福建省各地2015届高三上最新数学理试题分类汇编：集合与常用逻辑用语

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2015届高考数学一轮总复习阶段性测试题1(集合与常用逻辑用语)

阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·甘肃临夏中学、金昌市二中期中)设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x(x－2)<0}，则A∩B 等于()A．{x|x>2}B．{x|0<x<2}C．{x|1<x<2} D．{x|0<x<1}[答案] C[解析]∵B＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，∴A∩B＝{x|1<x<2}．(理)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－x＝0}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则M∩N为()A．{0} B．{1}C．{0,1} D．∅[答案] B[解析]∵M＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}中的元素是奇数，∴M∩N＝{1}，选B.2．(2014·威海期中)已知集合A＝{－1,1}，B＝{m|m＝x＋y，x∈A，y∈A}，则集合B等于() A．{－2,2} B．{－2,0,2}C．{－2,0} D．{0}[答案] B[解析]∵x∈A，y∈A，A＝{－1,1}，m＝x＋y，∴m的取值为－2,0,2，即B＝{－2,0,2}，故选B.3．(2014·山西曲沃中学期中)集合A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}，B＝{x|x<0}，则A∪B＝()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[1,2] D．[1，＋∞)[答案] B[解析]∵A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|x<0}，∴A∪B＝{x|x≤1}，故选B.4．(文)(2014·山东省德州市期中)若U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3,6}，则∁U(M∪N)＝()A．{1,2,3} B．{5}C．{1,3,4} D．{2}[答案] B[解析] ∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ∪N ＝{1,2,3,4,6}， ∴∁U (M ∩N )＝{5}．(理)(2014·文登市期中)已知集合A ＝{x |log 4x <1}，B ＝{x |x ≥2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,2) C ．(－∞，2] D ．[2,4)[答案] B[解析] ∵A ＝{x |log 4x <1}＝{x |0<x <4}，B ＝{x |x ≥2}，∴∁R B ＝{x |x <2}，所以A ∩∁R B ＝(0,2)，故选B.5．(文)(2014·福州市八县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.(理)(2014·甘肃临夏中学期中)命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0成立”的否定是( ) A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 C ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m ≤0 D ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m >0 [答案] D[解析] 特称命题的否定是全称命题．6．(文)(2014·河北冀州中学期中)下列命题中的真命题是( ) A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x [答案] B[解析] ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，32>2，∴不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝32成立，故A 错；令f (x )＝e x －x －1(x ≥0)，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝0，∴x >0时，f (x )>0恒成立，即e x >x ＋1对∀x ∈(0，＋∞)都成立，故B 正确；在同一坐标系内作出y ＝2x 与y ＝3x 的图象知，C 错误；当x ＝π4时，sin x ＝22＝cos x ，∴D 错误，故选B.(理)(2014·山东省德州市期中)下面命题中，假命题是( ) A ．∀x ∈R,3x >0B ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βC ．∃m ∈R ，使f (x )＝mxm 2＋2m 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增D ．命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1>3x ” [答案] D[解析] 由指数函数性质知，对任意x ∈R ，都有3x >0，故A 真；当α＝π3，β＝2π时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；故B 真；要使f (x )＝mxm 2＋2m 为幂函数，应有m ＝1，∴f (x )＝x 3，显然此函数在(0，＋∞)上单调递增，故C 真；D 为假命题，“>”的否定应为“≤”．7．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)a 、b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2a ·b ＋x (|b |2－|a |2)－a ·b ，当f (x )为一次函数时，a ·b ＝0且|b |2－|a |2≠0，∴a ⊥b ，当a ⊥b 时，f (x )未必是一次函数，因为此时可能有|a |＝|b |，故选B.(理)(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ⇔(a －m b )·a ＝0⇔|a |2－m a ·b ＝0⇔m ＝1，故选C.8．(2014·江西都昌一中月考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3,4}，集合B ＝{2,4,5}，则右图中的阴影部分表示( )A ．{2,4}B ．{1,3}C ．{5}D ．{2,3,4,5} [答案] C[解析] 阴影部分在集合B 中，不在集合A 中，故阴影部分为B ∩(∁U A )＝{2,4,5}∩{1,5,6}＝{5}，故选C.9．(2014·华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中六校联考)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β [答案] D[解析] m ∥α，n ∥α时，m 与n 可平行，也可相交或异面，故A 错误；由正方体相邻三个面可知，α⊥β，α⊥γ时，β与γ可能相交，故B 错；当α∩β＝l ，m ⊄α，m ⊄β，m ∥l 时，m ∥α，m ∥β，故C 错，故选D.10．(2014甘肃临夏中学期中)已知函数f (x )＝x ＋b cos x ，其中b 为常数．那么“b ＝0”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当b ＝0时，f (x )＝x 为奇函数，故满足充分性；当f (x )为奇函数时，f (－x )＝－f (x )，∴－x ＋b cos x ＝－x －b cos x ，从而2b cos x ＝0，∵此式对任意x ∈R 都成立，∴b ＝0，故满足必要性，选C.11．(2014·海南省文昌市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x为偶函数，故D 为假命题．12．(2014·黄冈中学检测)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是( )A ．M ＝{(x ，y )|y ＝1x }B ．M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }C ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ＋2}D ．M ＝{(x ，y )|y ＝log 2(x －1)} [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0知OA ⊥OB ，由理想集合的定义知，对函数y ＝f (x )图象上任一点A ，在图象上存在点B ，使OA ⊥OB ，对于函数y ＝1x ，图象上点A (1,1)，图象上不存在点B ，使OA ⊥OB ；对于函数y ＝x 2－2x ＋2图象上的点A (1,1)，在其图象上也不存在点B ，使OA ⊥OB ；对于函数y ＝log 2(x －1)图象上的点A (2,0)，在其图象上不存在点B ，使OA ⊥OB ；而对于函数y ＝cos x ，无论在其图象上何处取点A ，总能在其位于区间[－π2，π2]的图象上找到点B ，使OA ⊥OB ，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·高州四中质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－2)[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，∴m <－2.(理)(2014·福州市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________．[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.14．(文)(2014·安徽程集中学期中)以下四个命题：①在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝a cos B ，则B ＝π4；②设a ，b 是两个非零向量且|a ·b |＝|a ||b |，则存在实数λ，使得b ＝λa ；③方程sin x －x ＝0在实数范围内的解有且仅有一个；④a ，b ∈R 且a 3－3b >b 3－3a ，则a >b ；其中正确的是________．[答案] ①②③④[解析] ∵b sin A ＝a cos B ，∴sin B sin A ＝sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴sin B ＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π4，故①正确； ∵|a ·b |＝||a |·|b |·cos 〈a ，b 〉|＝|a |·|b |，∴|cos 〈a ，b 〉|＝1，∴a 与b 同向或反向，∴存在实数λ，使b ＝λa ，故②正确；由于函数y ＝sin x 的图象与直线y ＝x 有且仅有一个交点，故③正确；∵(a 3－3b )－(b 3－3a )＝(a 3－b 3)＋3(a －b )＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2＋3)>0，∵a 2＋ab ＋b 2＋3>0，∴a －b >0，∴a >b ，故④正确．(理)(2014·屯溪一中期中)下列几个结论：①“x <－1”是“x <－2”的充分不必要条件； ②⎠⎛01(e x ＋sin x )d x ＝e －cos1；③已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值为92；④若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π3的值为－3；⑤函数f (x )＝2sin(2x －π3)－1的对称中心为(k π2＋π6，0)(k ∈Z )其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号) [答案] ②③④[解析] x <－1⇒/ x <－2，x <－2⇒x <－1，故①错误；⎠⎛01(e x ＋sin x )d x ＝(e x －cos x )|10＝e －cos1，故②正确；∵a >0，b >0，a ＋b ＝2，∴y ＝1a ＋4b ＝12(a ＋b )(1a ＋4b )＝12(5＋b a ＋4a b )≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，等号在⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时成立，故③正确；∵(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，∴3a ＝9，∴a＝2，∴tan 2π3＝－tan π3＝－3，故④正确；f (x )＝2sin(2x －π3)－1的对称中心不落在x 轴上，故⑤错．正确答案为②③④.15．(2013·福建文，16)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①A ＝N ，B ＝N *；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}； ③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R .其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号) [答案] ①②③[解析] 由(1)知T 是定义域为S 的函数y ＝f (x )的值域；由(2)知f (x )为增函数，因此对于集合A 、B ，只要能够找到一个增函数y ＝f (x )，其定义域为A ，值域为B 即可．对于①，A ＝N ，B ＝N *，可取f (x )＝x ＋1，(x ∈A )；对于②，A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}，可取f (x )＝92x －72(x ∈A )；对于③，A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ，可取f (x )＝tan(x －12)π(x ∈A )．16．(文)(2014·合肥八中联考)给出下列四个命题： ①∃α，β∈R ，α>β，使得tan α<tan β；②若f (x )是定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，θ∈(π4，π2)，则f (sin θ)>f (cos θ)；③在△ABC 中，“A >π6”是“sin A >12”的充要条件；④若函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝3，其中所有正确命题的序号是________．[答案] ①④[解析] ①当α＝3π4，β＝π3时，tan α<0<tan β，∴①为真命题；∵f (x )是[－1,1]上的偶函数，在[－1,0]上单调递增，∴在[0,1]上单调递减，又θ∈(π4，π2)，∴1>sin θ>cos θ>22，从而f (sin θ)<f (cos θ)，∴②为假命题；③当A ＝5π6时，A >π6成立，但sin A ＝12，∴③为假命题；④由条件知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3，∴④为真命题．(理)(2014·银川九中一模)给出下列命题： ①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1>ab，则a <b ；②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若∀x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)<f (2)一定成立； ③命题“∃x ∈R ，使得x 2－2x ＋1<0”的否定是真命题； ④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ①②③[解析] ①∵a ，b 是正数，∴a ＋1>0，b ＋1>0，∵a ＋1b ＋1>ab ，∴b (a ＋1)>a (b ＋1)，∴b >a ，即a <b ，∴①正确；②∵对任意x ∈R ，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上为增函数， ∴f (1)<f (2)，∴②正确；③“∃x ∈R ，使得x 2－2x ＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”，∵x ∈R 时，x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0成立，∴③正确；④当x ≤1且y ≤1时，x ＋y ≤2成立；当x ＝3，y ＝－2时，满足x ＋y ≤2，∴由“x ＋y ≤2”推不出“x ≤1且y ≤1”，∴④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·福州市八县联考)A ＝{x |x 2－2x －8<0}，B ＝{x |x 2＋2x －3>0}，C ＝{x |x 2－3ax ＋2a 2<0}，(1)求A ∩B ；(2)试求实数a 的取值范围，使C ⊆(A ∩B )．[解析] (1)依题意得：A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x >1或x <－3}， ∴A ∩B ＝{x |1<x <4}．(2)①当a ＝0时，C ＝∅，符合C ⊆(A ∩B )； ②当a >0时，C ＝{x |a <x <2a }，要使C ⊆(A ∩B )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a ≤4，解得1≤a ≤2；③当a <0时，C ＝{x |2a <x <a }，∵a <0，C ⊆(A ∩B )不可能成立，∴a <0不符合题设． ∴综上所述得：1≤a ≤2或a ＝0.(理)(2014·甘肃临夏中学期中)记函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |x 2＋4x ＋4－p 2<0，p >0}，且C ⊆(A ∩B )，求实数p 的取值范围．[解析] (1)由条件知，x 2－x －2>0，∴A ＝{x |x <－1，或x >2}，由g (x )有意义得3－|x |≥0，所以B ＝{x |－3≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |－3≤x <－1，或2<x ≤3}；(2)∵C ＝{x |x 2＋4x ＋4－p 2<0}(p >0)，∴C ＝{x |－2－p <x <－2＋p }， ∵C ⊆(A ∩B )，∴－2－p ≥－3，且－2＋p ≤－1， ∴0<p ≤1，∴实数p 的取值范围是{p |0<p ≤1}．18．(本小题满分12分)(2014·山东省菏泽市期中)已知命题p ：关于x 的不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．[解析] 不等式|x －1|>m －1的解集为R ，须m －1<0，即p 是真命题时，m <1；函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，须5－2m >1，即q 是真命题时，m <2. ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 、q 中一个为真命题，另一个为假命题． (1)当p 真，q 假时，m <1且m ≥2，此时无解； (2)当p 假，q 真时，m ≥1且m <2，此时1≤m <2，因此1≤m <2.19．(本小题满分12分)(文)(2014·灵宝实验高中月考)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[解析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0及a <0得，3a <x <a ， ∴p ：3a <x <a ；由x 2＋2x －8>0得，x <－4或x >2，∴q ：x <－4或x >2.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件，∴a ≤－4.(理)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设命题p ：实数x 满足(x －a )(x －3a )<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足x －3x －2≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵a ＝1，∴不等式化为(x －1)(x －3)<0，∴1<x <3；由x －3x －2≤0得，2<x ≤3，∵p ∧q 为真，∴2<x <3. (2)∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件，又q ：2<x ≤3，p ：a <x <3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，∴1<a ≤2.20．(本小题满分12分)(2014·马鞍山二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m 在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(綈p )∧q 为真，试求实数m 的取值范围．[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1，对命题q ：|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3， ∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6. 若(綈p )∧q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1. 21．(本小题满分12分)(2014·河北冀州中学期中)设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[解析] (1)由于－x 2－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)，又y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1>0时，y ≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1；当x ＋1<0时，y ≤－2(x ＋1)·1x ＋1－1＝－3.∴B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， ∴A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)． (2)∵∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)，由(ax －1a)(x ＋4)≤0，知a ≠0，当a >0时，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，得C ＝[－4，1a 2]，不满足C ⊆∁R A ；当a <0时，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，得C ＝(－∞，－4]∪[1a 2，＋∞)，欲使C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，解得：－22≤a <0或0<a ≤22，又a <0，所以－22≤a <0，综上所述，所求a 的取值范围是[－22，0)． 22．(本小题满分14分)(2014·九江市七校第一次联考)“城中观海”是近年来国内很多大中型城市内涝所致的现象，究其原因，除天气因素、城市规划等原因外，城市垃圾杂物也是造成内涝的一个重要原因．暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道，据统计，在不考虑其他因素的条件下，某段下水道的排水量V (单位：立方米/小时)是杂物垃圾密度x (单位：千克/立方米)的函数．当下水道的垃圾杂物密度达到2千克/立方米时，会造成堵塞，此时排水量为0；当垃圾杂物密度不超过0.2千克/立方米时，排水量是90立方米/小时；研究表明，0.2≤x ≤2时，排水量V 是垃圾杂物密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤2时，求函数V (x )的表达式；(2)当垃圾杂物密度x 为多大时，垃圾杂物量(单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量，单位：千克/小时)f (x )＝x ·V (x )可以达到最大，求出这个最大值．[解析] 当0.2≤x ≤2时，排水量V 是垃圾杂物密度x 的一次函数，设为V (x )＝mx ＋n ，将(0.2,90)，(2,0)代入得V (x )＝－50x ＋100，V (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90(0≤x ≤0.2)，－50x ＋100(0.2<x ≤2).(2)f (x )＝x ·V (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90x (0≤x ≤0.2)，－50x (x －2)(0.2<x ≤2).当0≤x ≤0.2时，f (x )＝90x ，最大值为1.8千克/小时；当0.2≤x ≤2时，f (x )＝50x (2－x )≤50，当x ＝1时，f (x )取到最大值50，所以，当杂物垃圾密度x ＝1千克/立方米，f (x )取得最大值50千克/小时．。

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：集合与常用逻辑用语(含答案)

集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[问题1]集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是() A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．[问题2]集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.3．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B 时，不要忽略A＝∅的情况．[问题3]设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________．4．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n －2.[问题4]满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．5．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[问题5]已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁I A)∪B等于()A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．[问题6]已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是________________．7．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.[问题7]设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的________条件．8．要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a，b 都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．[问题8]若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围是________________．易错点1忽视空集致误例1已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A.求实数m的取值范围．找准失分点B⊆A，B可以为非空集合，B也可以是空集．漏掉对B＝∅的讨论，是本题的一个易失分点．易错点2对命题的否定不当致误例2已知M是不等式ax＋10ax－25≤0的解集且5M，则a的取值范围是________．找准失分点5M，把x＝5代入不等式，原不等式不成立，易错点3充要条件判断不准例3设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的________条件．找准失分点没有理解充分条件的概念，p⇒q只能得到p是q的充分条件，必要性还要检验q⇒p是否成立．1．(2014·北京)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于()A．{0} B．{0,1} C．{0,2} D．{0,1,2}2．(2014·北京)设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是()A．∃x∈R，x2－2x＋1≥0 B．∃x∈R，x2－2x＋1>0C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0 D．∀x∈R，x2－2x＋1<04．已知p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，q：y＝(2a－1)x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是()A．a≤23B．0<a<12C．12<a≤23D．12<a<15．如果全集U＝R，A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，则图中的阴影部分表示的集合是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0]∪(1,2) C．(－∞，0)∪(1,2) D．(－∞，0)∪(1,2]6．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是()A．a≤1 B．a<1 C．a≥2 D．a>27．已知集合U＝R，A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x2＋y24＝1，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}，则(∁U A)∩(∁U B)＝____________.8．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中的元素有________个．9．设U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁U B)的充要条件是________．10．已知条件p：x2＋2x－3>0，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为__________．1．A2．∅3．{0，12，13} 4．7 5．C6．否命题：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ；命题的否定：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b 7．充分不必要 8．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞1．m ≤3 2．(－∞，－2)∪[5，＋∞) 3．充分不必要CDCCDC 7．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 8．8 9．m >－1，n <5 10．[1，＋∞)。

