【初高一衔接】专题01 绝对值-走进新高一之2020年暑假初升高数学完美衔接课(解析版)
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第一讲 数与式1、 绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式354x -<的解集 例2.求不等式215x +>的解集 例3.求不等式32x x ->+的解集 例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集． 例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x -+-＞4+x （2）|x +1|<|x －2|（3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -< (5)578x +> 3、因式分解 乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式：（1）()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．练习（1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4）24129m m -+ （5）2576x x +- （6）22126x xy y +-（7）()()3211262+---p q q p （8）22365ab b a a +- （9）()22244+--x x （10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a (13)x 2－2x －1（14） 31a +； （15）424139x x -+；（16）22222b c ab ac bc ++++； （17）2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。
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第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a,a0,| a | 0,a0,a, a0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。
② f (x) a(a 0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或 f ( x) a 。
③ f (x) g ( x) f 2 ( x)g 2 (x) 。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例 1.求不等式3x 5 4 的解集例 2. 求不等式2x 1 5的解集例 3. 求不等式x 3 x 2 的解集例 4. 求不等式 | x＋ 2| ＋ | x－ 1| ＞ 3 的解集．例 5. 解不等式 | x－ 1| ＋ |2 －x| ＞ 3－x．例 6. 已知关于x 的不等式| x－5|＋| x－3|＜ a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2） | x+1|<| x－2|（3） | x－ 1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5)5x 7 83、因式分解乘法公式（ 1）平方差公式( a b)( a b)a2b2（ 2）完全平方公式( a b) 2a22ab b2（ 3）立方和公式( a b)(a2ab b2 )a3b3（ 4）立方差公式( a b)(a2ab b2 )a3b3（ 5）三数和平方公式( a b c)2a2b2c22(ab bc ac)33223（ 7）两数差立方公式(a b)3a33a2b 3ab2b3因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例 1分解因式：（ 1）x2－3x＋ 2；（2）6x27 x2（ 3）x2(a b) xy aby2；（4）xy1 x y ．2．提取公因式法例 2. 分解因式：（ 1）a2b 5 a 5 b（ 2）x39 3x23x3．公式法例 3. 分解因式：（1）a416（ 2）3x 2 y2x y 24．分组分解法例 4. （ 1）x2xy 3y 3x（2）2x2xy y24x 5y65．关于x的二次三项式ax2+bx+c( a≠0)的因式分解．若关于 x 的方程ax2bx c0(a 0) 的两个实数根是x1、 x2，则二次三项式 ax2bx c(a0) 就可分解为a( x x1 )( x x2 ) .例 5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）x22x 1；（2）x24xy 4 y2．练习（1）x25x 6（ 2）x2a 1 x a（ 3）x211x18（4）4m212m9（5）57x6x2（6）12x2xy 6 y2（ 7 ）6 2 p q 211 q 2 p 38） a35a2 b 6ab 29 ）4 x22（（4x 2（10）x4 2 x21（ 11）x2y 2 a 2b22ax2by（12）a 24ab4 2 6 12b9(13)x2－2x－ 1b a（14）a31；（ 15）4x413x29 ；（16）b2c22ab 2ac 2bc ；（17）3x25xy 2 y2x 9 y4第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程(1)根的判别式对于一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝0（ a≠0），有:（ 1）当＞0 时，方程有两个不相等的实数根x＝ b b24ac；1， 22a（ 2）当＝ 0 时，方程有两个相等的实数根12b；x ＝ x＝－2a （3）当＜ 0 时，方程没有实数根．(2)根与系数的关系（韦达定理）如果 ax2＋ bx＋ c＝0（ a≠0）的两根分别是 x1， x2，那么 x1＋ x2＝b，x1·x2＝c．这一关系也被称为韦达a a定理．2、二次函数y ax2bx c 的性质1.当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b 2。
