正切函数图象
《正切函数图像》课件
表示
$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
值域
$(-\infty, \infty)$
正切函数的图像
我们将呈现正切函数的图像并讨论其特点。
图像呈现
展示正切函数的图像及其数的性质和特点。
巧妙总结正切函数的性质和变化 规律。
正切函数的应用
正切函数在三角学和实际生活中如何应用？
1
三角学应用
介绍正切函数在三角学中的重要应用。
2
实际生活应用
探讨正切函数在实际生活中的实用应用场景。
3
问题解决演示
演示如何使用正切函数解决实际生活中的问题。
总结
让我们回顾一下正切函数的定义、图像、性质和应用。
定义和图像回顾
简要回顾正切函数的定义和图像。
《正切函数图像》PPT课 件
在这个PPT课件中，我们将探索正切函数的图像和应用。从定义到性质，详 细介绍正切函数的特点，并展示它在三角学和实际生活中的应用。
什么是正切函数
正切函数是余切函数的倒数。
定义
正切函数是余切函数的倒数。
定义域
$ \theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \cup (n\pi + \frac{\pi}{2})$
性质和应用总结
总结正切函数的性质和在三角学和实际生活中的应用。
注意事项
提醒大家注意正切函数的定义域和值域的限制。
参考文献
毛泽东. (1958). "论正切函数的图像". 人民出版社.
1.4.3 正切函数的性质与图象 课件
-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x
2k
3
,
k
Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x
Tk,k3Z,
tan
2
x
3
2
T
解得
ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T
即T
2
因此,函数的单调递增区间是:
2k
，2k 3
3
, k Z. 2
周期T
另解：周期T
正切函数的图像和性质
4
2
2
44
所以函数
y
tan
x
4
的定义域是
x
x
4
k，k
Z
; 家装 装潢
；
角度开拓思路。“一方有难，八方支援”，这是中华民族的优良传统。大灾面前，中华民族空前的团结起来，这让世界再次见识了中华民族的伟大、坚强和不可摧毁。 ? 思路四、从赞颂“万众一心、众志成城的民族精神”的角度开拓思路。中华民族是从无数灾难考验中走过来的民族， 舟曲特大泥石流灾害再次冲击了中国人的心，但冲不垮中国人的坚强。汶川地震见了这种坚强，玉树地震见了这种坚强，泥石流再一次见了这种坚强。生于忧患，死于安乐。市场经济下因物质利益诱惑冲蚀而缺失的人文素养，被滚滚的泥石流生生地揪扯出来，大大激发了中华民族的斗志， 再一次使万众一心、众志成城的民族精神得到了回归。 ?思路五、从“人与自然关系”的角度开拓思路。舟曲特大泥石流再次让人们见识了人类在自然面前的弱小、无助。虽然人类的科技越来越发达，人类的活动领域越来越得到拓展，然而，当大的自然灾害来临的时候，人类仍然显得那 么的束手无策。印度洋海啸、缅甸风暴、汶川地震、冰岛火山、玉树地震、舟曲泥石流……造成巨大的人员伤亡和财产损失。但这是否就意味着人类就应该就此止步，听天由命呢？答案很显然是否定的。人类需要更好地发展科学研究，更好地研究自然、利用自然，和自然和谐发展。 附： 给作文一个超过50分的理由 ? ? 高中生作文训练一直有这样的怪事：应届生作文写作训练了三年，可作文得分几乎总是在42分—48分之间游移；复读生复习一年快结束了，作文练了不少，可作文得分也总是在42分—48分之间徘徊；那些平时按老师要求按时按量老老实实写作文者，和那 些平时很少写甚至从不写作文者，考试中其作文得分一样都是在42分—48分之间沉浮。 ? 作文训练中的症结何在？高考前短时间内如何让作文超过50分？ 一、明白一个道理：为啥作文得分总在42分—48分之间？ ? 学生作文之所以得分常在42分—48分之间，那是因为就学生群体而言， 必须是这样的赋分。就绝大多数高中生而言，经过多年的母语听说读写训练后，作文达到36分的及格水平自不在话下；相当多的学生在相当多的时候，作文达到良好水平并接近优秀水准，即作文得分在42分—48分之间，自然也在情理之中；但是，一个学生的作文要得分在48分以上，要在
第8讲 正切函数图像及其性质(讲义)解析版
第8讲 正切函数图像及其性质知识梳理1、正切函数的图像：可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈，且()2x k k Z ππ≠+∈的图像，称“正切曲线”.由正弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}2x x k k Z ππ≠+∈，（2）值域：R 观察：当x 从小于，时，tan x →+∞当x 从大于，时，tan x →-∞.（3）周期性：T π=（4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ()z k k ∈+2ππ2π+π−→−k x ()z k k ∈+ππ2ππk x +−→−2x yyx（5）单调性：在开区间(,),22k k k Zππππ-++∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2kk Zπ⎛⎫∈⎪⎝⎭2、余切函数的图象：⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-==2tan2tancotππxxxy即将xy tan=的图象，向左平移2π个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得xy cot=的图象由余弦函数图像可知：（1）定义域：{|()}x x k k Zπ≠∈，（2）值域：R（3）周期性：Tπ=（4）奇偶性：tan()tanx x-=-，所以是奇函数（5）单调性：在开区间(,),k k k Zπππ+∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭例题解析一、正切函数的图像例1．（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 33x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求函数f (x )的最小正周期､对称中心； （2）作出函数f (x )在一个周期内的简图.【答案】（1）最小正周期3π，对称中心是3,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）答案见解析. 【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()f x 的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数()f x 的对称中心.（2）根据函数的解析式得到()f x 的图象与x 轴的交点坐标为(),0π，图象上的7,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭、,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可. 【详解】（1）()tan 33x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，313T ππ==，令332x k ππ-=，k Z ∈，解得32x k ππ=+，k Z ∈， 故对称中心为3,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈. （2）令033x π-=，解得x π=，令334x ππ-=，解得74x π=，令334x ππ-=-，解得4x π=， 令332x ππ-=，解得52x π=，令332x ππ-=-，解得2x π=-，所以函数()tan 33x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象与x 轴的一个交点坐标为(),0π， 图象上的点有7,14π⎛⎫⎪⎝⎭、,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点， 在这个5,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为2x π=-和52x π=， 从而得到函数()f x 在一个周期5,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的简图(如图).【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题.例2．（2020·全国高一课时练习）已知函数()sin cos xf x x=． （1）求函数()f x 的定义域；（2）用定义判断函数()f x 的奇偶性； （3）在[],ππ-上作出函数()f x 的图象．【答案】（1）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（2）奇函数,见解析；(3)见解析 【分析】（1）根据cos 0x ≠,求解即可；（2）由（1）可知()f x 的定义域关于原点对称,判定()f x -和()f x 的关系,从而判定奇偶性；（3）将()f x 写为分段函数,画出图象即可【详解】（1）由cos 0x ≠,得2x k ππ≠+（k Z ∈）,所以函数()f x 的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称,因为()()()()sin sin cos cos x xf x f x xx ---===--,所以()f x 是奇函数. （3）()tan ,22tan ,22x x f x x x x ππππππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪--≤<-<≤⎪⎩或,所以()f x 在[],ππ-上的图象如图所示,【点睛】本题考查函数定义域,考查奇偶性的判断,考查函数图象. 例3.作函数||y tan x =的图像. 【难度】★★ 【答案】如图 【解析】||y tan x =等价于 0,2()0,2tanx x x k y k Z tanx x x k ππππ⎧≥≠+⎪⎪=∈⎨⎪-<≠+⎪⎩，图像如图所示．例4.求函数()tan tan f x x x =+的定义域、周期、单调增区间，并画草图． 【难度】★★★【答案】定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈ ，周期：T π=，单调增区间：[,)2k k πππ+（1）tan 0x > （2）tan 0x = （3）tan 0x < （4）tan x >【难度】★ 【答案】（1）Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+,2,πππ, （2）{}z k k x x ∈=,π （3）Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-,,2πππ, （4）Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++，ππππ2,3例6.根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的x 值的集合： （1）0tan 1≥+x （2）3tan -x 0≥ 【难度】★★ 【答案】（1） [,),42k k k Z ππππ-+∈（2）[,),32k k k Z ππππ++∈例7.比较下列两数的大小（1）2tan7π与10tan 7π （2）6tan 5π与13tan()5π- （3）81cot 与191cot 【难度】★ 【答案】（1）2tan7π<10tan 7π （2）6tan 5π>13tan()5π- （3）81cot <191cot 例8.函数sin y x =与tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点有 （ ）.A 3个 .B 5个 .C 7个 .D .D 9个【难度】★★【答案】B【巩固训练】1．作出函数|tan |y x =的图象. 【难度】★★ 【答案】如图2．利用图像，不等式tan 21x <≤的解集为____________. 【难度】★★ 【答案】(,],2628k k k Z ππππ-+∈3．