2015届高考数学集合、常用逻辑用语专题汇编及详细答案

2015届高考数学集合、常用逻辑用语专题汇编1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ文)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，x∈A}，则A∩B ＝()A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}解析：选A.∵A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，x∈A}，∴B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ理)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则() A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：选B.∵A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－5<x<5}，∴A∩B＝{x|－5<x<0或2<x<5}，A∪B＝R.3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ理)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝()A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}解析：选A.集合M＝{x|－1<x<3，x∈R}，∴M∩N＝{0,1,2}，故选A.4．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ文)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝()A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}解析：选C.M∩N＝{－2，－1,0}，故选C.5．(2013·高考大纲全国卷理)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B.由题意可知，集合M＝{5,6,7,8}，共4个元素．6．(2013·高考大纲全国卷文)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝()A．{1,2} B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．∅解析：选B.∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}．7．(2013·高考山东卷理)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y |x∈A, y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3C．5 D．9解析：选C.当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．8．(2013·高考山东卷文)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝()A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅解析：选A.∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁U B＝{3,4}，∴A∩∁U B＝{3}．9．(2013·高考浙江卷理)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝() A．(－2,1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析：选C.因为S＝{x|x>－2}，所以∁R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．10．(2013·高考浙江卷文)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝() A．[－4，＋∞) B．(－2，＋∞)C．[－4,1] D．(－2,1]解析：选D.S∩T＝{x|x>－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2<x≤1}．11．(2013·高考北京卷理)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝() A．{0} B．{－1,0}C．{0,1} D．{－1,0,1}解析：选B.∵A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}且1∉B，∴A∩B＝{－1,0}．12．(2013·高考天津卷理)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝() A．(－∞，2] B．[1,2]C．[－2,2] D．[－2,1]解析：选D.由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，于是A∩B＝{x|－2≤x≤1}．13．(2013·高考福建卷文)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为() A．2 B．3C．4 D．16解析：选C.A∩B＝{1,3}，其子集有∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．14．(2013·高考辽宁卷文)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x||x|<2}，则A∩B＝()A．{0} B．{0,1}C．{0,2} D．{0,1,2}解析：选B.B＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，A∩B＝{0,1}．15．(2013·高考辽宁卷理)已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝() A．(0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2]解析：选D.因为A＝{x|0<log4x<1}＝{x|1<x<4}，B＝{x|x≤2}，所以A∩B＝{x|1<x<4}∩{x|x≤2}＝{x|1<x≤2}．16．(2013·高考湖南卷文)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁U A)∩B＝________.解析：∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁U A＝{6,8}．∴(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案：{6,8}17．(2013·高考江西卷理)已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝()A．－2i B．2iC．－4i D．4i解析：选C.因为M＝{1,2，z i}，N＝{3,4}，由M∩N＝{4}，得4∈M，所以z i＝4，所以z＝－4i.18．(2013·高考江西卷文)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝() A．4 B．2C．0 D．0或4解析：选A.当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.19．(2013·高考湖北卷理)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | ⎝⎛⎭⎫12x ≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}解析：选C.A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | ⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，所以∁R B ＝{x |x <2或x >4}，于是A ∩∁R B ＝{x |0≤x <2或x >4}．20．(2013·高考湖北卷文)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则B ∩∁U A ＝( )A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}解析：选B.∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，∴∁U A ＝{3,4,5}，∴B ∩∁U A ＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}21．(2013·高考四川卷文)设集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{－2,2}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．{2}C ．{－2,2}D ．{－2,1,2,3}解析：选B.A ∩B ＝{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}，故选B.22．(2013·高考四川卷理)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( )A ．{－2}B ．{2}C ．{－2,2}D ．∅解析：选A.∵A ＝{x |x ＋2＝0}，∴A ＝{－2}．∵B ＝{x |x 2－4＝0}，∴B ＝{－2,2}．∴A ∩B ＝{－2}．故选A.23．(2013·高考重庆卷文)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}解析：选D.∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，∴∁U (A ∪B )＝{4}．24．(2013·高考重庆卷理)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}解析：选D.∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，∴∁U (A ∪B )＝{4}．25．(2013·高考广东卷)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( )A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2}解析：选D.集合M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}，故M ∪N ＝{－2,0,2}，故选D.26．(2013·高考广东卷文)设集合S ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，T ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则S ∩T ＝( )A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2}解析：选A.集合S ＝{0，－2}，T ＝{0,2}，故S ∩T ＝{0}，故选A.27．(2013·高考安徽卷文)已知A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1，0,1}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．{－2，－1}B ．{－2}C ．{－1,0,1}D ．{0,1}解析：选A.因为集合A ＝{x |x >－1}，所以(∁R A )＝{x |x ≤－1}，则(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．28．(2013·高考新课标全国卷文Ⅰ)已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈p ∧綈q解析：选B.当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x <3x ，∴p ：∀x ∈R,2x <3x 是假命题．如图，函数y ＝x 3与y ＝1－x 2有交点，即方程x 3＝1－x 2有解，∴q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2是真命题．∴p ∧q 为假命题，排除A.∵綈p 为真命题，∴綈p ∧q 是真命题．选B.29．(2013·高考山东卷理)给定两个命题p 、q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈pq ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q p ，∴p 是綈q 的充分不必要条件． 30．(2013·高考山东卷文)给定两个命题p 、q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈p q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q p ，∴p 是綈q 的充分不必要条件．31．(2013·高考浙江卷理)已知函数f (x )＝A co s (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以co s φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f (x )＝A co s (ωx ＋π2)＝－As in(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．32．(2013·高考浙江卷文)若α∈R ，则“α＝0”是“s in α<co s α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若α＝0，则s in α＝0，co s α＝1，所以s in α<co s α，即α＝0⇒s in α<co s α；但当α＝－π2时，有s in α＝－1<0＝co s α，此时α≠0.所以α＝0是s in α<co s α的充分不必要条件．33．(2013·高考北京卷文)“φ＝π”是“曲线y ＝s in(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当φ＝π时，y ＝s in(2x ＋φ)＝s in(2x ＋π)＝－s in 2x ，此时曲线y ＝s in(2x ＋φ)必过原点，但曲线y ＝s in(2x ＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y ＝s in(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．34．(2013·高考天津卷文)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件解析：选A.由不等式的性质知(a －b )·a 2<0成立，则a <b 成立；而当a ＝0，a <b 成立时，(a －b )·a 2<0不成立，所以(a －b )·a 2<0是a <b 的充分而不必要条件．35．(2013·高考天津卷理)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：选C.对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确． 36．(2013·高考福建卷文)设点 P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0，即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0,1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分而不必要条件．37．(2013·高考福建卷理)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．38．(2013·高考陕西卷文)设全集为R, 函数f (x )＝1－x 的定义域为M, 则∁R M 为( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选B.函数f (x )的定义域M ＝(－∞，1]，则∁R M ＝(1，＋∞)．39．(2013·高考湖南卷)“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <2}，∴A B ，即当x 0∈A 时，有x 0∈B ，反之不一定成立．因此“1<x <2”是“x <2”成立的充分不必要条件．40．(2013·高考辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a n n}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3n d}是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D.因为d>0，所以a n ＋1>a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理p 3是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3n d ＝4d>0，所以p 4是真命题．41．(2013·高考陕西卷理)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选D.由1－x 2≥0，知－1≤x ≤1，∴M ＝[－1,1]，∴∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．42．(2013·高考湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：选A.依题意得綈p ：“甲没有降落在指定范围”，綈q ：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p )∨(綈q )．43．(2013·高考四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉BB ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B 解析：选D.命题p 是全称命题：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 是特称命题：∃x ∈A,2x ∉B .故选D. 44．(2013·高考重庆卷理)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 解析：选D.因为“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x ∈M ，綈p (x )”，故“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 20<0”．45．(2013·高考安徽卷)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当x ＝0时，显然(2x －1)x ＝0；当(2x －1)x ＝0时，x ＝0或x ＝12，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．46．(2013·高考陕西卷)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a||b|”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.若|a ·b |＝|a ||b |，若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ；若a ，b 均不为零向量，则|a ·b |＝|a ||b ||co s 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，∴|co s 〈a ，b 〉|＝1，∴〈a ，b 〉＝π或0，∴a ∥b ，即|a ·b |＝|a ||b |⇒a ∥b .若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π，∴|a ·b |＝||a ||b |co s 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，其中，若a ，b 有零向量也成立，即a ∥b ⇒|a ·b |＝|a ||b |.综上知，“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件．47．(2013·高考江苏卷理)集合{－1,0,1}共有________个子集．解析：由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集．答案：848．(2013.高考湖南卷)对于E ＝{a 1，a 2，...，a 100}的子集X ＝{a i 1，a i 2，...，a i k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，...，x 100，其中x i 1＝x i 2＝...＝x i k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________．(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1,1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列” q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1,1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为________．解析：(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”中共有3个1，其余均为0，该数列为1,0,1,0,1,0,0，…，0.故该数列前3项的和为2.(2)E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100中，由于p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1(1≤i ≤99)，因此集合P 中必含有元素a 1.又当i ＝1时，p 1＋p 2＝1，且p 1＝1，故p 2＝0.同理可求得p 3＝1，p 4＝0，p 5＝1，p 6＝0，….故E 的子集P 的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0，…，1,0，即P ＝{a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 99}．E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100中，由于q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1(1≤j ≤98)，因此集合Q 中必含有元素a 1.又当j ＝1时，q 1＋q 2＋q 3＝1，当j ＝2时，q 2＋q 3＋q 4＝1，当j ＝3时，q 3＋q 4＋q 5＝1，…，故q 1＝1，q 2＝q 3＝0，q 4＝1，q 5＝q 6＝0，q 7＝1，….所以E 的子集Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0，…，0,1，即Q ＝{a 1，a 4，a 7，a 10，…，a 100}．因为100＝1＋(n －1)×3，故n ＝34.所以集合Q 中有34个元素，其下标为奇数的有17个．因此P ∩Q ＝{a 1，a 7，a 13，a 19，…，a 97}，共有17个元素．答案：(1)2 (2)1749．(2013·高考重庆卷)对正整数n ，记I n ＝{1,2，…，n }，P n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I n ，k ∈I n . (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”，求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．解：(1)当k ＝4时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 7中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n ⊇I n .不妨设I ∈A ，则因为1＋3＝22，故3∉A ，即3∈B .同理，6∈A,10∈B ，又推得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．再证P 14符合要求．当k ＝1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 14＝I 14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B 1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14.当k ＝4时，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，32，52，…，132，可求解为下面两稀疏集的并：A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，52，92，112，B 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，72，132. 当k ＝9时，集合⎩⎨⎧⎪⎪m k ⎭⎬⎫m ∈I 14中除正整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，43，53，…，133，143，可分解为下面两稀疏集的并：A 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，43，53，103，133， B 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，73，83，113，143. 最后，集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 14，k ∈I 14，且k ≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14.综上可知，所求n 的最大值为14.注：对P 14的分析方法不是唯一的．。

2015届高三(理)一轮同步训练：第1单元《集合与常用逻辑用语》(含答案)

学海导航·新课标高中总复习(第1轮)B·理科数学同步训练第一单元集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念及运算1.设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝()A．{3,0} B．{3,0,1}C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}2.(2013·韶关第一次调研)若集合M是函数y＝lg x的定义域，N是函数y＝1－x的定义域，则M∩N等于()A．(0,1] B．(0，＋∞)C．∅D．[1，＋∞)3.设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1 B．3C．4 D．84.设全集U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}5.(2013·浙江宁波市期末)设集合A＝{(x，y)|x＋a2y＋6＝0}，B＝{(x，y)|(a－2)x＋3ay ＋2a＝0}，若A∩B＝∅，则实数a的值为()A．3或－1 B．0或3C．0或－1 D．0或3或－16.定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{3,6}，则集合A*B 的所有元素之和为.7.集合M＝{3,7，－4m}，N＝{－12,8}，若M∩N≠∅，则实数m的值为________．8.设全集U是实数集R，函数f(x)＝lg(2x－3)的定义域为集合A，B＝{x|y＝2－1}．求：x－1(1)集合A，B；(2)A∩B，A∪(∁U B)．9.已知集合A＝{x|1<ax<2}，集合B＝{x||x|<1}．当A⊆B时，求a的取值范围．第2讲命题及其关系、充要条件1.命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x >y ，则x 2>y 2”C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”2.“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.“a ＝2”是“函数f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.给出下列命题，其中真命题的个数是( )①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”；②“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件；③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题．A ．0B ．1C ．2D ．35.命题“若x ＝5，则x 2－8x ＋15＝0”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数有______个．6.若“|x －1|＜a ”的充分条件是“|x －1|＜b ”(其中a ，b ＞0)，则a 、b 之间的关系是________．7.命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．8.设A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }；若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，求实数b 的取值范围．9.已知条件p ：|5x －1|＞a (a ＞0)，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0.命题“若p ，则q ”为真，其逆命题为假，求实数a 的取值范围．第3讲逻辑联结词、全称量词与存在量词1.若命题綈(p ∨q )为假命题，则( )A ．p 、q 中至少有一个为真命题B ．p 、q 中至多有一个为真命题C ．p 、q 均为真命题D ．p 、q 均为假命题2.(2013·四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∀x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B3.已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2，命题q ：集合{x |x 2－6x ＋9＝0，x ∈R }有且只有两个子集．下列结论：(1)命题“p ∧q ”是真命题；(2)命题“p ∧(綈q )”是假命题；(3)命题“(綈p )∧q ”是真命题；(4)命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44.下列结论错误的是( )A ．若“p ∧q ”与“(綈p )∨q ”均为假命题，则p 真q 假B ．命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件D ．若“am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真5.命题“∃x 0∈(0，π2)，tan x 0>sin x 0”的否定是________________________． 6.“若x >4，则x >m ”为真命题，则m 的取值范围是 .7.已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝103；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋2ax ＋a 2＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)8.已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax －8－6a ＝0”都是真命题，求实数a 的取值范围．9.(2013·山东省莱州质检测)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．学海导航·新课标高中总复习(第1轮)B·理科数学参考答案同步训练第一单元集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念及运算1．B 因为P ∩Q ＝{0}，所以0∈P ，即log 2a ＝0，得a ＝1，而0∈Q ，所以b ＝0，所以P ∪Q ＝{3,0,1}．2．A 因为M ＝(0，＋∞)，N ＝(－∞，1]，所以M ∩N ＝(0,1]．3．C 由题意可得集合B 中一定有元素3,1和2不确定，故满足题意的集合B 的个数为集合{1,2}的子集个数，即为22＝4，故选C.4．B 由2x (x －2)<1，得x (x －2)<0，解得0<x <2，所以A ＝{x |0<x <2}．由1－x >0，得x <1，所以B ＝{x |x <1}，于是阴影部分表示的集合A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}，故选B.5．C 由集合A 、B 的意义可知，A ∩B ＝∅，则两直线平行，故a －21＝3a a 2≠2a 6，解得a ＝－1，又经检验a ＝0时也满足题意，故选C.6．21 由题得A *B ＝{3,6,12}，故集合A *B 的所有元素之和为21.7．3或－2 由M ∩N ≠∅，可知－4m ＝－12或－4m ＝8，解得m ＝3或m ＝－2.8．解析：(1)由2x －3>0，得x >32，所以A ＝{x |x >32}．由2x －1－1≥0，得3－x x －1≥0，解得1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}．(2)由(1)得，∁U B ＝{x |x ≤1或x >3}，所以A ∩B ＝{x |32<x ≤3}， A ∪(∁U B )＝{x |x ≤1或x >32}． 9．解析：由已知，B ＝{x |－1<x <1}．(ⅰ)当a ＝0时，A ＝∅，显然A ⊆B .(ⅱ)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}，要使A ⊆B ，必须⎩⎨⎧ 2a ≤11a≥－1，所以a ≥2. (ⅲ)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a}，要使A ⊆B ，必须⎩⎨⎧1a ≤12a ≥－1，即a ≤－2. 综上可知，a ≤－2或a ＝0或a ≥2.第2讲命题及其关系、充要条件1．C2．C 若m ＝1，则直线x －y ＝0和直线x ＋y ＝0互相垂直．又若x －y ＝0与直线x ＋my ＝0互相垂直，则1×1＋(－1)×m ＝0，所以m ＝1，故“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的充要条件，所以选C.3．A 若a ＝2，则f (x )＝lg(2x )在(0，＋∞)上单调递增，但f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增，则a >0，故不能推出a ＝2.所以“a ＝2”是“函数f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增”的充分而不必要条件．4．B ①中，否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”，因此①错；②中，x ＝－1⇒x 2－5x －6＝0，应为充分条件，因此②错；③中，由于原命题是真命题，因此③说法正确．故选B.5．2 原命题和逆否命题正确，其他命题是错误的，所以填2.6．b ≤a 由条件知|x －1|＜b 的解集是|x －1|＜a 的解集的子集，则b ≤a .7．[0,3) 当a ＝0时，不等式3＞0，命题为真命题；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝(－2a )2－4a ×3<0，解得0＜a ＜3. 综上所述，实数a 的取值范围是[0,3)．8．解析：因为A ＝{x |－1<x <1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1<x <b ＋1}，且A ∩B ≠∅，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即0≤b <2或－2<b ≤0，所以－2<b <2，所以实数b 的取值范围是(－2,2)．9．解析：条件p ：|5x －1|＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5，设对应的集合为A ，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，即2x 2－3x ＋1＞0，所以x ＜12或x ＞1，设对应的集合为B . 由“若p ，则q ”为真，其逆命题为假，则A B ，所以⎩⎨⎧1－a 5≤121＋a 5≥1(两不等式不同时取等号)，解得a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．第3讲逻辑联结词、全称量词与存在量词1．A 易知p ∨q 为真，故选A.2．D 本题考查全称命题的否定，∀改为∃，将2x ∈B 改为2x ∉B ，选D.3．C 因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2，故p 为假命题．又{x |x 2－6x ＋9＝0，x ∈R }＝{3}，其子集为∅，{3}，故q 为真命题．因此命题“p ∧q ”为假，p ∧(綈q )为假，“(綈p )∧q ”为真，(綈p )∨(綈q )为真，故选C.4．D 对于A ，“p ∧q ”为假，则p ，q 至少有一个为假，“綈p ∨q ”为假，则綈p 与q 全假，因此p 真，q 假，故A 正确，易知B 、C 正确，故选D.5．∀x ∈(0，π2)，tan x ≤sin x 解析：特称命题的否定是全称命题，所以否定是∀x ∈(0，π2)，tan x ≤sin x . 6．m ≤4 “若x >4，则x >m ”为真命题，即x >4⇒x >m ，则{x |x >4}⊆{x |x >m }，所以m ≤4.7．②③ 因为|sin x |≤1，所以命题p 为假命题，又因为x 2＋2ax ＋a 2＋1＝(x ＋a )2＋1>0，所以命题q 为真命题，綈p 为真命题，綈q 为假命题，因此②③正确．8．解析：因为∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0，所以a ≤12x 2－ln x ，x ∈[1,2]．令f (x )＝12x 2－ln x ，x ∈[1,2]，则f ′(x )＝x －1x，因为f ′(x )＝x －1x>0(x ∈[1,2])，所以函数f (x )在[1,2]上是增函数，所以f (x )min ＝12，所以a ≤12. 又由命题q 是真命题得Δ＝4a 2＋32＋24a ≥0，解得a ≥－2或a ≤－4.因为命题p 与q 均为真命题，所以a 的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，12]． 9．解析：当命题p 为真时，Δ＝4a 2－16<0，所以－2<a <2，当命题q 为真时，3－2a >1，所以a ＜1.因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p ，q 为一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2a ≥1，所以1≤a <2，当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2a <1，所以a ≤－2. 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2)．。

