第二章 数学模型-4
第2章 关系数据库数学模型
关系——二维表（行列），实体及其联系 都用关系表示。在用户看来关系数据的逻辑模 型就是一张二维表。
关系数据模型概述（续I）
关系操作 查询： 1）选择Select； 4）除Divide； Intersection； 编辑： 1）增加Insert； Update；
2）投影Project； 3）连接Join； 5）并Union； 6）交 7）差Difference；
三元关系的转换 一般要引入分离关系 如公司、产品和国家之间的m:n:p的三元关系及销 售联系。
关系代数
关系代数概述 关系代数的运算符 集合运算符
并U 交∩ 差 专门的关系运算符
笛卡尔积 × 选择σ 投影π 连接 除 算术比较符
> ≥ < ≤ = ≠ 逻辑运算符
EER模型到关系模式的转换（续IV）
为此，本例中引入一个分离关系On_Load(借 出的书)，可以避免空值的出现。 这样，存在以下三个关系模式： Borrower(B#,Name,Address,……) Book(ISBN,Title,……) On_Load(ISBN,B#,Date1,Date2) 只有借出的书才会出现在关系On_Load中， 避免空值 的出现，并把属性Date1和Date2加到 关系On_Load中。
D1 x D2 x…x Dn={(d1,d2,…,dn) | di∈Di, i=1,2,…,n} (d1,d2,…,dn) --------n元组(n-tuple) di--------元组的每一分量（Component) Di为有限集时，其基数为mi，则卡积的基 数为M=m1*m2*…*mn
关系数据库
第二章电力系统各元件的数学模型
试验时小绕组不过负荷，存在归算问题，归算到SN
2) 对于（100/50/100）
2
Pk (12)
P' k (12)
IN 0.5IN
P 4 ' k (12)
2
Pk ( 23)
P' k (23)
IN 0.5IN
P 4 ' k ( 23 )
3) 对于（100/100/50）
2
Pk (13)
P' k (13)
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
一次整循环换位：
A B
C
换位的目的：为了减 少三相参数的不平衡
§2.3 电力线路的参数和数学模型
Xd
§2.1 发电机的数学模型
受限条件
定子绕组： IN为限—S园弧
转子绕组： Eqn ife 励磁电流为限—F园弧 Xd
原动机出力：额定有功功率—BC直线
其它约束： 静稳、进相导致漏磁引起温升—T弧
进相运行时受定 子端部发热限制 受原动机出力限制
定子绕组不超 过额定电流
励磁绕组不超 过额定电流 留稳定储备
2、由短路电压百分比求XT（制造商已归算，直接用）
U U U U 1 k1(%) 2
k(12) (%) k(13) (%) (%) k(23)
XT1
Uk
1(%
)U2 N
100SN
U U U U 1 k2 (%) 2
k(12) (%) k(23) (%) (%) k(13)
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
第二章_控制系统的数学模型
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
4-传递函数
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 模型总论 微分方程的建立 传递函数模型 框图模型 信号流图模型 模型总结
第四讲：系统的数学模型
2-3 传递函数模型 2-4 框图模型
2-3 传递函数模型
一 定义与性质 设一般线性定常系统的微分方程为
dn d n−1 d a0 n y(t) + a1 n−1 y(t) +L+ an−1 y(t) + an y(t) dt dt dt dm d m−1 d = b0 m r(t) + b1 m−1 r(t) +L+ bm−1 r(t) + bmr(t) dt dt dt
环路分辨
G3 H3
G3 H3 H3
总之，框图简化的一般方法是： 移动引出点或比较点； 进行方框运算； 将串联、并联、反馈连接的框图合并；
三 框图三种典型形式
串 联 G1 G2 并 联 G1 G2 反 馈 G H
G1 G2
G1 G2
G 1+ G H
（1）串联
X(s) G (s) 1 X1(s) Y(s) G2(s)
＝
X(s)
G(s)
Y(s)
Y(s) G(s) = = G (s) ⋅ G2 (s) 1 X (s) X1(s) Y(s) Q = G (s), = G2 (s) 1 X (s) X1(s) Y(s) ∴ = G (s)G2 (s) 1 X (s)
（2）并联
X(s) G1(s) G2(s) Y1(s)
