12.2一次数第六课时一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的关系
第2课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
义务教育教科书（华师）八年级数学下册 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
物竞天择势必至，不优则劣兮不兴 则亡。
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司————助您成功
一次函数一次方程和一元一次不等式基础知识讲解
一次函数、一次方程和一元一次不等式（基础）责编：杜少波【学习目标】1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．【要点梳理】要点一、一次函数与一元一次方程一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）.当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值.要点二、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点三、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.要点四、如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．【典型例题】类型一、一次函数与一元一次方程1、若直线y kx b =+与x 轴交于（5，0）点，那么关于x 的方程0kx b +=的解为______.【答案】5x =【解析】kx b +＝0的解是直线y kx b =+与x 轴交点横坐标.【总结升华】当函数0y =时，就得到了一元一次方程kx b +＝0，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.举一反三：【变式1】如图，已知直线y ax b =-，则关于x 的方程1ax b -=的解x ＝_________.【答案】4；提示：根据图形知，当y ＝1时，x ＝4，即1ax b -=时，x ＝4．∴方程1ax b -=的解x ＝4．【变式2】如图，直线y kx b =+分别交x 轴和y 轴于点A 、B ，则关于x 的方程kx b +＝0的解为_______.【答案】2x =-；提示：方程kx b +＝0的解其实就是当0y =时一次函数y kx b =+与x 轴的交点横坐标．由图知：直线y kx b =+与x 轴交于点（－2，0），即当x ＝－2时，y kx b =+＝0.类型二、一次函数与一元一次不等式2、（2015•乐山模拟）如图，直线y=kx+b 交坐标轴于A （﹣3，0）、B （0，1）两点，则不等式﹣kx ﹣b ＜0的解集为（ ）A ．x ＞﹣3B ．x ＜﹣3C ．x ＞3D ．x ＜3【思路点拨】求﹣kx ﹣b ＜0的解集，即为kx+b ＞0，就是求函数值大于0时，x 的取值范围．【答案】A ；【解析】解：∵要求﹣kx ﹣b ＜0的解集，即为求kx+b ＞0的解集，∴从图象上可以看出等y ＞0时，x ＞﹣3．故选：A ．【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．举一反三：【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，例2】【变式】如图，直线y kx b =+与坐标轴的两个交点分别为A （2，0）和B （0，－3），则不等式kx b +＋3≥0的解集是（ ）A ．x ≥0B ．x ≤0C ．x ≥2D ．x ≤2【答案】A ；提示：从图象上知，直线y kx b =+的函数值y 随x 的增大而增大，与y 轴的交点为B （0，－3），即当x ＝0时，y ＝－3，所以当x ≥0时，函数值kx b +≥－3．3、直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为（ ）．A ．1->xB ．1-<xC ．2-<xD ．无法确定y=k 2-1-2y x y=k 1x+b O【答案】B ；【解析】从图象上看x k b x k 21>+的解，就是找到1l 在2l 的上方的部分图象，看这部分图象自变量的取值范围.当1-<x 时，x k b x k 21>+，故选B.【总结升华】本题考察了用数形结合的方法求解不等式的大小关系，解题的关键是找出表示两条直线的交点的横坐标，再根据在上方的图象表示的函数值大，下方的图象表示的函数值小来解题.举一反三：【变式】直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式1k x b +＜2k x c +的解集为（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞－2D ．x ＜－2【答案】B ；提示：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的交点是（1，－2），根据图象得到x ＜1时不等式1k x b +＜2k x c +成立．4、画出函数21y x =+的图象，并利用图象求：(1)方程2x ＋1＝0的解；(2)不等式2x ＋1≥0的解集；(3)当y ≤3时，x 的取值范围；(4)当－3≤y ≤3时，x 的取值范围．【思路点拨】可用两点法先画出函数21y x =+的图象，方程2x ＋1＝0的解从“数”看就是自变量x 取何值时，函数值是0，从“形”看方程2x ＋1＝0的解就相当于确定直线21y x =+与x 轴的交点，故图象与x 轴交点的横坐标就是方程2x ＋1＝0的解．同理：图象在x 轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式2x ＋1＞0的解集．【答案与解析】解：列表： x 012- y 1 0在坐标系内描点(0，1)和1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，并过这两点画直线，即得函数21y x =+的图象．如图所示．(1)由图象可知：直线21y x =+与x 轴交点1,02⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴ 方程2x ＋1＝0的解为12x =-； (2)由图象可知：直线21y x =+被x 轴在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭点分成两部分，在点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭右侧，图象在x 轴的上方．故不等式2x ＋1≥0的解集为12x ≥-； (3)过点(0，3)作平行于x 轴的直线交直线21y x =+于点M ，过M 点作x 轴的垂线，垂足为N ．则N 点坐标为(1，0)；从图象上观察，在点(1，0)的左侧，函数值y ≤3，则当y ≤3时，自变量x 的取值范围是x ≤1；(4)过(0，－3)作x 轴的平行线交直线21y x =+于点P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为H ，则点H 的坐标为(－2，0)．观察图象，在(－2，0)的右侧，在(1，0)的左侧，函数值－3≤y ≤3．∴ 当－3≤y ≤3时，自变量的取值范围是－2≤x ≤1．【总结升华】仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系：(1)一元一次方程0kx b y +=(0y 是已知数)的解就是直线y kx b =+上0y y =这点的横坐标；(2)一元一次不等式1y ≤kx b +≤2y (1y ，2y 是已知数，且1y ＜2y )的解集就是直线y kx b =+上满足1y ≤y ≤2y 那条线段所对应的自变量的取值范围；(3)一元一次不等式kx b +≤0y (或kx b +≥0y )(0y 是已知数)的解集就是直线y kx b =+上满足y ≤0y (或y ≥0y )那条射线所对应的自变量的取值范围.举一反三：【变式】（2015秋•蒙城县校级月考）画出函数y=2x+6的图象，利用图象：（1）求方程2x+6=0的解；（2）求不等式2x+6＞0的解；（3）若﹣2≤y≤2，求x 的取值范围．