2015最新高考文科数学真题专题分类汇编01集合与常用逻辑用语

A （ B）= （）
(A) {3}
(B) {2,5}
(C) {1,4,6}
(D) {2,3,5}
7.【 2015 高考天津，文 4】设 x ? R ,则 “1 < x < 2 ”是 “| x - 2 |< 1”的（）
(A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不充分条件
(C)充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
第一章集合与常用逻辑用语
1.【 2015 高考新课标 1，文 1】已知集合 A { x x 3n 2,n N}, B {6,8,10,12,14} ，则集合 A B 中的
元素个数为 ( )
（ A） 5
（B）4
（C）3
（ D ） 2[来源学。科。网 ]
2.【 2015 高考重庆，文 1】已知集合 A = {1,2,3},B = {1,3} ，则 A B （）
8.【 2015 高考四川，文 1】设集合 A＝ { x|－ 1＜ x＜ 2} ，集合 B＝ { x|1＜ x＜ 3} ，则 A∪B＝ (
)
(A){ x|－ 1＜ x＜ 3} (B){ x|－ 1＜ x＜ 1}
(C){ x|1＜ x＜ 2}
(D ){ x|2＜x＜ 3}
9.【 2015 高考山东，文 1】已知集合 A x | 2 x 4 ， B { x（| x 1)( x 3） 0} ，则 A B ( )
A． x0 (0, ) ， ln x0 x0 1 C． x (0, ) ， ln x x 1
B． x0 (0, ) ， ln x0 x0 1 D． x (0, ) ， ln x x 1
18. 【 2015 高考北京，文 1】若集合
x 5 x 2，

2015年福建省高考数学试卷(理科)

2015年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）若集合A={i ，i 2，i 3，i 4}（i 是虚数单位），B={1，﹣1}，则A ∩B 等于（）A ．{﹣1}B ．{1}C ．{1，﹣1}D ．∅2．（5分）下列函数为奇函数的是（）A ．y=√xB ．y=|sinx |C ．y=cosxD ．y=e x ﹣e ﹣x3．（5分）若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于（）A ．11B ．9C ．5D ．34．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程y =b x +a ，其中b =0.76，a =y −b x ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 5．（5分）若变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0则z=2x ﹣y 的最小值等于（）A ．2B ．﹣2C ．−32D ．−526．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A ．2B ．1C ．0D ．﹣17．（5分）若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m”是“l ∥α”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）若a ，b 是函数f （x ）=x 2﹣px +q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点，且a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9 9．（5分）已知AB →⊥AC →，|AB →|=1t ，|AC →|=t ，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且AP →=AB→|AB →|+4AC →|AC →|，则PB →⋅PC →的最大值等于（） A ．13 B ．15 C ．19 D ．2110．（5分）若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f′（x ）满足f′（x ）＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是（）A ．f(1k )＜1kB ．f(1k )＞1k−1C ．f(1k−1)＜1k−1D ．f(1k−1)＞k k−1二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（x +2）5的展开式中，x 2的系数等于．（用数字作答）12．（4分）若锐角△ABC 的面积为10√3，且AB=5，AC=8，则BC 等于．13．（4分）如图，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（2，4），函数f （x ）=x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．14．（4分）若函数f （x ）={−x +6，x ≤23+log a x ，x ＞2（a ＞0且a ≠1）的值域是[4，+∞），则实数a 的取值范围是．15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2⋯x n (n ∈N ∗)，其中x k （k=1，2，…，n ）称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：{x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于．三、解答题16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．（1）求证：GF ∥平面ADE ；（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．18．（13分）已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）过点(0，√2)，且离心率e 为√22．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线x=my ﹣1（m ∈R ）交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G (−94，0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．19．（13分）已知函数f （x ）的图象是由函数g （x ）=cosx 的图象经如下变换得到：先将g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．（1）求函数f （x ）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程f （x ）+g （x ）=m 在[0，2π）内有两个不同的解α，β （i ）求实数m 的取值范围；（ii ）证明：cos （α﹣β）=2m 25﹣1． 20．（7分）已知函数f （x ）=ln （1+x ），g （x ）=kx ，（k ∈R ）（1）证明：当x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）证明：当k ＜1时，存在x 0＞0，使得对任意x ∈（0，x 0），恒有f （x ）＞g （x ）；（3）确定k 的所有可能取值，使得存在t ＞0，对任意的x ∈（0，t ），恒有|f （x ）﹣g （x ）|＜x 2．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵A=(2143)，B=(110−1) （1）求A 的逆矩阵A ﹣1；（2）求矩阵C ，使得AC=B ．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =1+3cost y =−2+3sint （t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴），直线l 的方程为√2ρsin （θ﹣π4）=m ，（m ∈R ）（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f （x ）=|x +a |+|x ﹣b |+c 的最小值为4．（1）求a +b +c 的值；（2）求14a 2+19b 2+c 2的最小值．2015年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）若集合A={i ，i 2，i 3，i 4}（i 是虚数单位），B={1，﹣1}，则A ∩B 等于（）A ．{﹣1}B ．{1}C ．{1，﹣1}D ．∅【解答】解：∵A={i ，i 2，i 3，i 4}={i ，﹣1，﹣i ，1}，B={1，﹣1}，∴A ∩B={i ，﹣1，﹣i ，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．故选：C ．2．（5分）下列函数为奇函数的是（）A ．y=√xB ．y=|sinx |C ．y=cosxD ．y=e x ﹣e ﹣x【解答】解：A ．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A 为非奇非偶函数．B ．f （﹣x ）=|sin （﹣x ）|=|sinx |=f （x ），则f （x ）为偶函数．C ．y=cosx 为偶函数．D ．f （﹣x ）=e ﹣x ﹣e x =﹣（e x ﹣e ﹣x ）=﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，故选：D3．（5分）若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于（）A ．11B ．9C ．5D ．3【解答】解：由题意，双曲线E ：x 29−y 216=1中a=3． ∵|PF 1|=3，∴P 在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF 2|﹣|PF 1|=6，∴|PF 2|=9．故选：B ．4．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程y =b x +a ，其中b =0.76，a =y −b x ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【解答】解：由题意可得x =15（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10， y =15（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得a ^=8﹣0.76×10=0.4，∴回归方程为y ^=0.76x +0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，故选：B ．5．（5分）若变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0则z=2x ﹣y 的最小值等于（）A ．2B ．﹣2C ．−32D ．−52 【解答】解：由约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立{x +2y =0x −2y +2=0，解得A （﹣1，12）． ∴z=2x ﹣y 的最小值为2×（﹣1）﹣12=−52．故选：D ．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=cos π2，i=2不满足条件i＞5，S=cos π2+cosπ，i=3不满足条件i＞5，S=cos π2+cosπ+cos3π2，i=4不满足条件i＞5，S=cos π2+cosπ+cos3π2+cos2π，i=5不满足条件i ＞5，S=cos π2+cosπ+cos 3π2+cos2π+cos 5π2=0﹣1+0+1+0=0，i=6 满足条件i ＞5，退出循环，输出S 的值为0，故选：C ．7．（5分）若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m”是“l ∥α”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m”可能“l ∥α”也可能l ⊂α，反之，“l ∥α”一定有“l ⊥m”，所以l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m”是“l ∥α”的必要而不充分条件．故选：B ．8．（5分）若a ，b 是函数f （x ）=x 2﹣px +q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点，且a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9【解答】解：由题意可得：a +b=p ，ab=q ，∵p ＞0，q ＞0，可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得{2b =a −2ab =4①或{2a =b −2ab =4②．解①得：{a =4b =1；解②得：{a =1b =4． ∴p=a +b=5，q=1×4=4，则p +q=9．故选：D ．9．（5分）已知AB →⊥AC →，|AB →|=1t ，|AC →|=t ，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且AP →=AB→|AB →|+4AC →|AC →|，则PB →⋅PC →的最大值等于（） A ．13 B ．15 C ．19 D ．21【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A （0，0），B （1t，0），C （0，t ）， ∵AP →=AB →|AB →|+4AC →|AC →|，∴P （1，4）， ∴PB →=（1t﹣1，﹣4），PC →=（﹣1，t ﹣4）， ∴PB →⋅PC →=﹣4（1t ﹣4）﹣（t ﹣1）=17﹣（4t +1t），由基本不等式可得1t+4t ≥2√1t ⋅4t =4， ∴17﹣（4t +1t）≤17﹣4=13，当且仅当4t=1t 即t=12时取等号， ∴PB →⋅PC →的最大值为13，故选：A ．10．（5分）若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f′（x ）满足f′（x ）＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是（）A ．f(1k )＜1kB ．f(1k )＞1k−1C ．f(1k−1)＜1k−1D ．f(1k−1)＞k k−1【解答】解；∵f′（0）=lim x→0f(x)−f(0)x−0f′（x ）＞k ＞1，∴f(x)−f(0)x ＞k ＞1，即f(x)+1x ＞k ＞1，当x=1k−1时，f （1k−1）+1＞1k−1×k=k k−1，即f （1k−1）＞kk−1﹣1=1k−1故f （1k−1）＞1k−1，所以f （1k−1）＜1k−1，一定出错，另解：设g （x ）=f （x ）﹣kx +1， g （0）=0，且g′（x ）=f′（x ）﹣k ＞0， g （x ）在R 上递增，k ＞1，对选项一一判断，可得C 错．故选：C ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（x +2）5的展开式中，x 2的系数等于 80 ．（用数字作答）【解答】解：（x +2）5的展开式的通项公式为T r +1=C 5r •x 5﹣r •2r ，令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x 2项的系数为C 53⋅23=80，故答案为：80．12．（4分）若锐角△ABC 的面积为10√3，且AB=5，AC=8，则BC 等于 7 ．【解答】解：因为锐角△ABC 的面积为10√3，且AB=5，AC=8，所以12×5×8×sinA =10√3，所以sinA=√32，所以A=60°，所以cosA=12，所以BC=√52+82−2×5×8×12=7．故答案为：7．13．（4分）如图，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（2，4），函数f （x ）=x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于512．【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，阴影部分的面积为∫21(4−x 2)dx =（4x ﹣13x 3）|12=53，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于512；故答案为：512．14．（4分）若函数f （x ）={−x +6，x ≤23+log a x ，x ＞2（a ＞0且a ≠1）的值域是[4，+∞），则实数a 的取值范围是（1，2] ．【解答】解：由于函数f （x ）={−x +6，x ≤23+log a x ，x ＞2（a ＞0且a ≠1）的值域是[4，+∞），故当x ≤2时，满足f （x ）=6﹣x ≥4．①若a ＞1，f （x ）=3+log a x 在它的定义域上单调递增，当x ＞2时，由f （x ）=3+log a x ≥4，∴log a x ≥1，∴log a 2≥1，∴1＜a ≤2． ②若0＜a ＜1，f （x ）=3+log a x 在它的定义域上单调递减， f （x ）=3+log a x ＜3+log a 2＜3，不满足f （x ）的值域是[4，+∞）．综上可得，1＜a ≤2，故答案为：（1，2]．15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2⋯x n (n ∈N ∗)，其中x k （k=1，2，…，n ）称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：{x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 5 ．【解答】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，①若k=1，则x 1=0，x 2=1，x 3=0，x 4=1，x 5=1，x 6=0，x 7=1，从而由校验方程组，得x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=1，故k ≠1； ②若k=2，则x 1=1，x 2=0，x 3=0，x 4=1，x 5=1，x 6=0，x 7=1，从而由校验方程组，得x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=1，故k ≠2； ③若k=3，则x 1=1，x 2=1，x 3=1，x 4=1，x 5=1，x 6=0，x 7=1，从而由校验方程组，得x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=1，故k ≠3； ④若k=4，则x 1=1，x 2=1，x 3=0，x 4=0，x 5=1，x 6=0，x 7=1，从而由校验方程组，得x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=1，故k ≠4； ⑤若k=5，则x 1=1，x 2=1，x 3=0，x 4=1，x 5=0，x 6=0，x 7=1，从而由校验方程组，得x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0，故k=5符合题意；⑥若k=6，则x 1=1，x 2=1，x 3=0，x 4=1，x 5=1，x 6=1，x 7=1，从而由校验方程组，得x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=1，故k ≠6； ⑦若k=7，则x 1=1，x 2=1，x 3=0，x 4=1，x 5=1，x 6=0，x 7=0，从而由校验方程组，得x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=1，故k ≠7；综上，k 等于5．故答案为：5．三、解答题16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P （A ）=56×45×34=12．（2）有可能的取值是1，2，3又则P （X=1）=16，P （X=2）=56×15=16，P （X=3）=56×45=23，所以X 的分布列为：X 123P16 16 23EX=1×16+2×16+3×23=52．17．（13分）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．（1）求证：GF ∥平面ADE ；（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．【解答】解法一：（1）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，∵G 是BE 的中点，∴GH ∥AB ，且GH=12AB ，又∵F 是CD 中点，四边形ABCD 是矩形，∴DF ∥AB ，且DF=12AB ，即GH ∥DF ，且GH=DF ，∴四边形HGFD 是平行四边形，∴GF ∥DH ，又∵DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，∴GF ∥平面ADE ．（2）如图，在平面BEG 内，过点B 作BQ ∥CE ， ∵BE ⊥EC ，∴BQ ⊥BE ，又∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥BE ，AB ⊥BQ ，以B 为原点，分别以BE →，BQ →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A （0，0，2），B （0，0，0），E （2，0，0），F （2，2，1） ∵AB ⊥平面BEC ，∴BA →=(0，0，2)为平面BEC 的法向量，设n →=（x ，y ，z ）为平面AEF 的法向量．又AE →=（2，0，﹣2），AF →=（2，2，﹣1）由垂直关系可得{n →⋅AE →=2x −2z =0n →⋅AF →=2x +2y −z =0，取z=2可得n →=(2，−1，2)． ∴cos ＜n →，BA →＞=n →⋅BA→|n →||BA →|=23∴平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23．解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ，又G 是BE 的中点，可知GM ∥AE ，且GM=12AE又AE ⊂平面ADE ，GM ⊄平面ADE ，∴GM ∥平面ADE ．在矩形ABCD 中，由M ，F 分别是AB ，CD 的中点可得MF ∥AD ．又AD ⊂平面ADE ，MF ⊄平面ADE ，∴MF ∥平面ADE ．又∵GM ∩MF=M ，GM ⊂平面GMF ，MF ⊂平面GMF ∴平面GMF ∥平面ADE ，∵GF ⊂平面GMF ，∴GF ∥平面ADE （2）同解法一．18．（13分）已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）过点(0，√2)，且离心率e 为√22．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线x=my ﹣1（m ∈R ）交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G (−94，0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解答】解法一：（1）由已知得{b =√2c a =√22a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =c =√2，∴椭圆E 的方程为x 24+y 22=1．（2）设点A （x 1y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为H （x 0，y 0）．由{x =my −1x 24+y 22=1，化为（m 2+2）y 2﹣2my ﹣3=0，∴y 1+y 2=2m m 2+2，y 1y 2=−3m 2+2，∴y 0=mm 2+2．G (−94，0)，∴|GH |2=(x 0+94)2+y 02=(my 0+54)2+y 02=(m 2+1)y 02+52my 0+2516． |AB|24=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)24=(m 2+1)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]4=(m 2+1)(y 02−y 1y 2)，故|GH |2﹣|AB|24=52my 0+(m 2+1)y 1y 2+2516=5m 22(m +2)﹣3(m 2+1)m +2+2516=17m 2+216(m +2)＞0．∴|GH|＞|AB|2，故G 在以AB 为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点A （x 1y 1），B （x 2，y 2），则GA →=(x 1+94，y 1)，GB →=(x 2+94，y 2)．由{x =my −1x 24+y 22=1，化为（m 2+2）y 2﹣2my ﹣3=0，∴y 1+y 2=2m m +2，y 1y 2=−3m +2，从而GA →⋅GB →=(x 1+94)(x 2+94)+y 1y 2 =(my 1+54)(my 2+54)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2+54m(y 1+y 2)+2516=5m 22(m +2)﹣3(m 2+1)m +2+2516=17m 2+216(m +2)＞0． ∴GA →⋅GB →＞0，又GA →，GB →不共线， ∴∠AGB 为锐角．故点G (−94，0)在以AB 为直径的圆外．19．（13分）已知函数f （x ）的图象是由函数g （x ）=cosx 的图象经如下变换得到：先将g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．（1）求函数f （x ）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程f （x ）+g （x ）=m 在[0，2π）内有两个不同的解α，β （i ）求实数m 的取值范围；（ii ）证明：cos （α﹣β）=2m 25﹣1．【解答】解：（1）将g （x ）=cosx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx 的图象，再将y=2cosx 的图象向右平移π2个单位长度后得到y=2cos （x ﹣π2）的图象，故f （x ）=2sinx ，从而函数f （x ）=2sinx 图象的对称轴方程为x=k π+π2（k ∈Z ）．（2）（i ）f （x ）+g （x ）=2sinx +cosx=√5（√5sinx +√5cosx ）=√5sin （x +φ）（其中sinφ=√5，cosφ=√5）依题意，sin （x +φ）√5在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当|√5|＜1，故m 的取值范围是（﹣√5，√5）．（ii ）因为α，β是方程√5sin （x +φ）=m 在区间[0，2π）内的两个不同的解，所以sin （α+φ）=√5，sin （β+φ）=√5．当1≤m ＜√5时，α+β=2（π2﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）；当﹣√5＜m ＜1时，α+β=2（3π2﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；所以cos （α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin 2（β+φ）﹣1=2（√5）2﹣1=2m 25−1．20．（7分）已知函数f （x ）=ln （1+x ），g （x ）=kx ，（k ∈R ）（1）证明：当x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）证明：当k ＜1时，存在x 0＞0，使得对任意x ∈（0，x 0），恒有f （x ）＞g （x ）；（3）确定k 的所有可能取值，使得存在t ＞0，对任意的x ∈（0，t ），恒有|f （x ）﹣g （x ）|＜x 2．【解答】（1）证明：令F （x ）=f （x ）﹣x=ln （1+x ）﹣x ，x ≥0，则有F′（x ）=1x+1﹣1=﹣xx+1， ∵x ≥0， ∴F′（x ）≤0，∴F （x ）在[0，+∞）上单调递减，∴当x ∈（0，+∞）时，有F （x ）＜F （0）=0， ∴x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）证明：令G （x ）=f （x ）﹣g （x ）=ln （1+x ）﹣kx ，x ∈（0，+∞），则有G′（x ）=1x+1﹣k=−kx+(1−k)x+1，当k ≤0时，G′（x ）＞0，∴G （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴G （x ）＞G （0）=0，故对任意正实数x 0均满足题意．当0＜k ＜1时，令G′（x ）=0，得x =1−k k =1k −1＞0．取x 0=1k−1，对任意x ∈（0，x 0），恒有G′（x ）＞0，∴G （x ）在（0，x 0）上单调递增，G （x ）＞G （0）=0，即f （x ）＞g （x ）．综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g （x）；（3）解：当k＞1时，由（1）知，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x），|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），则有M′(x)=k−11+x−2x=−2x2+(k−2)x+k−11+x，故当x∈(0，k−2+√(k−2)2+8(k−1)4)时，M′（x）＞0，M（x）在[0，k−2+√(k−2)2+8(k−1)4）上单调递增，故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．此时|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），则有N′(x)=11+x−k−2x=−2x2−(k+2)x−k+11+x，故当x∈(0，−(k+2)+√(k+2)2+8(1−k)4)时，N′（x）＞0，N（x）在[0，−(k+2)+√(k+2)2+8(1−k)4）上单调递增，故N（x）＞N（0）=0，即f（x）﹣g（x）＞x2，记x0与−(k+2)+√(k+2)2+8(1−k)4中较小的为x1，则当x∈（0，x1）时，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x ﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有H′(x)=1−11+x−2x=−2x2−x1+x，当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，故当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，满足t＞0的实数t存在．综上，k=1．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵A=(2143)，B=(110−1) （1）求A 的逆矩阵A ﹣1；（2）求矩阵C ，使得AC=B ．【解答】解：（1）因为|A |=2×3﹣1×4=2，所以A −1=(32−12−4222)=(32−12−21)；（2）由AC=B 得（A ﹣1A ）C=A ﹣1B ，故C =A−1B =(32−12−21)(110−1)=(322−2−3)．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =1+3cost y =−2+3sint （t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴），直线l 的方程为√2ρsin （θ﹣π4）=m ，（m ∈R ）（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【解答】解：（1）消去参数t ，得到圆的普通方程为（x ﹣1）2+（y +2）2=9，由√2ρsin （θ﹣π4）=m ，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0，所以直线l 的直角坐标方程为：x ﹣y +m=0．（2）依题意，圆心C （1，﹣2）到直线l ：x ﹣y +m=0的距离等于2，即√2=2，解得m=﹣3±2√2．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f （x ）=|x +a |+|x ﹣b |+c 的最小值为4．（1）求a +b +c 的值；（2）求14a 2+19b 2+c 2的最小值．【解答】解：（1）因为f （x ）=|x +a |+|x ﹣b |+c ≥|（x +a ）﹣（x ﹣b ）|+c=|a +b |+c ，当且仅当﹣a ≤x ≤b 时，等号成立，又a ＞0，b ＞0，所以|a +b |=a +b ，所以f （x ）的最小值为a +b +c ，所以a +b +c=4；（2）由（1）知a +b +c=4，由柯西不等式得，（14a 2+19b 2+c 2）（4+9+1）≥（a 2•2+b 3•3+c•1）2=（a +b +c ）2=16，即14a 2+19b 2+c 2≥87当且仅当12a 2=13b 3=c 1，即a=87，b=187，c=27时，等号成立．所以14a 2+19b 2+c 2的最小值为87．。

