【步步高】2014届高考数学一轮复习 §3.4 互斥事件备考练习 苏教版
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习章末检测(一)
章末检测一、填空题1． 下列推理错误的是________．①A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂α②A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝AB③l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉α④A ∈l ，l ⊂α⇒A ∈α2． 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于________．3． 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．4． 一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是 ________．5． 下列命题正确的是________．①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行；②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行．6． 在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ，GH 交于一点P ，则下列结论正确的是________．①P 一定在直线BD 上；②P 一定在直线AC 上；③P 一定在直线AC 或BD 上；④P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上．7． 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________．8． 下列四个命题：①若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；②若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；③若a ∥α，则a 平行于α内所有的直线；④若a ∥α，a ∥b ，b ⊄α，则b ∥α.其中正确命题的序号是________．9．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．10．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是______．11．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为________．12．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.13．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为________．13题图14题图14．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若P A⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．二、解答题15．如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．16．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD.17．ABCD与ABEF是两个全等的正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面BCE.18．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，P A＝2.求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．19．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：P A∥面BDE；(2)求证：平面P AC⊥平面BDE；(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．20．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC＝22，P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．答案1．③2．90°3．24π4．14－12π5．③6．②7．43π8．④9．B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)10．90° 11.2612．9 13.10514．a >615．解 S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2 ＝(42＋60)π.V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(r 21＋r 1r 2＋r 22)h －13πr 21h ′＝13π(25＋10＋4)×4－13π×4×2＝1483π. 16．证明 (1)∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴EF ∥面ACD .(2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD .∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥面EFC .∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .17．证明 方法一 如图所示，连结AN ，延长交BE 的延长线于P ，连结CP .∵BE ∥AF ，∴FN NB ＝AN NP， 由AC ＝BF ，AM ＝FN 得MC ＝NB .∴FN NB ＝AM MC .∴AM MC ＝AN NP， ∴MN ∥PC ，又PC ⊂平面BCE .∴MN ∥平面BCE .方法二 如图，作MG ⊥AB 于G ，连结GN ，转证面MNG ∥面CEB . ∵MG ∥BC ，只需证GN ∥BE .∵MG ∥BC ，∴AM AG ＝MC GB. 又AM ＝FN ，AC ＝BF ，∴AM AG ＝FN AG ＝NB GB.∴GN ∥AF ∥BE . ∴面MNG ∥面BCE .又MN ⊂面MNG ，∴MN ∥面BCE .18．解 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD .又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD .因为PD ＝22＋(22)2＝23，CD ＝2，所以三角形PCD 的面积为12×2×23＝2 3.(2)如图，取PB 中点F ，连结EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或 其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，由EF ＝2，AF ＝2，连结AC ，因为PC ＝4，在Rt △P AC中，AE ＝12PC ＝2，所以EF 2＋AF 2＝AE 2，所以△AEF 是等腰直角 三角形，所以∠AEF ＝45°.因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是45°.19．(1)证明 连结OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A.∵OE ⊂面BDE ，P A ⊄面BDE ，∴P A ∥面BDE .(2)证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD .在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥面P AC .又∵BD ⊂面BDE ，∴面P AC ⊥面BDE .(3)解 取OC 中点F ，连结EF .∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO .又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD .∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ， ∴OP ＝2EF ＝66a . ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3. 20．(1)证明 因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .又P A ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD .如图，设AC ∩BD ＝F ，连结EF .因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2， 从而PC FC ＝6，AC EC ＝ 6. 因为PC FC ＝AC EC，∠FCE ＝∠PCA ， 所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°.由此知PC ⊥EF .因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED .(2)解 在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC .又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝P A 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A 、D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2. 设PD 与平面PBC 所成的角为α， 则sin α＝d PD ＝12. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.。
【步步高】2014届高考数学一轮复习习题课命题及其关系备考练习苏教版
习题课 命题及其关系一、基础过关1．“lg x >lg y ”是“x >y ”的____________条件．2．在△ABC 中，“△ABC 为钝角三角形”是“AB →·AC →<0”的____________条件．3．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________.4．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件． 将所有正确命题的序号填在横线上________．5．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的__________条件． 6．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的____________条件．7．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)末尾数字是0或5的整数，能被5整除；(2)若a ＝2，则函数y ＝a x 是增函数．二、能力提升8．函数f (x )＝x |x ＋a |＋b 是奇函数的充要条件是________．9．下列叙述中，p 是q 的必要不充分条件的是________(填序号)．①p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d ；②p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x－b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限；③p ：x ＝1，q ：x 2＝x ；④p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数．10．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．11．设p ：－2<m <0,0<n <1，q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．12. 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.三、探究与拓展13．已知m ∈Z ，关于x 的一元二次方程 x 2－2x ＋m ＝0，(1)x2＋2mx＋m2－m－1＝0，(2)求方程(1)(2)的根都是整数的充要条件．答案1．充分不必要2．必要不充分3．－14．②④5．必要不充分6．充分不必要7．解 (1)逆命题：能被5整除的整数，末尾数字是0或5；(真)否命题：末尾数字不是0且不是5的整数，不能被5整除；(真)逆否命题：不能被5整除的整数，末尾数字不是0且不是5；(真)(2)逆命题：若函数y ＝a x 是增函数，则a ＝2；(假)否命题：若a ≠2，则函数y ＝a x 不是增函数；(假)逆否命题：若函数y ＝a x 不是增函数，则a ≠2.(真)8．a ＝b ＝09．①10．解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0.判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－14<0， ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题．11．解 当－2<m <0,0<n <1时，方程x 2＋mx ＋n ＝0对应的函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ＝0的对称轴x ＝－m 2∈(0,1)，且满足n ＝f (0)∈(0,1)，但函数不一定与x 轴有交点，即Δ＝m 2－4n 不一定大于等于0，所以不满足充分性，反之，若方程有两个大于0小于1的根，则必有对称轴0<－m 2<1，且f (0)>0，且Δ≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ －2<m <0，n >0，m 2－4n ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2<m <0，n >0，n ≤m 24<1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<n <1，－2<m <0. 故p 是q 的必要不充分条件． 12. 证明 充分性：(由ac <0推证方程有一正根和一负根) ∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0.∴方程一定有两不等实根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝c a <0，∴方程的两根异号．即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac <0)∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，设为x 1，x 2，则由根与系数的关系得x 1x 2＝c a <0，即ac <0，综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.13．解 方程(1)有实根⇔Δ＝4－4m ≥0，即m ≤1，方程(2)有实根⇔Δ＝(2m )2－4(m 2－m－1)＝4m ＋4≥0，即m ≥－1，所以(1)(2)同时有实数根⇔－1≤m ≤1.因为m ∈Z ，所以m ＝－1,0,1.当m ＝－1时，方程(1)无整数根；当m ＝0时，方程(1)(2)都有整数根；当m ＝1时，方程(2)无整数根．综上所述，方程(1)(2)的根都是整数的充要条件是m ＝0.。
