高二数学抛物线及标准方程1

y2 4x
y
C H D E F A
B O
分析：运用 抛物线的定 义和平面几 何知识来证 比较简捷．
x
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂 线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜ ∴｜AB｜ y ＝｜AF｜＋｜BF｜ C B ＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜ E H O F 所以EH是以AB为直径的 D A 圆E的半径，且EH⊥l，因 而圆E和准线l相切．
x
练习1：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（3，0）； 1 （2）准线方程 是x = ； 4 （3）焦点到准线的距离是2 . 2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： 1 2 = 20x 2= （1）y （2）x 2 y （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0
x
代入方程y 4x, 得( x 1) 4x,
2 2
化简得x 6 x 1 0.
2
Hale Waihona Puke x1 x2 6 AB x1 x2 2 8
B’

所以，线段 的长是8。 AB
拓展： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切．
B
x
例4、在抛物线 y2=8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值 .
y
K
P Q O 2 F 4
x
例5、已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，-3）到 焦点距离为5，求m的值，抛物线标准方程和准线方程.
练习2：
(1)抛物线y 2 px( p 0)
3、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程 .
二、例题选讲：
例2、点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1, 求点M的轨迹方程.
y x+5=0 M
o
F(4,0)
x
y 4x 例3、斜率为1的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.
2
l
A1
y
A
B1
F
l
定点F是抛物线的焦点， 定直线l叫做抛物线的准线， 常数e＝ 是抛物线的离心率 . 1
d
.M .
F
三、抛物线的标准方程：
如图，以过F点垂直于直线l的直线为x轴， F 和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系. 设 | FK | p,( p 0), M ( x, y), p p 则F ( ,0), l : x 2 2 p 2 p 2 MF d 即 ( x ) y | x | 2 2
p2 p2 x 2 px y 2 x 2 px 4 4
y
l
d
.M
.
F
K
O
x
y 2 2 px, ( p 0)（其中p是焦点到准线的距离）
－－抛物线标准方程
焦点坐标 准线方程 x=-p/2 y2=2px(p>0) (p/2,0)
y
l
标准方程
F
o
l
F
x
标准方程 x2=2py(p>0)
p p A( , p)、B( , p) 2 2
P越大，开口越阔
图形
标准方程
2
范围
对称性
关于x 轴 对称，无 对称中心
关于x 轴 对称，无 对称中心 关于y 轴 对称，无 对称中心 关于y 轴 对称，无 对称中心
顶点
离心率 e=1
y 2 px x 0, ( p 0) y R
y 2 px x 0, ( p 0) y R
2
抛物线相交于 , B两点，求线段 的长。 A AB p 解：由题意可知， p 2, 1, y 2 A’ 准线l : x 1.
A F B
x
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到 准线l的距离分别为 A , d B . d
AF d A x1 1, BF d B x2 1,
一、抛物线的范围: y2=2px
Y
•X 0
X
y取全体实数
二、抛物线的对称性 y2=2px
Y
关于X轴对称 没有对称中心
X
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
X
定义 ：抛物线 与对称轴的交点， 叫做抛物线的顶 点 只有一个顶点
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
X
所有的抛物 线的离心率 都是 1
五、抛物线开口方向的判断
四、例题与练习：
例1、（1）已知抛物线的标准方程是 y2 = 6x，求它的 焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程；
（3）已知抛物线的标准方程是 y= 6x2，求它的焦点坐标和 准线方程；
（4）已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.
y
o
(-4,-2)
y
O

x
F
p F (0, ) 2
p y 2
y

y
F
x

y

y
F
O
FO
x
O
x
l
O

l
x
F
y 2 2 px p0
相同点：
（1）顶点为原点;
y 2 px
2
x 2 2 py p0
x 2 2 py p0
p0
（2）对称轴为坐标轴; （3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p/2. 不同点： （1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴; （2）一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向.
焦点坐标 准线方程 (0,p/2) y=-p/2
图
y

像
F
x
方
p0
程
焦
点
准
线
y 2 2 px
O
p F ( , 0) 2
p F ( , 0) 2
p F (0, ) 2
p x 2
y
y 2 2 px

FO
x
p0
p x 2
p y 2
y

F
x 2 2 py
x
l
l
O
p0
x 2 2 py p0
点M (2,2 2 ),所以，可设它的标准方 程为y 2 2 Px( P 0)
解：因为抛物线关于 轴对称，它的顶点在原 x 点，并且经过
因为点M在抛物线上，所以2 2 )2 2P 2，即p 2 (
因此，所求抛物线的标 准方程是y 4x
2
例4
斜率为 的直线l经过抛物线y 4 x的焦点F , 且与 1
O B’
由抛物线的定义可知
所以 AB AF BF x1 x2 2
例4
斜率为 的直线l经过抛物线y 4 x的焦点F , 且与 1
2
抛物线相交于 , B两点，求线段 的长。 A AB
y
由已知得抛物线的焦点 F (1,0), 为 所以直线AB的方程为y x 1
A’
A O F B
y 2 px
2 2
X + ，x轴正半轴，向右 X - ，x轴负半轴，向左 y + ，y轴正半轴，向上 y - ，y轴负半轴，向下
y 2 px x 2 py
2 2
x 2 py
六、抛物线开口大小
y l
A
y2=2px
o
· F
B
过焦点且垂直于对称轴的直线 x 被抛物线截得的线段AB叫做抛 物线的通径， 长为2p
x
抛物线的几何性质特点
（1）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸， 但没有渐进线。
（2）只有一条对称轴，没有对称中心。 （3）只有一个顶点，一个焦点，一条准线。 （4）离心率e是确定的，即e =1 （5）一次项系数的绝对值越大，开口越大
2
p 上一点 M 到焦点的距离是a(a ) 2
则点M到准线的距离是
，点M的横坐标是
. .
(2)抛物线 y 2 12 x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是 (3)焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是什么？
(4)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴， 抛物线上一点p(-3,a)到焦点的距离为5， 则抛物线的方程为______________.
2
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0)
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
e=1
例3 已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐 x 标原点， 并且经过点 2,2 2 ),求它的标准方程。 (
抛物线及其标准方程(1)
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一、椭圆和双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线 的距离的比是常数e的点的轨迹.
y
N M
y
N
M
F
F
o
F'
x
F'
o
x
当e＞1时，是双曲线。 当0＜e ＜1时，是椭圆， 当e=1时，它又是什么曲线？
二、抛物线的定义：
动点 M 与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 是常数 e 1，则这个点的轨迹是抛物线 .