【答案】解：图象为：（1）观察图象知：该函数图象经过点（﹣3，0），故方程2x+6=0的解为x=﹣3；（2）观察图象知：当x ＞﹣3时，y ＞0，故不等式2x+6＞0的解为x ＞﹣3；（3）当﹣2≤y≤2时，﹣4≤x≤﹣2．类型三、用一次函数的性质解决不等式的实际问题5、（1）如图，是函数y kx b =+的图象，它与x 轴的交点坐标是（－3，0），则方程kx b +＝0的解是_________；不等式kx b +＞0的解集是__________.（2）如图：OC ，AB 分别表示甲、乙两人在一次赛跑中．各自的路程S （米）和时间t （秒）的函数图象，根据图象写出一个正确的结论___________.【答案】（1）3x =-；3x <-；（2）根据图象的性质可以得到，两个两个函数的交点意义是当x ＝9秒时，两个人跑的路程相等，即两个人相遇；或者从图象上看出乙的速度比甲的速度快．【解析】（1）从图象上得到函数的增减性及与x 轴的交点的横坐标，即能求得方程kx b +＝0的解和不等式kx b +＞0的解集．（2）根据图象的性质可以得到，两个两个函数的交点意义是当x ＝9秒时，两个人跑的路程相等，即两个人相遇；或者从图象上看出乙的速度比甲的速度快．【总结升华】认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解数形结合思想的应用．。
沪科版数学八年级上册第12章一次函数一次函数与一元一次方程、一元一次不等式教学设计
-设想：组织小组讨论，让学生在讨论中互相启发，共同解决问题，教师适时给予指导和评价。
3.运用信息技术手段，结合传统教学方式，提高课堂效果。
-设想：利用多媒体展示一次函数图像，结合板书解析，让学生在视觉和听觉上更好地理解数学概念。
4.设计分层作业，针对不同层次的学生制定合适的练习题，巩固所学知识。
1.基础知识巩固题：包括一次函数的定义、表达式、图像特点等相关知识点，让学生通过完成这类题目，进一步熟练掌握一次函数的基本概念。
-例题：已知一次函数的表达式为y = 2x + 3，求该函数的斜率和截距。
2.实践应用题：结合生活实例，让学生将实际问题抽象为一元一次方程、不等式，并运用一次函数的知识解决。
在小组讨论过程中，我会巡回指导，关注每个小组的讨论进度，适时给予提示和解答疑问，确保讨论的有效性。
（四）课堂练习
课堂练习是检验学生对知识掌握程度的重要环节。我会设计以下类型的题目：
1.基础题：直接应用一次函数的知识解决简单问题，巩固基本概念。
2.提高题：结合一元一次方程、不等式，让学生解决稍微复杂的问题，提高学生运用知识的能力。
-设想：根据学生的学习情况，设置基础题、提高题和拓展题，使每个学生都能在课后得到有效的巩固和提升。
5.重视课堂小结，引导学生总结所学知识，形成知识网络。
-设想：在课堂尾声，邀请学生分享学习心得，总结一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系，帮助其他同学巩固记忆。
6.注重过程性评价，关注学生在学习过程中的表现，激发学生的学习积极性。
1.让学生用自己的语言概括一次函数的定义和图像特点。
2.回顾如何利用一次函数解决实际问题，总结数学建模的方法。
3.强调一次函数图像与方程、不等式之间的关系，培养学生的数形结合思想。
《一次函数与一元一次不等式的关系》示范课教学PPT课件(定稿)人教版
“数”
x为何值时，一次函数y=ax+b的函 数值小于0.
“形”
直线y=ax+b与x轴下方时所对应 的x的取值范围.
敬请各位老师提出宝贵意见 ！
解这3个不等式 在一次函数 y=3x+2 的函数值分别大于2、 小于0、小于1时，求自变量x 的取值范围.
从“形”的角度看：
解这3个不等式 在直线y=3x+2 上取纵坐标分别满足大于2、小 于0、小于1的点，看它们的 横坐标分别满足什么条件.Leabharlann 一次函数与一元一次不等式的关系
下面3个不等式有什么共同点和不同点？类比一次函数和一元一次方程的关 系，你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？
(1) 3x + 2 2； (2) 3x + 2 0； (3) 3x + 2 1.
y y=3x + 2
2 1
1 O
1
x
1
从“形”的角度看：
解这3个不等式 在直线y=3x+2 上取纵坐标分别满足大于2、小 于0、小于1的点，看它们的 横坐标分别满足什么条件.
一次函数与一元一次不等式的关系
思考 追问1：你能把得到的结论推广到一般情况吗？
求一元一次方程ax+b>0(a≠0)的解
“数”
x为何值时，一次函数y=ax+b的函 数值大于0.
“形”
直线y=ax+b与x轴上方时所对应 的x的取值范围.
一次函数与一元一次不等式的关系
归纳 追问2：我们知道任何一元一次不等式都可以转化为ax+b0(或者<0) 的形式，所以：
求一元一次方程ax+b<0(a≠0)的解
人教版八年级数学下册
一次函数、一元一次不等式与一次函数的关系
1.已知函数()823--=mx m y 是一次函数,求其解析式.2.已知函数y=()()112-++m x m 当m 取什么值时,y 是x 的一次函数？当m 取什么值是,y 是x 的正比例函数. 思虑：解答此类问题须要留意的问题是什么？二、待定系数法3.已知一次函数y=kx-3的图像过点（2,－1）,求这个函数的解析式.4.已知某个一次函数的图像与x 轴.y 轴的交点坐标分离是（－2,0）.（0,4）,则这个函数的解析式为_____________.思虑：用待定系数法肯定函数解析式的一般步调：二.数形结正当5.已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________. 思虑：已知图象求解析式的办法是什么？ 三.与面积问题联合6.已知四条直线y ＝kx-3,y ＝-1,y=3和x=1所围成的四边形的面积是12,则k 的值为( )A ．1或－2B ．2或－1C ．3D ．4 总结：要留意数形联合！！！演习1：直线y ＝3x ＋b 与坐标轴围成的三角形面积为6,求与y 轴的交点坐标 ( ) A.（0,2） B.（0,－2） （0,2） C.（0,6） D.（0,6）.（0,－6） 思虑：与面积联合的题型,我们怎么去暗示面积？演习2：在直角坐标系中,直线4+=kx y 与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,已知△OAB 的面积为10,求这条直线的解析式.演习3：已知直线y ＝kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式为__________.四.平移问题7.将直线y=3x 向下平移2个单位,得到直线__________;将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线___________ 演习：把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________. 思虑：直线平移纪律是什么？ 五.直线地位关系思虑：直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的地位关系 （1）两直线平行： （2）两直线订交： （3）两直线重合：8.若直线b kx y +=平行于直线35+=x y ,且过点（2,-1）,则k= ,b=演习：已知直线y=kx+b 与直线y=－2x 平行,且在y 轴上的截距为2,则直线的解析式为___________. （2）走向与增减性：b>0b<0b=0 k>0经由第一.二.三象限经由第一.三.四象限经由第一.三象限图象从左到右上升,y 随x 的增大而增大k<0经由第一.二.四象限经由第二.三.四象限经由第二.四象限例题7：已知直线y=kx+b,y 跟着x的增大而减小,且kb<0,则在坐标系内它的大致图象是( )演习：下图中暗示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx(m,n是常数,且mn≠0)图像的是( )思虑7：解答此类标题标思绪与办法是什么？例题8：函数4)2(+++=mxmy中y随x的增大而减小,且图象交y轴于正半轴,则m的取值规模是演习：若m是整数,且一次函数2)4(+++=mxmy的图象不过第二象限,则m=.