Y(S)
±
Y2(s)
＝
X(s)
Y(s) G(s)
G(s) = G1(s) ± G2 (s) Y(s) = Y1(s) ±Y2 (s) = X (s)G1(s) ± X (s)G2 (s) = X (s)[G1(s) ± G2 (s)] = X (s)G(s) ∴G(s) = G1(s) ± G2 (s)
2.4第二章 系统的数学模型--第四节 系统的微分方程及线性化
四、电气系统中的元件复阻抗
2、电容
i(t)
C
u(t)
u (t )
1 C
i(t
)dt
u(t)
1 C
i(t)
sU (s) 1 I (s) U (s) 1 I (s)
C
Cs
零初始状态下
四、电气系统中的元件复阻抗 3、电感 i(t) L
u(t)
u(t) L di(t) dt
U (s) Ls I (s) 零初始状态下
R
ui
C
uo
3、列出如图电气系统的微分方程。
解：物理规律： 基尔霍夫原理 输 入: 电压 ui(t) 输 出: 电压 uo(t)
设：电路电流为 i(t)
i
ui
R
C
uo
ui (t)
uo (t)
R i
1 C
(t) 1 C
i(t)d t
i(t
)d
t
iu(it()t
五、微分方程建立示例
2、列出如图机械系统的微分方程。
解：物理规律： 达朗贝尔原理 输 入: 力矩 τ(t) 输 出: 位移 θ(t)
τ
ห้องสมุดไป่ตู้
kJ
θ(t)
J
t kJ t cJ wt J t t kJ t cJt Jt Jt cJt kJ t t
线性系统的特点：可以运用叠加原理。
2、非线性系统 必须用非线性微分方程描述
的系统。 不能使用叠加原理
y(t) x2 (t) 对于非线性问题通常采用如下的处理途径 线 性 化 处 理：在工作点附近将非线性函数用泰勒级
自动控制原理：第二章 控制系统数学模型
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
y = Kx
式中， K f 'x0 是比例系数，它是函数f(x)在A点
的切线斜率。
18
对于有两个自变量x1,x2的非线性函数f(x1,x2)，同样 可以工作在某工作点(x10,x20)附近进行线性化。
这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可 行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于 一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与 期望值保持一直，控制系统也不进行控制动作。一 旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始 控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被 控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。
RC传网0 递络函的数阶G跃(响s)确应立曲了线t 电路输入
第2章 电力网元件的参数和数学模型
2
2. 电抗
1)单相导线电抗
r Deq 为三相导线间的互几何间距 x0 0.1445lg Deq 0.0157 r ( / km)
Deq 3 D1 D2 D3
r 为导线的计算半径 μr 为导线材料的相对导磁系数，有色金属的相对导磁 系数为1。 在近似计算中，可以取架空线路的电抗为 0.40 / km
2 Pk1U N RT 1 , 2 1000 S N 2 Pk 2U N , 2 1000 S N 2 Pk 3U N 2 1000 S N
RT 2
RT 3
16
•对于100/50/100或100/100/50 首先，将含有不同容量绕组的短路损耗数据归算为额 定电流下的值。
额定容量比为 100/50/100
2）分裂导线线路的电纳
b1 7.58 10 6 (S/km) D lg m req
9
二、电力线路的数学模型
电力线路的数学模型是以电阻、电抗、电纳和电导来表示 线路的等值电路。 1、短线路（<35kv,<100km的架空线路、短电缆线路） 不考虑线路的分布参数特性，只用将线路参数简单地集中 起来的电路表示。
g1 Pg U2 10 3 （S / km）
7
实际上，在设计线路时，已检验了所选导线 的半径是否能满足晴朗天气不发生电晕的要
求，一般情况下可设
g=0
8
4. 电纳 1）单相导线电纳
其电容值为：
C1 0.0241 10 6 D lg m r
最常用的电纳计算公式：
7.58 10 6 (S/km) D lg m r 架空线路的电纳变化不大，一般为 2.85 10 6 S / km b1
3
第二章 过程特性及其数学模型