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习第一章章末检测.DOC
章末检测一、填空题1．将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确的一组是________．(填序号)2．下列流程图中，语句1将被执行的次数为______．3．下列流程图中，若输入的R＝8，则输出的a＝________.3题图4题图4．阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，输出的结果是________．5．给出伪代码如图所示，若该程序执行的结果是3，则输入的x值是________．Read xIf x≥0Theny←xElsey←－xEnd IfPrint y6．阅读下面的流程图，则输出的S为________．7．下面伪代码的输出结果为________．S←1For I From 1 To 9 Step 2S←S＋IEnd ForPrint S8．两个整数1 908和4 187的最大公约数是______．9．执行下面的伪代码时，While循环语句的执行次数是________．N←0While N<20N←N＋1N←N×NEnd WhilePrint N10．下面的流程图的输出结果为________．11．当x＝5，y＝－20时，下面伪代码运行后输出的结果为______．Read x，yIf x<0 Thenx＝y－3Elsey＝y＋3End IfPrint x－y，y－x12．给出一个伪代码：Read xIf x≤0 Thenf(x)←4xElsef(x)←2xEnd IfPrint f(x)根据以上算法，可求得f(－1)＋f(2)＝________.13．下列算法的功能是____________．S←1i←1While S≤2 013i←i＋2S←S×iEnd WhilePrint i14．执行如图所示的流程图，若输入n的值为8，则输出s的值为________．二、解答题15．用辗转相除法求282与470的最大公约数．16．画出计算12＋32＋52＋…＋9992的流程图．17．依次将十个数输入，要求将其中最大的数打印出来．试用伪代码表示问题的算法．18．设计一个算法，将n个数a1，a2，…，a n中的最小数找出来，并用伪代码表示这个算法．19．某中学高中三年级男子体育训练小组2012年5月测试的50米短跑的成绩(单位：s)如下：6.4,6.5,7.0,6.8,7.1，7.3，6.9,7.4,7.5，设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于6.8 s 的成绩，并画出流程图．20．已知函数f(x)＝x2－5，画出求方程f(x)＝0在[2,3]上的近似解(精确到0.001)的流程图．答案1．② 2.34 3.4 4．4 5．3或－3 6．30 7．26 8．53 9．3 10．20 11．22，－22 12．0 13．求满足1×3×5×…×n>2 013的最小正整数14．8 15．解辗转相除法：470＝1×282＋188，282＝1×188＋94，188＝2×94，∴282与470的最大公约数为94.16．解流程图如下图17．解用伪代码设计算法如下：`Read Xmax←X,For I From 2 To 10Read XIf X>max Thenmax←XEnd IfEnd forPrint max18．解算法如下：S1x←a1，I←2；S2如果2≤I≤n，那么转S3；否则转S6；S3 输入a I ；S4 如果a I <x ，那么x ←a I ；S5 I ←I ＋1，转S2；S6 输出x . 伪代码为：x ←a 1For I From 2 To nRead a IIf a I <x Thenx ←a IEnd IfEnd ForPrint x19．解 算法步骤如下：第一步：i ＝1；第二步：输入一个数据a ；第三步：如果a <6.8，则输出a ，否则，执行第四步； 第四步：i ＝i ＋1；第五步：如果i >9，则结束算法，否则执行第二步． 流程图如图：20．解 本题可用二分法来解决，设x 1＝2，x 2＝3，m ＝x 1＋x 22.步骤如下：S1x1←2，x2←3；S2m←(x1＋x2)/2；S3计算f(m)，如果f(m)＝0，则输出m；如果f(m)>0，则x2←m，否则x1←m；S4若|x2－x1|<0.001，输出m，否则转S2.流程图如图所示：。
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习第1章1.1正弦定理(一)
第1章 解三角形§1.1 正弦定理(一)一、基础过关1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是________．①a sin A ＝b sin B; ②b sin C ＝c sin A ；③ab sin C ＝bc sin B; ④a sin C ＝c sin A .2．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为________三角形．3．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，则2sin A －sin B sin C＝________. 4．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝________.5．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________. 6．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 7．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B .8．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .二、能力提升9．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________． 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C ＝________.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．12．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求A 的值．三、探究与拓展13．已知△ABC 的外接圆半径为R ，C ＝60°，求a ＋b R的取值范围． 答案1．④ 2.直角 3.25 4.π3或23π 5.523 6.1027．解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)．8．证明 因为左边＝4R 2sin 2 A ·sin 2B ＋4R 2sin 2 B ·sin 2A ＝8R 2sin 2 A sin B cos B ＋8R 2sin 2 B ·sin A cos A＝8R 2sin A sin B (sin A cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin(A ＋B )＝8R 2sin A ·sin B sin C ＝2·(2R sin A )·(2R sin B )·sin C＝2ab sin C ＝右边，∴等式成立．9.⎝⎛⎦⎤0，403 10.120° 11.π612．解 ∵b ＝2a ，∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ， ∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 13．解 a ＋b R＝2⎝⎛⎭⎫a 2R ＋b 2R ＝2(sin A ＋sin B )＝2(sin A ＋sin(120°－A ))＝2(sin A ＋sin 120°cos A －cos 120°sin A )＝2⎝⎛⎭⎫32sin A ＋32cos A ＝23⎝⎛⎭⎫32sin A ＋12cos A ＝23sin(A ＋30°)．∵A ＋B ＝120°，∴0°＜A ＜120°.∴30°＜A ＋30°＜150°，∴12＜sin(A ＋30°)≤1， ∴3＜a ＋b R≤2 3.。
【步步高】2014届高考数学一轮复习 第2章 章末检测备考练习 苏教版
章末检测一、填空题1．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________. 2．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4＝________. 3．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q ＝________.4．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为5.“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10S 5＝12，则S 15S 5＝________.7．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n＝________.8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________． 9．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n a n －1a n －1－a n ＝a n a n ＋1a n －a n ＋1，则此数列的第10项a 10＝________.10．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝________.11．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.12．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.13．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的第________项．14．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 99a 101－1<0；③T 100的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号) 二、解答题15．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．16．已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1.17．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．18．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n.(1)设b n ＝a n2n －1.证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .19．已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14(b n ＋1)2，求{b n }的通项公式．20．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1万元． (1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？ 答案1．88 2.8 3.－1或2 4.1 5．15 6.34 7.2n8.20 9.15 10.1 11．－7 12.313．50 14．①②④15．(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明 数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n 1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2. 因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．16．(1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ， 则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ， 即a n ＝2n＋1. (2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n <1.17．解 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋12.故1b n ＝－2n n ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.18．(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n＝a n2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n， 两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n－1， ∴S n ＝(n －1)·2n＋1. 19．解 当n ＝1时，B 1＝b 1，∴b 1＝14(b 1＋1)2，解得b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1 ＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2 ＝14(b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1)， 整理得b 2n －b 2n －1－2b n －2b n －1＝0， ∴(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0. ∵b n ＋b n －1>0，∴b n －b n －1－2＝0.∴{b n }为首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴b n ＝2(n －1)＋1＝2n －1，即{b n }的通项b n ＝2n －1. 20．解 (1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝(n －1)a .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，n －1a ， n ≥2.b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a (n ∈N *)． (2)易知b n <3a ，所以乙将被甲超市收购，由b n <12a n 得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a <12(n －1)a . ∴n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1>7，∴n ≥7.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。
