①
从而
故直线的方程为 ②
将②代入椭圆C方程，得：
（17）（本小题满分12分）本题考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想以及数据分析处理能力。
解：（1）设甲校高三年级学生总人数为n,由题意知，
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为。
（2）设甲、乙两校样本平均分别为，根据样本茎叶图可知。
(A) (B)
(C) (D)
（10）已知函数有两个极值点，若，则关于的方程
的不同实根个数为
（A）3(B)4
(C)5 (D)6
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。

2013年高考文科数学安徽卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校招生(zhāo shēng)全国统一考试（安徽卷）数学(shùxué)（文科(wénkē)）本试卷(shìjuàn)分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分(mǎn fēn)150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013安徽，文1)设i是虚数单位，若复数(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )．A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】D【考点】本题主要考查复数的基本运算以及基本概念，意在考查考生的运算能力。

【解析】由已知，得＝a－3－i，∵复数103ia--为纯虚数，∴a－3＝0，即a＝3.2．(2013安徽，文2)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1，0,1}，则(R A)∩B＝( )．A．{－2，－1} B．{－2} C．{－1,0,1} D．{0,1}【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生的基本运算能力和基本概念的理解能力。

【解析】∵A＝{x|x＞－1}，∴R A＝{x|x≤－1}，∴(R A)∩B＝{－2，－1}．3．(2013安徽，文3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( )．A．34B．16C．1112D．2524【答案】C【考点】本题主要考查程序框图的循环结构，计算输出结果，意在考查考生对循环结构的理解和计算累加的和。

【解析】开始，2＜8，s＝0＋，n＝2＋2＝4；返回，4＜8，，n＝4＋2＝6；返回，6＜8，，n＝6＋2＝8；返回，8＜8不成立，输出.4．(2013安徽，文4)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )．A ．充分(chōngfèn)不必要条件B ．必要(bìyào)不充分条件C ．充分(chōngfèn)必要条件D ．既不充分(chōngfèn)也不必要条件【答案(d á àn)】B【考点】本题主要考查充分必要条件的基本知识和基本概念，意在考查考生对方程的求解以及概念的识别。

高三数学月考试题及答案-安徽合肥市2013届高三第三次教学质量检测(文)

安徽省合肥市2013届高三第三次教学质量检测数学试题（文）(考试时间：120分钟满分：150分）第I 卷（满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若U={-2,-1,0,1,2},M={-1，0,1}，N={-2,-1,2}，则)(N M C U ＝( ) A. φB.{0，1}C.{-2，0,1，2}D. {-1}2. 已知（1+i)(a+bi)=3-i(i 为虚数单位，a ，b 均为实数），则a 的值为（） A.0B. 1C.2D.33.直线l 经过点（1，-2)，且与直线x+2y=O 垂直，则直线l 的方程是（）A. 2x + y - 4 = OB. 2x + y - 4 = OC. 2x - y -4 =OD. 2x - y + 4 = O4. 已知函数f(x)=Asin()0,0(),>>+A x ωϕω的部分图像如图所示,则实数ω的值为（ )A.21B. 1C.2D.45. 若l ，m 为空间两条不同的直线，a, β为空间两个不同的平面，则 l 丄a 的一个充分条件是（） A,l//β且a 丄β B. l β⊂且a 丄β C.l 丄β且a//βD.l 丄m 且m//a6. 右图的程序框图中输出S 的结果是25，则菱形判断框内应填入的条件是（）A. i <9B.i>9C.i ≤9D.i ≥97. 对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据（x i ，y i )( i=1，2，…，8)，其回归直线方程是a x y +=31：，且x 1+x 2+x 3+…+x 8=2(y 1+y 2+y 3+…+y 8)=6，则实数a 的值是（）A.161B.81C.41 D. 21 8.设e 1，e 2是两个互相垂直的单位向量，且2131e e +=，2121e e +=则在上的投影为（）A.410B.35C.65D.322 9. 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-≤+≤11313x y x y x y 所表示的平面区域面积为（ )A,23 B.2 C.25D.310.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若f(x)的最小正周期为4，且f( 1)>1，f(2)=m 2-2m,f(3)=152+-m m ，则实数m 的取值集合是（） A. }32|{<m m B.{O ，2} C. }341|{<<-m m D. {0}第II 卷（满分1OO 分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置） 11.函数f(x)= x lg 1-的定义域为______12.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为y=x 43，焦点到渐近线的距离为3，则该双曲线的方程为______ 13.甲、乙两人需安排值班周一至周四共四天，每人两天，具体安排抽签决定，则不出现同一人连续值班情况的概率是_____14.右图为一个简单组合体的三视图,其中正视图由一个半圆和一个正方形组成，则该组合体的体积为______.15.下列关于数列{a n }的命题：①数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n = a n + 1，则{a n }不一定是等比数列；②数列{a n }满足a n+ 3 - a n+ 2 = a n + 1 - a n 对任意正整数n 恒成立，则{a n }一定是等差数列；③数列{a n }为等比数列，则{a n ·a n+1}为等比数列； ④数列{a n }为等差数列，则{a n +a n+1}为等差数列；⑤数列{a n }为等比数列，且其前n 项和为S n 则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2 ,…也成等比数列. 其中真命题的序号是_______（写出所有真命题的序号）.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(本小题满分12分）已知向量a= (1，-2)，b=(2sin 2A ,cos 2A),且a ·b=1 (I)求sinA 的值；(II)若A 为ΔABC 的内角，)2,0(π∈A ,ΔABC 的面积为73，AB=4，求BC 的长.17.(本小题满分12分）根据空气质量指数4PI(整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对甲、乙两城市某周从周一到周五共5天的空气质量进行监测，获得的API 数据如下图的茎叶图.(I)请你运用所学的统计知识,选择三个角度对甲乙两城市本周空气质量进行比较；(II)某人在这5天内任选两天到甲城市参加商务活动，求他在两天中至少有一天遇到优良天气的概率.18.(本小题满分12分）如图BB 1 ,CC 1 ，DD 1均垂直于正方形AB 1C 1D 1所在平面A 、B 、C 、D 四点共面. (I)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(II)若E,F 分别为AB 1 ,D 1C 1上的点，AB 1 =CC 1 =2BB 1 =4,AE = D 1F =1.求证:CD 丄平面DEF;19.(本小题满分13分）已知椭圆C: )0(12222>>=+b a by a x 的顶点到焦点的最大距离为22+，且离心率为22(I)求椭圆的方程；(II)若椭圆上两点A 、B 关于点M(1，1)对称，求|AB|20.(本小题满分I3分）已知函数f(x)=(x-1)e x -ax 2(I)当a=1时，求函数f(x)在区间[0,2]上零点的个数;(II)若f(x)≤ 0在区间[0，2]上恒成立，求实数a 的取值范围.21.(本小题满分13分）已知正项等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，满足2S n =a n ·a n+1 (I )求数列{a n }的通项公式； (II)设b n =na n S 21，T n =b 1+b 2+…+b n,求证:T n <3.。

2013年安徽省高考数学试卷(文科)

高考注意事项1．进入考场时携带的物品。

考生进入考场，只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。

严禁携带手机、无线发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正带、助听器、文具盒和其他非考试用品。

考场内不得自行传递文具等物品。

由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备，所以提醒考生应考时尽量不要佩戴金属饰品，以免影响入场时间。

2．准确填写、填涂和核对个人信息。

考生在领到答题卡和试卷后，在规定时间内、规定位置处填写姓名、准考证号。

填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清的答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规的，查实后按照有关规定严肃处理。