（3）竖直度：|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.注：感化与正比例函数雷同分解题——拓展进步：如图,直线L:221+-=xy与x轴.y轴分离交于A.B两点,在y轴上有一点C(0,4),动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动.（1）求A.B两点的坐标;（2）求△COM的面积S与M的移动时光t之间的函数关系式;（3）当t为何值时,△COM与△AOB全等,求此时M点坐标.6.一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a,b为常数,a≠0）的情势,所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时,求响应的自变量的值. 从图象上看,相当于已知直线y=ax+b肯定它与x轴的交点的横坐标的值.例题9：已知一次函数bkxy+=的图象如图所示,一元一次方程0=+bkx的根是;方程2=+bkx的根是思虑8：解答此类问题的症结是找准什么？7.一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a,b为常数,a≠0）的情势,所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时,求自变量的取值规模.（或者说：不等式仅暗示了一次函数图像上的一部分）强化练习：1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的规模是（）A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≤12．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2,0）,则关于x的不等式2x+k<0•的解集是（）A．x>-2 B．x≥-2 C．x<-2 D．x≤-2思虑：有哪几种办法？并比较哪种办法简略.3．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1,则直线y=ax+1与x轴的交点是（）A．（0,1） B．（-1,0） C．（0,-1） D．（1,0）图象从左到右降低,y随x的增大而减小。
浅议一次函数与方程(不等式)的关系
浅议一次函数与方程（不等式）的关系发表时间：2018-09-11T10:57:13.667Z 来源：《教学与研究》2018年11期作者：董检容[导读] 从初中数学教材来看，七年级学习了一元一次方程和一元一次不等式，八年级学习了一次函数知识，学生一般对于这三方面知识了解得比较透彻董检容（湖南省耒阳市实验中学湖南耒阳 421800）摘要：从初中数学教材来看，七年级学习了一元一次方程和一元一次不等式，八年级学习了一次函数知识，学生一般对于这三方面知识了解得比较透彻，但对于三者之间的联系却知之甚少，因而教师应该贯穿着三方面的知识，使学生体会到一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的密切联系，感受到“数形结合”在数学研究的作用。
关键词：一元一次方程，一元一次不等式，关系。
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN0257-2826 （2018）11-014-02一、一次函数形如y=kx+b（k.b是常数，k≠0），用自变量的一次整式表示的函数叫一次函数.特别地，当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）叫做正比例函数。
通过该公式更能清楚的看到x和y的一一对应关系，只要确定了x（y），就能确定唯一的y（x）与之对应。
通过列表、描点、连线得到了一次函数的图像是一条直线。
那么学生知道了找直线与坐标轴的交点并连线就可以得到y=kx+b（k≠0）的图像.其中正比例函数象是经过原点的直线.在此基础上，还学习一次函数的图像与性质.例如.当k>0时，图象一定经过第一.三象限，当k<0时图像一定经过第二，四象限.而b>0时图像与y轴交于正半轴，b<0时图象与y轴交于负半轴.初学时学生感到枯燥，难懂，所以教师得借助多媒体课件进行授课.应用多媒体课件直观，明了，激发学生学习积极性。
二、一次函数与一元一次方程和一元一次不等式之间的关系从数学表达式上看，一次函数的表达式是y=kx+b，一元一次方程的表达式是kx+b=0，一元一次不等式的表达式是kx+b>（<）0.由此可见，一元一次方程式表达的是函数y=0时x的数值，而一元一次不等式表达的是y>0或者y<0时x的取值范围.以下举例说明：问：画出函数的图像，根据图像指出：(1)x取何值时，函数值y等于零？（2）x取何值时，函数值y大于零？【分析】：教师利用多媒体演示画出的图象.由图象可知当x=-2时，函数值等于零；当x>-2时函数值大于零归纳：从数的角度来看，一次函数y=kx+b（k≠0）的函数值是0时.对应的x的值就是一元一次方程kx+b=0的解；当一次函数y=kx+b的值大于0时，对应的x的值就是一元一次方程kx+b=0的解；当一次函数y=kx+b的值大于0时对应部分x取值的集合，就是不等式kx+b>0的解集；当一次函数y=kx+b的值小于0时，对应部分x的取值的集合，就不等式kx+b<0的解集. 从形的角度来看，直线y=kx+b（k≠0 ）与 x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解；直线y=kx+b位于x轴上方部分对应的x的值的集合，就是不等式kx+b>0的解集；直线y=kx+b位于x轴下方部分对应的x值的集合，就是不等式kx+b<0的解集【例】. 某零件制造车间有工人20名，已知每人每天可以制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。
第6课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式PPT课件(沪科版)
B．x＜－3
C．x＞3
D．x＜3
11．如图所示，某公司市场营销部的营销人员的个人收入与 其每月的销售量成一次函数关系，由图中给出的信息，营销人 员没有销售量时的收入是( B )
A．310元 B．300元 C．290元 D．280元
12．已知关于x的方程ax－5＝7的解为x＝1, 则一次函数y＝ax
解：(1)设大枣粽子的单价为 x 元/盒，普通粽子的单价为 y 元/盒， 根据题意得x2－x＋y＝4y1＝5，300，解得xy＝＝6405，. 答：大枣粽子的单价为 60 元/盒，普通粽子的单价为 45 元/盒
(2)①设买大枣粽子 x 盒，则购买普通粽子(20－x)盒，买水果共用了 w 元，根据题意得，w＝1 240－60x－45(20－x)＝1 240－60x－900＋45x＝－ 15x＋340，故 w 关于 x 的函数关系式为 w＝－15x＋340；
－12与x轴交点的坐标为 (1，0)
．
13．已知一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)，x与y的部分对 应值如下表所示，那么不等式kx＋b＜0的解集是____．x＞1
x
－ 2
－ 1
0
1
2
3
y3
2
1
0
－－ 12
14．如图，经过点B(－2，0)的直线y＝kx＋b与直线y＝4x＋2相
交于点A(－1，－2)，则不等式4x＋2＜kx＋b＜0的
经过(D )
A．(2，0) B．(0，3) C．(0，4) D．(0，－3)
4．(4 分)如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点(2，0)与(0，3)，
则关于 x 的不等式 kx＋b＞0 的Байду номын сангаас集是( A )
一次函数与一元一次方程及不等式的关系
17.5.2实践与探索【学习目标】知识与技能：1、理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。
2、能运用函数的图像来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，通过图像来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集。