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专题01 数和式的运算之绝对值与乘法公式一、知识点精讲（一）绝对值⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>⇔-<<；||(0)x a a x a >>⇔<-或x a > (5)绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. (6)两个数的差的绝对值的几何意义:|a -b|表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离. 二、典例精析【典例1】化简下列各式(1)|3x -2|; (2)|x+1|+|x -3|; 【答案】见解析 【答案】见解析 【解析】232,()332223,()3x x x x x ⎧+≥⎪⎪-=⎨⎪-<⎪⎩【解析】 22,(1)134,(13)22,(3)x x x x x x x -+<-⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪->⎩;(4) 【答案】见解析 【答案】见解析=2,(2)22,(2)x x x x x -≥⎧-=⎨-<⎩【解析】=2222t t +=+【典例2】解下列方程（1）11x -= （2）211x -=【解析】（1）11x -=111120x x x x ⇔-=-=-⇔==或或（2）211x -=22221111200x x x x x x ⇔-=-=-⇔==⇔==或或【典例3】解下列不等式 (1)232x +≤【答案】见解析【解析】232x +≤152********x x x ⇔-≤-≤⇔≤≤⇔≤≤ (2) 13x x -+-＞4． 【答案】见解析【解法一】由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．【解法二】如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA|，即|PA|＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB|，即|PB|＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P 在点D(坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．【典例4】画出下列函数的图像(1)y x = (2) 22y x x =-++【答案】见解析【解析】（二）乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b -=+-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．（3）立方和公式 3322()()a b a b a ab b +=+-+；（4）立方差公式 3322()()a b a b a ab b -=-++；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-【典例5】分解下列因式 （1）31x - 【答案】见解析【解析】321(1)(1)x x x x -=-++ （2）31x + 【答案】见解析【解析】321(1)(1)x x x x +=+-+【典例6】计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++ 【答案】见解析【解析】22336(1)(1)(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x +--+++=-+=- 【典例7】已知：331,3x y x y xy +=++求 的值. 【答案】见解析【解析】33222223()()32()1x y xy x y x xy y xy x xy y x y ++=+-++=++=+=【典例8】已知：3331310,.x x x x -+=+求的值 【答案】见解析【解析】3310x x -+=322321111113()(1)()[()3]18x x x x x x x x x x x x⇒+=⇒+=+-+=++-= 【典例9】设33x y x y ==+求的值.【答案】见解析【解析】332222214,1,()()2()[()3]14(143)2702x y x y xy x y x y x xy y x y x y xy +==∴+===∴+=+-+-=++-=-=三、对点精练 1.下列叙述正确的是( ) A.若|a|=|b|,则a=b B.若|a|>|b|,则a>b C.若a<b,则|a|<|b| D.若|a|=|b|,则a=±b 【答案】D【解析】方法一：根据绝对值的意义可得。
数学 初高中衔接 学案 第一讲 绝对值
第一讲 绝对值【学习目标】1．借助数轴，理解绝对值的概念.2. 理解绝对值的代数意义，能根据条件化简绝对值.3. 通过图形的探索理解绝对值的几何意义，渗透数形结合的思想.【重点难点】绝对值的代数意义与几何意义应用，解含有绝对值的方程和不等式.【自主学习过程】知识提炼：1. 绝对值的代数意义：正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ,0的绝对值是 . 即⎪⎩⎪⎨⎧=a2. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到 的距离．3.绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是 ，即|x|≥0，绝对值最小的数是 .2. 任何数都有唯一的绝对值，并且任何数都不大于它的绝对值，即x |x|.3. 若两个数的绝对值相等，则这两个数 .【典例分析】例1 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A ．2a+3b-cB ．3b-cC ．b+cD ．c-b变式训练1 已知a ＜-2＜0＜b ＜2，去掉下列各式的绝对值符号： .1)3(,)2(,2)1(++-a bb a a例2 解不等式：|1|4x ->变式训练2 解不等式：(1) |5|5x +<(2) |3|20x -+>例3 解方程：|1||3|4x x -+-=变式训练3（1.） 如果||||5a b +=，且1a =-，则b = ；若|1|2,c -=则c = . （2.）解方程|2||4|8x x -++=.【课堂达标评价】1、 下列说法不正确的是（ ）.A. 有理数的绝对值一定是正数B. 数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远C. 一个有理数的绝对值一定不是负数D. 两个互为相反数的绝对值相等2. 若a 为任意实数，则下列式子中一定成立的是( )．A ．|a|＞0B ．|a|＞a C. a a 1> D. 01>+a3. 已知数轴上的三点A,B ，C 分别表示有理数a ,1,-1,那么1+a 表示（ ）.A. A,B 两点的距离B. A,C 两点的距离C. A,B 两点到原点的距离之和D. A,C 两点到原点的距离之和4. 如果有理数y x ,满足012)1(2=+-+-y x x ，则=+22y x .5. 解下列方程或者不等式：（1）512=+x ； （2）021=+--x x ； （3）32≥-x .第一讲 绝对值 课后作业1. 已知a 为有理数，下列式子一定正确的是（ ）.A ．︱a ︱＝aB ．︱a ︱≥aC ．︱a ︱＝－aD ． 2a ＞02. 下列不等式变形正确的是（ ）.A.由a<b ，得a-2>b-2B.由a<b ，得-2a>-2bC.由a<b ，得∣a ∣<∣b ∣D.由a<b ，得a 2<b 2 3. x =y ，那么x 和y 的关系 .4. 已知=+-=-==b a a b b a b a 那么且,,3,5 .5. 解下列方程或者不等式：（1）713=-x ； （2）135≤+x ； （3）238=+--x x .6. 化简：(1)|x+1|+|x-2|; (2)|1-3x|+|1+2x|．。
