高考调研数学8-2
2023年江苏省八市高考数学二调试卷+答案解析(附后)
2023年江苏省八市南通﹑泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城高考数学二调试卷1. 若M ，N 是U 的非空子集，，则( )A. B.C. D.2. 若，则( )A. B.C.D.3. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为( )A. 60B. 80C. 100D. 1204. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧.若在B ，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为( )A. B. C.D.5. 在平行四边形ABCD 中，，若，则( )A. B. C.D.6. 记函数的最小正周期为若，且，则( )A.B.C.D.7. 已知函数的定义域为R ，是偶函数，是奇函数，则的最小值为( )A. eB. C. D. 2e8. 已知，分别是双曲线C ：的左、右焦点，点P 在双曲线上，，圆O ：，直线与圆O 相交于A ，B 两点，直线与圆O 相交于M ，N 两点，若四边形AMBN 的面积为，则C 的离心率为( )A. B. C. D.9. 已知甲种杂交水稻近五年的产量单位：数据为：，，，，，乙种杂交水稻近五年的产量单位：数据为：，，，，，则( )A. 甲种的样本极差小于乙种的样本极差B. 甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C. 甲种的样本方差大于乙种的样本方差D. 甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数10.已知数列的前n 项和为，，若，则k 可能为( )A. 4B. 8C. 9D. 1211. 如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，若将正三棱锥绕BC 旋转，使得点A ，P 分别旋转至点，处，且，B ，C ，D 四点共面，点，D 分别位于BC 两侧，则( )A.B.平面C. 多面体的外接球的表面积为D. 点A ，P 旋转运动的轨迹长相等12. 已知，，则( )A.B. C. D.13. 已知点P 在抛物线C ：上，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H ，点F为C 的焦点.若，点P 的横坐标为1，则______ .14. 过点作曲线的切线，写出一条切线的方程______ .15. 已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为，下边长为1m ，且下边距地面若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为，则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为______16. “完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数：，为n 的所有正因数之和，如，则______ ；______ .17. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知若，求；若，求的面积.18. 已知正项数列的前n 项和为，且，，求；在数列的每相邻两项，之间依次插入，，…，，得到数列：，，，，，，，，，，…，求的前100项和.19. 如图，在圆台中，，AB 分别为上、下底面直径，且，，为异于，的一条母线.若M 为AC 的中点，证明：平面；若，，，求二面角的正弦值.20. 我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量单位：与遥测雨量单位：的关系，统计得到该地区10组雨量数据如表：样本号i 12345678910人工测雨量xi遥测雨量yi并计算得求该地区汛期遥测雨量y 与人工测雨量x 的样本相关系数精确到，并判断它们是否具有线性相关关系；规定：数组满足为“Ⅰ类误差”；满足为“Ⅱ类误差”；满足为“Ⅲ类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望.附：相关系数21. 已知椭圆的离心率为，焦距为2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A、B两点，与直线相交于点若，求证：；过点F作直线l的垂线m与E相交于C、D两点，与直线相交于点求的最大值.22. 已知函数若，，求实数a的取值范围；设，是函数的两个极值点，证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为，所以，A正确，B错误；因为M，N是U的非空子集，所以，，C，D错误．故选：根据集合交集的运算性质可得集合的包含关系即可一一判断．本题主要考查集合的交集和补集运算，集合的包含关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：故选：根据复数的四则运算，计算即可．本题考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：当时，，解得，则的展开式第项，令，解得，所以故选：根据各项系数和求出n，再由二项展开式通项公式求解即可．本题主要考查二项式定理，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：如图，设球的半径为R，则，，，，故选：根据三角函数可得，利用，求解R即可．本题考查解三角形问题，数形结合思想，化归转化思想，方程思想，属中档题．5.【答案】D【解析】解：由题意可得，所以，，所以，故选：利用平面向量的四则运算求及平面向量基本定理出m，n即可．本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据最小正周期，可得，解得；又，即是函数的一条对称轴，所以，，解得，又，当时，故选：由最小正周期可得，再由即可得，即可求得本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：因为函数为偶函数，则，即，①又因为函数为奇函数，则，即，②联立①②可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为故选：利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值．本题主要考查了函数的奇偶性，考查了基本不等式的应用，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：根据对称性，不放设点P在左支上，设圆心O到弦AB的距离为m，圆心O到弦MN的距离为n，则根据题意可得：，，，，又易知圆O的半径的平方为：，根据题意知四边形AMBN的面积为：，，，，，双曲线C的离心率故答案为：根据对称性，不放设点P在左支上，设圆心O到弦AB的距离为m，圆心O到弦MN的距离为n，则根据题意可得，从而可得，又易知圆O的半径的平方为：，从而可得四边形AMBN的面积为：，从而可根据题意建立方程，最后再化归转化，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，圆的弦长公式的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．9.【答案】ABD【解析】解：对A，，，故A对；对B，，，故B对；对C，因为甲、乙平均值都为10，所以，，显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误；对D，为整数，故甲的60百分位数，乙的60百分位数为，故D对．故选：根据极差判断A，计算平均数判断B，计算方差判断C，分别计算甲乙的样本60百分位数判断本题主要考查了平均数、极差、方差和百分位数的计算，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：，当时，由，解得或舍去，所以A正确；，，，所以B错误；，所以C正确；，所以，所以D错误．故选：根据已知条件列方程，从而求得k的值．本题主要考查数列的求和，考查运算求解能力，属于基础题．11.【答案】BC【解析】解：正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，，则正三棱锥中侧棱两两互相垂直，正三棱锥中侧棱两两互相垂直，则正三棱锥可以放到正方体中，当点A，P分别旋转至点，处，且，B，C，D四点共面，点，D分别位于BC两侧时，如图所示，连接，，如图所示，正方体中且，四边形为平行四边形，则有，为等边三角形，则与PC夹角为，，则与PC夹角为，选项A错误；，平面，平面，平面，选项B正确；多面体的外接球即棱长为的正方体的外接球，外接球的半径为，表面积为，选项C正确；点A，P旋转角度相同，但旋转半径不同，所以运动的轨迹长不相等，选项D错误．故选：由已知可得，正三棱锥侧棱两两互相垂直，放到正方体中，借助正方体研究线面位置关系和外接球表面积．本题考查正三棱锥的结构特征，解题的关键在于作出旋转后的图形，根据图形研究相关的性质，而正三棱锥中侧棱两两互相垂直，图形放到正方体中，又使判断线面位置关系和运算变得更简便．12.【答案】ABD【解析】解：由，可得，，，，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，由知，，，A 正确；由可得，可得时取等号，因为，所以，，，B 正确；时，，则，，，C 错误；，，令，则，，，设，，则，在单调递增，，，故D 正确．故选：证明，放缩可判断A ，由，放缩可判断B ，先证出，再放缩，根据再放缩即可判断C ，可得，令，转化为，构造，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．13.【答案】【解析】解：如图所示：不妨设点P在第一象限，联立，整理得，即，由题意得轴，则轴，则，直线PF的倾斜角为，又焦点，则，整理得，且，故，，即，，解得或不合题意，舍去；故答案为：不妨设点P在第一象限，可得点，则直线PF的倾斜角为，利用直线的斜率公式可得出关于p的等式，求解即可得出答案．本题考查抛物线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．14.【答案】答案不唯一【解析】解：，，设切点坐标为，则切线斜率为，得方程，代入点，得，即，解得或，当时，切线方程为；当时，切线方程为故答案为：答案不唯一设切点坐标，利用导数求切线斜率，代入点求出未知数即可得到切线方程．本题主要考查了利用导数求曲线上某点处的切线方程，属于中档题．15.【答案】【解析】解：因为窗户下边长1m，所以留在底面上影子矩形的长为1m，又影子矩形的面积为，所以矩形的宽为，设影子矩形靠近墙的边长到窗户底部墙的距离为x，则，解得，所以窗户与地面影子之间光线所形成的几何体为两个底面为直角三角形，高为1的直三棱柱体积之差，其中大三棱柱底面直角三角形两直角边为，小三棱柱底面直角三角形两直角边长为1m，所以故答案为：根据题意，所得几何体体积为两个直三棱柱体积之差求解即可．本题考查简单几何体的体积计算，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：根据新定义可得，，因为，正因数，，，⋯，，，，，⋯，，⋯，，，，⋯，，所以故答案为：42；根据为n的所有正因数之和，直接计算，分析的正因数的特点，利用等比数列求和求解．本题主要考查归纳推理的应用，属于基础题．17.【答案】解：在中，，则，，，即①，又②，联立①②得，即，又，，由①得，；，在中，由正弦定理得，又，则，的面积为【解析】根据题意和两角差的正弦公式可得，结合和角的范围，求解即可得出答案；由正弦定理可得，则，结合三角形面积公式，求解即可得出答案．本题考查解三角形，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：因为，当时，，因为，所以，故当时，适合上式，所以，方法因为，，所以当时，所以所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，设，则，因为，所以所以的前100项是由14个1与86个2组成．所以方法设，则，因为，所以根据数列的定义，知…【解析】根据，的关系，即可求解，根据的形成规律，分组即可求解．本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：如图，连接因为在圆台中，上、下底面直径分别为，AB，且，所以，，为圆台母线且交于一点P，所以A，，，C四点共面．在圆台中，平面平面，由平面平面，平面平面，得又，，所以，所以，即为PC中点．在中，又M为AC的中点，所以因为平面，平面，所以平面；以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为，所以则因为，所以所以，所以设平面的法向量为，所以，令，则，所以，又，设平面的法向量为，所以，令，则，所以，所以设二面角的大小为，则，所以所以二面角的正弦值为【解析】如图根据题意和圆台的结构可知平面平面，有面面平行的性质可得，根据相似三角形的性质可得为PC中点，则，结合线面平行的判定定理即可证明；建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面、平面的法向量，结合空间向量数量积的定义和同角的三角函数关系计算即可求解．本题考查线面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．20.【答案】解：因为，代入已知数据，得所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系；依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“Ⅲ类误差”有2组，若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数X的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以X的概率分布为：X0123P所以X的数学期望另解：因为，所以【解析】根据公式求出样本相关系数，由数据判断线性相关关系的强弱；由X的所有可能取值，计算相应的概率，得到分布列，再求数学期望．本题考查相关系数的求解，离散型随机变量的分布列与期望的求解，化归转化思想，属中档题．21.【答案】解：证明：设、，因为椭圆E的焦距为2，所以，解得又因为椭圆E的离心率，所以，所以，所以椭圆E的方程为因为直线l经过、，，所以，直线l的方程为，设点、，联立可得，由，得，所以，，因此，若直线l、m中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意，所以，直线l的斜率存在且不为零，设直线l方程为，则直线m方程为，其中联立，可得，设、，则，由韦达定理可得，，易知且，将代入直线l的方程可得，即点，所以，同理可得，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为【解析】根据已知条件求出直线l的方程，将直线l的方程与椭圆E的方程联立，求出点A、B的横坐标，再利用弦长公式可证得成立；分析可知直线l的斜率存在且不为零，设直线l方程为，则直线m方程为，其中，将直线l的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出的表达式，同理可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值．本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：由于，若，，则须有，又，，解得，当时，在上单调递增，，当时，由于，存在使得在上，，单调递减，此时，不成立，综上所述：实数a的取值范围为；证明：由得，当时，，在上单调递减，不成立，当时，，①当，即，，单调递增，不成立，②当，即，，解得或，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，不妨设，则，要证明：，故只需证，只需证，需证，令，则只需证，由知，时，，时，，则，又时，，，即成立，故原式得证．【解析】由已知可得，可得，当时，可得，当时，分析可得不成立；，分，两种情况，当，即，，解得或，只需证，令，则只需证，由可证结论成立．本题考查函数的导数的综合应用，考查构造函数法的应用，考查运算求解能力，属难题．。
湖北省武汉市部分学校新度高三数学8月起点调研测试试题理(含解析)
武汉市部分 学校新 高三8月起点调研测试理科数学本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}{}24,0A y y x B x x x A B ==≤≤=->⋂=，则A.(]()12-∞⋃+∞，，B. ()()012-∞⋃，，C.∅D. (]12，2.已知复数121234,,z i z t i z z =+=+⋅且是实数，则实数t 等于 A.34B.43C. 43-D. 34-3.已知命题()2:,log 310xp x R ∃∈+≤，则 A.p 是假命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+≤ B. p 是假命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+> C. p 是真命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+≤ D. p 是真命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+>4.一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为．．．．①长方形；②正方形；③圆；④椭圆. 中的A.①②B.②③C.③④D.①④5.已知x ，y 满足22y x x y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是A.34 B.14C. 211D.46.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S 为 A.1008 B.2015C.1007D. 1007- 7.已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是8.已知函数()22,1,22,1,x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是A. ()(),20,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. ()2,0-D. (][),10,-∞-⋃+∞9.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 在线段AC 上，AD=k AC （k 为常数，且01k <<），BD=l 为定长，则△ABC 的面积最大值为A. 221l k -B. 21l k -C. ()2221l k -D.()221lk - 10.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是 A. a c b << B. b c a << C. a b c << D. c a b <<第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若双曲线()2222103x y a a -=>的离心率为2，则a =________.12.设随机变量()()()2~,1=2=0.3N P P ξμσξξ<->，且，则()20=P ξ-<<______.13.如右图，在ABC ∆中，若313=2AB AC AB AC BC ===uu u r uuu r g ，，，则_. 14.学校体育组新买2个同样篮球，3个同样排球，从中取出4个发放给高一4个班，每班1个，则共有______种不同的发放方法.15.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）已知函数())22sin cos cos 0,0f x a x x x a ωωωω=+>>的最大值为2，且最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的解析式及其对称轴方程； （II ）若()4,sin 436fπαα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求的值.17. （本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ∆∆与是边长为2的等边三角形，BE=2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上. （I ）求证：DE//平面ABC ；（II ）求二面角E BC A --的余弦值.18. （本小题满分12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”.（I ）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率； （II ）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人， 记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数，为偶数.（I ）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（II ）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n .20. （本小题满分13分） 已知函数()()()cos ,2xf x xg x e f x π⎛⎫'=-=⋅ ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数. （I ）求曲线()y g x =在点()()0,0g 处的切线方程； （II ）若对任意,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()g x x f x m ≥⋅+恒成立，求实数m 的取值范围；（III ）试探究当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()()g x x f x =⋅的解的个数，并说明理由.21. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其中12,F F 为左、右焦点，O 为坐标原点.直线l 与椭圆交于()()1122,,,P x y Q x y 两个不同点.当直线l 过椭圆C 右焦点F 2且倾斜角为4π时，原点O 到直线l.又椭圆上的点到焦点F 21. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）以OP ，OQ 为邻边做平行四边形OQNP ，当平行四边形OQNPOQNP 的对角线之积ON PQ ⋅的最大值；（III ）若抛物线()22220C y px p F =>：以为焦点，在抛物线C 2上任取一点S （S 不是原点O ），以OS 为直径作圆，交抛物线C 2于另一点R ，求该圆面积最小时点S 的坐标.2015-2016 学年度武汉市部分学校新高三8月起点调研测试 理科数学参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. DABBB DADCA 1.解析: 答案D ，{}[0,2],|01,(1,2]A B x x x A B ==<>∴⋂=或.故选D.2.解析: 答案A ,求出z 1·2z 的虚部，令其为0. ∵复数z 1=3+4i ，z 2=t +i ， ∴z 1•2z =（3t +4）+（4t ﹣3）i ，∵z 1•2z 是实数，∴4t ﹣3=0，∴t =34.故选A. 3.解析: 答案B ,由2log (31)0x +≤ 得311x+≤即30x≤,显然无解，所以p 是假命题，又由含量词命题的否定易得⌝p ：R x ∀∈,2log (31)0x +>.故选B.4.解析：答案B ，若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立.5.解析: 答案B ，先画出x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如右图：由2y xx y =⎧⎨+=⎩，得B (1，1)，由x a y x =⎧⎨=⎩，得C (a ，a )，当直线2z x y=+过点B (1，1)时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点C (a ，a )时，目标函数2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以a =14，故选B.6.解析：答案D ，由程序框图可知123201320141007(1)1007S =-+-+-=⨯-=-.所以选D.7.解析：答案A ，本题可用排除法，∵f （x ）=14x 2+sin(π2+x )，∴()f x '=12x +cos(π2+x )= 12x ﹣sin x ．∴函数()f x '为奇函数，故B 、D 错误；又ππ()1024f '=-<，故C 错误；故选A ．8.解析:答案D ,当1a ≤-时，2()22af a -=≥，解得12a ≤-，此时1a ≤-；当1a >-时，()222f a a =+≥，解得0a ≥，此时0a ≥.故实数a的取值范围是(,1][0,)-∞-+∞．故选D．9. 解析: 答案 C，如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设(),,0A x y y>，AB AC=，AD kAC kAB∴==，即22A D k A B=，222x l y k x y∴-+=+（）（），整理得：()()22222222222221221111k x lx l l l k ly x xk k k k--+-==-+-≤----，即m a x21klyk=-，BD l=，∴()()()2max max2121ABC ABDlS Sk k==-.故选C.10. 解析: 答案 A，利用条件构造函数h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x ＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=12f（12）=h （12），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln12）f（ln12）=h（ln12）=h（﹣ln2）=h （ln2），又2＞ln2＞12，∴b＞c＞a．故选A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.; 14. 10 ； 15.(2π2+.11.，由题意知e= =2，（a＞0），由此可以求出a12.解析：答案 0.2 ，因为(1)(1)P Pξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y轴对称，又因为(2)0.3Pξ>=，所以(20)Pξ-<<=120.30.22-⨯=.13.解析：答案BC=，因为,60AB AC=,所以2213213cos60BC=+-⨯⨯⨯=7.14.解析：答案 10，分1个篮球3个排球和2个篮球2个排球两种情况.124410C C+=.15.解析：答案(2π2+，每次转动一个边长时，圆心角转过60°，正方形有4边，所以需要转动12次，回到起点.在这11次中，半径为1的63次，半径为0的 2次，点A 走过的路径的长度=121612π⨯⨯⨯+12312π⨯=(22π． 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.解析：（Ⅰ）x x a x f ωω2cos 32sin )(+=)x ωϕ=+, 由题意知：()f x 的周期为π，由2ππ2ω=，知1ω= ………………………………………………………2分由)(x f 最大值为2，故232=+a ，又0>a ，1=∴a ∴π()2sin(2)3f x x =+………………………………………………………………………………………………………4分 令232x k πππ+=+，解得()f x 的对称轴为ππ()122k x k Z =+∈ ……………………………………6分 （Ⅱ）由4()3f α=知π42sin(2)33α+=，即π2sin(2)33α+=，∴ππππsin 4sin 22cos226323ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……………………………………………10分22π2112sin 212339α⎛⎫⎛⎫=-++=-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………12分17.解析：（Ⅰ）证明：由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接,BO DO ，则BO AC ⊥，DO AC ⊥，又∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上， ∴60EBF ∠=︒，易求得∴四边形DEFO 是平行四边形，∴//DE OF ，∴//DE 平面 ABC …………6分（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可知平面ABC 的一 个法向量为1(0,0,1)n =,,(1,0,0)C -,设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =, 则，2200n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可求得(3,n =-分1213,13||||n n n n n n ⋅>==⋅ 又由图知，所求二面角的平面角是锐角， 所以二面角E BC A --的余弦值为分(18)解：（Ⅰ）设i A 表示所取3人中有i 个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A ，则312737013310109849()()()12060C C C P A P A P A C C =+=+==……………6分（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3 , 37343(0)()101000P ξ=== ; 12337441(1)()10101000P C ξ==⋅⋅=;22337189(2)()10101000P C ξ==⋅⋅=; 3327(3)()101000P ξ===.分布列为……………10分3434411892701230.91000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 注：用二项分布直接求解也可以．19．解：（Ⅰ）设232n n b a =-，因为2122122133(21)3223322n n n nn n a n a b b a a +++++--==--=2213(6)(21)3232n n a n n a -++--=2211132332n n a a -=-,所以数列23{}2n a -是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列. ……… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+⎪⎝⎭，由2211(21)3n n a a n -=+-，得1212111533(21)()6232n n n a a n n --=--=-⋅-+， 所以12121111[()()]692()692333n n n n n a a n n --+=-⋅+-+=-⋅-+，21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++++21112[()()]6(12)9333n n n=-+++-++++11[1()](1)332691213n n n n -+=-⋅-⋅+-2211()136()3(1)233n n n n n =--+=--+ (10)分显然当n N *∈时，2{}n S 单调递减，又当1n =时，273S =＞0，当2n =时，489S =-＜0，所以当2n ≥时，2n S ＜0；22122315()36232n n n n S S a n n -=-=⋅--+，同理，当且仅当1n =时，21n S -＞0，综上，满足n S >的所有正整数n 为1和2．…………………………………………… 12分20.解：（Ⅰ）依题意得，()()sin ,e cos .x f x x g x x ==⋅()00e cos01g ==，()e cos e sin ,x x g x x x '=-(0)1g '=,所以曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线方程为 1y x =+………………………………………4分（Ⅱ）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()min []m g x x f x -⋅≤．设()()()h x g x x f x =-⋅，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．则()()()e cos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+ 因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e 1sin 0x x x x x -+≥≤，所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 10分（Ⅲ）设()()()H x g x x f x =-，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()e (cos sin )sin cos 0x H x x x x x x '=---<，所以函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点，又π4ππππ())0,()04422H e H =->=-<，而且函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． 13分21.解析：（Ⅰ）直线l 的倾斜角为4π，2(,0)F c ，直线l 的方程y x c =-，=，1c =，00(,)T x y 为椭圆C 上任一点， 22TF =2200(1)x y -+=222002(1)(1)(1)x x a a-+--=22021()x a a -≥21)-，0a x a -≤≤,当0x a =时，11a -=，a =b =椭圆C 的方程 22132x y +=..………………………5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而112S x y ==111x y ==, 知ON PQ ⋅=当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，代入22132x y +=可得 2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x kmx m +++-=，0∆>，即2232k m +>,2121222636,2323km m x x x x k k -+=-=++, 12PQ x =-==, d =，11222POQS d PQ ∆=⋅⋅==, 化为222224(32)(32)m k m k +-=+，222222(32)22(32)(2)0k m k m +-++=，422222912412840k k m k m m ++--+=,得到，222(322)0k m +-=,则22322k m +=，满足0∆>,由前知12322x x k m +=-，2121231()222y y x x k k m m m m++=+=-+=， 设M 是ON 与PQ 的交点，则222212122229111()()(3)2242x x y y k OM m m m++=+=+=-, 22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++,22221125(3)(2)4OMPQ m m =-+≤，当且仅当221132m m -=+，即m =时等号成立， 综上可知OM PQ ⋅的最大值为52. ON PQ ⋅=2OM PQ ⋅的最大值为5. ………………………10分（Ⅲ）因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ，所以∠ORS = 90°，即0OR SR ⋅= , 设S （1x ，1y ），R （2x ，2y ），SR ＝（2x -1x ，2y -1y ），OR =（2x ，2y ）,所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-=, 因为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2222256y y =即22y ＝16，y 2＝±4时等号成立. 圆的直径|OS===,因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8时，min OS =所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为（16，±8）..……………………14分。
淮安市高三第二次调研考试数学试题有答案
江苏省淮安市2008—2009学年度高三第二次调研考试数学试题6.若函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在22,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为 . 7.已知一个棱长为6cm 的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5cm 的钢球，则球心到盒底的距离为 cm.8.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T 为 . 9.如图，在△ABC 2CE EB =，则AD ⋅10.如图，已知双曲线以长方形BC=3，则此双曲线的标准方程为11.已知函数f(x)= f 12.如图，半径为 小圆．现将半径为 13.已知数列｛a n n 所有项和为s(2)，第三项及以后所有项和为s(3)，…，第n 项及以后所有项和为s(n)，若s(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当n<m 时，a n = .14.设函数12,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩,方程f(x)＝x+a 有且只有两相不等实数根，则实a 的取值范围为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分14分)已知z ，y 之间的一组数据如下表：x 1 3 6 7 8 y 1 2 3 4 5(1)从x ,y 中各取一个数，求x+y ≥10的概率；T ←1I ←3While I<50T ←T +I I ←I +2 End While Print T 第8题(2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为113y x =+与1122y x =+， 试利用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好.16.(本小题满分14分)如图，四边形ABCD 为矩形，BC 上平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证：AE ⊥BE ；(2)设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点． 求证：MN∥平面DAE ． 17.(本小题满分14分)在直角坐标系xoy 中，若角α的始边为x0).(1)求sin()6πα+的值；(2)若点P ，Q 分别是角α始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标．18.(本小题满分16分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 且与AF 垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF 平行.(1)求椭圆的离心率；(2)设入射光线与右准线的交点为B ，过A ，B ，F 三点的圆恰好与直线3x 一y+3=0相切，求椭圆的方程.19.(本题满分16分)已知函数f(x)=alnx+x 2(a 为实常数).(1)若a=－2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x 值；(3)若存在x ∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x 成立，求实数a 的取值范围. 20.(本小题满分16分)已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩(1)若0＜n a ≤6，求证：0＜1n a +≤6;(2)若a ，k ∈N﹡，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ； (3)若321ma =- (m∈N﹡)，试求数列{}n a 的前4m+2项的和42m s +. 淮安市2008—2009学年度高三第二次调研考试第16题数学附加题21.【选做题】在A 、B 、c 、D 四道题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4一l ：几何证明选讲在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△A MC 的外接圆交BC 于点N ．若AC=12AB ， 求证：BN=2AM ．B.选修4—2：矩阵与变换设a,b ∈R，若矩阵A=01a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦把直线l ：2x+y 一7=0求a,b 的值.C.选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系x0y 内，直线l 的参数方程为22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)．以Ox 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=+.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)判断直线l 和圆C 的位置关系. D ．选修4—5：不等式选讲设x,y,z 为正数，证明：2(x 3+y 3+z 3)≥x 2(y+z)+ y 2(x+z)+ z 2(x+y).【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 是BC 的中点，点E 在D 1C 1上，且D 1E=14D 1C 1, 试求直线EF 与平面D 1AC 所成角的正弦值.23.(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花． ①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本斌卷共2页，包含选做题(第21题中A 、B 、C 、D 四小题)、必做题(第22题、第23题)两部分．本试卷满分40分，考试时间为30分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位；置作答一律无效．4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.第21－A 题ABCDFA 1B 1C 1 ED 1②记花圃中红色鲜花区域的块数为S ，求拿的分布列及其数学期望E(S).淮安市2008～2009学年度高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准必做题部分一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70 分。
河北衡水中学2020届高三第八次调研考试理科数学(含答案解析)
l1,
垂足为
M，若
M
在
双曲线 C 上，则双曲线 C 的离心率为
.