【步步高】2014届高考数学一轮复习 3.2.1 常见函数的导数备考练习 苏教版
§3.2 导数的运算3．2.1 常见函数的导数一、基础过关1．下列结论中正确的个数为________．①f (x )＝ln 2，则f ′(x )＝12； ②f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227； ③f (x )＝2x ，则f ′(x )＝2xln 2；④f (x )＝log 2x ，则f ′(x )＝1x ln 2. 2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________． 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于________．4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有________条．5．若f (x )＝10x ，则f ′(1)＝________.6．曲线y ＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______． 7．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3； (4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4. 二、能力提升8．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.9．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为________．10．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 11．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程．12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．三、探究与拓展13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 012(x)．答案1．32.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－23．44．25．10ln 106．－347．解 (1)y ′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.(5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .8．649．e10．ln 2－111．解 ∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23′＝23x －13， ∴在P (8,4)处曲线的切线斜率k ＝23×8－13＝13. ∴适合题意的切线的斜率为－3.从而适合题意的直线方程为y －4＝－3(x －8)，即3x ＋y －28＝0.12．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率k ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 13．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x .。
【步步高】高中数学 第三章 §3.4互斥事件配套课件 苏教版必修3
填一填·知识要点、记下疑难点
1．互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下 不能
同时发生 的两个事件A与B称作互斥事件．
2．在一个随机试验中，如果随机事件A和事件B是互斥事件， 那么有P(A＋B)＝ P(A)＋P(B) ；如果随机事件A1，A2， …，An中任意两个是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An) ＝ P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) ． 3．对立事件的定义：在同一次试验中，不能同时发生且必有 一个发生的两个事件叫做对立事件，事件A的对立事件记 作 A ；对立事件概率公式P( A )＝ 1－P(A) ．
问题1 在“导引”中，D表示不及格，如果用 D 表示及格，那么事件 D与 D 是互斥事件吗？为什么？
答 事件D与 D 是互斥事件，因为同一次考试成绩不可能既及格
又不及格，所以事件D与 D 不可能同时发生，因此是互斥事件．
问题2
事件D＋ D 还是随机事件吗？为什么？
答 事件D＋ D 不是随机事件，因为同一次考试的成绩要么及格 要么不及格，二者必居其一，所以D＋ D 是必然事件，不是随机 事件．
解
事件A和B互斥．因为从中一次可以摸出2只黑球，所以事件
A和B不是对立事件．
小结 要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联
系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而 对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发 生，另一个必发生．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练1 一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互
问题4 对立事件与互斥事件有何异同？
答
对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事
件．互斥事件可以有一个发生或者两个都不发生，对立事件有 且只有一个发生．
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习：第3章-习题课-空间向量的应用]
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习题课 空间向量的应用一、基础过关 1．如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC 綊12AD ,BE 綊错误!F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．（1）证明：四边形BCHG 是平行四边形； （2）C 、D 、F 、E 四点是否共面?为什么？ （3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . 2．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°,AD ∥BC ,AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． (1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； (2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值． 3．如图所示,在四棱锥O —ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝错误!,OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． (1)证明：直线MN ∥平面OCD ；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小． 二、能力提升 4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AC⊥AD,AB⊥BC，∠BAC＝45°，P A＝AD＝2，AC＝1.(1)证明：PC⊥AD；（2）求二面角A－PC－D的正弦值;(3）设E为棱P A上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．5．等边△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点,沿DE将△ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE（如图所示)．（1）求证：平面ABC⊥平面ABE；(2)求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．三、探究与拓展6．如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的错误!倍，P为侧棱SD上的点．(1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面P AC,求二面角P—AC-D的大小；（3）在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面P AC。
【步步高】2014届高考数学一轮复习 习题课数列求和备考练习 苏教版
习题课 数列求和一、基础过关1．数列12·5，15·8，18·11，…，13n －1·3n ＋2，…的前n 项和为________．2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn所确定的数列{b n }的前n 项之和是________．3．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋4)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)的前m 项和为2 036，则m 的值为________．4．若1＋3＋5＋…＋2x －111·2＋12·3＋13·4＋…＋1x x ＋1＝132 (x ∈N *)，则x ＝________.5．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是________．6．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________． 7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n . 二、能力提升9．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.10．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.11．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝________.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 三、探究与拓展13．等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 1.n 6n ＋4 2.12n (n ＋5) 3.10 4．11 5.－76 6.1 473 7．解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝12n ＋12－1＝14·1n n ＋1 ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4n ＋1， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1.8．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋1a n ＋1＝2， ∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为a 1＋1＝2. (2)解 由(1)知{a n ＋1}为等比数列， ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n，∴a n ＝2n－1. ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋...＋(2n －1)＝(21＋22＋ (2))－n＝21－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2.9．2n－110.⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2， n ≥211．2＋ln n12．解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．13．解 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意； 因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18. 所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.。
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习3.2.2对数函数(二)