监考员贴好条形码后，考生必须核对所贴条形码与自己的姓名、准考证号是否一致，如发现不一致，立即报告监考员要求更正。

3．考场面向考生正前方的墙壁上方悬挂时钟，为考生提供时间参考。

考场时钟的时间指示不作为考试时间信号，考试时间一律以考点统一发出的铃声信号为准。

2013年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分,共50分．在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位,若复数a﹣（a∈R）是纯虚数,则a的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．32．（5分）已知A={x|x+1＞0},B={﹣2,﹣1,0,1},则（∁R A）∩B=（）A．{﹣2,﹣1}B．{﹣2}C．{﹣2,0,1}D．{0,1}3．（5分）如图所示,程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．B．C．D．4．（5分）“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．47．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和,S8=4a3,a7=﹣2,则a9=（）A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．28．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1,x2,…x n,使得==…=,则n的取值范围为（）A．{2,3}B．{2,3,4}C．{3,4}D．{3,4,5}9．（5分）设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=（）A．B． C． D．10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,若f（x1）=x1＜x2,则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．（5分）函数y=ln（1+）+的定义域为．12．（5分）若非负数变量x、y满足约束条件,则x+y的最大值为．13．（5分）若非零向量,满足||=3||=|+2|,则与夹角的余弦值为．14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时．f （x）=x（1﹣x）,则当﹣1≤x≤0时,f（x）=．15．（5分）如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时,S为四边形②当CQ=时,S为等腰梯形③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时,S为六边形⑤当CQ=1时,S的面积为．三、解答题16．（12分）设函数f（x）=sinx+sin（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小值,并求使f（x）取得最小值的x的集合；（Ⅱ）不画图,说明函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．17．（12分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,现从这两个学校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩（百分制）作为样本,样本数据的茎叶图如图：（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为、,估计﹣的值．18．（12分）如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°．已知PB=PD=2,PA=．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC（Ⅱ）若E为PA的中点,求三菱锥P﹣BCE的体积．19．（13分）设数列{a n}满足a1=2,a2+a4=8,且对任意n∈N*,函数f（x）=（a n﹣a n+1+a n+2）x+a n+1cosx﹣a n+2sinx满足f′（）=0（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2（a n+）求数列{b n}的前n项和S n．20．（13分）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2,其中a＞0,区间I={x|f（x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a,β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0,1）,当1﹣k≤a≤1+k时,求I长度的最小值．21．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4,且过点P（,）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设Q（x0,y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E．取点A（0,2）,连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．2013年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分,共50分．在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位,若复数a﹣（a∈R）是纯虚数,则a的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】利用复数的运算法则把a﹣（a∈R）可以化为（a﹣3）﹣i,再利用纯虚数的定义即可得到a．【解答】解：∵=（a﹣3）﹣i是纯虚数,∴a﹣3=0,解得a=3．故选：D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．2．（5分）已知A={x|x+1＞0},B={﹣2,﹣1,0,1},则（∁R A）∩B=（）A．{﹣2,﹣1}B．{﹣2}C．{﹣2,0,1}D．{0,1}【分析】先利用一元一次不等式的解法化简集合A,再求其在实数集中的补集,最后求集合B与A的补集的交集即可．【解答】解：∵A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1},∴C U A={x|x≤﹣1},∴（∁R A）∩B={x|x≤﹣1}∩{﹣2,﹣1,0,1}={﹣2,﹣1}故选：A．【点评】本题主要考查了集合的补集与交集运算,属于集合运算的常规题．3．（5分）如图所示,程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．B．C．D．【分析】根据所给数值执行循环语句,然后判定是否满足判断框中的条件,一旦不满足条件就退出循环,从而到结论．【解答】解：由程序框图知,循环体被执行后S的值依次为：第1次S=0+,第2次S=+,第3次S=++,此时n=8不满足选择条件n＜8,退出循环,故输出的结果是S=++=．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构,是当型循环,当满足条件,执行循环,属于基础题．4．（5分）“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】本题考查的判断充要条件的方法,我们可以根据充要条件的定义进行判断．【解答】解：若（2x﹣1）x=0 则x=0或x=．即（2x﹣1）x=0推不出x=0．反之,若x=0,则（2x﹣1）x=0,即x=0推出（2x﹣1）x=0所以“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的必要不充分条件．故选：B．【点评】判定条件种类,根据定义转化成相关命题的真假来判定．一般的,①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．5．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．【分析】设“甲或乙被录用”为事件A,则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”,先求出,再利用P（A）=1﹣P（）即可得出．【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A,则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”,则==．因此P（A）=1﹣P（）=1﹣=．故选：D．【点评】熟练掌握互为对立事件的概率之间的关系是解题的关键．6．（5分）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．4【分析】化圆的方程为标准方程,求出圆的圆心坐标和半径,由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离,利用勾股定理求出半弦长,则弦长可求．【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0,得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5,所以圆的圆心坐标是C（1,2）,半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系,是基础题．7．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和,S8=4a3,a7=﹣2,则a9=（）A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．2【分析】利用等差数列有前n项和公式和通项公式,列出方程组,求出首项和公差,由此能求出第9项．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和,S8=4a3,a7=﹣2,∴,解得a1=10,d=﹣2,∴a9=a1+8d=10﹣16=﹣6．故选：A．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用．8．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1,x2,…x n,使得==…=,则n的取值范围为（）A．{2,3}B．{2,3,4}C．{3,4}D．{3,4,5}【分析】由表示（x,f（x））点与原点连线的斜率,结合函数y=f（x）的图象,数形结合分析可得答案．【解答】解：令y=f（x）,y=kx,作直线y=kx,可以得出2,3,4个交点,故k=（x＞0）可分别有2,3,4个解．故n的取值范围为2,3,4．故选：B．【点评】正确理解斜率的意义、函数交点的意义及数形结合的思想方法是解题的关键．9．（5分）设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=（）A．B． C． D．【分析】3sinA=5sinB,由正弦定理可得：3a=5b,可得a=,又b+c=2a,可得c=,不妨取b=3,则a=5,c=7．再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵3sinA=5sinB,由正弦定理可得：3a=5b,∴a=,又b+c=2a,可得c=2a﹣b=,不妨取b=3,则a=5,c=7．∴cosC===﹣,∵C∈（0,π）,∴．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,若f（x1）=x1＜x2,则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根,必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0,可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解的个数．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根,∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．∵x1＜x2,∴,．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0,∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2,f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象,∵f（x1）=x1,可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象,∵f（x1）=x1,∴f （x1）﹣x2＜0,可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：A．【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及方程解的个数、平移变换等基础知识,考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．二．填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．（5分）函数y=ln（1+）+的定义域为（0,1] ．【分析】根据偶次根式下大于等于0,对数的真数大于0,建立不等式组解之即可求出所求．【解答】解：由题意得：,即解得：x∈（0,1]．故答案为：（0,1]．【点评】本题主要考查了对数函数的定义域,以及偶次根式函数的定义域,属于基础题．12．（5分）若非负数变量x、y满足约束条件,则x+y的最大值为4．