0 h h2
t1
t
(Q1 Q2 )dt Adh
h1
t1
t
h Q2 Rs
Rs—阀的阻力
h )dt Adh 代入上式 (Q1 Rs
整理得
dh ARs h Rs Q1 dt
K=Rs
一阶常系数微分 方程
令：T=ARs 所以
dh T h KQ1 dt
t dh T h KQ1 解微分方程得 h KQ (1 e T ) 1 dt
当对象受到阶跃变化Q1=A 输出h是如何变化的。如图
Q1
A
0
h KA(1 e )
当t →∞时， h(∞)=KA 或 K=h(∞)/A
t T
t
h
h(∞) 0
t1
t
放大系数，是对象的静态参数
储槽的阶跃响应曲线
三、对象动态特性的研究方法 1.理论分析 根据系统工艺实际过程的数质量关系，分析计算 输入量与输出量之间的关系。
2.实验研究 需要在实际系统或实验系统中，通过一组输入 ,来 考察输出的跟随变化规律—反映输入与输出关系 的经验曲线和经验函数关系。
第二节 对象数学模型的建立
一、 机理建模法 机理法建摸就是根据生产过程的内在机理，写出各 种有关平衡方程式。如物料平衡方程式、能量平衡 1 方程式等。 1、一阶对象（单容对象） 举例 如图所示为一液体储槽对象 其静态方程
11．已知一个对象特性是具有纯滞后的一阶特性， 其时间常数为5，放大系数为10，纯滞后时间为2 ，试写出描述该对象特性的一阶微分方程式。
无滞后 有滞后 一阶微分方程式：
dy(t 2) 5 y(t 2) 10 x(t ) dt
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
第二章系统可靠性模型-4
2§2—6 n 中取k 的表决系统的可靠性模型一、定义和特点n中取k表决系统分两类：n中取k好系统k/n [G]；n中取k 坏系统k/n [F]。
1. 定义：k/n[G]：组成系统的n个单元中有k个或k个以上完好，系统才能正常工作的系统称之。
k/n[F]：组成系统的n个单元中有k个或k个以上失效，系统就不能正常工作的系统称之。
3R s 串联< R s < R s 并联n / n [G ]为n 个单元组成的串联系统；1 / n [G ]为n 个单元组成的并联系统。
（2）k / n [G ] 系统的可靠性R S条件：三种系统均由可靠性相同的相同数目的单元组成。
（3）表决系统是由功能需要建立的——如计算机软件2.特点：（1）k /n [G ] = (n -k +1)/n [F ]；4二、可靠性框图（k/ n[G] 系统的）见图2—26265三、数学模型(以2／3［G］为例)1. 2 / 3 [G]系统其可靠性框图见2—272761()R t 2()R t 3()R t 123,,A A A 设系统处于正常工作的事件为A s ，每个单元的可靠性分别为、、，各单元处于正常工作的事件分别为。
根据2/3[G]的定义有123123123123'''s A A A A A A A A A A A A A =U U U 根据该公式求出该系统的及MTBF 。
()s R t 当各单元的寿命分布均为指数分布时，求系统和MTBF的公式。
()it i R t e λ−=()s R t 2. 数学模型7(1) 可靠度)()()()()()( )()()()()()()(321321321321t R t R t F t R t F t R t F t R t R t R t R t R t R S +++=将代入上式得：)(1)(,)(t R t F et R i i t i i −==−λ[][][]tt t t t t t t t t t S e e e e e e e ee e et R )()()()()()()()(3213132211322313213212 11 1)(λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ++−+−+−+−−+−−+−−+−++−−++=−+−+−+=∵各单元寿命为指数分布：10例2—5 设每个单元的可靠度，且，求t =100h 时：（1）一个单元的系统；（2）二单元串联系统；（3）二单元并联系统；（4）2/3 [G]表决系统的。
经济数学建模PPT课件
第二章 微分方程与差分方程模型
经济数学模型
模型一 利率模型
经济数学模型
设年利率为r,初始资金量为S0,n年后资金量为Sn
一、单利模型
n年后的本利和为
Sn S（ 01nr）
二、复利模型
1、离散型复利模型 每年结算一次，n年后的本利和为
Sn S（ 0 1r） n
每年结算m次，n年后的本利和为
c1
t2 1
2c2t1
2c32
c1~烧毁单位面积损失费, c2~每个队员单位时间灭火费, c3~每个队员一次性费用, t1~开始救火时刻,
~火势蔓延速度, ~每个队员平均灭火速度.