比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小 【难度】★【答案】tan413tan -=⎪⎭⎫⎝⎛-π 4π，52tan517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-，⎪⎭⎫⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y内单调递增. ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即 4．若()tan()4f x x π=+，试比较(1),(0),(1)f f f -，并按从小到大的顺序排列：_________. 【难度】★★【答案】(1)(1)(0)f f f <-<5.（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x . （1）求函数f (x )的最小正周期，对称中心； （2）作出函数()f x 在一个周期内的简图．【答案】（1）2T π=，2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈；（2）图象见解析【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的对称中心. （2）首先根据函数的解析式得到数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=，再画出函数的图象即可.【详解】（1）()tan 23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ，212T ππ==.令232ππ-=x k ，k Z ∈，解得23ππ=+x k ，k Z ∈， 故对称中心为2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈.（2）令023x π-=，解得23x π=，令234x ππ-=，解得76x π=， 令234x ππ-=-，解得6x π=，令232x ππ-=，解得53x π=， 令232x ππ-=-，解得3x π=-， 所以函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭， 在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=. 故函数在一个周期内的函数图象为：【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，属于中档题.二、正切函数的定义域及值域1、正切函数的定义域例1.求下列函数的定义域（1）tan 2y x = （2）y = （3）cos tan y x x =⋅ （4）11tan y x=+ 【难度】★ 【答案】（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,24ππ （2）Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-,3,3ππππ （3）,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且 （4）,,42x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠-≠+∈⎨⎬⎩⎭且例2．（2019·宝山区·上海交大附中高一期末）下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（ ）A ．22tan21tan 2xy x =- B ．1cot y x = C ．sin 21cos 2x y x =+ D ．1cos 2sin 2x y x -=【答案】C【分析】先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与()f x 相同的函数.【详解】()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， A. 22tan 21tan 2x y x =-，因为tan 12,22x x k k Z ππ⎧≠±⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩，所以,24,22x k k Z x k k Z ππππ⎧≠±+∈⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩， 定义域为{|22x x k ππ≠±或2,}x k k Z ππ≠+∈，与()tan f x x =定义域不相同； B. 1cot y x =，因为cos 0sin 0x x ≠⎧⎨≠⎩，所以,2,x k k Z x k k Zπππ⎧≠+∈⎪⎨⎪≠∈⎩， 所以定义域为,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，与()tan f x x =定义域不相同； C. sin 21cos 2x y x =+，因为1cos20x +≠，所以定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 又因为2sin 22sin cos tan 1cos 22cos x x x y x x x ===+，所以与()tan f x x =相同； D. 1cos 2sin 2x y x-=，因为sin 20x ≠，所以2,x k k Z π≠∈，定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭， 与()tan f x x =定义域不相同.故选：C.【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.例3．（2019·上海市大同中学高一期中）函数arcsin tan 2y x x =+的定义域是________【答案】[1,)(,)(,1]4444ππππ--- 【分析】解不等式11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩即得解. 【详解】由题得11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩所以x ∈[1,)(,)(,1]4444ππππ---. 故函数的定义域为[1,)(,)(,1]4444ππππ--- 故答案为[1,)(,)(,1]4444ππππ---【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.例4．（2017·上海杨浦区·复旦附中高一期中）已知函数()()lg tan 1f x x =-()f x 的定义域是____.【答案】3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】由意义得出2tan 1090x x ->⎧⎨-≥⎩，解出该不等式组即可得出函数()y f x =的定义域. 【详解】函数()()lg tan 1f x x =-+2tan 1090x x ->⎧∴⎨-≥⎩， ()4233k x k k Z x ππππ⎧+<<+∈⎪∴⎨⎪-≤≤⎩，3,,4242x ππππ⎛⎫⎛⎫∴∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，函数()y f x =的定义域为3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查函数定义域的求解， 同时也涉及了正切不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.例5.求函数y =lg(tan x -+3cos 2+x 的定义域． 【难度】★★【答案】(,),32k k k Z ππππ++∈【解析】tan 2cos 0,2x x x k k Z ππ⎧>⎪⎪≥⎨⎪⎪≠+∈⎩ 由此不等式组作图： ∴(,),32k k k Z ππππ++∈ 【巩固训练】1．函数tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为__________ 【难度】★【答案】,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭2．与函数)42tan(π+=x y 的图象不相交的一条直线是 （ ）.A 2π=x .B 2π-=x .C 4π=x .D 8π=x【难度】★【答案】D3．求下列函数的定义域(1)1tan y x = ；(2)sin tan()log (2cos 1)4x y x x π=+⋅- ． 【难度】★★★【答案】见解析解：等价转化为求一个不等式组的解 (1)sin 0tan 0,()2x x x k k Z ππ⎧⎪≥⎪≠⎨⎪⎪≠+∈⎩(2,2),,()2x k k x k k Z πππππ⇒∈+≠+∈ (2) 2cos 10sin 0,()42x x x k k Z πππ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪+≠+∈⎩⇒(2,2)33(2,2)(2,2)224x k k x k k k k x k πππππππππππππ⎧∈-+⎪⎪⎪∈+++⎨⎪⎪≠=⎪⎩(2,2)(2,2),()443x k k k k k Z πππππππ⇒∈+++∈． 注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小．在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能．2、正切函数的值域与最值例1．（2016·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）设函数()sin 2sin 1cos 2cos x x f x x x-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是_________. ①定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；②值域是R ；③最小正周期是π； ④()f x 是奇函数；⑤()f x 在定义域上单调递增.【答案】③④【分析】先求定义域，再化简函数解析式，根据正切函数性质求值域、求周期、判断单调性与奇偶性.【详解】()sin 2sin 1cos 2cos 01cos 2cos x x f x x x x x-=∴+-≠+- 22cos cos 0cos 0x x x ∴-≠∴≠且1cos 2x ≠， 定义域是,,23x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠+≠±∈⎨⎬⎩⎭； ()sin 2sin sin (2cos 1)tan 1cos 2cos cos (2cos 1)x x x x f x x x x x x --===+--所以()f x ≠()f x 最小正周期是π；()f x 是奇函数；()f x 在定义域上不具有单调性故答案为：③④【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及函数综合性质，考查综合分析求解能力，属中档题.例2．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π； （2）2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ． 【答案】（1）(1,1)-；（2）13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）由定义域可得()tan ,0x ∈-∞，令tan t x =则(),0t ∈-∞，所以1211t 1t y t +-==-+--，再根据幂函数的性质计算可得； （2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π，所以()tan ,0x ∈-∞ 令tan t x =则(),0t ∈-∞ 所以1211t 1t y t +-==-+-- 因为(),0t ∈-∞，所以()1,1t -∈-∞-，()11,01t ∈--，()2210,t -∈-， ()211,11t --+∈--，即()1,1y ∈- （2）因为2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ所以tan x ⎡⎤∈⎣⎦令tan m x =，m ⎡⎤∈⎣⎦所以()223133124y f m m m m ⎛⎫==+-=+- ⎪⎝⎭所以()f m 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减， 31324f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()13f =，(2f =-所以()13,34f m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦即函数的值域为13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题. 