(最新)2019届高考数学一轮复习 选考部分 专题 矩阵的概念学案(无答案)苏教版选修4-2
2019届高考数学一轮复习 选考部分 专题 矩阵乘法的概念学案(无答案)苏教版选修4-2
矩阵乘法的概念【考纲下载】1.掌握二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义.2.能灵活运用矩阵乘法进行平面图形的变换 .3.了解初等变换及初等变换矩阵的含义.一、【知识回顾】问题1.对向量xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦先做变换矩阵为N=1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦的反射变换T1, 得到向量xy'⎡⎤⎢⎥'⎣⎦, 再对所得向量做变换矩阵为M=1⎡⎢⎣2⎤⎥⎦的伸压变换T2得到向量xy''⎡⎤⎢⎥''⎣⎦, 这两次变换能否用一个矩阵来表示?问题2.矩阵乘法的乘法规则问题3.矩阵乘法的几何意义问题4.初等变换, 初等变换矩阵二、【自学检测】计算:(1)411323-⎡⎤⎡⎢⎥⎢-⎣⎦⎣52-⎤⎥⎦(2)210431-⎡⎤⎡⎢⎥⎢--⎣⎦⎣21⎤⎥⎦(3)0.8150.210-⎡⎤⎡⎢⎥⎢-⎣⎦⎣5⎤⎥-⎦(4)1133211223⎡⎤-⎢⎥-⎡⎢⎥⎢⎣⎢⎥-⎢⎥⎣⎦41⎤⎥-⎦三、【应用举例】探究1 (1)已知A=11221122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, B=11221122⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦; 计算AB .(2)已知A=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=12⎡⎢-⎣43⎤⎥⎦, 计算AB, BA .(3)已知A=1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦, C=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 计算AB、AC .探究2已知A=1013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A2, A3 , A4 , 你能得到A n的结果吗? (n∈N )探究3、已知梯形ABCD, 其中A(0 , 0) , B(3 , 0) , C(1 , 2) , D((1 , 2), 先将梯形作关于x 轴的反射变换, 再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ;(2)求点A , B , C , D在T M作用下所得到的结果;(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形, 并验证(2)中的结论.探究4、已知A=cossinαα⎡⎢⎣sincosαα-⎤⎥⎦, B=cossinββ⎡⎢⎣sincosββ-⎤⎥⎦, 求AB, 并对其几何意义给予探究5.曲线221x y+=在矩阵0001⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到什么图形？复习检测1.已知A=cossinθθ⎡⎢⎣sincosθθ-⎤⎥⎦, 求A2 , A3 , 你能得到A n的结果吗? (n∈N ) .2.计算0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 并用文字描述二阶矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换方式.3.已知△ABC, 其中A(1 , 2), B(2 , 0), C(4 , -2), 先将三角形绕原点按顺时针旋转90°, 再将所得图形的横坐标伸长为原来的3倍, 纵坐标不变.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ;(2)求点A , B , C在变换矩阵M作用下所得到的结果;(3)如果先将图形的横坐标伸长为原来的3倍, 再将所得图形绕原点顺时针旋转90°, 则连续两次变换所对应的变换矩阵M′是什么呢?4.设m , n∈k , 若矩阵A=2mn⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线l : x－5y+1=0变换成另一直线 l′: 2x+y+3=0, 试求出m , n的值.。
2019版高考新创新一轮复习理数江苏专版课件：第十二章 第一节 选修4-2《矩阵与变换》
当 λ＝－1 时，由－4x－2x＋2y＝y＝00， 得矩阵 A 的属于特征值－1 的
一个特征向量为12， 当 λ＝3 时，由24xx＋＋y2＝y＝0，0 得矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特
征向量为－12.
3.[考点二]
(2018·苏北四市期末)已知矩阵 A＝1－12
－82＝－ －1246.
2.[考点二]曲线 C1：x2＋2y2＝1 在矩阵 M＝01 12的作用下变换 为曲线 C2，求 C2 的方程． 解：设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2 ＋2y2＝1上与P对应的点，
则01
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
矩阵的运算
[例 1]
(1)已知 A＝01 00，B＝0－11 0，C＝－ 0 1－01，
计算 AB，AC.
(2)已知 A＝10 00，B＝00 10，计算 AB.
1 (3)已知 A＝12
02 突破点(二) 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．逆矩阵 对于二阶矩阵 A，B，若有 AB＝BA＝E，则称 A 是_可__逆_ 的，B 称为 A 的逆矩阵． 2．二阶行列式 我们把ac db称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值 (或多项式)，记为 det(A)＝ ad－bc .
求曲线 C′的方程． 解：(1)设 M＝ca db，
b＋d b＝30
22，
a＝0， 得ab＋ ＝c2＝，3，
b＋d＝2，
∴a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝03 20.