3.2.2 对数函数(二)一、基础过关1.已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ， y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是________．2．在同一坐标系中，函数y ＝2－x 与函数y ＝log 2x 的图象可能是 ________．(填图象编号)3．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系是________．4．已知函数y ＝log 2(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，则k 的取值范围是________．5．函数f (x )＝lg(2x －b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________．6．不等式 (4x ＋2x ＋1)>0的解集为__________． 7．已知函数f (x )＝lg(x ＋1)．若0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值范围．8．解下列不等式：(1)⎝⎛⎭⎫123x ＋1≤⎝⎛⎭⎫12x －2；(2)log 73x <log 7(x 2－4)．二、能力提升9．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为________．10．函数y ＝2x －x 2的图象大致是________．(填图象编号)11．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是________________．12．已知函数f (x )＝1－ax x －1的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋ (x －1)<m 恒成立．求实数m 的取值范围．三、探究与拓展13．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值以及y 取最大值时x 的值．答案1．c <d <a <b2．③3．b <a <c4．k ≤0或k ≥15．b ≤16．(－∞，log 2(2－1))7．解 由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0，x ＋1>0得－1<x <1. 由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1<1 得1<2－2x x ＋1<10. 因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <1，－23<x <13得－23<x <13. 8．解 (1)∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，∴3x ＋1≥x －2，x ≥－32. (2)∵函数y ＝log 7x 为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x >0x 2－4>03x <x 2－4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >0x >2或x <－2x >4或x <－1即x >4.9.1210．①11．[12，1)∪(1,2] 12．解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称， ∴函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即1＋ax －x －1＝－1－ax x －1 ＝x －11－ax， 解得a ＝－1或a ＝1(舍)．(2)f (x )＋ (x －1)＝1＋x x －1＋ (x －1) ＝ (1＋x )，当x >1时， (1＋x )<－1，∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋ (x －1)<m 恒成立， ∴m ≥－1.13．解 ∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(2＋log 3x )2＋2＋2log 3x＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3， ∴0≤log 3x ≤1.∴6≤y ＝(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y ＝13.∴当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)取得最大值13.。
【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习学案第1章学案2命题及其关系、充分条件与必要条件
学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标： 1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系(1)四种命题 一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用綈p 和綈q 分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p 则q (p ⇒q )；逆命题：若q 则p (q ⇒p )；否命题：若綈p 则綈q (綈p ⇒綈q )；逆否命题：若綈q 则綈p (綈q ⇒綈p )．(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p ⇒q ，则p 叫做q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 叫做q 的必要条件；如果p ⇔q ，则p 叫做q 的充要条件．自我检测1．(2011·南京模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x x －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．答案 充分不必要解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x x －1<0＝{x |0<x <1}， B ＝{x |0<x <3}，∴A ≠B .当m ∈A 时，必有m ∈B ；而当m ∈B 时，m ∈A 不一定成立．∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分而不必要条件．2．(2009·安徽改编)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是________．(填序号) ①p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d ；②p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限； ③p ：x ＝1.q ：x 2＝x ；④p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数．答案 ①解析 ①中，由于a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，而a ＋c >b ＋d 却不一定推出a >b ，c >d ，故①中p 是q 的必要不充分条件；②中，当a >1，b >1时，函数f (x )＝a x －b 不过第二象限，当f (x )＝a x －b 不过第二象限时，有a >1，b ≥1，故②中p 是q 的充分不必要条件；③中，因为x ＝1时有x 2＝x ，但x 2＝x 时不一定有x ＝1，故③中p 是q 的充分不必要条件；④中p 是q 的充要条件．3．设a 、b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的________条件．答案 必要不充分解析 |a ＋b |＝|a |＋|b |⇒a 、b 同向⇒a 与b 共线；反之，当a 与b 共线时，不一定有|a ＋b |＝|a |＋|b |，故a 与b 共线是|a ＋b |＝|a |＋|b |的必要不充分条件．4．与命题“若a ∈M ，则b ∉ M ”等价的命题是____________________．答案 若b ∈M ，则a ∉ M解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．5．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ”的逆命题．其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)答案 ②③⑤解析 原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，由⎩⎪⎨⎪⎧ m >0Δ＝4(m ＋1)2－4m (m ＋3)<0 ⇒⎩⎨⎧m >0m >1⇒m >1. 故⑤正确．探究点一 四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引 给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定． 解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1 有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案 ①③解析 ①的逆命题是“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q ≤1，则Δ＝4－4q ≥0，所以x 2＋2x ＋q ＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二 充要条件的判断例2 给出下列命题，试分别指出p 是q 的什么条件．(1)p ：x －2＝0；q ：(x －2)(x －3)＝0.(2)p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等．(3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．(4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0⇒x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似⇒两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根⇒m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q ⇒p .∴p 是q 的充分不必要条件．变式迁移2 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是________．(填序号)①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .答案 ①④解析 ①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔q ：m <－2或m >6⇔p ；②当f (x )＝0时，由q ⇒p ；③若α，β＝k π＋π2(k ∈Z )时，显然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p ：A ∩B ＝A ⇔p ：A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B .故①④符合题意． 探究点三 充要条件的证明例3 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.解题导引 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明 (1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0，可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°，(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°. 变式迁移3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明 (1)必要性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0.∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.(2)充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0.∵a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想 例 (14分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且m ∈Z .求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解 ∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0. [2分] 另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0， 解得m ∈[－54，1]． [6分] ∵两根为整数，故和与积也为整数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z 4m ∈Z 4m 2－4m －5∈Z ， [10分]∴m 为4的约数，∴m ＝－1或1，当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数，而当m ＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. [14分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m ≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p 与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p 对q 而言，还是q 对p 而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3.本节体现了转化与划归的数学思想。
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考【配套课件】第2章 函数2.1.1(二)
2.1.1(二)
解
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(1)描点作出图象，则函数图象如图 1 所示：
(2)函数 f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1,3)的图象为函数 f(x)＝(x－1)2 ＋1， x∈R 的图象上 x∈[1,3)的一段， 其中， 点(1,1)在图象上， 用实心点表示，而点(3,5)不在图象上，用空心点表示．
{(x，f(x))|x∈A} 有 这 些 点 组 成 的 集 合 ( 点 集 ) 为 __________________ ， 即 {(x，y)|y＝f(x)，x∈A} _____________________，所有这些点组成的图形就是函数 y
＝f(x)的图象．
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2.1.1(二)
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2.1.1(二)
小结
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对于函数 y＝f(x)，若 f(－x)＝f(x)，
则点(－x，f(－x))与点(x，f(x))关于 y 轴对称．
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跟踪训练 3 在上例中，
2.1.1(二)
(1)如果把“0<x1<x2”改为“x1<x2<0”，那么 f(x1)与 f(x2)哪个大？ (2)如果把“0<x1<x2”改为“|x1|<|x2 |”，那么 f(x1)与 f(x2)哪个大？
到； (2)配方法：此是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函 数通过配方转化为能直接看出其值域的方法； (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式 转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； (4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的 函数，从而求得原函数的值域．
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件章末复习课(二)
＝(PF1－PF2)2＋2PF1· PF2(1－cos 60° )， 即4c2＝c2＋PF1· PF2. 1 又 SPF F＝12 3，∴ PF1· PF2sin 60° ＝12 3， 2 1 2 即PF1· PF2＝48.