c1, c 2 t1, x
c3 , x
模型 应用
c1,c2,c3已知, t1可估计, ,可设置一系列数值
求 t 使Q(t)最大 t 4r40g2 =10 rg
Q(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元
经济数学模型
敏感性分析
t 4r40g2 rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 设g=0.1不变
t40r60, r1.5 r
t 对r 的（相对）敏感度
经济数学模型
1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度）
2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）
3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3
火势以失火点为中心，
均匀向四周呈圆形蔓延，
2
2t12 2(x)
假设3）4） f 1 ( x ) c 1 B ( t 2 )f , 2 ( x ) c 2 x ( t 2 t 1 ) c 3 x 目标函数——总费用 C (x)f1(x)f2(x)
第二章 (4) 弹性不稳定渗流
r2 即 0.01 时， 23 式 简 化 为 ： 4æt Q 2.25æ t Po P ( r , t ) Ln 4Kh r2
25
4-2 无限大地层弹性不稳定渗流数学模型典型解
P C 2e
'
Lnu 1 u
C2为常数,即:
e u C2 u
16
dP eu C2 du u
17
4-2 无限大地层弹性不稳定渗流数学模型典型解
又有达西公式:
u r r 2æ t
r2 u 4æ t
Q P dP u dP r 2 dP r r 2u 2Kh r du r du 2 æ t du
Q ( x x0) 2 ( y y0) 2 [ Ei ( )] 井点（x0,y0）：Po P(r , t ) 4Kh 4 æt
4-2 无限大地层弹性不稳定渗流数学模型典型解
（5）u>0.01时：－Ei(-u)可查数学手册幂积分函数表（附表）。 又已知幂积分函数可展开为无穷级数：
（6）对于井底 r = Rw, 则一般
Rw 2 0.01 4æt
几秒钟即满足近似条件，则井底压力随时间的变化规律为：
Q 2.25æ t Po Pw(t ) Ln 2 4Kh Rw
26
4-2 无限大地层弹性不稳定渗流数学模型典型解
例：在一较大的新油田上，有一完善井，地下恒定流量为100m3 /d
T(天) ΔPw
0 0
0.25 0.5 5.67 5.93
1
2
3
4
5
25
数学模型复习-第4章离散优化模型
第4章离散优化模型【内容总结与思考】§1数学规划（最优化模型）概述。
规划模型（最优化模型）的三要素:决策（设计，控制）变量,约束条件和目标函数,最优化模型就是在满足约束条件的集合中（可行集）求目标函数的最优值。
按目标函数分分为多目标规划和单目标规划。
单目标规划模型的一般形式：max （min） Z = f（x）,x = （x{,x2,...,x n）Ts.t.（x） < 0, i = 1.2,...m线性规划:目标函数和约束条件都是线性的称为线性规划。
不是线性规划统称为非线性规划。
二次规划:目标函数是二次的，约束条件是线性的称为二次规划。
整数规划:决策变量均取整数值的规划称为整数规划。
部分决策变量取整数，其它取实数则称为混合整数规划。
只取0,1 的变量称为0-1变量。
实际问题建模（生产计划•线性规划）。
建模.软件计算，结果分析:对偶价格。
敏感性分析结果应用：系数变化范围（目标函数系数,约束右端项系数）例题1最优化模型的三姜素为（）■最优化问题就规划问题,整数规划是（)o§1生产计划建模:决策变量为目标为利润（费用），约束为生产要素限制，一般为线性规划。
例题1 一般的生产规划模型的目标函数是（），决策变量是（）,约束条件为（）。
其一般模型为（）§2运输问题建模（自来水输运与装机）lo 一般运输问题建模。
第，个供应点（源）第丿个需求点（汇）的量为®,则模型为m nmin（ max）i=l j=ln m ms.t. 2L x u -a i»Z x ij -lb j^x ij - ub j»j=l i=l i=l目标为费用最小（或利润最大），约束包括两类，供应约束（源点,始点）需求约束（终点•汇）。
一般运输问题的数据表结构:利润表+右边表示供应点的数据+底边表示各需求点的数据。
2O运输问题编程「水库送水问题Idefine set and variable;sets: gong/1..3/:a;xu/1..4/:bl f bu;link(gon g f xu):x f c;en dsets•evaluate to known variable;data:a=100,120,100;bl 二30,70,10,10;bu=80,140,30,50;c 二290,320,230,280,310,320,260,300,260,250,220,-1000;enddatamax=@sum(link(i,j):c(ij)*x(ij));@for(gong(i):@sum(xu(j):x(ij))<=a(i)); @for(xu(j):@sum(gong(i):x(ij))>=bl(j)); @for(xu(j):@sum(gong(i):x(ij))<=bu(j)); end例题1 一般运输问题的模型( 厂目标函数的形式为( )，约束条件是( )例题2 Lingo编程中重要的三部分是:set段，data段，和砂段。