初高衔接课程1 绝对值、二次根式、分式运算
(一)绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1、 解不等式：|x |1≥ 例2、 解不等式：|1|2x -≤ 你自己能总结出一般性的结论吗?例3、解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．1A 0 C |x －1||x －3|图1．1－1练习1．填空题：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________ 2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．4．解下列不等式： （1）3233x x ++-≥（2）134x x +-->-（二）二次根式（1）0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b212x ++，22x y + 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，等等． 一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2的意义a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．解： （1=（20)a ==≥；（3220)x x x ==-<．例2 (3．解法一： (3)解法二：(3)＝12．例3试比较下列各组数的大小：（1（2.解：（11===，1110=，>（2）∵1===又4＞22，∴6＋4＞6＋22，.练习：1．将下列式子化为最简二次根式：（1（22．3．（三）二次根式（2）例4 化简：20042005⋅．解：20042005⋅＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤⋅-⋅⎣⎦＝20041⋅-例 5 化简：（1 （21)x <<．解：（1）原式===2=2=．（2）原式1x x =-，∵01x <<， ∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ．解： ∵2210x y +==+=，1xy ==， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练习1．填空题：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）__ ___；（4）若x ==______ __．(5)=成立的条件是 。
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第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。
② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。
③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。
1.1.1 绝对值(解析版)2023年初升高数学无忧衔接(通用版)
第1.1章数与式1.1.1绝对值初中要求1.借助数轴理解绝对值的意义，掌握求绝对值的方法，知道|U的含义(这里表示有理数)高中要求1会求含绝对值的方程与不等式；2理解含绝对值的函数.1.绝对值的概念在数轴上，一个数所对的点与原点的距离叫做该数的绝对值.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即|U=， >00， =0−，<02.绝对值的性质(1)≥0，≥，≥−；(2)=⇔=或=−；(3)2=|2=2，B=∙=≠0)；(4)三角不等式：+≤+|U，当且仅当，同号或其中一个为0时取等号.3.解含绝对值的不等式|U<o>0)的解集是−<<．|U>o>0)的解集是<−或>．(从几何的角度思考)【题型1】绝对值的几何意义【典题1】若−−22+2+−3=0，则=，=.解析依题意可得，−−2=02+−3=0，解得=53，=−13.【典题2】同学们都知道，|7-(-4)|表示7与-4之差的绝对值，实际上也可理解为7与-4两数在数轴上所对的两点之间的距离．|7-4|也可理解为7与4两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求|7−(−4)|=．(2)找出所有符合条件的整数x，使得|−(−6)|+|−2|=8这样的整数是．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，|−1|+|−5|是否有最小值？如果有写出最小值请尝试说明理由．如果没有也要请尝试说明理由．解析(1)|7-(-4)|=11；故答案是：11；(2)式子|−(−6)|+|−2|=8可理解为：在数轴上，某点到-6所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为8，所以满足条件的整数x可为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，故答案为：-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2．(3)有最小值．最小值为4，理由是：∵|−1|+|−5|理解为，在数轴上表示x到1和5的距离之和，∴当x在1与5间的线段上(即1≤x≤5)时：即|x-1|+|x-5|的值有最小值，最小值为4．变式练习1.若+−2与|−−4|互为相反数，则2−=.答案7解析依题意得+−2=0−−4=0，解得=3=−1，则2−=7.2.、、三个数在数轴上位置如图所示，且|a|=|b|(1)求出、、各数的绝对值；(2)比较，−、−的大小；(3)化简|+U+|−U+|+U+|−U．答案(1)-c(2)-a＜a＜-c(3)-2c解析(1)∵从数轴可知：＜＜0＜，∴|U=，|U=−，|U=−；(2)∵从数轴可知：＜＜0＜，|U＞|U，∴−＜＜−；(3)根据题意得：+=0，−＞0，+＜0，−＞0，则|+U+|−U+|+U+|−U=0+−−−+−=−2u3.设=|+1|，=|−1|，=|+3|，求a+2b+c的最小值。
初高中数学知识衔接(1)高一兴趣班1
解：
3．关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解． 若关于 x 的方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个实数根是 x1 、x2 ，则二次三项式 ax2 bx c(a 0)
就可分解为 a(x x1)(x x2 )
第一章集合章节复习
空集.{∅ }是含有一个元素∅ 的集合．∅ ⊆{0}，∅ ⊆{∅ }，∅ ∈{∅ }，{0}∩{∅ }＝∅ .