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]已知矩阵 M＝13 24，α＝12，β＝－03，求 M(2α＋4β)．
2019-2020年高考数学一轮复习矩阵教学案
2019-2020年高考数学一轮复习矩阵教学案1.了解矩阵的概念和几种常见的平面变换2.理解矩阵乘法的概念及简单性质3.理解逆矩阵的概念，会求矩阵的逆矩阵三、重点难点矩阵的乘法及逆矩阵四、知识导学1．已知矩阵，列向量，则2．写出几种常见的平面变换及对应矩阵3.写出二阶矩阵的乘法规则及性质：4.逆矩阵的概念及性质五、课前自学1.计算 .= . = .2. 计算,并解释计算结果的几何意义.3. 已知点在矩阵对应的变换作用下得到点,则点的坐标 .4. (1)已知'10'02x x xy y y⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,试将它写成坐标变换的形式;(2) 已知,试将它写成矩阵乘法的形式;5.已知计算= , .6．若矩阵，求= .六、探究、合作、展示例1．试讨论下列矩阵将所给图形（或方程表示的图形）变成什么图形？（1），曲线方程为：（2），边长为1的正方形例2．（1）求曲线在矩阵对应的变换下得到的曲线的方程; （2）若函数经过矩阵对应的伸压变换得到函数，求矩阵;（3）已知函数的图象经过矩阵121C⎡⎤⎢=⎥⎢⎦⎣对应的变换得到函数的图象，试求函数的解析式。
例3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。
设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
（xx江苏）例4．曲线在二阶矩阵的作用下变换为曲线，（1）求实数的值；（2）求的逆矩阵.七、当堂练习1．点在对应的变换作用下得到的点为 .2．已知直线与直线平行，且过点，求矩阵将直线变换成了什么图形，并写出其表达式.3.已知矩阵所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标4.设可逆矩阵的逆矩阵，求出5.解方程组，其中11122,,11122xA X By⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦.八、小结例5.已知，向量（1）求的特征值；（2）求属于的特征向量和属于的特征向量；（3）确定实数，使向量可以表示为；（4）利用（3）的结论，计算；（5）观察并分析（4）中的结果，能否发现什么规律，并近似计算.例6．自然界生物种群的成长受到多种因素影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。
2019-2020学年高考数学一轮复习 矩阵教案 .doc
2019-2020学年高考数学一轮复习矩阵教案一．课标解读了解矩阵的有关概念，掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法二．课前预习1.已知A=4x⎡⎢⎣32⎤⎥-⎦，B=1z⎡⎢⎣2y⎤⎥-⎦，若A=B，求x y z++= .2.(1)将变换''13x xy y⎡⎤⎡⎤⎡→=⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎣⎦42xy⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦写成坐标变换的形式为 .(2) 将变换''3x x x yy yy⎡⎤-⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦写成矩阵乘法的形式为 .3在矩阵3123⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下得到点(2,5)-的平面上的点P的坐标为 .4.(1)矩阵1212⎡⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换为；(2)1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换为；（3）0001⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换为；（4）1001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换为；（5）2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换为 .三．典型例题例1.已知曲线1xy=，将它绕坐标原点顺时针旋转90︒后，会得到什么曲线？曲线方程是什么？例2.求线段AB在1212⎡⎢⎢⎢-⎢⎣1212⎤-⎥⎥⎥⎥⎦作用下变换的图形，其中A(0,0)，B(1,2).例3.如图，求把平行四边形ABCD变成矩形''''A B C D的变换矩阵M，其中A(-2,0)，B(2,0)，C(3,2)，D(-1,2)，'A(-2,0)，'B(2,0)，'C(2,2)，'D(-2,2).[来源:学科网ZXXK][来源:学.科.网][来源:学,科,网Z,X,X,K][来源[来源:Z_xx_]例4.已知O（0,0）,A（2,1）,O，A，B，C依逆时针方向构成正方形的四个顶点。
（1）求B，C两点的坐标（2）把正方形OABC绕点A按顺时针方向旋转450得到正方形AB’C’O’，求B’、C’、O’三点的坐标。
班级：________姓名：__________学号：_______等第：__________四．学生作业1.圆C:221x y+=在矩阵A=1⎡⎢⎣2⎤⎥⎦对应的伸压变换下变为一个椭圆，这个椭圆的方程为 .2. 已知A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则四边形ABCD在矩阵1001A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦作用后的图形的面积等于 .3.函数2cosy x=在矩阵1A⎡=⎢⎣3⎤⎥⎦变换作用下的结果为 .4.已知曲线C:y＝sin x，矩阵M=⎢⎣⎡1⎥⎦⎤-1，N=⎢⎣⎡1⎥⎦⎤2对曲线C先实施变换TM，再实施变换TN，则曲线C经过两次变换后所得到的曲线方程是____________5. 如果矩阵⎢⎣⎡1⎥⎦⎤11把点A变成点B（3,1）,则点A的坐标是____________6.直线5x y+=在矩阵1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦对应变换作用下变成什么图形？请作出此图形.7.如图所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形''''A B C D，试求变换T对应的矩阵M.8.已知变换T把平面上的点A（2,0）,B（3,1）分别变换成点A’（2,1）,B’（3,2），试变换T对应的矩阵M。
