安徽省江南十校2019届高三3月份综合素质检测文科数学

2019年安徽省“江南十校”综合素质检测数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x|0≤x ＜2}，B ＝Z （Z 为整数集），则A∩B ＝ A ．{1} B ．{0，1} C ．{1，2} D ．{0，1，2} 2．复数z 满足（i －2）z ＝4＋3i ，则|z|＝A B ．3 C D ．53．已知命题p ：0x ∀>，3x ＋x 2＞1，则¬p 为 A ．0x ∃>，3x ＋x 2≤1 B ．0x ∃≤，3x ＋x 2≤1 C ．0x ∀>，3x ＋x 2≤1 D ．0x ∀≤，3x ＋x 2≤14．双曲线22221y x a b-=（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y =，则其离心率为A B C D 5．曲线12ln ()xf x x-=在点P （1，f （1））处的切线l 的方程为 A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝0 6．某圆锥的正视图是腰长为2的等腰三角形，且母线与底面所成的角为60°，则其侧面积为A ．2πB ．C ．3πD ．4π7．已知样本甲：x 1，x 2，x 3，…，x n 与样本乙：y 1，y 2，y 3，…，y n ，满足321i i y x =+（i＝1，2，…，n ），则下列叙述中一定正确的是 A ．样本乙的极差等于样本甲的极差 B ．样本乙的众数大于样本甲的众数C ．若某个x i 为样本甲的中位数，则y i 是样本乙的中位数D ．若某个x i 为样本甲的平均数，则y i 是样本乙的平均数 8．已知函数f （x ）＝x （|x|＋1），则不等式f （x 2）＋f （x －2）＞0的解集为 A ．（－2，1） B ．（－1，2） C ．（－∞，－1）∪（2，＋∞） D ．（－∞，－2）∪（1，＋∞）9．已知函数2()cos()(0)3f x x ωωπ=+>的最小正周期为4π，则下列叙述中正确的是 A ．函数f （x ）的图象关于直线3x π=-对称B ．函数f （x ）在区间（0，π）上单调递增C ．函数f （x ）的图象向右平移3π个单位长度后关于原点对称D ．函数f （x ）在区间[0，π]上的最大值为10．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G ，P ，Q 分别为棱AB ，C 1D 1，D 1A 1，D 1D ，C 1C 的中点．则下列叙述中正确的是A ．直线BQ ∥平面EFGB ．直线A 1B ∥平面EFGC ．平面APC ∥平面EFGD ．平面A 1BQ ∥平面EFG 11．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若232cos cos 22A B C -+=，且△ABC 的面积为214c ，则C ＝ A ．6π B ．3π C ．6π，65π D ．3π，32π12．已知函数21()(21)22x x f x a x bx =+--+（a ，b ∈R ），若函数y ＝f （x ）与函数y ＝f（f （x ））的零点相同，则a －b 的取值范围为 A ．[0，2） B ．（－2，0] C ．（－∞，－2]∪[0，＋∞） D ．（－∞，0]∪[2，＋∞） 二、填空题：本大题共4小题。

13．已知向量(2,)a m =，(5,1)b =，且()a a b ⊥-，则m ＝________．14．设变量x ，y 满足约束条件2024030x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________．15．已知椭圆C ：22196x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心作半径为1的圆F 2，P 为椭圆C 上一点，Q 为圆F 2上一点，则|PF 1|＋|PQ|的取值范围为________．16．已知点A ，B ，C 在半径为2的球O 的球面上，且OA ，OB ，OC 两两所成的角相等，则当三棱锥O －ABC 的体积最大时，平面ABC 截球O 所得的截面圆的面积为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：17．已知数列{a n }中，a 2a 6＝64，且log 2a n ，211log 2n a +，1（n ∈N *）成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足1(1)(1)nn n n a b a a +=++，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．