过程与方法：1、体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的相互关系。
2、感受“数形结合”在数学研究和探究现实生活数量关系及其变化规律中的作用。
情感态度价值观：学生通过主动参与探究活动，体验在科学发现中获得成功的喜悦，养成不畏困难勇与开拓和创新的科学态度。
学情分析：在学生已经掌握一次函数和反比例函数的基础上进一步解决相关问题，在探索中培养和提高学生在数学学习中的创造和应用函数的能力，在学生自主探究的基础上应适当地加以引导。
教学重难点：重点: 灵活运用一次函数和正比例函数解决有关实际问题。
难点：数形结合思想的理解。
【学习重点】一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系。
【学习难点】通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集。
【学习流程】一、复习旧知，承前启后※1．一次函数与二元一次方程组有什么关系？答：两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而两个一次函数的关系式可以看成一个二元一次方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．2．一次函数与坐标轴的交点有什么特点？答：与x轴相交：x≠0，y＝0；与y轴相交：x＝0，y≠0.二、创设情境，合作探究活动一：探索一次函数与一元一次方程的联系：※（1）画出函数y＝32x+3的图象。
（2）根据图象，说明x取什么值时，函数值y等于零?活动二：探索一次函数与一元一次不等式的联系：※（3）根据图象，说明x取什么值时，函数值y始终大于零?（4）根据图象，说明函数值y 取什么值时，自变量x 始终大于零?（5）根据图象，说明x 取什么值时，函数值0≤y ≤3?（6）方法归纳：※在x 轴上方的函数图象，任意一点的纵坐标都大于0，反映在函数解析式上，就是函数值大于0，在x 轴下方的函数图象，任意一点的纵坐标都小于0，反映在函数解析上，就是函数值小于0。
1一次函数与一元一次方程、不等式教学课件
合作探究
或者说，在直线y＝3x＋2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、 小于－1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.
画出一次函数的图象，如图． 从图象 Nhomakorabea观察，上面的三个不等式可以看成 y=3x+2 的函数值y大于2、小于0、小于-1 时 自变量x的取值范围．
当y＞2时, x＞0；当y＜0时, x＜ 2 ； 3
一次函数与方程、不等式
学习目标
1．认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系． 2．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.
新课导入
已知一次函数y=2x+1，求当函数值y =3，y =0，y = -1时，自变 量x的值．
自变量x的值依次是
1，
1 2
，-1
新课导入 当y=3时，2x+1等于几？当y =0，y = -1时，2x+1又等于几呢？你
典例精析
解：由3x－2＝x＋4得2x－6＝0画函数y＝2x－6的 图象，如图. 由图可知，直线y＝2x－6与x轴的交点为(3，0)， 所以x＝3.
典例精析
利用函数图象解一元一次方程时，一般需将方程变形为ax＋b＝ 0的形式，然后通过观察直线y＝ax＋b与x轴的交点坐标确定方程的 解，此求解对作图的准确性要求较高．
课堂总结
一次函数与一 元一次方程、
不等式
函数与方程 函数与不等式
函数值 函数图象
函数值 函数图象
y=0时x的值 与x轴交点横坐标 x的取值范围 x轴上方或下方
典例精析
已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x取何值时：
(1)y1＞y2；
(2)y1＝y2；
(3)y1＜y2.
解：方法一：代数法．
中考数学总复习一次函数与方程、不等式的关系
一次函数与方程、不等式的关系考点·方法·破译 1． 一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx ＋b ＝0(k 、b 为常数，k ≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y ＝kx ＋b 中，当y ＝0时则为一元一次方程．2． 一次函数与二元一次方程(组)的关系：⑴任何二元一次方程ax ＋by ＝c (a 、b 、c 为常数，且a ≠0，b ≠0)都可以化为y ＝a c x b b-+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3． 一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0(a 、b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．经典·考题·赏析【例1】直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为( )A ．x ＞－1B ．x ＜－1C ．x ＜－2D ．无法确定 【解法指导】由图象可知l 1与l 2的交点坐标为(－1，－2)，即当x ＝－1时，两函数的函数值相等；当x ＞－1时，l 2的位置比l 1高，因而k 2x ＞k 1x ＋b ；当当x ＜－1时，l 1的位置比l 2高，因而k 2x ＜k 1x ＋b ．因此选A ．【变式题组】01．(浙江金华)一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③当x ＜3时，y 1＜y 2中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．302．如图，已知一次函数y ＝2x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则根据图像可得不等式2x ＋b ＞ax －3的解集是________． 03． (武汉)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A (2，1)，B (－1，－2)两点，则不等式12x ＞kx ＋b ＞－2的解集为_________．第1题图 第2题图 第3题图【例2】若直线l 1：y ＝x －2与直线l 2：y ＝3－mx 在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m 的取值范围． 【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足00x y >⎧⎨>⎩，从而求出m 的取值范围．解：23y x y mn =-⎧⎨=-⎩，∴51321x mm y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴00x y >⎧⎨>⎩，∴5013201m m m⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，即10320m m +>⎧⎨->⎩，∴－1＜m ＜32．【变式题组】01． 如果直线y ＝kx ＋3与y ＝3x －2b 的交点在x 轴上，当k ＝2时，b 等于( )A ．9B ．－3C ．32-D ．94-02． 若直线122y x =-与直线14y x a =-+相较于x 轴上一点，则直线14y x a =-+不经过( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限03． 两条直线y 1＝ax ＋b ，y 2＝cx ＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c 而解出它们的交点坐标为(34，14)，则这两条直线的解析式为____________．04． 已知直线y ＝3x 和y ＝2x ＋k 的交点在第三象限，则k 的取值范围是________．