高考数学一轮复习 矩阵导学案
高考数学一轮复习矩阵导学案1、了解矩阵的有关概念；理解二阶矩阵与平面列向量的乘法。
2、会用定义法、公式法、二阶行列式求逆矩阵。
3、会求二阶矩阵的特征值和特征向量，并能用它们解决简单问题。
二：课前预习1、设矩阵的逆矩阵为,a+b+c+d=______________、2、已知矩阵的一个特征值为,其对应的一个特征向量为,已知,则=_________________、3、矩阵与变换若矩阵有特征值,,它们所对应的特征向量分别为和,则矩阵=____________、4、已知,若矩阵所对应的变换把直线:变换为自身,则=____________、三：课堂研讨1、求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程,其中 , 、2、已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝，属于特征值5的一个特征向量为α2=、求矩阵A，并写出A的逆矩阵、3、已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(0,2),B(1,1),C(1,3)、若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A1B1C1,其中B(1,1)在变换T作用下变为点B1(1,-1)、(1)求切变变换T所对应的矩阵M(2)将△A1B1C1绕原点O按顺时针方向旋转30后得到△A2B2C2、求△A2B2C2的面积、四：课后反思备注课堂检测矩阵姓名：1、若,则。
2、已知矩阵,则矩阵=________________、3、已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线、(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)若点在直线上,且,求点的坐标、4、已知矩阵的一个特征值为3, 求的另一个特征值及其对应的一个特征向量、课外作业矩阵姓名：1、已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵M、2、已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量,求曲线在的作用下的新曲线方程、3、已知矩阵,若矩阵属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征向量为、求矩阵的逆矩阵、4、已知,,在矩阵对应变换的作用下,得到的对应点分别为,,,求矩阵、。
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习讲义： 第二十二章 选修4系列 22.1 矩阵与变换讲义
21D, 21D, 21D, 21D, 21D,
B
解答题 ★★★
10 分 10 分 10 分 10 分 10 分
分析解读 江苏高考对选修 4 的考查方式是从“矩阵与变换,坐标系与参数方程,不等式选讲”三个题目中任 意选做两题,试题为容易题,基本是课本改编题,只要掌握基本概念和基本公式、定理就能解决.复习时要严格控 制难度,注意解题的准确性和规范性.
2 所以
B=
1 1
4 1 0 2
.
1
[ ] [ ] [ ] 1 2 0 -2
1 4 1
0
5 1
4
因此,AB=
2 = 0 - 1 .
[ ] [ ] 1
������ 1
3.(2015 江苏,21B,10 分)已知 x,y∈R,向量 α= - 1 是矩阵 A= ������ 0 的属于特征值-2 的一个特征向量,求矩阵 A
2
5.(2017 江苏徐州期末调研)已知矩阵 A= - 1 ������ 的一个特征值为 2,其对应的一个特征向量 α= 1 .求 a,b 的值.
[ ][ ] [ ] [ ] [ ] 1 ������ 2 2
2 + ������ 4
解析 由条件知,Aα=2α,即 - 1 ������ 1 =2 1 ,即 - 2 + ������ = 2 ,
[ ] [ ] 0 1 1 0
(1)因为 A= 1 0 ,B= 0 2 ,
[ ][ ] [ ] 0 1 1 0 0 2
所以 AB= 1 0 0 2 = 1 0 .
(2)设 Q(x0,y0)为曲线 C1 上的任意一点,它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为 P(x,y),
2019版高考数学一轮复习讲义 第二十二章 选修4系列 22.1 矩阵与变换讲义
§ 矩阵与变换
考纲解读
分析解读 江苏高考对选修的考查方式是从“矩阵与变换,坐标系与参数方程,不等式选讲”三个题目中任意选做两题,试题为容易题,基本是课本改编题,只要掌握基本概念和基本公式、定理就能解决.复习时要严格控制
难度,注意解题的准确性和规范性.
命题探究
直线的普通方程为.
因为点在曲线上,所以设(),
从而点到直线的距离
.
当时.
因此当点的坐标为()时,曲线上点到直线的距离取到最小值
.
五年高考
考点 矩阵与变换
.(江苏分)[选修—:矩阵与变换]
已知矩阵
.
()求;
()若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线,求的方程. 解析本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.
()因为,
所以.
()设()为曲线上的任意一点,它在矩阵对应的变换作用下变为(),
则,即所以
因为点()在曲线上,则,
从而,即.
因此曲线在矩阵对应的变换作用下得到曲线.
.(江苏分)已知矩阵,矩阵的逆矩阵,求矩阵.
解析设,
则,
即,
故解得所以.
因此.。
2019届高考数学一轮复习 选考部分 专题 矩阵的概念学案苏教版选修4-2
矩阵的概念
考纲下载：1.掌握矩阵相关概念，会判断矩阵是否相等.
2.会用矩阵的方法处理一些实际问题。
一、【知识回顾】
1.矩阵的概念
2.矩阵的记法
3.2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵表示的意义
4.相等矩阵
5.零矩阵：
6.行矩阵，列矩阵：
二、【自学检测】
1.设O (0, 0)，P (2, 3)，则向量OP →
(2, 3)，将OP →的坐标排成一列，用矩阵表示为： .
2.某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表， 初赛 复赛
用矩阵表示为 .
3.设M 是一个22⨯矩阵，且规定其元素,2,1,2,1,32
==-=j i j i a ij 试求M.