18．斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的正三角形，17A B =，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°．（1）证明：平面A 1BC ⊥平面ABC ； （2）求四棱锥A 1－BCC 1B 1的体积．19．某公司生产的某种产品，如果年返修率低于千分之一，则其生产部门当年考核优秀．现获得该公司2014－2018年的相关数据如下表所示：年份2014 2015 2016 2017 2018 年生产台数x （万台） 2 4 5 6 8 该产品的年利润y （百万元）30 40 60 50 70 年返修台数（台）1958457170注：=年返修台数年返修率年生产台数．（1）从该公司2014－2018年的相关数据中任意选取3年的数据，求这3年中至少有2年生产部门考核优秀的概率．（2）利用上表中五年的数据求出年利润y （百万元）关于年生产台数x （万台）的回归直线方程是y ＝6.5x ＋17.5①．现该公司计划从2019年开始转型，并决定2019年只生产该产品1万台，且预计2019年可获利32（百万元）；但生产部门发现，若用预计的2019年的数据与2014－2018年中考核优秀年份的数据重新建立回归方程，只有当重新估算的2b ，2a 的值（精确到0.01），相对于①中1b ，1a 的值的误差的绝对值都不超过10％时，2019年该产品返修率才可低于千分之一．若生产部门希望2019年考核优秀，能否同意2019年只生产该产品1万台？请说明理由．（参考公式：y bx a =+，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y n x yb x x xn x====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑，a y b x =-⋅，m 相对n 的误差为||100%m n n-⨯．） 20．已知抛物线E 的准线方程为12y =-． （1）求抛物线E 的标准方程；（2）过点Q （0，－2）作斜率为k 1的直线交抛物线E 于A ，B 两点．点P （0，1），连接AP ，BP 与抛物线E 分别交于C ，D 两点，直线CD 的斜率记为k 2，问：是否存在实数λ，使得k 1＋λk 2＝0成立，若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由． 21．已知函数f （x ）＝（ax －1）e x （x ＞0，a ∈R ）（e 为自然对数的底数）． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，f （x ）＞kx －2恒成立，求整数k 的最大值．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为14x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcosθ＝5．（1）写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若P （m ，n ）为曲线C 2上一点，且曲线C 1上存在两点A ，B ，使得∠APB ＝90°，求n 的取值范围．23．[选修4－5：不等式选讲]设函数f （x ）＝lg （|2x －1|＋2|x ＋1|－a ）． （1）当a ＝4时，求函数f （x ）的定义域；（2）若函数f （x ）的定义域为R ，试求a 的取值范围．2019年安徽省“江南十校”综合素质检测文科数学参考答案13．－2或3 14．－8 15．[5，7] 16．83π 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题： 17．（1）∵log 2a n ，211log 2n a +，1成等差数列， ∴21212log log 12n n a a +⨯=+，∴a n ＋1＝2a n ，且a n＞0， ∴数列{a n }是等比数列，由a 2a 6＝64得，a 4＝8，∴a 1＝1，公比q ＝2，∴a n ＝2n －1．（2）由（1）知，111211(21)(21)2121n n n n n nb ---==-++++， ∴011223111111()()()212121212121n T =-+-+-+++++++211111111()()21212121221n n n n n ---+-+-=-+++++． 18．（1）∵AB ＝2，17A B =，∠A 1AB ＝60°， 由余弦定理：22211112cos A B AA AB AA AB A AB =+-⋅∠， 即211123031AA AA AA --=⇒=-或，故AA 1＝3．