例3．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）tan ,,626⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x πππ； （2）2tan 1,,1tan 46+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x ππ； （3）2sec 2tan 1,,33⎡⎤=++∈-⎢⎥⎣⎦y ππθθθ．【答案】（1）[；（2）12⎛- ⎝⎭；（3）[1,5+ 【分析】（1）首先令6t x π=+，得到tan y t =，再根据tan y t =的单调性即可得到函数的值域.（2）首先令tan t x =，得到213211t y t t+==-+--，再根据函数的单调性即可得到值域.（3）首先将函数化简为2tan 2tan 2y θθ=++，令tan t θ=，得到222y t t =++，再利用二次函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】（1）令6t x π=+，因为,26x ππ⎡∈⎤-⎢⎥⎣⎦，所以,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 又tan y t =在,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以所求函数值域为[． （2）令tan t x =，因为,46⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ππ，所以⎛∈- ⎝⎭t ．212(1)332,1,1113⎛+-+===-+∈- ---⎝⎭t t y t t t t ． 因为1y t =-为减函数，所以31y t =-在⎛∈- ⎝⎭t 为增函数， 即：321=-+-y t在⎛∈- ⎝⎭t 上为增函数， 所以min 31222y =-+=-，max 522y +=-=.所以函数的值域为12⎛- ⎝⎭． （3）222221sin cos 2tan 1=2tan 1tan 2tan 2cos cos y θθθθθθθθ+=++++=++． 令tan ,,33⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦t ππθθ，所以[∈t ．2222(1)1,[=++=++∈y t t t t ．当1t =-时，min 1y =，当t =时，max 5y =+所以函数的值域为[1,5+．【点睛】本题主要考查正切函数的值域问题，利用换元法求值域为解决本题的关键，属于中档题.例4.函数2tan ,0,124y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为 【难度】★ 【答案】[]32,324- 例5.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ，求函数1tan 2cos 12++=x x y 的最值及相应的x 值；. 【难度】★★ 【答案】4x π=-时，min 1y =； 4x π=时，max 5y =例6.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34x a π∈∈时，函数max y =，求实数a 的值. 【难度】★ 【答案】323-=a 例7.求函数252tan 4tan 3y x x =-+的值域. 【难度】★★【答案】(0,5] 【巩固训练】1．求函数sin tan ,[,]44y x x x ππ=+∈-的值域【难度】★★【答案】[1]-+2．求函数2)1(tan 12-+=x y 的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量x 的集合. 【难度】★★【答案】2max =y ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x x ,4ππ3．已知2tan 2tan 3y x x =-+，求它的最小值【难度】★★【答案】当tan 1x =时，min 2y =4．函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________ 【难度】★ 【答案】[)5,-+∞【解析】令tan t x =则转化为t 的二次函数求最值。
正切函数图像.ppt
4.10 正切函数的图像和性质 一、引入
如何用正弦线作正弦函数图象呢？ 1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象. 2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
类 比
用正切线作正切函数y=tanx的图象
4.10 正切函数的图像和性质
二、探究用正切线作正切函数图象
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+ )=tan3x,
3 这说明自变量 x
,至少要增加
，函数的值
才能重复取得，所以函数
y
3
tan 3x
的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x
2 2
(2) y tan(4x)
4
例题分析
例 ４ 解不等式：tan x 3
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像？
y
tan
x，x
2
，
2
角 的终边 Y
T3
（
3
，tan
）
3
A
0
X
3
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
2
，
2
的图像:
三角函数正切函数的性质与图像
正切函数的图像向右平移π个单位，可以得 到余弦函数的图像。
左右翻转
正切函数的图像关于$y$轴对称，即$tan( - x) = tan(x)$。 正切函数的图像向左翻转后，可以得到正切函数的图像。
03
正切函数的图像绘制
利用Python绘制正切函数图像
导入matplotlib库
定义正切函数
首先需要导入matplotlib库，该库是 Python中用于绘图的常用库之一。
使用xlabel和ylabel参数可以添加x轴和y轴的标签，例如x轴 标签为“$x$”，y轴标签为“$y$”。
显示网格线
使用grid参数可以显示网格线，以便更好地观察图像的细节 。
04
三角函数的实际应用
物理中的三角函数
简谐振动
简谐振动的位移与时间的关系可以表示为正弦或余弦函数，利用三角函数性 质可以更深入地理解简谐振动的特征。
正切函数的对称性
正切函数图像无对称轴，但在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处，函数图像呈现对称性。
正切函数的奇偶性
$tan( - x) = - tan(x)$，因此正切函数为奇函数。
正切函数的应用
正切函数在解直角三角形、求三角形的面积、研究三角恒 等式等方面具有广泛应用。
对未来研究正切函数的展望
三角函数正切函数的性质与图像
xx年xx月xx日
contents
目录
• 正切函数概述 • 正切函数的性质 • 正切函数的图像绘制 • 三角函数的实际应用 • 总结与展望
01
正切函数概述
正切函数的定义
正切函数：tan(x) = sin(x) / cos(x) 值域：(-∞，∞)
定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ，k ∈ Z} 周期：π
正切函数的图像和性质
C．充要条件
4.10 正切函数的图像和性质
小结：
（1）y tan x 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 ， 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 2 2
（2） y tan x 性质: 定义域 值 周 奇 单调增区间 域 期 偶 性 对 称 中心 渐近线 方程，
y tan x x 利用正切线画出函数 ， ， 的图像: 2 2
几何画板演示
4.10 正切函数的图像和性质
结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、 正切函数的性质： 奇偶性和单调性． ⑤单调性 : R 奇函数．正切曲线关于原点 ②值域： ⑥渐近线： O 对称． ④奇偶性： x x k ， k Z ①定义域： 2 tan x x k， k k (k Z ) 内都是增 k（x k Z x 小于 正切函数在每个开区间 当 ）且无限接近于 时， k 渐近线方程是： ， k Z 正切函数是周期函数，周期是 ． 2 Z )，都有 2 2 tan ( k x tan x ， k， k ∵任意 x 2 2 2 2 tan x 当 x 大于 k(k Z)且无限接近于 k 时， 函数． 2 2 ∴正切函数是奇函数．
是增函数， 3 3 11 13 ∴ tan tan 即 tan tan ． 4 5 4 5
4.10 正切函数的图像和性质
练习：
（1）直线 y a（ a 为常数）与正切曲线 y tanx （ 为常数
x x k ，k Z 2
正切函数的性质和图象
即角α的终边不能落在 y 轴上。
对于正切函数y tan x，只有x k , k Z
2 才能使得y tan x有意义。
正切函数 y
tan
x的定义域是
x |
x
2
k
,
k
Z
tan(x+π)=tanx，x∈R，x≠π/2+kπ，k∈Z 正切函数是周期函数，周期T= π
tan(-x)=-tanx，x∈R，x≠π/2+kπ ，k∈Z 正切函数是奇函数，原点（0，0）是其对称中心
y
1
-π/2
π/2
O1
O
x
-1
y tan x x ( , )
22
2、 把y=tanx，x∈ (-π/2,π/2)图象向左或者 向右平移，每次平移π个单位长度就得到y=tanx x∈R,且x≠π/2+kπ,k∈Z 的图象。
y
1
3
2
2
O
2
-1
x
3 2
正切函数的图象叫正切曲线，其特征是：
23
解：原函数要有意义，自变量x应满足
即
x
1 3
2k, k
Z
2
x
3
2
k , k
Z
所以，原函数的定义域是{x
|
x
1 3
2k,
k
Z}.
T
2
所以原函数的周期是2.
2
由
2
k
2
x
3
2
k , k
Z
解得
5 3
2k
x
1 3
2k, k
Z
所以原函数的单调递增区间是
(
正切函数的图像与性质
1、你已经对正切函数 y tan x 的性质了解多少？
①定义域：{x | x k , k Z}
2
②周 期：T
③奇偶性：奇函数
2、已知的这些性质对作正切函数 y tan x 的图象
有何帮助？
建构数学
一、正切函数y tan x 在 ( , ) 的图象
2
②值 域： R
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
③周 期：T
④奇偶性：奇函数
⑤单调性：单调增区间为：( k ,
⑥渐近线： 直线：x
2
k , k Z
2
k )(k
Z)
开区间
2
思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？
数学应用
活动1、求函数
y tan(2x )
4
的定义域。
若求值域、周期、单调区间呢？
整
体
代
练习：P33 ， 2
入
数学应用
活动2、比较大小：
（1）tan 138 。与 tan 143 。
（2）tan( 13 )与tan( 17 )
4
y
5
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
数学应用
活动3、根据图象求满足下列条件的 x 的取值集合
2
②值 域： R
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
正切函数图像
正切函数图像一、正切函数图像定义：。
因此，切线的斜率k=1/x，斜率是一个比值，所以斜率并不等于1，而只是一个表示“角度”的量，用x 表示切线与y轴交点的横坐标，用t表示切线与坐标轴交点的纵坐标。
二、几何意义：定义：。
三、几何关系：切线的斜率k=1/x，即x正切斜率k，斜率就是角度除以弧度。
四、点斜式：1、正切函数的图像是y=ln。
2、切线的斜率k=1/x，即x正切斜率k，斜率就是角度除以弧度。