三、【合作探究】
探究1
用矩阵表示下图中的ABC ∆，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0)
探究2
某种水果的产地为21,A A ,销地为21,B B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 水果数量)(ij a ，其中,2,1,2,1==j i
探究3
已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=24
3x
A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y
B ，若A=B ，试求z y x ,,
四、【检测反思】
1、将方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=3
524302y x z x x 中未知数z y x ,,的系数写成矩阵形式。
2、已知200,0202x y x A B y x y +⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
，若A=B ，求x ，y
3、已知平面上一个正方形的四个顶点用矩阵表示为0002a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 求a ，b ，c ， d 及正方形的面积.。
2019届高考数学一轮复习选考部分专题矩阵的概念学案(无答案)苏教版选修42
哈哈哈哈哈哈哈哈你好矩阵的看法考纲下载： 1. 掌握矩阵相关看法，会判断矩阵可否相等.2.会用矩阵的方法办理一些实责问题。
一、【知识回顾】1.矩阵的看法2.矩阵的记法3.2 × 1 矩阵， 2×2 矩阵（二阶矩阵），4.相等矩阵5.零矩阵：6.行矩阵，列矩阵：二、【自学检测】→1. 设O(0, 0)，P(2, 3)，则向量OP 2× 3 矩阵表示的意义→(2, 3)，将OP的坐标排成一列，用矩阵表示为：.2.某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩以下表，初赛复赛哈哈哈哈哈哈哈哈你好甲80 90乙60 85 用矩阵表示为.3. 设 M是一个2 2矩阵，且规定其元素3 2 , 1,2, 1,2,试求 M.aij i j i j三、【合作研究】研究 1用矩阵表示以下图中的ABC ，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0)哈哈哈哈哈哈哈哈你好研究 2某种水果的产地为A1 , A2,销地为 B1 , B2，请用矩阵表示产地A i运到销地 B j水果数量 (a ij ) ，其中i 1,2, j1,2,研究 3x 3 1 y 已知A , Bz ，若 A=B，试求x, y, z4 2 2哈哈哈哈 哈哈哈哈你好四、【检测反思】2x 0 1、将方程组 3x 4z 2中未知数 x, y, z 的系数写成矩阵形式。
5x y 3 2x y 0 x 0 2、已知 A 2 y , B x 2y0 0，若 A=B ，求x ， y 0 a 0 b 3、已知平面上一个正方形的四个极点用矩阵表示为， 0 c2 d 求 a ， b ， c ， d 及正方形的面积 .。
2019届高考数学一轮复习 选考部分 专题 逆矩阵的概念学案(无答案)苏教版选修4-2
逆矩阵的概念【考纲下载】1.理解逆变换和逆矩阵的概念,能用几何变换的观点判断一个矩阵是否存在逆矩阵.2.掌握求矩阵的逆矩阵的方法.3.掌握AB 可逆的条件及(AB) -1的求法, 理解矩阵乘法满足消去解的条件.一、【知识回顾】1.逆变换和逆矩阵的概念注: ①如果A 可逆, 那么逆矩阵唯一.②二阶矩阵可逆的条件2.逆矩阵的求法:①定义法②几何变换法3.AB 可逆的条件及(AB) -1 的求法4.矩阵乘法满足消去解的条件.二、【自学检测】用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在, 把它求出来.(1) A=12⎡⎢12⎥⎥⎦(2) B=1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (3) C=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (4) D=1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、【应用举例】 探究1用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 求出其逆矩阵.(1) A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2)B=10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3)C=01⎡⎢⎣ 10-⎤⎥⎦ (4) D=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦探究2 求下列矩阵的逆矩阵.(1)A=5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2) B=12-⎡⎢⎣1⎤⎥⎦探究3试从几何变换的角度求解AB的逆矩阵.(1) A=1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦, B=1⎡⎢⎣1-⎤⎥⎦(2) A=1⎡⎢⎣2⎤⎥⎦, B=11201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦探究4、设可逆矩阵A=110⎡⎢⎣3b⎤⎥⎦的逆矩阵A -1 =610⎡⎢-⎣3a-⎤⎥⎦, 求a , b .复习检测1.求下列矩阵的逆矩阵(1) A=23-⎡⎢⎣41⎤⎥⎦(2) B=32-⎡⎢⎣11⎤⎥-⎦(3) C=4723⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.试从几何变换的角度求矩阵AB 的逆矩阵.(1) A=12⎢⎢⎣12⎤-⎥ , B=11⎡⎢-⎣ 01⎤⎥⎦ (2) A=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦, B=12⎡⎢12⎥⎥⎦3.已知矩阵A=4002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 求A -1 , B -1 , (AB)-14.已知二阶矩阵A , B, C 的逆矩阵分别为A -1 , B -1 , C -1 , 那么(ABC) -1 , (ACB) -1 , (BCA) -1分别等于什么? 你能将你的结论作进一步的推广吗?。
高考数学一轮复习选考部分专题矩阵乘法的的简单性质学案(无答案)苏教版选修4-2(最新整理)
2019届高考数学一轮复习选考部分专题矩阵乘法的的简单性质学案（无答案）苏教版选修4-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习选考部分专题矩阵乘法的的简单性质学案（无答案）苏教版选修4-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019届高考数学一轮复习选考部分专题矩阵乘法的的简单性质学案（无答案）苏教版选修4-2的全部内容。
矩阵乘法的的简单性质【考纲下载】1.能从矩阵运算和图形变换的角度理解矩阵乘法的简单性质。
2。
能运用矩阵乘法的简单性质进行矩阵乘法的运算。
一、【知识回顾】问题1、实数的乘法满足交换律、结合律和消去律，那么矩阵的乘法是否也满足这些运算律呢？问题2。
矩阵的乘法不满足交换律问题3. 矩阵的乘法满足结合律问题4. 矩阵的乘法不满足消去律二、【自学检测】1．已知M=1201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, N=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 求MN ， NM 。
2。
已知M=1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦， N=3412--⎡⎤⎢⎥--⎣⎦, 求MN ， NM .三、【应用举例】探究1 、已知梯形ABCD ， A（0 , 0) ， B(3 , 0）， C(2 , 2 ）， D（1 ， 2） , 变换T1对应的矩阵P=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 变换T2对应的矩阵Q=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 计算PQ ， QP , 比较它们是否相同, 并从几何变换的角度予以解释。
探究2已知M=3⎡⎢⎣7⎤⎥-⎦， P=1301⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, Q=1017⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求PMQ 。
探究3、已知M=12⎡⎢⎣23-⎤⎥⎦， N=23⎡⎢-⎣11-⎤⎥⎦， J=1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦.(1)试求满足方程MX=N的二阶方阵X ；（2)试求满足方程JYN=M的二阶方阵Y 。
南通高中数学第二讲2.1.1矩阵的概念学案无解答
2.1.1 矩阵的概念学习目标1．了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题．2．了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示．课前导学1．在数学中，将形如13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1380906085⎡⎤⎢⎥⎣⎦，23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦这样的__________________称做矩阵． 2．_____________________________________叫做矩阵的行，______________________ _____________叫做矩阵的列．通常称具有i 行j 列的矩阵为i ×j 矩阵．3．行矩阵: _____________________________________;列矩阵: _____________________________________;零矩阵：_____________________________________．4．当两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的___________________，并且____________________也分别相等时，才有A = B ．课堂探究例1 用矩阵表示下图中的ΔABC ，其中A(－1,0),B (0,2),C(2,0)．例2 某种水果的产地为21,A A ,销地为21,B B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 水果数量)(ij a ，其中1,2,1,2.i j ==例3 已知A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-243x ，B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21z y ，若A ＝B ，试求x ,y ,z ．例4 设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素,1,2;1,2ij a i j i j ===g ，求矩阵A ．课后作业：1．已知A(3,1),B(5,2)，则表示AB u u u r 的列向量为2．某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯30S ，黄灯3S ，红灯20S ，如果分别用1，0，—1表示绿灯、黄灯、红灯，试用23⨯矩阵表示该路口的时间设置为3．设矩阵A 为33⨯矩阵，且规定其元素,,ij ij i j a i j i j =⎧=⎨+≠⎩，其中,1,2,3i j =，那么A 中所有元素之和为4．已知 1 4 1 4x+3 y 2y+7 y x y -+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则x y +=。
