2.2.3独立重复试验与二项分布

k …
…
0
0 n 1 n
1
1 n1
…
…
n
n n 0 Cn pq
C pq C pq
k k n k Cn pq
此时称随机变量X服从二项分布，记作 X~B(n,p),并称p为成功概率。
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 . M ⑴如果是有放回地取，则 B( n, ) N ⑵如果是不放回地取, 则 服从超几何分布.
4 1 16
【思维总结】 本题考查了互斥事件至少有一个 发生的概率，相互独立事件的概率以及二项分布 的有关知识，解答此类题目的关键在于分清各知 识点的内在区别与联系．
变式训练 3 一名学生骑自行车上学，从他到学校 的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红 1 灯的事件是相互独立的，并且概率都是 . 3 (1)设 X 为这名学生在途中遇到的红灯次数，求 X 的分布列； (2)设 η 为这名学生在首次停车前经过的路口数， 求 η 的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
2.2.3独立重复试验与二项分布
引例
1、投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率 为0.5。 2、某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概 率为0.7，现有气球10个。 3、某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。 4、口袋内装有5个白球、3个黑球，放回地抽取5个 球。
问题 上面这些试验有什么共同的特点？ 提示：从下面几个方面探究： （1)实验的条件；（2）每次实验间的关系； （3）每次试验可能的结果；（4）每次试验 的概率；（5）每个试验事件发生的次数
k n k CM CN M P ( k ) (k 0,1, 2, n CN
, m) (其中 m min( M , n)
问题探究 1．甲、乙、丙三人分别射击同一个目标，都是“
中 ” 与 “ 不中 ” 两种结果，是三次独立重复试验
吗？
提示：不是，因甲、乙、丙三人击中的概率不一
定相同，只是独立事件，但不符合独立重复试
注意 ⑴独立重复试验，是在相同条件下各次之间相互独立地 进行的一种试验； ⑵每次试验只有“成功”或“失败”两种可能结果；每 次试验“成功”的概率为p ，“失败”的概率为1-p.
在 n 次独立重复试验中， 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然， P( A1 A2 An ) = P( A1 ) P( A2 )
（其中k = 0，1，2，· · · ，n ）
2.基本概念
二项分布：
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的 次数为X，在每件A恰好发生k次的概率为
P( X k ) C p (1 p)
k n k
X
p
0 n
n k
, k 0,1, 2,..., n.
变式训练2
某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 求这名射手在10次射击中， (1)恰有8次击中目标的概率; (2)至少有8次击中目标的概率. (结果保留两个有效数字)
设X为击中目标的次数,则 X~B(10,0.8)
(1)在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为
P X 8 C 0.8 1 0.8
概率知识的综合应用
例3 在一次数学考试中， 第 14 题和第 15 题为选
做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一 1 题．设 4 名考生选做这两题的可能性均为 . 2 (1)其中甲、乙 2 名学生选做同一道题的概率； (2)设这 4 名考生中选做第 15 题的学生数为 ξ，求 ξ 的分布列．
【思路点拨】
8 C10 0.88 1 0.8
0.68
运用n次独立重复试验模型解题
变式训练3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球
团体比
赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜 出并停止比赛）．
⑴试求甲打完5局才能取胜的概率．
⑵按比赛规则甲获胜的概率．
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为 1 1 ，乙获胜的概率为 ． 2 2 ⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验， 且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴甲打完 5 局才能取胜 1 2 1 2 1 3 2 的概率 P1 C 4 ( ) ( ) . 2 2 2 16
失误防范
1．如果在一次试验中某事件发生的概率是p， 那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发 生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，应 注意字母n、p、k的意义．
2．独立重复试验是相互独立事件的特例， 注意二者的区别．如例2
小结：
1、 n 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的 n 次试验称 为 n 次独立重复试验.
(3)所求概率为 2 6 665 P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－( ) ＝ . 3 729
方法感悟
方法技巧 1．独立重复试验必须具备的条件 (1)每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变； (2)各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立； (3)每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对 立的． 2．独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“ 恰好”“恰有”字样的问题，用独立重复试验的概 率公式计算更简单．如例1及变式训练1
P( An )
∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 他试验的影响, ∴上面等式成立 .