高三数学（理）下八调试题第3页(共 6 页)
高三数学（理）下八调试题第4页(共 6 页)
高三数学（理）下八调试题第5页(共 6 页)
高三数学（理）下八调试题第6页(共 6 页)
2019—2020 学年度高三年级理数下八调答案
3.D
10.B.
A． (1, 2)
B． (1 ， 3 2 ] 4
C．[3 2 , ) 4
D． (2, )
11. 已知数列an 满足： a1 2 ， an1Sn Sn 12 0,n N * ，其中 Sn 为an 的前 n 项
和．若对任意的 n 均有 S1 1S2 1Sn 1 kn 恒成立，则 k 的最大整数值为（ ）
2019—2020 学年度高三年级理数下八调考试
5
高三数学（理）下八调试题第1页(共 6 页)
7. 8. 9.
10.已知双曲线 E : x2 y2 1(a 0,b 0) 的右顶点为 A ，抛物线 C : y2 8ax 的焦点为 F ．若在 E a2 b2
的渐近线上存在点 P ，使得 AP FP ，则 E 的离心率的取值范围是 ( )
=
n +1 n
，
9.
高三数学（理）下八调答案第1页(共 8 页)
高三数学（理）下八调答案第2页(共 8 页)
依题只须 k ((S1 +1)(S2 +1)
n
(Sn
+1)
)min
，令
f
(n)
=
( S1
+ 1) ( S2
+1)
n
高中数学高考调研高中数学-课时作业8-新人教A版选修22
课时作业(八)一、选择题1．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像可能是( )答案 A解析 考查导函数的基本概念及导数的几何意义． ∵导函数f ′(x )是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A. 2．下面的命题中，正确的是( ) A ．可导的奇函数的导函数仍是奇函数 B ．可导的偶函数的导函数仍是偶函数 C ．可导的周期函数的导函数仍是周期函数 D ．可导的单调函数的导函数仍是单调函数 答案 C解析 排除法．对于A ，取y ＝x 3可验证其错误；对于B ，取y ＝x 2可验证其错误；对于D 取y ＝x 3可验证其错误．3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x答案 B4．f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间为( ) A ．(15，＋∞)B ．(－∞，15)C ．(－15，＋∞)D ．(－∞，－15)答案 A5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)答案 B解析 令k ≤0，得x 0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]． 6．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x， 令f ′(x )>0，解得x >2.7．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )答案 A解析 构造函数g (x )＝f x x ，则g ′(x )＝xf ′x －f x x 2≤0，若g (x )＝f xx不是常数函数，故g (x )＝f x x在(0，＋∞)上递减，因0<a <b ，所以g (a )>g (b )，即f a a >f bb，即af (b )<bf (a )． 若g (x )＝f xx是常数函数，则g ′(x )＝0恒成立． 故g (a )＝g (b )，即f a a ＝f bb， 即af (b )＝bf (a )，综上af (b )≤bf (a )． 二、填空题8．函数f (x )＝lg(4x －x 2)的增区间是________． 答案 (0,2)解析 ∵函数的定义域为4x －x 2>0， ∴0<x <4.又∵f ′(x )＝4－2x4x －x 2lg e ，令f ′(x )>0，∴4－2x >0，∴x <2.∴0<x <2，∴增区间为(0,2)．9．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为________．答案 [2，＋∞)解析 ∵y ′＝a －1x ，∴在(12，＋∞)上y ′≥0，即a －1x ≥0，∴a ≥1x .由x >12，得1x <2.要使a ≥1x恒成立，只需a ≥2.10．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________． 答案 a <12解析 ∵f ′(x )＝2a －1x ＋22且函数f (x )在(－2，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )≤0在(－2，＋∞)上恒成立．∴a ≤12.当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去．∴a <12.三、解答题11．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间． 解析 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π， 知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1. 于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22， 得x ＝π，x ＝3π2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，π) π (π，3π2)3π2 (3π2，2π) f ′(x ) ＋ 0－0 ＋ f (x )单调递增π＋2 单调递减3π2单调递增因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)和(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)．12．已知函数f (x )＝ax －ax－2ln x (a ≥0)，若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围．解析 f ′(x )＝a ＋a x2－2x，要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数， 只需f ′(x )在(0，＋∞)内恒大于0或恒小于0. 当a ＝0时，f ′(x )＝－2x<0在(0，＋∞)内恒成立；当a >0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，∴a －1a≥0，解得a ≥1.综上，a 的取值范围为a ≥1或a ＝0. 13．设函数f (x )＝x e kx(k ≠0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)内单调递增，求k 的取值范围． 解析 (1)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx＝0，得x ＝－1k(k ≠0)．若k >0，则当x ∈(－∞，－1k )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(－1k，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．若k <0，则当x ∈(－∞，－1k )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(－1k，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．(2)由(1)知，若k >0，则当且仅当－1k≤－1，即k ≤1时，函数f (x )在(－1,1)内单调递增；若k <0，则当且仅当－1k≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1,1)内单调递增．综上可知，函数f (x )在区间(－1,1)内单调递增时，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]． 14．已知函数f (x )＝x 3－ax －1，(1)是否存在a ，使f (x )的单调减区间是(－1,1)； (2)若f (x )在R 上是增函数，求a 的取值范围． 解析 f ′(x )＝3x 2－a ，(1)∵f (x )的单调减区间是(－1,1)， ∴－1<x <1是f ′(x )<0的解．∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，所以a＝3.(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵y＝3x2在R上的最小值为0.∴a≤0.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高考理科数学第二次调研考试试题2
高考理科数学第二次调研考试试题2一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1、设函数2y x =-的定义域为集合M ，集合N ＝{}2|,y y x x R =∈，则MN =（ ）． A ．∅ B ．N C ．[)0,+∞ D ．M2、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）．A ．12B ．22C ．2D ．323、假如执行的程序框图（右图所示），那么输出的S =（ ）． Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．26524、若曲线22y x =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则切线l 的方程为（ ）．A 、420x y --=B 、490x y +-=C 、034=+-y xD 、034=++y x5、方程))1,0((02∈=++n n x x 有实根的概率为（ ）．A 、21B 、31C 、41D 、436、已知βα,是平面，n m ,是直线，则下列命题中不正确的是（ ）．A 、若m ∥α⊥m n ,，则α⊥nB 、若m ∥n =⋂βαα,，则m ∥nC 、若⊥m βα⊥m ,，则α∥βD 、若⊥m βα⊂m ,，则⊥αβ7、一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案， 如图所示，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20， 若210x ≤≤，记()y f x =，则()y f x =的图象是（ ）．5y y5x1212}yk=10S =k 50?≤2S S k=+1k k =+S输出结束开始是否8、将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原先的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）． A ．cos y x =- B ．sin 4y x =C ．sin()6y x π=-D ．sin y x =第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只运算前两题得分．每小题5分，满分30分．9、已知向量(21,4)c x →=+，(2,3)d x →=-，若//c d →→，则实数x 的值等于 ． 10、已知3,,sin 25πθπθ⎛⎫∈=⎪⎝⎭，则tan θ= ．11、i 是虚数单位，则=++++++666556446336226161i C i C i C i C i C i C ．12、函数()f x 由下表定义：若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n =，则2007a = ．x2 53 14 ()f x12345y x102102O2xy10210O13、(坐标系与参数方程选做题)曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上的点到曲线2C：12(112x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）上的点的最短距离为 ． 14、(不等式选讲选做题)已知实数a b x y 、、、满足3,12222=+=+y x b a ，则by ax +的最大值为 ．15、(几何证明选讲选做题)如图，平行四边形ABCD 中，2:1:=EB AE ，若AEF ∆的面积等于1cm 2,则CDF ∆的面积等于 cm 2．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（本小题满分12分）设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S , 已知34a =，124562a a a =．（Ⅰ）求首项1a 和公比q 的值；（Ⅱ）若1021n S =-，求n 的值．17、（本小题满分12分）设函数2()2cos sin 2()f x x x a a R =++∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]6x π∈时，()f x 的最大值为2，求a 的值，并求出()()y f x x R =∈的对称轴方程．18、（本小题满分14分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球． （Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；A FE D CB（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差. （方差：21()ni ii D p E ξξξ==⋅-∑）19、（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形；PA ⊥平面ABCD ,PA AD AC ==， 点F 为PC 的中点．（Ⅰ）求证：//PA 平面BFD ； （Ⅱ）求二面角C BF D --的正切值．