高考数学一轮复习 第一部分 基础与考点过关 矩阵与变换学案 选修4-2-人教版高三选修4-2数学学案
选修42 矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－12，MX ＝Y 且Y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求矩阵X . 解：设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ＋y －x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，－x ＋2y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01. 2. 点（－1，k ）在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001之下的对应点的坐标为（－2，－4），求m ，k 的值.解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4，⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－2，k ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，k ＝－4. 3. 已知在一个二阶矩阵M 对应的变换作用下，将点（1，1），（－1，2）分别变换成（1，1），（－2，4），求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，c ＋d ＝1. 由题意可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4， 联立两个方程组，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝43，b ＝－13，c ＝－23，d ＝53.即矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 43－13－23 53. 4. 已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 210所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程.解：设曲线C 上的任意一点P （x ，y ）在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210对应的变换作用下得到点Q（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤121 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即x ＋2y ＝x′，x ＝y′， 所以x ＝y′，y ＝x′－y′2.代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′·x′－y′2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x′－y′22＝1，即x′2＋y′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2. 5. 求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M . 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d， ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b2c －2d . ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c－2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ，2＝－b ，3＝2c ，4＝－2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝32，d ＝－2，∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－232－2.1. 二阶矩阵与平面向量（1） 矩阵的概念在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤231 5，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3 42 0 －1这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素.（2） 行矩阵与列矩阵的乘法规则[a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21].（3） 二阶矩阵与列向量的乘法规则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 2. 几种常见的平面变换（1） 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001时，对应的变换是恒等变换.（2） 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k （k>0，且k≠1）确定的变换T M 称为（垂直）伸压变换.（3） 反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称. （4） 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θ cos θ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度θ.（5） 将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换. （6） 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1（k∈R ，k ≠0）确定的变换称为切变变换. 3. 线性变换的基本性质（1） 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则λα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy .（2） 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，则α＋β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2y 1＋y 2.（3） A 是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A （λα）＝λAα，A （α＋β）＝Aα＋A β.（4） 二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）.4. 二阶矩阵的乘法（1） A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 2c 2d 2，则AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1a 2＋b 1c 2 a 1b 2＋b 1d 2c 1a 2＋d 1c 2 c 1b 2＋d 1d 2.（2） 矩阵乘法满足结合律：（AB ）C ＝A （BC ）. [备课札记]1 二阶矩阵的运算1 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 1x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y .若Aα＝Bα，求实数x ，y 的值.解：Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y －22＋xy ，B α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ， 由Aα＝Bα，得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4. 变式训练已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－2 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－15，满足AX ＝B ，求矩阵X .解：设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－2 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－15，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝5，－2a －b ＝－15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝1，此时X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤71., 2 求变换前后的点的坐标与曲线方程), 2) （1） （2017·苏北四市期中）求椭圆C ：x 29＋y24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13012对应的变换作用下所得的曲线的方程.（2） 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下的曲线方程.解：（1） 设椭圆C 上的点（x 1，y 1）在矩阵A 对应的变换作用下得到点（x ，y ），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤130012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13x 112y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝2y ，代入椭圆方程x 29＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1，所以所求曲线的方程为x 2＋y 2＝1.（2） MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002， 设（x ，y ）是曲线y ＝sin x 上的任意一点，在矩阵MN 对应的变换作用下对应的点为（x′，y ′）.则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝12y′，代入y ＝sin x ，得12y ′＝sin 2x ′，即y′＝2sin 2x ′.即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下的曲线方程为y ＝2sin 2x. 变式训练在平面直角坐标系xOy 中，设点A （－1，2）在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1对应的变换作用下得到点A′，将点B （3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标.解：设B′（x ，y ），依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A′（1，2）. 则A′B →＝（2，2），A′B′→＝（x －1，y －2）.记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4， 所以点B′的坐标为（－1，4）., 3 根据变换前后的曲线方程求矩阵) , 3) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＋2a ＝0.（1） 求实数a 的值； （2） 求A 2.解：（1） 设直线l 上任一点M 0（x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换作用下变为l′上的点M （x ，y ），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0.