3、切线斜率k的计算公式为： k=k （ 1）斜率的物理意义：表示单位时间内通过曲线上某一点的切线段长度，即斜率表示通过曲线上某一点的切线的斜率表示通过曲线上某一点的切线的斜率表示通过曲线上某一点的切线的斜率K=arctan （θ/λ）=arctan（θ/λ）（ 1）正切值的计算：3、切线斜率k的三种方法：(1)切线和坐标轴互相垂直，此时斜率可取正值；(2)切线与x轴有两个交点，这时斜率是两个不同的角度的正切值的平均值，可取负值；(3)若两条切线与坐标轴互相垂直，且切线分别与坐标轴的交点数之差为n，那么该切线的斜率k=2（ n）sinθ/（ n-1） cosθ/n五、斜截式： 1、正切函数的图像是y=ln(θ/λ)为一般形式y=sint(θ/λ)。
2、其斜率k的三种方法：(1)切线与坐标轴互相垂直，此时斜率可取正值；(2)切线与x轴有两个交点，这时斜率是两个不同的角度的正切值的平均值，可取负值；(3)若两条切线与坐标轴互相垂直，且切线分别与坐标轴的交点数之差为n，那么该切线的斜率k=2（ n） sinθ/（ n-1） cosθ/n六、投影式： 1、正切函数的图像是y=ln(θ/λ)的一般式y=sintθ/λ。
8、求斜率k的三种方法：(1)切线和坐标轴互相垂直，此时斜率可取负值；(2)切线与x轴有两个交点，这时斜率是两个不同的角度的正切值的平均值，可取负值；(3)若两条切线与坐标轴互相垂直，且切线分别与坐标轴的交点数之差为n，那么该切线的斜率k=2（ n）sinθ/（ n-1） cosθ/n七、注意：（ 1）不能将斜率看作切线与y 轴交点的横坐标，切线与y轴交点的横坐标必须加上y值再求切线斜率。
正切函数图象
1. 正切函数的图像sin(x )sin x(1)根据 tan(x+ n )= cos(x ) = cosx=tanx(其中X M k n + 2 ,k € Z)推出正切函数的周期为n .sin x⑵根据tanx= cosx ,要使tanx有意义，必须 cosx M 0,从而正切函数的定义域为{x | X M k n + 2 ,k € Z}(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取 x € (- 2 , 2 ).利用单位圆中的正切线，通过平移，作出y=tanx,x € (- 2 , 2 )的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x M k n + 2 (k € Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.2. 余切函数的图像如下:3. 正切函数、余切函数的性质:正切函数正切函数y=tanx定义域{x | x € R且x M k n ,k € z}值域周期性奇偶性单调性{x | x € R 且x M k n + 2,k € Z} Rn奇每个区间(k n - 2 ,k n +2 ) 上递增(k € Z)Rn奇每个区间(k n ,(k+1) n )上递减(k € Z).k n ,k n + 2 )(k € Z);单调减区间为(k n - 2 ,k注：正切函数在每一个开区间(k n - 2 ,k n + 2 )(k € Z)内是增函数，但不能说成在整个定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此【重点难点解析】本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用•正切函数的图像一般用单位圆中的正切线作.因y=tanx定义域是{x | x € R,x M k n + 2 ,k € Z},所以它的图像被平行线x=k n + 2 (k € Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的1.正切函数应注意以下几点：(1)正切函数y=tanx的定义域是{x | x M k n + 2 ,k € Z},而不是R,这点要特别注意：⑵正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k n - 2 ,k n + 2 )(k € Z)上是连续的；(3) 在每一个区间(k n - 2 ,k n + 2 )(k € Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数2.解正切不等式一般有以下两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.例1作出函数y= | tanx |的图像，并根据图像求其单调区间.分析：要作出函数y= | tanx |的图像，可先作出 y=tanx的图像，然后将它在 x轴上方的图像保留，而将其在 x轴下方的图像向上翻(即作出关于x轴对称图像)，就可得到y= | tanx |的图像.解: 由于 y= | tanx | = tanx,x € Z[k n ,k n + 2 ]-tanx,x € (k n- 2 ,k n )(k €Z)所以其图像如图所示，单调增区间为】n] (k € Z).tanx > 2cosx+ .3说明：根据图像我们还可以发现：函数y I tanx 丨的最小正周期为n . 一般地，y=A |tan( 3 x+ $ ) |的最小正周期与 y=Atan( w x+ $ )的最小正周期相同，均为例2 求函数y=lg(tanx- - 3)+ .2cosx 3的定义域. 解：欲使函数有意义，必须X M k n + 2 (k € Z)由此不等式组作图.•.函数的定义域为(k n + 3 ,k n + 2 ).评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法 .图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合 .三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.例3 求函数y=tan(2x-3 )的单调区间解：y=tanx,x € (- 2 +k n , 2 +k n )(k € Z)是增函数.••• - 2 +k nV 2x- 3 V 2 +k n ,k € 乙_ L 乞k_即-12 + 2v x v 12 + 2, k€ Zk 5 k函数y=ta n(2x- 3)的单调递增区间是(-12+ 2, 12 + 2 ).(k € Z)例4 求函数f(x)=tan(2x+ 3)的周期.解：因为 tan(2x+ 3 +n )=tan(2x+ 3 )即 tan [ 2(x+ 2)+3 ] =tan(2x+ 3 )tan(2x+ 3 )的周期是2 .例5求函数y=3tan(2x+ 3 )的对称中心的坐标.k_分析：y=tanx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(2,0)(k € Z).函数y=Atan( wx+0 )的图像可由y=tanx经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x轴交点.k解：由 2x+ 3= 2 ,(k € Z)得k_x= 4 - 6 (k € Z)k _.•.对称中心坐标为(4-6 ,0)(k € Z)注意：函数y=Atan( w x+ $ )(A >0, w>0)的图像及性质可与函数y=Asin( w x+ $ )(A > 0, w>0)的图像及性质加以比较研究.【难题巧解点拔】例判断函数f(x)=tan(x- 4 )+tan(x+ 4 )的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x有f(-x)=-f(x) ，或f(-x)=f(x) 成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.解：此函数的定义域为｛X | x € R且X M k n + 4 ,k € Z｝它是关于原点对称.又 f(-x) =ta n(-x+ 4 )+ta n(-x- 4)=-tan(x- 4 )-tan(x+ 4 )=-f(x)故此函数是奇函数..同时要求同学们y=Ata n( w x+ $ )(A 丰0)的周期为T= y=tan(x- 4)+tan(x+ 4)=tan [(x- 4 )+(x+ 4)] [ 1-tan(x- 4 )tan(x+ 4)]=tan2x [ 1+cot(x+ 4 )tan(x+ 4 ) ] =2tan2x■/ sin( 2 -a)=cosacos( 2 -a)=sina••• tan( 2 -a)=cotacot( 2 -a)=tana故 tan [ 2 -(x+ 4 ) ] =cot(x+ 4 )即-tan(x- 4 )=cot(x+ 4 )周期为2当 k n - 2V 2x V k n + 2k x k_ _2 - 4 V x V 2 + 4 (k € Z)J _ L _即x € ( 2 - 4, 2 + 4)时，原函数是增函数.评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数 必须熟悉正切函数的性质•J ig [口 9cos(x —)]例2 已知： 26<1,求函数y=cot 2x-2cotx+5的值域.分析：从已知条件的不等式中解出cotx 的范围，然后在此条件下求被求函数的值域11解：由已知条件，可得 0<lg : 2 -9cos(x+ 6 ) ]<1.得-2 <cos(x+ 6 ) <2• k n + 3W x+ 6W k n + 3 ,k € 乙2 - a€ (0,2 )k n + 6W x W k n + 2,k € Z./. 0W cotx W •、3 y=cot 2x-2cotx+5=(cotx-1) 2+4•••当x=k n + 4 ,k € Z 时，y 取最小值4.当x=k n + 2 ,k € Z 时，y 取最大值5. 从而函数y=cot 2x-2cotx+5 的值域是]4,5 ].【典型热点考题】例1 满足tan a>cot a 的角的一个取值区间是()A.(0 , 4)B. :0, 4 :C. : 4 , 2 :D.( 4 , 2) 分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间内 解：由选择项，可以考虑a€ (0,2 )的性况.•' tan a>tan( 2 - a ),且 a .•a 》2 - a , • 4 WaV 2 .故选C.1 tan2 2x2例2函数y= 1 tan 2x 的最小正周期是()A. 4B. 2C. nD.2 n 解法1:将四个选项分别代入函数式验算，可知 B 正确.•应选B.1 ta n 22x2解法 2： y= 1 tan 2x =cos4x2••• T= 4=2 •应选B.j2 log 1 X ——例3函数y=2+ - tan x 的定义域是.厂 1解：x 应满足 2+log 2x>0① J x >0 ② ]tanx >0③x 丰k n + 2 ,k € Z由①②得0 V X W 4 ⑤由③④并注意到⑤得-0 V x <41_30 <x V 2 或nW x v 2/• 0v X V 2 或nW x W 4.•••应填(0 , 2 ) U [ n, 4]例4 如果a 、B€ ( 2 , n ),且tan aV cot 3 ,那么必有()33A. aV 3B. 3 V aC. a + 3V 2D.a + 3> 2解tan aV cot 3V 0,二 ta na tan 3>1.tantan有 tan( a +3 )=:1 tan tan>033有a + fY ( n, 2 ) •- -a + 3 ；V2 .•应选C.2说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比如取a =3 = 3 ,可排除A 、B D.【同步达纲练习】-、选择题1.下列不等关系中，正确的是 A. c ot3 >cot4 >cot5 B. cot4 >cot5 >cot3 ()B.cot4 >cot3 >cot5D.cot5 >cot4 >cot32.卜列不等式中，止确的是()4 3 13 12A.tan 7 n>tan 7 nB.tan(- 4 n ) >tan(- 5 n )C.cot4 V cot3D.cot281 ° V cot665 °3.观察正切曲线，满足条件丨tanx I W 1的x 的取值范围是(其中k € Z)()A.(2k n - 4 ,2k n + 4 )B.(k n ,k n + 4 )3C.(k n - 4 ,k n + 4 )D.(k n + 4 ,k n + 4 )4.函数y=tanx-cotx 的奇偶性:是(是 ( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数，也是偶函数D.非奇非偶函数B.(k n - 2 ,k n ),k € ZD.以上均不正确B.