20、（本小题满分14分）给定圆P:222xy x +=及抛物线S:24y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线 的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,假如线 段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一个等差数列,求直 线l 的方程.xyoABCDP CBADPF21、（本小题满分14分）设M 是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：“①方程)(x f 0=-x 有实数根；②函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f ”． （Ⅰ）判定函数4sin 2)(xx x f +=是否是集合M 中的元素，并说明理由； （Ⅱ）集合M 中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则关于任意[m ，n]⊆D ，都存在0x ∈[m ，n]，使得等式)()()()(0x f m n m f n f '-=-成立”，试用这一性质证明：方程0)(=-x x f 只有一个实数根；（Ⅲ）设1x 是方程0)(=-x x f 的实数根，求证：关于)(x f 定义域中任意的23x x 、，当21||1x x -<，且31||1x x -<时，32|()()|2f x f x -<．参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案DBCACB A D1、解析：{2}M x x =≥，N ＝{}22|,{0}y y x x R y y x =∈==≥， 即M N M N M ⊂⇒⋂=．答案：D ．2、解析：由题意得2a a =⇒=，又2222a b c b c a e =+⇒=⇒=⇒=． 答案：B ．3、解析：程序的运行结果是2550100642=+⋅⋅⋅+++=s ．答案：C ．4、解析：与直线084=-+y x 垂直的切线l 的斜率必为4，而'4y x =，因此，切点为(1,2)．切线为24(1)y x -=-，即420x y --=，答案：A ． 5、解析：由一元二次方程有实根的条件41041≤⇒≥-=∆n n ，而)1,0(∈n ，由几何概率得有实根的概率为41．答案：C ． 6、解析：假如两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于那个平面，因此A 正确；假如两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，因此C 正确； 假如一个平面通过了另一个平面的一条垂线，则这两个平面平行，因此D 也正确； 只有B 选项错误．答案：B ． 7、解析：由题意，得10(210)y x x=≤≤，答案：A ． 8、解析：sin(2)3y x π=-的图象先向左平移sin[2()]sin 2663y x x πππ⇒=+-=，横坐标变为原先的2倍1sin 2()sin 2y x x ⇒==．答案：D ． 二、填空题：题号 91011 12 13 1415 答案1234- 8i -4 1399、解析：若//c d →→，则3(21)4(2)0x x +--=，解得12x =． 10、解析：由题意43cos sin tan 54cos -==⇒-=θθθθ． 11、解析：=++++++666556446336226161i C i C i C i C i C i C i i i i 8)2(])1[()1(3326-==+=+12、解析：令0n =，则10()5a f a ==，令1n =，则21()(5)2a f a f ===， 令2n =，则32()(2)1a f a f ===，令3n =，则43()(1)4a f a f ===， 令4n =，则54()(4)5a f a f ===，令5n =，则65()(5)2a f a f ===， …，因此20075014334a a a ⨯+===． 13、解析：1C ：⎩⎨⎧=+-⇒=+=1)1(sin cos 122y x y x θθ；则圆心坐标为)0,1(．2C ：⎪⎩⎪⎨⎧=-++⇒-=+-=01222112122y x ty t x 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为221221=-+=d ，因此要求的最短距离为11=-d ．14、解析：由柯西不等式22222)())((by ax y x b a +≥++，答案：3．15、解析：明显AEF ∆与CDF ∆为相似三角形，又3:1:=CD AE ，因此CDF ∆的面积等于9cm 2．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、解: (Ⅰ)31244565552216(0)a a a a a a ==⇒==>, ……………………… 2分∴25342a q q a ==⇒=，………………………………………………… 4分 解得11a =．………………………………………………………………… 6分(Ⅱ)由1021n S =-,得：1(1)211n n n a q S q -==--, ……………………… 8分∴1010212122n n -=-⇒= ………………………………… 10分 ∴10n =．…………………………………………………………… 12分17、解：（1）2()2cos sin 21cos2sin 2)14f x x x a x x a x a π=++=+++=+++ … 2分 则()f x 的最小正周期2T ππω==， …………………………………4分且当222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈时()f x 单调递增．即3[,]()88x k k k Z ππππ∈-+∈为()f x 的单调递增区间（写成开区间不扣分）．………6分 （2）当[0,]6x π∈时724412x πππ⇒≤+≤，当242x ππ+=，即8x π=时sin(2)14x π+=．因此max ()121f x a a +=⇒=． …………………………9分2()4228k x k x k Z πππππ+=+⇒=+∈为()f x 的对称轴． …………………12分 18、解：（Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”， 记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件A ，………………………2分 ∵“两球恰好颜色不同”共24+42=16⨯⨯种可能，…………………………5分 ∴164()669P A ==⨯． ……………………………………………………7分 解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， …………………………2分 ∵每次摸出一球得白球的概率为3162==P ．………………………………5分 ∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为1224(1)(1)9P C p p =⋅⋅-=． ……………………………7分 （Ⅱ）设摸得白球的个数为ξ，依题意得：432(0)655P ξ==⨯=，42248(1)656515P ξ==⨯+⨯=，211(2)6515P ξ==⨯=．…………10分∴1812012215153E ξ=⨯+⨯+⨯=，……………………………………12分 22222282116(0)(1)(2)3531531545D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．……………………14分19、(Ⅰ)证明: 连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF .………………………1分ABCD 是菱形, ∴O 是AC 的中点. ………………………………………2分点F 为PC 的中点, ∴//OF PA . …………………………………3分OF ⊂平面,BFD PA ⊄平面BFD , ∴//PA 平面BFD . ……………… 6分(Ⅱ)解法一:PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴ PA AC ⊥. //OF PA ，∴OF AC ⊥. …………………………… 7分 ABCD 是菱形, ∴AC BD ⊥. OFBD O =，∴AC ⊥平面BDF . …………………………………………………………8分 作OH BF ⊥，垂足为H ，连接CH ，则CH BF ⊥,因此OHC ∠为二面角C BF D --的平面角. ………………………………… 10分PA AD AC ==,∴1,2OF PA BO ==，BF PA =. 在Rt △FOB 中,OH =43·=BF BO OF PA ，…………………………… 12分∴1tan PAOC OHC OH ∠===.…………………………… 13分 ∴二面角C BF D --. ………………………… 14分 解法二：如图，以点A 为坐标原点，线段BC 的垂直平分线所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，令1PA AD AC ===，……………2分则()()10,0,0,0,0,1,,,022A P C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0,1,022B D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,11,,442F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．∴()310,1,0,,,442BC BF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭． ……………4分 设平面BCF 的一个法向量为n (),,x y z =,OCBH DPFA由n ,BC ⊥n BF ⊥，得00331304422y y x y z z x ==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-++==⎪⎪⎩⎩，令1x =，则3z =，∴31,0,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. …………………7分 PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴PA AC ⊥. ………………………………… 8分//OF PA ，∴OF AC ⊥. ABCD 是菱形,∴AC BD ⊥. OFBD O =，∴AC ⊥平面BFD .…………………………… 9分∴AC 是平面BFD 的一个法向量,AC =31,,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．………………… 10分∴3212cos ,3114AC n AC n AC n⋅===⋅+⨯， ∴22127sin ,17AC n ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， …………………… 12分∴27237tan ,21AC n ==．…………………………………… 13分∴二面角C BF D --的正切值是233. ……………………… 14分 20、解:圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2BC =,圆心为()1,0P ,设l 的方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y ，有⎩⎨⎧-==+442121y y k y y , ………………………………2分 则222121212()()416(1)y y y y y y k -=+-=+. (4)分故222222212121212||()()()()4y y AD y y x x y y -=-+-=-+ …6分 22221221)1(16])4(1[)(+=++-=k y y y y , ………… 7分因此)1(4||2+=k AD . ………………………………… 8分xyoABCDP据等差,BC AD CD AB BC -=+=2, …………… 10分 因此63==BC AD ，即6)1(42=+k ,22±=k ，…………… 12分即：l 0y -=0y +-=. …………………14分21、解：（1）因为x x f cos 4121)(+='， …………………………2分 因此]43,41[)(∈'x f ，满足条件0()1f x '<<. …………………3分又因为当0=x 时，0)0(=f ，因此方程0)(=-x x f 有实数根0． 因此函数4sin 2)(x x x f +=是集合M 中的元素． …………………………4分 （2）假设方程0)(=-x x f 存在两个实数根βαβα≠(,），则0)(,0)(=-=-ββααf f ，……………………………………5分不妨设βα<，依照题意存在数),,(βα∈c使得等式()()()()f f f c βαβα'-=-成立， ………………………7分因为βαββαα≠==且,)(,)(f f ，因此1)(='c f ，与已知1)(0<'<x f 矛盾， 因此方程0)(=-x x f 只有一个实数根；………………………10分（3）不妨设32x x <，因为,0)(>'x f 因此)(x f 为增函数，因此)()(32x f x f <， 又因为01)(<-'x f ，因此函数x x f -)(为减函数， ……………………11分 因此3322)()(x x f x x f ->-， ………………………………12分因此2323)()(0x x x f x f -<-<，即3232|()()|||f x f x x x -<-， …………13分 因此323231213121|()()||||()||||2f x f x x x x x x x x x x x -<-=---≤-+-<． …14分。
2023届八省八校(T8联考)高三第二次联考数学答案