代入l′方程得（ax 0＋y 0）－（x 0＋ay 0）＋2a ＝0， 即（a －1）x 0－（a －1）y 0＋2a ＝0. 因为（x 0，y 0）满足x 0－y 0＋4＝0， 所以2a a －1＝4，解得a ＝2.（2） 由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 2，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 445.变式训练（2017·镇江期末）已知实数a ，b ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3对应的变换将直线x －y －1＝0变换为自身，求a ，b 的值.解：设直线x －y －1＝0上任意一点P （x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′（x′，y ′），由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y′，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y. 因为P′（x′，y ′）在直线x －y －1＝0上，所以x′－y′－1＝0，即（－1－b ）x ＋（a －3）y －1＝0. 因为P （x ，y ）在直线x －y －1＝0上，所以x －y －1＝0.因此⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＝1，a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.备选变式（教师专享）已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＝1，求矩阵A .解：设直线l ：x ＋y ＝1上任意一点M （x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下，变换为点M′（x′，y ′）.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx ＋ny y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝mx ＋ny ，y ′＝y.又点M′（x′，y ′）在l′上，所以x′－y′＝1， 即（mx ＋ny ）－y ＝1.依题意⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1. , 4 平面变换的综合应用), 4) 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34.求证： （1） （MN ）α＝M （Nα）； （2） 这两个矩阵不满足MN ＝NM .证明：（1） 因为MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012， 所以（MN ）α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52.因为Nα＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，所以M （Nα）＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，所以（MN ）α＝M （Nα）.（2） 由（1）知MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012， NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1112， 所以这两个矩阵不满足MN ＝NM . 备选变式（教师专享）在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A （0，0），B （－1，2），C （0，3）.求△ABC在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0对应的变换作用下所得到的图形的面积.解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0，所以A （0，0），B （－1，2），C （0，3）在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0对应的变换作用下所得到的三个顶点坐标分别为A ′（0，0），B ′（－2，－1），C ′（－3，0）.故S △A ′B ′C ′＝12A ′C ′·|y B ′|＝32.1. （2017·南京、盐城模拟）设a ，b ∈R ，若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30－1b 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值.解：（解法1）取直线l ：ax ＋y －7＝0上点A （0，7），B （1，7－a ）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤07b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3b （7－a ）－1，所以A （0，7），B （1，7－a ）在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A′（0，7b ），B ′（3，b （7－a ）－1）.由题意，知A′，B ′在直线l′：9x ＋y －91＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧7b －91＝0，27＋b （7－a ）－1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13.（解法2）设直线l 上任意一点P （x ，y ），点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q （x′，y ′）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y ′＝－x ＋by. 因为点Q （x′，y ′）在直线l′上，所以9x′＋y′－91＝0. 即27x ＋（－x ＋by ）－91＝0，也即26x ＋by －91＝0. 又点P （x ，y ）在直线l 上，所以有ax ＋y －7＝0. 所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13.2. 已知在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b 对应的变换作用下把点（1，1）变换成点（2，2）.（1） 求a ，b 的值，（2） 求曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A 的变换作用下对应的曲线方程.解：（1） 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，b ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. （2） 设曲线C 上任一点M′（x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换作用下得到点M （x ，y ），∵ A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102，∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋y 0，y ＝2y 0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －12y ，y 0＝12y.∵ 点M′在曲线C 上，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 2＝1.故所求曲线方程为x 2－xy ＋12y 2＝1.3. 已知a ，b ∈R ，若在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b3所对应的变换作用下把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a ，b.解：设直线2x －y ＝3上任意一点A （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下得到点A 0（x 0，y 0），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ＋ay ，y 0＝bx ＋3y. ∵ 2x 0－y 0＝3，∴ 2（－x ＋ay ）－（bx ＋3y ）＝3. 即（－2－b ）x ＋（2a －3）y ＝3.此直线即为2x －y ＝3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝2，2a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. 4. 二阶矩阵M 对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）.设直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234. 设直线l 上任一点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′（x′，y ′）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋4y.又m ：x′－y′＝4，所以直线l 的方程为（x ＋2y ）－（3x ＋4y ）＝4， 即x ＋y ＋2＝0.1. 求曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.解：设点（x 0，y 0）为曲线|x|＋|y|＝1上的任意一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的点为（x′，y ′），则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x′，y 0＝3y′. 所以曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的曲线为|x|＋3|y|＝1，所围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.2. 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by＝1.（1） 求实数a ，b 的值；（2） 若点P （x 0，y 0）在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标.解： （1） 设直线l 上一点（x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下得点（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ＋3y ，y ′＝y.代入直线l′，得2x ＋（b ＋3）y ＝1，∴ a ＝2，b ＝－2.（2） ∵ 点P （x 0，y 0）在直线l 上，∴ 2x 0＋y 0＝1.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x 0＋3y 0，y 0＝y 0， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝35，y 0＝－15，∴ P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15.3. 设数列{a n }，{b n }满足a n ＋1＝2a n ＋3b n ，b n ＋1＝2b n ，且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋4b n ＋4＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，求二阶矩阵M .