2．集合间的基本关系
(1)子集、真子集及其性质
对任意的 x∈A，都有 x∈B，则
．若 A⊆B，且在 B 中至少有一个元素 x∈B，但 x∉ A，则
．
∅ A； A A；
A⊆B，B⊆C⇒A C.
【基本概念】
1．集合与元素
(1) 对集合，一定要抓住集合的代表元素，及集合元素的三个特征：
、
、
．
(2)元素与集合的关系是 或
关系，用符号 或 表示．
(3)集合的表示法：
、
、
．
(4)常用数集：自然数集 N；正整数集 N*(或 N＋)；整数集 Z；有理数集 Q；实数集 R.
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为
（2）完全平方公式
(a b)2 a2 2ab b2 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 必 须 （2）立方差公式
记 住
（3）三数和平方公式
（4）两数和立方公式
(a b)(a2 ab b2) a3 b3 ； (a b)(a2 ab b2) a3 b3 ； (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac) ； (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ；
初升高数学衔接知识点
初升高数学衔接知识点1.绝对值绝对值的几何意义是表示一个数在数轴上的点到原点的距离。
两个数的差的绝对值的几何意义是指在数轴上，这两个数之间的距离。
填空。
1) 若 x=5，则 x=5；若 x=-4，则 x=-4.2) 如果 a+b=5，且 a=-1，则 b=6；若 1-c=2，则 c=-1.选择题。
下列叙述正确的是（C）若a<b，则a<b。
化简：|x-5|-|2x-13| (x>5)。
2.乘法公式我们在初中已经研究过了一些乘法公式。
1) 平方差公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2.2) 完全平方公式 (a±b)^2=a^2±2ab+b^2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式。
1) 立方和公式 (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3.2) 立方差公式 (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.3) 两数和立方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.4) 两数差立方公式 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.练。
填空。
1) 1111.2) (4m+2)^2=16m^2+4m+4.3) a^2-b^2=(b+a)(b-a)。
4) (a+2b-c)^2=a^2+4b^2+c^2-2ab+2ac-4bc。
选择题。
1) 若 x^2+mx+k 是一个完全平方式，则 k 等于 1.2) 不论 a，b 为何实数，a^2+b^2-2a-4b+8 的值可以是正数也可以是负数。
3.分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法。
十字相乘法。
例1 分解因式。
1) x^2-3x+2.2) x^2+4x-12.3) x^2-(a+b)xy+aby^2.4) xy-1+x-y。
提取公因式法与分组分解法。
例2 分解因式。
1) x^3+9+3x^2+3x。
2) 2x^2+xy-y^2-4x+5y-6.练。
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>⇔-<<；||(0)x a a x a >>⇔<-或x a > 2 乘法公式：⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+-⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+，⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程ax b=解的讨论①当0a≠时，方程有唯一解bxa =；②当0a=，0b≠时，方程无解③当0a=，0b=时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6 不等式与不等式组（1）不等式：①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
专题01 绝对值-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课(原卷版)