2023年高三年级三月调研考试数学试题参考答案与评分标准一、选择题与多选题题号123456789101112答案DBCCABBDABDBCDBCDABD三、填空题13.21-14.e2215.2222或16.1(2分)91（3分）四、解答题17.解：(1)依题意有.sin cos cos sin sin sin sin )6πsin(sin 2B A B A AC A A B ++=+=+sin sin cos sin sin cos cos sin .A B B A A A B A B +=++πcos 2sin()1,6B B B -=-=πππ(0,π),,.663B B B ∈∴-==又…………3分3π4ADC ∠=，则π4ADB ∠=，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB ADB =∠，∴3222=，解得AD =．……5分（2）设CD t =，则2BD t =，又ABC S =△即12322t ⨯⨯⨯=，可得2t =，故36BC t ==，又AC ===在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ABBAD ADB =∠∠，故sin 2sin BAD ADB ∠=∠，在ACD △中，由正弦定理可得sin sin CD AC CAD ADC=∠∠，故sin 7CAD ADC ∠=∠，因为()sin sinsin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠，sinsin7BADCAD∠∴==∠……10分18.【详解】（1）由题设22n n nS a a=+且，0na>当1n=时，2111122S a a a==+，可得11a=；当2n≥时，221112)2(n n n n nn nS a a a aS a----==+--，则221111()()n n n n n n n na a a a a a a a----+=-=+-；由10n na a->+，故11n na a--=，所以{}n a是首项、公差均为1的等差数列，故n a n=.……5分（2）2214222nna nm m n ma n n⎛⎫+≤⇒+≤⇒+≤⎪⎝⎭，因为1422nn⎛⎫+⎪⎝⎭≥，当且仅当2n=时成立，所以1b=，21b=，当3m≥，因为21212221221m m mm m-+=-+≤--，22122m m mm m+=+>，所以能使22n mn+≤成立的n的最大值为21m-，所以21(3)mb m m=-≥，所以{}m b的前50项和为()59948015799012497.2+⨯+++++=++=.……12分19.（1）证明：连结AC，111111,,,AA CC AA CC AE AA CF CCλλ===∥=.AE CF AE CF AE CF∴=，即，∥.AEFC AC EF∴四边形为平行四边形，则∥,EF BEF AC BEF⊂⊄平面平面,.AC BEF BEF ABCD l l ABC∴=∴⊂∥平面平面平面平面.AC l∴ ABCD AC BD⊥菱形，则，111,,BB ABCD ALC ABCD AC BB BD BB B⊥⊥=又平面平面，则1AC B BDD AC l∴⊥1平面，又∥1l B BDD∴⊥1平面…………4分ABCDD1C1B1A1EFOxyzO111111111111,.,,.2A C B D O AC BD O OO BB BB ABCDOO ABCD OO OB OO OC =⊥∴⊥⊥⊥ 交于点，则∥平面平面连结则（）11111.2,1,.3,,,2.111.3239B BDF F BDB ABCD OB OC AC EF OA OC AB BD OB OC OO x y z BB t DD t V V t --⊥==∴====∴====⨯⨯⨯= 菱形，则以为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系,设则1111111122,2,43,(,0,4),(0,0,3),(0,1,3)3(,1,34)(0,1,0)3sin 4752()(34),(01),()333t BB DD OO D CF F D F OC BDD D F OC D F OCf f λλλθλλλλ∴===∴=-=∴=-=∴==⎡=-+<≤∈⎢⎣ 即则又是平面的一个法向量设则，sin 527θ⎫⎪⎭<≤………………12分20.解：（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件12,A A ，则()()12343322455535P A P A =⨯==⨯=，由题意可得，X 的取值有0,1,2,()3260115525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()323213111555525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()32625525P X ==⨯=.所以()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=…………6分（2）依题意甲，乙抢到并答对一题的概率为()()12131224=,=,3553515P B P B =⨯=⨯乙已得10分，甲若想获胜情况有：①甲得20分：其概率为；2515151=⨯②甲得10分，乙再得－10分，其概率为;254533251(C 12=⨯⨯③甲得0分，乙再得－20分，其概率为.2545332(2=⨯故乙先得10分后甲获胜的概率为.259254254251=++…………12分21.解：（1）函数()g x 的定义域为()0,+∞，且()2210ax x g x x x-+-'=>)，当a =0时,()gx 在()1,0上单调递减，()g x 在()+∞,1上单调递增；当a>0时,14,a ∆=-1(i)140,()0,()0+4a a g x g x '∆=-≤≥≤∞当即时，在（，）上单调递减；1(ii)140,0()=0,4a a g x '∆=-><<当即时，令得21210,2411,2411x x aax a a x <<-+=--=x)2411,0(aa--)24112411(aaa a -+--，)2411(∞+-+，aa)(x g '－+－)(x g 减函数增函数减函数综上：当=0a 时，()gx 在()1,0上单调递减，在()+∞,1单调递增；14a ≥当时，，()0g x +∞在（，）上单调递减；当410<<a 时，)(x g 在，)2411,0(a a --)2411(∞+-+，a a 上单调递减；在)24112411(aaa a -+--，上单调递增.………………5分(2)由题意知1a =时，()()1ln g x f x x x x x=-=+-，由（1）知，)(x g 在),0(+∞上单调递减，且∴=，0)1(g 当),1(+∞∈x 时，0)1()(=<g x g .又,1)(2xx x f -=' 令.1,0)(=='x x f 得所以()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞递增，因为()10,1a ∈，所以()211a f a =>，()321a f a =>，…，()11n n a f a +=>．……………………7分()()10g x g ≤=又．所以()21110n n n n a a f a a ++++-=-<，即21.n n a a ++<又因为函数()gx 在[)∞+，1时单调递减，所以()()21.n n g a g a ++>，即22112111ln ln .n n n n n n a a a a a a +++++++->+-，即32210.n n n n a a a a ++++>->-12230.n n n n a a a a ++++∴->->121223231,()0.n n n n n n n n a a a a g a a a a ++++++++-->∴<--．…………12分22.解；(1)依题意有22222,1491,21c b a ba a c +==+=，解得,1,3,2===cb a ∴椭圆方程为.13422=+y x …………3分(2)设),,(),,(2211y x Q y x P 则)2,2(11y x D ，∴.13413422222121=+=+yx y x ，又043.432121=+∴-=∙y y x x k k OQ OP 设12,12(),2,2(),(,21212122λλλλλλ++++∴--=--∴=y y x x E y y x x y y x x ED QE E E E E 又E 在椭圆上，∴.1)1(344)1(4442212221222122212=+++++++λλλλλλy y y y x x x x 22121222221212)1()34(434)34(4λλλ+=+++++y y x x y x y x 即,)1(1422λλ+=+∴.32=∴λ…………6分.57,5252,32OPQ OPEQ OPQ QPD PEQ S S S S S ED QE △四边形△△△=∴==∴=∴,23,.43±=∴-=-=∙OP OQ OP OQ OP k k k k k x PQ 轴时，∥当yQ POx FFED根据对称性不妨取23=OP k 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=12432322y x x y 得⎪⎩⎪⎨⎧==262y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=262y x ，.36221=⨯⨯=∴OPQ S △………8分当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为x =my +t ，由⎩⎨⎧=++=124322y x tmy x ，，得01236)43(222=-+++t mty y m ,43123,4362221221+-=+-=+∴m t y y m mt y y .04))((34321212121=+++=+y y t my t my y y x x .03)(3)43(221212=++++t y y mt y y m ∴.03431843123)43(222222=++-+-+t m mt m t m .43204322222+==--∴m t m t 即…………10分2222222222)43()43(48143)123(4)436(1||+++-+=+--+-+=m m t m m t m mt mPQ 点O 到直线PQ 距离为21mt +，.34334||2122=+⨯⨯=∴m t t S OPQ△.537=∴OPEQ S 四边形…………12分。
高三第二次调研考试数学(理科)试题(已校对)
惠州市高三第二次调研考试数学试题(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{ln }A x y x ==，集合{2,1,1,2}B =--，则A B =（ ）A ．(0,)+∞B ．{}1,2--C ．()1,2D ． {1,2}2.在四边形ABCD 中，，那么四边形ABCD 为（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形3.在等差数列{}n a 中，若1594a a a π++=，则46tan()a a +=（ ）A ．33B ．3C ．1D ．－14.给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分非必要条件. B ．必要非充分条件. C ．充要条件. D ．既非充分也非必要条件.5.如右图所示的程序框图，若输入n=3，则输出结果是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 6.△ABC 中，3,1,30c b B ==∠=︒，则△ABC 的面积等于（ ）||||,BC AB DC AB ==且是 否k ≤n 开始 S =1,k=1结束S =S ×2 输出S k =k+1输入n 第5题图A ．B ．C ．D ．7.从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有（ ）A ．140种B ． 120种C ．35种D ．34种8.如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图像大致是（ ）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9.为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一学生抽取的人数是 ．10.若(2)a i i b i -=+，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a b +=__________． 11.曲线在点处切线的方程为__________．12.在2101()2x x+的二项展开式中，11x 的系数是___________． 2343323或4323或x y ln =(,1)M e A BC DMNP A 1B 1C 1D 1 y xA ．Oy xB ．Oy xOyx O13.我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被、甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍，你可以从给出的简单图形①（甲：大矩形ABCD ，乙：小矩形EFCB ）、②（甲：大直角三角形ABC ，乙：小直角三角形DBC ）中体会这个原理，现在图③中的曲线分别是22221(0)x y a b a b +=>>与222x y a +=，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分） 14.（几何证明选讲选做题）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，AC 和AD 是⊙O 的两条弦，AC =，AD =， 则∠CAD = ．15.（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别是cos ρθ=和sin ρθ=的两个圆的圆心距是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本题满分12分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,cos ),(1,0).a x x b x x c ==-=- （1）若6x π=，求向量a 与c 的夹角；（2）当9[,]28x ππ∈时，求函数()21f x a b =⋅+的最大值。
【高考调研】高二数学(新人教A版选修2-3)课时作业12
1．设 (1 ＋ x) 8 ＝a0＋ a1x＋…＋ a8x8，则 a0，a1，…， a8 中奇数的个数为 (
)
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 解析
A 由于 (1 ＋ x) 8 的展开式的通项为
Tr ＋ 1＝ Cr8xr ，因此 ar ＝ Cr8( 其中 r ＝0,1,2 ，…， 8) ，
2．(2012 ·山东 ) 现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各
4 张．从
中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多
1 张，不同取法的种数为
()
A．232 B ．252
C．472 D ．484
答案 C 解析 完成这件事可分为两类：第一类
3 张卡片颜色各不相同共有 C34C14C14C14＝ 256 种；第
由此可知，其中 a0、a8 是奇数，其余的系数均为偶数，因此选
A.
2．1＋ (1 ＋x) ＋ (1 ＋ x) 2＋ (1 ＋ x) 3＋ (1 ＋ x) 4 ＋…＋ (1 ＋ x) n 展开式的各项系数和为 (
)AΒιβλιοθήκη 2n ＋ 1B．2n ＋1＋ 1
C．
n
2
＋
1
－
1
D．
n
2
＋1
－
2
答案 C
解析
令 x＝1 得各项系数和为
1＋ 2＋ 22＋23＋…＋
2n＝
2n＋
1－
1 ＝
2
n＋
1－
1.