第二章自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型本章要点系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。
本章主要介绍从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。
内容包括系统微分方程的建立步骤、传递函数的定义与性质、系统框图的建立、等效变换及化简、系统各种传递函数的求取以及典型环节的数学模型。
为了对自动控制系统性能进行深入的分析和设计，须定量计算系统的动、静态性能指标。
而要完成此项任务，就必须掌握其变化规律，用一个反映其运动状态的数学表达式描述系统的动态过程。
这种描述系统各变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。
系统数学模型的建立主要有解析法和实验法。
解析法是从系统元件所遵循的一些基本规律出发去推导系统的数学模型。
如果不了解系统的结构和运动规律，则应采用实验法建立数学模型，即在系统的输入端加上测试信号，在根据测试出的输出响应信号建立其数学模型。
系统的数学模型有多种，经典控制理论中常用的数学模型有：微分方程（时域数学模型）、传递函数（复域数学模型）、频率特性（频域数学模型）和动态结构图(几何模型)。
第一节系统的微分方程微分方程是描述系统的输入量和输出量之间关系最直接的方法。
当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切描述系统的运动过程。
一、系统微分方程的建立步骤1．根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，确定系统的输入量和输出量。
2．从输入端开始，根据各环节所遵循的运动规律，依次列写微分方程。
联立方程，消去中间变量，求取一个只包含系统输入量和输出量的微分方程。
3．将方程整理成标准形式。
即把含输出量的各项放在方程的左边，把含输入量的各项放在方程的右边，方程两边各导数按降幂排列，并将有关系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。
二、举例说明例2-1求图2-1所示RC网络的微分方程。
解：由图可知，输入量为u i(t) , 输出量为u o(t) ，根据电路遵循的基尔霍夫电压定律，有dtt du Ct i t u R t i t u o o i )()()()()(=+=消去上式中的中间变量i(t) ，得)()()(t u dtt du RCt u o o i += 整理得 ()()()o o i du t RCu t u t dt+= 例2-2 求直流电动机的微分方程。
机械工程控制基础-系统数学模型
由于：
d 1 A ( H 0 H ) H0 H qi 0 qi dt 2 H0
阻尼
v1 ( t ) x1(t) fC (t)
C
v2 ( t ) x2(t) fC(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv (t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C 6 dt
机械平移系统
E Ri
12
电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
电阻 i( t)
R
u ( t) 电容 i( t)
C u ( t)
u(t ) Ri(t )
1 u (t ) i (t )dt C du (t ) i (t ) C Cu dt
13
电感 i( t) L u ( t) R-L-C无源电路网络
消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列
3、 控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
4
质量
fm(t)
m
x (t) v (t) 参考点
2
d d f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) mx dt dt
21
液位系统
A：箱体截面积；
：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决 定的系数，通流面积不变时，为常数。
d A H (t ) H (t ) qi (t ) dt
上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为 非线性系统。
线性系统微分方程的一般形式