在y=cotx 中，x 越大，y 反而越小 D.以上均不正确.5.如果4 vBv 2，贝U sin 0 ,cos 0 ,tan B 的大小关系是（） A.sin 0v cos 0v tan 0 B.cos 0v sin D.cos 0v tan 0v tan 0 0v sin 0C.tan 0v sin 0v cos 0 6.y=ta nx+cotx 的最小正周期是（ )A. nB. 2C. 4D.以上均不正确7•将函数y=tan2x 的图像向右平移 4个单位后得到的图像的解析式为 （）A.y=tan （2x+ 4 ）B.y=tan （2x- 4 ）C.y=cot2xD.y=-cot2x8.若tan （2x- 3 ） <1,则x 的取值范围是（kk 7 A. 2 -12 <x <2 +24 (k €Z)k k 7 B. 2 -12 v x <2 + 24 (k € Z)7C.kn - 12 <x v k n + 24 (k € Z)7D.k n - 12 v x v k n + 24 (k € Z)9.函数 f(x)= 1cotx cotx 的定义域为（）A.(k n ,k n + 2 ),k € Z C.(k n ,k n + n ),k € Z10.下列命题中正确的是() A.y=tanx 在第一象限单调递增C.当 x>0 时，tanx >0. 丄 _11.函数y=tan （ 2 x- 3）在一个周期内的图像是（）yCDcos2x sin 2x12.函数f(x)= cos2x sin2x 的最小正周期是()A.4 nB.2 nC. nD. 2二、填空题1. 使函数y=tanx 和y=cosx 同时为单调递增函数的区间是2. 满足tan aV cot a 的角a 的范围是 ____ .丄 _3. 函数y=3tan( 2 x- 4 )的定义域是 ________ ，值域是4.函数y=sinx+cotx 的图像关于对称.三、解答题：1.求下列函数的定义域:.2cosx 1lg(tan x 1)tan(x) 3、「3 cot x⑶y 八2(1)y= 1 2sinx(2)y=2sectan22.求函数y= sectan 的值域3. 求函数y=-2tan(3x+ 3 )的定义域、值域，并指出它的周期性，奇偶性和单调性4.已知 f(x)=tan(2x-b1n )的图像的一个对称中心为(3 , 0)，若I b |v 3，求b的值.【素质优化训练】1.解不等式3tan 2(2X- 4 )-(3- '3 )tan(2x- 4 )- • 3 W 0.2. 已知函数f(x)=tan( 3 x+0 ),且对于定义域内任何实数x，都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),比较 tan( 3 a+ +3w )与 tan( 3 a+ $ -3 3 )的大小.3. 已知有两个函数 f i(x)=asin(kx+ 3 ),f 2(x)=bsin(kx- 3 )(k >0)它们的最小正周期之和为 2 n,且 f i( 2 )=f 2( 2 ),f i( 4 )=- .3f2(4 )+1,求 a、b、k 之值.4. 已知关于x的一元二次方程 4x2+5x+k=0的两根分别为 sin 0>cos 0 ,(1)求k.(2)求以tan 0、cot 0为两根的一元二次方程.5. 求证：函数 y=Atan( 3 x+ $ )(A 3工0)为奇函数的充要条件是$ =k n (k € Z).答案：【同步达纲练习】一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.D 11.A 12.D二、1. : 2k n - n ,2k n - 2 )和(2k n - 2 ,2k n ](k € Z)_ _ 3_2. (k n ,k n + 4 ) U (k n + 2 ,k n + 4 )(k € Z)33. {x I x 工 2k n + 2 ,k € Z}4. (k n ,0)(k € Z)3 _三、1.(1)(2k n - 4 n ,2k n - 2 )(k € Z)(2){x I 2k n - 3 W x v 2k n + 3 ,且 x 工 2k n - 6 ,k € Z}⑶{x | 2k n + 3 W x V 2k n +2n ,k € Z}12. 3 W y W 3k3. 定义域{x | X M 3 +18 ,k € Z}值域R,周期3，非奇非偶函数k 5 k在区间(3-18, 3 +18 )(k € Z)上是单调减函数4. b=- 3【素质优化训练】k k1. {k | 2+24 <x<2 +4 ,k € Z}2. 相等3.a=- 3-1,b= 3 +1,k=29 3224. (1)k= 8 (2)x - 9 x+ 仁05. 略。
正切函数的性质及图像
正切函数的性质及图像正切函数的性质及图像
一、正切函数的性质：
1、定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}。
2、值域：实数集R。
3、奇偶性：奇函数。
二、正切函数的图像：
正切定理：
在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。
正切定理：(a + b) / (a - b) = tan((α+β)/2) / tan((α-β)/2)
证明——由下式开始：
由正弦定理得出
正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值。
放在直角坐标系中（如图《定义图》所示）即tanθ=y/x。
也有表示为tgθ=y/x，但一般常用tanθ=y/x。
曾简写为tg，现已停用，仅在20世纪90年代以前出版的书籍中使用。
正切函数图象
正切函数1.正切函数的图像(1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x xcos sin --=tanx(其中x ≠k π+2π,k ∈Z)推出正切函数的周期为π.(2)根据tanx=x xcos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0,从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π,k ∈Z}(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π).利用单位圆中的正切线，通过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π(k∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如下图.y=tanx2.余切函数的图像如下：y=cotx3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx余切函数y=cotx注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)是增函数，但不能说成在整个定义域是增函数，类似地，余切函数也是如此.【重点难点解析】∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π(k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.1.正切函数应注意以下几点：(1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2)正切函数的图像是连续的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π)(k ∈Z)上是连续的；(3)在每一个区间(k π-2π,k π+2π)(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数.2.解正切不等式一般有以下两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法那么先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间.分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保存，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像.解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π］-tanx,x ∈(k π-2π,k π)(k ∈Z)所以其图像如下图，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π,k π］(k ∈Z).说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx ｜的最小正周期为π.一般地，y=A ｜tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期一样，均为ωπ.例2 求函数y=lg(tanx-3)+3cos 2+x 的定义域. 解：欲使函数有意义，必须tanx ＞3, 2cosx+3≥0,x ≠k π+2π(k ∈Z)由此不等式组作图∴函数的定义域为(k π+3π,k π+2π).评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法那么是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.例3 求函数y=tan(2x-3π)的单调区间.解：y=tanx,x ∈(-2π+k π, 2π+k π)(k ∈Z)是增函数.∴-2π+k π＜2x-3π＜2π+k π,k ∈Z.即-12π+2πk ＜x ＜125π+2πk ，k ∈Z函数y=tan(2x-3π)的单调递增区间是(-12π+2πk ,125π+ 2πk ).(k ∈Z)例4 求函数f(x)=tan(2x+3π)的周期.解：因为tan(2x+3π+π)=tan(2x+3π)即tan ［2(x+2π)+3π］=tan(2x+3π)∴tan(2x+3π)的周期是2π.例5 求函数y=3tan(2x+3π)的对称中心的坐标.分析：y=tanx 是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(2πk ,0)(k ∈Z).函数y=Atan(ωx+φ)的图像可由y=tanx 经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x 轴交点.解：由2x+3π= 2πk ,(k ∈Z)得 x=4πk -6π(k ∈Z)∴对称中心坐标为(4πk -6π,0)(k ∈Z)注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质加以比拟研究.【难题巧解点拔】例 判断函数f(x)=tan(x-4π)+tan(x+4π)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x 有f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.解：此函数的定义域为{x ｜x ∈R 且x ≠k π+4π,k ∈Z}它是关于原点对称.又f(-x) =tan(-x+4π)+tan(-x-4π)=-tan(x-4π)-tan(x+4π)=-f(x)故此函数是奇函数.y=tan(x-4)+tan(x+4)=tan ［(x-4π)+(x+4π)］［1-tan(x-4π)tan(x+4π)］=tan2x ［1+cot(x+4π)tan(x+4π)］=2tan2x∵sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sina∴tan(2π-a)=cotacot(2π-a)=tana故tan ［2π-(x+4π)］=cot(x+4π)即-tan(x-4π)=cot(x+4π)周期为2π当k π-2π＜2x ＜k π+2π 2πk -4x ＜x ＜2πk +4π(k ∈Z)即x ∈(2πk -4π,2πk + 4π)时，原函数是增函数.评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数.同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质.y=Atan(ωx+φ)(A ≠0)的周期为T=ωπ.例2)]6cos(9211lg[π+-x ≤1,求函数y=cot 2x-2cotx+5的值域.分析：从条件的不等式中解出cotx 的围，然后在此条件下求被求函数的值域.解：由条件，可得0≤lg ［211-9cos(x+6π)］≤1.得-21≤cos(x+6π)≤21∴k π+3π≤x+6π≤k π+32π,k ∈Z.