2015年高考数学(新课标Ⅱ版)分项汇编专题01集合与常用逻辑用语(含解析)理

专题01 集合与常用逻辑用语一．基础题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理1】已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N ＝( )．A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}【答案】：A2. 【2012全国，理2】已知集合A＝{1,3，}，B＝{1， m}，A∪B＝A，则m＝( )A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3【答案】 B3. 【2015高考新课标2，理1】已知集合，,则（）A．B．C．D．【答案】A二．能力题组1.【2014新课标，理1】设集合M=｛0,1,2｝，N=，则=( )A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝【答案】D【解析】因为N=，所以，故选D.2. 【2006全国2，理1】已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N等于（A. B.{x|0<x<3} C.{x|1<x<3} D.{x|2<x<3}【答案】:D3. 【2005全国2，理9】已知集合，，则为（）(A) 或(B) 或(C) 或(D) 或【答案】A三．拔高题组1. 【2011新课标，理10】已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1： |a＋b|＞1θ∈[0，)p2：|a＋b|＞1θ∈(，π]p3：|a－b|＞1θ∈[0，)p4：|a－b|＞1θ∈(，π]其中的真命题是( )A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2， p4【答案】A【解析】2. 【2005全国2，理16】下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是______________．(写出所有真命题的编号）【答案】①④。

2015年高考数学试题分类汇编A单元集合与常用逻辑用语

数学A单元集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算2．A1[2015·安徽卷] 设全集U＝{1,2,3,4,5,6},A＝{1,2},B＝{2,3,4},则A∩(∁U B)＝() A．{1,2,5,6} B．{1}C．{2} D．{1,2,3,4}2．B[解析] 由∁U B＝{1,5,6}得A∩(∁U B)＝{1}．1．A1[2015·广东卷] 若集合M＝{－1,1},N＝{－2,1,0},则M∩N＝()A．{0,－1} B．{0}C．{1} D．{－1,1}1．C[解析] M∩N＝{1},故选C.10.A1[2015·湖北卷] 已知集合A＝{(x,y)|x2＋y2≤1,x,y∈Z},B＝{(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A B＝{(x1＋x2,y1＋y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A B中元素的个数为() A．77 B．49C．45 D．3010．C[解析] 集合A,集合B”点,集合A B显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点(－3,－3),(－3,3),(3,－3),(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A B表示如图所示的所有“”点＋所有“,共45个．故A B中元素的个数为45.故选C.1．A1[2015·全国卷Ⅰ] 已知集合A＝{x|x＝3n＋2,n∈N},B＝{6,8,10,12,14},则集合A∩B 中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．21．D[解析] 集合A＝{2,5,8,11,14,17,…},所以A∩B＝{8,14},所以A∩B中有2个元素．1．A1[2015·全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{x|－1<x<2},B＝{x|0<x<3},则A∪B＝()A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)1．A[解析] 根据并集的概念可知A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x<3}＝{x|－1<x<3}＝(－1,3),选A.1．A12015·北京卷若集合A＝{x|－5<x<2},B＝{x|－3<x<3},则A∩B＝()A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}1．A[解析] A∩B＝{x|－5<x<2}∩{x|－3<x<3}＝{x|－3<x<2},故选A.2．A1[2015·福建卷] 若集合M＝{x|－2≤x<2},N＝{0,1,2},则M∩N等于()A．{0} B．{1}C．{0,1,2} D．{0,1}2．D[解析] 根据交集的概念得M∩N＝{0,1}．11．A1[2015·湖南卷] 已知集合U＝{1,2,3,4},A＝{1,3},B＝{1,3,4},则A∪(∁U B)＝________．11．{1,2,3} [解析] ∁U B＝{2},故A∪(∁U B)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．1．A1[2015·山东卷] 已知集合A＝{x|2<x<4},B＝{x|(x－1)(x－3)<0},则A∩B＝()A．(1,3) B．(1,4)C．(2,3) D．(2,4)1．C[解析] ∵B＝{x|1<x<3},∴A∩B＝(2,3)．1．A1[2015·陕西卷] 设集合M＝{x|x2＝x},N＝{x|lg x≤0},则M∪N＝()A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞,1]1．A[解析] 由题得集合M＝{0,1},N＝(0,1],所以M∪N＝[0,1]．1．A12015·四川卷设集合A＝{x|－1<x<2},集合B＝{x|1<x<3},则A∪B＝()A．{x|－1<x<3}B．{x|－1<x<1}C．{x|1<x<2}D．{x|2<x<3}1．A[解析] 集合A＝(－1,2),B＝(1,3),故A∪B＝(－1,3)．1．A1[2015·天津卷] 已知全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合A＝{2,3,5},集合B＝{1,3,4,6},则集合A∩(∁U B)＝()A．{3}B．{2,5}C．{1,4,6}D．{2,3,5}1．B[解析] ∁U B＝{2,5},A∩(∁U B)＝{2,3,5}∩{2,5}＝{2,5},故选B.1．A12015·浙江卷已知集合P＝{x|x2－2x≥3},Q＝{x|2<x<4},则P∩Q＝()A．[3,4) B．(2,3]C．(－1,2) D．(－1,3]1．A[解析] 不等式x2－2x≥3,即x2－2x－3≥0,即(x＋1)(x－3)≥0,解得x≤－1或x≥3,即P＝(－∞,－1]∪[3,＋∞),所以P∩Q＝[3,4)．1．A1[2015·重庆卷] 已知集合A＝{1,2,3},B＝{1,3},则A∩B＝()A．{2} B．{1,2}C．{1,3} D．{1,2,3}1．C[解析] 由集合交集的定义,得A∩B＝{1,3}．1．A1[2015·江苏卷] 已知集合A＝{1,2,3},B＝{2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为________．1．5[解析] 因为A∪B＝{1,2,3,4,5},所以A∪B中元素的个数为5.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件 3．A2[2015·安徽卷] 设p ：x <3,q ：－1<x <3,则p 是q 成立的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] 因为(－1,3)是(－∞,3)的真子集,所以q ⇒p ,但p ⇒/ q ,因此p 是q 的必要不充分条件．5．A2、G3[2015·湖北卷] l 1,l 2表示空间中的两条直线,若p ：l 1,l 2是异面直线；q ：l 1,l 2不相交,则( )A ．p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件5．A [解析] 由l 1,l 2是异面直线,可得l 1,l 2不相交,所以p ⇒q ；由l 1,l 2不相交,可得l 1,l 2是异面直线或l 1∥l 2,所以q ⇒/ p ．所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件．故选A.6．A2,F3[2015·北京卷] 设a ,b 是非零向量．“a·b ＝|a||b|”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．A [解析] 根据数量积的定义,a ·b ＝||a ·||b cos θ,由a ·b ＝||a ·||b 可得cos θ＝1,根据向量所成角的范围得到θ＝0,所以a ∥b ；若a ∥b ,可得向量a 与向量b 共线,即所成的角为0或π,所以a ·b ＝±||a ·||b ,故选A. 12．A2、E1[2015·福建卷] “对任意x ∈0,π2,k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．B [解析] 当x ∈0,π2时,k sin x cos x <x ⇔k <x sin x cos x ＝2xsin 2x ,令t ＝2x ∈(0,π),则y ＝2x sin 2x ＝tsin t>1,所以k ≤1,故选B. 3．A2[2015·湖南卷] 设x ∈R ,则“x >1”是“x 3>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] ∵x >1,∴x 3>1,由x 3－1>0得(x －1)(x 2＋x ＋1)>0,解得x >1,∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件,选C.5．A2[2015·山东卷] 设m ∈R ,命题“若m >0,则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根,则m >0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根,则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根,则m >0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根,则m ≤05．D[解析] ∵逆否命题是将原命题的条件与结论互换并分别否定,∴命题“若m>0,则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根,则m≤0”．图1-16．A2[2015·陕西卷] “sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．A[解析] sin α＝cos α时,cos 2α＝cos2α－sin2α＝0,反之,sin α＝±cos α,即“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．4．A2、B7[2015·四川卷] 设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．A[解析] 当a＞b＞1时,log2a＞log2b＞0成立；反之也正确．故选A.4．A2、E2[2015·天津卷] 设x∈R,则“1<x<2”是“|x－2|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．A[解析] 由|x－2|<1,解得1<x<3.若1<x<2,则1<x<3,反之不成立,所以“1<x<2”是“|x －2|<1”成立的充分不必要条件．3．A2[2015·浙江卷] 设a,b是实数,则“a＋b>0”是“ab>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．D[解析] 当a＝－2,b＝3时,a＋b>0,而ab<0；当a＝－2,b＝－3时,ab>0,而a＋b<0.故“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．2．A2[2015·重庆卷] “x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件2．A[解析] 由x2－2x＋1＝0,解得x＝1,所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件,故选A.A3 基本逻辑联结词及量词3．A3[2015·湖北卷] 命题“∃x0∈(0,＋∞),ln x0＝x0－1”的否定是()A．∃x0∈(0,＋∞),ln x0≠x0－1B．∃x0∉(0,＋∞),ln x0＝x0－1C ．∀x ∈(0,＋∞),ln x ≠x －1D ．∀x ∉(0,＋∞),ln x ＝x －13．C [解析] 特称命题的否定是全称命题,且注意否定结论,故原命题的否定是“∀x ∈(0,＋∞),ln x ≠x －1”．故选C.A4 单元综合 4．[2015·沈阳二中模拟] 下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1,则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1,则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ,则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D ．命题“∃x 0∈R ,x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ,x 2＋x ＋1<0”4．C [解析] 命题“若x 2＝1,则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1,则x ≠1”,所以选项A 不正确．由x ＝－1,能够得到x 2－5x －6＝0,反之,由x 2－5x －6＝0,得到x ＝－1或x ＝6,所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件,所以选项B 不正确．命题“若x ＝y ,则sin x ＝sin y ”为真命题,所以其逆否命题也为真命题,所以选项C 正确．命题“∃x 0∈R ,x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ,x 2＋x ＋1≥0”,所以选项D 不正确．6．[2015·重庆一中模拟] “x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．B [解析] ∵x ＜0,∴x ＋1＜1,∴当x ＋1＞0时,ln(x ＋1)＜0；∵ln(x ＋1)＜0,∴0＜x ＋1＜1,∴－1＜x ＜0,∴x ＜0,∴“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件．9．[2015·佛山一中模拟] 若a ＝2x ,b ＝log 12x ,则“a >b ”是“x >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．B [解析] 如图所示,当x ＝x 0时,a ＝b .若a ＞b ,则得到x 00b 不一定得到x ＞1,∴“a ＞b ”不是“x ＞1”的充分条件；若x ＞1,则由图像得到a ＞b ,∴“a ＞b ”是“x ＞1”的必要条件．故“a ＞b ”是“x ＞1”的必要不充分条件． 13．[2015·杭州二中模拟] 给出下列说法： ①“若p ,则q ”的否命题是“若綈 p ,则綈 q ”； ②“∀x >2,x 2－2x >0”的否定是“∃x 0≤2,x 20－2x 0≤0”； ③“p ∧q 是真命题”是“p ∨q 是真命题”的充分不必要条件；④若“b ＝0,则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的逆命题是真命题．其中,错误说法的序号是________．13．② [解析] 根据命题与否命题的关系知①正确；“∀x >2,x 2－2x >0”的否定是“∃x 0>2,x 20－2x 0≤0”,②错误；若“p ∧q ”是真命题,则p ,q 均为真命题,所以“p ∨q ”是真命题,反之,若“p ∨q ”是真命题,则p ,q 可能是一真一假或都为真,则“p ∧q ”不一定是真命题,所以③正确；若f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数,则f(x)＝f(－x),解得b＝0,所以④正确．。