【例3】已知直线l 1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x 轴的交点是点A ，将直线y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得到l 2，l 2与l 1的交点是点C ，l 2与x 轴的交点是点B ，求∴ABC 的面积．【解法指导】设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ，∴l 1经过(2，5)，(－1，－1)两点， ∴251k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，∴y ＝2x ＋1，∴当y ＝0时，2x ＋1＝0，x ＝12-，∴A (12-，0)．又∴y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得l 2，∴l 2的解析式为y ＝－6x ＋9， ∴当y ＝0时，－6x ＋9＝0，x ＝32，∴B (32，0)． ∴2169y x y x =+⎧⎨=-+⎩，∴13x y =⎧⎨=⎩，∴C (1，3)，∴AB ＝32－(12-)＝2，∴S ∴ABC ＝12×2×3＝3．【变式题组】01． 已知一次函数y ＝ax ＋b 与y ＝bx ＋a 的图象相交于A (m ，4)，且这两个函数的图象分别与y 轴交于B 、C 两点(B 上C 下)，∴ABC 的面积为1，求这两个一次函数的解析式． 02． 如图，直线OC 、BC 的函数关系式为y ＝x 与y ＝－2x ＋6．点P (t ，0)是线段OB 上一动点，过P 作直线l 与x 轴垂直．⑴求点C 坐标； ⑵设∴BOC 中位于直线l 左侧部分面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，直线l 平分∴COB 面积． 演练巩固·反馈提高 01． 已知一次函数y ＝32x ＋m ，和y ＝12-x ＋n 的图象交点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，那么∴ABC 的面积是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．602． 已知关于x 的不等式ax ＋1＞0(a ≠0)的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(1，0)第3题图 第6题图03． 如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A (－4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＞－4B ．x ＞0C ．x ＜－4D ．x ＜0 04． 直线kx －3y ＝8，2x ＋5y ＝－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－205． 直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的两个交点分别为A (2，0)和B (0，－3)．则不等式kx ＋b ＋3≥0的解集为( ) A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ≥2 D ．x ≤206． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x ＋b 2，则方程组111222y k x b y k x b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋的解是( )A ．22x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =-⎧⎨=⎩D ．34x y =-⎧⎨=⎩07． 若直线y ＝ax ＋7经过一次函数y ＝4－3x 和y ＝2x －1的交点，则a ＝_________．08． 已知一次函数y ＝2x ＋a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则S ∴ABC ＝_________．09． 已知直线y ＝2x ＋b 和y ＝3bx －4相交于点(5，a )，则a ＝___________．10．已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，则m 的值为__________． 11．直线y ＝－2x －1与直线y ＝3x ＋m 相交于第三象限内一点，则m 的取值范围是___________． 12．若直线122a y x =-+与直线31544y x =-+的交点在第一象限，且a 为整数，则a ＝_________． 13．直线l 1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 2与l 1交于点(－2，a )，且与y 轴的交点的纵坐标为7．⑴求直线l 2、l 1的解析式；⑵求l 2、l 1与x 轴围成的三角形的面积； ⑶x 取何值时l 1的函数值大于l 2的函数值？14．(河北)如图，直线l 1的解析式为y ＝－3x ＋3，l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A (4，0)，B (3，32-)． ⑴求直线l 2的解析式； ⑵求S ∴ADC ；⑶在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得S ∴ADP ＝S ∴ADC ，求P 点坐标．第14题图15．已知一次函数图象过点(4，1)和点(－2，4)．求函数的关系式并画出图象．⑴当x 为何值时，y ＜0，y ＝0，y ＞0？ ⑵当－1＜x ≤4时，求y 的取值范围； ⑶当－1≤y ＜4时，求x 的取值范围．16．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2h时血液中含药量最高，达每毫升6μg (1μg ＝10－3mg )，接着就逐步衰减，10h 后血液中含药量为每毫升3μg ，每毫升血液中含药量y (μg )随时间x (h )的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后， ⑴分别求x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；⑵如果每毫升血液中含药量在4μg 或4μg 以上时，治疗疾病才是有效的，那么这个有效时间是多长？第16题图l 2。
最新一次函数与一元一次方程-一元一次不等式的关系ppt课件
任何一个一元一次
方程都可以转化为 kx+b=0(k,b为常数， k≠0)的形式。
xb k
一次函数y=kx+b的图 象与x轴的交点坐标
( b ,0) k
方程kx+b=0的解即为直线y=kx+b与x轴交点的横坐标
解方程kx+b=0(k≠0),相当于一次函数y=kx+b的函数值为0时，
求自变量的值。
5
一次函数y=kx+b的图象如图所示 ，则不等式kx+b>0的解集为x>-1 _____。
两个一次函数对应 两条直线。
11
1、二元一次方程组
y
y 0.5x 15
x 20
y =x+5
y 的x 解5 为______ y 25
y =0.5x+15
2、观察图象，回答以下问题。
b
(1)a=__5__，b=_1_5__;
(2)直线y=0.5x+15与直线y=x+5
a
的交点坐标为__(_2_0_,2_5_)__。
任何一个一元一次不等式都可以转化为 kx+b>0或kx+b<0(k,b为常数，k≠0)的形式。
解一元一次不等式kx+b>0(k≠0),相当于一次函数y=kx+b 的函数值大于0时，求自变量的取值范围。
解一元一次不等式kx+b<0(k≠0),相当于一次函数y=kx+b 的函数值小于0时，求自变量的取值范围。
1、直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2 的交点坐标为_____(2_,;1)
2、二元一次方程组
x (2,-1)
元一次不等式与一次函数的关系
学校____________ 班级____________ 姓名____________【学习目标】1、一元一次不等式与一次函数的关系。
2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较。