专题01：绝对值1、绝对值的定义在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．①绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：②绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．③一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2、绝对值的性质①0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．②互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.③绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．3、数轴上两点之间的距离、x2，则A、B两点之间的距离为.若A、B是数轴上的两个点，它们表示的数分别为x4、含绝对值的方程与函数①含有绝对值的方程要先去掉绝对值的符号，再求未知数的值；②绝对值函数的定义：，绝对值函数的定义域是一切实数，值域是非负数.例1、利用绝对值的性质化简如果a、b、c、d为互不相等的有理数，且，那么等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解答】C【解析】由已知可得，不妨设，∵，∴a－c与b－c互为相反数，即a－c＝－（b－c），a＋b＝2c，，∴，∵，∴b－c与d－b相等，即b－c＝d－b，2b＝c＋d，∵，∴，∴，∴，同理，若设，可得，∴C选项正确.例2、化简求最值已知实数x、y、z满足，则代数式的最大值是.【解答】24【解析】∵当时，，当时，，当时，，故的最小值为4，同理可得，当时，最小值为3；当时，最小值为9，则4×3×9＝108，故x、y取最大值，z取最小值时，代数式的值最大，最大值为.例3、绝对值方程【解答】【解析】计算步骤如下：∴.例4、绝对值函数作出函数的图像.【解答】见解析【解析】由题意可得，函数图像如图所示：巩固练习一．选择题1．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．112．设x为有理数，若|x|＝x，则（）A．x为正数B．x为负数C．x为非正数D．x为非负数3．已知x是正实数，则|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|的最小值是（）A．2B．C D．04．已知实数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＜0，，则x2019的值为（）A．1B．﹣1C．32019D．﹣320195．能使等式|2x﹣3|+2|x﹣2|＝1成立的x的取值可以是（）A．0B．1C．2D．36．已知x，y都是整数，若x，y的积等于8，且x﹣y是负数，则|x+y|的值有（）个．A．1B．2C．3D．47．定义：平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法），若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点M，已知点M在第一象限，且2≤|M|≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，则t的取值范围为（）A．2018≤t≤2019B．2019≤t≤2020C．2020≤t≤2021D．2021≤t≤20228．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题9．，则x＝．10．若x＝|x﹣|x﹣2017||，则x＝．11．若对于某一范围内的x的任意值，|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣10x|的值为定值，则这个定值为．12．已知|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a﹣2b的值为．13．若|m﹣n|＝n﹣m，且|m|＝4，|n|＝3，则m+n＝．=0有一个正根、一个负根，且正根的绝对值不大于负根的14．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x−m24绝对值，则m的取值范围是．15．已知a，b为实数，且√2a+6+|b−√2|＝0，则a+b的绝对值为．三．解答题16．已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|．17．计算：已知x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．18．设a＜0，且|x+1|﹣|x﹣2|的值．19．已知实数a，b，c满足：a+b+c＝﹣2，abc＝﹣4．（1）求a，b，c中的最小者的最大值；（2）求|a|+|b|+|c|的最小值．20．四个数分别是a，b，c，d，满足|a﹣b|+|c﹣d|＝|a﹣d|，（n≥3且为正整数，a＜b＜c＜d）．（1）若n＝3．①当d﹣a＝6时，求c﹣b的值；②对于给定的有理数e（b＜e＜c），满足|b﹣e|＝|a﹣d|，请用含b，c的代数式表示e；（2）若e＝b﹣c|，f＝a﹣d|，且|e﹣f|＞|a﹣d|，试求n的最大值．21．若x，y为非零有理数，且x＝|y|，y＜0，化简：|y|+|﹣2y|﹣|3y﹣2x|﹣2y．22．已知：b是最大的负整数，且a，b，c满足|a+b|+（4﹣c）2016＝0，试回答问题：（1）请直接写出a，b，c的值；（2）若a，b，c所对应的点分别为A，B，C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时（即0≤x≤1），请化简式子：|x+1|﹣|1﹣x|+2|x﹣4|．23．已知a，b，c都不等于零，且m，最小值为n，求的值．24．再看绝对值（1）当x＝3，|x﹣2|＝；当x＝2，|x﹣2|＝；当x＝﹣1，|x﹣2|＝；（2）化简：|x﹣2|；（3）在|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|中．当x＝．