2015年高考数学真题分类汇编：专题(01)集合与常用逻辑用语(文科)及答案

2015年高考数学真题分类汇编专题01 集合与常用逻辑用语文1.【2015高考新课标1，文1】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2【答案】D【解析】试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A ∩B={8,14},故选D.考点：集合运算【名师点睛】对集合运算问题，首项要确定集合类型，其次确定集合中元素的特征，先化简集合，若元素是离散集合，紧扣集合运算定义求解，若是连续数集，常结合数轴进行集合运算，若是抽象集合，常用文氏图法，本题是考查元素是离散的集合交集运算，是基础题.2.【2015高考重庆，文1】已知集合{1,2,3},B {1,3}A ==，则A B =（）(A) {2} (B) {1,2} (C) {1,3} (D) {1,2,3}【答案】C【解析】由已知及交集的定义得A B ={1,3}，故选C.【考点定位】集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的概念和运算，本题属于基础题，注意观察的仔细.3.【2015高考浙江，文3】设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】本题采用特殊值法：当3,1a b ==-时，0a b +>，但0ab <，故是不充分条件；当3,1a b =-=-时，0ab >，但0a b +<，故是不必要条件.所以“0a b +>”是“0ab >”的即不充分也不必要条件.故选D.【考点定位】1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件.解答本题时要根据不等式的性质，采用特殊值的方法，对充分性与必要性进行判断.本题属于容易题，重点考查学生对不等式的性质的处理以及对条件的判断.4.【2015高考重庆，文2】“x 1=”是“2x 210x -+=”的（）(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“x 1= ”显然能推出“2x 210x -+=”，故条件是充分的，又由“2x 210x -+=”可得10)1(2=⇒=-x x ，所以条件也是必要的，故选A.【考点定位】充要条件.【名师点睛】本题考查充要条件的概念和判断，采用推出法进行判断，本题属于基础题，注意推理的正确性.5.【2015高考浙江，文1】已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P =（）A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3-【答案】A【解析】由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q =，故选A.【考点定位】1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.【名师点睛】本题主要考查集合的交集运算.利用解一元二次不等式确定集合P 的范围，从而进行两个集合的交集运算.本题属于容易题，要注意不等式解的准确性.6.【2015高考天津，文1】已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合A U B=（）ð（） (A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}【答案】B【解析】{2,3,5}A =,{2,5}U B =ð,则{}A 2,5U B =（）ð,故选B. 【考点定位】本题主要考查集合的交集与补集运算.【名师点睛】集合是高考中的高频考点,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.7.【2015高考天津，文4】设x R Î,则“12x <<”是“|2|1x -<”的（）(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x <<”是“|2|1x -<”的充分而不必要条件,故选A.【考点定位】本题主要考查不等式解法及充分条件与必要条件.【名师点睛】本题考查的知识点有两个,一是绝对值不等式的解法,与本题有关的结论是:若0a >,则()()f x a a f x a <⇔-<<,另一个是充分条件与必要条件,与本题有关的结论是:对于非空集合,A B ,若A 是B 的真子集,则x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.8.【2015高考四川，文1】设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝( )(A ){x |－1＜x ＜3} (B ){x |－1＜x ＜1} (C ){x |1＜x ＜2} (D ){x |2＜x ＜3} 【答案】A9.【2015高考山东，文1】已知集合{}|{|24130}A x x B x x x =<<=--<，（)(），则A B ⋂= ( )（A ）1,3（）（B ）1,4（）（C ）（2,3（）（D ）2,4（））【答案】C【解析】因为|13B x x =<<｛｝,所以{|24}{|13}(2,3)A B x x x x ⋂=<<⋂<<=，故选C .【考点定位】1.集合的基本运算；2.简单不等式的解法.【考点定位】1.集合的基本运算；2.简单不等式的解法.【名师点睛】本题考查集合的基本运算及简单不等式的解法，不等式中出现一次因式积的形式，降低了不等式求解的难度.本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及基本运算方法的准确性.10.【2015高考四川，文4】设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( )(A )充要条件 (B )充分不必要条件(C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之当log 2a ＞log 2b ＞0成立时，a ＞b ＞1也正确.选A【考点定位】本题考查对数函数的概念和性质、充要条件等基本概念，考查学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力.【名师点睛】判断条件的充要性，必须从“充分性”和“必要性”两个方向分别判断，同时注意涉及的相关概念和方法.本题中涉及对数函数基本性质——单调性和函数值的符号，因此可以结合对数函数的图象进行判断，从而得出结论.属于简单题.11.【2015高考陕西，文1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A【解析】由2{|}{0,1}M x x x M ==⇒=，{|lg 0}{|01}N x x N x x =≤⇒=<≤，所以[0,1]M N =，故答案选A .【考点定位】集合间的运算.【名师点睛】1.本题考查以不等式为基础的集合间的运算，解不等式时注意原式意义的范围.2.本题属于基础题，高考常考题型，注意运算的准确性.12.【2015高考安徽，文2】设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U A C B =（）（A ）{}1256，，，（B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，，【解析】∵{}6,5,1=B C U ，∴()U A C B ={}1，∴选B . 【考点定位】本题主要是考查了集合的交集、补集运算.【名师点睛】在判断充分、必要条件时，考生一定要作好三个步骤：①p ⇒q 是否成立；②p q ⇒是否成立；③形成结论，本题考查了考生的逻辑分析能力.13.【2015高考广东，文1】若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-【答案】C【解析】{}1M N =，故选C ．【考点定位】集合的交集运算．【名师点晴】本题主要考查的是集合的交集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误． 14.【2015高考山东，文5】设m R ∈,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是( )（A ）若方程20x x m +-=有实根，则0m >(B) 若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤(C) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m >(D) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤【答案】D【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D .【考点定位】命题的四种形式.【名师点睛】本题考查命题的四种形式，解答本题的关键，是明确命题的四种形式，正确理解“否定”的内容.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造.15.【2015高考湖南，文3】设x ∈R ，则“x >1”是“2x >1”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】由题易知“x >1”可以推得“2x >1”， “2x >1”不一定得到“x >1”，所以“x >1”是“2x >1”的充分不必要条件，故选A.【考点定位】充要关系【名师点睛】判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p ，则q ”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件；③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件．(3)等价转化法：p 是q 的什么条件等价于綈q 是綈p 的什么条件．16.【2015高考福建，文2】若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则M N 等于（） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}0,1,2 D {}0,1【答案】D【解析】由交集定义得{}0,1M N =，故选D ．【考点定位】集合的运算．【名师点睛】本题考查集合的交集运算，理解交集的含义是正确解答的前提，属于基础题．17.【2015高考湖北，文3】命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C .【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，【考点定位】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，，属识记基础题.【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.18.【2015高考北京，文1】若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则A B =（） A ．{}32x x -<< B ．{}52x x -<<C ．{}33x x -<<D ．{}53x x -<<【答案】A【解析】在数轴上将集合A ，B 表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A B 为图中阴影部分，即{}32x x -<<，故选A.【考点定位】集合的交集运算. 【名师点晴】本题主要考查的是集合的交集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误． 19.【2015高考安徽，文3】设p ：x <3，q ：-1<x <3，则p 是q 成立的（）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵3: x p ，31: x q -∴p q ⇒，但p ⇒/q ，∴p 是q 成立的必要不充分条件，故选C .【考点定位】本题主要考查充分、必要条件的判断.【名师点睛】在判断充分、必要条件时，考生一定要作好三个步骤：①p ⇒q 是否成立；②p q ⇒是否成立；③形成结论，本题考查了考生的逻辑分析能力.20.【2015高考湖南，文11】已知集合U={}1,2,3,4，A={}1,3,B={}1,3,4,则A (U B ð)=_____.【答案】{1，2，3}.【解析】由题U B ð={2}，所以A(U B ð)={1，2，3}. 【考点定位】集合的运算【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或不属于集合B 的元素的集合. 本题需注意检验集合的元素是否满足互异性，否则容易出错．21.【2015高考上海，文2】设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U .【答案】}4,1{【解析】因为}32|{<≤=x x B ，所以2|{<=x x B C U 或}3≥x ，又因为}4,3,2,1{=A ，所以}4,1{)(=B C A U .【考点定位】集合的运算.【名师点睛】先求B C U ，再求)(B C A U .集合的运算是容易题，应注意用描述法表示集合应注意端点值是否取号.【2015高考上海，文15】设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（）.A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.【名师点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ，二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．。

15年高考真题——理科数学(福建卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}234,,,A i i i i =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B 等于（）（A ）{}1- （B ）{}1 （C ）{}1,1- （D ）∅2．下列函数为奇函数的是（）（A）y = （B ）|sin |y x = （C ）cos y x = （D ）x xy e e -=- 3．若双曲线22:1916x y E -=的左右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且1||3PF =，则2||PF 等于（）（A ）11 （B ）9 （C ）5 （D ）34．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表。

根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，其中ˆ0.76b =，ˆˆay bx =-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）（A ）11 （B ）9 （C ）5 （D ）35．若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值等于（）（A ）52- （B ）2- （C ）32- （D ）26．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-7．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）99．已知AB AC ⊥，||1AB t =，||AC t =，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4||||AB AC AP AB AC =+ ，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）（A ）13 （B ）15 （C ）19 （D ）2110．若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（）（A ）11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭ （B ）111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ （C ）1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ （D ）111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案写在答题卡相应位置上） 11．()52x +的展开式中，2x 的系数等于________。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(02 常用逻辑用语)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（02常用逻辑用语）一.选择题：1.（2015安徽文）设p ：x <3，q ：-1<x <3，则p 是q 成立的（）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件2.（2015安徽理）设:12,:21xp x q <<>，则p 是q 成立的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3、（2015北京文）设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：||||cos ,a b a b a b ∙=∙<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ∙=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件.考点：充分必要条件、向量共线.4.（2015北京理）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件. 考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件.5．（2015福建理）若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α 的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．6. （2015湖北文）命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C .【考点定位】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，，属识记基础题.【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力. 7．（2015湖北理）设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A 【解析】试题分析：对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ；对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立；②当0≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.8. （2015湖北文）12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A .【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性.9. (2015湖南理)设A ，B 是两个集合，则“A B A =”是“A B ⊆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C.【考点定位】1.集合的关系；2.充分必要条件.【名师点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件，属于容易题，高考强调集合作为工具与其他知识点的结合，解题的关键是利用韦恩图或者数轴求解，充分，必要条件的判断性问题首要分清条件和结论，然后找出条件和结论之间的推出或包含关系.10、(2015湖南文)设x ∈R ，则“x>1”是“2x >1”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：.由题根据明天的关系进行发现即可得到所给两个明天的关系；由题易知“x>1”可以推得“2x >1”， “2x >1”可以得到“x>1”，所以“x>1”是“2x >1”的充要条件，故选C. 考点：命题与条件11.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（）（A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n 【答案】C【解析】试题分析：p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.考点：特称命题的否定12. (2015山东文)设m R ∈,命题“若m>0,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是( ) A.若方程20x x m +-=有实根，则>0 B.若方程20x x m +-=有实根，则.若方程20x x m +-=没有实根，则>0.若方程20x x m +-=没有实根，则0 【答案】D 【解析】试题分析：一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D. 考点：命题的四种形式.13. (2015陕西文、理) “sin cos αα=”是“cos20α=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“s i n c o s αα=”⇒“cos20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件，故选A ．考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．14. (2015上海文) 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】设),(11111R ∈+=b a i b a z ，),(22222R ∈+=b a i b a z ，若1z 、2z 均为实数，则021==b b ，所以21212121)(a a i b b a a z z -=-+-=-是实数；【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.15、(2015上海理)设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B16、(2015四川文)设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( )(A )充要条件 (B )充分不必要条件(C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件【答案】A【考点定位】本题考查对数函数的概念和性质、充要条件等基本概念，考查学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力.【名师点睛】判断条件的充要性，必须从“充分性”和“必要性”两个方向分别判断，同时注意涉及的相关概念和方法.本题中涉及对数函数基本性质——单调性和函数值的符号，因此可以结合对数函数的图象进行判断，从而得出结论.属于简单题. 17. (2015四川理)设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的（）（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】命题与逻辑.【名师点睛】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考.18. (2015天津文)设x R Î,则“12x <<”是“|2|1x -<”的（）(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x <<”是“|2|1x -<”的充分而不必要条件,故选A.考点：1.不等式；2. 充分条件与必要条件.19.(2015天津理)设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A考点：充分条件与必要条件.20、(2015浙江文)设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.21. (2015浙江理)命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >22. (2015重庆文) “x 1=”是“2x 210x -+=”的（） (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由“x 1= ”显然能推出“2x 210x -+=”，故条件是充分的；又由“2x 210x -+=”可得10)1(2=⇒=-x x ，所以条件也是必要的；故选A.考点：充要条件.23．(2015重庆理) “1x >”是“12log (2)0x +<”的（）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】充分必要条件.24. (2015浙江理)设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card AB card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（） A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立二.填空题:1.(2015山东理)若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为 . 【答案】1【考点定位】1、命题；2、正切函数的性质.【名师点睛】本题涉及到全称命题、正切函数的性质、不等式恒成立问题等多个知识点，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力，注意等价转化的思想的应用，此题属中档题.。

2015年福建省高考数学试卷(理科)及答案

2015年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．∅2．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．34．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元） 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元5．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．B．﹣2 C．D．26．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣17．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．2110．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答）12．（4分）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于．13．（4分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．14．（4分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k （k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于．三、解答题16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．18．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．19．（13分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）内有两个不同的解α，β（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．20．（7分）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g （x）；（3）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．2015年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）（2015•福建）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．∅【分析】利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．故选：C．2．（5分）（2015•福建）下列函数为奇函数的是（）A．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数．B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），则f（x）为偶函数．C．y=cosx为偶函数．D．f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，故选：D3．（5分）（2015•福建）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．3【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．4．（5分）（2015•福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元） 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，∴回归方程为=0.76x+0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，故选：B．5．（5分）（2015•福建）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．B．﹣2 C．D．2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣=．故选：A．6．（5分）（2015•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=cos，i=2不满足条件i＞5，S=cos+cosπ，i=3不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos，i=4不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π，i=5不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0，故选：C．7．（5分）（2015•福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α，反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选：B．8．（5分）（2015•福建）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．9．（5分）（2015•福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．10．（5分）（2015•福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据导数的概念得出＞k＞1，用x=代入可判断出f （）＞，即可判断答案．【解答】解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出错，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（2015•福建）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于80．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解：（x+2）5的展开式的通项公式为T r=•x5﹣r•2r，+1令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x2项的系数为=80，故答案为：80．12．（4分）（2015•福建）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC 等于7．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，所以，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC==7．故答案为：7．13．（4分）（2015•福建）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：．14．（4分）（2015•福建）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，2] ．【分析】当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，即log a x ≥1，故有log a2≥1，由此求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2．综上可得，1＜a≤2，故答案为：（1，2]．15．（4分）（2015•福建）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于5．【分析】根据二元码x1x2…x7的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可．【解答】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，故k=5符合题意；⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；⑦若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；综上，k等于5．故答案为：5．三、解答题16．（13分）（2015•福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）=．（2）有可能的取值是1，2，3又则P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，所以X的分布列为：X123PEX=1×+2×+3×=．17．（13分）（2015•福建）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB ⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．【分析】解法一：（1）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；（2）以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE来证明GF∥平面ADE；（2）同解法一．【解答】解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB，又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，又∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE．（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQ∥CE，∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）∵AB⊥平面BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）由垂直关系可得，取z=2可得．∴cos＜，＞==∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=AE又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，∴GM∥平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE，∴MF∥平面ADE．又∵GM∩MF=M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF∴平面GMF∥平面ADE，∵GF⊂平面GMF，∴GF∥平面ADE（2）同解法一．18．（13分）（2015•福建）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判断出．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．【解答】解法一：（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．G，∴|GH|2==+=++．===，故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．∴，故G在以AB为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，从而==+y1y2=+=﹣+=＞0．∴＞0，又，不共线，∴∠AGB为锐角．故点G在以AB为直径的圆外．19．（13分）（2015•福建）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）内有两个不同的解α，β（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．【分析】（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：f（x）=2sinx，从而可求对称轴方程．（2）（i）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=），从而可求||＜1，即可得解．（ii）由题意可得sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．当1≤m＜时，可求α﹣β=π﹣2（β+φ），当﹣＜m＜0时，可求α﹣β=3π﹣2（β+φ），由cos（α﹣β）=2sin2（β+φ）﹣1，从而得证．【解答】解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos（x﹣）的图象，故f（x）=2sinx，从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=k（k∈Z）．（2）（i）f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（）=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=）依题意，sin（x+φ）=在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，故m的取值范围是（﹣，）．（ii）因为α，β是方程sin（x+φ）=m在区间[0，2π）内的两个不同的解，所以sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．当1≤m＜时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）；当﹣＜m＜1时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin2（β+φ）﹣1=2（）2﹣1=．20．（7分）（2015•福建）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g （x）；（3）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．【分析】（1）令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x＞0，求导得到F′（x）＜0，说明F（x）在（0，+∞）上单调递减，则x＞0时，f（x）＜x；（2）令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），可得k≤0时，G′（x）＞0，说明G（x）在（0，+∞）上单调递增，存在x0＞0，使得对任意x ∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；当0＜k＜1时，由G′（x）=0，求得．取，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，G（x）在上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）；（3）分k＞1、k＜1和k=1把不等式|f（x）﹣g（x）|＜x2的左边去绝对值，当k＞1时，利用导数求得|f（x）﹣g（x）|＞x2，满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g （x）．令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），求导数分析满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f （x）=x﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有x＞0，H′（x）＜0，H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，说明当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，此时，满足t＞0的实数t存在．【解答】（1）证明：令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x＞0，则有F′（x）=﹣1=﹣，∵x＞0，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递减，∴F（x）＜F（0）=0，∴x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），则有G′（x）=﹣k=，当k≤0时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，∴G（x）＞G（0）=0，故对任意正实数x0均满足题意．当0＜k＜1时，令G′（x）=0，得．取，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，∴G（x）在（0，x0）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g （x）；（3）解：当k＞1时，由（1）知，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x），|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），则有，故当时，M′（x）＞0，M（x）在[0，）上单调递增，故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g （x）．此时|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），则有，故当时，N′（x）＞0，M（x）在[0，）上单调递增，故N（x）＞N（0）=0，即f（x）﹣g（x）＞x2，记x0与中较小的为x1，则当x∈（0，x1）时，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x ﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有，当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，故当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，满足t＞0的实数t存在．综上，k=1．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）（2015•福建）已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．【分析】（1）求出矩阵的行列式，即可求A的逆矩阵A﹣1；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，即可求矩阵C，使得AC=B．【解答】解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，所以；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，故．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）（2015•福建）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．【分析】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可．（2）直接利用点到直线的距离个数求解即可．【解答】解：（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，由ρsin（θ﹣）=m，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0，所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y+m=0．（2）依题意，圆心C（1，﹣2）到直线l：x﹣y+m=0的距离等于2，即，解得m=﹣3±2．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）（2015•福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c 的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．。