2－ 1
3．在
(1
＋
x)
2
n
(
n∈
N*
)
2021年高三调研试题(二)数学理试题 含答案
否开始 S = 0 n = 1 S=S+n 是n=n +22021年高三调研试题（二）数学理试题 含答案本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:圆柱侧面积公式 ，其中是圆柱底面半径，为圆柱的母线.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1.是虚数单位,则复数在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.函数的零点所在区间是（ ） A ． B ． C ．D ．3. 在钝角中，，，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 某个几何体的三视图如右上图（其中正视图中的圆 弧是半圆）所示,则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是,则判断框内D CBA P的条件（）A．? B．?C．? D．?6. 给出下列四个命题，其中假．命题是（）A．从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；B．样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；C．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；D．设随机变量服从正态分布，若则.7. 给出如下四个判断：①；②；③设集合,,则“”是“”的必要不充分条件;④,为单位向量,其夹角为，若，则.其中正确的判断个数是：（）A．１B．２C．３D．４8. 若直角坐标平面内的两不同点、满足条件：①、都在函数的图像上；②、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数=，则此函数的“友好点对”有（）对．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.(一)必做题(9～13题)9.函数的定义域是________．10. 已知向量,,且∥，则________11. 已知两条平行直线与之间的距离是12. 抛物线在处的切线与轴及该抛物线所围成的图形面积为 .13.已知,若恒成立, 则的取值范围是(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14. （坐标系与参数方程选做题）若以为极点，轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为：上的点到曲线的参数方程为：（为参数）的距离的最小值为 .15．（几何证明选讲选做题）如图所示，是半径等于的圆的直径，是圆的弦，,的延长线交于点，若，，则三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或O演算步骤.16.(本题满分12分)已知函数 (1)求的值；（2）当时，求函数的值域.17.(本题满分12分)袋中装有大小和形状相同的小球若干个黑球和白球，且黑球和白球的个数比为４:３,从中任取2个球都是白球的概率为现不放回从袋中摸取球，每次摸一球，直到取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数. （1）求袋中原有白球、黑球的个数； （2）求随机变量的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，为的中点． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面平面；（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19．(本题满分14分)已知点，的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设是曲线上的动点，直线，分别交直线于点，线段的中点为，求直线与直线的斜率之积的取值范围；（3）在（2）的条件下，记直线与的交点为，试探究点与曲线的位置关系，并说明理由.CA20．(本题满分14分)已知正项数列中，其前项和为，且. （1）求数列的通项公式；（2）设是数列的前项和，是数列的前项和，求证：.21．(本题满分14分)已知函数，其中且. （1）讨论的单调性；(2) 若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）若方程存在两个异号实根，，求证：广东省韶关市xx 届高三4月高考模拟（二模）参考答案和评分标准一．选择题： AACAC AAB 1. 解析：对应点在第一象限 , 选A ２. 解析：，,选A 3. 解析：由得，，或（舍去），则选C4. 解析： 三视图表示的几何体是由长方体和“半圆柱”组成的几何体，其中，长方体的上底面与“半圆柱”轴截面重合.21(1620)220222592142S πππ=+⨯++⨯+⨯⨯⨯⨯=+,选A5. 解析：第一次循环，，不满足条件，循环。
江苏省徐州市高三下学期数学第八次调研考试试卷
江苏省徐州市高三下学期数学第八次调研考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） (2017·上高模拟) 设集合 A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则 A∩（∁RB）=（ ）A . （﹣1，1）B . [2，+∞）C . （﹣1，1]D . [﹣1，+∞）2. （2 分） 已知(i 为虚数单位），则复数 z=（ ）A . 1+iB . 1-iC . -1+iD . -1-i3. （2 分） (2018 高二下·赤峰期末) 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问各自的分班情况，老师说： 你们四人中有 位分到 班， 位分到 班，我现在给甲看乙、丙的班级，给乙看丙的班级，给丁看甲的班 级.看后甲对大家说：我还是不知道我的班级，根据以上信息，则（ ）A . 乙可以知道四人的班级B . 丁可以知道四人的班级C . 乙、丁可以知道对方的班级D . 乙、丁可以知道自己的班级4. （2 分） (2018 高二上·武邑月考) 抛物线的准线方程为（ ）A.第 1 页 共 13 页B.C.D.5. （2 分） 若 f(x)=-x2+2ax 与 A.在区间[1,2]上都是减函数，则 a 的值范围（ ）B. C . （0，1）D. 6. （2 分） 下列关于算法的说法不正确的是（ ） A . 算法必须在有限步操作之后停止． B . 求解某一类问题的算法是唯一的． C . 算法的每一步必须是明确的． D . 算法执行后一定产生确定的结果．7. （2 分） 已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直，体积为 ， 底面是边长为 的正三角形，若 P 为底 面 A1B1C1 的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为（ ）A.B.C.D.8. （2 分） (2017 高一上·正定期末) 如图，在△ABC 中， ++=， =， =，第 2 页 共 13 页已知点 P，Q 分别为线段 CA，CB（不含端点）上的动点，PQ 与 CG 交于 H，且 H 为线段 CG 中点，若 =n ，则 + =（ ）=m ，A.2 B.4 C.6 D.8二、 多选题 (共 4 题；共 12 分)9. （3 分） (2020·平邑模拟) 我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照 14 亿人口计 算，中国人均粮食产量约为 950 斤﹣比全球人均粮食产量高了约 250 斤．如图是中国国家统计局网站中 2010﹣2019 年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在 2010﹣2019 年中（ ）A . 我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增 B . 2011 年我国粮食年产量的年增长率最大 C . 2015 年﹣2019 年我国粮食年产量相对稳定 D . 2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰 10. （3 分） (2019 高一上·温州期中) 我们把定义域为第 3 页 共 13 页且同时满足以下两个条件的函数称为“ 函数”：（1）对任意的 成立，下列判断正确的是（ ），总有A.若为“ 函数”，则B.若为“ 函数”，则在；（2）若 上为增函数，，则有C . 函数 D . 函数在 在上是“ 函数” 上是“ 函数”11. （3 分） (2020·淮北模拟) 关于函数，下列说法正确的是（ ）A . 函数以 为周期且在B . 函数以 为周期且在区间处取得最大值 单调递增C . 函数是偶函数且在区间单调递减D.将的图像向右平移 1 个单位得到12. （3 分） (2020·海南模拟) 如图，在正四棱柱为，的中点，异面直与所成角的余弦值为中， ，则（ ）， ， 分别A. B . 直线与直线共面C.第 4 页 共 13 页D . 直线与直线异面三、 填空题 (共 3 题；共 3 分)13. （1 分） 已知△ABC 中， 则| |的取值范围是________， | - |=2，点 M 是线段 BC（含端点）上的一点，且 ( + )，14. （1 分） (2018 高一下·栖霞期末) 已知，，则________．15. （1 分） (2015 高二下·仙游期中) 某车队有 7 辆车，现在要调出 4 辆，再按一定顺序出去执行任务．要 求甲、乙两车必须参加而且甲车在乙车前开出，那么不同的调度方案有________种．（用数字作答）四、 双空题 (共 1 题；共 1 分)16. （1 分） (2016 高一上·苏州期中) 已知则满足的 x 值为________五、 解答题 (共 6 题；共 61 分)17. （10 分） (2016 高一下·黄山期末) 在△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，己知 c﹣b=2bcosA．（1） 若 a=2 ，b=3，求 c；（2） 若 C= ，求角 B． 18. （10 分） (2017 高三下·新县开学考) 已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且有 a1=1，Sn+1=an+1（n∈N*）． （1） 求数列{an}的通项 an；（2） 若 bn=，求数列{bn}的前 n 项和 Tn；（3） 设 ck=，{ck}的前 n 项和为 An，是否存在最小正整数 m，使得不等式 An＜m 对任意正整数 n恒成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由．19. （6 分） (2018·长沙模拟) 如图，四棱锥长为 2 的正三角形，,.的底面是平行四边形，侧面是边第 5 页 共 13 页（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设 是棱 上的点，当平面时，求二面角的余弦值.20. （10 分） (2016 高一上·上杭期中) 已知函数 f（x）=4x﹣a•2x+1+a+1，a∈R．（1） 当 a=1 时，解方程 f（x）﹣1=0；（2） 当 0＜x＜1 时，f（x）＜0 恒成立，求 a 的取值范围；（3） 若函数 f（x）有零点，求实数 a 的取值范围．21. （15 分） (2012·山东理) 现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得 1 分，没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．，每命中一次得 2 分，没有命中得 0 分．该射手每次射（1） 求该射手恰好命中一次得的概率；（2） 求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX．22. （10 分） (2019 高二上·德惠期中) 设 A ， B 分别为双曲线 曲线的实轴长为 4 ，焦点到渐近线的距离为 .（1） 求双曲线的方程；(a>0，b>0)的左、右顶点，双（2） 已知直线 y＝x－2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D，使，求 t 的值及点 D 的坐标．第 6 页 共 13 页一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、二、 多选题 (共 4 题；共 12 分)9-1、 10-1、 11-1、 12-1、三、 填空题 (共 3 题；共 3 分)13-1、 14-1、参考答案第 7 页 共 13 页15-1、四、 双空题 (共 1 题；共 1 分)16-1、五、 解答题 (共 6 题；共 61 分)17-1、17-2、18-1、第 8 页 共 13 页18-2、 18-3、第 9 页 共 13 页19-1、 20-1、20-2、第 10 页 共 13 页20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
广东省深圳市高三下学期数学第八次调研考试试卷
广东省深圳市高三下学期数学第八次调研考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高一上·西安月考) 设全集，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2019高二下·亳州月考) ①已知是三角形一边的边长，是该边上的高，则三角形的面积是，如果把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，则①、②两个推理依次是（）A . 类比推理、归纳推理B . 类比推理、演绎推理C . 归纳推理、类比推理D . 归纳推理、演绎推理4. （2分）已知抛物线Cl:y2= 2x的焦点为F1 ，抛物线C2:y=2x2的焦点为F2 ，则过F1且与F1F2垂直的直线l的一般方程式为（）A . 2x－ y－l=0B . 2x+ y－1=0C . 4x－y－2 =0D . 4x－3y－2 =05. （2分） (2018高二下·长春期末) 已知函数在区间上是单调递增函数，则的取值范围为（）A .B .C .D .6. （2分）算法的有穷性是指（）A . 算法必须包含输出B . 算法中每个操作步骤都是可执行的C . 算法的步骤必须有限D . 以上说法均不正确7. （2分）(2018·临川模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .8. （2分）(2014·安徽理) 在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，| |=| |=1，• =0，点Q满足 = （ + ），曲线C={P| = cosθ+ sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A . 1＜r＜R＜3B . 1＜r＜3≤RC . r≤1＜R＜3D . 1＜r＜3＜R二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分）(2020·平邑模拟) 我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在2010﹣2019年中（）A . 我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B . 2011年我国粮食年产量的年增长率最大C . 2015年﹣2019年我国粮食年产量相对稳定D . 2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰10. （3分） (2019高一上·厦门期中) 已知函数与（且）的图象上存在关于轴对称的点，则的取值可以是下列数据中的（）A .B .C .D .11. （3分）(2020·淮北模拟) 关于函数，下列说法正确的是（）A . 函数以为周期且在处取得最大值B . 函数以为周期且在区间单调递增C . 函数是偶函数且在区间单调递减D . 将的图像向右平移1个单位得到12. （3分）(2020·海南模拟) 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点，异面直与所成角的余弦值为，则（）A .B . 直线与直线共面C .D . 直线与直线异面三、填空题 (共3题；共3分)13. （1分）已知△ABC中，， |-|=2，点M是线段BC（含端点）上的一点，且(+)，则||的取值范围是________14. （1分） (2018高一下·庄河期末) 已知，则的值为________15. （1分） (2017高二下·南通期中) 在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字．则组成的三位数中是3的倍数的有________个．四、双空题 (共1题；共1分)16. （1分）(2020·河南模拟) 函数的图象的对称轴方程为________.五、解答题 (共6题；共61分)17. （10分） (2016高一下·惠阳期中) 已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若c2+b2+cb=a2（1）求A；（2）若a=2 ，b+c=4，求△ABC的面积．18. （10分） (2016高二上·晋江期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．（1）求a1的值，并用an﹣1表示an；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设Tn= + + +…+ ，求证：Tn＜．19. （6分） (2017高一下·汽开区期末) 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．（1）求证：平面BDEF；（2）求证：平面EAD；（3）求二面角的余弦值．20. （10分）(2017·陆川模拟) 已知函数f（x）=xe2x﹣lnx﹣ax．（1）当a=0时，求函数f（x）在[ ，1]上的最小值；（2）若∀x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；（3）若∀x＞0，不等式f（）﹣1≥ e + 恒成立，求a的取值范围．21. （15分） (2016高一下·华亭期中) 盒中有6只灯泡，其中有2只是次品，4只是正品．从中任取2只，试求下列事件的概率．（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中恰有一只次品．22. （10分）(2018·佛山模拟) 已知椭圆的左、右焦点为 .过作直线交椭圆于，过作直线交椭圆于，且垂直于点 .（1）证明：点在椭圆内部；（2）求四边形面积的最小值.参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、多选题 (共4题；共12分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、四、双空题 (共1题；共1分) 16-1、五、解答题 (共6题；共61分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、。