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|有最小值，最小值为；（4）在|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|+…+|x﹣x n|中，若x1＜x2＜x3＜…＜x n（其中：x1，x2，x3，…，x n为常数），试回答：当x为何值时，|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|+…+|x﹣x n|有最小值，最小值为多少？25．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，则A，B两点间的距离表示为AB|＝|a﹣b|．根据以上信息解答下列问题：（1）若数轴上A，B两点表示的数分别为x，﹣1：①A，B之间的距离可用含x的式子表示为；②若连接两点之间的距离为2，则x值为．（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为3，此时x的取值范围是．（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x﹣2y的最大值和最小值．26．同学们都知道：|6﹣（﹣3）|表示6与﹣3之差的绝对值，实际上，也可以理解为：6与﹣3两数在数轴上所对应的点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）7与﹣4在数轴上所表示的点之间的距离为；x与2在数轴上所表示的点之间的距离为；（2）若|x﹣2|＝5，则x＝；（3）同理，|x+3|+|x﹣1|表示有理数x在数轴上的对应点与﹣3和1所对应的点的距离之和．请求出所有符合条件：|x+3|+|x﹣1|＝4的整数。
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝(0)a a >⎧⑷x a >⑴⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程ax b =解的讨论①当0a ≠时，方程有唯一解b x a=； ②当0a =，0b ≠时，方程无解③（（2（3（4② ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
（4）一元一次不等式组：8函数（1）变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。
（2）一次函数：①若两个变量y ,x 间的关系式可以表示成y kx b =+（b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数。
②当b =0时，称y 是x 的正比例函数。
（3）一次函数的图象及性质①把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
>0，b <0④当（4（5①函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a =-对称。
②0a >时，在对称轴（2b x a=-）左侧，y 值随x 值的增大而减少；在对称轴（2b x a =-）右侧；y 的值随x 值的增大而增大。
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绝对值1、绝对值的定义在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．①绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：②绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．③一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2、绝对值的性质①0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．②互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.③绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．3、数轴上两点之间的距离若A、B是数轴上的两个点，它们表示的数分别为x1、x2，则A、B两点之间的距离为.4、含绝对值的方程与函数①含有绝对值的方程要先去掉绝对值的符号，再求未知数的值；，绝对值函数的定义域是一切实数，值域是非负数.例1、利用绝对值的性质化简如果a、b、c、d为互不相等的有理数，，那么等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解答】C【解析】由已知可得，不妨设，∵，∴a－c与b－c互为相反数，即a－c＝－（b－c），a＋b＝2c，又∵，∴，∵，∴b－c与d－b相等，即b－c＝d－b，2b＝c＋d，∵，∴，∴，∴，同理，若设，可得C选项正确.例2、化简求最值已知实数x、y、z，则代数式的最大值是 .【解答】24时，，当时，，当时，，故的最小值为4，同理可得，当时，3；当时，最小值为9，则4×3×9＝108，故x、y取最大值，z取最小值时，代数式的值最大，最大值为.例3、绝对值方程【解答】【解析】计算步骤如下：∴例4、绝对值函数作出函数的图像.【解答】见解析【解析】由题意可得，函数图像如图所示：绝对值巩固练习一．选择题1．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（）A．﹣7 B．﹣1 C．5 D．