∴k π+6≤x ≤k π+2,k ∈Z.∴0≤cotx ≤3 y=cot 2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4∴当x=k π+4π,k ∈Z 时，y 取最小值4.当x=k π+2π,k ∈Z 时，y 取最大值5.从而函数y=cot 2x-2cotx+5的值域是［4,5］.【典型热点考题】例1 满足tan α≥cot α的角的一个取值区间是( )A.(0，4π)B.［0，4π］C.［4π，2π］D.(4π，2π)分析：本考察正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间.解：由选择项，可以考虑α∈(0，2π)的性况.∵tan α≥tan(2π-α),且α, 2π-α∈(0, 2π)∴α≥2π-α,∴4π≤α＜2π.应选C.例2 函数y=x x2tan 12tan 122+-的最小正周期是( )A. 4πB. 2πC.πD.2π解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B 正确. ∴应选B.解法2：y=x x2tan 12tan 122+-=cos4x∴T=42π=2π∴应选B.例3 函数y=x21log 2++x tan 的定义域是.解：x 应满足2+log 21x ≥0 ①x ＞0 ② tanx ≥0 ③x ≠k π+2π,k ∈Z ④由①②得0＜x ≤4 ⑤由③④并注意到⑤得 0＜x ≤40≤x ＜2π或π≤x ＜23π∴0＜x ＜2π或π≤x ≤4.∴应填(0，2π)∪[π，4]例4 如果α、β∈(2π,π),且tan α＜cot β,那么必有( )A.α＜βB.β＜αC.α+β＜23πD.α+β＞23π解：∵tan α＜cot β＜0，∴tan αtan β＞1.有tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+＞0有α+β∈(π，23π)∴α+β＜23π.∴应选C.说明：此题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比方取α=β=32π,可排除A 、B 、D.【同步达纲练习】 一、选择题1.以下不等关系中，正确的选项是( )A.cot3＞cot4＞cot5B.cot4＞cot3＞cot5 B.cot4＞cot5＞cot3 D.cot5＞cot4＞cot32.以下不等式中，正确的选项是( )A.tan 74π＞tan 73πB.tan(-413π)＞tan(-512π)C.cot4＜cot3D.cot281°＜cot665°3.观察正切曲线，满足条件｜tanx ｜≤1的x 的取值围是(其中k ∈Z) ( )A.(2k π-4π,2k π+4π)B.(k π,k π+4π)C.(k π-4π,k π+4π)D.(k π+4π,k π+43π)4.函数y=tanx-cotx 的奇偶性是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数，也是偶函数D.非奇非偶函数5.如果4π＜θ＜2π，那么sin θ,cos θ,tan θ的大小关系是( )A.sin θ＜cos θ＜tan θB.cos θ＜sin θ＜tan θC.tan θ＜sin θ＜cos θD.cos θ＜tan θ＜sin θ6.y=tanx+cotx 的最小正周期是( ) A.πB. 2πC. 4πD.以上均不正确7.将函数y=tan2x 的图像向右平移4π个单位后得到的图像的解析式为( )A.y=tan(2x+4π)B.y=tan(2x-4π)C.y=cot2xD.y=-cot2x8.假设tan(2x-3π)≤1,那么x 的取值围是( )A. 2πk -12π≤x ≤2πk +247π(k ∈Z)B. 2πk -12π＜x ≤2πk +247π(k ∈Z)C.k π-12π≤x ＜k π+247π(k ∈Z)D.k π-12π＜x ＜k π+247π(k ∈Z)9.函数f(x)=xx cot cot 1+的定义域为( ) A.(k π,k π+2π),k ∈Z B.(k π-2π,k π),k ∈ZC.(k π,k π+π),k ∈ZD.以上均不正确10.以下命题中正确的选项是( ) A.y=tanx 在第一象限单调递增. B.在y=cotx 中，x 越大，y 反而越小 C.当x ＞0时，tanx ＞0. D.以上均不正确.11.函数y=tan(21x-3π)在一个周期的图像是( )12.函数f(x)=x x xx 2sin 2cos 2sin 2cos -+的最小正周期是( )A.4πB.2πC.πD. 2π二、填空题1.使函数y=tanx 和y=cosx 同时为单调递增函数的区间是.2.满足tan α＜cot α的角α的围是.3.函数y=3tan(21x-4π)的定义域是，值域是.4.函数y=sinx+cotx 的图像关于对称.三、解答题：1.求以下函数的定义域：(1)y=x x sin 21)1lg(tan -- (2)y=)3tan(1cos 2π--x x(3)y=2cot3x-2.求函数y=θθθθtan sec tan sec 22-+的值域.3.求函数y=-2tan(3x+3π)的定义域、值域，并指出它的周期性，奇偶性和单调性.4.f(x)=tan(2x-b π)的图像的一个对称中心为(3π，0)，假设｜b ｜＜31，求b 的值.【素质优化训练】1.解不等式3tan 2(2x-4π)-(3-3)tan(2x-4π)-3≤0.2.函数f(x)=tan(ωx+φ),且对于定义域任何实数x ，都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),比拟tan(ωa+φ+3ω)与tan(ωa+φ-3ω)的大小.3.有两个函数f 1(x)=asin(kx+3π),f 2(x)=bsin(kx-3π)(k ＞0)它们的最小正周期之和为2π，且f 1(2π)=f 2(2π),f 1(4π)=-3f 2(4π)+1,求a 、b 、k 之值.4.关于x 的一元二次方程4x 2+5x+k=0的两根分别为sin θ、cos θ,(1)求k.(2)求以tan θ、cot θ为两根的一元二次方程.5.求证：函数y=Atan(ωx+φ)(A ω≠0)为奇函数的充要条件是φ=k π(k ∈Z).答案：【同步达纲练习】一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.D 11.A 12.D二、1.［2k π-π,2k π-2π)和(2k π-2π,2k π](k ∈Z)2.(k π,k π+4π)∪(k π+2π,k π+43π)(k ∈Z)3.{x ｜x ≠2k π+23π,k ∈Z}4.(k π,0)(k ∈Z)三、1.(1)(2k π-43π,2k π-2π)(k ∈Z)(2){x ｜2k π-3π≤x ＜2k π+3π,且x ≠2k π-6π,k ∈Z }(3){x ｜2k π+3π≤x ＜2k π+2π,k ∈Z }2. 31≤y ≤33.定义域{x ｜x ≠3πk +18π,k ∈Z}值域R ，周期3π，非奇非偶函数在区间(3πk -185π,3πk +18π)(k ∈Z)上是单调减函数..11 / 11 4.b=-31【素质优化训练】1.{k ｜2πk +24π≤x ≤2πk +4π,k ∈Z}2.相等3.a=-3-1,b=3+1,k=24.(1)k=89 (2)x 2-932x+1=05.略。
正切函数图象
正切函数1、正切函数的图像(1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x xcos sin --=tanx(其中x ≠k π+2π,k ∈Z)推出正切函数的周期为π、(2)根据tanx=x xcos sin ,要使tanx 有意义,必须cosx ≠0,从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π,k ∈Z}(3)根据正切函数的定义域与周期,我们取x ∈(-2π,2π)、利用单位圆中的正切线,通过平移,作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像,而后向左、向右扩展,得y=tanx,x ≠k π+2π(k ∈Z)的图像,我们称之为正切曲线,如图所示、y=tanx2、余切函数的图像如下:y=cotx3、正切函数、余切函数的性质: 正切函数y=tanx余切函数y=cotx注:正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)内就是增函数,但不能说成在整个定义域内就是增函数,类似地,余切函数也就是如此、【重点难点解析】本节重点就是正切函数图像的画法及性质的运用、正切函数的图像一般用单位圆中的正切线作、因y=tanx 定义域就是{x ｜x ∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z},所以它的图像被平行线x=k π+2π(k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像就是连续变化的、1、正切函数应注意以下几点:(1)正切函数y=tanx 的定义域就是{x ｜x ≠k π+2π,k ∈Z},而不就是R,这点要特别注意:(2)正切函数的图像就是间断的,不就是连续的,但在区间(k π-2π,k π+2π)(k ∈Z)上就是连续的;(3)在每一个区间(k π-2π,k π+2π)(k ∈Z)上都就是增函数,但不能说正切函数就是增函数、2、解正切不等式一般有以下两种方法: 图像法与三角函数线法、图像法即先画出正切函数的图像,找到符合条件的边界角,再写出所有符合条件的角的集合、三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线,得到边界角的终边,在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域),再用不等式正确表示区域、例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像,并根据图像求其单调区间、分析:要作出函数y=｜tanx ｜的图像,可先作出y=tanx 的图像,然后将它在x 轴上方的图像保留,而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像),就可得到y=｜tanx ｜的图像、解:由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π］-tanx,x ∈(k π-2π,k π)(k ∈Z)所以其图像如图所示,单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π,kπ］(k ∈Z)、说明:根据图像我们还可以发现:函数y=｜tanx ｜的最小正周期为π、一般地,y=A ｜tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同,均为ωπ、例2 求函数y=lg(tanx-3)+3cos 2+x 的定义域、 解:欲使函数有意义,必须tanx ＞3, 2cosx+3≥0,x ≠k π+2π(k ∈Z)由此不等式组作图∴函数的定义域为(k π+3π,k π+2π)、评析:解正切不等式一般有两种方法:图像法与三角函数线法、图像法即先画出函数图像,找出符合条件的边界角,再写出符合条件的角的集合、三角函数线法则就是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线,得到边界角的终边,在单位圆中画出符合条件的区域、要特别注意函数的定义域、例3 求函数y=tan(2x-3π)的单调区间、解:y=tanx,x ∈(-2π+k π, 2π+k π)(k ∈Z)就是增函数、∴-2π+k π＜2x-3π＜2π+k π,k ∈Z 、即-12π+2πk ＜x ＜125π+2πk ,k ∈Z函数y=tan(2x-3π)的单调递增区间就是(-12π+2πk ,125π+ 2πk )、(k ∈Z)例4 求函数f(x)=tan(2x+3π)的周期、解:因为tan(2x+3π+π)=tan(2x+3π)即tan ［2(x+2π)+3π］=tan(2x+3π)∴tan(2x+3π)的周期就是2π、例5 求函数y=3tan(2x+3π)的对称中心的坐标、分析:y=tanx 就是奇函数,它的对称中心有无穷多个,即(2πk ,0)(k ∈Z)、函数y=Atan(ωx+φ)的图像可由y=tanx 经过变换图像而得到,它也有无穷多个对称中心,这些对称中心恰好为图像与x 轴交点、解:由2x+3π= 2πk ,(k ∈Z)得 x=4πk -6π(k ∈Z)∴对称中心坐标为(4πk -6π,0)(k ∈Z)注意:函数y=Atan(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质加以比较研究、【难题巧解点拔】例 判断函数f(x)=tan(x-4π)+tan(x+4π)的奇偶性,并求此函数的周期及单调区间、分析:奇偶性的判断必须考虑①定义域就是否关于原点对称、②就是否对任意x 有f(-x)=-f(x),或f(-x)=f(x)成立;关于周期与单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求、解:此函数的定义域为{x ｜x ∈R 且x ≠k π+4π,k ∈Z}它就是关于原点对称、又f(-x) =tan(-x+4π)+tan(-x-4π)=-tan(x-4π)-tan(x+4π)=-f(x)故此函数就是奇函数、y=tan(x-4π)+tan(x+4π)=tan ［(x-4π)+(x+4π)］［1-tan(x-4π)tan(x+4π)］=tan2x ［1+cot(x+4π)tan(x+4π)］=2tan2x∵sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sina∴tan(2π-a)=cotacot(2π-a)=tana故tan ［2π-(x+4π)］=cot(x+4π)即-tan(x-4π)=cot(x+4π)周期为2π当k π-2π＜2x ＜k π+2π 2πk -4x ＜x ＜2πk +4π(k ∈Z)即x ∈(2πk -4π,2πk + 4π)时,原函数就是增函数、评析:此题的难点在于通过三角恒等化简,将函数化为一个三角函数、同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质、y=Atan(ωx+φ)(A ≠0)的周期为T=ωπ、例2 已知)]6cos(9211lg[π+-x ≤1,求函数y=cot 2x-2cotx+5的值域、分析:从已知条件的不等式中解出cotx 的范围,然后在此条件下求被求函数的值域、解:由已知条件,可得0≤lg ［211-9cos(x+6π)］≤1、得-21≤cos(x+6π)≤21∴k π+3π≤x+6π≤k π+32π,k ∈Z 、∴k π+6π≤x ≤k π+2π,k ∈Z 、∴0≤cotx ≤3 y=cot 2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4∴当x=k π+4π,k ∈Z 时,y 取最小值4、当x=k π+2π,k ∈Z 时,y 取最大值5、从而函数y=cot 2x-2cotx+5的值域就是［4,5］、【典型热点考题】例1 满足tan α≥cot α的角的一个取值区间就是( )A 、(0,4π)B 、［0,4π］C 、［4π,2π］D 、(4π,2π)分析:本考查正切函数单调性,应化同名函数,再化角为同一单调区间内、解:由选择项,可以考虑α∈(0,2π)的性况、∵tan α≥tan(2π-α),且α, 2π-α∈(0, 2π)∴α≥2π-α,∴4π≤α＜2π、故选C 、例2 函数y=x x2tan 12tan 122+-的最小正周期就是( )A 、 4πB 、 2πC 、πD 、2π解法1:将四个选项分别代入函数式验算,可知B 正确、 ∴应选B 、解法2:y=x x2tan 12tan 122+-=cos4x∴T=42π=2π∴应选B 、例3 函数y=x21log 2++x tan 的定义域就是 、解:x 应满足2+log 21x ≥0 ① x ＞0 ② tanx ≥0 ③x ≠k π+2π,k ∈Z ④由①②得0＜x ≤4 ⑤由③④并注意到⑤得0＜x ≤40≤x ＜2π或π≤x ＜23π∴0＜x ＜2π或π≤x ≤4、∴应填(0,2π)∪[π,4]例4 如果α、β∈(2π,π),且tan α＜cot β,那么必有( )A 、α＜βB 、β＜αC 、α+β＜23πD 、α+β＞23π解:∵tan α＜cot β＜0,∴tan αtan β＞1、有tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+＞0有α+β∈(π,23π)∴α+β＜23π、∴应选C 、说明:本题也可采取化为同名函数的方法,或都取特殊值比如取α=β=32π,可排除A 、B 、D 、【同步达纲练习】 一、选择题1、下列不等关系中,正确的就是( )A 、cot3＞cot4＞cot5B 、cot4＞cot3＞cot5 B 、cot4＞cot5＞cot3 D 、cot5＞cot4＞cot32、下列不等式中,正确的就是( )A 、tan 74π＞tan 73πB 、tan(-413π)＞tan(-512π)C 、cot4＜cot3D 、cot281°＜cot665°3、观察正切曲线,满足条件｜tanx ｜≤1的x 的取值范围就是(其中k ∈Z) ( )A 、(2k π-4π,2k π+4π)B 、(k π,k π+4π)C 、(k π-4π,k π+4π)D 、(k π+4π,k π+43π)4、函数y=tanx-cotx 的奇偶性就是( )A 、奇函数B 、偶函数C 、既就是奇函数,也就是偶函数D 、非奇非偶函数5、如果4π＜θ＜2π,则sin θ,cos θ,tan θ的大小关系就是( )A 、sin θ＜cos θ＜tan θB 、cos θ＜sin θ＜tan θC 、tan θ＜sin θ＜cos θD 、cos θ＜tan θ＜sin θ6、y=tanx+cotx 的最小正周期就是( ) A 、πB 、 2πC 、 4πD 、以上均不正确7、将函数y=tan2x 的图像向右平移4π个单位后得到的图像的解析式为( )A 、y=tan(2x+4π)B 、y=tan(2x-4π)C 、y=cot2xD 、y=-cot2x8、若tan(2x-3π)≤1,则x 的取值范围就是( )A 、 2πk -12π≤x ≤2πk +247π(k ∈Z)B 、 2πk -12π＜x ≤2πk +247π(k ∈Z)C 、k π-12π≤x ＜k π+247π(k ∈Z)D 、k π-12π＜x ＜k π+247π(k ∈Z)9、函数f(x)=xx cot cot 1+的定义域为( ) A 、(k π,k π+2π),k ∈Z B 、(k π-2π,k π),k ∈ZC 、(k π,k π+π),k ∈ZD 、以上均不正确10、下列命题中正确的就是( )A 、y=tanx 在第一象限单调递增、B 、在y=cotx 中,x 越大,y 反而越小C 、当x ＞0时,tanx ＞0、D 、以上均不正确、11、函数y=tan(21x-3π)在一个周期内的图像就是( )12、函数f(x)=x x xx 2sin 2cos 2sin 2cos -+的最小正周期就是( )A 、4πB 、2πC 、πD 、 2π二、填空题1、使函数y=tanx 与y=cosx 同时为单调递增函数的区间就是 、2、满足tan α＜cot α的角α的范围就是 、3、函数y=3tan(21x-4π)的定义域就是 ,值域就是 、4、函数y=sinx+cotx 的图像关于 对称、三、解答题:1、求下列函数的定义域:(1)y=x x sin 21)1lg(tan -- (2)y=)3tan(1cos 2π--x x(3)y=2cot3x -2、求函数y=θθθθtan sec tan sec 22-+的值域、3、求函数y=-2tan(3x+3π)的定义域、值域,并指出它的周期性,奇偶性与单调性、4、已知f(x)=tan(2x-b π)的图像的一个对称中心为(3π,0),若｜b ｜＜31,求b 的值、【素质优化训练】1、解不等式3tan 2(2x-4π)-(3-3)tan(2x-4π)-3≤0、2、已知函数f(x)=tan(ωx+φ),且对于定义域内任何实数x,都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),比较tan(ωa+φ+3ω)与tan(ωa+φ-3ω)的大小、3、已知有两个函数f 1(x)=asin(kx+3π),f 2(x)=bsin(kx-3π)(k ＞0)它们的最小正周期之与为2π,且f 1(2π)=f 2(2π),f 1(4π)=-3f 2(4π)+1,求a 、b 、k 之值、4、已知关于x 的一元二次方程4x 2+5x+k=0的两根分别为sin θ、cos θ,(1)求k 、(2)求以tan θ、cot θ为两根的一元二次方程、5、求证:函数y=Atan(ωx+φ)(A ω≠0)为奇函数的充要条件就是φ=k π(k ∈Z)、 答案:【同步达纲练习】一、1、C 2、B 3、C 4、A 5、B 6、A 7、D 8、B 9、A 10、D 11、A 12、D二、1、［2k π-π,2k π-2π)与(2k π-2π,2k π](k ∈Z)2、(k π,k π+4π)∪(k π+2π,k π+43π)(k ∈Z)3、{x ｜x ≠2k π+23π,k ∈Z}4、(k π,0)(k ∈Z)三、1、(1)(2k π-43π,2k π-2π)(k ∈Z)(2){x ｜2k π-3π≤x ＜2k π+3π,且x ≠2k π-6π,k ∈Z }(3){x ｜2k π+3π≤x ＜2k π+2π,k ∈Z }2、 31≤y ≤33、定义域{x ｜x ≠3πk +18π,k ∈Z}值域R,周期3π,非奇非偶函数在区间(3πk -185π,3πk +18π)(k ∈Z)上就是单调减函数、正切函数图象4、b=-31【素质优化训练】1、{k ｜2πk +24π≤x ≤2πk +4π,k ∈Z}2、相等3、a=-3-1,b=3+1,k=24、(1)k=89 (2)x 2-932x+1=05、略。
正切函数的图像和性质
4
2
2
44
所以函数
y
tan
x
4
的定义域是
x
x
4
k，k
Z
4.10 正切函数的图像和性质
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1）tan
167
与
tan
173
；（2）tan
11
4
与
tan
13
5
4.10 正切函数的图像和性质
例1．求函数 y tan x 的定义域．
4
解：令 z x ，那么函数y tan z的定义域是:
4
z
z
2
k，k
Z
由 x z k，可得 x k k
4.10 正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y sin x图像的．
用正切线作正切函数图像:
正切函数 y tan x是否为周期函数？
f x tanx
sin x cos x
sin x cos x
45
，函数
2
y
tan
x
，x
3
2
，
2
是增函数，
∴
tan
3
4
tan
3
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正切函数图象正切函数1.正切函数的图像 (1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =xx cos sin --=tanx(其中x ≠k π+2π,k ∈Z)推出正切函数的周期为π.(2)根据tanx=xx cos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0,从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π,k ∈Z}(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π).利用单位圆中的正切线，通过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π(k ∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.y=tanx2.余切函数的图像如下：y=cotx3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx 余切函数y=cotx 定义域 {x ｜x ∈R 且x ≠k π+2π,k ∈Z}{x ｜x ∈R 且x ≠kπ,k ∈z} 值域RR 周期性 π π 奇偶性 奇奇单调性 每个区间(k π-2π,k π+2π) 上递增(k ∈Z)每个区间(kπ,(k+1)π)上 递减(k ∈Z).注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2π)(k ∈Z)内是增函数，但不能说成在整个定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此.【重点难点解析】本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切线作.因y=tanx 定义域是{x ｜x ∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π(k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.1.