2021年高二上学期8月调研测试数学试题含答案
2021年高二上学期8月调研测试数学试题含答案数学 xx．08.31注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填涂在答题卡上指定的位置．3．答题时，必须用黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上指定的位置，在其他位置作答一律无效．4．本卷考试结束后，上交答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位．．．置．上．1．已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝▲．2．函数f(x)＝sin x cos x的最小正周期是▲．3．已知tanα＝－2，，且π2＜α＜π，则cosα＋sinα＝▲．4．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，x)，且(a＋b)⊥ a，则实数x的值为▲．5．已知直线l：x＋my＋6＝0，若点A(－5，1)到直线l的距离为2，则实数m的值为▲．6．若A(1，2)，B(－3，4)，C(2，t)三点共线，则实数t的值为▲．7．已知圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的体积为▲．8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知C＝120︒，c＝23，a cos B＝b cos A，则△ABC 的面积为 ▲ ．9．对于不重合直线a ，b ，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中，能推出α∥β的有 ▲ ．（填写所有正确的序号）．①γ⊥α，γ⊥β； ②α∥γ，β∥γ； ③a ∥α，a ∥β； ④a ∥b ，a ⊥α，b ⊥β． 10．已知函数f (x )＝a ＋14x －1是奇函数，则实数a 的值为 ▲ ． 11．设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 12．已知公差不为零的等差数列{a n }的前8项的和为8，且a 12＋a 72＝a 32＋a 92，则{a n }的通项公式为 a n ＝ ▲ ．13．某地一天6时至20时的温度y (︒C )随时间x (小时)的变化近似满足函数y ＝10sin(π8x ＋3π4)＋20，x ∈[6，20]．在上述时间范围内，温度不低于20︒C 的时间约有 ▲ 小时．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －2|， 1≤x ≤3，3f (x 3)， x ＞3．若将集合A ＝{x ∣f (x )＝t ，0＜t ＜1}中元素由小到大排列，则前六个元素之和为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答．题卡．．指定．．区域内．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (3,5)，AB 边所在直线的方程为x -3y +8=0，点N (0,6)在AD 边所在直线上． （1）求AD 边所在直线的方程；（2）求对角线AC 所在直线的方程．（第15题图）16．（本小题满分为14分）在△ABC 中，已知cos A ＝45，tan(B －A )＝17，AC ＝5．求： （1）B ； （2）AB 边的长．17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知点D 为棱BC 中点． （1）如果AB ＝AC ，求证：平面ADC 1 平面BB 1C 1C ； （2）求证：A 1B ∥平面AC 1D ．18．（本小题满分16分）设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，已知它的前10项和为110，且a 1，a 2，a 4 成等比数C 1A BC A 1B 1D（第17题图）列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{1a n a n＋1}的前项和T n ．19．（本小题满分16分）如图，某小区进行绿化改造，计划围出一块三角形绿地ABC，其中一边利用现成的围墙BC，长度为a米，另外两边AB，AC使用某种新型材料，∠BAC＝120︒．设AB＝x米，AC ＝y米．（1）求x，y满足的关系式；（2）若无论如何设计上述三角形绿地确保此材料都够用，则至少需准备长度为多少的此种新型材料？A（第19题图）20．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝ax2－|x－a|．（1）当a＝3时，求不等式f(x)＞7的解集；（2）当a＞0时，求函数f(x)在区间[3，＋∞)上的值域．高二数学参考答案及评分标准xx.08说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{1，2，3，4}． 2．π． 3．55． 4．－7． 5．1． 6．32． 7．833π． 8．3． 9．②④． 10．12． 11．(0，94] 12．－2n ＋10． 13．8． 14．52． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解 (1)解法一：因为AB 边所在直线的方程为x －3y ＋8＝0 ，所以k AB ＝13．…………………… 2分又因为矩形ABCD中，AD ⊥AB ，所以k AD ＝－1k AB＝－3． ………………………… 4分所以由点斜式可得AD 边所在直线的方程为：y －6＝－3(x －0)， 即3x＋y－6＝0． ………………………… 6分解法二：因为矩形ABCD 中，AD ⊥AB ， 所以设AD边所在直线的方程为：3x ＋y ＋m ＝0． ………………………… 4分又因为直线AD 过点N (0，6)， 所以将点N (0，6)代入上式得3×0＋6＋m ＝0，解得m ＝－6． 所以AD边所在直线的方程为：3x ＋y －6＝0． ………………………… 6分(2)由⎩⎨⎧ x －3y ＋8＝0， 3x ＋y －6＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即A (1，3)， ………………………… 10分所以对角线AC 所在直线的方程：y －3 5－3 ＝x －13－1， 即x－y＋2＝0． ………………………… 14分 16．解 (1) 解法一：在△ABC 中，因为 cos A ＝45，所以tan A ＝34， ………………………… 2分所以tan B ＝tan[(B －A )＋A ]＝tan(B －A )＋tan A1－tan(B －A ) tan A＝17＋341－17·34＝1． ………………………… 4分因为B∈(0，π)，所以B＝π4． ………………………… 6分解法二：在△ABC中，因为 cos A ＝45，所以tan A ＝34， ………………………… 2分所以tan(B －A )＝tan B －tan A1＋tan B ·tan A＝tan B －341＋tan B ·34＝17，解得tan B ＝1． ………………………… 4分因为B∈(0，π)，所以B＝π4． ………………………… 6分 (2) 在△ABC 中，由cos A ＝45，B ＝π4， 可得sin A＝35，sin B＝cos B＝22， ………………………… 9分从而sin C＝sin(A＋B )＝sin A cos B＋cos A sin B＝7210． ………………………… 11分由正弦定理AC sin B ＝ABsin C ，代入得522＝AB7210，从而AB ＝7． …………………………14分解法二：作CD ⊥AB ，垂足为D ，由AC ＝5，cos A ＝45， 所以CD＝3，AD＝4， ………………………… 9分又B ＝π4，所以BD ＝CD ＝3， ………………………… 12分所以AB＝3＋4＝7． ………………………… 14分17．证明 （1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．因为AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD ． ……………………… 2分 因为AB ＝AC ，D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ．………………… 4分 因为BC ⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ，BC ∩CC 1＝C ，所以AD ⊥平面BB 1C 1C ． ………………………… 6分 因为AD ⊂平面AC 1D ，所以平面AC 1D ⊥平面BB 1C 1C ． ……………………………8分 （2）连结A 1C ，设A 1C ∩AC 1＝E ，连结DE ．因为在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 为平行四边形， 所以E为A 1C中点． ………………………… 10分 因为D为BC中点，所以DE∥A 1B ． ………………………… 12分 因为DE ⊂平面AC 1D ，A 1B ⊄平面AC 1D ， 所以A 1B∥平面AC 1D ． ………………………… 14分18．解 （1）设{a n }的前n 项和为S n ，则由S 10＝110，得2a 1＋9d ＝22．① ………………………… 4分由a 1，a 2，a 4成等比数列，得a 22＝a 1a 4． ② ………………………… 6分由①②解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2．所以a n ＝2n ； ………………………… 8分C 1A BCA 1B 1D（第17题图）E（2）1 a n a n ＋1＝12n (2n +2)＝14(1n－1n ＋1)， ………………………… 12分 所以T n ＝14[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝n4(n +1)． ………………………… 16分19．解（1）在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝x 2＋y 2－2xy cos120 ，即x 2＋y 2＋xy＝a 2； ………………………… 5分（2）由x 2＋y 2＋xy ＝a 2，得(x ＋y )2＝a 2＋xy ，即 (x ＋y )2－a 2＝xy ． ………………………… 8分由xy≤(x ＋y 2)2，得(x＋y )2－a 2≤(x ＋y2)2， ………………………… 12分解得(x＋y )2≤43a 2，即x＋y≤233a ， ………………………… 14分当且仅当x ＝y ＝33a 时取等号．答：至少需要准备233a 米材料，才能确保能够围成上述三角形绿地． ………………………… 16分20．解 （1）当a ＝3时，不等式f (x )＞7，即3x 2－|x －3|＞7，①当x ≥3时，原不等式化为3x 2－x －4＞0， 解得x＜－1或x＞43，此时取x≥3； ………………………… 2分②当x ＜3时，原不等式化为3x 2＋x －10＞0， 解得x ＜－2或x ＞53，此时取x ＜－2或53＜x ＜3． ………………………… 4分综上，所求不等式解集为{x ∣x ＜－2或x ＞53}． ………………………… 6分（2）（Ⅰ）当0＜a ≤3时，f (x )＝ax 2－x ＋a ＝a (x －12a )2＋a －14a ．①若12a ＜3，即16＜a ≤3时，f (x )在[3，＋∞)上单调增，值域为[f (3)，＋∞)，即[10a－3，＋∞)； ………………………… 8分②若12a ≥3，即0＜a ≤16时，值域为[f (12a )，＋∞)， 即[a－14a，＋∞)． ………………………… 10分（Ⅱ）当a ＞3时，f (x )＝⎩⎨⎧ax 2－x ＋a ，x ≥a ，ax 2＋x －a ，3≤x ＜a ．①当x ≥a 时，f (x )＝ax 2－x ＋a ＝a (x －12a )2＋a －14a ，图象开口向上， 对称轴x ＝12a 在[a ，＋∞)的左边，则f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )∈[f (a )，＋∞)，即[a 3，＋∞)． ………………………… 12分②当3≤x ＜a 时，f (x )＝ax 2＋x －a ＝a (x ＋12a )2－a －14a ，图象开口向上， 对称轴x ＝－12a 在区间[3，a )的左边，f (x )在[3，a )上为增函数，所以f (x )∈[f (3)，f (a ))，即f (x )∈[8a ＋3，a 3)． ………………………… 14分所以当a ＞3时，f (x )∈[a 3，＋∞)∪[8a ＋3，a 3)， 即f (x )∈[8a ＋3，＋∞)．综上所述，当0＜a ≤16时，f (x )值域为[a －14a ，＋∞)；当16<a ≤3时，f (x )值域为[10a －3，＋∞)；当a ＞3时， f (x )值域为[8a ＋3，＋∞)． (16)分20141 4EAD 亭24521 5FC9 忉26392 6718 朘z39256 9958 饘29348 72A4 犤sd28624 6FD0 濐22820 5924 夤+35684 8B64 譤33451 82AB 芫。
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课时作业(四十)1．一个长方体其一个顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体的对角线是( )A ．23B ．3 2C ．6 D. 6答案 D解析 设长方体共一顶点的三棱长分别为a 、b 、c ， 则ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6， 解得：a ＝2，b ＝1，c ＝3， 故对角线长l ＝a 2＋b 2＋c 2＝ 6.2．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为( )A ．6π(4π＋3)B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2) 答案 C解析 分清哪个为母线，哪个为底面圆周长，应分类讨论． 3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．2 2 B.233 C.423 D.433 答案 D解析 由题意知V ＝43πR 3＝32π3，∴R ＝2，外接球直径为4，即正方体的体对角线，设棱长为a ，则体对角线l ＝3a ＝4，a ＝433.4．将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为( )A ．7 3B ．6 3C ．3 3D ．9 3答案 A解析 原正四面体的表面积为4×934＝93，每截去一个小正四面体，表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少4×2×34＝23，故所得几何体的表面积为7 3.故选A.5．(2011·陕西)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3 C ．8－2π D.2π3答案 A解析 圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V ＝22×2－13×π×12×2＝8－23π，正确选项为A.6．(2011·广东理)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A．18 3 B．12 3C．9 3 D．6 3答案C解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V＝3×3×3＝9 3.7．(2010·北京)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上．若EF ＝1，A 1E ＝x ，DQ ＝y ，DP ＝z (x ，y ，z 大于零)，则四面体PEFQ 的体积( )A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关 答案 D解析 由于点Q 到直线A 1B 1的距离为22，EF ＝1，故△EFQ 的面积为定值，所以这个三角形的面积与x ，y 无关，由于点P 到平面EFQ 的距离等于点P 到平面A 1B 1CD 的距离，这个距离等于点P 到直线A 1D 的距离，等于22z ，故四面体PEFQ 的体积为13×12×1×22×22z ＝13z ，故四面体PEFQ 的体积只与z 有关，与x ，y 无关．