11【解答】A【解析】第1次操作，a1＝|23+4|﹣10＝17；第2次操作，a2＝|17+4|﹣10＝11；第3次操作，a3＝|11+4|﹣10＝5；第4次操作，a4＝|5+4|﹣10＝﹣1；第5次操作，a5＝|﹣1+4|﹣10＝﹣7；第6次操作，a6＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7；第7次操作，a7＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7；…第2020次操作，a2020＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7．2．设x为有理数，若|x|＝x，则（）A．x为正数B．x为负数C．x为非正数D．x为非负数【解答】D【解析】设x为有理数，若|x|＝x，则x≥0，即x为非负数．3．已知x是正实数，则|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|的最小值是（）A．2 B C．D．0【解答】B【解析】|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|＝|x﹣1|+2|x﹣|+4|x|+5|x﹣当x﹣＝0，即x时取最小值，最小值为：|﹣1|+2|﹣﹣﹣＝++＝．4．已知实数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＜0，，则x2019的值为（）A．1 B．﹣1 C．32019D．﹣32019【解答】B【解析】已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，则b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a、b、c两正一负，则1﹣1﹣1＝﹣1．5．能使等式|2x﹣3|+2|x﹣2|＝1成立的x的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】C【解析】A、当x＝0时，原式＝3+4＝7，不合题意；B、当x＝1时，原式＝1+2＝3，不合题意；C、当x＝2时，原式＝1+0＝1，符合题意；D、当x＝3时，原式＝3+2＝5，不合题意；6．已知x，y都是整数，若x，y的积等于8，且x﹣y是负数，则|x+y|的值有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】B【解析】∵x，y都是整数，x，y的积等于8，且x﹣y是负数，∴x＝﹣8，y＝﹣1或x＝﹣4，y＝﹣2或x＝1，y＝8或x＝2，y＝4，∴|x+y|＝9或6，一共2个．二．填空题7．已知，则x＝．【解答】﹣5或7【解析】因为＝3，所以|1﹣x|＝6，所以1﹣x＝±6，所以1﹣x＝6，或1﹣x＝﹣6，所以x＝﹣5，或x＝7．8．若x＝|x﹣|x﹣2017||，则x＝．【解答】2017【解析】∵x＝|x﹣|x﹣2017||，∴x＝x﹣|x﹣2017|或x＝|x﹣2017|﹣x∴﹣|x﹣2017|＝0或2x＝|x﹣2017|当﹣|x﹣2017|＝0时，解得x＝2017当2x＝|x﹣2017|时，①若0＜x＜2017，2x＝﹣x+2017，解得x＝②x＞2017，2x＝x﹣2017，解得x＝﹣2017（舍去）．9．若对于某一范围内的x的任意值，|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣10x|的值为定值，则这个定值为．【解答】3【解析】∵P为定值，∴P的表达式化简后x的系数和为0；由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10；∴x的取值范围是：1﹣7x≥0且1﹣8x≤0，即所以P＝（1﹣2x）+（1﹣3x）+…+（1﹣7x）﹣（1﹣8x）﹣（1﹣9x）﹣（1﹣10x）＝6﹣3＝3．10．已知|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a﹣2b的值为．【解答】﹣1或7【解析】∵|a|＝3，|b|＝2，∴a＝±，b＝±2，∵a＞b，∴a＝3，b＝±2，∴a﹣2b＝3﹣2×2＝﹣1或a﹣2b＝3﹣2×（﹣2）＝7．11．若|m﹣n|＝n﹣m，且|m|＝4，|n|＝3，则m+n＝．【解答】﹣1或﹣7【解析】∵|m|＝4，|n|＝3，∴m＝±4，n＝±3，而|m﹣n|＝n﹣m，∴n＞m，∴n＝3，m＝﹣4或n＝﹣3，m＝﹣4，∴m+n＝3+（﹣4）＝﹣1；或m+n＝﹣3+（﹣4）＝﹣7．三．解答题12．已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|．【解答】2c【解析】由数轴知：b＜a＜0＜c，c＞|a|，∴a+c＞0，b﹣c＜0，a﹣b＞0，所以|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|＝a+c﹣b+c﹣a+b＝2c．13．计算：已知，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．【解答】﹣36【解析】∵|x|＝|y|＝x＜y＜0，∴x＝﹣，y＝﹣∴6÷（x﹣y）＝6÷（﹣+＝﹣36．14．设a＜0，且，求|x+1|﹣|x﹣2|的值．【解答】﹣3【解析】因为a＜0，所以x≤，所以x+1≤0，x﹣2＜0，所以|x+1|﹣|x﹣2|＝﹣x﹣1+x﹣2＝﹣3．15．已知实数a，b，c满足：a+b+c＝﹣2，abc＝﹣4．（1）求a，b，c中的最小者的最大值；（2）求|a|+|b|+|c|的最小值．【解答】（1）-4；（2）6【解析】（1）不妨设a是a，b，c中的最小者，即a≤b，a≤c，由题设知a＜0，且b+c＝﹣2﹣a，，于是b，c是一元二次方程，a2+4a2+4a+16≤0，（a2+4）（a+4）≤0，所以a≤﹣4；又当a＝﹣4，b＝c＝1时，满足题意．