第第二章 控制系统的数学模型
1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]
6.第二章 被控对象的数学模型
第二章被控对象的数学模型主要研究内容：⏹化工过程的特点及其描述方法⏹对象数学模型的建立（建模）•建模目的•机理建模•实验建模⏹描述对象特性的参数•放大系数Κ•时间常数Τ•滞后时间τ第二章被控对象的数学模型⏹控制效果取决于控制对象（内因）和控制系统（外因）两个方面。
外因只有通过内因起作用，内因是最终效果的决定因素。
⏹设计控制系统的前提是：正确掌握工艺系统、控制作用（输入）与控制结果（输出）之间的关系——对象的特性。
自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控制器和执行器组成。
研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。
建立对象特性的数学描述就称为建立对象的数学模型（建模）。
第二章被控对象的数学模型对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型。
静态数学模型动态数学模型基础特例对象在稳定时(静态)输入与输出关系；在输入量改变以后输出量跟随变化的规律；•比较与区别：动态数学模型是更精确的模型，静态数学模型是动态数学模型在对象达到平衡时的特例。
一、化工对象的特点⏹被控对象常见种类：换热器、锅炉、精馏塔、化学反应器、贮液槽罐、加热炉等⏹1. 对控制质量影响程度相差大（内因决定外因）；⏹2. 类型繁多，特性相差悬殊；⏹3. 非线性、分布参数较多；第二章被控对象的数学模型§2.1 化工对象的特点及其描述方法二、对象特性定义⏹对象特性，即过程特性：指被控过程输入量发生变化时，过程输出量的变化规律。
⏹输入量：干扰作用、控制作用。
⏹输出量：被控参数。
⏹数学建模——就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。
⏹通道：被控过程的输入量与输出量间的信号联系。
⏹控制通道-----操纵变量至被控变量的信号联系.⏹扰动通道-----扰动变量至被控变量的信号联系.被控变量(输出量)扰动变量（输入量）操纵变量（输入量）数学模型的描述方法：1. 非参量模型：用曲线、数据图表表示的系统输入与输出量之间的关系；非参量模型可以通过记录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到，它的特点是形象、清晰，比较容易看出其定性的特征。
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M (s ) = 0 的根 s = − zi 称为传递函数的零点
D(s ) = 0 的根 s = − pi 称为传递函数的极点
极点为系统的特征根
第2章 数学模型 章 系统零、极点的特点
2.3 传递函数
零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数 零、极点可为实数（包括零）或复数。若为复 数，必共轭成对出现
典型环节的分类及导出
环节： 确定的信息传递关系的元件、元件组 或元件的一部分，经常遇到的环节称 为典型环节 物理本质和工作原理不同的元件可以有完全 相同的数学模型，既可视为同一类环节
第2章 数学模型 章 举例
z1
ni (t ) ui (t )
2.3 传递函数
R2
R1
− +
uo (t )
齿轮传动副
z2
第2章 数学模型 章
2.3 传递函数
例：质量—弹簧—阻尼系统的传递函数 数学模型
d2 d m 2 xo (t ) + B xo (t ) + Kxo (t ) = f i (t ) dt dt
ms 2 X o (s ) + BsX o (s ) + KX o (s ) = Fi (s )
G (s ) = X o (s ) 1 = 2 Fi (s ) ms + Bs + K 1 Fi (s ) 2 ms + Bs + K
v d e j =1 k =1 2 k 2
e b0 b 1 c 1 d K = Π Π 2 Π T j Π Tk2 a0 i =1 τ i L=1 τ L j =1 k =1
2 K Π (τ i s + 1) Π1(τ L s 2 + 2ζ Lτ L s + 1) i =1 L= b c
系统的放大系数
−
拉氏变换
− X o (s ) b0 s m + b1s m 1 + … bm−1 s + bm 传递函数 = G (s ) = (s ) a0 s n + a1s n−1 + … an−1s + an Xi 零初始条件) (零初始条件)
(n ≥ m )
第2章 数学模型 章
系统的特征方程 令
2.3 传递函数
b + 2c = m
v + d + 2e = n
第2章 数学模型 章
2.3 传递函数
把对应于实数零点 zi 和实数极点 − p j 的 因式作数学变换
s + zi = 1
τi
(τ i s + 1)
1 τi = zi
1 s + p j = (T j s + 1) Tj Tj = 1 pj
其中
第2章 数学模型 章