由①②，得c2＝16，c＝4，
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①
②
则a＝2，b2＝c2－a2＝12， x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 4 －12＝1.
y＝kx－4， 由 2 y ＝4x
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得ky2－4y－16k＝0，
42 2 2 2 ∴y1＋y2＝(y1＋y2) －2y1y2＝ ＋32>32.
k
2 ∴y1 ＋y2 2的最小值为32.
4 ∴y1＋y2＝ ，y1y2＝－16. k
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
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线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定 义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距 离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题．
研一研· 题型解法、解题更高效
x2 y2 跟踪训练3 已知椭圆 ＋ ＝1，F1、F2分别是椭圆的 9 5 左、右焦点，点 A(1,1)为椭圆内一点，点P为椭圆上一 点，求PA＋PF1的最大值．
2 x2 x (2)设与双曲线 －y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为 － 2 2
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y2＝k (k≠0)，
22 将点(2，－2)代入得k＝ 2 －(－2)2＝－2， y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 2 － 4 ＝1.
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题型二
“设而不求”思想
例2 (1)过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交 于A、B两点，求弦AB的长． (2)若直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A、B 两点，且线段 AB中点的横坐标为2，求线段 AB的长．
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习3.3.3复习课导数在研究函数中的应用
习题课 导数在研究函数中的应用一、基础过关1．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 2．函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是________．(填序号)3．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为__________．4．已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在 (－∞，＋∞)内单调递减，则实数m 等于________．5．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m ＝________.6．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上单调递增，则a 的最大值为________． 二、能力提升7．如果函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c ∈R )在R 上不单调，那么a 、b 、c 的关系为________．8．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________． 9．已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________．10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x ＋6，若x ＝3是f (x )的一个极值点，求f (x )在[0，a ]上的最值．11．设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2. 三、探究与拓展12．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．答案1.⎣⎡⎦⎤12，12e π2 2．④ 3．[1，＋∞) 4．－2 5．2 6．37．a 2>3b ，c ∈R 8．(－2,2) 9.⎝⎛⎭⎫－2，23 10．解 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，由已知得f ′(3)＝0， ∴3×9－6a ＋3＝0.∴a ＝5， ∴f (x )＝x 3－5x 2＋3x ＋6. 令f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝0， 得x 1＝13，x 2＝3.则x ，f ′(x )，f (x )的变化关系如下表.11．(1)解 f ′(x )＝1＋2ax ＋bx.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2) ＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－(x －1)(2x ＋3)x.当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． 而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0， 即f (x )≤2x －2.12．解 当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .当f ′(x )>0时，(－x 2＋2)e x >0，注意到e x >0， 所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)． (2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立． 又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ， 即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0，注意到e x >0， 因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立， 也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，则y <1＋1－11＋1＝32，故a ≥32.。
【步步高】2014届高考数学一轮复习 章末检测备考练习 苏教版
章末检测一、填空题1．已知平面α和平面β的法向量分别为m ＝(3,1，－5)，n ＝(－6，－2,10)，则平面α、β的位置关系为________．2．已知向量a ＝(0,2,1)，b ＝(－1,1，－2)，则a 与b 的夹角为________． 3．，则用向c ＝AA1→，b ＝AD →，a ＝AB →中，已知1D 1C 1B 1A —ABCD 如图，在平行六面体______________.＝BD1→可表示向量c ，b ，a 量 4．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝________.5．已知A (2,1,0)，点B 在平面xOz 内，若直线AB 的方向向量是(3，－1,2)，则点B 的坐标是________．6．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为______．7．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是________．(填序号) ①cos θ＝n ·a|n||a|②cos θ＝|n ·a||n||a|③sin θ＝n ·a|n||a|④sin θ＝|n ·a||n||a|8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是________三角形．(填“锐角”、“直角”、“钝角”)9．在以下命题中，不．正确的个数为________． ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②对a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面；④|(a ·b )·c |＝|a|·|b|·|c |.10．法向量为n ＝(1，－1,1)的平面α过点M (1,2，－1)，则平面α上任意一点P 的坐标(x ，y ，z )满足的方程为____________．11．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是________．12．如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ，BD 与面M 成30°角，则C 、D 间的距离为________．13．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为____________． 