故a，b，c中最小者的最大值﹣4．（2）因为abc＜0，所以a，b，c为全小于0或二正一负．①当a，b，c为全小于0，则由（1）知，a，b，c中的最小者不大于﹣4，这与a+b+c＝﹣2矛盾．②若a，b，c为二正一负，设a＜0，b＞0，c＞0，则|a|+|b|+|c|＝﹣a+b+c＝﹣2a﹣2≥8﹣2＝6，当a＝﹣4，b＝c＝1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故|a|+|b|+|c|的最小值为6．16．四个数分别是a，b，c，d，满足|a﹣b|+|c﹣d|＝|a﹣d|，（n≥3且为正整数，a＜b＜c＜d）．（1）若n＝3．①当d﹣a＝6时，求c﹣b的值；②对于给定的有理数e（b＜e＜c），满足|b﹣e||a﹣d|，请用含b，c的代数式表示e；（2）若e﹣c|，f﹣d|，且|e﹣f||a﹣d|，试求n的最大值．【解答】（1）①c﹣b＝4，②e b；（3）n的最大值是4【解析】（1）①∵n＝3，∴|a﹣b|+|c﹣d|＝|a﹣d|，∵a＜b＜c＜d，∴b﹣a+d﹣c＝（d﹣a），∴c﹣b＝d﹣a），∵d﹣a＝6，∴c﹣b＝4；②∵b＜e＜c，|b﹣e|＝|a﹣d|，∴e﹣b（d﹣a），∵e﹣b＝（c﹣b），∴e﹣b×c﹣b）＝（c﹣b），∴e＝c+b；（2）∵|a﹣b|+|c﹣d|＝|a﹣d|，a＜b＜c＜d，∴c﹣b＝（1﹣）（d﹣a），∵e＝﹣c|，f＝|a﹣d|，且|e﹣f|＞|a﹣d|，∴|﹣c|﹣﹣d||＞|a﹣d|，∴|（1﹣）（d﹣a）|﹣﹣d|||a﹣d|，∴|a﹣d|＞|a﹣d|，∴2n＜10，∴n＜5，∵n≥3且为正整数，∴n的最大值是4．17．若x，y为非零有理数，且x＝|y|，y＜0，化简：|y|+|﹣2y|﹣|3y﹣2x|﹣2y．【解答】原式＝﹣2x﹣2y【解析】∵x＝|y|，y＜0，∴x＞0，x＝﹣y，∴﹣2y＞0，3y﹣2x＜0，则原式＝﹣y﹣2y+3y﹣2x﹣2y＝﹣2x﹣2y．18．已知：b是最大的负整数，且a，b，c满足|a+b|+（4﹣c）2016＝0，试回答问题：（1）请直接写出a，b，c的值；（2）若a，b，c所对应的点分别为A，B，C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时（即0≤x≤1），请化简式子：|x+1|﹣|1﹣x|+2|x﹣4|．【解答】（1）b＝﹣1，a＝﹣b＝1，c＝4；（2）原式＝8【解析】（1）∵b是最大的负整数，|a+b|+（4﹣c）2016＝0，∴b＝﹣1，a＝﹣b＝1，c＝4；（2）∵0≤x≤1，∴x+1＞0，1﹣x≥0，x﹣4＜0，∴|x+1|﹣|1﹣x|+2|x﹣4|＝x+1﹣（1﹣x）+2（4﹣x）＝8．19．已知a，b，c都不等于零，且的最大值是m，最小值为n，求的值．【解答】原式＝﹣1【解析】当a，b，c三个都大于0，当a，b，c，都小于0，可得，当a，b，c，当a，b，c 二正一负可得，∴m＝2，n＝﹣2∴原式＝﹣120．再看绝对值（1）当x＝3，|x﹣2|＝；当x＝2，|x﹣2|＝；当x＝﹣1，|x﹣2|＝；（2）化简：|x﹣2|；（3）在|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|中．当x＝．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|有最小值，最小值为；（4）在|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|+…+|x﹣x n|中，若x1＜x2＜x3＜…＜x n（其中：x1，x2，x3，…，x n为常数），试回答：当x为何值时，|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|+…+|x﹣x n|有最小值，最小值为多少？【解答】（1）1，0，3；（2）见解析；（3）当x＝2，最小值为4；（4）见解析【解析】（1）当x＝3，|x﹣2|＝3﹣2＝1；当x＝2，|x﹣2|＝2﹣2＝0；当x＝﹣1，|x﹣2|＝1+2＝3；故答案为：1，0，3；（2）分三种情况：①当x＜2时，|x﹣2|＝2﹣x，②当x＝2时，|x﹣2|＝0，③当x＞2时，|x﹣2|＝x﹣2，（3）当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|＝﹣x﹣1+2﹣x+3﹣x＝﹣3x+4，则﹣3x+4≥7；当﹣1＜x≤2时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+1+2﹣x+3﹣x＝﹣x+6，则4≤﹣x+6＜7；当2＜x≤3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+1+x﹣2﹣x+3＝x+2，则4＜x+2≤5；当x＞3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+1+x﹣2+x﹣3＝3x﹣4，则3x﹣4＞5．综上所述，当x＝2．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|有最小值，最小值为4；故答案为：2，4；（4）当n为奇数时，时，|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|+…+|x﹣x n|有最小值x n+x n﹣1+…+﹣…﹣x2﹣x1，当n为偶数时，时，|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|+…+|x﹣x n|有最小值x n+x n﹣1+…+x2﹣x1．。