判断下列试验是不是独立重复试验： 1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; （NO) 2).某人射击,击中目标的概率P是稳定的,他连续射击 了10次,其中6次击中; (YES) 3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次
验．
• 例1、在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的 死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6，试问3 个投保人中：（1）全部活到65岁的概率； （2）有2个活到65岁的概率； （3）有1个活到65岁的概率。
• 例2、100件产品中有3件不合格品，每次取一件，又放回 的抽取3次，求取得不合格品件数X的分布列。
设出事件
→ 利用独立事件求概率 → 写出随机变量的可能取值 → 求相应概率 → 列出ξ的分布列
【解】 (1)设事件 A 表示“甲选做 14 题”，事件 B 表示“乙选做 14 题”，则甲、乙 2 名学生选做 同一道题的事件为“AB＋ A B ”且事件 A、B 相 互独立． ∴P(AB∪ A B )＝P(A)P(B)＋P( A )P( B ) 1 1 1 1 1 ＝ × ＋(1－ )×(1－ )＝ . 2 2 2 2 2
解：(1)将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红 1 灯的概率都是 且每次试验结果相互独立，故 3 1 X～B(6， )，所以 X 的分布列为 3 k 1 k 2 6－k P(X＝k)＝C6· ( )· ( ) (k＝0,1,2，…，6)． 3 3 ∴X 的分布列如下： X 0 1 2 3 4 5 6 64 64 80 160 20 4 1 P 729 243 243 729 243 243 729
(2)η＝k(k＝0,1,2，…，5)表示前 k 个路口没有遇 上红灯，但在第 k＋1 个路口遇上红灯，其概率为 2 k1 P(η＝k)＝( ) ·，η＝6 表示一路没有遇上红灯， 3 3 26 故其概率为 P(η＝6)＝( ) ，所以 η 的分布列为 3 η 0 1 2 3 4 5 6 1 2 4 8 16 32 64 P 3 9 27 81 243 729 729
, k 0,1, 2,..., n.
此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p), 并称p为成功概率。
抽取5个球,恰好抽出4个白球; (NO) 4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回 的抽取5个球,恰好抽出4个白球. (YES)
探究：
姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为 0．8，假设他每次命中率相同，请问他4投3中的 概率是多少?
分析：我们用“⊙”表示投中，用“×”表示未投 中，那么投篮4次，投中3次有以下几种情况： ⊙ ⊙ ⊙ × ⊙ ⊙ ×⊙ ⊙ ×⊙ ⊙
2、二项分布：
注:
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的 次数为X，在每次试验中事件 A发生的概率为p，那么 k k n k n Pn (k ) cn p q 是( p q) 展开式中的第 k 1 项. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
k n k n k
P( X k ) C p (1 p)
k n k
nk
, (k 0,1, 2,
, n)
n次独立重复试验的概率公式及结构 特点：
如果在1次试验中，事件A出现的概率为p, 则在n次试
验中，A恰好出现 k 次的概率为：
事件 A 发生的概率
事件 A发生的概率
k n k n k
Pn ( k ) C p (1 p)
实验总次数 事件 A 发生的次数
所以，姚明罚球4投3中的概率为:
3 3 C 0.8 (1 0.8) 0.4096 C4 0.8 (1 0.8) 0.4096
3 4
3
一般地，在n次独立重复试验中，如果事件A在 其中1次试验中发生的概率是p，那么在n次独立重 复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：
Pn (k ) C p (1 p)
(2) 记事件 A “甲打完 3 局才能取胜” ， 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” ， 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” ． 事件 D ＝“按比赛规则甲获胜” ，则 D A B C ， 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥， 故 P ( D) P ( A B C ) P ( A) P ( B) P (C ) 1 3 3 1 1 ． 答： 按比赛规则甲获胜的概率为 ． 8 16 16 2 2