解： 依题设有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤230 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ， 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2302，则M ＝A 4，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4. M ＝A 4＝（A 2）2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16 96 0 16. 4. 已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1），求实数a 的值.解：设P （x ，y ）为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′上的点P′（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝x ＋2y ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x′＋y′，y ＝x′. 代入ax －y ＝0，整理，得－（2a ＋1）x′＋ay′＝0. 将点（1，1）代入上述方程，解得a ＝－1.几种特殊的变换 反射变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1：点的变换为（x ，y ）→（x ，－y ），变换前后关于x 轴对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01：点的变换为（x ，y ）→（－x ，y ），变换前后关于y 轴对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0－1：点的变换为（x ，y ）→（－x ，－y ），变换前后关于原点对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110：点的变换为（x ，y ）→（y ，x ），变换前后关于直线y ＝x 对称. 投影变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上，点的变换为（x ，y ）→（x ，0）； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上，点的变换为（x ，y ）→（0，y ）； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→（x ，x ）；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0101：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→（y ，y ）；M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212：将坐标平面上的点垂直于y ＝x 方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2.第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与 特征向量（对应学生用书（理）194～197页）1. 设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，求B －1.解：∵ B ＝BAA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4， 设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2c b ＋2d 3a ＋4c 3b ＋4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12.∴ B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.2. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以a ＝－1，b ＝c ＝0，d ＝12，从而矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－20 3.3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 52x 的一个特征值为－2，求M 2. 解：将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x ＝λ2－（x －1）λ－（x ＋5）＝0，得x ＝3. ∴ 矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 523，∴ M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤64514.4. 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232的一个特征向量，求实数a 的值.解：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋6＝2λ，12＝3λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，a ＝1. 5. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24b 的属于特征值8的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P （－1，2）在M 对应的变换作用下得到点Q ，求点Q 的坐标.解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝8，4＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4. ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，∴ 点Q 的坐标为（－2，4）.1. 逆变换与逆矩阵（1） 对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵. （2） 若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且（AB ）－1＝B －1A －1. （3） 利用行列式解二元一次方程组. 2. 特征值与特征向量（1） 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.（2） 从几何上看，特征向量经过矩阵A 对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量., 1 求逆矩阵与逆变换), 1) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2113，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1.求矩阵C ，使得AC ＝B .解： 因为det （A ）＝2×3－1×1＝5，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35－15－1525＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35－15－1525. 由AC ＝B ，得（A －1A ）C ＝A －1B ， 所以C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35－15－1525⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3545－15－35. 变式训练（2017·常州期末）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132，列向量X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤47.若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X.解：由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132，得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－3 2.由AX ＝B ，得X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－3 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤47＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12., 2 求特征值与特征向量) , 2) 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3113的特征值及对应的特征向量. 解：特征多项式f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－1－1λ－3＝（λ－3）2－1＝λ2－6λ＋8. 由f （λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝4.将λ1＝2代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1为属于特征值λ1＝2的一个特征向量.同理，当λ2＝4时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0⇒x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝4的一个特征向量.综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3113有两个特征值λ1＝2，λ2＝4； 属于λ1＝2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于λ2＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.变式训练（2017·苏北三市模拟）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ，若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，求矩阵A 的特征值.解： 因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋62＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝8，2＋2d ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝1.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321. 所以矩阵A 的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝（λ－2）（λ－1）－6＝λ2－3λ－4.令f （λ）＝0，解得矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝4. , 3 根据特征值或特征向量求矩阵) , 3) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d .若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵. 解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c＋d ＝6 ①.由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，即3c －2d ＝－2 ②.联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，所以A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23－12－1312. 