福建省各地2015届高三上最新数学理试题分类汇编：三角函数

福建省各地2015届高三上最新数学理试题分类汇编三角函数一、选择题1、（福州市2015届高三上学期教学质量检查）已知πtan()34+=α，则tan α的值是（）．A ．2B ．12C ．1-D ．3-2、（福州市2015届高三上学期教学质量检查）ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若cos 2cos A bB a ==，则角C 的大小为（）． A ．60︒B ． 75︒C ．90︒D ．120︒3、（宁德市2015届高三上学期期末单科质检）已知函数2()23sin()cos 12cos f x x x x =π-⋅-+，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是A ．()f x 的一条对称轴是2x π=B ．()f x 在[,]36ππ-上单调递增C ．()f x 是最小正周期为π的奇函数D ．将函数2sin 2y x =的图象左移6π个单位得到函数()f x 的图象 4、（泉州市2015届高三上学期单科质检）在梯形ＡＢＣＤ中，//AB CD ．如果分别以下列各选项所给的内容作为已知条件，那么其中不能确定BD 长度的选项是（）Ａ．4,45,30AC ABD ACD =∠=︒∠=︒Ｂ．2,23,45,30AB CD ABD ACD ==∠=︒∠=︒ Ｃ．2,23,4,30AB CD AC ACD ===∠=︒ Ｄ．23,45,30CD ABD ACD =∠=︒∠=︒5、（三明市B 片区高中联盟校2015届高三上学期期末）函数R x x x f ∈-=),32sin(2)(π的最小正周期为A ．2πB ．πC ．π2D ．π46、（福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考）将函数x x y sin cos 3-=的图像向右平移n个单位后所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是（）A ．6πB ．2πC ．67πD ．3π7、（漳州市八校2015届高三第二次联考）已知53)2sin(=-απ，则)2cos(απ-=（）A ．725 B ．725- C ．925 D ．925- 8、（德化一中2015届高三第三次月考）已知函数2sin()cos()22y x x ππ=+-与直线12y =相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M ，，则113M M 等于【★★】．A ．π6B ．π7C ．π12D ．π139、（龙海二中2015届高三上学期期末）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像( ) A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位C.向左平移12π个单位D.向右平移12π个单位10、（莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期联考）已知函数()sin(2)()4f x x x R π=+∈的最小正周期为π，为了得到函数()sin 2g x x =的图象，只要将()y f x =的图象( )A.向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度二、填空题1、（龙岩市一级达标校2015届高三上学期期末）在C ∆AB 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos a b c B +A =，则sin sin C y =A +的最大值为2、（泉州市2015届高三上学期单科质检）已知3sin()25πθ+=，3(,2)2θππ∈ 则sin 2θ=_________ 3、（厦门市2015届高三上学期质检检）已知)4tan(,cos 2sin πααα+=则=4、（福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考）= 600tan5、（德化一中2015届高三第三次月考）已知α是第二象限角，且3sin 5α=，则1cos21cos2αα-=+★★★★.6、（福州市第八中学2015届高三第四次质检）已知,31)3cos(-=+πα则=-)6sin(πα_______三、解答题1、（福州市2015届高三上学期教学质量检查）已知函数()23sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P 为函数()f x 图象的最高点，Q为函数()f x 的图象与x 轴的正半轴的交点．（Ⅰ）试判断OPQ ∆的形状，并说明理由．（Ⅱ）若将OPQ ∆绕原点O 按逆时针方向旋转角02ααπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，顶点,P Q ''恰好同时落在曲线ky x=()0x >上（如图所示），求实数k 的值．2、（龙岩市一级达标校2015届高三上学期期末）某同学用“五点法”画函数()()sin f x x ωϕ=A +在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：()I 求1x ，2x ，3x 的值及函数()f x 的表达式；()II 将函数()f x 的图象向左平移π个单位，可得到函数()g x 的图象，求函数()()y f x g x =⋅在区间50,3π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值．3、（宁德市2015届高三上学期期末单科质检）某供货商拟从码头A 发货至其对岸l 的两个商场B ，C 处，通常货物先由A 处船运至BC 之间的中转站D ，再利用车辆转运．如图，码头A 与两商场B ，C 的距离相等，两商场间的距离为20千米，且2BAC π∠=．若一批货物从码头A 至D 处的运费为100元/千米，这批货到D 后需分别发车2辆、4辆转运至B 、C 处，每辆汽车运费为25元/千米．设,ADB α∠=该批货总运费为S 元．（Ⅰ）写出S 关于α的函数关系式，并指出α的取值范围；（Ⅱ）当α为何值时，总运费S 最小？并求出S 的最小值．xyP'Q'QPO4、（泉州市2015届高三上学期单科质检）已知函数()sin()3cos ,3f x x x π=-+x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若3()2f A =且32a b =试求角B 的大小.5、（厦门市2015届高三上学期质检检）已知函数)20,0)(sin()(πφωϕω<<>+=x x f 的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0，且相邻两条对称轴的距离为2π. （1）求函数)(x f 的解析式及其单调递增区间；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若21cos )2(=-A Af ，且1=bc ，3=+c b ，求a 的值.6、（福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考）已知函数2()sin cos 3cos 333x x xf x =+－32 （1）求()f x 的最小正周期及其对称中心；（2）如果三角形ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac ，且边b 所对角为x ，试求x 的范围及此时函数(3)f x 的值域。

2015年高考数学真题分类汇编：专题(01)集合与常用逻辑用语(理科)及答案

专题一集合与常用逻辑用语1.【2015高考四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（）(){|13}A x x -<< (){|11}B x x -<< (){|12}C x x <<(){|23}D x x <<【答案】A【解析】{|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<<，选A.【考点定位】集合的基本运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.2.【2015高考广东，理1】若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =（）A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4【答案】A ．【解析】因为()(){}{}|4104,1M x x x =++==--，()(){}{}|4101,4N x x x =--==，所以M N =∅，故选A ．【考点定位】一元二次方程的解集，集合的基本运算.【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的解集，有限集合的交集运算和运算求解能力，属于容易题．3.【2015高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.【考点定位】本题主要考查特称命题的否定【名师点睛】全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度.4.【2015高考陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N =，故选A ．【考点定位】1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【名师点晴】本题主要考查的是一元二次方程、对数不等式和集合的并集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“”还是求“”和要注意对数的真数大于0，否则很容易出现错误．5.【2015高考湖北，理5】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥. 若p ：12,,,n a a a 成等比数列； q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【考点定位】等比数列的判定，柯西不等式，充分条件与必要条件.【名师点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ，二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．6.【2015高考天津，理4】设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,2202x x x +->⇔<-或1x >，所以 “21x -< ”是“220x x +-> ”的充分不必要条件，故选A.【考点定位】不等式解法与充分条件、必要条件.【名师点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将含绝对值不等式与一元二次不等式和解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题7.【2015高考重庆，理1】已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则（）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA 【答案】D【解析】由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D .【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.【名师点晴】考查集合的关系，涉及集合的相等.集合的交集运算，子集等概念，是送分题.8.【2015高考福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．φ【答案】C【解析】由已知得{},1,,1A i i =--，故A B ={}1,1-，故选C ．【考点定位】1、复数的概念；2、集合的运算．【名师点睛】本题考查复数的概念和集合的运算，利用21i =-和交集的定义求解，属于基础题，要注意运算准确度．9.【2015高考重庆，理4】“1x >”是“12log (2)0x +<”的（）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B .【考点定位】充分必要条件.【名师点晴】本题把充分必要条件与对数不等式结合在一起，既考查了对数函数的性质，又考查了充分必要条件的判断，从本题可知我们可能用集合的观点看充分条件、必要条件：A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，(1)如果A ⊆B ，那么p 是q 的充分不必要条件；(2)如果B ⊆A ，那么p 是q 的必要不充分条件；(3)如果A ＝B ，那么p 是q 的充要条件；(4)如果A B ⊂≠，且B A ⊂≠，那么p 是q 的既不充分也不必要条件．本题易错点在于解对数不等式时没有考虑对数的定义域.10.【2015高考新课标2，理1】已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B =（）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0AB =-，故选A ．【考点定位】集合的运算．【名师点睛】本题考查一元二次不等式解法和集合运算，要求运算准确，属于基础题．11.【2015高考天津，理1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =ð( )（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð,所以{2,5}U AB =ð，故选A.【考点定位】集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的运算，涉及全集、补集、交集相关概念和求补集、交集的运算,是基础题.12.【2015高考安徽，理3】设:12,:21x p x q <<>，则p 是q 成立的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【考点定位】1.指数运算；2.充要条件的概念.【名师点睛】对于指对数运算问题，需要记住常见的等式关系，如0112,22,1log ,0log 1a a a ====，进而转化成同底的问题进行计算；充要关系的判断问题，可以分为由“:12p x <<”推证“:0q x >”以及由“:0q x >”推证“:12p x <<”.13.【2015高考山东，理1】已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,则A B =（）（A ）（1，3）（B ）（1，4）（C ）（2，3）（D ）（2，4）【答案】C 【解析】因为{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，所以{}{}{}132423A B x x x x x x =<<<<=<<.故选：C.【考点定位】1、一元二次不等式；2、集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集，本题属基础题，要求学生最基本的算运求解能力.14.【2015高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.【考点定位】命题的否定【名师点睛】本题主要考查了全称命题的否定等知识点，属于容易题，全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可，全称量词与特称量词的意义，是今年考试说明中新增的内容，在后续的复习时应予以关注.15.【2015高考浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =ð（）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]【答案】C.【解析】由题意得，)2,0(=P C R ，∴()(1,2)R P Q =ð，故选C.【考点定位】1.解一元二次不等式；2.集合的运算.【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.16.【2015高考山东，理12】若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为 .【答案】1【考点定位】1、命题；2、正切函数的性质.【名师点睛】本题涉及到全称命题、正切函数的性质、不等式恒成立问题等多个知识点，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力，注意等价转化的思想的应用，此题属中档题.17.【2015高考江苏，1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______.【答案】5【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个.【考点定位】集合运算【名师点晴】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的个数. 本题需注意检验集合的元素是否满足互异性，否则容易出错．18.【2015高考湖南，理2】.设A ，B 是两个集合，则“A B A =”是“A B ⊆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，AB A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件，选C.【考点定位】1.集合的关系；2.充分必要条件.【名师点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件，属于容易题，高考强调集合作为工具与其他知识点的结合，解题的关键是利用韦恩图或者数轴求解，充分，必要条件的判断性问题首要分清条件和结论，然后找出条件和结论之间的推出或包含关系.19.【2015高考上海，理1】设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =ð ．【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =【考点定位】集合运算【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或不属于集合B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥。

2015年高考数学(理)试题(福建卷)

2015年高考数学（理）试题（福建卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、若集合{}234,,,A i i i i =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B 等于 ( ) A ．{}1- B ．{}1 C ．{}1,1- D ．φ 答案：C解析：由已知得{},1,,1A i i =--，故A B = {}1,1-，故选C 知识点：复数的概念、集合的运算．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题复数的概念、集合的运算 2．下列函数为奇函数的是( )A ．y = B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=- 答案：D解析：函数y =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．知识点：函数的奇偶性．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题函数的奇偶性 3．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）A ．11B ．9C ．5D ．3 答案：B解析：由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．知识点：双曲线的标准方程和定义．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题双曲线的标准方程和定义4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元答案：B解析：由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元），6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故 80.76100.4a=-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.760.4yx =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为ˆ0.76150.411.8y=⨯+=（万元），故选B 知识点：线性回归方程．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题线性回归方程5．若变量x,y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩,则z=2x-y 的最小值等于( )A．B．-2 C．D．2答案：A解析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z=-，当z最小时，直线2y x z=-的纵截距最大，故将直线2y x=经过可行域，尽可能向上移到过点11,2B⎛⎫-⎪⎝⎭时，z取到最小值，最小值为()152122z=⨯--=-，故选A．知识点：线性规划．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编2015年福建卷理科试题线性规划6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A．2 B．1 C．0 D．-1答案：C解析：程序在执行过程中S，i的值依次为：0,1==；S iS i==；0,2S i==，程序结束，输出S=0，=-=；0,5S i==；0,6S iS i1,3=-=；1,4故选C．知识点：程序框图．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编2015年福建卷理科试题程序框图7．若l、m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m ”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：若l⊥m，因为m垂直于平面α，则l∥α或lα⊂；若l∥α，又m垂直于平面α，则l⊥m，所以“l⊥m ”是“l∥α”的必要不充分条件，故选B．知识点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编2015年福建卷理科试题空间直线和平面、直线和直线的位置关系8．若a、b是函数的两个不同的零点，且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9答案：D解析：由韦达定理得a+b=p，a·b=q，，则a>0，b>0，当a,b,-2适当排序后成等比数列时，-2必为等比中项，故a·b=q =4，4ba=．当适当排序后成等差数列时，-2必不是等差中项，当a是等差中项时，422aa=-，解得a=1,a=4；当4a 是等差中项时，82aa=-，解得a=4,b=1，综上所述，a+b=p=5，所以p+q=9，选D．知识点：等差中项和等比中项．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编2015年福建卷理科试题等差中项和等比中项9．已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21答案：A解析：以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t - =（，-4)，1PC - =（，t-4)，因此11141617(4)PB PC t t t t⋅=--+=-+ ，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅ 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．知识点：平面向量数量积、基本不等式．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题平面向量数量积、基本不等式 10．若定义在R 上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）A ．11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭C ．11()11f k k <-- D ．1()11kf k k >-- 答案：C解析：由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则''()()0g x f x k =->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故1()(0)1g g k >-，所以1()111k f k k ->---，11()11f k k >--，所以结论中一定错误的是C ，选项D 无法判断；构造函数()()h x f x x =-，则''()()10h x f x =->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k>，所以1()(0)h h k>，即11()1f kk->-，11()1f kk>-，选项A,B 无法判断，故选C ．知识点：函数与导数．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题函数与导数．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．()52x +的展开式中，x 2的系数等于．（用数字作答）答案：80解析：()52x +的展开式中x 2项为2325280C x =，所以x 2的系数等于80．知识点：二项式定理．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题二项式定理． 12．若锐角△ABC 的面积为，且AB=5，AC=8，则BC 等于________．答案：7解析：由已知得△ABC 的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==，所以sin A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos 49BC AB AC AB AC A =+-⋅=，7BC =.知识点：三角形面积公式、余弦定理．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题三角形面积公式、余弦定理．13．如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．答案：512解析：由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．考点：几何概型．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题几何概型．14．若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（且）的值域是，则实数a 的取值范围是．答案：(1,2]解析：当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需()1()3log 2a f x x x =+>的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围是(1,2]．知识点：分段函数求值域．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题分段函数求值域．15．一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈ ，其中()1,2,,k x k n = 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩ 其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于．答案：5解析：依题意，二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，①若k=1，则x 1=0，x 2=1，x 3=0，x 4=1，x 5=1，x 6=0，x 7=1，从而由校验方程组，得x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=1，故k≠1； ②若k=2，则x 1=1，x 2=0，x 3=0，x 4=1，x 5=1，x 6=0，x 7=1，从而由校验方程组，得x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=1，故k≠2； ③若k=3，则x 1=1，x 2=1，x 3=1，x 4=1，x 5=1，x 6=0，x 7=1，从而由校验方程组，得x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=1，故k≠3； ④若k=4，则x 1=1，x 2=1，x 3=0，x 4=0，x 5=1，x 6=0，x 7=1，从而由校验方程组，得x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=1，故k≠4； ⑤若k=5，则x 1=1，x 2=1，x 3=0，x 4=1，x 5=0，x 6=0，x 7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，故k=5符合题意；⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；⑦若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；综上，k等于5．故答案为：5．知识点：推理证明和新定义．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编2015年福建卷理科试题推理证明和新定义三、解答题16．（本小题满分13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．答案：(Ⅰ)1；(Ⅱ)分布列见解析，期望为．2解析：（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431(A)=6542P =创（Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3又1511542(X=1),(X=2),(X=3)1=.6656653P P P ==?=创所以X 的分布列为所以1125E(X)1236632=???．知识点：古典概型、离散型随机变量的分布列和期望．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题古典概型、离散型随机变量的分布列和期望 17．（本小题满分13分）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB 平面 BEC ，BE EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点. (Ⅰ)求证：GF ∥平面ADE ；(Ⅱ)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．答案：(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)23．解析：解法一：（Ⅰ）如图，取AE 的中点H ，连接HD ，HD ，又G是BE 的中点，1GH AB GH=AB 2所以，且，又F 是CD 中点，1DF=CD 2所以，由四边形ABCD 是矩形得，AB CD AB=CD ，，所以GH DF GH=DF ，且．从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF ∥DH ，又DH ADE GF ADE 平面，平面趟，所以GF ADE 平面．(Ⅱ)如图，在平面BEC 内，过点B 作BQ EC ,因为BE CE BQ BE ，所以^^．又因为AB ⊥平面BEC ，所以AB ⊥BE ，AB ⊥BQ以B 为原点，分别以,,BE BQ BA的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)．因为AB ⊥平面BEC ，所以A=(B0,0,2)为平面BEC 的法向量，设(x,y,z)n =为平面AEF 的法向量.又AE (2,0,-2)AF=(2,2,-1) ，=由AE 0220,220,AF 0n x z x y z n ，得，ìì=-=镲眄+-=镲=îî取z=2得=(2,-1,2)n . 从而A 42cos ,A =,323|||A |n B n B n B狁==´×所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23．解法二：(Ⅰ)如图，取AB 中点M ，连接MG 、MF ，又G 是BE 的中点，可知//GM AE ，又ADE GM ADE AE 平面，平面趟，所以GM ADE 平面；在矩形ABCD 中，由M 、F 分别是AB 、CD 的中点得MF ∥AD ．又ADE,MF ADE AD 平面平面趟，所以ADE MF 平面．又因为GM MF=M,GM GMF MF GMF ⊂⊂ 面，面，所以面GMF ∥平面ADE ，因为GF GMF ⊂面，所以GF ∥平面ADE（Ⅱ）同解法一．知识点：直线和平面平行的判断、面面平行的判断和性质、二面角．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题直线和平面平行的判断、面面平行的判断和性质、二面角． 18．（本小题满分13分）已知椭圆E：22221(a 0)x y b a b+=>>过点，且离心率为．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线x=my-1(m ∈R)交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．答案：(Ⅰ)22142x y +=；(Ⅱ) G 94(-,0)在以AB 为直径的圆外．解析：解法一：(Ⅰ)由已知得2222,b caa b c ì=ïïï=íïï=+ïî，解得2a b c ì=ïï=íïï=îE的方程为22142x y +=．(Ⅱ)设点1122(y ),B (,y ),A x xAB 中点为00H(,y )x ．由221142x my x y ì=-ïíï+=ïî得：22(m 2)y 230,my +--=所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ，++从而022y m 2=+. 所以222222200000095525|GH|()y (my )y (m +1)y +my +44216x =++=++=.22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y -+--== 22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y +-==-,故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299GA (,),GB (,).44x y x y =+=+由22221(m 2)y 230,142x my my x y 得ì=-ï+--=íï+=ïî所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ，++从而121212129955GA GB ()()(my )(my )4444x x y y y y =+++=+++22212122252553(m +1)25(m +1)y (y )4162(m 2)m 216m y m y =+++=-+++22172016(m 2)m +=>+所以cos GA,GB 0,GA GB又，狁>不共线，所以AGB Ð为锐角.故点G 94(-,0)在以AB 为直径的圆外．知识点：椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系、点和圆的位置关系．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系、点和圆的位置关系． 19．（本小题满分13分）已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解α，β．（1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-( 答案：(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2x k pp =+?；(Ⅱ)（1）(-；（2）详见解析．解析：解法一：(Ⅰ)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移2p 个单位长度后得到y 2cos()2x p =-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2x k pp =+?(Ⅱ)(1) f()g()2sin cos ))x x x x x x x j +=++（其中sinj j =）；依题意，sin(x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解α，β当且仅当|1<，故m 的取值范围是(-. (2)因为α，β)=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解，所以sin()=a j +sin(b j +.当1£+=2(),2();2pa b j a b p b j --=-+当时, 3+=2(),32();2pa b j a b p b j --=-+所以2222cos )cos 2()2sin ()11 1.5m (a b b j b j -=-+=+-=-=-解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)(1) 同解法一.(2) 因为α，β)=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解，所以sin()=a j +sin(b j +.当1£+=2(),2();2pa b j a b p b j --=-+当时, 3+=2(),32();2pa b j a b p b j --=-+所以cos +)cos()(a j b j =-+；于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()(a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++22222cos ()sin()sin()[1] 1.5m b j a j b j =-++++=--+=-知识点：三角函数图像变换和性质、辅助角公式和诱导公式．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题三角函数图像变换和性质、辅助角公式和诱导公式． 20、（本小题满分14分）已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R =? (Ⅰ)证明：当0x x x ><时，f()；(Ⅱ)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >； (Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x Î，t 恒有2|f()()|x g x x -<．答案：(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)k=1．解析：(Ⅰ)令()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-??则有1()11+1+xF x x x¢=-=-；当(0,),x ??()0F x ¢<,所以()F x 在(0,)+?上单调递减；故当0x >时，()(0)0,F x F <=即当0x >时，()f x x <．(Ⅱ)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-??则有1(1k)()1+1+kx G x k x x-+-¢=-=；当0,k £G()0x ¢>,所以G()x 在[0,)+?上单调递增, G()(0)0x G >=，故对任意正实数x 0均满足题意；当0<k<1时，令G ()0x ¢=，得1110k x k k -==->，取011x k=-,对任意x ∈(0，x 0)，恒有G ()0x ¢>，所以G()x 在[0，x 0)上单调递增，G()(0)0x G >=即()()f x g x >；综上，当k<1时，总存在x 0>0，使得对任意的x ∈(0，x 0)，恒有()()f x g x >.(Ⅲ)当k>1时，由（Ⅰ）知，对于(0,),x +"违()()g x x f x ，>>故()()g x f x >，|()()|()()k ln(1)f x g x g x f x x x -=-=-+，令2M()k ln(1),[0)x x x x x ，+=-+-违，则有21-2+(k-2)1M ()k 2=,11x x k x x x x+-¢=--++故当0x （Î时，M ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增，故M()M(0)0x >=,即2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在.当k<1时，由（Ⅱ）知存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ，Î恒有()()f x g x >．此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x -=-=+-,令2N()ln(1)k ,[0)x x x x x ，+=+--违，则有2'1-2-(k+2)1()2=,11x x k N x k x x x-+=--++故当0x （Î时，N ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增，故N()(0)0x N >=,即2f()()x g x x->,记0x 1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ，时，恒有?>，故满足题意的t 不存在.当k=1，由（Ⅰ）知，(0,),x 当+违|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2H()ln(1),[0)x x x x x ，+=-+-违，则有21-2H ()12=,11x x x x x x-¢=--++当0x >时，H ()0x ¢<,所以H()x 在[0+，）¥上单调递减，故H()(0)0x H <=,故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意.综上，k=1.知识点：导数的综合应用．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题导数的综合应用．21．（本小题满分7分）本小题（1）（2）（3）三个选做题，选做其中两个题.（1）（本小题满分7分）已知矩阵2111,.4301A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(Ⅰ)求A 的逆矩阵1A -； (Ⅱ)求矩阵C ，使得AC=B.答案：(Ⅰ)312221⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭； (Ⅱ)32223⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭．解析：(Ⅰ)因为A =2314=2⨯-⨯所以131312222422122A --⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪==⎪⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭(Ⅱ)由AC=B 得()11A A C A B --= ,故133112222012323C A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭----⎝⎭⎝⎭考点：矩阵和逆矩阵．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题矩阵和逆矩阵．（2）（本小题满分7分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()m,(m R).4pq -=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．答案：(Ⅰ) ()()221290x y x y m ，-++=--=；(Ⅱ)m=-3± 解析：(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()m 4p q -=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为x-y-m=0. (Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2|12m |2，--+=解得 m=-3知识点：参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、点到直线距离公式．关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2015年福建卷理科试题参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、点到直线距离公式．（3）（本小题满分7分）已知a>0，b>0，c>0,函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a+b+c 的值；(Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值．答案：(Ⅰ) 4；(Ⅱ)87．解析：(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c =++++?-++=++，当且仅当a x b -＃时，等号成立；又a>0，b>0，所以|a b |a b +=+,所以(x)f 的最小值为a+b+c=4．(Ⅱ)由(1)知a+b+c=4，由柯西不等式得()()22222114912+3+1164923a b a b c c a b c ⎛⎫⎛⎫++++≥⨯⨯⨯=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即.222118497a b c ++?；当且仅当1132231b ac ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立。