正切函数应注意以下几点：(1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2)正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π)(k ∈Z)上是连续的；(3)在每一个区间(k π-2π,k π+2π)(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数.2.解正切不等式一般有以下两种方法： 图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间.分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保留，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像.解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π］-tanx,x ∈(k π-2π,k π)(k ∈Z)所以其图像如图所示，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π,k π］(k ∈Z).说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx ｜的最小正周期为π.一般地，y=A ｜tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同，均为ωπ.例2 求函数y=lg(tanx-3)+3cos 2+x 的定义域.解：欲使函数有意义，必须 tanx ＞3,2cosx+3≥0, x ≠k π+2π(k ∈Z) 由此不等式组作图∴函数的定义域为(k π+3π,k π+2π).评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.例3 求函数y=tan(2x-3π)的单调区间. 解：y=tanx,x ∈(-2π+k π, 2π+k π)(k ∈Z)是增函数.∴-2π+k π＜2x-3π＜2π+k π,k ∈Z.即-12π+2πk ＜x ＜125π+2πk ，k ∈Z 函数y=tan(2x-3π)的单调递增区间是(-12π+2πk ,125π+ 2πk ).(k ∈Z)例4 求函数f(x)=tan(2x+3π)的周期. 解：因为tan(2x+3π+π)=tan(2x+3π) 即tan ［2(x+2π)+3π］=tan(2x+3π) ∴tan(2x+3π)的周期是2π.例 5 求函数y=3tan(2x+3π)的对称中心的坐标.分析：y=tanx 是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(2πk ,0)(k ∈Z).函数y=Atan(ωx+φ)的图像可由y=tanx 经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x 轴交点.解：由2x+3π= 2πk ,(k ∈Z)得 x=4πk -6π(k ∈Z)∴对称中心坐标为(4πk -6π,0)(k ∈Z)注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质加以比较研究.【难题巧解点拔】例 判断函数f(x)=tan(x-4π)+tan(x+4π)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x 有f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.解：此函数的定义域为{x ｜x ∈R 且x ≠k π+4π,k ∈Z}它是关于原点对称.又f(-x) =tan(-x+4π)+tan(-x-4π) =-tan(x-4π)-tan(x+4π)=-f(x) 故此函数是奇函数. y=tan(x-4π)+tan(x+4π) =tan［(x-4π)+(x+4π)］［1-tan(x-4π)tan(x+4π)］=tan2x ［1+cot(x+4π)tan(x+4π)］=2tan2x ∵sin(2π-a)=cosa cos(2π-a)=sina ∴tan(2π-a)=cota cot(2π-a)=tana故tan ［2π-(x+4π)］=cot(x+4π) 即-tan(x-4π)=cot(x+4π) 周期为2π当k π-2π＜2x ＜k π+2π2πk -4x ＜x ＜2πk +4π(k ∈Z)即x ∈(2πk -4π,2πk + 4π)时，原函数是增函数. 评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数.同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质.y=Atan(ωx+φ)(A ≠0)的周期为T=ωπ.例 2 已知)]6cos(9211lg[π+-x ≤1,求函数y=cot 2x-2cotx+5的值域.分析：从已知条件的不等式中解出cotx 的范围，然后在此条件下求被求函数的值域. 解：由已知条件，可得0≤lg ［211-9cos(x+6π)］≤1.得-21≤cos(x+6π)≤21∴k π+3π≤x+6π≤k π+32π,k ∈Z. ∴k π+6π≤x ≤k π+2π,k ∈Z. ∴0≤cotx≤3y=cot 2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4∴当x=k π+4π,k ∈Z 时，y 取最小值4. 当x=k π+2π,k ∈Z 时，y 取最大值5.从而函数y=cot 2x-2cotx+5的值域是［4,5］.【典型热点考题】例 1 满足tan α≥cot α的角的一个取值区间是( )A.(0，4π)B.［0，4π］C.［4π，2π］ D.(4π，2π)分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间内.解：由选择项，可以考虑α∈(0，2π)的性况. ∵tan α≥tan(2π-α),且α, 2π-α∈(0,2π)∴α≥2π-α,∴4π≤α＜2π. 故选C.例2 函数y=xx 2tan 12tan 122+-的最小正周期是( )A. 4π B. 2π C.π D.2π解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B 正确.∴应选B. 解法2：y=xx 2tan 12tan 122+-=cos4x∴T=42π=2π ∴应选B.例 3 函数y=x21log 2++xtan 的定义域是 .解：x 应满足 2+log 21x ≥0 ①x ＞0 ② tanx ≥0 ③x ≠k π+2π,k ∈Z ④由①②得0＜x ≤4 ⑤由③④并注意到⑤得 0＜x ≤40≤x ＜2π或π≤x ＜23π∴0＜x ＜2π或π≤x ≤4. ∴应填(0，2π)∪[π，4]例4 如果α、β∈(2π,π),且tan α＜cot β,那么必有( )A.α＜βB.β＜αC.α+β＜23π D.α+β＞23π解：∵tan α＜cot β＜0，∴tan αtan β＞1.有tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+＞0有α+β∈(π，23π)∴α+β＜23π. ∴应选C.说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比如取α=β=32π,可排除A 、B 、D.【同步达纲练习】 一、选择题1.下列不等关系中，正确的是( ) A.cot3＞cot4＞cot5 B.cot4＞cot3＞cot5B.cot4＞cot5＞cot3 D.cot5＞cot4＞cot32.下列不等式中，正确的是( )A.tan 74π＞tan 73π B.tan(-413π)＞tan(-512π)C.cot4＜cot3D.cot281°＜cot665°3.观察正切曲线，满足条件｜tanx ｜≤1的x 的取值范围是(其中k ∈Z) ( )A.(2k π-4π,2k π+4π) B.(k π,k π+4π)C.(k π-4π,k π+4π)D.(k π+4π,k π+43π)4.函数y=tanx-cotx 的奇偶性是( ) A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数，也是偶函数D.非奇非偶函数5.如果4π＜θ＜2π，则sin θ,cos θ,tan θ的大小关系是( )A.sin θ＜cos θ＜tan θB.cos θ＜sin θ＜tan θC.tan θ＜sin θ＜cos θD.cos θ＜tan θ＜sin θ6.y=tanx+cotx 的最小正周期是( ) A.π B. 2π C. 4π D.以上均不正确7.将函数y=tan2x 的图像向右平移4π个单位后得到的图像的解析式为( )A.y=tan(2x+4π) B.y=tan(2x-4π) C.y=cot2x D.y=-cot2x8.若tan(2x-3π)≤1,则x 的取值范围是( )A. 2πk -12π≤x ≤2πk +247π(k ∈Z) B. 2πk -12π＜x ≤2πk +247π(k ∈Z) C.k π-12π≤x ＜k π+247π(k ∈Z) D.k π-12π＜x ＜k π+247π(k ∈Z)9.函数f(x)=xx cot cot 1+的定义域为( )A.(k π,k π+2π),k ∈Z B.(k π-2π,k π),k ∈ZC.(k π,k π+π),k ∈ZD.以上均不正确10.下列命题中正确的是( )A.y=tanx 在第一象限单调递增.B.在y=cotx 中，x 越大，y 反而越小C.当x ＞0时，tanx ＞0.D.以上均不正确.11.函数y=tan(21x-3π)在一个周期内的图像是( )12.函数f(x)=xx x x 2sin 2cos 2sin 2cos -+的最小正周期是( )A.4πB.2πC.πD. 2π二、填空题1.使函数y=tanx 和y=cosx 同时为单调递增函数的区间是 .2.满足tan α＜cot α的角α的范围是 .3.函数y=3tan(21x-4π)的定义域是 ，值域是 .4.函数y=sinx+cotx 的图像关于对称.三、解答题：1.求下列函数的定义域：(1)y=xx sin 21)1lg(tan -- (2)y=)3tan(1cos 2π--x x(3)y=2cot3x -2.求函数y=θθθθtan sec tan sec 22-+的值域.3.求函数y=-2tan(3x+3π)的定义域、值域，并指出它的周期性，奇偶性和单调性.4.已知f(x)=tan(2x-b π)的图像的一个对称中心为(3π，0)，若｜b ｜＜31，求b 的值.【素质优化训练】 1.解不等式3tan 2(2x-4π)-(3-3)tan(2x-4π)-3≤0.2.已知函数f(x)=tan(ωx+φ),且对于定义域内任何实数x ，都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),比较tan(ωa+φ+3ω)与tan(ωa+φ-3ω)的大小.3.已知有两个函数f 1(x)=asin(kx+3π),f 2(x)=bsin(kx-3π)(k ＞0)它们的最小正周期之和为2π，且f 1(2π)=f 2(2π),f 1(4π)=-3f 2(4π)+1,求a 、b 、k 之值.4.已知关于x 的一元二次方程4x 2+5x+k=0的两根分别为sin θ、cos θ,(1)求k.(2)求以tan θ、cot θ为两根的一元二次方程.5.求证：函数y=Atan(ωx+φ)(A ω≠0)为奇函数的充要条件是φ=k π(k ∈Z).答案：【同步达纲练习】一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.D 11.A 12.D二、1.［2k π-π,2k π-2π)和(2k π-2π,2k π](k ∈Z)2.(k π,k π+4π)∪(k π+2π,k π+43π)(k ∈Z) 3.{x ｜x ≠2k π+23π,k ∈Z} 4.(k π,0)(k ∈Z)三、1.(1)(2k π-43π,2k π-2π)(k ∈Z) (2){x ｜2k π-3π≤x ＜2k π+3π,且x ≠2k π-6π,k ∈Z }(3){x ｜2k π+3π≤x ＜2k π+2π,k ∈Z } 2. 31≤y ≤33.定义域{x ｜x ≠3πk +18π,k ∈Z} 值域R ，周期3π，非奇非偶函数 在区间(3πk -185π,3πk +18π)(k ∈Z)上是单调减函数.4.b=-31【素质优化训练】1.{k ｜2πk +24π≤x ≤2πk +4π,k ∈Z} 2.相等3.a=-3-1,b=3+1,k=24.(1)k=89 (2)x 2-932x+1=0 5.略。