集合论与图论2.4

2.6 等价关系与划分*等价关系是一类重要的二元关系定义7.15: 设R是非空集合A上的关系.如果R是自反的,对称的和传递的,则称R为A上的等价关系.若<x,y>∈R,则称x 等价于y,记作x≈y.例1:设A={1,2,…,8},定义A上的关系R:R={<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod3)}证明:∀x∈A,有x≡x(mod3).∀x,y∈A,若x≡y(mod3),则有y≡x(mod3).∀x,y,z∈A,若x≡y(mod3),y≡z(mod3),则有x≡z(mod3).关系图如下: (见图2.6.1)定义7.16: 设R为非空集合A上的等价关系,∀x∈A,令[x]R={y|y∈A∧xRy}.称[x]R为x关于R的等价类,简称为x的等价类,简记为[x] 或x .例如:例1中关系R的等价类有:[1]=[4]=[7]={1,4,7}[2]=[5]=[8]={2,5,8}[3]=[6]={3,6} .*对上述等价关系的推广,可得整数集合Z上模n同余的等价关系.∀x∈Z, x=qn+r , 0≢r≢n―1.*例如: n=3, x=8, 8=2×3+2, r=2n=3, x=―8, ―8=(―3)×3+1, r=1定义: x≈y⇔x≡y(mod n)该关系将Z中的数划分为等价类如下:余数为0的数, nz, z∈Z余数为1的数, nz+1, z∈Z…余数为n-1的数, nz+(n-1), z∈Z构成的等价类:[i]={nz+i|z∈Z}, i=0,1,2,…,n-1.*下面给出等价类的性质(对一般的等价类而言).定理7.14:设R为非空集合A上的等价关系,则(1)∀x∈A,[x]是A的非空子集;(2)∀x,y∈A,如果xRy,则[x]=[y];(3)∀x,y∈A,如果y R x,则[x]与[y]不相交.(4)∪{[x] | x∈A} = A .证明: (1)由等价类的定义,有∀x∈A, xRx, 故x∈[x], 因而[x]≠φ.(2)任取z,则有z∈[x]⇒xRz⇒zRx (由对称性)又有zRx∧xRy⇒zRy (由R的传递性)⇒yRz (由对称性)从而证明了z∈[y],因而有[x]⊆[y].同理可证[y]⊆[x].因而有[x]=[y].(3)假设[x]∩[y]≠φ,则存在z∈[x]∩[y],即有z∈[x]∧z∈[y]. 故<x,z>∈R∧<y,z>∈R, 由对称性,<z,y>∈R, 再由传递性, 有<x,y>∈R, 这与<x,y>∉R矛盾.(4)先证∪{[x]| x∈A}⊆A.任取y,y∈∪{[x]| x∈A}⇒∃x(x∈A∧y∈[x])⇒y∈A (因为[x]⊆A)从而有∪{[x]|x∈A}⊆A.再证:A⊆∪{[x]|x∈A}.任取y,y∈A⇒y∈[y]∧y∈A⇒y∈∪{[x]|x∈A}.从而有A⊆∪{[x]|x∈A}成立.综上所述,A=∪{[x]|x∈A}. *由非空集合A和A上的等价关系R可以构造一个新的集合—商集.定义7.17:设R是非空集合A上的一个等价关系,以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集,记作A/R.即A/R={[x]R | x∈A}.例如:以例1中的集合A和关系R,得到商集:A/R={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}定义7.18:设A为非空集合,若A的子集族Π(Π⊆P(A))满足下面的条件:(1)φ∉Π;(2))yxx∀yyx;∀xy(φ∈=,→⋂∏∧≠(3)∪Π=A则称Π是A的一个划分,称Π中的元素为A的划分块.例2:设A={a,b,c,d},给出Π1,Π2,Π3,Π4,Π5,Π6如下: Π1={{a,b,c},{d}}Π2={{a,b},{c},{d}}Π3={{a},{a,b,c,d}}Π4={{a,b},{c}}Π5={φ,{a,b},{c,d}}Π6={{a,{a,b}},{c,d}}.则Π1和Π2是A的划分,其它都不是A的划分.*设R是非空集合A上的一个等价关系,则商集A/R是A的一个划分.*反之,任给A的一个划分Π,定义A上的关系R如下:R={<x,y>|x,y∈A∧x与y在Π的同一划分块中}.不难证明R是一个等价关系,且该等价关系所确定的商集就是Π.*A上的等价关系与A的划分是一一对应的.2.7 偏序关系定义7.19: 设R是非空集合A上的关系.