精编2015年高考真题理科高中数学福建卷试卷和答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学理第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( ) A ．{}1- B ．{}1 C ．{}1,1- D ．φ 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得{},1,,1A i i =--，故A B ={}1,1-，故选C ．考点：1、复数的概念；2、集合的运算． 2．下列函数为奇函数的是( )A ．y =B ．sin y x =C ．cos y x =D ．x x y e e -=- 【答案】D考点：函数的奇偶性．3．若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．考点：双曲线的标准方程和定义．4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )]A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【答案】B考点：线性回归方程．5．若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩ 则2z x y =- 的最小值等于 ( )A ．52-B ．2-C ．32- D ．2【答案】A 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为2=-，当z最小时，直y x z线2=经过可行域，尽可能向上移到过点y x=-的纵截距最大，故将直线2y x z1B-时，z取到最小值，最小值为(1,)215z=⨯--=-，故选A．2(1)22考点：线性规划．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A．2 B．1 C．0 D．1-【答案】C【解析】试题分析：程序在执行过程中,S i的值依次为：0,1S i==；==；0,2S i==；0,6==，程序结束，输出=-=；0,5S iS i1,3S i=-=；1,4S iS=，故选C．考点：程序框图．7．若,l m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l mlα的⊥”是“//（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．8．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D 【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a =．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a=-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．考点：等差中项和等比中项．9．已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB ACAP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（） A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 【答案】A考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．10．若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（）A ．11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111fk k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭【答案】C考点：函数与导数．第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11．()52x + 的展开式中，2x 的系数等于．（用数字作答）【答案】80 【解析】试题分析：()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．考点：二项式定理．12．若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．【答案】7 【解析】试题分析：由已知得ABC ∆的面积为1s i n 20s i n 2A B A C A A ⋅=1=，所以s i n A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．13．如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2f x x = ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【答案】512【解析】试题分析：由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．考点：几何概型．14．若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩ （0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是．【答案】(1,2]考点：分段函数求值域．15．一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈ ，其中()1,2,,k x k n =称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩其中运算⊕ 定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕= ．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于．【答案】5．考点：推理证明和新定义．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