14．＝ABC ，∠1AA ＝BC ＝AB ，ABC ⊥底面1AA 中，1C 1B 1A —ABC 如图所示，在三棱柱．________所成的角为1BC 和EF 的中点，则直线1BB 、AB 分别是棱F 、E °，点90 二、解答题 15．、MB →、PA →的中点，问向量PC 是M 的底面是平行四边形，如图，ABCD —P 已知四棱锥是否可以组成一个基底，并说明理由．MD →16．的中点，AB ，1D 1C 分别是N 、M 中，1D 1C 1B 1A —ABCD 如图所示，在平行六面体.NF ∥ME ，试证明1FC 12＝CF 上且1CC 在F ，1EA 2＝AE 上且1AA 在E 17．试.m ＝CP 上一点，1CC 是侧棱P 中，1D 1C 1B 1A —CD AB 的正方体1如图，在棱长为.°60所成角为1B 1BDD 与平面AP 使得直线m 确定 18．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，F 为A 1B 1的中点．求二面角A —BF —D 的余弦值． 19．如图，⊥平面PA °，且120＝BAD 菱形，∠的32中，底面是边长为ABCD －P 在四棱锥的中点．PD ，PB 分别为N ，M ，62＝PA ，ABCD (1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值． 20．的中点．1DD 是棱E 中，1D 1C 1B 1A —ABCD 如图所示，在正方体 值；所成的角的正弦1A 1ABB 和平面BE 求直线(1) ？证明你的结论．BE 1A ∥平面F 1B ，使F 上是否存在一点1D 1C 在棱(2) 答案1．α∥β 2．90°3．－a ＋b ＋c 4．－2 5．(5,0,2)6．60°或120°7．④8．锐角 9．410．x －y ＋z ＋2＝0 11．412．213．14a 2 14．60°15.不可以组成一个基底，理由如下：MD →、MB →、PA → 解连结AC 、BD 相交于点O ，∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 、BD 的中点，，)MB →＋MD →(12＝MO →中，BDM 在△ ，MB →＋MD →＝PA →，即PA →12＝MO →的中点，则AC 是O 的中点，PC 是M 中，PAC 在△共面．MB →、MD →与PA →即 不可以组成一个基底．MD →、MB →、PA →∴ 16．证明 由平行六面体的性质ME →A1E →＋D1A1→＋MD1→＝ A1A→13＋AD →－C1D1→12＝ ，AA1→13－AD →－AB →12＝－ NF →CF →＋BC →＋NB →＝ CC1→13＋AD →＋AB →12＝ ，AA1→13＋AD →＋AB →12＝ 不共线，F ，N ，E ，M ，又NF →＝－ME →∴ ∴ME ∥NF .17．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，．(0,0,1)1D ，(1,1,1)1B ，(0,0,0)D ．1,1,0)－(＝AC →，)m ，1,1－(＝AP →，(0,0,1)＝BB1→，1,0)，－1－(＝BD →则 知，0＝BB1→·AC →，0＝BD →·AC →又由 AC →的一个法向量．D 1D 1BB 为平面 ，θ所成的角为D 1D 1BB 与平面AP 设|AP →·AC →||AP →||AC →|＝|〉AC →，AP →〈|cos ＝θsin 则 22＋m2·2＝.63＝m ，解得32°＝sin 60＝22＋m2·2依题意得.°60所成角为1B 1BDD 与平面AP 时，直线63＝m 故当 18．解，可得1＝1AA ，2＝AB 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由已知A 以点 A (0,0,0)，B (2,0,0)，F (1,0,1)．°，30＝DBA 所成的角为∠B 1B 1AA 与平面BD ，从而直线B 1B 1AA ⊥平面AD 又 ，233＝AD ，∴2＝AB 又 .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，233，0D 从而易得 的一个法向BDF 是平面)z ，y ，x (＝n ，设(0,1,0)＝m 的一个法向量为B 1B 1AA 易知平面量，BF→，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2，233，0＝BD →，1,0,1)－(＝ ，⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0－2x ＋233y ＝0，即⎩⎨⎧n ·BF →＝0n ·BD→＝0则，1)，3，(1＝n ，可得1＝z 令 .155＝m ·n|m||n|〉＝n ，m 〈cos ∴ .155的余弦值为D —BF —A 二面角即 19．(1)证明 连结BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN是△PBD的中位线，所以MN∥BD.又因为MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.(2)解方法一连结AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图所示．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，6.＝AB3＝BD，32＝AB＝AC得又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC.在直角△PAC中，，PC⊥AQ，62＝PA，32＝AC得QC＝2，PQ＝4.由此知各点坐标如下：，(0,3,0)D，0,0)，3(C，3,0)，－(0B，0,0)，3－(A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，0，263Q，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，32，6N，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，－32，6M，)60,2，3－(P设m＝(x，y，z)为平面AMN的法向量，，⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，－32，6＝AM→由AN→知⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，32，6＝⎩⎪⎨⎪⎧32x－32y＋6z＝，32x＋32y＋6z＝0.．1)，－，2(2＝m得，1＝－z取设n＝(x，y，z)为平面QMN的法向量，，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－536，－32，63＝QM →由 QN→知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－536，32，63＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－536x －32y ＋63z＝0，－536x ＋32y ＋63z ＝0.．0,5)，2(2＝n ，得5＝z 取 .3333＝m ·n|m|·|n|〉＝n ，m 〈cos 于是 .3333的平面角的余弦值为Q －MN －A 所以二面角 方法二 如图所示，在菱形ABCD 中， ∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，.AB 3＝BD 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ， PA ⊥AC ，PA ⊥AD . 所以PB ＝PC ＝PD . 所以△PBC ≌△PDC .而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，.AN ＝PD 12＝PB 12＝AM ，且NQ ＝MQ 所以 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．，62＝PA ，32＝AB 由 故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3， .332＝AE ，得3＝BD 12＝MN 在Rt △PAC 中，AQ ⊥PC ， 4.＝PQ ，2＝QC ，22＝AQ 得 在△PBC 中，，56＝PB2＋PC2－BC22PB ·PC ＝BPC ∠cos 得MQ ＝PM2＋PQ2－2PM ·PQcos ∠BPC .5＝，5＝NQ ＝MQ 中，MQN 在等腰△ MN ＝3，.112＝MQ2－ME2＝QE 得 ，112＝QE ，332＝AE 中，AEQ 在△ ，22＝AQ AE2＋QE2－AQ22AE ·QE＝AEQ ∠cos 得 .3333＝ .3333的平面角的余弦值为Q －MN －A 所以二面角 20．解 (1)为单位正交基底建立空间直角坐标AA1→，AD →，AB →如图所示，以1.设正方体的棱长为系O —xyz .依题意，得B (1,0,0)，，(0,1,0)D ，(0,0,0)A ，⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12E，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，12＝BE →所以 AD→．(0,1,0)＝ 中，1D 1C 1B 1A —ABCD 在正方体 ，1A 1ABB ⊥平面AD 因为 的一个法向量．1A 1ABB 是平面AD →所以 ，θ所成的角为1A 1ABB 和平面BE 设直线 .23＝132×1＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝θsin 则 .23所成的角的正弦值为1A 1ABB 和平面BE 故直线 .BE 1A ∥平面F 1B ，使F 上存在点1D 1C 在棱(2) 证明如下：.⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，12＝BE →，1,0,1)－(＝BA1→，(0,0,1)1A 依题意，得 ，0＝BE →·n ，0＝BA1→·n 的一个法向量，则由BE 1A 是平面)z ，y ，x (＝n 设 ⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0.得．(2,1,2)＝n ，得2＝z 取.z 12＝y ，z ＝x 所以 上的点，1D 1C 是棱F 设 则F (t,1,1) (0≤t ≤1)．．1,1,0)－t (＝B1F →，所以(1,0,1)1B 又 而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为棱C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .。