如果R是自反的,反对称的和传递的,则称R为A上的偏序关系,记作≢. 如果<x,y>∈≢, 则记为x≢y,读作x小于或等于y.例如: 集合A的幂集P(A)上 是偏序关系.整数集上的≢也是偏序关系.*一般说来,全域关系E A不是A上的偏序关系.定义7.20: 设R为非空集合A上的偏序关系,定义(1)y≤∧⇔∈,∀,<x≠yxyxyAx(2)∀x,y∈A, x与y可比⇔x≢y∨y≢x .*x<y读作x小于y.*由以上定义:在具有偏序关系≢的集合A中,任取两个元素x 和y,只有以下三种情形之一发生:x<y (或y<x), x=y, x与y是不可比的.例如:A={1,2,3}, ≢是A上的整除关系,则有1 <2 , 1 < 31=1 , 2=2, 3=32和3不可比.定义7.21: 设R为非空集合A上的偏序关系,如果∀x,y∈A, x与y都是可比的,则称R为A上的全序关系(或线序关系). 例如: 整数集合上的≢关系.设A是至少有两个元素的集合, 则⊆不是P(A)上的线序关系.定义7.22: 集合A和A上的偏序关系≢一起叫做偏序集, 记做<A, ≢>.例如: <Z, ≢>, <P(A), ⊆>.*哈斯图定义7.23: 设<A, ≢>为偏序集. ∀x,y∈A, 如果x<y且不存在z∈A使得x<z<y, 则称y覆盖x .例3: 画出偏序集<{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, R> (R为整除关系) 和<P({a,b,c}), ⊆>的哈斯图 . (见图2.7.1)例4: 已知偏序关系<A, R>的哈斯图如图2.7.2, 试求出集合A和关系R的表达式.解:A={a,b,c,d,e,f,g,h}. R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>,<c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f>,<g,h>}∪I A .定义7.24: 设<A, ≢>为偏序集, B⊆A, y∈B.(1)若)→∈x≤∀成立,则称y为B的最小元;y(xBx(2)若)→∈x≤∀成立,则称y为B的最大元;(yxBx(3)若)→≤x=∈∀成立,则称y为B的极小元;∧x(yyxBx(4)若)≤→∧x=∈∀成立,则称y为B的极大元.x(yxyBx例5: 见上例.A的极小元: a,b,c,g .A的极大元: a,f,h .A没有最小元和最大元.B1={b,c,d,e,f}有最大元f,但没有最小元.B2={b,d,e,f}有最大元f和最小元b.定义7.25: 设<A, ≢>为偏序集, B⊆A, y∈A .(1)若)→∈x≤∀成立, 则称y为B的上界;Bx(yx(2)若)→∈∀成立, 则称y为B的下界;x≤(xxyB(3)令C={y|y为B的上界},则称C的最小元为B的最小上界或上确界;(4)令D={y|y为B的下界},则称D的最大元为B的最大下界或下确界.例如: 例5中,B1={b,c}的上界为d,e,f, 但没有最小上界.B2={b,d,e}有最小上界f.B3={b,c,d,e,f}有最小上界f.B4={f,e,d}有下界b,c, 但没有最大下界.B5={h}有下界h和g, 其中h为B5的最大下界.作业:1.对于给定的A和R,判断R是否为A的等价关系:(1)A为实数集,∀x,y∈A, xRy⇔x―y=2. 不是(2)A=Z+,即正整数集,∀x,y∈A, xRy⇔xy是奇数. 不是(3)A=P(X), |X|≣2, ∀x,y∈A, xRy⇔x⊆y∨y⊆x . 是2.设A={a,b,c,d}, A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A,画出R的关系图,并求出A中各元素的等价类.[a] = { b}[b] = {a}[c] = {d}[d] = {c}3.设R是A上的自反的和传递的关系,如下定义A上的关系T,使得∀x,y∈A,<x,y>∈T⇔<x,y>∈R∧<y,x>∈R ,证明T是A上的等价关系.由定义可证……4.画出下列偏序集<A,R≢>的哈斯图,并找出A的极大元, 极小元,最大元和最小元.A={a,b,c,d,e}R≢={<a,d>,<a,c>,<a,b>,<a,e>,<b,e>,<c,e><d,e>}∪I A .5.设A={1,2,…,12},≢为整除关系,B={x|x∈A∧2≢x≢4}.在偏序集<A,≢>中,求B的上界,下界,最小上界和最大下界.。