备选变式（教师专享）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且在矩阵M 对应的变换作用下将点（－1，2）变换成（9，15），求矩阵M .解： 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15. 联立以上两个方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－36., 4 特征值与特征向量的综合应用), 4) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，计算A 5α. 解：因为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－4＝λ2－5λ＋6.由f （λ）＝0，得λ＝2或λ＝3.当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以A 5α＝2×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋1×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤371307.变式训练已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 m n 1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β. 解：设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2， 则由⎩⎪⎨⎪⎧Mα1＝λ1α1，M α2＝λ2α2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0，λ1＝2，λ2＝1.又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2，所以M 2β＝M 2（α1＋2α2）＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42.1. （2017·苏州期初）已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －14属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.解：由条件可知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，λ＝2. 因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－110－514.2. （2017·苏州期中）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 将点（－1，3）变换为（0，8）.（1） 求矩阵M ；（2） 求曲线x ＋3y －2＝0在矩阵M 对应的变换作用下的新曲线方程.解：（1） 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋3b ＝0，－c ＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，∴ M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.（2） 设原曲线上任一点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下的对应点为P ′（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝6x ＋2y ，y ′＝4x ＋4y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′－y′8，y ＝－2x′＋3y′8，代入x ＋3y －2＝0并整理得x′－2y′＋4＝0，即曲线x ＋3y －2＝0在矩阵M 对应的变换作用下得到的新曲线方程为x －2y ＋4＝0. 3. （2017·南京、盐城期末）设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3的一个特征值λ对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，求实数m 与λ的值. 解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＝λ，2＋6＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，λ＝－4. 4. （2017·无锡期末）已知变换T 将平面内的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，（0，1）分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M.（1） 求矩阵M ； （2） 求矩阵M 的特征值.解：（1） 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 94－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32 4， 得a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－32－4 4.（2） 设矩阵M 的特征多项式为f （λ），∴ f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3324λ－4＝（λ－3）（λ－4）－6＝λ2－7λ＋6. 令f （λ）＝0，则λ1＝1，λ2＝6.1. 已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点（2，3）变成点（3，4）.（1） 求a ，b 的值；（2） 若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2. 解：（1） 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34， 故⎩⎪⎨⎪⎧6＋3a ＝3，2b －6＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝5. （2） 由（1），得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2. 由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3. 所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1－5 4. 2. （2017·南通、泰州模拟）设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解：（解法1）设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，所以a ＝－1，2a ＋6b ＝－2，c ＝0，2c ＋6d ＝3.解得b ＝0，d ＝12，所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012.根据逆矩阵公式得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02. （解法2）在A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3两边同时左乘逆矩阵A －1，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3.设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3， 所以－a ＝1，－2a ＋3b ＝2，－c ＝0，－2c ＋3d ＝6.解得a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝2，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02. 3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 022，求逆矩阵M －1的特征值. 解：设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2a ＋2c 2b ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，2a ＋2c ＝0，2b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－1，d ＝12.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 10－112. M －1的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－101λ－12＝（λ－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12，令f （λ）＝0，解得λ＝1或λ＝12. 所以矩阵M 的逆矩阵M －1的特征值为1和12. 4. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β. 解：矩阵M 的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3. 令f （λ）＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. 令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3.M 6β＝M 6（4α1－3α2）＝4（M 6α1）－3（M 6α2）＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×（－1）6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919. 错误![备课札记]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矩阵的概念
考纲下载：1.掌握矩阵相关概念，会判断矩阵是否相等.
2.会用矩阵的方法处理一些实际问题。
一、【知识回顾】
1.矩阵的概念
2.矩阵的记法
3.2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵表示的意义
4.相等矩阵
5.零矩阵：
6.行矩阵，列矩阵：
二、【自学检测】
1.设O (0, 0)，P (2, 3)，则向量OP →
(2, 3)，将OP →的坐标排成一列，用矩阵表示为： .
2.某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表，
用矩阵表示为 .
3.设M 是一个22⨯矩阵，且规定其元素,2,1,2,1,32
==-=j i j i a ij 试求M.
三、【合作探究】
探究1
用矩阵表示下图中的ABC ∆，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0)
探究2
某种水果的产地为21,A A ,销地为21,B B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 水果数量)(ij a ，其中,2,1,2,1==j i
探究3
已知⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=243x A ,⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,
四、【检测反思】 1、将方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=3
524302y x z x x 中未知数z y x ,,的系数写成矩阵形式。
2、已知
200
,
0202
x y x
A B
y x y
+
⎡⎤⎡⎤
==
⎢⎥⎢⎥
---
⎣⎦⎣⎦
，若A=B，求x，y
3、已知平面上一个正方形的四个顶点用矩阵表示为
00
02
a b
c d
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
求a，b，c， d及正方形的面积.。