【步步高】2014届高考数学一轮复习3.4.2基本不等式的应用备考练习苏教版
3.4.2 基本不等式的应用一、基础过关1．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是________．2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为________．3．设x >－1，则函数y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值是________． 4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________． 5．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是________． 6．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．7．设0<x <2，求函数y ＝3x －3x 的最大值．8．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用 最少)?二、能力提升9．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________． 10．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么下列说法正确的有________．①a ＋b 有最小值2(2＋1)；②a ＋b 有最大值2(2＋1)；③ab 有最大值3＋22；④ab 有最小值3＋2 2.11．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________． 12．设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值． 三、探究与拓展13．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？答案1．4 2.4 2 3.9 4.925.46.18 7．解 ∵0<x <2，∴0<3x <6,8－3x >2>0，∴y ＝3x －3x ≤3x ＋－3x 2＝82＝4， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号． ∴当x ＝43时，y ＝3x －3x 有最大值4. 8．解 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x 2x， 即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)． 由基本不等式知y ≥1＋2 10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x 10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．9．3 10.①④ 11.812．解 ∵1x ＋2y ＝3， ∴13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝1. ∴2x ＋y ＝(2x ＋y )×1＝(2x ＋y )×13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝13⎝⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2y x ·4x y ＝83. 当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时，取“＝”． 又∵1x ＋2y ＝3，∴x ＝23，y ＝43. ∴2x ＋y 的最小值为83. 13．解 (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知：4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .方法一 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．方法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )·y .∵0<y <6，∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . 方法一 ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．方法二 由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×216y ·y ＝48. 当且仅当16y ＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．。
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习第一章§1.2.2选择结构
1.2.2 选择结构一、基础过关1． 选择结构不同于顺序结构的特征是含有________．2． 下列算法中，含有选择结构的是________．①求两个数的积②求点到直线的距离③解一元二次方程④已知梯形两底和高求面积3． 下列关于选择结构的描述，不正确的个数是________．①选择结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的；②选择结构的判断条件要写在判断框内；③选择结构根据条件是否成立，选择不同的分支执行4． 中山市的士收费办法如下：不超过2公里收7元(即起步价7元)，超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填________．5． 函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1 (x >0)0 (x ＝0)x ＋6 (x <0)的流程图如图所示，则①②③的填空分别为①________、②________、③________.6．如图是求实数x的绝对值的算法流程图，则判断框①中可填________．7．画出计算函数y＝|2x－3|的函数值的流程图．(x由键盘输入)二、能力提升8．输入－5，按图中所示流程图运行后，输出的结果是________．9．给出一个流程图，如图所示，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则输入的这样的x的值有________个．10．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x ≥22－x ， x <2，如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的流程图．①处应填写________；②处应填写________．11．画出解不等式ax >b (b ≥0)的流程图．三、探究与拓展12.有一城市，市区为半径为15 km 的圆形区域，近郊区为距中心15～25 km的范围内的环形地带，距中心25 km 以外的为远郊区，如右图所示．市区地价每公顷100万元，近郊区地价每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万元，输入某一点的坐标为(x ，y )，求该点的地价，写出公式并画出流程图．答案1．判断框 2.③ 3.0 4．y ←8＋2.6(x －2) 5．y ←x 2＋1 x ＝0 y ←0 6．x ≥07． 解 流程图如图：8．1 9.3 10．x <2 y ←log 2x11．解 流程图如图：12．解 设点(x ，y )与市中心的距离为r ，则r ＝x 2＋y 2，由题意知r 与地价p 的关系为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 100，0<r ≤15，60，15<r ≤25，20，r >25.流程图如下：。
【步步高】2014届高考数学一轮复习 §1.3.4 循环语句备考练习 苏教版