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域,再将目标函数赋予几何意义,最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分,其中,可得A（4,0）目标函数z=x+y可以变形为y=﹣x+z,可看做斜率为﹣1的动直线,其纵截距越大z越大,=4+0=4由图数形结合可得当动直线过点A时,z最大故答案为：4【点评】本题主要考查了线性规划,以及二元一次不等式组表示平面区域的知识,数形结合的思想方法,属于基础题13．（5分）若非零向量,满足||=3||=|+2|,则与夹角的余弦值为﹣．【分析】利用条件化简可得4=﹣4,由此可得||•||=||•||cos＜,＞,从而求得与夹角的余弦值．【解答】解：由题意可得=9,且=+4+4,化简可得4=﹣4,∴||•||=﹣||•||cos＜,＞,∴cos＜,＞=﹣=﹣,故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量夹角公式的应用,属于中档题．14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时．f （x）=x（1﹣x）,则当﹣1≤x≤0时,f（x）=﹣x（x+1）．【分析】当﹣1≤x≤0时,0≤x+1≤1,由已知表达式可求得f（x+1）,根据f（x+1）=2f（x）即可求得f（x）．【解答】解：当﹣1≤x≤0时,0≤x+1≤1,由题意f（x）=f（x+1）=（x+1）[1﹣（x+1）]=﹣x（x+1）,故答案为：﹣x（x+1）．【点评】本题考查函数解析式的求解,属基础题,正确理解函数定义是解决问题的关键．15．（5分）如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时,S为四边形②当CQ=时,S为等腰梯形③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时,S为六边形⑤当CQ=1时,S的面积为．【分析】由题意作出满足条件的图形,由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．【解答】解：如图当CQ=时,即Q为CC1中点,此时可得PQ∥AD1,AP=QD1==,故可得截面APQD1为等腰梯形,故②正确；由上图当点Q向C移动时,满足0＜CQ＜,只需在DD1上取点M满足AM∥PQ,即可得截面为四边形APQM,故①正确；③当CQ=时,如图,延长DD1至N,使D1N=,连接AN交A1D1于S,连接NQ交C1D1于R,连接SR,可证AN∥PQ,由△NRD1∽△QRC1,可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2,故可得C1R=,故正确；④由③可知当＜CQ＜1时,只需点Q上移即可,此时的截面形状仍然上图所示的APQRS,显然为五边形,故错误；⑤当CQ=1时,Q与C1重合,取A1D1的中点F,连接AF,可证PC1∥AF,且PC1=AF,可知截面为APC1F为菱形,故其面积为AC1•PF==,故正确．故答案为：①②③⑤．【点评】本题考查命题真假的判断与应用,涉及正方体的截面问题,属中档题．三、解答题16．（12分）设函数f（x）=sinx+sin（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小值,并求使f（x）取得最小值的x的集合；（Ⅱ）不画图,说明函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数,根据正弦函数的图象与性质即可求出满足题意x的集合；（Ⅱ）根据变换及平移规律即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sinx+cosx=sinx+cosx=sin（x+）,∴当x+=2kπ﹣（k∈Z）,即x=2kπ﹣（x∈Z）时,f（x）取得最小值﹣,此时x的取值集合为{x|x=2kπ﹣（k∈Z）}；（Ⅱ）先由y=sinx的图象上的所有点的纵坐标变为原来的倍,横坐标不变,即为y=sinx的图象；再由y=sinx的图象上的所有点向左平移个单位,得到y=f（x）的图象．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式,正弦函数的定义域与值域,以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,熟练掌握公式是解本题的关键．17．（12分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,现从这两个学校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩（百分制）作为样本,样本数据的茎叶图如图：（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为、,估计﹣的值．【分析】（I）先设甲校高三年级总人数为n,利用甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05得=0.05求出n,又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5,利用对立事件的概率可估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率；（II）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1,a2,利用茎叶图中同一行的数据之差可得30（a1﹣a2）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+…+92=15,从而求出a1﹣a2的值,最后利用样本估计总体的思想得出结论即可．【解答】解：（I）设甲校高三年级总人数为n,则=0.05,∴n=600,又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5,∴估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率1﹣=；（II）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1,a2,由茎叶图可知,30（a1﹣a2）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+…+92=15,∴a1﹣a2==0.5．∴利用样本估计总体,故估计x1﹣x2的值为0.5．【点评】此题考查了学生的识图及计算能力,茎叶图,及格率的定义及平均数的定义．18．（12分）如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°．已知PB=PD=2,PA=．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC（Ⅱ）若E为PA的中点,求三菱锥P﹣BCE的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD,AC交于O点,分别证明出PO⊥BD,BD⊥AC,根据线面垂直的判定定理证明出BD⊥平面PAC．（Ⅱ）先证明出△ABD≌△PBD,求得PO,根据勾股定理证明出AC⊥PO,求得△PAC 的面积,最后根据V P=V B﹣PEC=V B﹣PAC求得答案．﹣BCE【解答】（Ⅰ）证明：连接BD,AC交于O点,∵PB=PD,∴PO⊥BD,又ABCD是菱形,∴BD⊥AC,∵PO⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,AC∩PO=O,∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）则AC=2,∵△ABD和△PBD的三边长均为2,∴△ABD≌△PBD,∴AO=PO=,∴AO2+PO2=PA2,∴AC⊥PO,S△PAC=•AC•PO=3,V P﹣BCE=V B﹣PEC=V B﹣PAC=••S△PAC•BO=××3×1=．【点评】本题主要考查了线面垂直的判定问题,三棱锥的体积计算．解题过程中注重了对学生基础定理的考查．19．（13分）设数列{a n}满足a1=2,a2+a4=8,且对任意n∈N*,函数f（x）=（a n﹣a n+1+a n+2）x+a n+1cosx﹣a n+2sinx满足f′（）=0（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2（a n+）求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（I）利用导数的运算法则先求出f′（x）,再利用,即可得到数列{a n}是等差数列,再利用已知及等差数列的通项公式即可得出a n；（II）利用（I）得出b n,利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出S n．【解答】解：（I）∵f′（x）=a n﹣a n+1+a n+2﹣a n+1sinx﹣a n+2cosx,．=a n+a n+2对任意n∈N*,都成立．∴2a n+1∴数列{a n}是等差数列,设公差为d,∵a1=2,a2+a4=8,∴2+d+2+3d=8,解得d=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+n﹣1=n+1．（II）由（I）可得,=2（n+1）+,∴S n=2[2+3+…+（n+1）]+==．【点评】数列掌握导数的运算法则、等差数列的通项公式、等差数列和等比数列的前n项和公式是解题的关键．20．（13分）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2,其中a＞0,区间I={x|f（x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a,β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0,1）,当1﹣k≤a≤1+k时,求I长度的最小值．【分析】（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I,由区间长度定义可得I的长度；（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=,利用导数可判断d（a）的单调性,由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得,通过作商比较可得答案．【解答】解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0,＞0,故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2},因此区间I=（0,）,区间长度为；（Ⅱ）设d（a）=,则d′（a）=,令d′（a）=0,得a=1,由于0＜k＜1,故当1﹣k≤a＜1时,d′（a）＞0,d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时,d′（a）＜0,d （a）单调递减,因此当1﹣k≤a≤1+k时,d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得,而=＜1,故d（1﹣k）＜d（1+k）,因此当a=1﹣k时,d（a）在区间[1﹣k,1+k]上取得最小值,即I长度的最小值为．【点评】本题考查二次不等式的求解,以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能,考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．21．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4,且过点P（,）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设Q（x0,y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E．取点A（0,2）,连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．【分析】（I）根据椭圆的焦距为4,得到c==2,再由点P（）在椭圆C上得到,两式联解即可得到a2=8且b2=4,从而得到椭圆C的方程；（II）由题意得E（x0,0）,设D的坐标为（x D,0）,可得向量、的坐标,根据AD ⊥AE得,从而算出x D=﹣,因为点G是点D关于y轴的对称点,得到G （,0）．直线QG的斜率为k QG=,结合点Q是椭圆C上的点化简得k QG=﹣,从而得到直线QG的方程为：y=﹣（x﹣）,将此方程与椭圆C的方程联解可得△=0,从而得到方程组有唯一解,即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点,由此即得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．【解答】解：（I）∵椭圆C：+（a＞b＞0）的焦距为4,∴c=2,可得=2…①又∵点P（）在椭圆C上∴…②联解①②,可得a2=8且b2=4,椭圆C的方程为；（II）由题意,得E点坐标为（x0,0）,设D（x D,0）,可得=（x0,﹣）,=（x D,﹣）,∵AD⊥AE,可得∴x0x D+（﹣）•（﹣）=0,即x0x D+8=0,得x D=﹣∵点G是点D关于y轴的对称点,∴点G的坐标为（,0）因此,直线QG的斜率为k QG==又∵点Q（x0,y0）在椭圆C上,可得∴k QG==﹣由此可得直线QG的方程为：y=﹣（x﹣）,代入椭圆C方程,化简得（）x2﹣16x0x+64﹣16=0将代入上式,得8x2﹣16x0x+8=0,化简得x2﹣2x0x+=0,所以△=,从而可得x=x0,y=y0是方程组的唯一解,即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点．综上所述,可得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．【点评】本题给出椭圆的焦距和椭圆上的点P的坐标,求椭圆的方程并由此讨论直线QG与椭圆公共点的个数问题．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线位置关系等知识,属于中档题．。