3、通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养数形结合意识。
【学习重点】了解一元一次不等式与一次函数之间的关系。
【学习难点】根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答。
【学习过程】一、复习导学前面我们学习过一次函数、一元一次方程与一元一次不等式，我们知道一元一次方程的解就是一次函数图象与x轴交点的横坐标，也就是说：“一元一次方程ax+b=0”与“求当x为何值时，y=ax+b的值为0”是同一问题，那么一元一次不等式与一次函数之间有怎样的关系呢？如：下面两个问题是同一问题吗？（1）解不等式：2x-4＜0（2）当x为何值时，函数y=2x-4的值小于0？今天我们就来探究类似这样的问题？二、自主探究、合作交流1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系：还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式．如y=2x－5为一次函数．在一次函数y=2x－5中，当y=0时，有方程2x－5=0；当y＞0时，有不等式2x－5＞0；当y＜0时，有不等式2x－5＜0．由此可见：_________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________．2．做一做：作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题．（1）x取哪些值时，2x－5=0？（2）x取哪些值时，2x－5＞0？（3）x取哪些值时，2x－5＜0？（4）x取哪些值时，2x－5＞1？请回答：（1）（2）（3）（4）3．试一试如果y=－2x－5，那么当x取何值时，y＞0？首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图：从图象上可知:_____________________________________________________ __________________________________________________________________．4．练一练函数y1=2x-5和y2=x-2的图象如图所示，观察图象回答下列问题：（1）x取何值时，y1＝y2？（2）x取何值时，y1＞y2？（3）x取何值时，y1＜y2？从图象上看:总结一次函数与一元一次不等式的关系：从数的角度看从形的角度看三、应用新知、拓展提升（一）基础演练1．已知函数y=3x+8，当x________________________时，函数的值等于0．当x_________________________时，函数的值大于0．当x__________________________________时，函数的值不大于2．2．如图，直线l1，l2交于一点P，若y1≥y2，则（）A．x≥3 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．x≤4（二）典例示范例1．作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：（1）x取何值时，2x－4＞0？（2）x取何值时，－2x+8＞0？（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程．例2．一次函数y=-3x+12中，x为何值时：（1）当x取何值时，y＞0；（2）当x取何值时，y＝0；（3）当x取何值时，y＜0 ．（三）拓展提升例3．已知y1=－x+3，y2=3x－4，当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？四、课堂小结1．转化思想：转化__________问题 ___________问题2．解函数问题的方法：图象法：_________________________________．3．一次函数与一元一次不等式的关系：从数的角度看从形的角度看五、课堂检测1．已知y1＝x－5，y2＝2x＋1．当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＞5 B．x＜ C．x＜－6 D．x＞－62．已知一次函数的图象如图所示，当x＜1时，y的取值范围是（）A ．－2＜y ＜0B ．－4＜y ＜0C ．y ＜－2D ．y ＜－4 3．若一次函数y ＝(m －1)x －m ＋4的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是________．4．已知1213222y x y x =-=+，，试确定x 取何值时2y 不小于1y ？5.在同一坐标系中画出一次函数y 1＝－x ＋1与y 2＝2x －2的图象，并根据图象回答下列问题：（1）写出直线y 1＝－x ＋1与y 2＝2x －2的交点P 的坐标．（2）直接写出：当x 取何值时y 1＞y 2；y 1＜y 2参考答案：一、复习导学二、自主探究、合作交流1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式．2．做一做：（1）当y =0时，2x －5=0，∴x =25，∴当x =25时，2x －5=0． （2）要找2x －5＞0的x 的值，也就是函数值y 大于0时所对应的x 的值，从图象上可知，y ＞0时，图象在x 轴上方，图象上任一点所对应的x 值都满足条件．当x ＞25时，由y =2x －5可知y ＞0．因此当x ＞25时，2x －5＞0． （3）同理可知，当x ＜25时，有2x －5＜0； （4）要使2x －5＞1，也就是y =2x －5中的y 大于1，那么过纵坐标为1的点作一条直线平行于x 轴，这条直线与y =2x －5相交于一点B （3，1），则当x ＞3时，有2x －5＞1．3．试一试从图象上可知，图象在x 轴上方时，图象上每一点所对应的y 的值都大于0，而每一个y 的值所对应的x 的值都在A 点的左侧，即为小于－的数，由－2x －5=0，得x =－，所以当x 取小于－的值时，y ＞0．4．练一练从图象上看，（1）y 1=y 2时，两个一次函数的图象交于一点，此点的横坐标就是方程2x -5=x -2的解；（2）一次函数y 1=2x -5的图象在y 2=x -2的图象上方的部分对应点的横坐标就是不等式2x -5＞x -2的解；（3）一次函数y 1=2x -5的图象在y 2=x -2的图象下方的部分对应点的横坐标就是不等式2x -5＜x -2的解．总结一次函数与一元一次不等式的关系：从数的角度看求ax +b ＞0（或＜0）(a ，b 是常数，a ≠0)的解集就是求函数y =ax +b 的函数值大于0（或小于0）时x 的取值范围．从形的角度看求ax +b ＞0（或＜0）(a ，b 是常数，a ≠0)的解集就是求直线y =ax +b 在x 轴上方或下方时自变量的取值范围三、应用新知、拓展提升（一）基础演练1．＝83- ，﹥83-，﹤﹣2． 2．B （二）典例示范例1 ． 分析：要使2x －4＞0成立，就是y 1=2x －4的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x +8＞0成立的x ，即为函数y 2=－2x +8的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x ，根据函数图象与x 轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积．解：（1）当x ＞2时，2x －4＞0；（2）当x ＜4时，－2x +8＞0；（3）当2＜x ＜4时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立；（4）由2x －4=0，得x =2．由－2x +8=0，得x =4．所以AB =4－2=2．由2428y x y x =-⎧⎨=-+⎩，， 得交点C （3，2）．所以△ABC 中AB 边上的高为2．所以S =21×2×2=2． 例2．解：（1）当y ＞0时，则有-3x +12＞0，-3x ＞－12， x ＜4（2）当y ＝0时，则有-3x +12＝0，-3x ＝－12， x ＝4（3）当y ＜0时，则有-3x +12＜0，-3x ＜－12， x ＞4（三）拓展提升例3．解：如图所示：当x 取小于47的值时，有y 1＞y 2． 四、课堂小结1．转化思想：一次不等式问题 一次函数问题2．解函数问题的方法：图象法：画出函数图象解决函数和不等式问题．3．一次函数与一元一次不等式的关系：从数的角度看求ax +b ＞0（或＜0）(a ，b 是常数，a ≠0)的解集就是求函数y =ax +b 的函数值大于0（或小于0）时x 的取值范围．从形的角度看求ax +b ＞0（或＜0）(a ，b 是常数，a ≠0)的解集就是求直线y =ax +b 在x 轴上方或下方时自变量的取值范围五、课堂检测1．C ． 2．C ． 3．m ＜4且m ≠1．4．当2-≥x 时2y 不小于1y ．5．图象略．（1）P （1，0）； （2）当x ＜1时y 1＞y 2，当x ＞1时y 1＜y 2． 转化。
