3多维随机变量及其分布

反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都
可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。
例１.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为
x y F ( x , y ) A[ B arctan( )][C arctan( )] 2 3
1)求常数A，B，C。
解: (1) F ( , ) A[ B ][ C ] 1 2 2 y
2. 分布函数
n 维随机变量( X1, X 2 ,, X n ) 的联合分布函数
F ( x1 , x2 ,, xn ) P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn },
其中 x1 , x2 ,, xn 为任意实数.
其中{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn } X i xi
故所求分布律为
Y
X
0 1 2
0
1 2
3 28
9 28
3 28
3 14
1 28
3 14
0
0
0
例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从 中任取一个, 不放回袋中,再任取一个,设每次取球 时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一 次和第二次取到的球上标有的数字,求 ( X, Y ) 的 分布律与分布函数.
O
几何意义： 分布函数F(x,y)表 示随机点(X,Y)落在
x
阴影区域中的概率
2. 分布函数的性质
1o F ( x , y ) 是变量 x 和 y 的不减函数 ,即对于任 意固定的 y , 当 x2 x1 时 F ( x2 , y ) F ( x1 , y ),
对于任意固定的x,当y2 y1时F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
P{ X 1, Y 3} P{ X 1, Y 4} P{ X 2, Y 2}
P{ X 2, Y 3} P{ X 2, Y 4} P{ X 3, Y 3} 1 1 1 1 25 P{ X 3, Y 4} P{ X 4, Y 4} 4 8 12 16 48
其中 pij 0,
pij 1. i 1 j 1


二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
Y
y1 y2 yj
X
x1 p11
p12
x2 p21
p22


xi pi 1
pi 2


p1 j
p2 j

pij

例2
设随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能地
4
于是 ( X ,Y ) 的分布律为 4
0
0
0
1 16 1 16 1 16 1 16
P{X 2} P{ X 2, Y 1} P{ X 2, Y 2} 1 1 1 P{ X 2, Y 3} P{ X 2, Y 4} 8 8 4
P{ X Y } P{X 1, Y 1} P{X 1, Y 2}
F ( , y ) A[ B
2)求 P{0 X 2,0 Y 3}
][ C arctg ( 3
x F ( x, ) A[ B arctg ( )][ C ]0 2 2 1 BC ,A 2 2
2
)] 0
1 (2) P{0 X 2,0 Y 3} F (2,3) F (0,3) F (2,0) F (0,0) 16
取值 , 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值. 求 ( X , Y ) 分布律, 及P( X 2), P( X Y )的值. 解 X 3 1 2 Y { X i ,Y j } 的取值情况是 : 1 1 1 j 取不大于 i 的正整数 . 1 4 8 12 i 1, 2, 3, 4, 且由乘法公式得 1 1 2 P { X i ,Y j } 0 12 8 1 1 P{Y j X i }P{ X i } , 1 i 4 3 0 0 i 1, 2, 3, 4, j i . 12
三.二维随机变量及其分布律
1.二维离散型随机变量定义 若二维随机变量
( X, Y ) 所取的可能值是有限对或无限可列多对,则 称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量.
2. 二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 所有可能取的 值为 ( x i , y j ), i , j 1, 2,, 记 P{ X x i , Y y j } pij , i , j 1, 2,, 称此为二维离散型随机 变量 ( X ,Y ) 的分布律 , 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律 .
3 2 3 8 3 P { X 1,Y 1} , 1 1 0 2 14 3 2 3 8 1 P { X 0,Y 2} , 0 2 0 2 28 3 2 3 8 9 P { X 1,Y 0} , 1 0 1 2 28 3 2 3 8 3 P { X 2, Y 0} . 2 0 0 2 28
2o
0 F ( x, y ) 1, 且有
lim 对于任意固定的 y, F ( , y ) x F ( x , y ) 0,
对于任意固定的 x , F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
y
F ( ,) x F ( x , y ) 0, F ( ,) x F ( x , y ) 1. lim lim
第三章
多维随机变量
第一节 多维随机变量及其分布 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 随机变量的独立性 第五节 随机变量函数的分布
3.1多维随机变量
一.二维随机变量 二.二维随机变量的分布函数 三.二维随机变量及其分布律
为什么要研究多维随机变量？
在实际问题中, 试验结果有时需要同 时用两个或两个以上的 r.v.来描述. 例如 用温度和风力来描述天气情况. 例如通过对含碳、硫、磷量的测定来研究 钢的成分. 要研究这些 r.v.之间的联系, 就 需考虑多维 r.v.及其取值规律—多维分布.
P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1 , y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1 } P{ X x1 ,Y y2 } P{ X x1 ,Y y1 } 0, 故 F ( x 2 , y2 ) F ( x 2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
其中第i个随机变量 i 称为第i个分量。 1,2,n) X (i n 维随机变量 X1 , X 2 ,, X n ) 取值范围是Rn 或其子集。 ( 请注意与一维情形的对照 . 一维随机变量X——R1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标 n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标 多维随机变量的研究方法也与一维类似， 用分布函数、概率密度或分布律来描述其统计规律
y y
3
o
F ( x , y ) F ( x 0, y ) , F ( x , y ) F ( x , y 0 ) ,
即 F ( x , y ) 关于 x 右连续, 关于 y 也右连续 .
4o 对于任意 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 ,
( X, Y ) 的可能取为 (1, 2), ( 2, 1), ( 2, 2). 1 2 1 P{ X 2 , Y 1} 2 1 1 , P{ X 1 , Y 2} , 3 2 3 3 2 3 2 1 1 Y X 1 2 P{ X 2 , Y 2} . 3 2 3 1 1 0 13 p11 0, p12 p21 p22 , 3 2 13 13 故 ( X , Y ) 的分布律为 解
有 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
( x1 , y2 )
Ⅱ
( x2 , y2 )
Ⅰ
( x1 , y1 )
Ⅳ
( x2 , y1 )
Ⅲ
o
x
证明
P{ x1 X x2 , y1 Y y2 }
n i 1

以下重点讨论二维随机变量,n维随机 变量情形可平行推广。
一.二维随机变量
定义 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 {} , 设
设 X X ( ) 和 Y Y ( ) 是定义在 上的随机变量, 由它们构成的一个向量( X , Y ) , 叫作二维随机向量或 二维随机变量.
1. 定义 设 X 1 X 1 ( ) , X 2 X 2 ( ) ,, X n X n ( ) 是定
义在 (, F , P)上的n个随机变量, 由它们构成的一个n 维 向量( X 1 ( ) , X 2 ( ) , , X n ( )) 叫做 n 维随机向量或 维 n 随机变量, 简记为( X 1 , X 2 , , X n ).
例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠
笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别表示 抽出的蓝笔数和红笔数,求 ( X, Y ) 的分布律. 解 ( X, Y ) 所取的可能值是
( 0,0), ( 0,1), (1,0 ), (1,1), ( 0,2), ( 2,0).
3 抽取两支都是绿笔 2 3 8 3 , 抽取一支绿笔,一支红笔 P { X 0,Y 0} 0 0 2 2 28 3 2 3 8 3 P { X 0,Y 1} , 0 1 1 2 14