2013年安徽高考数学文科试卷带详解

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）一．选择题选择题：本大题共10小题.每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i 是虚数单位，若复数10()3i a a -∈-R 是纯虚数，则a 的值为（） A.-3 B. -1 C.1 D.3【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】根据纯虚数的定义求a .【参考答案】D【试题解析】先利用复数的运算法则将复数化为i ,x y x y +∈R （）的形式，再由纯虚数的定义求a 由纯虚数的定义，知30a -=，所以3a =.2．已知{}{}|10,2,1,0,1,A x x B =+>=--则()A B =R ð （）A.{}2,1--B.{}2-C.{}1,0,1-D.{}0,1【测量目标】集合的基本运算(补集、交集).【考查方式】集合的表示法（描述法，列举法），求集合的补集、交集.【参考答案】A【试题解析】解不等式求出集合A ，进而得A R ð，再由集合交集的定义求解.因为集合{}|1A x x =>，所以{}|1A x x =-R ≤ð，则()A B =R ð{}{}{}|12,,012,1x x ---=-- ≤.3．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（） A.34 B.16 C.1112 D.2524第3题图【测量目标】条件语句、循环语句的程序框图.【考查方式】根据程序框图的逻辑结构求出s .【参考答案】C【试题解析】利用框图的条件结构和循环结构求解.110,2,28,0;22s n s ==<=+= 113224,48,;244n s =+=<=+=3111426,68,;4612n s =+=<=+= 628n =+=，88<不成立，输出s 的值为11.12 4．“(21)0x x -=”是“0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】充分必要条件.【考查方式】考查命题的基本关系，充分条件、必要条件的判断方法.【参考答案】B【试题解析】先解一元二次方程(21)0x x -=，再利用充分条件、必要条件的定义判断.当0x =时，显然(21)0x x -=；当(21)0x x -=时，0x =或12x =，所以“(21)0x x -=” 是“0x =”的必要不充分条件.5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（） A.23 B. 25 C. 35 D.910【测量目标】随机事件与概率.【考查方式】把所求事件转化为求其对立事件，然后求出概率.【参考答案】D【试题解析】解决本题的关键是求出甲或乙被录用的可能结果种数，直接求解情况较多，可间接求解，再用古典概型求概率.由题意，从五位大学毕业生录用三人，所有不同的可能结果有（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，其中“甲与乙均未被录取”的所有不同的可能结果只有（丙，丁，戊）这1种，故其对立事件“甲与乙被录用”的可能结果有9种，所求概率910P =.A.1B.2C.4D.【测量目标】直线与圆的相交方程、点到直线距离公式.【考查方式】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后利用勾股定理求弦长.【参考答案】C【试题解析】圆的方程可化为22:(1)(2)5C x y -+-=，其圆心为(1,2)C ，半径R =.（步骤1）如图所示，取弦AB 的中电P ，连接CP ,则CP AB ⊥.第6题图圆心C 到直线AB的距离 1.d CP === （步骤2）Rt ACP AP 在△中，，故直线被圆截得的弦长=4AB . （步骤3）7．设nS 为等差数列{}n a 的前n 项和，83,742,S a a ==-则9a = （） A.-6 B. -4 C. -2 D.2【测量目标】等差数列的基本性质.【考查方式】借助等差数列前n 项的性质，计算数列的公差，进而得到9a 的值.【参考答案】A【试题解析】由等差数列的通项公式与前n 项和公式得1883638()4()42a a S a a a +==+=. 67970.2,226a a d a a d ==-=-=+=-所以又所以公差，.8．函数()y f x =的图象如图所示，在区间[],a b 上可找到()2n n ≥个不同的数12,,,n x x x ，使得1212()()()n nf x f x f x x x x === ，则n 的取值范围为（） A. {}2,3 B. {}2,3,4 C. {}3,4 D. {}3,4,5第8题图【测量目标】斜率公式、直线与曲线相交.【考查方式】考查斜率公式、直线与曲线的交点个数以及数形结合思想的应用，把1212()()()n nf x f x f x x x x === 的条件转化为曲线上点与原点的斜率相等，再转化为过原点的直线与曲线有n 个交点，考查了抽象概括能力.【参考答案】B 【试题解析】利用()f x x的几何意义，将所求转化为直线与曲线的交点个数问题并列用数形结合求解. 由题意，函数()y f x =上的任一点坐标为(,())x f x ，故()f x x 表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率.若()11()n nf x f x x x == ，则曲线上存在n 个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线()y f x =有n 个交点.如图，数形结合可得n 的取值可为2,3,4.9．设ABC △的内角A ,B ,C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3s i n 5s i nb c a A B +==,则角C = （） A. π3 B. 2π3 C. 3π4 D. 5π6【测量目标】正弦定理、余弦定理的基本运算.【考查方式】利用正弦定理、余弦定理和解三角形的基本知识，将三角形中正弦关系转化为边的关系，进而利用余弦定理求解角的大小.【参考答案】B【试题解析】利用正弦定理、余弦定理求解.3sin 5sin A B =，得35a b =，又因为2b c a += 所以57,33a b c b == （步骤1）所以22222257()()133cos .52223b b b a bc C ab b b +-+-===-⨯⨯ （步骤2）因为(0,π)C ∈，所以2π3C = . （步骤3） 10．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x a f x b ++=的不同实根个数为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【测量目标】函数的单调性、极值.【考查方式】利用定函数的导函数和函数图象的变化趋势，数形结合判断函数图象的交点个数进而求出实根个数.【参考答案】A【试题解析】先求给定函数的导函数，由极值点的定义及题意，得出1()f x x =或2()f x x =，再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.因为2()32f x x ax b '=++，函数()f x 的两个极值点为1x ，2x则1()0f x '=，2()0f x '=，所以1x ，2x 是方程2320x ax b ++=的两根（步骤1）所以解关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=，得1()f x x =或2()f x x =. （步骤2）由上述可知函数()f x 在区间12(,),(,)x x -∞+∞上单调递增，在区间12(,)x x 上单调递减（步骤3）又112()f x x x =<，由数形结合可知1()f x x =时有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，所以不同实根的个数为3. （步骤4）二．填空题11．函数1In(1y x =+的定义域为_____________.【测量目标】复合函数的定义域.【考查方式】根据复合函数解析式列出限制条件，根据不等式组求出定义域.【参考答案】(]0,1【试题解析】列出函数有意义的限制条件，解不等式组. 要使函数有意义，需211010x x ⎧+>⎪⎨⎪-⎩≥即2101x x x +⎧>⎪⎨⎪⎩≤即1,011x x x <->⎧⎨-⎩≤≤解得01x <≤，所以定义域为(0,1] 12．若非负数变量,x y 满足约束条件124x y x y --⎧⎨+⎩≥≤，则x y +的最大值为__________.【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】结合约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最大值．【参考答案】4【试题解析】先画出可行线，再画目标函数线过原点时的直线，向上平移，寻找满足条件的最优解，代入即可得所求.第12题图根据题目中的约束条件画出可行域，注意到,x y 非负,得可行域为如图所示的阴影部分（包括边界）.作直线y x =-，并向上平移，数形结合可知，当直线过点(4,0)A 时，x y +取得最大值，最大值为4.15．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，P 批为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.第15题图①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R满足11=3C R ；④当314CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S 的面积为2【测量目标】空间立体图形截面的基本性质.【考查方式】考查了平面的基本性质、截面的画法以及各种平面图形的特征，以正方体为载体，通过几何体的截面考查了空间想象能力.【参考答案】①②③⑤【试题解析】利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解.① 当102CQ <<时，如图.第15题图在平面11AA D D 内，作AE PQ ，显然E 在棱1DD 上，连接EQ则S 是四边形APQE . （步骤1）② 当12CQ =时，如图.第15题图显然11PQ BC AD ，连接1D Q ，则S 是等腰梯形. （步骤2）③ 当34CQ =时，如图. 第15题图作AE PQ 交1DD 的延长线于点E ，11,,2D E AE PQ = 连接EQ 交11C D 于点R ，由于11Rt Rt RC Q RD E △△，1111::1:2C Q D E C R RD ∴==,113C R ∴=. (步骤3) ④ 当314CQ <<时，如图（3），连接RM （点M 为AE 与11A D 交点），显然S 为五边形APQRM . （步骤4）⑤ 当1CQ =时，如图. 第15题图同③可作AE PQ 交1DD 的延长线于点E ，交11A D 于点M ，显然点M 为11A D 的中点，所以S 为菱形APQM ，其面积为1122MP AQ ⨯== （步骤5）三．解答题16．（本小题满分12分）设函数π()sin sin()3f x x x =++. （Ⅰ）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合；（Ⅱ）不画图，说明函数()y f x =的图象可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到.【测量目标】三角函数的图象及性质、三角恒等变换.【考查方式】把目标函数通过恒等变换转换为三角函数标准式得到结果，结合三角函数解析式，考查三角函数图象的平移伸缩变换等基础知识和基本技能.【试题解析】解：（1）ππ()sin sin cos cos sin 33f x x x x =++13sin sin sin 22x x x x x =++=ππ))66x x =+=+ . （步骤1）当πsin()16x +=-时，min ()f x =此时π3π4π2π,2π()623x k x k k +=+∴=+∈Z （步骤2）所以，()f x 的最小值为x 的集合4π|2π,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z . （步骤3）（2）sin y x =y x =；（步骤4）然后y x =向左平移π6个单位，得π())6f x x =+. （步骤5）17．（本小题满分12分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：第17题图（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x ，估计12x x -的值.【测量目标】随机抽样、茎叶图.【考查方式】利用样本估计总体的思想，从茎叶图中得出数据进行平均数计算.【试题解析】解：（1）由样本数据除以所占比例得总体n ，计算样本中的及格率，利用样本估计总体设甲校高三年级学生成绩不及格人数为n .30300.056000.05n n =⇒== 255306P == （步骤1）（2）甲、乙两校平均数分别为12,x x1740504246092670922805290220843030x ++⨯++⨯++⨯++⨯++⨯== 254014503176010337010208059020693030x +++⨯++⨯++⨯++⨯+== （步骤2） 1220842069150.5303030x x ∴-=-== （步骤3）18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60oBAD ∠=.已知,PB PD PA ==. （Ⅰ）证明：PC BD ⊥（Ⅱ）若E 为PA 的中点，求四棱锥P BCE -的体积.第18题图【测量目标】点、直线、平面之间的位置关系四棱锥体积公式.【考查方式】根据线面垂直得到线线垂直；根据四棱锥体积求出体积.【试题解析】（1）证明：连接,BD AC 交于O 点第18题图PB PD = P O B D ∴⊥ （步骤1）又ABCD 是菱形 B D A C ∴⊥ （步骤2）而AC PO O =BD ∴⊥面PACBD PC ∴⊥ （步骤3）(2) 由（1）BD PAC ⊥面011sin 453222PEC PAC S S ====△△ （步骤4） 111132322P BEC B PEC V V S PEC BO --===⨯⨯= △ （步骤5）19．（本小题满分13分）设数列{}n a 满足12a =，248a a +=,且对任意*n ∈N ，函数 1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++- 满足π()02f '= (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12()2nn n a b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【测量目标】等差数列、等比数列的基本性质.【考查方式】根据()f x 的导函数证明n a 为等差数列，然后根据首项、公差得到通项公式；把{}n a 通项公式代入{}n b ，求出结果.【试题解析】解：（1）由12a = 248a a +=1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++-1212()sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-- （步骤1） 121π()02n n n n f a a a a +++'=-+-=所以，122n n n a a a ++=+{}n a ∴是等差数列. （步骤2）而12a =，34a =，1d =. 2(1)11n a n n ∴=+-=+ （步骤3）（2）11112()2(1)2(1)222n n n a n nb a n n +=+=++=++ （步骤4） 11(1)2(21)221212n n n n S -++=+- 1(3)12n n n =++- 21312n n n =++- （步骤5）20．（本小题满分13分）设函数22()(1)f x ax a x =-+，其中0a >，区间{}|()0I x f x =>.（Ⅰ）求I 的长度（注：区间(),αβ的长度定义为βα-；（Ⅱ）给定常数(0,1)k ∈，当11k a k -+≤≤时，求I 长度的最小值. 【测量目标】一元二次方程、导函数.【考查方式】利用导数求函数单调区间、最值.【试题解析】解：（1）令22()(1)0f x ax a x =-+=解得10x = 221a x a =+ （步骤1） 2|01a I x x a ⎧⎫∴=<<⎨⎬+⎩⎭I ∴的长度2121a x x a -=+ （步骤2）（2）(0,1)k ∈ 则0112k a k <-+<≤≤由（1）21a I a =+ ()222101a I a -'=>+，则01a << （步骤3）故I 关于a 在()1,1k -上单挑递增，在(1,1)k +上单调递减122111(1)22k k I k k k--==+--+ （当1a k =-时） 222111(1)22k k I k k k ++==++++ （当1a k =+时） 12I I < ∴min 2122k I k k-=-+ （步骤4） 21．（本小题满分13分）【考查方式】根据焦距和点P 求出椭圆的标准方程；联立直线与椭圆方程求证公共点个数.【试题解析】解：（1）因为椭圆过点P 22231a b∴+= 且222a b c =+，2c =4. 28a ∴= 24b = 24c = ∴椭圆C 的方程是22184x y +=. （步骤1）（2）第21题图由题意，各点的坐标如上图所示则QG 的直线方程：0000808x x y y x x --=- 化简得20000(8)80x y x x y y ---= （步骤2）又220028x y +=所以00280x x y y +-=代入22184x y += （步骤3）求得最后0∆=所以直线QG 与椭圆只有一个公共点. （步骤4）。