第2章 数学模型 章
jω
2.3 传递函数
零、极点分布图
×
2 1
[s ]
−3
×
σ
−2
−1
×
1 −1 −2
2
s+2 G(s)=——————— (s+3)(s2+2s+2)
第2章 数学模型 章
2.3 传递函数
典型环节的分类及举例 典型环节的分类及导出 典型环节举例
第2章 数学模型 章
2.3 传递函数
第2章 数学模型 章
传递函数的优点 传递函数的概念 传递函数的一般形式 系统的特征方程 典型环节的分类及举例
2.3 传递函数
1
第2章 数学模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 章
2.3 传递函数
传递函数的优点
免去求解微分方程的麻烦 间接地分析系统结构及参数与系统性 能的关系
第2章 数学模型 章
2.3 传递函数
传递函数的概念
对于线性定常系统， 零初始条件下 对于线性定常系统，在零初始条件下，系 线性定常系统 统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的 拉氏变换之比
no (t )
运算放大器
第2章 数学模型 章 环节的分类及导出
2.3 传递函数
线性定常系统传递函数的零极点形式
b0 (s + z1 )(s + z 2 ) …(s + z m ) G (s ) = a0 (s + p1 )(s + p2 ) … (s + pn ) n≥m
假设系统有b个实数零点，c对复数零点；d 个实数极点，e对复数极点和v个零极点，则
2.3 传递函数
把对应于共轭复数零点的因式变换成如下形式
(s + z L )(s + z L+1 ) =
式中
τL =
1 z L z L+1
1
2 τL
(τ
2 L
s 2 + 2ζ Lτ L s + 1)
ζL =
z L + z L+1 2 z L z L+1
第2章 数学模型 章
2.3 传递函数
把对应于共轭复数极点的因式变换成如下形式
拉氏变换 传递函数 输出量
X o (s ) = G (s )Fi (s ) =
拉氏变换
第2章 数学模型 章 传递函数的特点
2.3 传递函数
1 X o (s ) = G (s )Fi (s ) = Fi (s ) 2 ms + Bs + K
传递函数是复数s域中的数学模型，仅取决于 系统本身的结构及参数，而与输入的形式无关。 传递函数只适用于线性定常系统，表征了系统 本身的动态本质；即拉氏变换作为一种线性变 换，不会改变所描述的系统的动态性能。
第2章 数学模型 章
比例环节 分 子 系 统 传 函 分 母 一阶微分环节 二阶微分环节
2.3 传递函数
K
τs + 1
τ 2 s 2 + 2ζτs + 1
1 s
1 T 2 s 2 + 2ζTs + 1
积分环节 惯性环节 振荡环节
1 Ts + 1
第2章 数学模型 章 延迟环节
2.3 传递函数
延迟系统
(s + pk )(s + pk +1 ) =
式中
ΤK =
1 pk pk +1
1 2 2 (Tk s + 2ζ kTk s + 1) 2 Tk
pk + pk +1 2 pk pk +1
ζk =
第2章 数学模型 章
2.3 传递函数
传递函数的一般形式可以写成
G (s ) =
式中
s Π (T j s + 1) Π (T s + 2ζ k Tk s + 1)
延迟环节
e −τ s
延迟函数
g (t − τ )
拉氏变换
G (s )e −τs
第2章 数学模型 章
2.3 传递函数
传递函数是通过系统的输入量与输出量之间 的关系来描述系统故有特性的，即以系统的 外部特性来揭示系统的内部特性。 只适合于单输入单输出系统，且无法反映系 统内部中间变量的变化情况。 传递函数原则上不能反映系统在非零初始 条件下的全部运动规律。
第2章 数学模型 章
m m− M (s ) = b0 s + b1 s 1 + … bm−1 s + bm − D(s ) = a0 s n + a1 s n 1 + … an−1s + an
则
X o (s ) M ( s ) G (s ) = = X i (s ) D ( s )
其中 D( s ) = 0 称为系统的特征方程。 其根称为系统特征根 特征方程决定系统的稳定性
第2章 数学模型 章
2.3 传递函数
系统的零点、极点 (s ) b0 s m + b1 s m −1 + … bm −1 s + bm Xo = 传递函数 G (s ) = n n −1 X i (s ) a0 s + a1 s + … an −1 s + an
分子分母分解因式 b0 (s + z1 )(s + z 2 )… (s + z m ) M (s ) = G (s ) = …( + a0 (s + p1 )(s + p2 ) s pn ) D(s )
线性定常系统传递函数的一般形式
控制系统一 般微分方程 模型) (模型)
2.3 传递函数
d n 1 x0 … dx d n x0 + a1 n−1 + an−1 0 + an x0 (t ) a0 n dt dt dt − d m xi d m 1 xi … dxi = b0 m + b1 m−1 + bn−1 + bn xi (t ) dt dt dt