1.3.4 循环语句一、基础过关1．下列给出的四个框图，其中满足While 语句格式的是________．2．下列算法：；11002＋…＋132＋122＋112①求和 ②已知两个数求它们的商；③已知函数定义在区间上，将区间十等分求端点及各分点处的函数值；④已知三角形的一边长及此边上的高，求其面积．其中可能要用到循环语句的是________．(填序号)3．下列伪代码中“Print I ”执行的次数是________．For I From 1 To 10 Step 3Print IEnd For4．下面的伪代码执行后第3个输出的数是________．i ←1x ←1DoPrint xi←i＋1x←x＋1/2Until i>5End Do 5．下边伪代码执行后输出的结果是________．n←5S←0While S<15S←S＋nn←n－1End WhilePrint n 6．下面的伪代码执行后输出的s的值是________．i←1While i<6i←i＋2s←2i＋1End WhilePrint s 7．用Until语句写一个伪代码，输出使1＋4＋7＋…＋i≥300成立的最小的正整数．8．分别用当型和直到型循环语句写出一个伪代码，计算2×4×6×…×100的值．二、能力提升9．运行下面的伪代码，输出的值为__________．S←0i←1While S <18S ←S ＋ii ←i ＋1End WhilePrint i10．下面伪代码表示的算法是________．n ←1S ←1While S ≤5 000S ←S ×nn ←n ＋1End WhilePrint n －111．执行下面的伪代码，输出的结果是________．x ←0Dox ←x ＋12x ←x Until x >20End DoPrint x12．已知S ＝5＋10＋15＋…＋1 500，求S 的算法用伪代码表示．三、探究与拓展13．设计算法求11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100的值，并画出流程图，并写出相应的伪代码． 答案1．(2)(3) 2.①③ 3.4 4.25．06．157．解S←0i←1DoS←S＋ii←i＋3Until S≥300End DoPrint i－3 8．解(1)当型：i←2A←1While i≤100A←A×ii←i＋2End WhilePrint A(2)直到型：i←2A←1DoA←A×ii←i＋2Until i>100End DoPrint A9．710．求使1×2×3×…×n >5 000的n 的最小正整数11．2512．解S ←5For I From 10 To 1 500 Step 5S ←S ＋IEnd For,Print S13．解 算法如下：S1 S ←0，i ←1；S2 若i ≤99成立，则转S3；否则，输出S ，结束算法；；1i i ＋1＋S ←S S3 S4 i ←i ＋1，转S2.方法一 当型循环流程图：伪代码如下：S ←0i ←1While i≤99S←S＋1/[i i＋1]i←i＋1End WhilePrint S 方法二直到型循环流程图：伪代码如下：S←0i←1DoS←S＋1/[i i＋1]i←i＋1Until i>99End DoPrint S。
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§3.4互斥事件
一、基础过关
1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列几组事件是互斥事件的为________．(填序号)
①“都是红球”与“至少一个红球”
②“恰有两个红球”与“至少一个白球”
③“至少一个白球”与“至多一个红球”
④“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”
2．甲、乙、丙、丁争夺第1,2,3,4四个名次，假定无并列名次，记事件A为“甲得第1”，事件B为“乙得第1”，则事件A、B的关系是______________事件．
3．在掷骰子的游戏中，向上的数字是1或2的概率是________．
4．下列四种说法：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；
④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．
其中错误的个数是________．
5．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是______．
6．某家庭电话，打进电话响第一声时被接的概率是0.1，响第2声时被接的概率为0.2，响第3声时被接的概率是0.3，响第4声时被接的概率为0.3，则
电话在响第5声前被接的概率为________．
7．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：
(1)至多2
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
8． (1)抛掷一枚均匀的骰子，事件A表示“向上一面的点数是奇数”，事件B表示“向上一面的点数不超过3”，求P(A＋B)；
(2)一批产品，有8个正品和2个次品，任意不放回地抽取两次，每次抽1个，求第二次
抽出次品的概率．
二、能力提升
9．已知直线Ax＋By＋1＝0.若A，B是从－3，－1,0,2,7这5个数中选取的不同的两个数，则直线的斜率小于0的概率为________．
10．一个箱子内有9张票，其票号分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率为________．
11．随机地掷一颗骰子，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋B发生的概率为________．
12．某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示.
(1)
(2)求年降水量在[150,300) (mm)范围内的概率．
三、探究与拓展
13．(1)在一个袋子中放入3个白球，1个红球，摇匀后随机摸球，摸出的球不放回袋中，求第1次或第2次摸出红球的概率．
(2)在一个袋子中放入3个白球，1个红球，摇匀后随机摸球，摸出的球放回袋中连续摸
2次，求第1次或第2次摸出的球都是红球的概率．
答案
1． ④ 2.互斥 3.1
3
4.3 5．0.10 6．0.9
7． 解 记事件在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人及5人以上分别为A 、B 、C 、D 、E 、F .
(1)至多2人排队等候的概率是
P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一 至少3人排队等候的概率是
P (D ＋E ＋F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )
＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
方法二 因为至少3人排队等候与至多2人排队等候是对立事件，故由对立事件的概率公式，至少3人排队等候的概率是P (D ＋E ＋F )＝1－P (A ＋B ＋C )＝1－0.56＝0.44. 所以至多2人排队等候的概率是0.56，至少3人排队等候的概率是0.44. 8． 解 (1)∵A ＋B 这一事件包含4种结果：即朝上一面的点数是1,2,3,5，
∴P (A ＋B )＝46＝2
3
.
(2)“第一次抽出正品，第二次抽出次品”为事件A ，“第一次，第二次都抽出次品”为事件B .则“第二次抽出次品”为事件A ＋B ，且A ，B 彼此互斥．
P (A )＝
8×210×9＝845，P (B )＝2×110×9＝1
45
， ∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝15.
答 第二次抽出次品的概率是1
5.
9. 15 10.56 11.23
12．解 记这个地区的年降水量在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300) (mm)范围
内分别为事件A ，B ，C ，D .这4个事件彼此互斥，根据互斥事件的概率加法公式： (1)年降水量在[100,200) (mm)范围内的概率是
P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.12＋0.25＝0.37.
(2)年降水量在[150,300) (mm)范围内的概率是
P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )
＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.
所以年降水量在[100,200) (mm)范围内的概率是0.37，年降水量在[150,300) (mm)范围内的概率是0.55.
13．解 (1)记第1次摸到红球为事件A ，第2次摸到红球为事件B .显然A 、B 为互斥事件，
易知P (A )＝1
4.现在我们计算P (B )．
摸两次球可能出现的结果为
(白1，白2)、(白1，白3)、(白1，红)、(白2，白1)、(白2，白3)、(白2，红)、(白3， 白1)、(白3，白2)、(白3，红)、(红，白1)、(红，白2)、(红，白3)，
在这12种情况中，第二次摸到红球有3种情况，所以P (B )＝1
4，故第1次或第2次摸到
红球的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝14＋14＝1
2
.
(2)把第1次、第2次摸球的结果列举出来，除了上题中列举的12种以外，由于放回，又会增加4种即(白1，白1)，(白2，白2)，(白3，白3)，(红，红)．这样共有16种摸法．
其中第1次摸出红球，第2次摸出不是红球的概率为P 1＝3
16.
第1次摸出不是红球，第2次摸出是红球的概率为P 2＝3
16.
两次都是红球的概率为P 3＝
116
. 所以第1次或第2次摸出红球的概率为
P ＝P 1＋P 2＋P 3＝716
.。