2013年安徽省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•安徽）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则把a﹣（a∈R）可以化为（a﹣3）﹣i，再利用纯虚数的定义即可得到a．解答：解：∵=（a﹣3）﹣i是纯虚数，∴a﹣3=0，解得a=3．故选D．点评：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．2．（5分）（2013•安徽）已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B=（）A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣2，0，1} D．{0，1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：先利用一元一次不等式的解法化简集合A，再求其在实数集中的补集，最后求集合B 与A的补集的交集即可．解答：解：∵A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，∴C U A={x|x≤﹣1}，∴（∁R A）∩B={x|x≤﹣1}∩{﹣2，﹣1，0，1}={﹣2，﹣1}故选A．点评：本题主要考查了集合的补集与交集运算，属于集合运算的常规题．3．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．解答：解：由程序框图知，循环体被执行后S的值依次为：第1次S=0+，第2次S=+，第3次S=++，此时n=8不满足选择条件n＜8，退出循环，故输出的结果是S=++=．故选C．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．4．（5分）（2013•安徽）“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断．解答：解：若（2x﹣1）x=0 则x=0或x=．即（2x﹣1）x=0推不出x=0．反之，若x=0，则（2x﹣1）x=0，即x=0推出（2x﹣1）x=0所以“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的必要不充分条件．故选B点评：判定条件种类，根据定义转化成相关命题的真假来判定．一般的，①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．5．（5分）（2013•安徽）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．考点：互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，先求出，再利用P（A）=1﹣P（）即可得出．解答：解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，则==．因此P（A）=1﹣P（）=1﹣=．故选D．点评：熟练掌握互为对立事件的概率之间的关系是解题的关键．6．（5分）（2013•安徽）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1B．2C．4D．4考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．解答：解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．故选C．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题．7．（5分）（2013•安徽）设s n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，则a9=（）A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．2考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得，解此方程组，求得首项和公差d的值，即可求得a9的值．解答：解：∵s n为等差数列{a n}的前n项和，s8=4a3，a7=﹣2，即．解得a1=10，且d=﹣2，∴a9=a1+8d=﹣6，故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，属于基础题．8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…x n，使得==…=，则n的取值范围为（）A．{2，3} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{3，4，5}考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．解答：解：令y=f（x），y=kx，作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选B．点评：正确理解斜率的意义、函数交点的意义及数形结合的思想方法是解题的关键．9．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B．C．D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理将3sinA=5sinB转化为5b=3a，从而将b、c用a表示，代入余弦定理即可求出cosC，即可得出∠C．解答：解：∵b+c=2a，由正弦定理知，5sinB=3sinA可化为：5b=3a，解得c=b，由余弦定理得，cosC==，∴C=，故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．10．（5分）（2013•安徽）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）A．3B．4C．5D．6考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f （x）=x1或f（x）=x2解得个数．解答：解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．∵x1＜x2，∴，．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：A．点评：本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．（5分）（2013•安徽）函数y=ln（1+）+的定义域为（0，1]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0，建立不等式组解之即可求出所求．解答：解：由题意得：，即解得：x∈（0，1]．故答案为：（0，1]．点评：本题主要考查了对数函数的定义域，以及偶次根式函数的定义域，属于基础题．12．（5分）（2013•安徽）若非负数变量x、y满足约束条件，则x+y的最大值为4．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解答：解：画出可行域如图阴影部分，其中，可得A（4，0）目标函数z=x+y可以变形为y=﹣x+z，可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=4+0=4故答案为：4点评：本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题13．（5分）（2013•安徽）若非零向量，满足||=3||=|+2|，则与夹角的余弦值为﹣．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用条件化简可得4=﹣4，由此可得||•||=||•||cos＜，＞，从而求得与夹角的余弦值．解答：解：由题意可得=9，且=+4+4，化简可得4=﹣4，∴||•||=﹣||•||cos＜，＞，∴cos＜，＞=﹣=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．14．（5分）（2013•安徽）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时．f （x）=x（1﹣x），则当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣x（x+1）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，由已知表达式可求得f（x+1），根据f（x+1）=2f（x）即可求得f（x）．解答：解：当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，由题意f（x）=f（x+1）=（x+1）[1﹣（x+1）]=﹣x（x+1），故答案为：﹣x（x+1）．点评：本题考查函数解析式的求解，属基础题，正确理解函数定义是解决问题的关键．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q 为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．解答：解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确．故答案为：①②③⑤．点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．三、解答题16．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=sinx+sin（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；（Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）f（x）解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出满足题意x的集合；（Ⅱ）根据变换及平移规律即可得到结果．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sinx+cosx=sinx+cosx=sin（x+），∴当x+=2kπ﹣（k∈Z），即x=2kπ﹣（x∈Z）时，f（x）取得最小值﹣，此时x的取值集合为{x|x=2kπ﹣（k∈Z）}；（Ⅱ）先由y=sinx的图象上的所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，即为y=sinx的图象；再由y=sinx的图象上的所有点向左平移个单位，得到y=f（x）的图象．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（12分）（2013•安徽）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，现从这两个学校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为、，估计﹣的值．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（I）先设甲校高三年级总人数为n，利用甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05得=0.05求出n，又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，利用对立事件的概率可估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率；（II）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1，a2，利用茎叶图中同一行的数据之差可得30（a1﹣a2）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+…+92=15，从而求出a1﹣a2的值，最后利用样本估计总体的思想得出结论即可．解答：解：（I）设甲校高三年级总人数为n，则=0.05，∴n=600，又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，∴估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率1﹣=；（II）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1，a2，由茎叶图可知，30（a1﹣a2）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+…+92=15，∴a1﹣a2==0.5．∴利用样本估计总体，故估计x1﹣x2的值为0.5．点评：此题考查了学生的识图及计算能力，茎叶图，及格率的定义及平均数的定义．18．（12分）（2013•安徽）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）证明：PC⊥BD（Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）连接AC交BD于O，连接PO．菱形ABCD中，证出AC⊥BD且O是BD的中点，从而得到PO是等腰△PBD中，PO是底边BD的中线，可得PO⊥BD，结合PO、AC是平面PAC内的相交直线，证出BD⊥平面PAC，从而得到PC⊥BD；（II）根据ABCD是边长为2的菱形且∠BAD=60°，算出△ABC的面积为，△PAO 中证出AO2+PO2=6=PA2可得PO⊥AC，结合PO⊥BD证出PO⊥平面ABCD，所以PO=是三棱锥P﹣ABC的高，从而三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC=1，再由E为PA中点算出三棱锥E﹣ABC的体积V E﹣ABC=，进而可得三棱锥P﹣BCE的体积等于V P﹣ABC﹣V E﹣ABC=，得到本题答案．解答：解：（I）连接AC交BD于O，连接PO∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O是BD的中点∵△PBD中，PD=PB，O为BD中点，∴PO⊥BD∵PO、AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD；（II）∵ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴BO=AB=1，AC==2，可得△ABC的面积为S=AC×BO=∵△PBD中，PB=PD=BD=2，∴中线PO=BD=因此，△PAO中AO2+PO2=6=PA2∴PO⊥AC，结合PO⊥BD得到PO⊥平面ABCD，得到三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC=×S△ABC×PO==1∵E为PA中点，∴E到平面ABC的距离d=PO=由此可得三棱锥E﹣ABC的体积V E﹣ABC=×S△ABC×d=×=因此，三棱锥P﹣BCE的体积V P﹣EBC=V P﹣ABC﹣V E﹣ABC=．点评：本题给出底面为菱形的四棱锥，求证线线垂直并求锥体的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、菱形的性质及面积计算和锥体体积公式等知识，属于中档题．19．（13分）（2013•安徽）设数列{a n}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意n∈N*，函数f（x）=（a n﹣a n+1+a n+2）x+a n+1cosx﹣a n+2sinx满足f′（）=0（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2（a n+）求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；导数的运算；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用导数的运算法则先求出f′（x），再利用，即可得到数列{a n}是等差数列，再利用已知及等差数列的通项公式即可得出a n；（II）利用（I）得出b n，利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出S n．解答：解：（I）∵f′（x）=a n﹣a n+1+a n+2﹣a n+1sinx﹣a n+2cosx，．∴2a n+1=a n+a n+2对任意n∈N*，都成立．∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，∵a1=2，a2+a4=8，∴2+d+2+3d=8，解得d=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+n﹣1=n+1．（II）由（I）可得，=2（n+1）+，∴S n=2[2+3+…+（n+1）]+==．点评：数列掌握导数的运算法则、等差数列的通项公式、等差数列和等比数列的前n项和公式是解题的关键．20．（13分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．考点：导数的运算；一元二次不等式的解法．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．解答：解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0，＞0，故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，因此区间I=（0，），区间长度为；（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d （a）单调递减，因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为．点评：本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．21．（13分）（2013•安徽）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）根据椭圆的焦距为4，得到c==2，再由点P（）在椭圆C上得到，两式联解即可得到a2=8且b2=4，从而得到椭圆C的方程；（II）由题意得E（x0，0），设D的坐标为（x D，0），可得向量、的坐标，根据AD⊥AE得，从而算出x D=﹣，因为点G是点D关于y轴的对称点，得到G（，0）．直线QG的斜率为k QG=，结合点Q是椭圆C上的点化简得k QG=﹣，从而得到直线QG的方程为：y=﹣（x﹣），将此方程与椭圆C的方程联解可得△=0，从而得到方程组有唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点，由此即得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．解答：解：（I）∵椭圆C：+（a＞b＞0）的焦距为4，∴c=2，可得=2…①又∵点P（）在椭圆C上∴…②联解①②，可得a2=8且b2=4，椭圆C的方程为；（II）由题意，得E点坐标为（x0，0），设D（x D，0），可得=（x0，﹣），=（x D，﹣），∵AD⊥AE，可得∴x0x D+（﹣）•（﹣）=0，即x0x D+8=0，得x D=﹣∵点G是点D关于y轴的对称点，∴点G的坐标为（，0）因此，直线QG的斜率为k QG==又∵点Q（x0，y0）在椭圆C上，可得∴k QG==﹣由此可得直线QG的方程为：y=﹣（x﹣），代入椭圆C方程，化简得（）x2﹣16x0x+64﹣16=0将代入上式，得8x2﹣16x0x+8=0，化简得x2﹣2x0x+=0，所以△=，从而可得x=x0，y=y0是方程组的唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点．综上所述，可得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．点评：本题给出椭圆的焦距和椭圆上的点P的坐标，求椭圆的方程并由此讨论直线QG与椭圆公共点的个数问题．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．。