取BC 中点O ，连接OA ，OA 1， ∵△ABC 是边长为2的正三角形，∴AO ⊥BC ，且3AO =，BO ＝1，又△A 1AB ≌△A 1AC ， ∴117A B AC ==，故A 1O ⊥BC ，且16AO =， ∵22211AO A O AA +=，∴AO ⊥A 1O ，又BC∩AO ＝O ，故A 1O ⊥平面ABC ，∵11AO A BC ⊂平面，∴平面A 1BC ⊥平面ABC ． （2）由（1）121113262334A ABC ABC V S AO -=⋅=⨯⨯⨯=△ ∵11113ABC A B C A ABC V V --=，∴1111222A BCC B A ABC V V --==．19．（1）在2014－2018近五年的相关数据中任取3年的取法有n ＝10， 依条件知，年返修率不超过千分之一的有2014，2016，2018三年的数据， ∴任意选取3年的数据，其中恰有1年生产部门考核优秀的取法有m ＝3， 故至少有2年生产部门考核优秀的概率7110m P n =-=． （2）∵41144i i x x ===∑，411484i i y y ===∑，42194i i x ==∑，41952i i i x y ==∑，∴41242221495244481846.139444304i ii i i x y x yb x x==-⋅-⨯⨯===≈-⨯-∑∑，∴218448423.4730a =-⨯≈（写a 2＝48－6.13×4＝23.48也可） ∴211||6%10%b b b -≈<，211||34%10%a a a -≈<，不符合条件，故若生产部门希望2019年考核优秀，不能同意2019年只生产该产品1万台． 20．（1）由题：E ：x 2＝2y ．（2）∵Q （0，－2），设A （a ，22a ），B （b ，22b ），C （c ，22c ），D （d ，22d ）（a ，c ，d 互不相等），则221222a b a b k a b -+==-，同理22c d k +=； ∵A ，P ，C 三点共线，∴k AP ＝k CP ，即22112()222a c a c a c c a c ac a---=⇒-=-⇒=-，同理2d b =-，∴1222()02222a b a b a b aba b k k ab λλλλ--++++=+=-=⇒=， 联立l AB ：y ＝k 1x －2与得x 2－2k 1x ＋4＝0， 由韦达定理：ab ＝4，故22abλ==． 21．（1）f′（x ）＝[ax －（1－a ）]e x （x ＞0，a ∈R ）， 当a≥1时，f′（x ）≥0，f （x ）在（0，＋∞）上递增； 当0＜a ＜1时，f （x ）在（0，1a a -）上递减，在（1aa-，＋∞）上递增； 当a≤0时，f′（x ）≤0，f （x ）在（0，＋∞）上递减．（2）依题意得（x －1）e x ＞kx －2对于x ＞0恒成立，方法一、令g （x ）＝（x －1）e x －kx ＋2（x≥0），则g′（x ）＝xe x －k （x≥0）， 当k≤0时，f （x ）在（0，＋∞）上递增，且g （0）＝1＞0，符合题意； 当k ＞0时，易知x≥0时，g′（x ）单调递增．则存在x 0＞0，使得000()e 0xg x x k '=-=，且g （x ）在（0，x 0]上递减，在[x 0，＋∞）上递增，∴0min 000()()(1)e 20xg x g x x kx ==--+>， ∴000120x k kx x --+>，0021()1k x x <+-，由0012x x +≥得，0＜k ＜2，又k ∈Z ，∴整数k 的最大值为1．另一方面，k ＝1时，1()1022g '=-<，g′（1）＝e －1＞0 ∴x 0∈（12，1），0021()1x x +-∈（1，2），∴k ＝1时成立．方法二、(1)e 2(0)x x k x x -+<>恒成立，令(1)e 2()(0)x x h x x x -+=>， 则22(1)e 2()(0)x x x h x x x-++'=>， 令t （x ）＝（x 2－x ＋1）e x －2（x ＞0），则t′（x ）＝x （x ＋1）e x ＞0， ∴t （x ）在（0，＋∞）上递增，又t （1）＞0，1()202t =<， ∴存在x 0∈（12，1），使得20000()()(1)e 20xh x t x x x '==-+-=， 且h （x ）在在（0，x 0]上递减，在[x 0，＋∞）上递增，∴min 0002()()11h x h x x x ==+-， 又x 0∈（12，1），∴0011x x +-∈（1，32），∴h （x 0）∈（43，2），∴k ＜2， 又k ∈Z ，∴整数k 的最大值为1．（二）选考题；请考生在第22、23题中任选一题作答。