8. 如图所示，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上．如果V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是( )A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π答案 D9．(2011·山西四校第二次联考)四棱锥P －ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如下图所示，则四棱锥P －ABCD 的表面积为________．答案 (2＋2)a 2解析 依题意得知，在该四棱锥中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝a ，底面四边形ABCD 是边长为a 的正方形，因此有PD ⊥CD ，PB ⊥BC ，PB ＝PD ＝2a ，所以该四棱锥的表面积等于a 2＋2×12a 2＋2×12×2a ×a ＝(2＋2)a 2.10. 如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为________．解析 方法一 设AB ＝a ，AD ＝b ，DD ′＝c ， 则长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的体积V ＝abc .又S △A ′DD ′＝12bc ，且三棱锥C －A ′DD ′的高为CD ＝a . ∴V 三棱锥C －A ′DD ′＝13S △A ′DD ′·CD ＝16abc . 则剩余部分的几何体积V 剩＝abc －16abc ＝56abc . 故V 棱锥C －A ′D ′D ∶V 剩＝16abc ∶56abc ＝1∶5.方法二 已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD ′A ′－BCC ′B ′，设它的底面ADD ′A ′面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C －A ′DD ′的底面面积为12S ，高是h ， 因此，棱锥C －A ′DD ′的体积 V C －A ′DD ′＝13×12Sh ＝16Sh . 余下的体积是Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为 16Sh ∶56Sh ＝1∶5.11．已知一个圆锥的展开图如上图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．答案22π3解析因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V＝13×π×12×22＝22π3.12．已知A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，四边形ABCD绕y轴旋转210°，则所得几何体的体积为________．答案35π12解析如图，∵V圆锥＝13π·22·2＝83π.V圆台＝13π·1·(22＋2×1＋12)＝73π.∴四边形ABCD绕y轴旋转360°所得几何体的体积为8π3＋7π3＝5π.∴绕y轴旋转210°所得几何体的体积为210360×5π＝35π12.13．(2011·全国新课标文)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．答案 13解析 设球心为O 1，半径为r 1，圆锥底面圆圆心为O 2，半径为r 2，则有316×4πr 21＝πr 22，即r 2＝32r 1，所以O 1O 2＝r 21－r 22＝r 12，设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h 1、h 2，则h 1h 2＝r 1－r 12r 1＋r 12＝13. 14．已知六棱锥P －ABCDEF ，其中底面为正六边形，点P 在底面上的投影为正六边形中心，底面边长为2 cm ，侧棱长为3 cm ，求六棱锥P －ABCDEF 的体积．答案 215 解析如图，O 为正六边形中心，则PO 为六棱锥的高，G 为CD 中点，则PG 为六棱锥的斜高，由已知得：CD ＝2 cm ，则OG ＝3，CG ＝1，在Rt △PCG 中，PC ＝3，CG ＝1，则 PG ＝PC 2－CG 2＝2 2.在Rt △POG 中，PG ＝22，OG ＝3，则 PO ＝PG 2－OG 2＝ 5.(或直接用：PO ＝PC 2－OC 2＝32－22＝5) V P －ABCDEF ＝13S ABCDEF ·PO ＝13×6×34×22×5＝215.15．棱长为a 的正四面体的四个顶点均在一个球面上，求此球的表面积．答案 32πa 2 解析以正四面体的每条棱作为一个正方体的面的一条对角线构造如图所示的正方体，则该正四面体的外接球也就是正方体的外接球．由图知正方体的棱长为22a ，正方体的对角线长为62a ，设正四面体的外接球的半径为R ，则2R ＝62a ，∴R ＝64a ，于是球的表面积S ＝4π·(64a )2＝32πa 2.1．把一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为________．答案 18a 22．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使体积最大，则高应为________．答案 2033解析 设圆锥底面半径为r ，高为h ，则h 2＋r 2＝202，∴r ＝400－h 2，∴圆锥体积V ＝13πr 2h ＝13π(400－h 2)h ＝13π(400h －h 3)，令V ′＝13π(400－3h 2)＝0得h ＝2033，当h <2033时，V ′>0；当h >2033时，V ′<0，∴h ＝2033时，体积最大．3. (2011·湖南文)如下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18 答案 D解析 这个空间几何体上半部分是一个半径为32的球，下半部分是一个底面正方形边长为3、高为2的正四棱柱，故其体积为4π3×(32)3＋3×3×2＝9π2＋18.4．(2011·辽宁文)已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A.33B.233C.433D.533答案 C解析 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，如图所示，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S －ABD 和C －ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD ＝BD ＝x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DBC ＝∠DAC ＝45°，所以在△BDC 中，BD ＝4－x ，所以x ＝4－x ，解得x ＝2，所以AD ＝BD ＝2，所以△ABD 为正三角形，所以V ＝13S △ABD ×4＝433.5．(2011·北京理)某四面体的三视图如下图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A ．8B ．6 2C ．10D ．8 2答案 C解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10，故选择C.1．(2010·新课标全国)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113 πa 2 D ．5πa 2答案 B解析 如上图，O 1，O 分别为上、下底面的中心，D 为O 1O 的中点，则DB 为球的半径，有r ＝DB ＝OD 2＋OB 2 ＝a 24＋a 23＝7a 212，∴S 表＝4πr 2＝4π×7a 212＝73πa 2.2．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )A.5π:6B.6π:2 C ．π:2 D ．5π:12答案 B 解析方法一：作过正方体对角面的截面，如图，设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，那么CC ′＝a ，OC ＝22a . 在Rt △C ′CO 中，由勾股定理得 CC ′2＋OC 2＝OC ′2， 即a 2＋(22a )2＝R 2，∴R ＝62a ，∴V 半球＝23πR 3＝23π(62a )3＝62πa 3，V 正方体＝a 3.因此V 半球:V 正方体＝62πa 3:a 3＝6π:2.方法二：将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径，设原正方体棱长为a ，球的半径是R ，则根据长方体的对角线性质，得(2R )2＝a 2＋a 2＋(2a )2，即4R 2＝6a 2，∴R ＝62a .从而V 半球＝23πR 3＝23π(62a )3＝62πa 3， V 正方体＝a 3.因此V 半球:V 正方体＝62πa 3:a 3＝6π:2.3．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是________．图1 图2答案 32a解析 如图1中容器内液面的高度为h ，液体的体积为V ，则V＝S △ABC h ，又如题图2中液体组成了一个直四棱柱，其底面积为34S △ABC ，高度为2a ，则V ＝34S △ABC ·2a ， ∴h ＝34S ABC ·2a S △ABC＝32a ，故填32a .4．如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长度为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹(曲面)与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为______．答案 π6解析 由于ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，所以DD 1⊥DN ，故三角形DMN 是直角三角形，斜边MN ＝2，又因为P 为MN 中点，所以DP ＝1，即P 点到定点D 的距离等于常数1，因此P 点的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面被正方体所截得的部分，所以所求几何体的体积V ＝18×43π×13＝π6.5．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由半径为1cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个几何体的总高度为()A．29 cm B．30 cmC．32 cm D．48 cm答案 A解析设这个几何体的总高度为x cm，则由两次不同放置方式没有液体的部分体积相等得(x－20)·π·12＝(x－28)·π·32，解得x＝29.因此，这个几何体的总高度为29 cm.6．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，如图所示，则CP＋P A1的最小值为________．答案5 2解析P A1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A1B＝AB1＝40，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示，CP＋P A1≥A1C.在△A1C1C中，由余弦定理得A1C＝62＋(2)2－2·6·2·cos135°＝50＝52，故(CP＋P A1)min＝5 2.7.右图所示为某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．思路先根据三视图确定几何体的形状，并确定其几何度量，根据几何体的形状灵活选择求解方法．解析由俯视图可知，几何体的底面是一个四边形，结合正视图与侧视图可知，该几何体是由底面半径为1，母线长为2的两个半圆锥组成的一个组合体，其形状如上图所示．该几何体的表面由两个半圆锥所在圆锥侧面积的一半以及两个圆锥的轴截面构成，因为这两个半圆锥的底面半径和母线长都相等，故该几何体的表面积就等于一个圆锥的侧面积与圆锥轴截面面积的两倍之和．其中圆锥的侧面积S1＝π×1×2＝2π；圆锥的轴截面△P AB中，AB＝2，PO＝22－12＝3，故其面积S2＝12×AB×OP＝12×2×3＝3.所以该几何体的表面积为S＝S1＋2S2＝2π＋2 3.故填2π＋2 3.点评本题的难点在于根据几何体的三视图确定空间几何体的结构特征，解决此类问题应从俯视图入手，先确定几何体的底面形状，然后根据主视图与侧视图确定其顶点或上底面，并根据三视图中的虚线逐步调整．该题是一个组合体的三视图，抓住侧视图的特征是确定组合体中简单几何体形状的关键，由三视图求解几何体体积、表面积特别要注意侧视图中的相关数据的转化．8．如下图(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示．(1)求证：BE ∥平面ADF ；(2)求三棱锥F －BCE 的体积．思路 (1)根据折叠前后位置关系的不变性，寻找线线平行或面面平行；(2)将体积转化或者直接求出三棱锥的高和底面积进行计算．解析 (1)解法一 取DF 的中点G ，连接AG ，EG ，∵CE 綊12DF ，∴EG 綊CD .又∵AB 綊CD ，∴EG 綊AB .∴四边形ABEG 为平行四边形．∴BE ∥AG .∵BE ⊄平面ADF ，AG ⊂平面ADF ，∴BE ∥平面ADF .解法二 由上图(1)可知BC ∥AD ，CE ∥DF ，折叠之后平行关系不变．∵BC ∥AD ，BC ⊄平面ADF ，AD ⊂平面ADF ，∴BC ∥平面ADF .同理CE ∥平面ADF .∵BC ∩CE ＝C ，BC 、CE ⊂平面BCE ，∴平面BCE ∥平面ADF .∵BE ⊂平面BCE ，∴BE ∥平面ADF .(2)解法一 ∵V F －BCE ＝V B －CEF ，由上图(1)，可知BC ⊥CD ，∵平面DCEF ⊥平面ABCD ，平面DCEF ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面DCEF .由上图(1)，可知DC ＝CE ＝1，S △CEF ＝12CE ×DC ＝12，∴V F －BCE ＝V B －CEF ＝13×BC ×S △CEF ＝16.解法二 由上图(1)，可知CD ⊥BC ，CD ⊥CE ，∵BC ∩CE ＝C ，∴CD ⊥平面BCE .∵DF ∥CE ，点F 到平面BCE 的距离等于点D 到平面BCE 的距离为1，由上图(1)，可知BC ＝CE ＝1，S △BCE ＝12BC ×CE＝12，∴V F －BCE ＝13×CD ×S △BCE ＝16.解法三 如右图所示，过E 作EH ⊥FC ，垂足为H ，由右图，可知BC ⊥CD ，∵平面DCEF ⊥平面ABCD ，平面DCEF ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面DCEF .又∵EH ⊂平面DCEF ，∴BC ⊥EH ，∴EH ⊥平面BCF .由BC ⊥FC ，FC ＝DC 2＋DF 2＝5，S △BCF ＝12BC ×CF ＝52，在△CEF 中，由等面积法可得EH ＝15，∴V F －BCE ＝V E －BCF ＝13×EH ×S △BCF ＝16. 【讲评】 解决折叠问题要注意折叠前后位置关系的变化，特别是对折叠前后不变的条件的应用．求三棱锥的体积，基本方法就是直接根据体积公式计算，其难点是求出这个三棱锥的高，也就是顶点到底面的距离，一般可以根据平行关系转化为其他的点到底面的距离，也可以借助于两个平面垂直的性质定理直接作出高(如解法三)，同时要注意转化思想的运用(三棱锥的特点就是可以以任何一个面作为底面)．9．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)求几何体D －ABC 的体积．解析(1)证明 在图1中，可得AC ＝BC ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ，取AC 的中点O ，连接DO ，则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ，又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)知BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.10. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合，求形成的三棱锥的外接球的体积．思路 易知折叠成的几何体是棱长为1的正四面体，要求外接球的体积只要求出外接球的半径即可．解析 由已知条件知，平面图形中AE ＝EB ＝BC ＝CD ＝DA ＝DE ＝EC ＝1.∴折叠后得到一个正四面体．方法一 作AF ⊥平面DEC ，垂足为F ，F 即为△DEC 的中心． 取EC 的中点G ，连接DG 、AG ，过球心O 作OH ⊥平面AEC . 则垂足H 为△AEC 的中心．∴外接球半径可利用△OHA ∽△GF A 求得．∵AG ＝32，AF ＝1－(33)2＝63，在△AFG 和△AHO 中，根据三角形相似可知，AH ＝33.∴OA ＝AG ·AH AF ＝32·3363＝64. ∴外接球体积为43π×OA 3＝43·π·6643＝68π.方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中，显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球． ∵正四面体的棱长为1， ∴正方体的棱长为22，∴外接球直径2R ＝3·22，∴R ＝64，∴体积为43π·(64)3＝68π.∴该三棱锥外接球的体积为68π.。