《一元一次不等式》一元一次不等式与一元一次方程的区别和联系
一、概念的比较 区别：前者是用不等号将代数式连接而成，后者
是用等号将代数式连接而成，其余都相同． （1）都只含有一个未知数； （2）含未知数的式子是整式； （3）未知数的次数是1．
二、求解过程的比较 相同之处：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化 为1 ． 不同之处：
在“去分母”与“系数化为1”时，方程两边 都乘以（或除以）同一个正数或负数，等号不变．
不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不 等号方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一 个负数，不等号方向改变．
例：
解方程
1 1 x 3 3(x 1)
5
4
20 4(1 x) 60 15(x 1)
20 4 4x 60 15x 15
方程的解的意义，将解代入原方程便得到关于 参数为元的新方程，解新方程可求得参数．
若已知不等式的解确定不等式中的参数， 一般是先解不等式，与其比较后再确定参数．
例 已知关于x的方程 ax 6 x 2 的解为2，
求a的值．
解：将x2代入方程，得：2a622， 解得：a5．
例 已知关于x的不等式 ax 6 x 2 的解集为
19x 69
x 69 19
解不等式
1 1 x 3 3(x 1)
5
4
20 4(1 x) 60 15(x 1)
2 69
x 69 19
三、解的比较 一元一次方程的解只有一个； 一元一次不等式的解一般有无数个，它是在一 定范围内的一系列数．
四、确定参数的比较 已知方程的解确定方程中的参数，可根据
x2，求a的值．
解：解不等式 ax 6 x 2 ，得(a1)x8， 与解集x>2比较得a1>0且 8 2
一元一次方程与一元一次不等式
一元一次方程与一元一次不等式一元一次方程和一元一次不等式是数学中基础的概念，广泛应用于各个领域。
它们分别描述了方程和不等式之间的关系，并对数学问题的解产生重要影响。
本文将详细介绍一元一次方程和一元一次不等式的定义、性质以及解法。
一、一元一次方程的定义和性质一元一次方程是指含有一个未知数的一次方程。
它的一般形式可以表示为 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数，且a ≠ 0。
解一元一次方程的目标是找到使得等式成立的未知数的值。
一元一次方程具有以下性质：1. 唯一解性：一元一次方程有且仅有一个解，除非方程中的 a = 0，此时方程无解或有无限多解。
2. 线性关系：一元一次方程表示了两个变量之间的线性关系。
3. 可以通过变量消去求解：通过变量的加减、乘除等操作，可以将方程转化为更简单的形式，从而求得解。
二、一元一次方程的解法解一元一次方程可以运用一些常用的解法，如图形法、代数法和观察法等。
以下是几种常用的解法：1. 代数法：通过代数运算，将方程转化为形如 x = c 的形式，从而得到方程的解。
例如，对于方程 2x + 3 = 7，可以通过将 3 移到等号右边，再将 2 除以得到 x 的值。
2. 图形法：将一元一次方程转化为直线的形式，在坐标系中绘制出该直线，并通过直线与 x 轴的交点确定方程的解。
例如，对于方程 3x - 2 = 4，可以将方程转化为直线的形式，即 y = 3x - 2，然后在坐标系中绘制出这条直线，由直线与 x 轴的交点得到方程的解。
3. 观察法：对于一些简单的一元一次方程，可以通过观察得到解。
例如，对于方程 5x + 7 = 22，可以通过观察得到 x = 3，因为当 x = 3 时，5x + 7 的值正好等于 22。
三、一元一次不等式的定义和性质一元一次不等式是指含有一个未知数的一次不等式。
它的一般形式可以表示为 ax + b < 0 或 ax + b > 0，其中 a 和 b 是已知数，且a ≠ 0。
沪科版八年级数学上册：12.2.6 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式教案
第6课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式教材分析：本节课教学内容是数形结合思想的又一体现，引导学生从函数的角度来思考方程与不等式的问题，体会数学思维的多元性。
主要教学一元一次方程的解、一元一次不等式的解集与一次函数图象的对应关系，从而根据图象求解一元一次方程和一元一次不等式。
初步感知方程、不等式、函数三个数学模型间的关系，以及他们各自能够解决的问题类型，为后续学习打下基础。
教学目标：知识与技能：1、理解一元一次方程的解，一元一次不等式的解集与一次函数图象间的对应关系。
2、会用图象法解一元一次方程和一元一次不等式。
3、初步感知方程、不等式、函数三个数学模型间的关系。
过程与方法：1、通过观察、联想、思考等数学活动，得出一元一次方程的解、一元一次不等式的解集与一次函数的图象之间的对应关系，发展学生的合情推理能力。
2、体验数学结合思想的意义，逐步提高学生借助这一思想分析问题和解决问题的能力。
情感、态度与价值观：增强学生合作交流的意识，培养学生思考的习惯，同时让学生感受到数学与实际生活的联系。
教学重、难点：重点：1、理解一元一次方程，不等式与一次函数的转化关系及本质联系。
2、学会利用图象法解一元一次方程和一元一次不等式。
难点：用图象法求一元一次不等式的解集教学过程：一、复习导入1、复习直线x=a和=b以及借助他们如何把坐标系划分成三部分。
2、通过转化解决问题：（1）、已知函数y=2x+6,当x=1时，求y的值。
（2）、已知函数y=2x+6,当y=4时，求x的值。
（3）、已知函数y=2x+6,当y>4时，求x的取值范围。
3、明晰课题并板书：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式二、探究新知1、一元一次方程与一次函数问题①：（1）解方程：2x+6=0（2）已知一次函数y=2x+6，问x取何值时，y=0?（1）、学生活动1：用自己的方法解决，并做简单的比较。
（2）、学生活动2：画出一次函数y=2x+6的图象，观察图象与x轴的交点，看看它的坐标与方程2x+6=0的解有什么关系？（3）、学生活动3：由此你能得到什么结论？引导：我们把一元一次方程都写成kx+b=0(k≠0)的形式，看看他的解与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点坐标有什么联系？（4）、教师明晰：一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解，从图象上看就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分析: ∴ x>4,
y>3 2x-5>3
y
4
y=2x-5
3
2
1
-2 -1-10 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4 -5
一次函数与一元一次不等式的关系
求 ax+b＞0(或<0)(a≠0)
的解
从“函数值”看
x为何值时 y=ax+b的值 大于(或小于)0
求 ax+b＞0(或<0)(a≠0)
的解
从“函数图象”看
在什么范围时图象 y１点在y２点的下方)确定解集
已知一次函数 y = 2x+1,根据它的图象回答下列问题. (1) x 取什么值时,函数值 y 为1? (2) x 取什么值时,函数值 y 大于3? (3) x 取什么值时,函数值 y 小于3?
