2008年普通高等学校招生全国统一考试(文科数学)(湖北卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.★祝考试顺利★注间事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效.3.填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设a=(1，－2),b=(－3,4),c=(3,2)，则(a+2b)·c=A.(15,12)− B.0C.－3D.－112.321(2)2x x−10的展开式中常数项是A.210 B.1052C.14D.－1053.若集合{1,2,3,4},{05,},P Q x x x R ==<<∈则A.“P x ∈”是“x Q ∈”的充分条件但不是必要条件B.“P x ∈”是“x Q ∈”的必要条件但不是充分条件C.“P x ∈”是“x Q ∈”的充要条件D.“P x ∈”既不是“x Q ∈”的充分条件也不是“x Q ∈”的必要条件4.用与球必距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为A.323π B.83πC.D.5.在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组,1x y x ⎧≤⎪⎨<⎪⎩的点的集合用阴影表示为下列图中的6.已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)(),f x f x +=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(7)f =A.－2B.2C.－98D.987.将函数sin()y x θ=−的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是A.512π B.512π− C.1112π D.1112π−8.函数1()1f x n x=的定义域为A.),2[]4,(+∞∪−−∞B.(4,0)(0,1)−∪C.]1,0()0,4[∪− D.)1,0()0,4[∪−9.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为A.100 B.110 C.120 D.18010.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122;a c a c +=+②1122;a c a c −=−③1212;c a a c >④1212.c c a a <其中正确式子的序号是A.①③B.②③C.①④D.②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11.一个公司共有1000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的员工人数是.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===°则A ＝.13.方程223x x −+=的实数解的个数为.14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是.15.圆34cos ,:()24sin x C y θθθ=+⎧⎨=−+⎩为参数的圆心坐标为，和圆C 关于直线0x y −=对称的圆C ′的普通方程是.三、解答题：本大题共6分小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满12分）已知函数2()sincos cos 2.222x x x f x =+−（Ⅰ）将函数()f x 化简成))2,0[,0,0()sin(πϕωϕω∈>>++A B x A 的形式，并指出()f x 的周期；（Ⅱ）求函数17()[,12f x ππ在上的最大值和最小值17.（本小题满分12分）已知函数322()1f x x mx m x =+−+（m 为常数，且m >0）有极大值9.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若斜率为－5的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程。

18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，平面1A BC ⊥侧面11.A ABB （Ⅰ）求证：;AB BC ⊥（Ⅱ）若1AA AC a ==，直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，二面角1,.2A BC A πϕθϕ−−+=的大小为求证：（本不题满分12分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？20（本小题满分13分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=−b a by a x C 的两个焦点为12(2,0),(2,0),F F P −点在双曲线C 上.（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为求直线l 的方程21.（本小题满分14分）已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=λ，a n+1=432−+n a n ,b n =(－1)n (a n －3n+21)，其中λ为实数，n 为正整数。

（I ）证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列；（II ）证明：当18{}n b λ≠−时，数列是等比数列；（III ）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有12?n S >−若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.第小题5分，满分50分.1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B10.B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，第小题5分，满分25分.11.1012.30°（或6π）13.214.0.9815.（3，－2），（x ＋2）2＋（y －3）2＝16（或x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0）三、解答题：本题共6小题，共75分.16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力.（满分12分）解：(Ⅰ)f (x )=21sin x +234sin(2223)cos (sin 2122cos 1−+=−+=−+πx x x x .故f (x )的周期为2k π｛k ∈Z 且k ≠0｝.(Ⅱ)由π≤x ≤1217π，得πππ35445≤+≤x .因为f (x )＝23)4sin(22−+πx 在[45,ππ]上是减函数，在[1217,45ππ]上是增函数.故当x =45π时，f (x )有最小值－223+；而f (π)=－2，f (1217π)＝－466+＜－2，所以当x =π时，f (x )有最大值－2.17.本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力.（满分12分）解：(Ⅰ)f’(x )＝3x 2+2mx －m 2=(x +m )(3x －m )=0,则x =－m 或x =31m ,当即f (－m )＝－m 3+m 3+m 3+1=9,∴m ＝2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f (x )=x 3+2x 2－4x +1,依题意知f’(x )＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－31.又f (－1)＝6，f (－31)＝2768，所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1),或y －2768＝－5(x ＋31)，即5x ＋y －1＝0，或135x ＋27y －23＝0.18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分）(Ⅰ)证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ，则由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC ∩侧面A 1ABB 1＝A 1B ，得AD ⊥平面A 1BC .又BC 平面A 1BC 所以AD ⊥BC .因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱,则AA 1⊥底面ABC ,所以AA 1⊥BC .又AA 1∩AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1,又AB 侧面A 1ABB 1，故AB ⊥BC .