安徽省2013届高三省级示范高中名校联考数学(文)试题含答案

绝密★启用前2013安徽省省级示范高中名校高三联考数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第a 卷（非选择题）两部分。

第I 卷第1至第2页，第n 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂．黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第B 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U=｛1，2，3，4，5｝，集合A=｛1，2，5｝，C U B ＝｛2，5｝，则A ∩B=（）A.｛1｝B.｛1，2｝C.（I ，2，5｝D.｛1，3，4｝2.已知i 是虚数单位，则32 ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.命题“,x x R e x ∃∈<”的否定是（）A. ,x x R e x ∃∈>B. ,x x R e x ∀∈≥C. ,x x R e x ∃∈≥D. ,x x R e x ∀∈> 4.如图所示程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A. 3B. 11C. 38D. 1235.为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14)内的频数为（）A. 780B. 680C. 648D. 4606.设不重合的两条直线l 1 ：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2 ：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0，向量m ＝（a 1，－b 1），n =（a 2，一b 2），则“m ∥n"是“11∥12”的（）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,3,…， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间［1,450］的人数为n 1 ,编号落人区间［451,750］的人数为n 2，其余的人数为n 3 ,则n 1：n 2：n 3＝（）A. 15：10：7B. 15：9：8C. 1：1：2D. 14：9：98．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r 与x 轴正方向的夹角为60°。

2013年合肥一模测试数学文科答案

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8安徽省合肥市2013届高考二模--数学文试题(WORD解析版) 2

2013年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2013•合肥二模）已知i是虚数单位，则复数=（）A．+i B．﹣+i C．﹣﹣i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．解答：解：复数===﹣+i，故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2013•合肥二模）已知集合A={x∈R||x|≥2}，B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}且R为实数集，则下列结论正确的是（）A．A∪B=R B．A∩B≠∅C．A⊆（∁R B）D．A⊇（∁R B）考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：探究型．分析：先分别求出集合A，B，然后求出集合A∪B，A∩B以及∁R B，利用集合中元素的关系去判断各选项之间的关系．解答：解：集合A={x∈R||x|≥2}={x∈R|x≥2或x≤﹣2}，B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}={x∈R|﹣1＜x＜2}．所以A∪B={x∈R|x＞﹣1或x≤﹣2}，所以A错误．所以A∩B=∅，所以B错误．∁R B={x∈R|x≥2或x≤﹣1}，所以A⊆（∁R B），所以C正确，D错误．故选C．点评：本题的考点是利用集合元素之间的关系去判断两个集合之间的关系．3．（5分）（2013•合肥二模）图是一个几何体的三视图，则该几何体的，表面积为（）A．24+4B．24﹣2C．26﹣2D．26+2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，我们可以得到该几何体底部是一个底面边长为2的正方体，上部高也为2的四棱锥，代入棱锥表面积公式，即可求出答案．解答：解：由已知中的三视图，我们可以得到该几何体底部是一个底面边长为2的正方体，上部高也为2的四棱锥，底部分的表面积S1=5×2×2=20，上部分表面积S2=2（+）=4+4所以表面积为24+4故选A点评：本题考查三视图与直观图的关系，几何体的表面积的求法，正确判断几何体的形状是解题的关键4．（5分）（2013•合肥二模）焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A，若线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，3]C．（3，+∞）D．[3，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出左焦点F，右顶点的坐标，求得线段FA的中点的坐标，再利用线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，列出不等式，即可求出离心率的范围．解答：解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），则左焦点F（﹣c，0），右顶点为A（a，0），线段FA的中点坐标为M（，0）∵线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，∴≤﹣a，如图．则a﹣c≤﹣2a，∴3a≤c，∴e≥3．故选D．点评：本题考查双曲线的准线，考查双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题．5．（5分）（2013•合肥二模）若tanα=﹣，则cos2α=（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：所求式子利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tanα=﹣，∴cos2α====．故选C点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．6．（5分）（2013•合肥二模）点（x，y）满足，若目标函数z=x﹣2y的最大值为1，则实数a的值是（）A．1B．﹣1 C．﹣3 D．3。

安徽省合肥一中等六校教育研究会2013届高三2月测试(文科)数学试题及答案

安徽省合肥一中等六校教育研究会2013届高三2月测试数学试题（文）注意事项：1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2. 考生务必在答题卷上答题，考试结束后交回答题卷。

第I 卷选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）1．设i z -=1（i 为虚数单位），则=+z z 22( )A ．i --1B ．i +-1C ． i +1 D.i -12. 若对,),0,(0R x a ∈∃-∞∈∀使a x a ≤0cos 成立，则0cos x 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.21B.23C.21-D.23-3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．2 B ．1 C ．23D ．134．已知集合}R M ∈+==λλ),4,3()2,1(，}R N ∈+--==λλ),5,4()2,2( ，则N M ⋂等于( )A ．{(1,1)}B ．{(1,1)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．φ5．设函数(2)(2)(),()1()1(2)2n xa x x f x a f n x -≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数a 的取值范围为( )A ．（-∞，2）B ．（-∞，74） C ．（-∞，13]8 D ．13[,2)86．已知三棱锥S —ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为( )A ．36B ．6C ．3D ．97．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且OP a OM a ON 10081006+=（直线MP 不过点O ），则2013S 等于（）A ．1008B ．2013C ．1006.5D ．10068．某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（） A ．2)(x x f =B ．xx f 1)(=C ．62ln )(-+=x x x fD ．3sin )(x x x f +=9．已知点P 是抛物线x y 82-=上一点，设P 离是1d ，到直线010=-+y x 的距离是2d ，则21d d +是（）A. 3B. 32C. 26 D ．3 10．函数2sin 3)(x x x f -=在),0[+∞上的零点个数是（ A. 3 B. 4 C. 5D. 6 第II 卷 (非选择题共100分)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．设双曲线)0(22≠=-λλy x 的两条渐近线与直线22=x 围成的三角形区域（包含边界）为Ω， P （y x ,）为Ω内的一个动点，则目标函数y x z 2-=的最小值为 .12．从原点O 向圆03422=+-+y y x 作两条切线，切点为B A ,,则⋅的值为 13．在ABC ∆中,角C B A 、、的对边分别为c b a ,,，)1,cos (-=C b ,)1,cos )3((B a c -=,且∥n ，则B cos 值为 . 14．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20－80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2013年1月1日至1月7日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共38800人，如图是对这38800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为___________．15．设函数()f x x x bx c =++，给出命题：图1. M AEBDCF① 当0c =时，()y f x =是奇函数；② 当0b =，0c >时，方程()0f x =只有一个实根； ③ 函数()y f x =的图象关于点(0,)c 对称； ④ 方程()0f x =至多有两个实根.其中正确命题为______ (填序号) 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（本小题满分12分）B A 、是单位圆O 上的动点，且B A 、分别在第一、二象限，点C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，AOB ∆为正三角形。

【解析版】安徽省合肥一中等六校教育研究会2013届高三2月联考数学文试题

安徽省合肥一中等六校教育研究会2013届高三下学期2月联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）1．（5分）设z=1﹣i（i为虚数单位），则z2（），从而可得答案．===本题考查复数代数形式的乘除运算，求是难点，考查运算能力，属于中档题．2．（5分）若对∀a∈（﹣∞，0），∃x0∈R，使acosx0≤a成立，则=（）B的值，代入题中即可得出的值．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）S=V=4．（5分）已知向量集合，，则M∩N=（）M={=x+上，x+上，5．（5分）设函数，若数列{a n}是单调，），解得＜，6．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的所以长方体的对角线的长度为：7．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若M、N、P三点共线，O为坐标原点，且（直线MP不过点O），则S2013等于（）由三点共线的向量表示法：×8．（5分）某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）的函数图象与9．（5分）已知点P是抛物线y2=﹣8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线B=2＜（=1+6，（），，）﹣（＞=））（，（，，二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）设双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为D，点P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z=x﹣2y的最小值为﹣．然后把这两个方程和直线，，，A B，的最小值为．12．（5分）从原点O向圆x2+y2﹣4y+3=0作两条切线，切点为A，B，则•的值为．，的模及其夹角，利用向量的数量积公式，即可求得结论．故答案为：解题的关键是分别计算13．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，，，且∥，则cosB值为．，，且∥，，故答案为：14．（5分）（2013•怀化二模）根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年3月15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为4320．15．（5分）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出四个命题：①c=0时，y=f（x）是奇函数；②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；③y=f（x）的图象关于（0，c）对称；④方程f（x）=0至多有两个实数根；上述命题中正确的命题的序号是①②③．=x|x|+c=，令令三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）（2011•宁波模拟）A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限，C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB 为等腰直角三角形．记∠AOC=α．（1）若A点的坐标为（，），求的值；（2）求|BC|2的取值范围．，=，∴=＜17．（12分）如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE 于点F，且点F在CE上．（1）求证：DE⊥BE；（2）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（3）设点M在线段AB上，且AM=MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．中，…18．（12分）（2013•怀化二模）随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视．从学生体检评价报告单了解到我校3000名学生的体已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15．（1）求x的值；（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名？（3）已知y≥243，z≥243，肥胖学生中男生不少于女生的概率．故数，结合抽样比为=，．答：肥胖学生中女生少于男生的概率为．19．（12分）将函数在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n}（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的表达式．=）由由于sinx+2013（（又∵函数是以+=（[1[1[120．（13分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（Ⅱ）若a≠0 求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．．＜，，），，得或，，，）和（）的单调递减区间为（，﹣，）和（﹣﹣﹣﹣，则=+=．（舍）21．（14分）已知椭圆的上下焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆方程；（2）已知直线l的方向向量为（1，），若直线l与椭圆交于P、Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．（3）过点T（1，0）作直线l与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若．证明：λ+μ为定值．．的方程为，．|PQ|=的距离为，面积的最大值为消去，，∴=。

安徽省六校教育研究会高三数学2月联考试题文新人教A版

数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若(1)(2)a bi i i +=+-（i 是虚数单位，,a b 是实数），则a b +的值是（）（A ）2（B ）3（C ）4（D ）52．若正实数,x y 满足2x y +=，且1M xy≥恒成立，则 M 的最大值为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．执行如图所示的程序框图．若输出15S =，则框图中① 处可以填入（）（A ） 4n >？（B ）8n > ？（C ）16n >？（D ）16n <？ 4．若定义域为R 的函数()f x 不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是（）（A ）,()()x R f x f x （B ）,()()x R f x f x（C ）000,()()x R f x f x （D ）000,()()x R f x f x5．函数2cos ()22y x x x ππ=-≤≤的图象是（）6．等差数列前n 项和为n S ，若281130a a a ，则13S 的值是( )(A) 130(B) 65(C) 70(D) 757. 已知直线30x y m ++=与圆229x y +=交于,A B 两点，则与向量OA OB +(O 为坐标原点)共线的一个向量为（）（A ）313-（，）（B ）313（，）（C ）1（，3）（D ）1（，-3）8．某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（）（A) 43 （B ） 8 （C ）83 （D ） 479．若点(,)P a b 在函数23ln y x x =-+的图像上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图像上，则22()()ac bd 的最小值为（）（A ）2 （B ） 2 （C ）22 （D ）810．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为( )（A ）2 （B ）22（C ）3（D ）43第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

安徽省省级示范高中2013届高三第二次联考(华普教育最后一卷)数学(文)试题(扫描版,word版解析)

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安徽省合肥一中等六校教育研究会2013届高三2月测试数学试题（文）注意事项：1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2. 考生务必在答题卷上答题，考试结束后交回答题卷。

第I 卷选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分） 1．设i z -=1（i 为虚数单位），则=+z z 22( )A ．i --1B ．i +-1C ． i +1 D.i -12. 若对,),0,(0R x a ∈∃-∞∈∀使a x a ≤0cos 成立，则0cos x 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.21 B.23 C.21-D.23-3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．2 B ．1 C ．23D ．134．已知集合}R M ∈+==λλ),4,3()2,1(，}RN ∈+--==λλ),5,4()2,2( ，则N M ⋂等于( )A ．{(1,1)}B ．{(1,1)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．φ5．设函数(2)(2)(),()1()1(2)2n xa x x f x a f n x -≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数a 的取值范围为( )A ．（-∞，2）B ．（-∞，74） C ．（-∞，13]8D ．13[,2)86．已知三棱锥S —ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为( )A ．36B ．6C ．3D ．97．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且OP a OM a ON 10081006+=（直线MP 不过点O ），则2013S 等于（）A ．1008B ．2013C ．1006.5D ．10068．某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（） A ．2)(xx f = B ．xx f 1)(=C ．62ln )(-+=x x x f D ．3sin )(x x x f +=9．已知点P 是抛物线x y 82-=上一点，设P 离是1d ，到直线010=-+y x 的距离是2d ，则21d d +是（）A. 3B. 32C. 26 D ．3 10．函数2sin 3)(x x x f -=在),0[+∞上的零点个数是（ A. 3 B. 4 C. 5D. 6 第II 卷 (非选择题共100分)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．设双曲线)0(22≠=-λλy x 的两条渐近线与直线22=x 围成的三角形区域（包含边界）为Ω， P （y x ,）为Ω内的一个动点，则目标函数y x z 2-=的最小值为 .12．从原点O 向圆03422=+-+y y x 作两条切线，切点为B A ,,则OB OA ⋅的值为 13．在ABC ∆中,角C B A 、、的对边分别为c b a ,,，)1,cos (-=C b m ,)1,cos )3((B a c n -=,且m ∥n ，则B cos 值为 .14．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20－80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2013年1月1日至1月7日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共38800人，如图是对这38800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为___________．15．设函数()f x x x bx c =++，给出命题：图1.MAEBDCF① 当0c =时，()y f x =是奇函数；② 当0b =，0c >时，方程()0f x =只有一个实根； ③ 函数()y f x =的图象关于点(0,)c 对称； ④ 方程()0f x =至多有两个实根.其中正确命题为______ (填序号) 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（本小题满分12分）B A 、是单位圆O 上的动点，且B A 、分别在第一、二象限，点C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，A O B ∆为正三角形。

记A O C α∠=(1)若A 点的坐标为54,53(，求 αααα2cos cos 2sin sin 22++的值(2)用α的函数关系式表示2BC , 并求2BC 的取值范围。

17．（本小题满分12分）如图，四边形A B C D 为矩形，D A ⊥平面A B E ,2A E E B B C ===，B F ⊥平面AC E 于点F ，且点F 在C E 上.（1）求证：D E BE ⊥；（2）求四棱锥E A B C D -的体积；（3）设点M 在线段A B 上，且AM M B =，试在线段C E 上确定一点N ，使得//M N 平面D AE .18．（本题满分12分）随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视。

从学生体检评价报告单了解到我校3000名学生的体重发育评价情况，得下表：已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15。

（1）求x 的值；（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名？（3）已知243≥y ，243≥z ，肥胖学生中男生不少于女生的概率。

19．（本题满分12分）．将函数20132cos2sin)(+=x x x f 在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{}n a (n ∈N *)． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n n a b 2=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的表达式． 20．（本小题满分13分）已知322()2f x x ax a x =+-+．（1）若1a =，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）若0<a ，求函数()f x 的单调区间；（3）若不等式22ln ()1x x f x a '≤++恒成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a bxa y的上下焦点分别为21,F F ，短轴两个端点为B A ,，且四边形B AF F 21是边长为2的正方形。

（1）求椭圆方程；（2)已知直线l 的方向向量为(1,2),若直线l 与椭圆交于Q P 、两点,O 为坐标原点，求OPQ ∆面积的最大值.（3）过点)0,1(T 作直线l 与椭圆交于N M 、两点，与y 轴交于点R ,若NT RN MT RM μλ==,.证明：μλ+为定值。

安徽省六校教育研究会2013年高三素质测试数学试题（文）参考答案11．22-12．23 13．3114．5820 15．①②③三、解答题16. （本小题满分12分）解：（1）4tan 3α=2tan 202ααα+=-22tan 原式=tan …… 6分（2）(,),(cos(),sin()),1033A x yBC ππαα++且（，）222cos(1sin ()22cos()333BCπππααα⎡⎤=+-++=-+⎢⎥⎣⎦）A,B 5cos()032632ππππαα+∈∴+∈-而分别在第一、二象限，（，），（）222BC +的范围（， …… 12分17（本小题满分12分）解（1）因为D A ⊥平面A B E ，B C∥D A 所以AE BC ⊥，D A BE ⊥因为B F ⊥平面AC E 于点F ，AE BF ⊥因为BC BF B =，所以A E ⊥面BEC ，则AE BE ⊥因为AE AD A =，所以BE ⊥面D AE ，则D E BE ⊥……4分（2）作EH AB ⊥，因为面A B C D 平面A B E ，所以EH ⊥面A C 因为AE BE ⊥，2A E E B B C ===，所以EH =1182333E A B C D A B C D V E H S -=⋅=⨯⨯=……8分（3）因为B E B C =，B F ⊥平面AC E 于点F ，所以F 是E C 的中点设是B E 的中点，连接,MP FP 所以M P ∥A E ,FP ∥D A ，因为A E D A A =，所以面MPF ∥面DAE ,则M F ∥面D AE ，则点N 就是点F ……12分 18（本小题满分12分）.MAEDCFH P（1）由题意可知，15.03000=x ，∴x ＝450（人）； ……………3分（2）由题意可知，肥胖学生人数为500=+z y （人）。

设应在肥胖学生中抽取m 人，则300060500=m ，∴10=m （人）答：应在肥胖学生中抽10名。

………………………………6分（3）由题意可知， 500=+z y ，且243≥y ，243≥z ，满足条件的（y ，z ）有（243，257），（244，256），…，（257，243），共有15组。

设事件A ：“肥胖学生中男生不少于女生”，即z y ≤，满足条件的（y ，z ）（243，257），（244，256），…，（250，250），共有8组，所以 158)(=A P 。

答：肥胖学生中女生少于男生的概率为158。

……12分19（本小题满分12分）解：(1)f (x )＝xx f x cos 21)(,2013sin 21,=+，0)('=x f 其极值点为x ＝k π＋π2(k ∈Z)．又它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以π2为首项，π为公差的等差数列，∴a n ＝π2＋(n －1)·π＝2n －12π(n ∈N *)．…….6分 (2)∵b n ＝2na n ＝π2(2n －1)·2n， ∴T n ＝π2[1·2＋3·22＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ]， 2T n ＝π2[1·22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1]，两式相减，得－T n ＝π2[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n －(2n －1)·2n ＋1]， ∴T n ＝π[(2n －3)·2n ＋3]．……………………………12分 20. （本小题满分13分）解：（1） ∵ 1=a ∴2)(23+-+=x x x x f ∴ 123)(2-+='x x x f∴ =k 4)1(='f ，又3)1(=f ，所以切点坐标为)3,1( ∴ 所求切线方程为)1(43-=-x y ，即014=--y x . …………4分（2）22()32()(3)f x x ax a x a x a '=+-=+-由()0f x '= 得x a =- 或3a x =0a <时，由()0f x '<，得3a x a<<-．由()0f x '>，得3a x <或x a >-此时()f x 的单调递减区间为(,)3aa -，单调递增区间为(,)3a -∞和(,)a -+∞ (8)分（3）依题意),0(+∞∈x ，不等式22ln ()1x x f x a '≤++恒成立, 等价于123ln 22++≤ax x x x 在(0,)+∞上恒成立可得x x x a 2123ln --≥在(0,)+∞上恒成立设()xx x x h 2123ln --=, 则()()()22'213121231xx x xx x h +--=+-=令0)(='x h ，得11,-3x x ==（舍）当10<<x 时，0)(>'x h ；当1>x 时，0)(<'x h 当x 变化时，)(),(x h x h '变化情况如下表：∴ 当1=x 时,()x h 取得最大值, ()x h max =-2 2-≥∴a∴ a 的取值范围是[)+∞-,2. ………13分21．（本小题满分14分）解：（1）222,,2c b ac b a +===22=∴b ，∴椭圆方程为12422=+x y ……4分(2)设直线l 的方程为m x y +=2,设),(),,(2211y x Q y x P代入椭圆方程并化简得0422422=-++m mx x ,由)8(8)4(168222>-=--=∆m m m ,可得28m < . ( *)213x x PQ -=. 又点O 到PQ 的距离为3m d =,22)216(22414)216(212222=-+⋅≤-=⋅=∆m m m m d PQ S OPQ故,当且仅当222162m m -=,即2±=m 时取等号(满足*式)所以ABC ∆面积的最大值为2. ……10分（3）依题意知，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为)1(-=x k y 设),0(),,(),,(54433y R y x N y x M则M 、N 满足⎪⎩⎪⎨⎧=+-=142)1(22y x x k y042)2(2222=-+-+k x k x k),1(),(33533y x y y x MT RM --=-∴=λλ又4)(12)(1,1,14343434344333-=++--+=+∴-=-=∴≠x x x x x x x x x x x x x μλμλ同理 …14分。