解：作出函数 y = 2x+1的图象
及直线y = 3 （如图） 从图中可知：
小结：
1.求一元一次方程的解,可以看成某一个一次函数当自变量取 何值时,函数的值等于零。 从图象上看就是确定直线y=ax+b与x轴交点所对应的x值
2.求一元一次不等式的解,可以看成某一个一次函数当自 变量取何值时,函数的值大于零或小于零。 从图象上看就是确定直线y=ax+b在x轴上方(或在X轴下 方)的图象所对应的x值
2、设m，n为常数且m≠0，
-2
直线y=mx+n（如图所示），
则方程mx+n=0的解是 x=－2 .
3、对于y1=2x－1， y2=4x－2，下列说法：
①两直线平行； ②两直线交于y轴于同一点；
③两直线交于x轴于同一点； ④方程2x－1 =0与
4x－2=0的解相同； 其中正确的是 ③ ④
⑤当x=1时，y1=y2=1. （填序号）
y
2．利用函数图象解出x:
9
5x−1= 2x+5
解法２：画出两个函数
y=5x−1 和y=2x+5的图象．
y=2x+5
由图象知，两直线交于点 (2， 9)，所以原方程的为 x=2．
y=5x−1
O
2
x
练习:
1、直线y=x+3与x轴的交点坐标为（－3，0），
所以相应的方程x+3=0的解是 x=－3 .
直线 y = 5x +4 在 y = 2x +10的下方 即 5x+4 < 2x +10 ∴ 不等式 5x+4 < 2 x +10 的解集是
x <2
小结:利用图象解ax+b＜cx+d 解法1：将不等式变形为ax+b＜0的形式；转化为函数解析式；
画图象;(观察x在什么范围时图象上的点是x轴下方)确定解集 解法2：转化为两个函数；画出两个函数图象；找出交点;(观察x
-2
-3
-4 -5
例4:用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10
解法1:原不等式化为3x -6<0, 画出直线y = 3x -6(如图)
可以看出,当x<2 时这条直线上 的点在x轴的下方, 即这时y = 3x -6 <0 所以不等式的解集为x<2
解法二：画出函数 y = 2x+10 y = 5x+4图象 从图中看出：当x <2时
作出一次函数y=2x-5的图象 x … 0 2.5 …
y=2x-5 … -5 0 …
y
4
y=2x-5
3
2
1
-2 -1-10 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4 -5
观察图象回答下列问题: (1)X取何值时,2x-5=0
分析:
y=0
∴ x=2.5, 2x-5=0
y
4
y=2x-5
3
2
1 (2.5,0)
-2 -1-10 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4 -5
观察图象回答下列问题: (2)X取哪些值时,2x-5>0
分析: ∴ x>2.5,
y>0 2x-5>0
y
4
y=2x-5
3
2
1 (2.5,0)
-2 -1-10 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4 -5
观察图象回答下列问题: (4)X取哪些值时,2x-5>3
确定直线y=ax+b 在x轴上方 (或在X轴下方) 的图象所对应的x值
例3.利用图象解答：y=-2x-5,那么当x取
何值时, y>0?
解： 作一次函数y=-2x-5 的图象如右图 由图象可得
y y=-2x-5 4
3 2 (-2.5,0) 1
-5 -4 -3 -2 -1-10 1 2 x
当x<-2.5时, y>0.
2x 20 0 角度看
x 10
2x 20
x 10
两个问题实际上是同一个问题．
（3）画出函数y=2x+20的图象，并确定它 与x轴的交点坐标.
y
从“函数图 象”上看
y=2x+20 20
－10
0x
（思考：直线y=2x+20与x轴交点坐标为
（_-_1_0_,___0__），这说明方程2χ＋20＝0的
y = 2x +1 y= 3
（1）当 x = 0 时，函数值 y 为1。 （2）当x > 1 时，函数值 y 大于3。 （3）当x < 1 时，函数值 y 小于3。
回顾
通过这节课的学习，你有什么收获？
用一次函数图象来解一元一次方程； 用一次函数图象来解一元一次不等式 一次函数与一元一次方程； 一次函数与一元一次不等式之间的联系
解是x=_____）
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程 3x-2=0 当x为何值时，
y=3x-2的值为0?
2
解方程 8x-3=0 当x为何值时，__y__=_8__x_-_3__
的值为0?
3
解方程 - 7x+2=0
当x为何值时， y=-7x+2的值为0?
4 解方程 8x-3=2
8x-5=0
沪科版八年级数学上第12章《一次函数》
12.2 一次函数 第六课时
一次函数与一元一次方程、 一元一次不等式的关系
霍邱县马店镇中心校八（1）班 授课教师 丁求勇
(1)解方程2x+20=0
(2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的 值为0？
解：(1) 2x+20=0
2x 20
(2) 当y=0时 ，即 从“函数值”
解：作y=x+3图象如下
由图得y=x+3交x轴于(-3，0)
所以原方程的解为X =−3
例2．利用函数图象解方程
y y=x+3
解： 5x−1= 2x+5
原方程可化为
3x−6=0
作y = 3x−6图象如下 由图得直线y = 3x−6与x轴 的交点为（２，0） 所以x=２．
−3
O
x
y
y=3x-6
O２
x
− 6
当x为何值时，__y_=__8_x__-_5__
的值为0?
一次函数与一元一次方程的关系
求ax+b=0(a，b是 常数，a≠0)的解．
从“函数值”看
x为何值时
函数y= ax+b的值 为0．
求ax+b=0(a, b是 常数，a≠0)的解．
从“函数图象”看
求直线y= ax+b
与 x 轴交点的横 坐标．
例1．利用图象解一元一次方程x+3=0
3.初步理解数形结合的内涵。
作业布置:
书面作业： p46练习：第2题。 课外作业： 1、同步完成基训 2、预习下一节新课。