2015年全国各地高考数学试题汇总福建省高考理科数学试题

2015年全国各地高考福建省高考理科数学试题及解析一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)2015年全国各地高考普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理工类)1.(5分)若集合A ＝{i,i 2,i 3,i 4}(i 是虚数单位),B ＝{1,﹣1},则A ∩B 等于( )A.{﹣1}B.{1}C.{1,﹣1}D.∅2.(5分)下列函数为奇函数的是( )A.y ＝B.y ＝|sinx |C.y ＝cosxD.y ＝e x ﹣e ﹣x3.(5分)若双曲线E ：＝1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|＝3,则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.3 4.(5分)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程,其中,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元5.(5分)若变量x,y 满足约束条件则z ＝2x ﹣y 的最小值等于( )A.2B.﹣2C.D.6.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为( )A.2B.1C.0D.﹣17.(5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.(5分)若a,b是函数f(x)＝x2﹣px＋q(p＞0,q＞0)的两个不同的零点,且a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p＋q的值等于()A.6B.7C.8D.99.(5分)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.2110.(5分)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝﹣1,其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1,则下列结论中一定错误的是()A.B. C. D.二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.(4分)(x＋2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)12.(4分)若锐角△ABC的面积为,且AB＝5,AC＝8,则BC等于.13.(4分)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)＝x2,若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.14.(4分)若函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的值域是[4,＋∞),则实数a的取值范围是.15.(4分)一个二元码是由0和1组成的数字串,其中x k(k＝1,2,…,n)称为第k位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0)已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.三、解答题16.(13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.17.(13分)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB ＝BE＝EC＝2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证：GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.18.(13分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点,且离心率e为.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线x＝my﹣1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.19.(13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α,β(i)求实数m的取值范围;(ii)证明：cos(α﹣β)＝﹣1.20.(7分)已知函数f(x)＝ln(1＋x),g(x)＝kx,(k∈R)(1)证明：当x＞0时,f(x)＜x;(2)证明：当k＜1时,存在x0＞0,使得对任意x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x);(3)确定k的所有可能取值,使得存在t＞0,对任意的x∈(0,t),恒有|f(x)﹣g(x)|＜x2.四、选修4-2：矩阵与变换21.(7分)已知矩阵A＝,B＝(1)求A的逆矩阵A﹣1;(2)求矩阵C,使得AC＝B.五、选修4-4：坐标系与参数方程22.(7分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴),直线l的方程为ρsin(θ﹣)＝m,(m∈R)(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.六、选修4-5：不等式选讲23.(7分)已知a＞0,b＞0,c＞0,函数f(x)＝|x＋a|＋|x﹣b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值;(2)求a2＋b2＋c2的最小值.2015年全国各地高考福建省高考理科数学试题及解析参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)2015年全国各地高考普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理工类)1.(5分)若集合A＝{i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B＝{1,﹣1},则A∩B等于()A.{﹣1}B.{1}C.{1,﹣1}D.∅【试题分析】利用虚数单位i的运算性质化简A,然后利用交集运算得答案.【试题解答】解：∵A＝{i,i2,i3,i4}＝{i,﹣1,﹣i,1},B＝{1,﹣1},∴A∩B＝{i,﹣1,﹣i,1}∩{1,﹣1}＝{1,﹣1}.故选：C.【试题点评】本题考查了交集及其运算,考查了虚数单位i的运算性质,是基础题.2.(5分)下列函数为奇函数的是()A.y＝B.y＝|sinx|C.y＝cosxD.y＝e x﹣e﹣x【试题分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可.【试题解答】解：A.函数的定义域为[0,＋∞),定义域关于原点不对称,故A为非奇非偶函数.B.f(﹣x)＝|sin(﹣x)|＝|sinx|＝f(x),则f(x)为偶函数.C.y＝cosx为偶函数.D.f(﹣x)＝e﹣x﹣e x＝﹣(e x﹣e﹣x)＝﹣f(x),则f(x)为奇函数,故选：D.【试题点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性定义是解决本题的关键.3.(5分)若双曲线E：＝1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|＝3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3【试题分析】确定P 在双曲线的左支上,由双曲线的定义可得结论.【试题解答】解：由题意,双曲线E ：＝1中a ＝3. ∵|PF 1|＝3,∴P 在双曲线的左支上,∴由双曲线的定义可得|PF 2|﹣|PF 1|＝6,∴|PF 2|＝9.故选：B.【试题点评】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的定义,属于基础题.4.(5分)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程,其中,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元【试题分析】由题意可得和,可得回归方程,把x ＝15代入方程求得y 值即可.【试题解答】解：由题意可得＝(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9)＝10,＝(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8)＝8,代入回归方程可得＝8﹣0.76×10＝0.4,∴回归方程为＝0.76x ＋0.4,把x ＝15代入方程可得y ＝0.76×15＋0.4＝11.8,故选：B.【试题点评】本题考查线性回归方程,涉及平均值的计算,属基础题.5.(5分)若变量x,y满足约束条件则z＝2x﹣y的最小值等于()A.2B.﹣2C.D.【试题分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【试题解答】解：由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得A(﹣1,).∴z＝2x﹣y的最小值为2×(﹣1)﹣＝.故选：D.【试题点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.6.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()A.2B.1C.0D.﹣1【试题分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当i＝6时满足条件i＞5,退出循环,输出S的值为0.【试题解答】解：模拟执行程序框图,可得i＝1,S＝0S＝cos,i＝2不满足条件i＞5,S＝cos＋cosπ,i＝3不满足条件i＞5,S＝cos＋cosπ＋cos,i＝4不满足条件i＞5,S＝cos＋cosπ＋cos＋cos2π,i＝5不满足条件i＞5,S＝cos＋cosπ＋cos＋cos2π＋cos＝0﹣1＋0＋1＋0＝0,i＝6满足条件i＞5,退出循环,输出S的值为0,故选：C.【试题点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的i,S的值是解题的关键,属于基础题.7.(5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【试题分析】利用直线与平面平行与垂直关系,判断两个命题的充要条件关系即可.【试题解答】解：l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α,反之,“l∥α”一定有“l⊥m”,所以l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件.故选：B.【试题点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用,充要条件的判断,基本知识的考查.8.(5分)若a,b是函数f(x)＝x2﹣px＋q(p＞0,q＞0)的两个不同的零点,且a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p＋q的值等于()A.6B.7C.8D.9【试题分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a＋b＝p,ab＝q,再由a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列列关于a,b的方程组,求得a,b后得答案.【试题解答】解：由题意可得：a＋b＝p,ab＝q,∵p＞0,q＞0,可得a＞0,b＞0,又a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,可得①或②.解①得：;解②得：.∴p＝a＋b＝5,q＝1×4＝4,则p＋q＝9.故选：D.【试题点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,考查了等差数列和等比数列的性质,是基础题.9.(5分)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.21【试题分析】建系,由向量式的几何意义易得P的坐标,可化＝﹣4(﹣4)﹣(t﹣1)＝17﹣(4•＋t),由基本不等式可得.【试题解答】解：由题意建立如图所示的坐标系,可得A(0,0),B(,0),C(0,t),∵,∴P(1,4),∴＝(﹣1,﹣4),＝(﹣1,t﹣4),∴＝﹣4(﹣4)﹣(t﹣1)＝17﹣(4t＋),由基本不等式可得＋4t≥2＝4,∴17﹣(4t＋)≤17﹣4＝13,当且仅当4t＝即t＝时取等号,∴的最大值为13,故选：A.【试题点评】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.10.(5分)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝﹣1,其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1,则下列结论中一定错误的是()A.B. C. D.【试题分析】根据导数的概念得出＞k＞1,用x＝代入可判断出f()＞,即可判断答案.【试题解答】解;∵f′(0)＝f′(x)＞k＞1,∴＞k＞1,即＞k＞1,当x＝时,f()＋1＞×k＝,即f()﹣1＝故f()＞,所以f()＜,一定出错,另解：设g(x)＝f(x)﹣kx＋1,g(0)＝0,且g′(x)＝f′(x)﹣k＞0,g(x)在R上递增,k＞1,对选项一一判断,可得C错.故选：C.【试题点评】本题考查了导数的概念,不等式的化简运算,属于中档题,理解了变量的代换问题.二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.(4分)(x＋2)5的展开式中,x2的系数等于80.(用数字作答)【试题分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于2,求得r的值,即可求得展开式中的x2项的系数.【试题解答】解：(x＋2)5的展开式的通项公式为T r＝•x5﹣r•2r,＋1令5﹣r＝2,求得r＝3,可得展开式中x2项的系数为＝80,故答案为：80.【试题点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于基础题.12.(4分)若锐角△ABC的面积为,且AB＝5,AC＝8,则BC等于7.【试题分析】利用三角形的面积公式求出A,再利用余弦定理求出BC.【试题解答】解：因为锐角△ABC的面积为,且AB＝5,AC＝8,所以,所以sinA＝,所以A＝60°,所以cosA＝,所以BC＝＝7.故答案为：7.【试题点评】本题考查三角形的面积公式,考查余弦定理的运用,比较基础.13.(4分)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)＝x2,若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.【试题分析】分别求出矩形和阴影部分的面积,利用几何概型公式,解答.【试题解答】解：由已知,矩形的面积为4×(2﹣1)＝4,阴影部分的面积为＝(4x﹣)|＝,由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于;故答案为：.【试题点评】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用;关键是求出阴影部分的面积,利用几何概型公式解答.14.(4分)若函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的值域是[4,＋∞),则实数a的取值范围是(1,2] .【试题分析】当x≤2时,检验满足f(x)≥4.当x＞2时,分类讨论a的范围,依据函数的单调性,求得a的范围,综合可得结论.【试题解答】解：由于函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的值域是[4,＋∞),故当x≤2时,满足f(x)＝6﹣x≥4.①若a＞1,f(x)＝3＋log a x在它的定义域上单调递增,当x＞2时,由f(x)＝3＋log a x≥4,∴log a x≥1,∴log a2≥1,∴1＜a≤2.②若0＜a＜1,f(x)＝3＋log a x在它的定义域上单调递减,f(x)＝3＋log a x＜3＋log a2＜3,不满足f(x)的值域是[4,＋∞).综上可得,1＜a≤2,故答案为：(1,2].【试题点评】本题主要考查分段函数的应用,对数函数的单调性和特殊点,属于中档题.15.(4分)一个二元码是由0和1组成的数字串,其中x k(k＝1,2,…,n)称为第k位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0)已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于5.【试题分析】根据二元码x1x2…x7的码元满足的方程组,及“⊕”的运算规则,将k的值从1至7逐个验证即可.【试题解答】解：依题意,二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,①若k＝1,则x1＝0,x2＝1,x3＝0,x4＝1,x5＝1,x6＝0,x7＝1,从而由校验方程组,得x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1,故k≠1;②若k＝2,则x1＝1,x2＝0,x3＝0,x4＝1,x5＝1,x6＝0,x7＝1,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1,故k≠2;③若k＝3,则x1＝1,x2＝1,x3＝1,x4＝1,x5＝1,x6＝0,x7＝1,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1,故k≠3;④若k＝4,则x1＝1,x2＝1,x3＝0,x4＝0,x5＝1,x6＝0,x7＝1,从而由校验方程组,得x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1,故k≠4;⑤若k＝5,则x1＝1,x2＝1,x3＝0,x4＝1,x5＝0,x6＝0,x7＝1,从而由校验方程组,得x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0,x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0,x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0,故k＝5符合题意;⑥若k＝6,则x1＝1,x2＝1,x3＝0,x4＝1,x5＝1,x6＝1,x7＝1,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1,故k≠6;⑦若k＝7,则x1＝1,x2＝1,x3＝0,x4＝1,x5＝1,x6＝0,x7＝0,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1,故k≠7;综上,k等于5.故答案为：5.【试题点评】本题属新定义题,关键是弄懂新定义的含义或规则,事实上,本题中的运算符号“⊕”可看作是两个数差的绝对值运算,知道了这一点,验证就不是难事了.三、解答题16.(13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.【试题分析】(1)根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)随机变量X的取值为：1,2,3,分别求出对应的概率,即可求出分布列和期望.【试题解答】解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)＝.(2)有可能的取值是1,2,3又则P(X＝1)＝,P(X＝2)＝＝,P(X＝3)＝＝,所以X的分布列为：EX＝1×＋2×＋3×＝.【试题点评】本小题主要考查分步计数原理、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想.17.(13分)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB ＝BE＝EC＝2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证：GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.【试题分析】解法一：(1)取AE的中点H,连接HG,HD,通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH,由线面平行的判定定理可得;(2)以B为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,可得平面BEC和平面AEF的法向量,由向量夹角的余弦值可得.解法二：(1)如图,取AB中点M,连接MG,MF,通过证明平面GMF∥平面ADE来证明GF∥平面ADE;(2)同解法一.【试题解答】解法一：(1)如图,取AE的中点H,连接HG,HD,∵G是BE的中点,∴GH∥AB,且GH＝AB,又∵F是CD中点,四边形ABCD是矩形,∴DF∥AB,且DF＝AB,即GH∥DF,且GH＝DF,∴四边形HGFD是平行四边形,∴GF∥DH,又∵DH⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,∴GF∥平面ADE.(2)如图,在平面BEG内,过点B作BQ∥CE,∵BE⊥EC,∴BQ⊥BE,又∵AB⊥平面BEC,∴AB⊥BE,AB⊥BQ,以B为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1)∵AB⊥平面BEC,∴为平面BEC的法向量,设＝(x,y,z)为平面AEF的法向量.又＝(2,0,﹣2),＝(2,2,﹣1)由垂直关系可得,取z＝2可得.∴cos＜,＞＝＝∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.解法二：(1)如图,取AB中点M,连接MG,MF,又G是BE的中点,可知GM∥AE,且GM＝AE又AE⊂平面ADE,GM⊄平面ADE,∴GM∥平面ADE.在矩形ABCD中,由M,F分别是AB,CD的中点可得MF∥AD.又AD⊂平面ADE,MF⊄平面ADE,∴MF∥平面ADE.又∵GM∩MF＝M,GM⊂平面GMF,MF⊂平面GMF∴平面GMF∥平面ADE,∵GF⊂平面GMF,∴GF∥平面ADE(2)同解法一.【试题点评】本题考查空间线面位置关系,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,建系求二面角是解决问题的关键,属难题.18.(13分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点,且离心率e为.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线x＝my﹣1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.【试题分析】解法一：(1)由已知得,解得即可得出椭圆E的方程.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为H(x0,y0).直线方程与椭圆方程联立化为(m2＋2)y2﹣2my﹣3＝0,利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0＝.|GH|2＝.＝,作差|GH|2﹣即可判断出.解法二：(1)同解法一.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则＝,＝.直线方程与椭圆方程联立化为(m2＋2)y2﹣2my﹣3＝0,计算＝即可得出∠AGB,进而判断出位置关系.【试题解答】解法一：(1)由已知得,解得,∴椭圆E的方程为.(2)设点A(x1y1),B(x2,y2),AB中点为H(x0,y0).由,化为(m2＋2)y2﹣2my﹣3＝0,∴y1＋y2＝,y1y2＝,∴y0＝.G,∴|GH|2＝＝＋＝＋＋.＝＝＝,故|GH|2﹣＝＋＝﹣＋＝＞0.∴,故G在以AB为直径的圆外.解法二：(1)同解法一.(2)设点A(x1y1),B(x2,y2),则＝,＝.由,化为(m2＋2)y2﹣2my﹣3＝0,∴y1＋y2＝,y1y2＝,从而＝＝＋y1y2＝＋＝﹣＋＝＞0.∴＞0,又,不共线,∴∠AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.【试题点评】本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,属于难题.19.(13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α,β(i)求实数m的取值范围;(ii)证明：cos(α﹣β)＝﹣1.【试题分析】(1)由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律可得：f(x)＝2sinx,从而可求对称轴方程.(2)(i)由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f(x)＋g(x)＝sin(x＋φ)(其中sinφ＝,cosφ＝),从而可求||＜1,即可得解.(ii)由题意可得sin(α＋φ)＝,sin(β＋φ)＝.当1≤m＜时,可求α﹣β＝π﹣2(β＋φ),当﹣＜m＜0时,可求α﹣β＝3π﹣2(β＋φ),由cos(α﹣β)＝2sin2(β＋φ)﹣1,从而得证.【试题解答】解：(1)将g(x)＝cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cosx的图象,再将y＝2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y＝2cos(x﹣)的图象,故f(x)＝2sinx,从而函数f(x)＝2sinx图象的对称轴方程为x＝k(k∈Z).(2)(i)f(x)＋g(x)＝2sinx＋cosx＝()＝sin(x＋φ)(其中sinφ＝,cosφ＝)依题意,sin(x＋φ)＝在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当||＜1,故m的取值范围是(﹣,).(ii)因为α,β是方程sin(x＋φ)＝m在区间[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α＋φ)＝,sin(β＋φ)＝.当1≤m＜时,α＋β＝2(﹣φ),即α﹣β＝π﹣2(β＋φ);当﹣＜m＜1时,α＋β＝2(﹣φ),即α﹣β＝3π﹣2(β＋φ);所以cos(α﹣β)＝﹣cos2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)﹣1＝2()2﹣1＝.【试题点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想.20.(7分)已知函数f(x)＝ln(1＋x),g(x)＝kx,(k∈R)(1)证明：当x＞0时,f(x)＜x;(2)证明：当k＜1时,存在x0＞0,使得对任意x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x);(3)确定k的所有可能取值,使得存在t＞0,对任意的x∈(0,t),恒有|f(x)﹣g(x)|＜x2.【试题分析】(1)令F(x)＝f(x)﹣x＝ln(1＋x)﹣x,x≥0,求导得到F′(x)≤0,说明F(x)在[0,＋∞)上单调递减,则x＞0时,f(x)＜x;(2)令G(x)＝f(x)﹣g(x)＝ln(1＋x)﹣kx,x∈(0,＋∞),可得k≤0时,G′(x)＞0,说明G(x)在(0,＋∞)上单调递增,存在x0＞0,使得对任意x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x);当0＜k＜1时,由G′(x)＝0,求得.取,对任意x∈(0,x0),恒有G′(x)＞0,G(x)在上单调递增,G(x)＞G(0)＝0,即f(x)＞g(x);(3)分k＞1、k＜1和k＝1把不等式|f(x)﹣g(x)|＜x2的左边去绝对值,当k＞1时,利用导数求得|f(x)﹣g(x)|＞x2,满足题意的t不存在.当k＜1时,由(2)知存在x0＞0,使得对任意的任意x∈(0,x0),f(x)＞g(x).令N(x)＝ln(1＋x)﹣kx﹣x2,x∈[0,＋∞),求导数分析满足题意的t不存在.当k＝1,由(1)知,当x∈(0,＋∞)时,|f(x)﹣g(x)|＝g(x)﹣f(x)＝x﹣ln(1＋x),令H(x)＝x﹣ln(1＋x)﹣x2,x∈[0,＋∞),则有x＞0,H′(x)＜0,H(x)在[0,＋∞)上单调递减,故H(x)＜H(0)＝0,说明当x＞0时,恒有|f(x)﹣g(x)|＜x2,此时,满足t＞0的实数t存在.【试题解答】(1)证明：令F(x)＝f(x)﹣x＝ln(1＋x)﹣x,x≥0,则有F′(x)＝﹣1＝﹣,∵x≥0,∴F′(x)≤0,∴F(x)在[0,＋∞)上单调递减,∴当x∈(0,＋∞)时,有F(x)＜F(0)＝0,∴x＞0时,f(x)＜x;(2)证明：令G(x)＝f(x)﹣g(x)＝ln(1＋x)﹣kx,x∈(0,＋∞),则有G′(x)＝﹣k＝,当k≤0时,G′(x)＞0,∴G(x)在(0,＋∞)上单调递增,∴G(x)＞G(0)＝0,故对任意正实数x0均满足题意.当0＜k＜1时,令G′(x)＝0,得.取,对任意x∈(0,x0),恒有G′(x)＞0,∴G(x)在(0,x0)上单调递增,G(x)＞G(0)＝0,即f(x)＞g(x).综上,当k＜1时,总存在x0＞0,使得对任意的x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x);(3)解：当k＞1时,由(1)知,对于任意x∈(0,＋∞),g(x)＞x＞f(x),故g(x)＞f(x),|f(x)﹣g(x)|＝g(x)﹣f(x)＝kx﹣ln(1＋x),令M(x)＝kx﹣ln(1＋x)﹣x2,x∈(0,＋∞),则有,故当时,M′(x)＞0,M(x)在[0,)上单调递增,故M(x)＞M(0)＝0,即|f(x)﹣g(x)|＞x2,∴满足题意的t不存在.当k＜1时,由(2)知存在x0＞0,使得对任意的x∈(0,x0),f(x)＞g(x).此时|f(x)﹣g(x)|＝f(x)﹣g(x)＝ln(1＋x)﹣kx,令N(x)＝ln(1＋x)﹣kx﹣x2,x∈[0,＋∞),则有,故当时,N′(x)＞0,N(x)在[0,)上单调递增,故N(x)＞N(0)＝0,即f(x)﹣g(x)＞x2,记x0与中较小的为x1,则当x∈(0,x1)时,恒有|f(x)﹣g(x)|＞x2,故满足题意的t不存在.当k＝1,由(1)知,当x∈(0,＋∞)时,|f(x)﹣g(x)|＝g(x)﹣f(x)＝x﹣ln(1＋x),令H(x)＝x﹣ln(1＋x)﹣x2,x∈[0,＋∞),则有,当x＞0,H′(x)＜0,∴H(x)在[0,＋∞)上单调递减,故H(x)＜H(0)＝0,故当x＞0时,恒有|f(x)﹣g(x)|＜x2,满足t＞0的实数t存在.综上,k＝1.【试题点评】本小题主要考查导数及其应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想,是压轴题.四、选修4-2：矩阵与变换21.(7分)已知矩阵A＝,B＝(1)求A的逆矩阵A﹣1;(2)求矩阵C,使得AC＝B.【试题分析】(1)求出矩阵的行列式,即可求A的逆矩阵A﹣1;(2)由AC＝B得(A﹣1A)C＝A﹣1B,即可求矩阵C,使得AC＝B.【试题解答】解：(1)因为|A|＝2×3﹣1×4＝2,所以;(2)由AC＝B得(A﹣1A)C＝A﹣1B,故.【试题点评】本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.五、选修4-4：坐标系与参数方程22.(7分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴),直线l的方程为ρsin(θ﹣)＝m,(m∈R)(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.【试题分析】(1)直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可.(2)直接利用点到直线的距离个数求解即可.【试题解答】解：(1)消去参数t,得到圆的普通方程为(x﹣1)2＋(y＋2)2＝9,由ρsin(θ﹣)＝m,得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m＝0,所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y＋m＝0.(2)依题意,圆心C(1,﹣2)到直线l：x﹣y＋m＝0的距离等于2,即,解得m＝﹣3±2.【试题点评】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.六、选修4-5：不等式选讲23.(7分)已知a＞0,b＞0,c＞0,函数f(x)＝|x＋a|＋|x﹣b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值;(2)求a2＋b2＋c2的最小值.【试题分析】(1)运用绝对值不等式的性质,注意等号成立的条件,即可求得最小值;(2)运用柯西不等式,注意等号成立的条件,即可得到最小值.【试题解答】解：(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x﹣b|＋c≥|(x＋a)﹣(x﹣b)|＋c＝|a＋b|＋c,当且仅当﹣a≤x≤b时,等号成立,又a＞0,b＞0,所以|a＋b|＝a＋b,所以f(x)的最小值为a＋b＋c,所以a＋b＋c＝4;(2)由(1)知a＋b＋c＝4,由柯西不等式得,(a2＋b2＋c2)(4＋9＋1)≥(•2＋•3＋c•1)2＝(a＋b＋c)2＝16,即a2＋b2＋c2≥当且仅当＝＝,即a＝,b＝,c＝时,等号成立.所以a2＋b2＋c2的最小值为.【试题点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算能力,属于中档题.。

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福建省各地2015届高三上最新数学理试题分类汇编
集合与常用逻辑用语
一、集合
1、（龙岩市一级达标校2015届高三上学期期末）已知{}2,R y y x x M ==∈，{}221,R,R y x y x y N =+=∈∈，则M N =（）
A ．[]2,2-
B ．[]0,2
C ．[]0,1
D ．[]1,1-
2、（宁德市2015届高三上学期单科质检）已知全集U =R ，集合{2,3,4,5}A =，{|3}B x x =>，则满足m A ∈且m B ∉的实数m 所组成的集合为
A ．{2}
B ．{3}
C ．{4,5}
D ．{2,3}
3、（泉州市2015届高三上学期单科质检）已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则()R A C B ⋂= （）
A. [1,0)-
B. [1,0]-
C. [0,1]
D. (,1][2,)-∞⋃+∞
4、（三明市B 片区高中联盟校2015届高三上学期期末）设集合{|02}M x Z x =∈≤≤，2{|4}P x R x =∈<，则=P M
A ．}1{ B. }1,0{ C ．M D ．P
5、（厦门市2015届高三上学期质检）设集合{}1x x 20x y 3-x A B A B ⎧
⎫==+>==⋂=⎨⎬⎩⎭
，，则（） .
{}2.->x x A {}3.<x x B {}
32.>-<x x x C 或 {}32.<<-x x D
6、（福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考）已知R 为实数集，}02{2<-=x x x M ,}1{-==x y x N ，则=)(N C M R （） A ．{x|0<x<1} B ．{x|x<2} C ．{x|0<x<2} D ．∅
7、（德化一中2015届高三第三次月考）已知全集U =R ，集合{}[)1,2,3,4,5,3,A B ==+∞，则图中阴影部分所表示的集合为【★★】．
A. {}0,1,2
B. {}0,1
C. {}1,2
D. {}1 8、（福州市第八中学2015届高三第四次质检）已知{|10}A x x =+>，{2,1,0,1}B =--,则
()R C A B ⋂=（）
A ．{2,1}--
B ．{2}-
C ．{1,0,1}-
D ．{0,1}
U A B
9、（龙海二中2015届高三上学期期末）已知集合{}
12,A x x x Z =-≤≤∈，集合{}420，，=B ，则B A ⋃ 等于( ).
A ．{}4,2,1,0,1-
B ．{}4,2,0,1-
C ．{}420，，
D ．{}4210，，， 10、（宁化一中2015届高三第四次阶段考）已知全集U R =，集合{}[)1,2,3,4,5,3,A B ==+∞，则图中阴影部分所表示的集合为（）
A. {}0,1,2
B. {}0,1
C. {}1,2
D. {}1
11、（莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期联考）设集合A ={x |0<x <2}，集合2{|log 0}B x x =>，则A B ⋂等于
( )
A.{|2}x x <
B.{|0}x x >
C.{|02}x x <<
D.{|12}x x <<
参考答案
1、C
2、D
3、A
4、B
5、D
6、B
7、C 8、A 9、A 10、C 11、D
二、常用逻辑用语
1、（福州市2015届高三上学期教学质量检查）已知A ⊂≠
B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的（）． A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2、（龙岩市一级达标校2015届高三上学期期末）下列结论正确的是（）
A ．命题“若sin sin αβ=，则αβ=”是真命题
B ．若函数()f x 可导，且在0x x =处有极值，则()00f x '=
C ．向量a ，b 的夹角为钝角的充要条件是0a b ⋅<
D ．命题:p “R x ∃∈，1x e x >+”的否定是“R x ∀∈，1x e x <+”
3、（宁德市2015届高三上学期单科质检）命题“若1x =-，则220x x --=”的逆否命题是
A ．若1x ≠-，则220x x --≠
B ．若220x x --≠，则1x ≠-
C ．若1x =-，则220x x --≠
D ．若220x x --≠，则1x =-
4、（泉州市2015届高三上学期单科质检）已知直线1:(1)20l m x y -++=，2:8(1)(1)0l x m y m +++-= ，则“3m =”是“12//l l ”的（）
A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
U A B
Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
5、（三明市B 片区高中联盟校2015届高三上学期期末）已知向量 2(2,1),(1,2)a b k ==--，则 2k =是a b ⊥的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6、（厦门市2015届高三上学期质检）已知命题001p x sinx p 2
R ∃∈≥⌝：，，则是（） . 21sin ,.00≤
∈∃x R x A 2
1sin ,.00<∈∃x R x B 21sin ,.≤∈∀x R x C 21sin ,.<∈∀x R x D 7、（漳州市八校2015届高三第二次联考）“1m <”是“函数2()f x x x m =++有零点”的（）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8、（德化一中2015届高三第三次月考）命题“对顶角相等”的逆命题是★★★★
9、（福州市第八中学2015届高三第四次质检）已知命题p ：∃2,log (31)x x R ∈+≤0，则( )
A. p 是假命题；p ⌝：∀2,log (31)x x R ∈+≤0
B. p 是假命题；p ⌝：∀2,log (31)x x R ∈+＞0
C. p 是真命题；p ⌝：∀2,log (31)x x R ∈+≤0
D. p 是真命题；p ⌝：∃2,log (31)x x R ∈+＞0
10、（宁化一中2015届高三第四次阶段考）“实数1a =”是“复数()1ai i +（,a R i ∈为虚数单位）的模为2”的（）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
11、（莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期联考）已知向量a = (m 2，4)，b =(1，1)则“m= -2”是“a //b ”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案
1、A
2、B
3、B
4、C
5、A
6、D
7、B 8、如果两个角相等，那么它们是对顶角
9、B 10、A 11、A。