(Ⅱ)证法1：连接CD ,则由(Ⅰ)知∠ACD 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，∠ABA 1就是二面角A 1－BC －A 的平面角，即∠ACD ＝θ，∠ABA 1=ϕ.于是在Rt ΔADC 中，sin θ=a AD AC AD =,在Rt ΔADA 1中，sin ∠AA 1D ＝aADAA AD =1,∴sin θ=sin ∠AA 1D ,由于θ与∠AA 1D 都是锐角，所以θ＝∠AA 1D .又由Rt ΔA 1AB 知，∠AA 1D ＋ϕ＝∠AA 1B ＋ϕ＝2π，故θ＋ϕ＝2π.证法2：由(Ⅰ)知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=c （c ＜a ＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(0,0,22c a −),A 1(0,c,a)，于是)0,0,(22c a BC −=，1BA ＝（0，c ，a ）,)0,,(22c c a AC −−=,1AA =(0,0,a )设平面A 1BC 的一个法向量为n =(x,y,z ),则由⎪⎩⎪⎨⎧=−=+⎪⎩⎪⎨⎧==••.0,0,0,0221x c a az cy BC n BA n 得可取n ＝（0，－a ，c ），于是n ·AC =ac ＞0，AC 与n 的夹角β为锐角,则β与θ互为余角.sin θ=cos β=222222222)()0,,(),,0(||||ca cc c a c a c c a c a AC n AC n +=+−+−−−=••••,cos ϕ=,),0,0(),,0(||||222211ca c ac a a c a BA BA BA BA +=+−=••••所以sin θ=cos ϕ=sin(ϕπ−2),又0＜θ，ϕ＜2π，所以θ+ϕ=2π.19.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问题的能力.（满分12分）解法1：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9000.①广告的高为a +20，宽为2b +25，其中a ＞0，b ＞0.广告的面积S ＝(a +20)(2b +25)＝2ab +40b +25a +500＝18500+25a +40b≥18500+2b a 4025•=18500+.2450010002=ab 当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b =a 85,代入①式得a =120，从而b =75.即当a =120，b =75时,S 取得最小值24500.故广告的高为140cm,宽为175cm 时，可使广告的面积最小.解法2：设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，,225−y 其中x ＞20，y ＞25两栏面积之和为2(x －20)18000225=−y ,由此得y =,252018000+−x 广告的面积S =xy =x (252018000+−x )＝252018000+−x xx ,整理得S =.18500)20(2520360000+−+−x x 因为x －20＞0，所以S ≥2.2450018500)20(2520360000=+−×−x x 当且仅当)20(2520360000−=−x x 时等号成立，此时有(x －20)2＝14400(x ＞20)，解得x =140，代入y =2018000−x +25,得y ＝175，即当x =140，y ＝175时，S 取得最小值24500，故当广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小.20.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.（满分13分）(Ⅰ)解法1：依题意，由a 2+b 2=4，得双曲线方程为142222=−−aya x （0＜a 2＜4)，将点（3，7）代入上式，得147922=−−aa .解得a 2=18（舍去）或a 2＝2，故所求双曲线方程为.12222=−y x 解法2：依题意得，双曲线的半焦距c =2.2a =|PF 1|－|PF 2|=,22)7()23()7()23(2222=+−−++∴a 2=2，b 2=c 2－a 2=2.∴双曲线C 的方程为.12222=−y x (Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2，代入双曲线C 的方程并整理，得(1－k 2)x 2－4kx －6=0.①∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,∴⎩⎨⎧−±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧−×+−=∆≠−,33,10)1(64)4(,01222＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－1,3−)∪(-1,1)∪(1,3).②设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=,16,142212k x x k k −−=−于是|EF |=2212221221))(1()()(x x k y y x x −+=−+−=|1|32214)(1222212212k k k x x x x k−−+=−++••而原点O 到直线l 的距离d ＝212k+,∴S ΔOEF =.|1|322|1|32211221||21222222k k k k k k EF d −−=−−++=••••若S ΔOEF ＝22，即,0222|1|3222422=−−⇔=−−k k k k 解得k =±2,满足②.故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y =22+x 和.22+−=x y 解法2：依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理，得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.①∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴⎩⎨⎧−±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧−×+−=∆≠−.33,10)1(64)4(,01222＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－1,3−)∪(-1,1)∪(1,3).②设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，则由①式得|x 1－x 2|＝|1|322|1|4)(22221221k k k x x x x −−=−∆=−+.③当E 、F 在同一支上时（如图1所示），S ΔOEF ＝|S ΔOQF －S ΔOQE |=||||21||||||||212121x x OQ x x OQ −=−••；当E 、F 在不同支上时（如图2所示），S ΔOEF ＝S ΔOQF ＋S ΔOQE ＝.||||21|)||(|||212121x x OQ x x OQ −=+••综上得S ΔOEF ＝||||2121x x OQ −•，于是由|OQ |＝2及③式，得S ΔOEF ＝|1|32222k k −−.若S ΔOEF ＝22，即0222|1|3222422=−−⇔=−−k k k k ,解得k =±2,满足②.故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y =22+x 和y =.22+−21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.（满分14分）(Ⅰ)证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有2122a a a =,即（233λ−）2=44499λλλ⎛⎞−⇔⎜⎟⎝⎠22449490,9λλλ−+=−⇔=矛盾.所以｛a n ｝不是等比数列.（Ⅱ）证明：∵11112(1)[3{1}21](1)(214)3n n n a n b a n a n ++++=−−++=−−+=n n n b n a 32)213()1(32−=+−⋅−−又118,(18)0.b λλ≠−∴=−+≠由上式知120,(),3n n n n b b n N b +≠∴=−∈故当18,λ≠−时，数列｛b n ｝是以λ−（+18）为首项，23−为公比的等比数列.（Ⅲ）当18λ≠−时，由（Ⅱ）得12(18)(),3n n b λ−=−+•−于是32(18)[1()],53n n S λ=−+•−−当18λ=−时，0n b =，从而0.n S =上式仍成立.要使对任意正整数n ,都有12.n S >−即3220(18)[1()]1218.2531()3n nλλ−+•−−>−⇔<−−−令2()1(,3n f n =−−则当n 为正奇数时，51():3f n <≤当n 为正偶数时，5()1,9f n ≤<5()(1).3f n f ∴=的最大值为于是可得32018 6.5λ<×−=−综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有12;n S >−λ的取值范围为(,6).−∞−。