高等代数(第三版)7.4

① A的全体特征值的和＝ a11 a22 ② A的全体特征值的积＝ A .
ann .
称之为A的迹,
记作trA.
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2. (定理6) 相似矩阵具有相同的特征多项式.
证:设 A
B, 则存在可逆矩阵X，使得
B X AX
1
于是， E B E X 1 AX
X EX X AX

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2 ( 1) 它们的特征多项式都是 ，但A、B不相似.
3. 哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理
nn A P , f ( ) E A 为A的特征多项式, 则 设
f ( A) An (a11 a22
ann ) An1
1 2 2 A 2 1 2, 2 2 1
求 的特征值与特征向量. 解：A的特征多项式
1 2 2 E A 2 1 2 ( 1)2 ( 5) 2 2 1
故 的特征值为： 1 1 （二重）, 2 5
7
, x0 n )是 (0 E A) X 0 一个非零解，
则向量 x01 1
x0 n n 就是 的属于 0的一个
1. 特征多项式的定义
nn A P , 是一个文字，矩阵 E A 称为 设
A的特征矩阵，它的行列式
E A a21
a11

E A a21
a11
... an 1
a12 ... a1 n a22 ... a2 n ... an 2 ... ann
ann ) n1 ( 1)n A
n (a11 a22
由多项式根与系数的关系还可得
( 1)n A E 0.
零矩阵
4. 设 为有限维线性空间V的线性变换， f ( )是
的特征多项式，则 f ( ) 0.
零变换
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1 0 2 例3. 设 A 0 1 1 , 求 2 A8 3 A5 A4 A2 4 E . 0 1 0
② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,
而相应的线性方程组 ( E A) X 0 的非零解也就 称为A的属于这个特征值的特征向量.
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2. 求特征值与特征向量的一般步骤
i) 在V中任取一组基 1 , 2 ,
的矩阵A . ii) 求A的特征多项式 E A 在P上的全部根,它们 就是 的全部特征值. iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组
1 1
X 1 ( E A) X X 1 E A X
E A
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注：
① 由定理6线性变换 的特征值与基的选择无关. 因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换 的特征 多项式； ② 有相同特征多项式的矩阵未必相似.
1 0 1 1 如 A 0 1 ,B 0 1
... an 1
a12 ... a1 n a22 ... a2 n f ( ) A ... an 2 ... ann
称为A的特征多项式. （ f A ( )是数域P上的一个n次多项式）
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注：
① 若矩阵A是线性变换 关于V的一组基的矩阵， 而 0 是 的一个特征值，则 0 是特征多项式 f A ( ) 的根，即 f A (0 ) 0. 反之，若0 是A的特征多项式的根，则0 就是 的一个特征值. （所以，特征值也称特征根.）
( E A) X 0
, n ,写出 在这组基下
并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量在基 1 , 2 ,
, 下的坐标 .) n
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如果特征值 0 对应方程组的基础解系为：
(c11 , c12 ,
n
, c1n ),(c21 , c22 ,
, c2 n ),
,(cr 1 , cr 2 ,
, crn )
则 i cij j ,
j 1
i 1,2,
,r
就是属于这个特征值 0 的全部线性无关的特征向量. 而 k11 k22 （其中， k1 , k2 ,
krr ,
, kr P 不全为零）
就是 的属于 0 的全部特征向量.
一、 特征值与特征向量
二、 特征值与特征向量的求法
三、 特征子空间 四、 特征多项式的有关性质
1
引入
有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质， 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当
的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是
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从而 (0 E A) X 0 有非零解. 所以它的系数行列式 0 E A 0. 以上分析说明： 若 0 是 的特征值，则 0 E A 0. 反之，若 0 P 满足 0 E A 0, 则齐次线性方程组 (0 E A) X 0 有非零解. 若 ( x01 , x02 , 特征向量.
一个对角矩阵?
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一、特征值与特征向量
设 是数域P上线性空间V的一个线性变换， 定义： 若对于P中的一个数 0 , 存在一个V的非零向量 , 使得
( ) 0 ,
则称 0为 的一个特征值，称 为 的属于特征值
0 的特征向量.
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注：
① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1 , 2 ,
x01 , n 下的坐标记为 , x 0n
则 ( )在基 1 , 2 ,
x01 , n下的坐标为 A , x 0n
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x01 又 ( ) 0 , 而 0 的坐标是 0 x 0n x01 x01 x01 0 , 从而 (0 E A) 0. 于是 A x x x 0n 0n 0n x01 是线性方程组 (0 E A) X 0 的解， 即 x 0n x01 0, 又 0, x 0n
相同 (0 0) 或相反 (0 0). 0 0 时 , ( ) 0. ② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则
k ( k P , k 0) 也是 的属于0 的特征向量.

( k ) k ( ) k (0 ) 0 ( k )

由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，
但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
4
二、特征值与特征向量的求法
分析： 设 dimV n, 1 , 2 ,
, n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
m
k
; ; ; .
(m Z ) 必有一个特征值为
1

m
A 必有一个特征值为 （3）A可逆时，
* A （4）A可逆时， 必有一个特征值为
1
A

f ( ) f ( x ) P [ x ], f ( A ) （ 5） 则 必有一个特征值为 .
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练习2：已知3阶方阵A的特征值为：1、－1、2，
3 f ( ) E A 2 1 解：A的特征多项式
用 f ( )去除 2 8 3 5 4 2 4 g( ), 得
g( ) f ( )(2 5 4 3 5 2 9 14) (24 2 37 10)
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f ( A) 0,
2 A8 3 A5 A4 A2 4 E 24 A2 37 A 10E
3 48 26 0 95 61 0 61 34
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nn A P , 为A的一个特征值，则 练习1：已知
（1） kA ( k P ) 必有一个特征值为 （ 2） A
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把 1 代入齐次方程组 ( E A) X 0, 得
2 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 2 x3 0
即 x1 x2 x3 0
它的一个基础解系为：(1,0, 1), (0,1, 1) 因此，属于 1 的两个线性无关的特征向量为
dimV0 n 秩(0 E A)
即特征子空间 V0的维数等于齐次线性方程组
(0 E A) X 0
(* )
的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于0 的 全部线性无关的特征向量就是 V0 的一组基.
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四、特征多项式的有关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ质
nn A a P , 则A的特征多项式 1. 设 ij
解得它的一个基础解系为： (1,1,1) 因此，属于5的一个线性无关的特征向量为
3 1 2 3
而属于5的全部特征向量为
k3 3 ,
( k3 P , k3 0 )
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三、特征子空间
定义：设 为n维线性空间V的线性变换，0 为
的一个特征值，令 V0为 的属于 0 的全部特征向量 再添上零向量所成的集合，即 V0 0 则 V0是V的一个子空间, 称之为 的一个特征子空间.
则矩阵 B A3 2 A2 的特征值为：
行列式 B ＝ 0 .
1, 3,0
，
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作业：P324: 19(1)(3)
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1 1 3 , 2 2 3
而属于 1 的全部特征向量为
k11 k2 2 ,
( k1 , k2 P 不全为零 )
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把 5 代入齐次方程组 ( E A) X 0, 得
4 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 4 x3 0
( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( )
( k ) k ( ) k (0 ) 0 ( k )
V0 , k V0
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注：
若 在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则
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例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下
的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是
E kE ( k ) .
n
故数乘法变换K的特征值只有数k，且 对 V ( 0), 皆有 K ( ) k . 所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.
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例2.设线性变换 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵是